Оглавление:
Задание: Разложение функций в ряд Маклорена.
Цель: формирование умения разлагать элементарные функции в ряд Маклорена и применять данные разложения для вычисления приближённых значений выражений.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
42.1. Выучите определение ряда Маклорена для функции. Запомните, как в этом случае будет называться функция. Разберите пример и выясните, как найти конкретный член ряда Маклорена для функции.
42.2. Ряд Маклорена для функции имеет вид:
Найдите:
а) третий член ряда Маклорена для функции
б) четвёртый член ряда Маклорена для функции .
42.3. Проанализируйте, при каких условиях ряд Тейлора (Маклорена) будет сходиться к порождающей функции. Выясните, какова техника разложения функции в ряд Тейлора (Маклорена). Постарайтесь освоить алгоритм, позволяющий разлагать функцию в ряд Маклорена на примере функции .
42.4. Разложите функцию в ряд Маклорена.
42.5. Запомните известные разложения некоторых элементарных функций в ряд Маклорена. Выясните, какие преобразования известных разложений позволяют получать новые разложения функций в ряд. Внимательно изучите технику получения подобных разложений на примере функций и
.
42.6. Используя известное разложение в ряд Маклорена элементарных функций, представьте в виде ряда:


42.7. Выясните, как разложение функции в ряд Маклорена позволяет найти приближённое значение выражения.
42.8. Используя известное разложение функции в ряд Маклорена, и ограничиваясь заданным числом первых членов ряда, найдите приближённое значение выражения:
a) (два первых члена ряда); б)
(три первых члена ряда).
Методические указания по выполнению работы:
Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:
Ряд для функции в точке
называется рядом Маклорена.
Если функция имеет в точке
производные любого порядка, то для неё можно составить ряд Маклорена. При этом функция
называется порождающей функцией для
соответствующего ряда.
Пример 1.
Найдите третий член ряда Маклорена
для функции
.
Решение:
Третий член ряда Маклорена для функции имеет вид
. Для его нахождения вычислим вторую производную функции
в точке
:
1) найдём
2) найдём
3) найдём
Подставим в выражение
, получим:
. Таким образом, третий член ряда Маклорена для функции
равен
.
Ответ: .
Формально ряд Тейлора (Маклорена) можно построить для любой бесконечно дифференцируемой функции в окрестности точки
. Но отсюда ещё не следует, что он будет сходиться к данной функции
. Условия, при которых ряд Тейлора (Маклорена) сходится к порождающей функции, изложены в теореме.
Теорема: Если все производные функции ограничены в некоторой окрестности точки
(
) одним и тем же числом, то для любого
из этой окрестности ряд Тейлора (Маклорена) для функции
сходится к данной функции, т.е. имеет место разложение

Для разложения некоторой функции в ряд Маклорена удобно использовать следующий алгоритм:
1) вычислить значения функции и всех её производных при ;
2) составить ряд Маклорена для функции :

3) проверить выполнение условий теоремы о разложении функции в ряд (доказать, что все производные функции ограничены в некоторой окрестности точки одним и тем же числом);
4) записать разложение функции в ряд Маклорена:

Рассматривая разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций, ограничимся рядами, которые чаще всего используются на практике.
Пример 2.
Разложите функцию в ряд Маклорена.
Решение:
Для разложения функции в ряд Маклорена воспользуемся алгоритмом.
1) Найдём значения функции и последовательно её производных в точке
:

Поскольку для функции
, то
.
2) Составим для функции ряд Маклорена, подставив найденные значения в формулу ряда Маклорена
:

3) Проверим выполнение условий теоремы о разложении функции в ряд: для данного найдём интервал
, содержащий число
, и обозначим
. Тогда для любой производной функции имеем
. Таким образом, все производные функции
в некоторой окрестности
ограничены одним и тем же числом
. Значит, условия теоремы выполнены, и функция
может быть разложена в ряд.
4) Запишем разложение функции в ряд Маклорена:
.
Ответ: .
Аналогичным образом можно получить разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций, которые рекомендуется запомнить:

биномиальный ряд (бином Ньютона):




Разложение некоторых функций в ряд Маклорена можно получить, выполняя те или иные преобразования над уже имеющимися разложениями. К таким преобразованиям относятся замена переменной, сложение, вычитание, умножение, дифференцирование и интегрирование степенных рядов.
Рассмотрим примеры получения подобных разложений.
Пример 3.
Используя известные разложения, разложите в ряд Маклорена функцию .
Решение:
Воспользуемся известным разложением в ряд функции :

Заменим в данном разложении на
, получим:

Таким образом,

Ответ: .
Пример 4.
Разложите в ряд Маклорена функцию .
Решение:
Функция представляет собой произведение
на
, поэтому для её разложения в ряд Маклорена воспользуемся разложением функции
:

Заменим в этом разложении на
, получим:


Умножим разложение на
:

Таким образом,
Ответ:
Разложение функций в ряд Маклорена находит широкое практическое применение в вопросах приближённого вычисления значений функций.
Пусть требуется вычислить значение функции при
, с заданной точностью. Если функцию
в интервале
можно разложить в степенной ряд
, и
, то точное значение
равно сумме этого ряда при
, т.е.
, а приближённое — частичной сумме
, т.е.
. Точность этого равенства увеличивается с ростом
.
Пример 5.
Найдите приближённое значение выражения с точностью до 0,0001, используя известные разложения функций в ряд Маклорена.
Решение:
Воспользуемся известным разложением в ряд Маклорена функции :
Поскольку
, подставим в данное разложение вместо
, получим
Так как мы имеем знакочередующийся ряд, то при замене его суммы некоторой частичной суммой абсолютная погрешность не превышает модуля первого отброшенного члена. Непосредственной проверкой убеждаемся, что
, следовательно, достаточно ограничиться двумя первыми членами разложения:
.
Ответ: .
На этой странице вы сможете посмотреть все остальные темы готовых контрольных работ по высшей математике:
Готовые контрольные работы по высшей математике
Обратите внимание на похожие контрольные работы возможно они вам будут полезны: