Оглавление:
Задание: Нахождение неопределённых интегралов методом подстановки.
Цель: формирование умения находить неопределённые интегралы методом подстановки.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
23.1. Разберите, какие функции можно считать «некоторыми сложными функциям», какова техника нахождения интеграла от «некоторых сложных функций». Проанализируйте, в чём заключается сущность метода замены переменной в неопределённом интеграле (метода подстановки). Разберите алгоритм нахождения неопределённого интеграла методом подстановки. Ответьте на контрольные вопросы:
- Какие функции мы будем считать «некоторыми сложными»?
- Какова техника нахождения интегралов от «некоторых сложных функций»?
- В чём заключается сущность метода интегрирования подстановкой?
23.2. Найдите интегралы от «некоторых сложных функций»:

23.3. Найдите интегралы методом замены переменной (подстановки):

23.4. Найдите интегралы:

Методические указания no выполнению работы:
Некоторыми сложными функциями будем считать функции вида , где
и
любые действительные числа,
— функция, от которой существует табличный интеграл.
Так, — примеры некоторых сложных функций. В аргументе этих функций переменная х находится только в первой степени!
Для нахождения интеграла от некоторых сложных функций будем использовать формулу:
или применять следующий алгоритм.
- Проанализируйте, к какому табличному интегралу можно свести данный интеграл.
- Вместо
в табличный интеграл подставьте выражение
из исходного интеграла.
- В правую часть введите дополнительный множитель
, где
— коэффициент перед
.
Рассмотрим нахождение интеграла от некоторых сложных функций на примерах.
Пример 1.
Найдите .
Решение:
Видим, что под знаком интеграла стоит некоторая сложная функция. Воспользуемся табличным интегралом .
В нашем примере в качестве аргумента выступает угол . Выделим коэффициент
, стоящий перед
:
, следовательно, в правую часть мы должны ввести множитель
, то есть
. Тогда получим, что
.
Ответ: .
Пример 2.
Найдите .
Решение:
Под знаком интеграла стоит некоторая сложная функция. Воспользуемся табличным интегралом .
В примере в качестве аргумента выступает выражение . Выделим коэффициент
, стоящий перед
:
, следовательно, в правую часть вводим множитель (-1). Тогда получим, что
.
Ответ: .
Пример 3.
Найдите .
Решение:
Под знаком интеграла стоит некоторая сложная функция. Воспользуемся табличным интегралом .
В примере в качестве аргумента выступает выражение . Выделим коэффициент
, стоящий перед
:
, следовательно, в правую часть введём множитель 1:0,5=2. Тогда получим, что
.
Ответ: .
Пример 4.
Найдите .
Решение:
Под знаком интеграла стоит некоторая сложная функция. Воспользуемся табличным интегралом .
В примере в качестве аргумента выступает выражение . Выделим коэффициент
, стоящий перед
:
, следовательно, в правую часть введём множитель (-1/3). Тогда получим, что
.
Ответ: .
Сущность метода интегрирования подстановкой заключается в том, что путем введения новой переменной удаётся свести заданный интеграл к новому интегралу, который является табличным.
В основе метода подстановки лежит формула замены переменной в неопределенном интеграле: .
Для нахождения неопределенного интеграла методом подстановки (замены переменной) целесообразно использовать следующий алгоритм:
- Введите новую переменную
таким образом, чтобы под знаком интеграла стояла функция, содержащая
(от этой функции должен существовать табличный интеграл), и производная
.
- Найдите
по формуле:
.
- Выразите
через
(при этом помните, что если множитель в одной части формулы находился в числителе, то в другую часть он перейдет в знаменатель и наоборот: если множитель находился в знаменателе, то в другую часть он «перейдёт» в числитель).
- Подставьте
и
в исходный интеграл. Если подстановка выполнена верно, то произойдет сокращение одинаковых множителей и интеграл сведется к табличному относительно переменной
:
.
- Пользуясь таблицей неопределённых интегралов, возьмите полученный интеграл с переменной
.
- Перейдите от переменной интегрирования
к исходной переменной
.
Рассмотрим применение метода подстановки на конкретных примерах.
Пример 5.
Найдите .
Решение:
1. Выполним подстановку с целью прийти к интегралу от функции
.
2. Найдем по формуле
.
3. Выразим из выражения пункта 2
.
4. Подставим и
в исходный интеграл:
. Видим, что переменную
можно сократить и прийти к интегралу относительно переменной
:
.
5. Для нахождения полученного интеграла константу вынесем за знак интеграла:
. По таблице неопределенных интегралов находим, что
.
6. Поскольку .
Ответ: .
Пример 6.
Найдите .
Решение:
1. Выполним подстановку . Тогда под знаком интеграла будет стоять функция от
и производная
.
2. Найдем по формуле
.
3. Выразим из выражения пункта 2
.
4. Подставим и
в исходный интеграл:
. Видим, что
можно сократить и прийти к интегралу относительно переменной
.
5. По таблице неопределенных интегралов находим, что .
6. Поскольку .
Ответ: .
На этой странице вы сможете посмотреть все остальные темы готовых контрольных работ по высшей математике:
Готовые контрольные работы по высшей математике
Обратите внимание на похожие контрольные работы возможно они вам будут полезны: