Оглавление:
Готовые контрольные работы с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики для студентов и школьников!
Высшая математика
Высшая математика — курс обучения в средних и высших учебных заведениях, включающий высшую алгебру и математический анализ.
Высшая математика включает обычно аналитическую геометрию, элементы высшей и линейной алгебры, дифференциальное и интегральное исчисления, дифференциальные уравнения, теорию множеств, теорию вероятностей и элементы математической статистики. Часто используется в экономике и технике. Является обязательным предметом в российских высших учебных заведениях, за исключением специальностей, в которых различные разделы математики разнесены по разным дисциплинам.
Если что-то непонятно — вы всегда можете написать мне в WhatsApp и я вам помогу! |
Раздел №1. Элементы линейной алгебры
Контрольная работа на тему: операции над матрицами
1. Транспонирование матриц
Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной к данной и обозначается .
Пример №1.
Транспонируйте матрицу .
Решение:
Операция транспонирования матрицы осуществляется следующим образом: первая строка матрицы
становится первым столбцом матрицы
, вторая строка
— вторым столбцом
, т.е.

2. Сложение (вычитание) матриц
Складывать (вычитать) можно только такие матрицы, которые имеют одинаковую размерность.
Суммой (разностью) матриц и
называется матрица
, элементы которой равны суммам (разностям) соответствующих элементов матриц
и
, т.е.
.
Пример №2.
Найдите сумму и разность матриц и
.
Решение:

Произведением матрицы на число
называется матрица
той же размерности, элементы которой равны произведению числа к на соответствующие элементы матрицы
, т.е.
.
Пример №3.
Найдите произведение матрицы на число
, если
Решение:

4. Умножение матриц
Матрицу можно умножать на матрицу
тогда и только тогда, когда число столбцов матрицы
равно числу строк матрицы
.

Произведением матрицы размера
на матрицу
размера
называется матрица
размера
, элементы которой равны сумме произведений элементов
-ой строки матрицы
на соответствующие элементы
-го столбца матрицы
.
Получение элемента можно представить в виде схемы (рис. 1):
Пример №4.
Найдите произведение матриц и
.
Решение:
Размер матрицы , размер
.
Число столбцов матрицы равно числу строк матрицы
, следовательно, умножение возможно. При этом матрица
будет иметь размерность (2 х 2).
Найдем элементы матрицы
:
Для нахождения элемента находим сумму произведений элементов первой строки матрицы
и первого столбца матрицы
:
= (1 строка
и 1 столбец
)
;
Аналогично = (1 строка
и 2 столбец
)
;
= (2 строка
и 1 столбец
)
;
= (2 строка
и 2 столбец
)
.
Получили,что . Ответ:
.
Дополнительные контрольные работы:
- Контрольная работа на тему: Матрицы и определители
- Контрольная работа на тему: нахождение обратной матрицы, вычисление ранга матрицы
- Контрольная работа на тему: системы линейных уравнений
Раздел №2. Элементы аналитической геометрии
Контрольная работа на тему: векторы, операции над векторами
Задание: Операции над векторами в координатах
Цель: формирование умения выполнять основные операции над векторами в координатах.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
Выучите определение свободного вектора, координат вектора на плоскости. Пользуясь обобщающей таблицей, проанализируйте, какие операции над векторами в координатах выполнимы, в чем заключаются признаки коллинеарности и перпендикулярности векторов.
В треугольнике вершины имеют координаты
. Найдите:
1) координаты вектора ;
2) длину стороны ;
3) координату точки — середины отрезка
;
4) длину медианы ;
5) координаты вектора ;
6) косинус угла между векторами и
;
7) треугольник достроили до параллелограмма
; найдите координату вершины
.

Решив задания 1 — 6 и заменив получившиеся ответы буквами из таблицы, вы узнаете, какой профессии были отданы три года жизни создателя аналитической геометрии Рене Декарта (1596-1650).
Профессия:

Карта ответов:

При каком значении векторы
и
а) взаимно перпендикулярны; б) коллинеарны.
Докажите, что , где
— трапеция с основаниями
и
. Определите, является ли трапеция равнобокой. На оси
найдите координаты точки, равноудаленной от точек
и
.
Методические указания по выполнению работы:
Вектор — это направленный отрезок. Все равные между собой направленные отрезки называют свободным вектором.
Коэффициенты разложения вектора
по векторам
и
(единичным взаимно перпендикулярным векторам)
называют координатами вектора на плоскости.
При решении задач по теме «Векторы» используйте следующие рекомендации:
- Выпишите исходные данные — дано. Если в условии задачи сказано о коллинеарности, перпендикулярности, равенстве длин векторов, то это также необходимо выписать.
- Определите, что нужно найти или что доказать в соответствии с условием задачи.
- Опираясь на то, что нужно найти, попытайтесь поискать ключ к решению: выбрать в таблице нужные операции или использовать признаки коллинеарности и перпендикулярности векторов, сформулированные в теоремах 1 и 2.
Операции над векторами в координатах

Теорема 1. Если векторы и
коллинеарны, то их соответствующие координаты пропорциональны:
если и
коллинеарны, то
.
Теорема 2. Если ненулевые векторы и
взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, и наоборот, если скалярное произведение векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны:
.
Пример №5.
Даны точки .
Найти: 1) координаты вектора ;
2) длину вектора ;
3) координаты точки — середины
.
Решение:
1) Воспользуемся формулой нахождения координат вектора:
Тогда .
2) Зная координаты вектора , найдем его длину по формуле:
.

3) Пусть точка — середина отрезка
. Тогда ее координаты находятся по формуле:

Ответ: .
Пример №6.
Даны .
Найдите:
Решение:
1) Вектор задан в виде разложения по базисным векторам
. Его координаты находятся как коэффициенты разложения вектора по базису:
.
Найдем координаты векторов и
по формуле:
. Тогда

Воспользуемся формулой нахождения суммы и разности векторов: .
Получим, что .
2) Воспользуемся формулой нахождения скалярного произведения векторов: .
Получим:

3) Найдем косинус угла между векторами по формуле .

Ответ: .
Пример №7.
При каком значении векторы
1) коллинеарны; 2) перпендикулярны?
Решение:
1) Воспользуемся теоремой 1: если векторы коллинеарны, то их соответствующие координаты пропорциональны. Получим, что

Следовательно, при векторы
и
коллинеарны.
2) Воспользуемся теоремой 2: если .

Следовательно, при векторы
и
перпендикулярны.
Ответ: .
Дополнительные контрольные работы:
- Контрольная работа на тему: прямая на плоскости, кривые второго порядка
- Контрольная работа на тему: Составление уравнений кривых второго порядка и их построение
Раздел №3. Основы математического анализа
Контрольная работа на тему: теория пределов, непрерывность
Задание: Виды числовых последовательностей. Определение пределов последовательностей.
Цель: формирование умения классифицировать числовые последовательности и вычислять их пределы.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
Выучите определение числовой последовательности, видов числовой последовательности (возрастающей, убывающей, ограниченной), предела числовой последовательности.
Выпишите первые пять членов числовой последовательности, классифицируйте данную последовательность по критериям монотонности и ограниченности, найдите её предел:

Используя материал учебника, составьте опорный конспект но теме «Бесконечно малые и бесконечно большие числовые последовательности, число » по следующему плану:
- определение бесконечно малой числовой последовательности, пример такой последовательности;
- определение бесконечно большой числовой последовательности, пример такой последовательности;
- теорема, устанавливающая связь между бесконечно малыми и бесконечно большими числовыми последовательностями;
- теорема Вейерштрасса (признак существования предела последовательности);
- числовая последовательность, приводящая к числу
.
Найдите предел числовой последовательности:

Используя дополнительную литературу, найдите апории философа Зенона Эллинского (490-430 г. до н.э.) — задачи, содержащие в себе противоречия. Попробуйте объяснить причину возникающих противоречий с точки зрения математики. Возможно ли решение этих задач на основании понятия предела последовательности?
Методические указания по выполнению работы:
Знание следующего теоретического материала будет Вам полезно при классификации и нахождении предела числовой последовательности.
Бесконечной числовой последовательностью называется функция , заданная на множестве натуральных чисел (
). Для обозначения числовой последовательности принята следующая запись:
.
Последовательность называется убывающей, если каждый последующий член последовательности меньше или равен предыдущему, т.е. если
для всех
.
Последовательность называется возрастающей, если каждый последующий член последовательности больше или равен предыдущему
.
Последовательность называется ограниченной, если существуют числа
и
такие, что для любого номера
имеет место неравенство:
.
Геометрически ограниченность последовательности означает существование отрезка
, на котором помещены все члены этой последовательности. Для неограниченной последовательности
отрезка
, которому принадлежат все члены
, не существуют.
Число называется пределом последовательности
, если для любого наперед заданного положительного числа
найдется такое натуральное число
, что для любого номера элемента
выполняется неравенство:
. В этом случае пишут
.
Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся, а не имеющая предела — расходящейся.
Для практического нахождения пределов числовых последовательностей используют следующие свойства пределов.
Пусть и
— сходящиеся последовательности, т.е.
. Тогда справедливы следующие утверждения:
- Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел.
- Для любого числа
последовательность
также сходится, причем
.
- Сумма (разность)
также сходится, причем
.
- Произведение
также сходится, причем
.
- При дополнительном условии
частное
также сходится, причем
.
Проиллюстрируем использование теоретического материала при исследовании числовых последовательностей.
Пример №8.
Исследуйте числовую последовательность .
Решение:
Выпишем элементы числовой последовательности, поочерёдно подставляя вместо значения 1, 2, 3, 4, 5 и т.д. Получим бесконечное числовое множество:
Последовательности соответствует следующее геометрическое изображение:

Последовательность убывающая, т.к.
Она ограничена, т.к. существует и
, такие, что
. Геометрически все элементы последовательности
принадлежат промежутку
.
Покажем, что . Выберем любую точность
(например,
). Тогда найдется натуральное число
(в нашем случае
), такое что для всех
выполняется неравенство:
(уже для
будет меньше
).
Пример №9.
Исследуйте числовую последовательность .
Решение:
Подставляя вместо значения 1, 2, 3 и т.д., найдем следующие элементы последовательности: {1; 4; 7; 10; 13; 16…}.
Последовательности соответствует следующее изображение:

Последовательность является возрастающей, т.к. каждый следующий член последовательности больше предыдущего:
Она не ограничена, т.к. не существует числа , которое бы ограничивало последовательность сверху.
Последовательность не имеет предела, т.к. ее элементы неограниченно возрастают, следовательно, эта последовательность является расходящейся (
).
Пример №10.
Найдите предел последовательности .
Решение:
Числитель и знаменатель представляют собой расходящиеся последовательности (так как они не ограничены), поэтому непосредственно применять теорему о пределе частного нельзя. В этом случае поступим так: числитель и знаменатель разделим на (от этого дробь не изменится), а затем применим теоремы о пределах последовательностей. Приведем подробную запись вычисления предела:

Ответ:
Дополнительные контрольные работы:
- Контрольная работа на тему: теория пределов, непрерывность
- Контрольная работа на тему: решение задач на нахождение и классификацию точек разрыва функции
- Контрольная работа на тему: дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной
- Контрольная работа на тему: нахождение производной сложной функции
- Контрольная работа на тему: решение задач на нахождение производных высших порядков, раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя
- Контрольная работа на тему: на определение промежутков возрастания и убывания, нахождение экстремумов функции
- Контрольная работа на тему: определение промежутков выпуклости, вогнутости графика функций, нахождение точек перегиба
- Контрольная работа на тему: нахождение асимптот трафика функции
- Контрольная работа на тему: полное исследование функции и построение графика
- Контрольная работа на тему: интегральное исчисление функции одной действительной переменной
- Контрольная работа на тему: нахождение неопределённых интегралов методом подстановки
- Контрольная работа на тему: нахождение неопределённых интегралов методом по частям
- Контрольная работа на тему: нахождение определённых интегралов методом непосредственного интегрирования
- Контрольная работа на тему: нахождение определённых интегралов методом подстановки
- Контрольная работа на тему: нахождение определённых интегралов методом но частям
- Контрольная работа на тему: приложения определённого интеграла
- Контрольная работа на тему: нахождение несобственных интегралов
- Контрольная работа на тему: дифференциальное исчисление функции нескольких действительных переменных
- Контрольная работа на тему: нахождение частных производных функции двух переменных
- Контрольная работа на тему: нахождение частных производных второго порядка функции двух переменных
- Контрольная работа на тему: нахождение повторных интегралов
- Контрольная работа на тему: нахождение двойных интегралов но прямоугольной области и произвольной области
- Контрольная работа на тему: приложения двойных интегралов в геометрии
- Контрольная работа на тему: теория рядов
- Контрольная работа на тему: исследование сходимости числовых положительных рядов
- Контрольная работа на тему: исследование абсолютной и условной сходимости знакочередующихся рядов
- Контрольная работа на тему: нахождение радиуса и интервала сходимости степенного ряда
- Контрольная работа на тему: разложение функций в ряд Маклорена
- Контрольная работа на тему: обыкновенные дифференциальные уравнения
- Контрольная работа на тему: решение однородных дифференциальных уравнений
- Контрольная работа на тему: решение линейных дифференциальных уравнений
- Контрольная работа на тему: решение дифференциальных уравнений второго порядка
Раздел №4. Основы теории комплексных чисел
- Контрольная работа на тему: формы комплексных чисел
- Контрольная работа на тему: действия над комплексными числами в тригонометрической форме
- Контрольная работа на тему: действия над комплексными числами в показательной форме
- Контрольная работа на тему: переход между различными формами комплексных чисел
Возможно эти страницы вам будут полезны: