Задание: Действия над комплексными числами в показательной форме.
Цель: формирование умения выполнять операции над комплексными числами в показательной форме.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
53.1. Выучите, какой вид имеет показательная форма комплексного числа. Разберите, как выполнить умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня из комплексных чисел в показательной форме.
53.2. Закончите высказывания:
а) = … — показательная форма комплексного числа, где
— …,
— ….
б) заполните таблицу по технике действий над комплексными числами в показательной форме:

в) Корень -й степени из числа
имеет ровно … значений.
53.3. Заполните таблицу и постройте на одном чертеже векторы, соответствующие заданным комплексным числам:


53.4. Заданы числа . Выполните указанные действия над комплексными числами в показательной форме:


Символ , хотя и был предложен … (задание 52.4), вошел во всеобщее употребление благодаря другому великому математику. Именно он в 1831 году предложил используемое нами по сей день название таких чисел -“комплексные числа”. Слово «комплекс» (от латинского
) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений, образующих единое целое.
В начале XIX века было получено также геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин К. Вессель, француз Ж. Арган
и наш великий математик независимо друг от друга предложили изображать комплексное число точкой на координатной плоскости.
Выполнив задание 53.4 и заменив получившиеся ответы буквами из таблицы. Вы узнаете (или вспомните) фамилию этого великого математика.
Имя и фамилия математика, предложившего современное название комплексных чисел:

Карта ответов:

53.5. Решите систему линейных уравнений: где
и
можно получить, выполнив преобразования:
.
Методические указания по выполнению работы:
По формуле Эйлера .
Тогда — показательная форма комплексного числа, где
— модуль,
— аргумент комплексного числа.
Действия над комплексными числами в показательной форме (аналогичны действиям в тригонометрической форме).
Пусть . Над ними выполнимы следующие операции:
1. Умножение: (5). При умножении комплексных чисел в показательной форме их модули перемножаются, а аргументы складываются.
2. Деление: (6). При делении комплексных чисел в показательной форме их модули делятся, а аргументы вычитаются.
3. Возведение в степень: (7). При возведении в степень комплексного числа в показательной форме модуль числа нужно возвести в
-ю степень, а аргумент умножить на
.
4. Извлечение корня -й степени:
(8), где
принимает ровно
значений.
Рассмотрим на примерах операции над комплексными числами в показательной форме.
Пример 1.
Для комплексных чисел найдите:
Решение:
а) Согласно формуле (5) получим
б) Используя формулу (6), находим
в) Применяя формулу (7), находим .
г) Извлечем квадратный корень из по формуле (8):
, где параметр
будет принимать значения 0 и 1 (корней 2-й степени из числа существует ровно 2:
и
).
При .
При .
Ответ:
На этой странице вы сможете посмотреть все остальные темы готовых контрольных работ по высшей математике:
Готовые контрольные работы по высшей математике
Обратите внимание на похожие контрольные работы возможно они вам будут полезны: