Оглавление:
Задание:. Приложения двойных интегралов в геометрии.
Цель: формирование умения применять двойные интегралы для вычисления объёмов цилиндрических тел и площадей плоских геометрических фигур.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
37.1. Выучите определение цилиндрического тела. Выясните, как используется двойной интеграл для вычисления его объёма. Внимательно изучите пример вычисления объёма цилиндрического тела с помощью двойного интеграла.
37.2. Вычислите объём цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью , а снизу — прямоугольной областью
:

37.3. Вычислите объём цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью , а снизу — областью
:

37.4. Выясните, как используется двойной интеграл для вычисления площади плоской геометрической фигуры. Внимательно изучите пример нахождения площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла.
37.5. Вспомните, как вычисляется площадь плоской фигуры с помощью определённого интеграла. Проведите сравнительный анализ техник двойного и определённого интегрирования для вычисления площадей плоских фигур.
37.6. Вычислите площадь плоской геометрической фигуры, ограниченной линиями:


Методические указания по выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:
Двойной интеграл используется для вычисления объёма цилиндрического тела и нахождения площади плоской геометрической фигуры.

Рассмотрим функцию , непрерывную и неотрицательную в некоторой замкнутой области
плоскости
. Тело, ограниченное сверху поверхностью
, снизу — замкнутой областью
, с боков — цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси
, а направляющей служит граница области
, называется цилиндрическим (цилиндроидом) (рис. 1).
Геометрический смысл двойного интеграла заключается в том, что величина двойного интеграла от неотрицательной функции равна объему цилиндрического тела: .
Рассмотрим пример вычисления объёма цилиндрического тела с помощью двойного интеграла.
Пример 1.
Найдите объём цилиндрического тела, изображённого на рисунке (рис.2), ограниченного сверху поверхностью , снизу — плоскостью
, с боков плоскостями
.
Решение:
Поскольку геометрически двойной интеграл от неотрицательной функции равен объёму цилиндрического тела, будем использовать формулу: .
В нашем случае . Область интегрирования
, что хорошо видно на рисунке, представляет собой фигуру на плоскости
, ограниченную прямыми
, т.е. является прямоугольной областью. Следовательно, для нахождения объёма данного цилиндрического тела надо вычислить двойной интеграл по прямоугольной области, т.е.

Будем использовать соответствующую формулу сведения двойного интеграла к повторному:

Таким образом, .
Вычислим полученный повторный интеграл:

В итоге . Следовательно,
.
Ответ: .
Пример 2.
Найдите объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью , снизу — областью
плоскости
, представляющей собой прямоугольный треугольник, образованный координатными осями и прямой
.
Решение:
В силу геометрического смысла двойного интеграла от неотрицательной функции, для нахождения объёма цилиндрического тела будем использовать формулу:
Вычислим двойной интеграл по области
. Для этого построим область интегрирования
в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости. Составим уравнение прямой
с угловым коэффициентом:
. Построим эту прямую по двум точкам:

Изображенная на рисунке область интегрирования (рис.З) является криволинейной областью. Поэтому для вычисления двойного интеграла используем соответствующую формулу сведения его к повторному интегралу:

В нашем случае .

Найдем как абсциссу точки пересечения прямой
с осью
, решив уравнение:
.
Получим , значит
. Следовательно,

Вычислим полученный повторный интеграл:

. В итоге,
. Следовательно,
.
Ответ: .
Рассмотрим в качестве в формуле
единичную функцию
. Тогда цилиндрическое тело «превратится» в прямой цилиндр с высотой, равной 1, и основанием —
. Объём такого цилиндра
численно совпадает с площадью
его основания
. Таким образом, площадь плоской фигуры
можно находить но формуле:

Геометрический смысл двойного интеграла от единичной функции заключается в том, что величина двойного интеграла от единичной функции по области равна площади плоской фигуры, представляющей собой область интегрирования
.
Рассмотрим пример вычисления площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла.
Пример 3.
Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями .

Решение:
Поскольку геометрически двойной интеграл от единичной функции по области равен площади плоской фигуры, представляющей собой область интегрирования
, будем использовать формулу:
.
В нашем случае областью интегрирования является фигура, ограниченная линиями
. Вычислим
.
Для этого построим область интегрирования в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости.
Линии, задаваемые уравнениями , — прямые, параллельные оси
и проходящие соответственно через точки (1 ;0), (2;0). Линия, задаваемая уравнением
— гипербола, «ветви» которой расположены в I и III координатных четвертях. Гиперболу
можно получить из гиперболы
с помощью растяжения последней вдоль оси ординат в два раза.
Описание линий, задающих область интегрирования , позволяет при ее построении ограничиться I координатной четвертью.
Изображенная на рисунке область интегрирования (рис.4) является криволинейной областью. Поэтому для вычисления двойного интеграла используем соответствующую формулу сведения его к повторному интегралу:

В нашем случае . Следовательно,
.
Вычислим полученный повторный интеграл:

В итоге, . Следовательно,
.
Ответ: .
На этой странице вы сможете посмотреть все остальные темы готовых контрольных работ по высшей математике:
Готовые контрольные работы по высшей математике
Обратите внимание на похожие контрольные работы возможно они вам будут полезны: