Оглавление:
Задание: Нахождение радиуса и интервала сходимости степенного ряда.
Цель: формирование умения находить радиус и интервал сходимости степенных рядов.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
41.1. Выучите определение степенного ряда. Сформулируйте определение радиуса сходимости степенного ряда. Выясните, какова техника его нахождения.
41.2. Проанализируйте, в каких случаях для вычисления радиуса сходимости степенного ряда удобно искать по формуле
, а в каких — по формуле —
. Внимательно изучите примеры, позволяющие находить радиус сходимости степенного ряда.
41.3. Найдите радиус сходимости степенного ряда:


Выполнив задание 41.3. и заменив получившиеся ответы буквами из таблицы. Вы откроете фамилию математика — автора теоремы:
Если степенной ряд сходится в точке
, то он сходится, и притом абсолютно, для всех
, удовлетворяющих неравенству:
.
Его работы в теории рядов фундаментальны. Огромное число понятий и теорем в различных областях математики носит его имя. За свою короткую жизнь этот учёный сделал важнейшее для науки открытие: доказал, что алгебраические уравнения степени выше четвёртой в общем случае неразрешимы в радикалах.
На его родине знаменитому математику установлен необычный памятник. По круто поднимающейся гранитной глыбе молодой человек с одухотворённым лицом шагает ввысь, переступая через два отвратительных чудовища. Что они символизируют? Одни математики, шутя, говорят, что они изображают уравнения пятой степени и эллиптические функции, побеждённые учёным. Другие утверждают, что скульптор воплотил в образе чудовищ социальную несправедливость. Именно с ней всю жизнь боролся учёный. Только в этой трактовке автор памятника погрешил против истины: не математик победил эти чудовища, а они погубили его…
Фамилия математика — автора теоремы:

Карта ответов:

41.4. Выучите определение интервала сходимости степенного ряда. Выясните, какова техника его нахождения.
41.5. Найдите интервал сходимости степенного ряда:

Методические указания по выполнению работы:
Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:
Функциональный ряд вида , членами которого являются степенные функции аргумента
, называется степенным (
— действительная переменная, действительные числа
— коэффициенты степенного ряда).
Радиусом сходимости степенного ряда
называется неотрицательное действительное число или
, удовлетворяющее условиям: при всех
, для которых
степенной ряд
сходится; при всех
, для которых
, степенной ряд
расходится.

Если степенной ряд сходится лишь в одной точке
, то его радиус сходимости равен 0:
.
Если степенной ряд сходится при всех действительных значениях переменной
(во всех точках числовой оси), то его радиус сходимости равен
.
У любого степенного ряда есть радиус сходимости, найти который позволяет следующая теорема.
Теорема. Если для степенного ряда существуют конечные или бесконечные пределы
или
, равные
, то радиус сходимости степенного ряда находится по формуле:
.
Заметим, что находить можно, фактически осуществляя ту же последовательность действий, что и в алгоритмах, предназначенных для исследования сходимости положительных рядов по признакам Даламбера и Коши. При этом роль общего члена положительного ряда будет играть коэффициент
степенного ряда.
Рассмотрим примеры нахождения радиуса сходимости степенного ряда.
Пример 1.
Найдите радиус сходимости степенного ряда .
Решение:
Радиус сходимости степенного ряда будем искать по формуле:
. Поскольку коэффициент степенного ряда
содержит выражение
, то для нахождения
применим формулу:
, аналогичную формуле признака Даламбера. Фактически
воспользуемся соответствующим алгоритмом. Для этого:
- найдём коэффициент
- найдём коэффициент
- найдём отношение коэффициентов
Таким образом, получим
Следовательно, так как , а
, то
.
Ответ: .
Если для степенного ряда
, то его радиус сходимости
равен
.
Если для степенного ряда
, то его радиус сходимости
равен 0:
.
Пример 2.
Найдите радиус сходимости степенного ряда .
Решение:
Радиус сходимости степенного ряда будем искать по формуле:
. Поскольку коэффициент степенного ряда
представляет собой
-ую степень выражения
, то для нахождения
применим формулу:
, аналогичную формуле признака Коши. Фактически воспользуемся соответствующим алгоритмом. Для этого:
- найдём коэффициент
- найдем
Таким образом, получим .
Следовательно, если , то
.
Ответ: .
Если — радиус сходимости степенного ряда
, то множество точек
, удовлетворяющих неравенству
, называется интервалом сходимости I степенного ряда. Значит, если
— радиус сходимости степенного ряда
, то его интервал сходимости
находится следующим образом: .
Пример 3.
Найдите интервал сходимости степенного ряда.
Решение:
Интервал сходимости степенного ряда определяется формулой: . Выясним, чему равен радиус сходимости данного степенного ряда. Искать его будем по соотношению:
. Для нахождения
применим формулу:
, аналогичную формуле признака Даламбера. Фактически воспользуемся соответствующим алгоритмом. Для этого:
- найдём коэффициент
- найдём коэффициент
- найдём отношение коэффициентов
Таким образом, получим

(при раскрытии неопределённости использовали правило Лопиталя). Следовательно, так как
, а
, то
.
Применяя формулу для нахождения интервала сходимости степенного ряда: , получим:
.
Ответ: .
На этой странице вы сможете посмотреть все остальные темы готовых контрольных работ по высшей математике:
Готовые контрольные работы по высшей математике
Обратите внимание на похожие контрольные работы возможно они вам будут полезны: