Оглавление:
Задание: Решение задач на нахождение производных высших порядков, раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя.
Цель: формирование умения находить производные высших порядков, вычислять пределы функций, раскрывая неопределенности по правилу Лопиталя.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
14.1. Выучите определение производной -го порядка. Проанализируйте, как найти производную второго, третьего и четвертого порядков.
14.2. Найдите вторую производную функции:

14.3. Найдите третью производную функции:

14.4. Найдите четвертую производную функции .
14.5. Выясните, сколько раз нужно продифференцировать функцию , чтобы в результате получился многочлен тридцатой степени.
14.6. Запомните, в каких случаях используется правило Лопиталя. Выясните, как оно применяется.

14.7. Установите правильную последовательность косточек математического домино и Вы узнаете титул французского математика Гийома Франсуа Антуана де Лопиталя (1661 — 1704):
- автора первого печатного учебника по дифференциальному исчислению;
- учёного, в честь которого назван приём раскрытия неопределённостей вида
или
.

Методические указания но выполнению работы:
Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:
I. Понятие производной высших порядков
Пусть — дифференцируемая на интервале
функция. Тогда ее производная
— тоже функция, определенная на интервале
. И у нее можно найти производную, называемую производной второго порядка или второй производной. Итак, производная от первой производной
называется второй производной функции и обозначается
или
.
Пример 1.
Найдите вторую производную функции .
Решение:
Найдем .
Найдем как производную от
.
Ответ: .
Вторая производная — тоже представляет собой функцию, следовательно, существует производная второй производной , называемая третьей производной или
. Так, в примере 1.
.
Аналогично вводится определение четвертой производной ;
пятой производной ;
-й производной
.
Таким образом, производной -го порядка функции
называется производная от производной
-ro порядка (если она существует).
Пример 2.
Найдите четвертую производную функции .
Решение:
Найдем как производную сложной функции
:

Найдем как производную от
.

Ответ: .
Пример 3.
Найдите -ю производную функции
.
Решение:
Найдем как производную сложной функции
:

Очевидно, что .
Ответ: .
II. Правило Лопиталя
Если при вычислении предела функции возникает неопределенность вида или вида
, и никакой из существующих приемов ее раскрытия не работает, на помощь придет правило Лопиталя. Под правилом Лопиталя понимают прием раскрытия неопределенностей вида
или
.
Теорема (правило Лопиталя). Для вычисления предела , где
, где достаточно найти предел отношения производных данных функций (если он существует), т.е.
.
Замечание. 1. Правило Лопиталя справедливо также для случаев
- неопределенности вида
при
;
- неопределенности вида
при
и
.
2. Правило Лопиталя может быть применено последовательно несколько раз для раскрытия неопределенностей вида или
.
Рассмотрим примеры нахождения пределов функций с использованием правила Лопиталя.
Пример 4.
Вычислите .
Решение. Поскольку в примере встречается неопределенность вида , можно применить правило Лопиталя:

Ответ: .
Пример 5.
Вычислите .
Решение:
Поскольку в примере рассматривается неопределенность вида , можно применить правило Лопиталя:
. Снова получили неопределенность вида
, следовательно, можно применить правило Лопиталя еще раз:
. Повторно применяя правило Лопиталя, получим
, т.к.
при
.
Ответ: .
Пример 6.
Вычислите .
Решение:
Поскольку при функция
, то имеет место неопределенность вида
и правило Лопиталя применить нельзя. Попытаемся преобразовать выражение, стоящее под знаком предела:
. Тогда под знаком предела будет неопределенность вида
, к которой правило Лопиталя применимо:

Ответ: .
На этой странице вы сможете посмотреть все остальные темы готовых контрольных работ по высшей математике:
Готовые контрольные работы по высшей математике
Обратите внимание на похожие контрольные работы возможно они вам будут полезны: