Задание: Решение однородных дифференциальных уравнений.
Цель: формирование умений решать однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
46.1. Какие дифференциальные уравнения первого порядка называют однородными? Какова техника их решения?
46.2. Решите однородное дифференциальное уравнение:


46.3. Решите однородное дифференциальное уравнение:

Методические указания по выполнению работы:
Однородные дифференциальные уравнения — уравнения вида , где
и
— однородные функции одинакового порядка.
Функция называется однородной функцией
-го порядка, если при умножении каждого ее аргумента на произвольный множитель
вся функция умножится на
, т.е.
.
Для решения однородных дифференциальных уравнений удобно использовать следующий алгоритм:
- Выполните подстановки:
и
. В получившемся дифференциальном уравнении раскройте скобки и приведите подобные слагаемые. Должно получиться уравнение с разделяющимися переменными.
- Проинтегрируйте обе части уравнения с разделяющимися переменными относительно переменных
и
. Найдите общее решение дифференциального уравнения.
- В общем решении вернитесь к переменным
и
, подставив вместо
выражение
.
- Выпишите в ответе получившееся общее решение дифференциального уравнения.
Пример 1.
Найдите решение дифференциального уравнения: .
Решение:
Данное уравнение — однородное дифференциальное уравнение первого порядка.
1. Выполним подстановки: и
:

Раскроем скобки:

Приведем подобные слагаемые: первое и последнее взаимно уничтожаются. Получим:

Перед нами уравнение с разделяющимися переменными. Соберем в левой части выражения, содержащие , в правой — выражения, содержащие
.

Тогда или
— уравнение с разделёнными переменными.
2. Интегрируя обе части, получим: или
.
3. Подставим вместо выражение:
или
. Это и есть общее решение исходного однородного дифференциального уравнения.
Ответ: .
На этой странице вы сможете посмотреть все остальные темы готовых контрольных работ по высшей математике:
Готовые контрольные работы по высшей математике
Обратите внимание на похожие контрольные работы возможно они вам будут полезны: