Контрольная работа на тему: исследование сходимости числовых положительных рядов

Оглавление:

Задание: Исследование сходимости числовых положительных рядов.

Цель: формирование умения применять достаточные признаки (сравнения, Даламбера, радикальный и интегральный Коши) при исследовании рядов на сходимость.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

39.1. Выучите определение положительного (знакоположительного) ряда. Сформулируйте признак сравнения. Выясните, какова техника его применения для исследования сходимости положительных рядов. Запомните ряды, традиционно использующиеся в качестве «эталонных» для исследования сходимости ряда по признаку сравнения.

39.2. С помощью признака сравнения исследуйте на сходимость положительные ряды:

39.3. Сформулируйте признак Даламбера. Постарайтесь освоить алгоритм, позволяющий исследовать сходимость положительного ряда по признаку Даламбера. Изучите пример исследования сходимости ряда по этому признаку.

39.4. С помощью признака Даламбера исследуйте на сходимость положительные ряды:

39.5. Сформулируйте признак Коши (радикальный). Постарайтесь освоить алгоритм, позволяющий исследовать сходимость положительного ряда по признаку Коши. Изучите пример исследования сходимости ряда по этому признаку.

39.6. С помощью признака Коши исследуйте на сходимость положительные ряды:

39.7. Выясните, в чём заключается интегральный признак Коши, и как он применяется для исследования сходимости положительных рядов.

39.8. С помощью интегрального признака Коши исследуйте на сходимость положительные ряды:

39.9. Проанализируйте, в каких случаях исследовать положительный ряд на сходимость целесообразно с помощью признака сравнения, в каких — с помощью признака Даламбера, а в каких — с помощью признаков Коши.

39.10. Исследуйте на сходимость положительные ряды:

Методические указания по выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала: Числовой ряд с неотрицательными членами называется положительным (знакоположительным).

Признак сравнения позволяет исследовать положительный ряд на сходимость путем сравнения его с другим («эталонным») рядом, о котором известно, сходится он или нет.

Признак сравнения: Пусть даны два положительных ряда и . Если, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство , то

из сходимости ряда следует сходимость ряда ;
из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Другими словами:

если общий член исследуемого ряда меньше общего члена сходящегося ряда, то исследуемый ряд сходится;
если общий член исследуемого ряда больше общего члена расходящегося ряда, то исследуемый ряд расходится.

В качестве «эталонных» обычно используют следующие ряды:

1. — расходящийся гармонический ряд;

2. , если — расходящийся обобщённый гармонический ряд,

, если — сходящийся обобщённый гармонический ряд;

3. , если — расходящийся ряд геометрической прогрессии,

, если — сходящийся ряд геометрической прогрессии.

Рассмотрим примеры использования признака сравнения для исследования сходимости положительных рядов.

Пример 1.

Исследуйте ряд на сходимость, применяя признак сравнения.

Решение:

Сравним данный ряд с «эталонным» рядом геометрической прогрессии , который сходится . Имеем: . Таким образом, общий член нашего ряда меньше общего члена сходящегося ряда. Следовательно, по признаку сравнения, ряд сходится.

Ответ: сходится.

Пример 2.

Исследуйте ряд на сходимость, применяя признак сравнения.

Решение:

Рассмотрим ряд . Поскольку он получается из расходящегося гармонического ряда умножением на 2, то, по свойству числовых рядов (свойство 2), он расходится. Сравним исследуемый ряд с рядом . Имеем: , т.е. . Таким образом, общий член исследуемого ряда больше общего члена расходящегося ряда. Следовательно, по признаку сравнения, ряд расходится.

Ответ: расходится.

В отличие от признака сравнения, где многое зависит от догадки и запаса «эталонных» рядов, признак Даламбера часто позволяет исследовать сходимость ряда, проделав лишь некоторые операции над ним.

Признак Даламбера: Пусть дан положительный числовой ряд и существует конечный или бесконечный предел . Тогда:

если , то ряд сходится;
если , то ряд расходится;
если , то признак не применяется (вопрос о сходимости ряда остается открытым).

Исследовать ряд на сходимость по признаку Даламбера удобно по следующему алгоритму:

1) найти ;

2) найти ;

3) найти ;

4) найти предел отношения на бесконечности и проанализировать полученное значение:

если , то ряд сходится;
если , то ряд расходится;
если , то признак Даламбера ответа не дает (требуется дополнительное исследование).

Рассмотрим пример использования признака Даламбера для исследования сходимости положительных рядов.

Пример 3.

Исследуйте ряд на сходимость, применяя признак Даламбера.

Решение:

Для исследования сходимости ряда по признаку Даламбера воспользуемся алгоритмом:

1) найдём

2) найдём

3) найдём

4) найдём (при раскрытии неопределенности использовали правило Лопиталя). Получили, что . Значит, по признаку Даламбера ряд расходится.

Ответ: расходится.

Заметим, что признак Даламбера целесообразно применять в том случае, когда общий член ряда содержит выражение вида или .

Иногда для исследования сходимости положительного ряда удобно использовать радикальный признак Коши, во многом схожий с признаком Даламбера.

Признак Коши (радикальный): Пусть дан положительный числовой ряд , и существует конечный или бесконечный предел . Тогда:

если , то ряд сходится;
если , то ряд расходится;
если , признак не применяется (вопрос о сходимости ряда остается открытым).

Исследовать ряд на сходимость по признаку Коши удобно по следующему алгоритму:

1) найти ;

2) найти ;

3) найти и проанализировать полученное значение:

если , то ряд сходится;
если , то ряд расходится;
если , то признак Коши ответа не дает (требуется дополнительное исследование).

Пример 4.

Исследуйте ряд на сходимость, применяя признак Коши.

Решение:

Для исследования сходимости ряда по признаку Коши воспользуемся алгоритмом:

1) найдём

2) найдём

3) найдём . Получили, что . Значит, по признаку Коши ряд сходится.

Ответ: сходится.

Заметим, что признак Коши целесообразно применять в том случае, когда общий член ряда представляет собой -ую степень выражения.

В некоторых ситуациях, когда ни один из признаков сравнения, Даламбера, Коши не дает ответ о сходимости положительного ряда, исследовать ряд на сходимость позволяет интегральный признак Коши.

Интегральный признак Коши: Если члены положительного ряда могут быть представлены как числовые значения некоторой непрерывной монотонно убывающей на промежутке функции так, что , то данный ряд и несобственный интеграл одновременно сходятся или расходятся.