Оглавление:
Целы формирование умения вычислять односторонние пределы, находить точки разрыва функции и классифицировать их.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
11.1 . Выучите определения односторонних пределов функции в точке и проанализируйте, как они вычисляются.
11.2. Вычислите односторонние пределы функции в указанной точке:

11.3. Выучите определения непрерывной в точке и на отрезке функции, точки разрыва функции. Изучите классификацию точек разрыва функции. Выясните, какая техника позволяет находить и классифицировать точки разрыва функции.
11.4. Найдите точки разрыва и определите их род для функции, заданной графически:


11.5. Исследуйте функцию на непрерывность в указанных точках. Если точка является точкой разрыва функции, определите ее род:

11.6. Найдите и классифицируйте точки разрыва для функции:

11.7. Выясните, при каком значении параметра функция
будет непрерывной на всей области определения.
Методические указания по выполнению работы:
При решении задач на нахождение и классификацию точек разрыва функции одним из главных умений является умение вычислять односторонние пределы функции: левосторонний и правосторонний.
Если при нахождении предела функции выбирать значения переменной только слева от точки
, то такой предел называется левосторонним и обозначается
.
Если при нахождении предела функции выбирать значения переменной только справа от точки
, то такой предел называется правосторонним и обозначается
.
Функция имеет в точке единый предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют как правосторонний, гак и левосторонний пределы, и они равны.
Пример 1.
Вычислите односторонние пределы функции
в точке
.
Решение:
Для нахождения левостороннего предела функции в точке будем выбирать значения переменной, меньшие -2. Но при
наша функция задается формулой
. Таким образом, получим:
. При нахождении правостороннего предела функции в точке
будем выбирать значения переменной, большие -2. Но при
наша функция задается формулой
. Таким образом, получим:
.
Ответ: .
Функция называется непрерывной в точке
, если она определена в ней, существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т.е.
.
Функция называется непрерывной на промежутке
, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.
Все элементарные функции (основные элементарные и полученные из них путем выполнения конечного числа арифметических операций или составления сложных функций) непрерывны на области определения.
Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции.
Все точки разрыва функции подразделяются на точки разрыва первого и второго рода.
Точка разрыва называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке существуют конечные левосторонние и правосторонние пределы, т.е.
и
.
Если , то точка
называется точкой устранимого разрыва.
Точка разрыва называется точкой разрыва второго рода, если в этой точке хотя бы один (левосторонний или правосторонний) предел не существует или равен бесконечности.

Пример 2.
Найдите точки разрыва и определите их род для функции , заданной графически:
Решение:
Непрерывность функции нарушена в единственной точке
. Она будет точкой разрыва функции. Определим ее род. Для этого но графику найдем односторонние пределы функции в этой точке:
и . Они существуют и конечны. Следовательно, точка
является точкой разрыва I рода функции. Поскольку односторонние пределы не равны друг другу, точка
будет точкой устранимого разрыва.
Ответ: — точка разрыва функции I рода (точка устранимого разрыва).

Пример 3.
Найдите точки разрыва и определите их род для функции , заданной графически:
Решение:
Непрерывность функции нарушена в единственной точке
. Она будет точкой разрыва функции. Определим ее род. Для этого по графику найдем односторонние пределы функции в этой точке:
и
. Они существуют, и оба равны бесконечности. Следовательно, точка
является точкой разрыва II рода функции.
Ответ: — точка разрыва функции II рода.
Если функция задана аналитически, для нахождения и классификации ее точек разрыва удобно использовать следующую технику:
1) выясните, является ли функция элементарной (если да, то она непрерывна на своей области определения);
2) найдите область определения функции и исследуйте на разрыв точки, не принадлежащие ей (но находящиеся внутри области); если перед Вами — функция — скобка, обратите внимание на повторяющуюся в способе задания точку;
3) найдите односторонние пределы функции в каждой из таких точек и в зависимости от этого классифицируйте разрыв (если односторонние пределы существуют и конечны, в точке — разрыв I рода; если хотя бы один из этих пределов не существует или равен бесконечности, в точке — разрыв II рода).
Пример 4.
Найдите точки разрыва функции и определите их род.
Решение:
Функция является элементарной, следовательно, она непрерывна на области определения.
Найдем и
. Получили, что точки
и
являются точками разрыва функции. Для того, чтобы их классифицировать, найдем односторонние пределы функции в указанных точках.
Для точки , следовательно,
— точка разрыва II рода.
Для точки
. Следовательно,
— точка разрыва I рода. Поскольку левосторонний и правосторонний пределы функции в этой точке совпадают, то
— точка устранимого разрыва. Положив
при
, разрыв устранится, функция станет непрерывной.
Ответ: — точка разрыва функции II рода,
— точка разрыва функции I рода.
Пример 5.
Найдите точки разрыва функции и определите их род.
Решение:
Функция состоит из двух частей:
(при
) и
(при
). Функции
и
являются элементарными, непрерывными на множестве R.
Имеет ли функция разрыв? Она определена во всех точках отрезка [-1; 4]. Найдем односторонние пределы данной функции в точке
.
Левосторонний предел: .
Правосторонний предел: .
Поскольку левосторонний и правосторонний пределы функции конечны, то — точка разрыва I рода.
Ответ: — точка разрыва функции I рода.
На этой странице вы сможете посмотреть все остальные темы готовых контрольных работ по высшей математике:
Готовые контрольные работы по высшей математике
Обратите внимание на похожие контрольные работы возможно они вам будут полезны: