Оглавление:
Задание: Решение дифференциальных уравнений второго порядка.
Цель: формирование умений решать дифференциальные уравнения второго порядка: простейшие, линейные однородные с постоянными коэффициентами.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
49.1. Какие дифференциальные уравнения называют простейшими второго порядка? Какова техника их решения?
49.2. Решите простейшие дифференциальные уравнения второго порядка:

49.3. Найдите частное решение простейших дифференциальных уравнений второго порядка:

49.4. Какие дифференциальные уравнения называют линейными однородными (ЛОДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами? Какова техника их решения?
49.5. Решите ЛОДУ II порядка с постоянными коэффициентами:

49.6. Решите дифференциальные уравнения второго порядка:

Методические указания по выполнению работы:
Выделяют следующие виды дифференциальных уравнении второго порядка:
1. Простейшие дифференциальные уравнения второго порядка — уравнения вида: .
Метод решения, двукратное интегрирование по переменной .
Пример 1.
Найдите решение дифференциального уравнения .
Решение:
Поскольку перед нами простейшее дифференциальное уравнение второго порядка, найдем сначала по формуле:
.
или
, где
— константа.
Для нахождения искомой функции найдем интеграл от
по переменной
:
или
, где
и
— константы.
Полученная функция является общим решением дифференциального уравнения .
Ответ: .
Обратите внимание, что общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные и
.
Для нахождения решения задачи Коши можно использовать следующий алгоритм:
- Найдите
по формуле:
.
- Воспользовавшись первым начальным условием (
), найдите значение константы
и подставьте его в функцию
.
- Найдите функцию
, взяв интеграл от
по переменной
.
- Воспользовавшись вторым начальным условием (
), найдите значение константы
и подставьте его в функцию
. Полученная функция
будет являться частным решением исходного дифференциального уравнения.
Пример 2.
Найдите решение задачи Коши: , если при
,
и
.
Решение:
1. Найдем .
2. Воспользуемся первым начальным условием: при
. Подставим эти числа в функцию
. Поскольку
, получим, что
.
Подставим найденное значение в функцию
или
.
3. Найдем функцию или
.
4. Воспользуемся вторым начальным условием: при
. Подставим эти числа в функцию
. Поскольку
, получим:
или
.
Найденное значение константы подставим в функцию
:
. Полученная функция является частным решением исходного дифференциального уравнения
при заданных начальных условиях.
Ответ: .
2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами — уравнение вида , где
и
— постоянные величины.
Для нахождения решения дифференциальных уравнений такого вида будем составлять характеристическое уравнение: , где
— некоторая новая переменная. Характеристическое уравнение является квадратным относительно
.
В зависимости от числа и вида корней данного характеристического уравнения, решение исходного дифференциального уравнения можно представить в виде таблицы 49.1:
Таблица 49.1
Решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянным и коэффициентами

Рассмотрим решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами на конкретных примерах.
Пример 3.
Решите дифференциальное уравнение: .
Решение:
Составим характеристическое уравнение . Найдем его корни.
существуют два различных корня
и
.
или
.
Тогда, пользуясь таблицей 49.1, находим общее решение дифференциального уравнения по формуле .
Ответ: .
Пример 4.
Решите дифференциальное уравнение: .
Решение:
Составим характеристическое уравнение . Найдем его корни.
существуют два равных корня
.

Тогда, пользуясь таблицей 49.1, находим общее решение дифференциального уравнения по формуле .
Ответ: .
Пример 5.
Решите дифференциальное уравнение: .
Решите дифференциальное уравнение: .
Решение:
Составим характеристическое уравнение . Найдем его корни.
существуют два комплексных корня
и
.

Тогда, пользуясь таблицей 49.1, находим общее решение дифференциального уравнения по формуле .
Ответ: .
На этой странице вы сможете посмотреть все остальные темы готовых контрольных работ по высшей математике:
Готовые контрольные работы по высшей математике
Обратите внимание на похожие контрольные работы возможно они вам будут полезны: