Электротехника — задачи с решением и примерами

Прежде чем изучать готовые решения задачи по электротехнике, нужно знать теорию, поэтому для вас я подготовила краткую теорию по предмету «теоретические основы электротехники», после которой подробно решены задачи.

Эта страница подготовлена для школьников и студентов.

Если что-то непонятно — вы всегда можете написать мне в WhatsApp и я вам помогу!

Теоретические основы электротехники

Теоретические основы электротехники (ТОЭ ) — техническая дисциплина, связанная с изучением теории электричества и электромагнетизма. ТОЭ подразделяется на две части — теорию электрических цепей и теорию поля. Изучение ТОЭ является обязательным во многих технических ВУЗах, поскольку на знании этой дисциплины строятся все последующие: электротехника, автоматика, энергетика, приборостроение, микроэлектроника, радиотехника и другие.

Электротехника – это наука, исследующая вопросы производства, передачи, распределения и использования электрической энергии.

Электрические цепи постоянного тока. Пассивные элементы электрической цепи

Величина сопротивления (рис. 1, а), измеряемая в омах, равна отношению напряжения на его зажимах , измеряемого в вольтах, к протекающему через сопротивление току измеряемому в амперах:

Поводимость — обратна сопротивлению и измеряется в сименсах.

Величина индуктивности (рис. 1, б), измеряемая в генри, определяется отношением потокосцепления самоиндукции протекающему через неё току :

Потокосцепление равно произведению магнитного потока , измеряемого в веберах, и числа витков катушки индуктивности .

Магнитный поток равен произведению магнитной индукции , измеряемой в теслах на сечение магнитопровода катушки индуктивности:

Взаимная индуктивность двух катушек индуктивностей и определяется отношением

где — потокосцепление катушки , обусловленное током второй катушки ; — потокосцепление катушки , обусловленное током первой катушки .

Гак же как и индуктивность , взаимная индуктивность измеряется в генри. Величина ёмкости (рис. 1, в) определяется отношением заряда , накопленного на этом элементе, к напряжению , приложенному к этому элементу:

Заряд измеряется в кулонах, емкость — в фарадах, напряжение — в вольтах.

Эквивалентные преобразования схем электрической цени с пассивными элементами

Последовательное соединение резисторов (рис. 2, а) равно сумме их сопротивлений (рис. 2, б):

Задача №1 с решением

Найти эквивалентное сопротивление электрической цепи (рис. 3), если

Решение:

При параллельном соединении двух резисторов и (рис. 4, а) их эквивалентное сопротивление(рис. 4, б)

При параллельном соединении трёх резисторов и (рис. 4, в) их эквивалентное сопротивление (рис. 4, г)

Задача №2 с решением

Найти эквивалентное сопротивление и электрической цепи (см. рис. 4, а и в), если

Решение: Для рис. 4, а

Для рис. 4, получим

Последовательное соединение катушек индуктивное гей и рассчитывается по формуле (7)

параллельное соединение для и рассчитывается по формуле (8)

параллельное соединение для и рассчитывается по формуле (9)

Параллельное соединение конденсаторов (рис. 5, а) даёт сумму их ёмкостей (рис. 5, б)

При последовательном соединении конденсаторов (рис. 6) эквивалентная ёмкость

Для эквивалентного преобразования схем с соединением сопротивлений в виде треугольника (рис. 7, а) и звезды (рис. 7. б) необходимо, чтобы проводимость между любой парой узлов 1, 2, 3 в «треугольнике» и «звезде» были одинаковы при любых сопротивлениях в преобразованной части цепи (в том числе и при сопротивлениях, равных бесконечности), т. е.

В левых частях уравнений (15) — (17) записаны проводимости между соответствующими узлами «треугольника» сопротивлений, а в правых частях -проводимости между соответствующими узлами «звезды» сопротивлений.

Считая известными сопротивления и сторон «треугольника», можно найти неизвестные сопротивления и «звезды» следующим образом: из равенства (15) почленно вычитают равенство (17) и прибавляют равенство (16). В результате

Аналогичным образом находят и

Обратное преобразование из «звезды» в «треугольник», считая известными сопротивления и , даёт следующие результаты:

Дополнительные задачи:

• Задача №3 с решением
• Задача №4 с решением

Эквивалентные преобразования схем электрической цепи с активными элементами

К активным элементам электрической цепи относят источник ЭДС (рис. 13) с внутренним сопротивлением и источник тока (рис. 14) с внутренней проводимостью . На рис. 13 и 14 — сопротивление нагрузки.

Для эквивалентной замены источников ЭДС и необходимо, чтобы ток и напряжение па выходе источников при заданной нагрузке остались без изменений.

Для источника ЭДС (см. рис. 13)

или

Для источника тока (см. рис. 14)

или

Из выражений (25) и (26) следует, что при замене источника ЭДС источником тока

и

Из выражений (24) и (27) следует, что при эквивалентной замене источника тока источником ЭДС

и

Задача №5 с решением

В электрической цепи (рис. 15) Произвести эквивалентные преобразования от источника ЭДС к источнику тока и обратно.

Решение: Перейдя от источников ЭДС к источникам тока, получим эквивалентную схему, приведенную на рис. 16, где

Источники тока и на рис. 16 образуют один эквивалентный источник тока (рис. 17), где

Перейдя от источника тока (см. рис. 17) к источнику ЭДС, получим схему цепи (рис. 18), эквивалентную исходной, где

Задача №6 с решением

Для цепи рис. 19 заданы параметры: Определить ток , применив метод преобразований.

Решение: Преобразуем источник тока в эквивалентный источник ЭДС (рис. 20, 21): . Тогда получим .

Чтобы дальше свернуть схему, источник ЭДС преобразуем в источник тока (рис. 22).

Окончательно получим (рис. 23):

Тогда ток

Дополнительные задачи:

• Задача №7 с решением
• Задача №8 с решением

Meтод уравнений Кирхгофа

Суть метода заключается в составлении системы уравнений по 1-му и 2-му законам Кирхгофа и решении этой системы относительно неизвестных токов.

Если сложная электрическая цепь имеет узлов и ветвей, а следовательно, и неизвестных токов, то необходимо составить и решить систему линейных независимых уравнений.

По 1-му закону Кирхгофа можно составить столько уравнений, сколько узлов имеет электрическая цепь, т. е. уравнений. Однако линейно независимыми будут только уравнений, т. е. на одно меньше, чем число узлов в электрической цепи.

Остальные линейно независимых уравнений составляются по 2-му закону Кирхгофа.

Таким образом, общее число уравнений, составленных по 1-му и 2-му законам Кирхгофа, будет равно числу ветвей цепи, а значит, и числу независимых токов.

Порядок расчета электрических цепей с помощью законов Кирхгофа следующий:

1. Определяется число узлов и число ветвей в цепи, и в соответствии с этим определяется количество уравнений, которые необходимо составить по 1-му и 2-му законам Кирхгофа.
2. Обозначаются на схеме цепи тока в ветвях и произвольно выбираются их направления. Выбираются независимые замкнутые контуры цепи таким образом, чтобы в каждый исследуемый контур входила одна новая ветвь. Произвольно задаются направления обхода контуров.
3. Составляется уравнений по 1-му закону Кирхгофа. При этом токи, входящие в узел, берутся со знаком «+», а выходящие из узла со знаком « ».
4. Составляется уравнений по 2-му закону Кирхгофа. При составлении этих уравнений величина ЭДС берёгся со знаком «+», если направление ЭДС совпадает с направлением обхода контура, и со знаком «-». если не совпадает. Падения напряжений на сопротивлениях в замкнутых контурах берутся со знаком «+», если направление обхода контура совпадает с выбранным направлением токов в ветвях, и со знаком «-», если не совпадает.
5. Производится расчёт составленной системы уравнении относительно неизвестных токов. Если при этом некоторые токи получаются отрицательными, то это означает, что их действительные направления противоположны произвольно выбранным направлениям.

Задача №9 с решением

В электрической цепи (рис. 31) Определить токи в ветвях цепи с помощью законов Кирхгофа.

Решение: В заданной электрической цепи два узла и два независимых контура. Следовательно, по 1-му закону Кирхгофа составляется одно уравнение, а по второму два.

Для узла

Для контуров:

После подстановки цифровых данных система уравнений имеет следующий вид:

Решение: этой даст токи ветвей: Для проверки правильности решения задачи составляется уравнение баланса мощностей:

При подстановке численных данных получается, что т. е. мощности источника и нагрузки практически совпадают. Значит, токи в ветвях цепи рассчитаны правильно.

Дополнительные задачи:

• Задача №10 с решением
• Задача №11 с решением

Метод контурных токов

Расчёт сложных электрических цепей методом контурных токов сводится к решению системы уравнений, составленных только но 2-му закону Кирхгофа. Причём число уравнений в системе равно числу независимых контуров в электрической цепи.

В общем случае для электрической цепи, содержащей независимых контурных уравнении, система контурных уравнений имеет вид

где — собственные сопротивления 1, 2, …, -го контуров; и т. д. — взаимные сопротивления между контурами 1 и 2, 2 и 3 и т. д.; — контурные токи; — контурные ЭДС I, II, …, -го контуров.

Взаимные сопротивления между контурами имеют положительные значения, если контурные токи, протекающие через них, имеют одинаковые направления, и отрицательны, если направления контурных токов через взаимные сопротивления встречны.

Контурные токи по абсолютной величине равны токам в ветвях, по которым протекает только один из контурных токов. Если по ветви протекают два контурных тока одного направления, то ток в этой ветви равен сумме контурных токов. Если контурные токи в ветви встречны, то ток в ветви равен разности контурных токов (по абсолютной величине).

Собственное сопротивление контура — это сумма всех сопротивлений, входящих в данный контур.

Контурная ЭДС — это алгебраическая сумма всех ЭДС контура.

Расчёт электрических цепей методом контурных токов производится в следующем порядке:

1. Определяется число независимых контуров в электрической цепи и произвольно задаются направления контурных токов.
2. Вычисляются собственные и взаимные сопротивления контуров, а также контурные ЭДС.
3. Составляется система управлений для контурных токов в соответствии со 2-м законом Кирхгофа, причем число уравнений должно быть равно числу независимых контуров схемы.
4. Осуществляется решение системы уравнений (например, путём подстановки или с помощью определителей) с целью получения контурных токов.
5. Определяются токи в ветвях.

Примечание. Вели по условию задачи часть источников энергии задана в виде источников тока, то перед началом расчёта их следует преобразовать в эквивалентные источники ЭДС.

Задача №12 с решением

В электрической цепи (рис. 34) методом контурных токов определить токи в ветвях, если

Решение: В электрической цепи три независимых контура. Произвольно выбраны направления контурных токов и токи в ветвях. Система из трех контурных уравнений имеет вид

Собственные сопротивления:

Взаимные сопротивления:

Собственные ЭДС контуров:

Тогда система контурных уравнений примет вид

Контурные токи через определители равны:

Определители:

Контурные токи:

Токи в ветвях:

Проверим правильность решения с помощью уравнения баланса мощностей.

Мощность источников ЭДС, отдаваемая в электрическую цепь:

Мощность, потребляемая нагрузкой:

Мощности и практически совпадают, значит, токи в ветвях рассчитаны правильно.

Дополнительные задачи:

• Задача №13 с решением
• Задача №14 с решением
• Задача №15 с решением

Метод наложения

Метод наложения позволяет определять токи в ветвях электрической цепи непосредственно по закону Ома без составления и решения системы уравнений. Метод основан на принципе наложения (или суперпозиции), который утверждает, что ток в любой ветви линейной электрической цепи, содержащей несколько источников ЭДС, можно рассматривать как алгебраическую сумму частичных токов, создаваемых в этой ветви действием каждой ЭДС в отдельности.

Таким образом, по методу наложения вначале находят частичные токи в ветвях электрической цепи от действия каждого источника ЭДС в отдельности, принимая остальные ЭДС равными нулю (т. е. заменив их короткозамкнутой перемычкой) и оставляя в схеме только сопротивления и внутренние сопротивления источников ЭДС, а затем находят токи в ве1вях как алгебраические суммы частичных токов.

Задача №16 с решением

Определись токи в ветвях электрической цепи (рис. 38, а) методом наложения, если

Решение: 1. Приняв получим схему, приведенную на рис. 38, б. Частичные токи в этой схеме, создаваемые источником ЭДС :

• Приняв получим схему, приведённую на рис. 38. в. Частичные токи в этой схеме, создаваемые источником ЭДС :

В ветви с резистором токи и направлены встречно и , поэтому

В ветви с резистором ток

В ветви с резистором ток

Дополнительные задачи:

• Задача №17 с решением
• Задача №18 с решением
• Задача №19 с решением

Метод узловых потенциалов

Расчёт электрических цепей методом узловых потенциалов, или узловых напряжений, сводится к решению системы уравнений, составленных только по 1-му закону Кирхгофа. Из этих уравнений вначале определяют потенциалы (напряжения) в узлах схемы электрической цепи относительно некоторого базисного узла, потенциал которого принимают равным нулю, а затем токи в ветвях, соединяющих узлы, находят по закону Ома.

Таким образом, при расчёте электрических цепей методом узловых потенциалов целесообразно придерживаться следующего порядка:

1. Принять потенциал одного из узлов равным нулю. т. е. заземлить один из узлов, а остальные узлы пронумеровать. Произвольно выбрать направления токов в ветвях.
2. Используя 1-й закон Кирхгофа, составить систему уравнений для не-заземлённых узлов.
3. Вычислить узловые токи в пронумерованных узлах алгебраически, суммируя токи источников, подсоединённых к этим узлам.
4. Определить собственные и взаимные проводимости узлов. Причём взаимные проводимости в данном методе всегда отрицательные.
5. Подставить полученные в пп. 3 и 4 узловые токи и проводимости в систему уравнений узловых потенциалов (напряжений) и решить её относительно узловых потенциалов.
6. Найти токи в ветвях по закону Ома.

Задача №20 с решением

Определить токи в ветвях электрической цепи (рис. 49), если

Решение: Пусть потенциал узла 3 равен нулю. Тогда система узловых уравнений для определения потенциалов узлов имеет вид

Собственные и взаимные проводимости узлов 1 и 2:

Узловые токи:

Тогда система узловых уравнений в числах имеет вид:

В результате решения этой системы потенциалы узлов 1 и 2 равны

По закону Ома определяем токи в ветвях:

Примечание. Знак «-» у токов и означает, что истинные направления этих токов в схеме противоположны произвольно выбранным.

Дополнительные задачи:

• Задача №21 с решением
• Задача №22 с решением
• Задача №23 с решением

Метод эквивалентного генератора

Метод эквивалентного генератора применяется, как правило, для расчета тока в одной из ветвей электрической цепи. Метод основан на теореме об эквивалентном генераторе напряжения, которая утверждает, что ток в любой ветви аб (рис. 53) линейной электрической цепи не изменится, если остальную часть цепи заменить эквивалентным источником напряжения (рис. 54), ЭДС которого равна напряжению на зажимах разомкнутой ветви а и б, а внутреннее сопротивление равно сопротивлению между точками а и б при условии, что источники ЭДС и тока заменены их внутренними сопротивлениями.

При расчёте электрических цепей методом эквивалентного генератора целесообразно придерживаться следующего алгоритма:

1. Произвести разрыв ветви, ток в которой требуется определить.
2. Определить сопротивление между точками разрыва, заменив источники электрической энергии короткозамкнутой перемычкой (для источника ЭДС) и разрывом (для источника тока).
3. Определить напряжение между точками разрыва ветви.
4. Определить ток в ветви по формулам в соответствии с точками разрыва (рис. 55):

1) разрыв в точках а и б:

2) разрыв в точках а и в:

3) разрыв в точках а и г:

4) разрыв в точках в и г:

Задача №24 с решением

В схеме электрической цепи, приведенной на рис. 56, найти ток методом эквивалентного генератора, если

Решение: Разорвём ветвь схемы электрической цепи в точках а и б. Ток

Сопротивление между точками разрыва

Напряжение между точками разрыва

но

тогда

Таким образом, ток

Дополнительные задачи:

• Задача №25 с решением
• Задача №26 с решением
• Задача №27 с решением
• Задача №28 с решением

Электрические цени синусоидальною тока. Представление синусоидальною тока с помощью комплексных чисел

Синусоидальный ток может быть представлен либо как проекции вращающегося против часовой стрелки вектора (рис. 148) на вертикальную и горизонтальную оси, причем проекция вектора тока на вертикальную ось в любой момент времени равна мгновенному значению тока , изменяющегося по синусоидальному закону, а проекция вектора тока на горизонтальную ось — по косинусоидальному, либо как комплексное число на комплексной плоскости (рис. 149) точкой с радиусом-вектором в трех формах: алгебраической, показательной и тригонометрической:

где — модуль комплексного числа; — вещественная часть комплексного числа; — мнимая часть комплексного числа; — аргумент комплексного числа.

Если , т. е. если аргумент комплексного числа является линейной функцией времени, то комплексную функцию можно записать в виде

где аналогично представлению синусоидальною тока вращающимися векторами мнимая часть представляет собой функцию, изменяющуюся по закону синуса, а вещественная по закону косинуса, т. е.

Таким образом, комплексный мгновенный синусоидальный ток

В последнем выражении — есть комплексная амплитуда, а функция — оператор вращения, значения которого приведены в табл. 1

Если обе части уравнения разделить на , то получим

или

где — комплексный действующий синусоидальный ток, или комплексный ток.

Задача №29 с решением

По известному комплексному току записать выражение для его мгновенного значения. Решение:

Находим

Таким образом

Задача №30 с решением

Найти комплексную амплитуду и комплексный ток, если его мгновенное значение равно

Решение:

Задача №31 с решением

Преобразовать комплексные числа из алгебраической формы в показательную:

Задача №32 с решением

Преобразовать комплексные числа из показательной формы в алгебраическую:

Решение:

Последовательное соединение комплексных сопротивлений

В цепи с последовательным соединением комплексных сопротивлений (рис. 150) на основании второго закона Кирхгофа:

где

Причем равно арифметической сумме активных сопротивлений цепи, a — алгебраической, т. к. реактивное сопротивление емкости отрицательно.

Задача №33 с решением

В электрической цепи (рис. 151) с последовательным соединением элементов определить ток , напряжение на элементах и мощность, если

Решение: Полное комплексное сопротивление цепи:

Комплекс действующего тока:

Напряжения на элементах цепи:

Мощность:

Таким образом, полная мощность активная реактивная

Параллельное соединение комплексных сопротивлений

В цепи с параллельным соединением комплексных сопротивлений (рис. 152) на основании первого закона Кирхгофа

где

Причем активная проводимость равна арифметической сумме активных проводимостей цепи, а реактивная проводимость — алгебраической сумме реактивных приводимостей.

Задача №34 с решением

В электрической цепи (рис. 153) определить токи и полную мощность, потребляемую схемой, если

Решение: Определим комплексные сопротивления ветвей

Рассчитаем токи ветвей:

Полная мощность:

где активная мощность реактивная

Смешанное соединение комплексных сопротивлении

Порядок расчета целей синусоидального тока со смешанным соединением комплексных сопротивлений (рис. 154) следующий.

Комплексное эквивалентное сопротивление всей цепи

где

Комплексный ток в неразветвленной части цепи

Комплексное напряжение на параллельном участке цепи

Комплексные токи в параллельных ветвях

Задача №35 с решением

Методом преобразования найти мгновенные значения токов в ветвях схемы (рис. 155), если

Решение: Ответ будем искать в виде где

Определим комплексное входное сопротивление цепи

Тогда входной ток будет

а токи ветвей соответственно

Мгновенные значения токов ветвей примут вид

Дополнительные задачи:

• Задача №36 с решением
• Задача №37 с решением
• Задача №38 с решением
• Задача №39 с решением
• Задача №40 с решением
• Задача №41 с решением
• Задача №42 с решением

Цепи с индуктивной связью

У двух индуктивно связанных катушек (рис. 163) в первой катушке наводится ЭДС самоиндукции , а во второй — ЭДС взаимной индукции где — взаимная индуктивность, измеряемая в генри.

Взаимная индуктивность равна отношению потокосцеплсния к току: где — потокосцепление первой катушки индуктивности, обусловленное током во второй катушке; — потокосцепление второй катушки, обусловленное током в первой катушке.

Если соединить между собой зажимы второй катушки, то в ней будет наводиться ЭДС самоиндукции а в первой катушке — ЭДС взаимной индукции .

Степень связи второй катушки с первой:

а степень связи первой катушки со второй:

Среднее геометрическое степеней связи есть коэффициент связи:

При согласном включении катушек результирующая ЭДС, наводимая в катушках, равна сумме их ЭДС самоиндукции и взаимной индукции:

При встречном включении

При последовательном соединении двух индуктивно связанных катушек (рис. 164) на основании второго закона Кирхгофа или в комплексной форме

где

т. е. при согласном включении катушек их эквивалентная индуктивность при встречном —

При параллельном соединении двух индуктивно связанных катушек (рис. 165) на основании второго закона Кирхгофа для каждой из параллельных ветвей система уравнений имеет вид

Задача №43 с решением

Две индуктивно связанные катушки соединены последовательно (рис. 166). Определить токи в этой цепи при согласном и встречном включении катушек, если

Решение: Эквивалентное сопротивление катушек при согласном включении:

Ток в цепи при согласном включении катушек:

Эквивалентное сопротивление катушек при встречном включении:

Ток в цепи при встречном включении катушек:

Вывод: ток при встречном включении катуигек больше, чем при согласном.

Задача №44 с решением

Две индуктивно связанные катушки (рис. 167) включены параллельно.

При согласном включении катушек определить токи если

Решение: Система уравнении

Из системы токи и :

Ток в неразветвленной части цепи:

Колебательные контуры. Расчет параметров и частотных характеристик последовательною контура

Частотные свойства контура (рис. 168) характеризуют:

1) комплексное входное сопротивление

2) комплексная входная проводимость

3) комплексный коэффициент передачи по напряжению на активном сопротивлении

4) комплексный коэффициент передачи по напряжению на емкости

5) комплексный коэффициент передачи по напряжению на индуктивности

Комплексная входная проходимость

где — есть фактор расстройки; — добротность контура, тогда откуда амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) фазовая характеристика (ФЧХ) нормированная АЧХ

Полоса пропускания контура диапазон частот, в пределах которого нормированная АЧХ (или резонансная кривая) превышает уровень максимальною значения.

Граничные значения и фактора расстройки можно получить из выражения: откуда или тогда где а полоса контура , резонансная частота и относительная полоса пропускания контура есть отношение или .

Вторичные параметры контура: резонансная частота или волновое (характеристическое) сопротивление контура добротность контура где — внутреннее сопротивление контура; — затухание контура.

Задача №45 с решением

Для последовательного колебательного контура (рис. 169) определить вторичные параметры, если Построить АЧХ и ФЧХ контура по напряжению на активном сопротивлении.

Решение: Резонансная частота контура

Волновое сопротивление контура

Добротность и затухание контура

Полоса пропускания контура

Комплексная передаточная функция по напряжению на активном сопротивлении

Откуда аналитическое выражение для АЧХ

Нормированное АЧХ

ФЧХ

В табл. 2 приведены рассчитанные значения для и

Графики АЧХ и ФЧХ приведены на рис. 170.

Расчет параметров и частотных характеристик параллельного колебательного контура

Вторичные параметры простого параллельного колебательного контура (рис. 171):

1) резервная частота высокодобротного контура

2) характеристическое сопротивление

3) входная проводимость контура

при

4) активная проводимость контура на резонансной частоте

где

5) резонансное сопротивление контура

6) добротность контура

7) затухание

8) внутреннее сопротивление подключенного к контуру (рис. 172) источника (сопротивление шунта) ухудшает добротность контура, т. к. ухудшенная добротность

Частотные характеристики простого параллельного колебательного контура:

1) входное сопротивление

или

2) амплитудно-частотная характеристика

3) нормированная АЧХ

4) фазочастотная характеристика

5) комплексная передаточная функция по току в индуктивной ветви

АЧХ;

6) комплексная передаточная функция по току в емкостной ветви

АЧХ:

Задача №47 с решением

У параллельного колебательного контура (рис. 173)

Определить добротность, полосу пропускания изобразить качественно резонансные кривые для двух случаев: без учёта шунтирующею действия источника энергии; с учётом шунтирующего действия источника энергии; определить мощность контура при резонансе.

Решение: I. Без учёта шунтирующего действия источника энергии добротность

тогда

Полоса пропускания контура

С учетом шунтирующего действия источника энергии

полоса пропускания

Мощность контура при резонансе

Резонансные кривые приведены на рис. 174.

Вывод: шунтирование источником энергии контура увеличивает полосу его пропускания, а значит, ухудшает качество контура.

Классический (временной) метод анализа переходных процессов в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Переходные процессы в цепях первого порядка с источником постоянного напряжения. Свободные токи и напряжения в цепях первого порядка

Определение начальных условий

Задача №48 с решением

В схеме на рис. 1 происходит размыкание ключа. Параметры схемы: Необходимо определить напряжение , возникающее на сопротивлении в момент размыкания ключа.

Решение: В задаче необходимо определить зависимые начальные условия . Для решения задачи сначала определим независимые начальные условия, к которым в задаче относится ток в индуктивности. До коммутации ток в индуктивности

В соответствии с законом коммутации ток в индуктивности не может изменяться мгновенно:

В результате коммутации образовалась одноконтурная цепь, состоящая из индуктивности и сопротивлений и . Ток во всех элементах цепи равен

Следовательно, искомое напряжение

Численный результат решения задачи показывает важность изучения процессов в электрических цепях в переходных режимах. Представим, что вместо сопротивления в рассматриваемой цепи включён вольтметр с высоким входным сопротивлением. В момент размыкания ключа на зажимах вольтметра возникает большое напряжение, которое может привести к аварийной ситуации, если не принять мер по защите оборудования.

Задача №49 с решением

На рис. 2 происходит замыкание ключа. Параметры схемы:

Составить эквивалентную схему замещения цепи для момента времени для расчёта зависимых начальных условий.

Решение: Рассчитаем цепь до коммутации с целью определения независимых начальных условий:

Комплексная амплитуда тока в цепи до коммутации равна

Комплексная амплитуда напряжения на ёмкости в цепи до коммутации равна

По найденным комплексным амплитудам тока в индуктивности и напряжения на ёмкости запишем соответствующие мгновенные значения:

Полагая в последних выражениях определим независимые начальные условия:

С учетом законов коммутации:

Напряжение источника ЭДС в момент коммутации было равным 0:

Следовательно, источник ЭДС на эквивалентной схеме заменим его внутренним сопротивлением, которое равно 0, т. е. перемычкой. Для эквивалентной замены реактивных элементов в момент воспользуемся табл. 1, следующей из законов коммутации. Из таблицы следует, что в момент при нулевых начальных условиях индуктивность может быть заменена источником тока , а ёмкость — источником ЭДС с напряжением .

Так как и при расчёте получились отрицательными, на
эквивалентной схеме полярность на включении можно заменить на противоположную, заменив минус в числителях на плюс.

С умётом изложенного эквивалентная схема рассматриваемой цепи, справедливая для момента времени , будет иметь вид (рис. 3).

По полученной схсмс можно рассчитать требуемые зависимые начальные условия, используя любые методы расчёта электрических цепей.

Переходный процесс в линейных электрических цепях (ЛЭЦ) первого порядка с сосредоточенными параметрами (рис. 4) описывается линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка с постоянными коэффициентами:

Решение этого уравнения записывается в виде

Здесь — свободная составляющая, в которой — постоянная интегрирования, определяемая законами коммутации и начальными условиями в цепи, — корень характеристического уравнения — принужденная составляющая, т. е. ток или напряжение установившегося после окончания переходного процесса режима при :

Свободные процессы в rC-цепи

Задача №50 с решением

В схеме на рис. 5 происходит замыкание ключа. Параметры схемы: . Найти и построить зависимости и .

Решение: До коммутации (рис. 5) ёмкость заряжена до напряжения . После замыкания ключа ёмкость начинает разряжаться через сопротивление и в цепи возникает переходный процесс. В соответствии со вторым законом Кирхгофа для цепи после коммутации можно записать Так как то получаем линейное однородное дифференциальное уравнение

общее решение которого ищем в виде

Для нахождения корня составим характеристическое уравнение: откуда , где постоянная времени цепи после коммутации .

Постоянная интегрирования определяется из начальных условий и закона коммутации:

Так как а то откуда . Тогда

При

График приведен на рис. 6.

Ток

При

График приведен на рис. 7.

Задача №51 с решением

На рис. 8 происходит замыкание ключа. Параметры схемы:

Найти и классическим методом и построить графики.

Решение: После коммутации Так как и то Решение этого уравнения:

Из характеристического уравнение следует

где

Постоянную интегрирования найдём из начальных условий и закона коммутации:

Так как то

Тогда а

При График приведен на рис. 9.

При

График приведен на рис. 10.

Переходные процессы в цепях первого порядка

Задача №52 с решением

На рис. 11 происходит замыкание ключа. Параметры схемы: . Найти и временным методом и построить графики.

Решение: Согласно второму закону Кирхгофа в цепи после коммутации

Решение будем искать в виде

Принуждённая составляющая в цепи после коммутации в установившемся режиме Свободная составляющая

Их характеристического уравнения найдем

где

Постоянную интегрирования найдем из начальных условий и закона коммутации:

откуда

Окончательно

На графике (рис. 12.)

На графике (рис. 13)

Задача №53 с решением

На рис. 14 происходит размыкание ключа. Параметры схемы: . Найти временным методом и построить графики.

Решение: В цепи после коммутации по второму закону Кирхгофа

или

Решение последнего уравнения ищем в виде

Из схемы (см. рис. 14) следует, что принужденная составляющая Свободная составляющая имеет вид

Корень характеристического уровня равен а

Постоянную интегрирования найдём исходя из начальных условий и закона коммутации

Если

получаем

Тогда

откуда

Окончательно

На графике (рис. 15)

Ток

На графике (рис. 16)

Задача №54 с решением

На рис. 17 определить напряжение на конденсаторе если

Решение: Определим независимое начальное условие — напряжение на конденсаторе до коммутации. Ключ разомкнут и конденсатор разряжен, поэтому

ля составления характеристического уравнения запишем систему интегродифференциальных уравнений по законам Кирхгофа. Направления обхода контуров указаны на схеме рис. 17.

где

Решив систему уравнений относительно одной переменной, например , получим

Тогда характеристическое уравнение

имеет один корень поэтому свободная составляющая будет

Искомое напряжение запишется в виде двух составляющих

В установившемся режиме

Искомая величина

При

По закону коммутации независимое начальное условие — напряжение на емкости

Следовательно, постоянная интегрирования Записываем искомую величину:

Построим ее график (рис. 18).

Переходные процессы в цепях первого порядка без составления дифференциального уравнения

Задача №55 с решением

На рис. 19 происходит замыкание ключа. Параметры схемы: Необходимо определить переходный процесс по напряжению на участке цепи.

Решение: Рассчитаем переходный процесс как сумму принуждённой и свободной составляющих:

К независимым начальным условиям относится напряжение на ёмкости в момент коммутации. Если не оговорено значение , то примем его равным 0: . Но истечении достаточно большого времени после замыкания ключа ёмкость зарядится до напряжения источника ЭДС и зарядный ток станет равным 0. Следовательно, напряжение на сопротивлении будет равным 0 и принуждённое напряжение на зажимах

Так как цепь содержит только один реактивный элемент цепи, то характеристическое уравнение цепи будет иметь один корень и свободная составляющая искомых переходных процессов будет иметь вид

Из характеристического уравнения цепи находим значение корня:

Тогда Подставим найденные принужденную и свободную составляющие в искомое решение:

Для нахождения постоянной интегрирования рассмотрим решение при Для вычисления необходимо знать , т. е. зависимые начальные условия, которые легко определить по эквивалент ной схеме цени, изображённой на рис. 20 для момента (см. пример 2).

Подставив найденное значение определим постоянную интегрирования: тогда

С учетом найденного значения закон изменения напряжения на замах после коммутации запишем в виде

График приведен на рис. 21.

Длительность переходного процесса:

Задача №56 с решением

Па рис. 22 происходит замыкание ключа. Параметры схемы: Найти без составления дифференциального уравнения.

Решение: После коммутации напряжение на емкости в установившемся режиме

• Свободную составляющую найдем, используя закон коммутации и начальные условия:

а

откуда

Тогда

где

График приведен на рис. 23.

Переходные процессы при скачкообразном изменении схемы цепи

Задача №57 с решением

На рис. 24 происходит замыкание ключа. Параметры схемы: . Найти ток классическим методом и построить график.

Решение: После коммутации ток в цепи будет проходить через коротко-замкнутую перемычку минуя сопротивление . По второму закину Кирхгофа в цепи, изменившейся скачком, можем записать

или

Решение данного уравнения ищем в виде

где

Из закона коммутации или откуда тогда

График тока приведен на рис. 25.

Дополнительные задачи:

• Задача №58 с решением
• Задача №59 с решением
• Задача №60 с решением
• Задача №61 с решением
• Задача №62 с решением

Переходные процессы в цепях первою порядка с источником синусоидального напряжения

Задача №63 с решением

На рис. 35 происходит замыкание ключа. Параметры схемы: Найти классическим методом.

Решение: Напряжение на емкости будем искать в виде

Принужденную составляющую находим из уравнения

где

Тогда

а свободная составляющая имеет вид

где

Постоянную интегрирования находим из начального условия и закона коммутации: или откуда . Окончательно

Дополнительные задачи:

• Задача №64 с решением
• Задача №65 с решением

Переходные процессы в цепях второго порядка с источником постоянною напряжения

При подключении -цепи к источнику постоянного напряжения (рис. 41) дифференциальное уравнение переходного процесса следующее:

где

Решение этого уравнения ищем в виде

Так как при и то Для определения постоянных интегрирования при берем производную от выражения Из системы уравнений

найдем

Корни характеристического уравнения

Тогда окончательно

Переходный процесс зависит от вида корней и харакгеристического уравнения. Возможны три случая.

В первом случае корни вещественные, отрицательные и разные и при переходный процесс носит апериодический характер. Во втором случае при корни вещественные, отрицательные и равные и переходный процесс — критический апериодический. В третьем случае при корни комплексно-сопряжённые и характер переходного процесса в схеме после коммутации будет затухающим колебательным:

где

Задача №66 с решением

На рис. 42 происходит отключение источника. Параметры схемы: Найти классическим методом

Решение: Согласно второму закону Кирхгофа после коммутации в цени происходит только свободный процесс , а дифференциальное уравнение

решение которого будем искать в виде

Так как

и

• откуда то корни характеристического уравнения будут комплексно-сопряженными: где

Тогда напряжение

где

Задача №67 с решением

На рис. 43 происходит замыкание ключа. Параметры схемы: Найти классическим методом выражение для и .

Решение: Вычисляем и :

Так как меньше более чем на один порядок, то можно принять тогда

Максимальное значение наступает при

тогда

Переходные процессы в цепях второго порядка с источником синусоидального напряжения

При подключении к цепи второго порядка (рис. 44) источника синусоидального напряжения дифференциальное уравнение переходного режима будет следующим:

• При подключении контура высокой добротности или

Принужденную составляющую ищем в виде

где

Свободную составляющую ищем в виде

При

где

График в этом случае является изохронизмом (рис. 45).

Если то в цепи возникают биения (рис. 46).

Задача №68 с решением

В цепи рис. 47 происходит замыкание ключа. Параметры схемы

Найти временным методом.

Решение: Решение ищем в виде Принужденное напряжение

Тогда

а

Из закона коммутации свободное напряжение на конденсаторе равно

Окончательно имеем

Временные характеристики электрических цепей. Переходная и импульсная характеристики

Если на входе линейной электрической цепи (рис. 48) при нулевых начальных условиях — единичная функция воздействия то выходная величина — переходная характеристика, т. е. .

Физический смысл .

1. Если на входе цепи напряжение и на выходе также измеряется напряжение , то переходная характеристика — это коэффициент передачи цепи по напряжению , если же на выходе цепи измеряется ток , то в этом случае переходная характеристика есть проводимость
2. Если же на входе цепи ток и на выходе также измеряется ток , то переходная характеристика — это коэффициент передачи цепи по току если же па выходе измеряется напряжение то в этом случае переходная характеристика есть сопротивление
3. Если же на входе цепи (рис. 49) дельта-функция, т. е. , то на выходе импульсная характеристика: .

Так как -функция является первой производной от единичной функции, то между и существует следующая связь:

При нулевых начальных условиях

Для схемы рис. 50

Тогда переходные характеристики соответственно по напряжению на ёмкости, на сопротивлении и но току в цени:

а импульсные характеристики равны:

Задача №69 с решением

На рис. 51

Найти и по выходному напряжению цепи временным методом.

Решение: При подаче на вход цепи единичной функции включения выходное напряжение где

Принужденная составляющая

Постоянная интегрирования

т.к.

то

Тогда

а

Импульсная характеристика

Графики и представлены соответственно на рис. 52 и 53.

Задача №70 с решением

На рис. 54 На вход цепи действует единичная функция включения . Найти и временным методом

Решение: Значение переходной характеристики в момент подключения

т.к. поэтому

Так как то

Переходная характеристика

Импульсная характеристика

Графики и приведены на рис. 55 и 56 соответственно.

Интеграл Дюамеля

При определении реакции цепи на воздейсчвие произвольной формы используется принцип наложения: входное произвольное воздействие цепи представляют в виде суммы типовых воздействий (в частности, в виде единичных функций включения или дельта-функций), затем определяют отклик цепи на типовое воздействие и далее, суммируя отклики на типовые воздействия, получают отклик цепи на входное воздействие.

Например, отклик цепи па ступенчатое воздействие записывается в виде

Перейдя от суммы к интегралу, получим первую форму интеграла наложения или интеграла Дюамеля:

Все шесть форм интеграла Дюамеля приведены в прил. 1.

Если входное произвольное воздействие цепи представить в виде суммы такого типового воздействия, как дельта-функция или суммы коротких импульсов, то отклик будет равен интегралу от свертки входного сигнала и импульсной характеристики цепи:

Задача №71 с решением

На рис. 57 входное воздействие имеет вил, как показано на рис. 58, где Найти методом интегралов наложения и построить график.

Решение: Аналитическая запись входного воздействия

Переходная характеристика по выходному напряжению

где

откуда

В результате

Импульсная характеристика по выходному напряжению

Определим выходное напряжение , используя пятую форму интеграла Дюамеля (см. прил. 1): Реакция цепи (т. е. выходное напряжение) на интервале

Реакция цепи на интервале

Проверка решения. В точке на графике при и

Числовые значения и :

График зависимости приведен на рис. 59.

Задача №72 с решением

На вход цепи (рис. 60) с параметрами и подаётся линейно нарастающее напряжение (рис. 61) с углом .

Найти выходное напряжение с помощью интегралов Дюамеля и построить график.

Решение: Переходная характеристика -цепи имеет вид

Входное напряжение

где

Найдем напряжение , используя первую форму интеграла Дюамеля (см. прил. 1):

Поскольку

то

График напряжений приведен на рис. 62.

Дополнительные задачи:

• Задача №73 с решением
• Задача №74 с решением

Операторный метод анализа переходных процессов в линейных электрических цепях. Основные свойства и теоремы преобразований Лапласа

Суть операторного метода, основанного на преобразованиях Лапласа, заключается в том, что функции действительной переменной (т. е. временные) преобразуют в функции комплексной переменной (т. е. переносят на комплексную плоскость). При этом снижается на единицу степень дифференциального уравнения, описывающего переходный процесс в цепи, что упрощает решение задачи.

Облегчает решение задачи и обратный переход от переменной к с помощью таблиц преобразовании, которые созданы Лапласом для большого числа функций.

Переход от временной функции , которую называют оригиналом, к функции на комплексной плоскости , которую называют изображением , осуществляют с помощью прямою преобразования Лапласа:

Переход от функции комплексной переменной к функции действительной переменной осуществляют с помощью обратного преобразования Лапласа:

Свойства преобразований Лапласа приведены в прил. 2. Теоремы преобразований Лапласа приведены в прил. 3. Таблица преобразований Лапласа для некоторых функций приведена в прил. 4.

Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме

Для схемы на рис. 113 и ее эквивалентной операторной схемы (или схемы замещения) на рис. 114 можно записать соответственно ннтегродифференциальное уравнение:

и на основании свойства линейности преобразования Лапласа и теорем дифференцирования и интегрирования (см. прил. 2 и 3) операторное уравнение для изображений:

откуда закон Ома в операторной форме имеет вид , где — операторное сопротивление — приведенная операторная ЭДС.

Первый закон Кирхгофа в операторной форме

Второй закон Кирхгофа в операторной форме

где

или

здесь

Задача №75 с решением

В схеме на рис. 115 . Найти ток операторным методом и построить график.

Решение: Эквивалентная операторная схема приведена на рис. 116.

Ток в индуктивности по закону Ома в операторной форме

Оригинал тока по таблице изображений Лапласа (см. прил. 4)

где

Ток в индуктивности до коммутации

Тогда

График тока приведен на рис. 117.

Кстати готовые на продажу задачи тут, и там же теория из учебников может быть вам поможет она.

Дополнительные задачи:

• Задача №76 с решением
• Задача №77 с решением
• Задача №78 с решением
• Задача №79 с решением
• Задача №80 с решением
• Задача №81 с решением
• Задача №82 с решением

Связь операторных передаточных функций цепи с временными характеристиками

Для четырехполюсника рассматривают операторную передаточную функцию по напряжению , по току , операторное передаточное сопротивление и операторную передаточную проводимость . Для двухполюсника это операторное входное сопротивление и проводимость . При замене у комплексной передаточной функции переменной оператором получают операторную передаточную функцию:

Связь между операторной передаточной функцией и временными характеристиками и следует из уравнения (рис. 134.)

Так как изображение единичной функции включения (рис. 135), то для переходной характеристики . Если изображение дельта—функции (рис. 136), то импульсная характеристика имеет изображение , т.е. .

Задача №83 с решением

На рис. 137 . Найти операторную передаточную функцию по напряжению и временные характеристики и . Построить графики и .

Решение: Операторная передаточная функция по напряжению

где

Импульсная характеристика

Из преобразований Лапласа (см. прил. 4) следует, что

Переходная характеристика

Используя прил. 4, получим

Графики и представлены на рис. 138.

Теоретические основы электротехники с примерами решения задач и заданий

Теоретические основы электротехники (ТОЭ ) — техническая дисциплина, связанная с изучением теории электричества и электромагнетизма. ТОЭ подразделяется на две части — теорию электрических цепей и теорию поля. Изучение ТОЭ является обязательным во многих технических ВУЗах, поскольку на знании этой дисциплины строятся все последующие: электротехника, автоматика, энергетика, приборостроение, микроэлектроника, радиотехника и другие.

Основные явления электромагнитного поля

1. Основные явления электромагнитного поля, применяемые в теории электрических цепей
2. Проводники, диэлектрики и полупроводники
3. Электрические токи проводимости, переноса и смещения
4. Электродвижущая сила (ЭДС)

Основные понятия и законы магнитного поля

1. Магнитная индукция и напряженность магнитного поля
2. Понятие магнитного потока
3. Закон полного тока

Явление электромагнитной индукции

1. Закон электромагнитной индукции
2. Электродвижущая сила самоиндукции и коэффициент самоиндукции
3. Электродвижущая сила взаимной индукции. Взаимная индуктивность контуров. Принцип электромагнитной инерции.
4. Энергия магнитного поля катушки индуктивности, плотность энергии магнитного поля

Основные понятия и законы теории электрических цепей

1. Электрическая цепь и ее основные элементы
2. Пассивные идеальные элементы. Идеальный резистор. Идеальная катушка индуктивности. Идеальный конденсатор.

Задачи с решением

Задача №2.1.

Определить внешнюю индуктивность провода длиной (рисунок 2.3), при условии, что а среда — воздух. Магнитное потокосцепление, созданное током провода, учитывать через площадку с размером . Вычислить внешнюю индуктивность единицы длины провода.

Решение:

Магнитное поле провода длиной обладает осевой симметрией, т.е. все точки цилиндрической поверхности, ось которой совпадает с осью провода, равноудалены от источника поля и величина вектора напряженности магнитного поля одинакова, а направление вектора напряженности магнитного поля определим разбив весь провод на симметричные пары элементов и с током провода . Определяем приращение индукции магнитного поля от элементов и по закону Био — Савара — Лапласа (1.28):

Так как выбираем равным , а катет общий, то учитывая, что отрезок перпендикулярен проводу с током , , т.е. и величина .

Направления векторов и находим по правилу раскрытия векторного произведения. Т.е. направления векторов и совпадают. Аналогичные направления будут от приращения всех пар с током . Поскольку вектора и направлены перпендикулярно к плоскости, в которой лежит треугольник , то вектор магнитной индукции и вектор напряженности от всего провода будут всегда перпендикулярны к радиусу окружности с центром в точке 0. в соответствии с законом полного тока (1.25)

учитывая, что для всех точек окружности и ,

Рассчитаем магнитное потокосцепление провода. Введем ось переменной с началом в центре провода (рисунок 2.5).

На рисунке 2.5 представлен разрез провода и вектор индукции магнитного поля . Магнитное потокосцепление провода вычислим через площадку (рисунок 2.3), учитывая симметричный характер магнитного поля.

Вектор магнитной индукции для всех точек площадки (рисунок 2.3):

Внешняя индуктивность провода :

Индуктивность единицы длины провода :

Задача №2.2.

Рассчитать внешнюю индуктивность единицы длины двухпроводной воздушной линии с током , если (рисунок 2.6).

Решение:

В этом случае воспользуемся принципом наложения для линейных сред и рассчитаем магнитное поле линии как результат векторного суммирования магнитных полей, созданных каждым проводом в отдельности. Тогда в некоторой точке на оси индукция результирующего магнитного поля :

Здесь — индукция магнитного поля, созданного первым током , а , -индукция магнитного поля, созданного током второго провода. Величины

Направления векторов и совпадают, что позволяет перейти к алгебраическому суммированию векторов:

Рассчитаем поток вектора магнитной индукции через площадь прямоугольника (рисунок 2.6):

Индуктивность единицы длины линии :

Если , то . Т.е. индуктивность двухпроводной линии будет в два раза больше, чем одного провода. При уменьшении величины внешняя индуктивность двухпроводной линии уменьшается до нуля.

Задача №2.3.

Задана двухпроводная воздушная линия постоянного тока , в магнитном поле которой расположена катушка индуктивности (рисунок 2.7 а) прямоугольной формы со сторонами и и числом витков . Считая длину

линии намного больше расстояния между проводами, рассчитать коэффициент взаимной индукции между линией и катушкой, если катушка расположена в параллельной плоскости проводов на расстоянии .

Решение:

Воспользуемся принципом наложения для расчета магнитного потока, созданного двухпроводной линией и сцепленного с одним витком катушки.

Для расчета магнитного потокосцепления, созданного первым проводом с одним витком катушки, воспользуемся сечением на рисунке 2.7 6 и результатом расчета вектора магнитной напряженности одного провода с током (пример 2.1):

где — площадь одного витка катушки; — ток первого провода; — расстояние от оси первого провода до произвольной точки на поверхности витка (изменяется от до ); — угол между вектором и единичным вектором .

В процессе интегрирования угол изменяется от 90° в точке до величины в точке .

На рисунке 2.7 6 из точки восстановлена ось , совпадающая по направлению с шириной рамки . Вектора напряженности магнитного поля и индукции магнитного поля построены по направлению, совпадающему с направлением касательной к окружности (силовой линии) в точках поверхности витка.

Учитывая осевую симметрию поля (во всех точках площадки величина индукции одинакова), перейдем к одной переменной интегрирования так как , получим:

Расчет магнитного потокосцепления выполняем аналогично по рисунку 2.8. На рисунке 2.8. построены вектора магнитной индукции , напряженности магнитного поля , от второго проводника с учетом обратного направления тока (к нам):

где — площадь одного витка катушки; — ток второго провода; — расстояние от оси второго провода до произвольной точки на поверхности витка (изменяется от до ); — угол между вектором и единичным вектором .

С учетом осевой симметрии поля , перейдем к одной переменной интернирования так как , получим:

Магнитное потокосцепление всех витков :

Коэффициент магнитной индукции определяем из соотношения:

Полученная формула универсальна. Для любого нового расположения катушки при соблюдении параллельности сторон катушки результат вычисления в общем виде аналогичен.

Для данного примера:

Задача №2.4.

Рассчитать энергию, запасенную в магнитном поле катушки с кольцевым сердечником, предполагая это поле равномерным (рисунок 2.9), и коэффициент самоиндукции . Все величины заданы на рисунке в общем виде, как и .

Решение:

Воспользуемся формулой (1.42) для расчета энергии магнитного поля:

В соответствии с законом полного тока:

Учитывая равномерность поля в катушке:

что позволяет рассчитать напряженность магнитного поля:

Следовательно:

где

Индуктивность катушки можно определить для внешнего магнитного поля, воспользовавшись общим определением:

Подставив в последнюю формулу выражение , получим:

Задача №2.5.

Рассчитать индуктивность одножильного кабеля (рисунок 2.13) полагая, что внутренний провод является прямым, а наружный — обратным. Магнитным потоком в обратном проводе пренебречь ввиду малой толщины этого провода. Геометрические размеры и величину магнитной проницаемости материалов считать заданными в общем виде, где: — длина кабеля; — радиус жилы; — внутренний радиус оболочки.

Решение:

Расчет магнитного поля для заданного примера выполняем с учетом осевой симметрии поля по диапазонам значения (см. пример 2.1).

При значениях выбираем силовую магнитную линию. Так как все точки этой окружности равноудалены от источника поля, величина напряженности магнитного поля постоянна и в соответствии с законом полного тока:

где — расстояние от оси кабеля до точки, в которой определяется ; — площадь круга с радиусом .

Эта формула верна при постоянном токе . Рассчитаем магнитное потокосцепление внутри внутреннего провода (жилы) через площадку , где — длина кабеля. Магнитное потокосцепление через заштрихованную площадку :

а через всю площадь :

Магнитное поле обратного провода не учитывается в соответствии с законом полного тока.

Расчет магнитного потокосцепления в слое изоляции , т.е. через площадку (рисунок 2.11).

Напряженность магнитного поля в слое изоляции в соответствии с законом полного тока определяется как в примере 2.1:

Магнитное потокосцепление в слое изоляции:

Индуктивность кабеля:

Задача №2.6.

Рассчитать емкость плоского конденсатора в общем виде (рисунок 2.12), пренебрегая искажением поля у краев пластин и считая поле между пластинами однородным.

Решение:

Для случая можно считать при параллельном расположении пластин и идеальном диэлектрике, что в любой плоскости между пластинами и параллельной пластинам все точки одинаково расположены по отношению к заряженным пластинам и, следовательно, имеют равные потенциалы и характеристики и . Если воспользоваться теоремой Гаусса для параллелепипеда , учитывая, что поток вектора через грань равен нулю, из-за отсутствия поля вне объема конденсатора, поток вектора электрической индукции будет равен:

где — поверхностная плотность электрических зарядов пластины; — площадь поверхности электрода.

Так как величина заряда пластины не зависит от размера , следовательно, учитывая , приходим к выводу о равномерности поля для всех точек внутри конденсатора. Уменьшая размеры параллелепипеда до элементарного объема, можно получить равенство , или для любой точки на поверхности пластины.

По определению:

где — напряженность электрического поля, равная

Задача №2.7.

Получить формулу для емкости одножильного кабеля (рисунок 2.13) в общем виде. Размеры указаны на чертеже. — радиус внутреннего электрода (жилы), a — внутренний радиус второго электрода (оболочки). Диэлектрическая проницаемость диэлектрика — — длина кабеля.

Решение:

Рассмотрим сечение кабеля на рисунке 2.14. Внутренняя жила кабеля 1 подключена к положительному зажиму источника питания, а оболочка 2 подключена к отрицательному зажиму источника питания. В результате происходит зарядка жилы зарядом + и оболочки зарядом — .

Рассмотрим характер электростатического поля, созданного электродами. Выбираем произвольную точку в диэлектрике и соединим центральную точку с точкой а отрезком . Так, как свободные электрические заряды жилы и оболочки противоположного знака, то под действием сил притяжения они перемещаются на поверхность. Так как система проводников носит коаксиальный характер (соосный), то заряды располагаются по поверхности проводников равномерно с плотностью и .

Выбираем на поверхности жилы на расстоянии две одинаковые площадки и , симметрично расположенные относительно точки к. центры этих площадок — точки и Заряды на площадках и соответственно и , одинаковы: . Прямоугольные треугольники и равны друг другу, так как , а сторона общая, следовательно, .

Напряженность электрического поля в точке а, созданная зарядами и :

где

так как

Следовательно, , а вектор имеет только радиальную составляющую, совпадающую по направлению с отрезком .

Если окружность с радиусом разбить на симметричные пары участков, то все пары внесут в вектора напряженности электрического поля в точке а только радиальные составляющие.

Все точки окружности с радиусом , как и все точки цилиндрической поверхности, имеют одинаковую напряженность электрического поля в связи с одинаковым расположением относительно заряженных поверхностей. Такое поле называют осесимметричным. Так как вектор электрической индукции , то воспользуемся теоремой Гаусса для определения вектора напряженности электрического поля по потоку вектора через цилиндрическую поверхность единицы длины кабеля:

где — площадь поверхности цилиндра с радиусом ; — площадь поверхности жилы; — заряд жилы на единицу длины, — поверхностная плотность заряда.

Следовательно, , .

Разность потенциалов между жилой и оболочкой (точки 1, 2 рисунок 2.14):

Следовательно:

Задача №2.8.

Получить выражение для емкости единицы длины двухпроводной линии передачи электрической энергии длиной с цилиндрическими проводами (рисунок 2.15) без учета влияния земли. При этом следует считать, что радиус провода поперечного сечения проводов значительно меньше расстояния между ними и .

Решение:

Для воздушных линий электропередачи обычно и заряды распределяются равномерно по длине каждого провода и влиянием конечного размера длины можно пренебречь.

Результирующее электрическое поле можно рассчитать по принципу наложения двух электрических полей проводов (жил) заряженных линейными плотностями равных зарядов + и — по величине и противоположных по знаку. Напряженность электрического поля, созданного первым проводом, можно определить по формуле для жилы предыдущего примера 2.7:

а напряженность электрического поля, созданного вторым проводом:

Характер электрического поля каждого из проводов носит осимметричный характер и имеет только радиальную составляющую.

Напряженность результирующего электрического поля:

так как оба вектора направлены одинаково, можно перейти к скалярному уравнению:

На основании формулы (1.6) рассмотрим разность электрических потенциалов между проводами 1 и 2 вдоль линейного отрезка:

Для второго интеграла перейдем к новой переменной интегрирования , следовательно, и разность потенциалов определяется выражением:

Следовательно, искомая емкость:

Схемы замещения реальных электротехнических устройств

1. Схемы замещения реальных электротехнических устройств
2. Линейные и нелинейные идеальные пассивные элементы и электрические цепи
3. Электрические цепи с сосредоточенными и распределенными параметрами
4. Активные идеальные элементы
5. Основные топологические понятия схемы электрической цепи

Основные задачи теории электрических цепей

Задачи теории электрических цепей делят на две группы. К первой группе относят задачи анализа. Целью задач анализа является расчет электрических процессов в заданных электрических цепях: при заданной конфигурации электрической цепи и заданными величинами всех элементов цепи необходимо рассчитать величины токов в ветвях и падений напряжений на элементах.

Вторая группа задач — задачи синтеза, когда необходимо отыскать конфигурацию электрической цепи и характеристики элементов, при которых электрический процесс в цепи будет подчиняться заданному режиму, заданным величинам токов и напряжений, т.е. целью синтеза является обратная задача. В данном пособии решается первая группа задач.

При этом, линейные электрические цепи постоянного тока являются наиболее простыми для вывода основных методов расчета и доказательства теорем. При расчете линейных цепей синусоидального тока применимы в дальнейшем все методы расчета, формулы и теоремы, полученные для линейных цепей постоянного тока.

• Основные законы теории электрических цепей

Линейные электрические цепи постоянного тока с сосредоточенными параметрами. Основные положения и законы

1. Определение линейных электрических цепей постоянного тока и законы Кирхгофа
2. Закон Ома для ветви, содержащей ЭДС
3. Потенциальная диаграмма
4. Баланс мощностей

Метод эквивалентного преобразования электрических цепей

Сущность и цель преобразований

Цель преобразования электрических цепей состоит в упрощении схем путем эквивалентных преобразований, приводящих к уменьшению числа ветвей и узлов. Эквивалентные преобразования входят во все методы расчета в качестве первого шага в последовательностях расчета. Под эквивалентными преобразованиями мы будем понимать преобразования одной части схемы, при которых в остальной части величины токов и напряжений остаются неизменными, как и сама схема.

• Метод эквивалентного преобразования электрических цепей. Расчет цепи при последовательном соединении элементов и закон Ома для ветви, содержащей ЭДС. Расчет цепи при параллельном соединении элементов. Расчет цепи при смешанном соединении элементов.

Задачи с решением

Задача №3.4.

Рассчитать напряжение (рисунок 3.17), если величины элементов имеют значения:

Решение:

Выбираем направление обхода контура по часовой стрелке. По первому закону Кирхгофа можно составить уравнение для расчета тока :

По второму закону Кирхгофа можно составить уравнение и рассчитать :

Следовательно:

Эквивалентные преобразования резисторов, включенных в виде «треугольника» или трехлучевой «звезды»

• Эквивалентные преобразования резисторов, включенных в виде «треугольника» или трехлучевой «звезды»

Эквивалентные преобразования участков цепи с источниками энергии

• Эквивалентные преобразования участков цепи с источниками энергии

Метод непосредственного применения законов Кирхгофа

• Метод непосредственного применения законов Кирхгофа

Матричная форма уравнений по методу непосредственного применения законов Кирхгофа (МНЗ)

• Матричная форма уравнений по методу непосредственного применения законов Кирхгофа (МНЗ)

Примеры расчета по методу непосредственного применения законов Кирхгофа

Задача №3.7.

Рассчитать токи и методом непосредственного применения законов Кирхгофа, если:

Решение:

Первый этап. Выбираем направления токов в ветвях схемы и упрощаем электрическую цепь путем преобразования ветви с источником тока . Так как внутреннее сопротивление источника тока бесконечно,a конечное, последнее исчезает, а вместо одной ветви с источником тока можно зарисовать две ветви с источником тока (рисунок 3.42).

Применяем эквивалентное преобразование параллельных ветвей с источником тока, получаем упрощенную цепь (рисунок 3.43.), где .

В упрощенной схеме на две ветви и на два узла меньше, чем в предыдущей схеме. Число неизвестных токов три, а узлов — два.

Второй этап. По первому закону Кирхгофа составляем одно уравнение для первого узла:

Третий этап. По второму закону Кирхгофа составляем два недостающих уравнения для независимых контуров I и II.

Подставляем значения величин в уравнения (3.28) и (3.29), получаем:

Четвертый этап. Решаем полученную систему с помощью определителей:

Ток в схеме, изображенной на рисунке 3.41, находим по первому закону Кирхгофа для узла 4:

Ток находим по уравнению для узла 3.

Пятый этап. Проверим достоверность полученных результатов по выполнению баланса мощностей для заданной электрической цепи (рисунок 3.41):

Напряжение на зажимах источника тока можно вычислить по уравнению, составленному по второму закону Кирхгофа для контура III (рисунок 3.41):

Следовательно:

Подставляем полученные значения в уравнение 3.31:

Расчет выполнен верно.

Недостаток метода непосредственного применения законов Кирхгофа связан с необходимостью составления и решения большого количества уравнений, если не производить упрощения электрических цепей.

Задача №3.8.

Рассмотрим пример решения задачи, где необходимо рассчитать параметры источника энергии. Рассчитать токи и напряжения на всех участках электрической цепи и значение напряжения источника ЭДС для схемы на рисунке 3.44, если

Направление токов указано на схеме (рисунок 3.44).

Решение:

Схема достаточно проста, поэтому по второму этапу составим уравнение по первому закону Кирхгофа для второго узла. А по третьему этапу составим уравнения по второму закону Кирхгофа для первого и второго контуров:

для узла 2

для первого контура

для второго контура

Общее число неизвестных величин токов и ЭДС — четыре, поэтому систему уравнений (3.33) — (3.35) дополняем четвертым уравнением по закону Ома:

По четвертому этапу решаем уравнение (3.35) относительно тока , подставляя параметры элементов откуда:

Из уравнения (3.33) находим:

Величину ЭДС вычисляем из уравнения (3.34):

Для линейных электрических цепей наиболее часто применяется метод контурных токов и метод узловых потенциалов, которые основаны на различных вариантах решения уравнений, составленных по законам Кирхгофа.

Примеры расчёта методом контурных токов (MKT)

• Метод контурных токов (MKT)

Задача №3.10.

Для электрической цепи, схема которой изображена на рисунке 3.49 выполнить расчёт токов в ветвях электрической цепи, если параметры элементов имеют следующие значения:

Решение:

На первом этапе упростим электрическую схему, заменив источник тока на источник ЭДС:

На втором этапе выбираем положительные направления токов в ветвях схемы и независимые контуры с неизвестными контурными токами и их положительными направлениями.

Так как независимых контуров три, схема будет содержать три неизвестных контурных тока .

На третьем этапе составляем стандартную систему из трёх уравнений:

Для данной схемы:

Решаем систему (3.65) с помощью определителей:

На четвёртом этапе вычисляем токи ветвей:

Ток , исходной схемы рисунка 3.49 вычисляем для узла :

На пятом этапе выполняем проверку расчётов по балансу мощности. Уравнение энергетического баланса для схемы рисунка 3.50 имеет вид:

Задача №3.11.

Для условия примера 3.9. выполнить расчет методом контурных токов,

не заменяя источники тока на источники ЭДС, то есть без первого этапа упрощения электрической цепи.

Решение:

На втором этапе выбираем положительные направления токов в ветвях схемы и независимые контуры с неизвестными контурными токами и их положительные направления.

Кроме неизвестных контурных токов вводим три известных контурных тока:

На рисунке 3.51 представлены все шесть контуров с контурными токами. На третьем этапе составим стандартную систему уравнений по MKT для трёх неизвестных контурных токов :

Здесь:

Переносим слагаемые с известными контурными токами в правую часть системы уравнений (3.68). Получим:

Сравниваем полученную систему уравнений (3.69) с системой уравнений (3.57), приходим к выводу об их полном совпадении. Дальнейшие вычисления токов полностью повторяют решение предыдущего примера 3.9.

Примеры расчёта методом узловых потенциалов (МУП)

• Метод узловых потенциалов (МУП)

Задача №3.13.

Выполнить расчет токов в ветвях электрической цепи рисунка 3.56 в общем виде: считая заданными параметры элементов; сопротивлением амперметра пренебрегаем, а сопротивление вольтметра учитываем при расчете.

Решение:

На первом этапе упростим электрическую цепь рисунка 3.56, объединяем узлы связанные ветвями без элементов, и выберем положительные направления токов.

На втором этапе пронумеруем узлы, выбрав самый старший по номеру узел 5, ограничивающий ветви с бесконечной проводимостью. «Заземляем» узел 5, а потенциалы узлов 2, 3, 4 являются известными:

Неизвестным потенциалом является потенциал только первого узла.

На третьем этапе составляем одно уравнение с одним неизвестным потенциалом:

Здесь:

Очевидно, что:

На четвертом этапе рассчитываем токи в ветвях электрической цепи рисунка 3.57 по закону Ома для ветви, содержащей ЭДС:

На пятом этапе рассчитываем остальные токи по первому закону Кирхгофа для рисунка 3.56 заданной схемы:

Задача №3.14.

Для электрической цепи примера 3.10. выполнить расчет токов в ветвях методом узловых потенциалов.

Решение:

Выбираем упрощенную схему 3.50. По второму этапу проставляем направления токов и пронумеруем узлы электрической схемы.

Принимаем потенциал узла 4 равным нулю .

На третьем этапе для трех неизвестных потенциалов и составляем стандартную систему уравнений:

Подставляем формулы коэффициентов в уравнения (3.94):

Решаем полученную систему (3.96) с помощью определителей:

Здесь:

На четвертом этапе рассчитываем токи в ветвях электрической цепи по закону Ома для ветви содержащей ЭДС:

Пятый и шестой этапы выполнены в примере 3.11.

Основные теоремы теории линейных электрических цепей

• Основные теоремы теории линейных электрических цепей

Метод эквивалентного генератора

• Метод эквивалентного генератора

Условие передачи максимальной мощности от активного двухполюсника в нагрузку (приемник)

• Условие передачи максимальной мощности от активного двухполюсника в нагрузку (приемник)

Теорема компенсации

• Теорема компенсации

Линейные соотношения в линейных электрических цепях

• Линейные соотношения в линейных электрических цепях

Готовые задачи с решениями по всем темам: теоретических основ электротехники (ТОЭ)

Теоретические основы электротехники (ТОЭ) — техническая дисциплина, связанная с изучением теории электричества и электромагнетизма. ТОЭ подразделяется на две части — теорию электрических цепей и теорию поля. Изучение ТОЭ является обязательным во многих технических ВУЗах, поскольку на знании этой дисциплины строятся все последующие: электротехника, автоматика, энергетика, приборостроение, микроэлектроника, радиотехника и другие.

Электротехника – это наука, исследующая вопросы производства, передачи, распределения и использования электрической энергии.

Примеры решения задач по теме электрические цепи постоянного тока

Пример решения соответствует разделу программы «Электрические цени постоянною тока». Для успешного выполнения и защиты задачи №1 студенту необходимо изучить и научиться практически применять следующие методы расчета цепей постоянного тока:

1. метод уравнении Кирхгофа;
2. метод контурных токов:
3. метод узловых напряжений;
4. метод наложения;
5. метод преобразования (упрощения);
6. метод эквивалентного генератора напряжения (тока);
7. топологические методы.

Необходимо научиться определять напряжения на элементах схемы, мощность, отдаваемую или потребляемую источниками энергии, составлять баланс мощностей и изображать потенциальную диаграмму для замкнутого контура схемы.

Определение токов электрической схемы методом уравнений Кирхгофа

Этот метод основан на применении первого и второго законов Кирхгофа, не требует никаких преобразований схемы и пригоден для расчета любой цепи. Количество уравнений, составленных по этому методу, равно количеству неизвестных токов. Положительные направления токов задаются произвольно. Количество уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа для цепи, имеющей узлов, равно . Недостающее число уравнений составляется по второму закону Кирхгофа. При выборе контуров по второму закону Кирхгофа нужно придерживаться правила, что каждый из контуров должен отличаться от других хотя бы одной новой ветвью. Такие контуры называются независимыми. Ветви с источниками тока учитываются только при составлении уравнений по первому закону Кирхгофа и не должны быть включены в выбранные независимые контуры.

Пример №1.

Определить токи во всех ветвях схемы (рис. 1.1), если

Решение:

В схеме необходимо задать направление четырех неизвестных токов (рис. 1.2). Схема содержит 3 узла, поэтому по первому закону составим два уравнения (для 2 и 3 узлов):

Два недостающих уравнения составим по второму закону Кирхгофа, для чего выберем два контура (см. рис. 1.2):

Подставив численные значения, получим систему из четырех уравнений:

В результате решения системы уравнений получим токи:

Для проверки правильности решения задачи составим баланс мощностей:

где — мощность, отдаваемая источниками; мощность, потребляемая элементами схемы.

где — напряжение между узлами 3-1; .

Тогда

Метод контурных токов

Метод контурных токов основан на использовании только второго закона Кирхгофа. что позволило уменьшить число уравнении. Достигается это разделением схемы на независимые контуры и введением для каждого контура своего тока -контурного, являющегося определяемой величиной. Количество уравнений соответствует количеству уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа, и может быть определено из уравнения

где — число ветвей; — число узлов; — число ветвей с источником тока. Контуры, для которых составляются уравнения, не должны содержать ветви с источником тока, но учет падения напряжения от источников тока обязателен. Для этого рекомендуется обозначать контуры, которые содержат источник тока, но только один. В этом случае контурный ток известен и равен но величине источнику тока. Источник тока не может быть включен в несколько контуров.

Пример №2.

Определить токи во всех ветвях схемы (рис. 1.3), если

Решение:

Определим количество уравнений но формуле

Обозначим контурные токи а также известный контурный ток . Уравнения для определения неизвестных контурных токов и :

Подставим численные значения:

откуда

Обозначим токи в ветвях схемы (рис. 1.4). Определим токи в ветвях исходя из известных контурных токов:

Контурный ток берёгся со знаком плюс, если направление контурного тока и тока в ветви совпадают, и со знаком минус, если токи направлены в разные стороны. Для проверки правильности решения составим баланс мощностей:

Метод узловых напряжений

Метод основан на использовании первого закона Кирхгофа. Количество уравнений, составляемых по этому методу, определяется из выражения

где — число узлов; — число источников напряжения, включенных между узлами без сопротивления.

При составлении уравнений в качестве базисного узла (узел, потенциал которою принимается равным нулю) целесообразно выбрать тот узел, в котором сходится наибольшее число ветвей. Если в схеме имеется ветвь с источником напряжения без сопротивления, то в качестве базисного выбирают один из тех узлов, к которому присоединена эта ветвь. Если схема содержит две и более подобных ветвей (причем эти ветви не имеют общих узлов), то такую схему необходимо преобразовать.

В результате решения системы узловых уравнении определяются напряжения между узлами схемы. Токи в ветвях находятся с помощью закона Ома.

Пример №3.

а) определить токи в ветвях схемы (рис. 1.5), если

б) построить потенциальную диаграмму для внешнего контура схемы.

Решение:

Определим количество уравнений, необходимых для решения. Для этого обозначим узлы схемы и воспользуемся формулой

Базисным узлом выберем узел 3, тогда напряжение , а уравнения будут иметь вид

Подставив численные значения, получим систему 2 линейных уравнений:

В результате решения определяем узловые напряжения:

Вычисляем напряжения между остальными узлами как разность узловых напряжений:

На основании второго закона Кирхгофа и закона Ома составим уравнения для определения токов в ветвях схемы (рис.1.6):

отсюда

На основании первого закона Кирхгофа для узла 1:

Правильность решения проверим, составив баланс мощностей:

или

Для построения потенциальной диаграммы необходимо знать напряжение на всех элементах контура, а также сопротивления всех элементов контура. На рис. 1.7 показан контур, для которого необходимо построить потенциальную диаграмму.

Базисную точку выберем произвольно, например . Построение будем производить, обходя контур по часовой стрелке.

Определим потенциалы точек:

По оси абсцисс будем откладывать значения сопротивлений элементов, а по оси ординат — значения потенциалов точек Базисную точку помещаем в начало координат (рис. 1.8).

Метод наложения

Метод основан на том, что в любой линейной электрической цепи токи могут быть получены как алгебраическая сумма токов, вызываемых действием каждого источника энергии в отдельности. Эти токи называются частичными токами. При определении частичных слагающих токов необходимо учитывать внутреннее сопротивление тех источников энергии, которые принимаются отсутствующими при вычислении слагающих токов. Если в цепи заданы идеальные источники энергии, го при определении токов, вызываемых каким-либо одним источником, все остальные источники напряжения закорачиваются, а ветви, в которых находятся источники тока, -разрываются.

Пример №4.

Определить токи во всех ветвях схемы (рис. 1.9), если

Решение:

1. Определим частичные слагающие токи, вызываемые источником напряжения . Разорвем ветвь с источником тока. Токи в цени (рис. 1.10) определим методом преобразований.

Вычислим сопротивление, эквивалентное сопротивлениям :

тогда

Определим напряжение

тогда

Определим частичные слагающие токи, вызываемые источником тока . Закоротим ветвь, где находится (это равносильно равенству нулю внутреннего сопротивления данного источника) (рис. 1.11).

Сопротивление включены параллельно, заменим их сопротивлением

Определим токи и по правилу плеч:

Аналогично определим токи и :

Для узла 1 составим первое уравнение Кирхгофа и определим ток :

Найдем искомые токи в ветвях схемы (см.рис. 1.9) как алгебраическую сумму частичных слагающих токов:

Правильность решения проверим, составив баланс мощностей:

где — напряжение на зажимах источника тока :

В данном случае источник тока отдает энергию в схему (его мощность больше нуля):

а источник напряжения потребляет энергию (его мощность отрицательна):

Метод преобразования

Суть метода заключается в преобразовании электрической схемы различными методами с целью уменьшения числа ветвей и узлов, а значит, и количества уравнений, определяющих электрическое состояние схемы.

Но всех случаях преобразования заданных электрических схем эквивалентными схемами другого вида необходимо выполнять условия неизменности токов и напряжений в тех частях схемы, которые не затронуты преобразованием.

Пример №5.

Определить токи в ветвях схемы (рис. 1.12), если

Решение:

Преобразуем треугольник в звезду на основании следующих формул (рис. 1. 13):

Обозначим последовательно включенные сопротивления

и сопротивления , объединим две ветви ( и ), включенные параллельно, в одну. Общее сопротивление:

Общий источник напряжения:

Преобразованная схема показана на рис. 1.14:

Определим напряжение :

Напряжение на схеме (см. рис. 1.13) позволяет определить ток и ток :

На этой же схеме определим напряжения и :

Для исходной схемы (см. рис.1.12) определим токи:

На основании первого закона Кирхгофа для узла :

для узла :

Правильность решения проверим, составив баланс мощностей для исходной схемы:

или

Метод эквивалентного генератора напряжения (тока)

Метод позволяет привести сложную электрическую схему с произвольным числом источников электрической энергии к схеме с одним источником, что упрощает расчет.

Существуют два варианта метода: вариант с источником напряжения и вариант с источником тока.

Метод эквивалентного генератора напряжении (МЭГН)

Для того чтобы определить ток в произвольной ветви схемы (рис. 1.15, а) данным методом, необходимо:

Электрическую цепь, к которой подключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником напряжения, величина которого определяется напряжением на выходах разомкнутой ветви , а внутреннее сопротивление источника равняется входному сопротивлению пассивной электрической цени со стороны выводов и при разомкнутой ветви . Напряжение на зажимах определятся любым, ранее изученным методом (рис. 1.15, 6). Так как для определения напряжения исключается, то напряжение эквивалентного генератора называют напряжением холостого хода и обозначают .

При определении внутреннего сопротивления источника напряжения (рис. 1.15, в) необходимо ветви, содержащие источники тока, разорвать, т.е. исключить все элементы, находящиеся в таких ветвях, а источники напряжения закоротить, т.е. на месте источников напряжения включить перемычки.

Определить искомый ток по формуле

Пример №6.

Определить ток в ветви с (рис. 1.16) МЭГН, если

Решение:

1 Определим ЭДС эквивалентного генератора напряжения, равную (рис. 1.17).

Исходная схема распалась на две одноконтурные схемы, токи которых равны:

Ток в сопротивлении равен нулю. Определим напряжение :

Для определения источник ЭДС заменим его внутренним сопротивлением (так как , то на месте включим перемычку), ветвь с источником разорвём (рис. 1.18):

Определим ток :

Метод эквивалентного генератора тока (МЭГТ)

Для того чтобы определить ток в произвольной ветви схемы МЭГТ (рис. 1.19, а), необходимо:

а) электрическую цепь, к которой подключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником тока; ток эквивалентного источника должен быть равен току, проходящему между выводами и (рис. 1.19, б), замкнутыми накоротко, а внутренняя проводимость источника должна равняться входной проводимости пассивной электрической цепи (рис.1.19, в) со стороны выводов и ;

б) определить искомый ток в ветви по формуле

где

Пример №7.

Определить ток в ветви с МЭГТ (рис.1.20), если

Решение:

1. Определим ток короткого замыкания в ветви при условии замены сопротивления перемычкой (рис. 1.21). Используя метод наложения (см. подразд. 1.4), определим ток . При воздействии только источника напряжения

при воздействии только источника тока получаем

Сумма частичных токов и даст общий ток .

Для того чтобы определить , исключим из схемы источник напряжения и источник тока (рис. 1.22):

Определим ток :

или

Указания к расшифровке типового расчета №1

Решение задачи подготовлено с помощью ЭВМ для каждого студента индивидуально. Расшифровка исходных данных для построения исходной схемы пояснена на следующем примере.

Расположить шесть узлов цени в указанном порядке и в соответствии с вариантом задания соединить их ветвями (рис. 1.23).

Перерисовать полученный граф схемы, изменив расположение узлов таким образом, чтобы ветви не пересекались (рис. 1.24).

Включить в ветви сопротивления и заданные ЭДС. Источники тока подключить параллельно соответствующим ветвям (рис. 1.25).

Придать элементам схемы удобное расположение. Обозначить положительные направления источников ЭДС, источников тока и токов ветвей. Положительные направления определяются индексами начального и конечною узлов, к которым присоединена ветвь. Всем сопротивлениям, источникам и токам ветвей присвоить номера соответствующих ветвей (рис. 1.26).

Расчет схем заключается в определении токов во всех ветвях схемы, напряжения между узлами, указанными в задании, составлении баланса мощностей в цепи, определении тока в заданном сопротивлении методом эквивалентного генератора.

Расчет токов методом преобразования

Расчет токов методом преобразования

На схеме рис. 1.26 преобразуем источник тока в источник напряжения :

источник тока — в источник напряжения :

а также объединим последовательно включенные сопротивления и :

Полученная схема показана на рис 1.27. На этой схеме объединим источники напряжения и :

Чтобы сделать треугольник 6-3-5 пассивным, преобразуем источник напряжения в источник тока :

Пассивный треугольник 6-3-5 преобразуем в пассивную звезду (рис. 1.28 а,б), где

Источник тока преобразуем в источник напряжения и :

В результате этих преобразований схема будет иметь следующий вид (рис. 1.29):

С целью дальнейшего упрощения схемы объединим источники напряжения и сопротивления:

Схема примет вид, указанный на рис. 1.30.

Далее целесообразно использовать метод узловых напряжений. Для определения напряжения необходимо составить одно уравнение:

Отсюда

Определим токи в схеме рис. 1.30 на основании закона Ома:

По схеме рис. 1.29 определим напряжения между узлами 6, 3, 5:

Определим токи и (см. рис. 1.28):

Для определения неизвестных токов составим уравнения но первому закону Кирхгофа (см. рис. 1.26) для узлов 4, 6 и 2:

для узла 4

для узла 6

для узла 2

Составление баланса мощностей

Мощность источника ЭДС () положительна при совпадающих направлениях ЭДС и тока ветви и отрицательна при противоположном направлении ЭДС и тока ветви (рис. 1.31):

Мощность источника тока () определяется произведен нем тока данного источника и напряжения на его зажимах. Она положительна при противоположных направлениях напряжения на зажимах источника тока и тока источника (рис. 1.32):

Мощность, выделяемая в активных сопротивлениях, всегда положительна и равна

Баланс мощности записывается в виде :

где — число источников ЭДС в схеме; — число источников тока в схеме; — число активных сопротивлении в схеме. Составим баланс мощностей для схемы рис. 1.26:

где

Определение тока в ветви с сопротивлением методом эквивалентного генератора напряжения

Пусть требуется определить ток методом эквивалентного генератора напряжения. Для этого необходимо следующее.

Определить напряжение эквивалентного генератора напряжения, для чего исключим сопротивление из исходной схемы (рис. 1.33). Методом контурных токов определим токи в ветвях схемы. Уравнения имеют вид:

В этих уравнениях контурные токи и равны токам источников тока. После подстановки численных значений получается система уравнений:

отсюда

Токи в ветвях схемы (см. рис. 1.33)

Значения этих трех токов даст возможность определить напряжение :

Далее, закоротив источники ЭДС и разомкнув ветви с источниками тока, находим эквивалентное сопротивление схемы относительно зажимов 2 — 6() (рис. 1.34).

Эквивалентное сопротивление генератора можно определить, преобразовав треугольник сопротивлении в эквивалентную звезду (рис. 1.35) но формулам:

Определить ток в искомой ветви схемы (см. рис. 1.26) по формуле

Примеры решения задач по теме Электрические цепи синусоидального тока

Решение задачи соответствует разделу программы »Электрические цепи синусоидального тока». Синусоидальный ток описывается выражением

где — мгновенное значение тока; — амплитудное значение тока; — угловая частота; — начальная фаза тока; — фаза синусоидального колебания.

Кроме этого, синусоидальный ток характеризуется еще следующими значениями: действующим

средним

средним за полпериода или средним выпрямленных значением

Такими же значениями характеризуются синусоидальные напряжения. Для расчета целей синусоидального тока пользуются методом комплексных амплитуд (символическим методом) При этом оперируют не с реальными гармоническими токами и напряжениями, а с их комплексными амплитудами:

или с комплексами действующих значении

где — амплитуды тока и напряжения; — действующие значения тока и напряжения; — начальные фазы тока и напряжения.

Рассмотрим взаимосвязь между синусоидальными токами и напряжениями на основных элементах электрической цепи.

Синусоидальный ток в активном сопротивлении

Мгновенные значения напряжения и тока на активном сопротивлении связаны выражением Если , то , где. Таким образом, на активном сопротивлении напряжение и ток совпадают по фазе. Для комплексных амплитуд запишем

Для комплексов действующих значений

Синусоидальный ток в индуктивности

Мгновенные значения напряжения и тока в индуктивности связаны выражением

Если то где Отсюда следует, что напряжение на индуктивности опережает ток на . Индуктивность в цепи синусоидального тока обладает реактивным сопротивлением , величина которого пропорциональна частоте .

Комплексные амплитуды тока и напряжения на индуктивности запишутся следующим образом:

Для комплексов действующих значений

Комплексное сопротивление индуктивности определяется выражением

Синусоидальный ток в емкости

Мгновенные значения напряжения и тока в емкости связаны выражением

Если то , где . Отсюда следует, что ток в емкости опережает напряжение на 90″. Емкость в цени синусоидального тока обладает реактивным сопротивлением . величина которого обратно пропорциональна частоте

Комплексные амплитуды тока и напряжения на емкости запишутся следующим образом:

Для комплексов действующих значений

Комплексное сопротивление емкости определяется выражением

Комплексное сопротивление линейного пассивного двухполюсника, состоящего из последовательно соединенных активного сопротивления, индуктивности и емкости:

где — полное реактивное сопротивление;

— модуль полного сопротивления;

— угол сдвига фаз между напряжением и током двухполюсника.

Комплексная проводимость линейного пассивного двухполюсника, состоящего из параллельного соединения активного сопротивления, индуктивности и емкости:

где — активная проводимость;

— реактивная проводимость емкости;

— реактивная проводимость индуктивности;

— полная реактивная проводимость;

— модуль полной проводимости;

— угол сдвига фаз между током и напряжением двухполюсника.

Для расчета цепей синусоидального тока можно пользоваться любыми методами расчета цепей, рассмотренными в методических указаниях к выполнению задачи № 1. Однако при этом обязательно используется символический метод. В процессе расчета необходимо уметь переходить от алгебраической формы записи комплексною числа к показательной и обратно:

Следует заметить, что при переходе от алгебраической формы записи комплексного числа к показательной возможно неправильное определение фазы . Это происходит в тех случаях, когда действительная часть комплексного числа отрицательна. Избежав ошибки поможет изображение комплексного числа в алгебраической форме на плоскости.

Примеры расчета электрических цепей синусоидального тока

Пример №8.

Рассчитать комплексные входные сопротивление и проводимость цепи, определить их характер, изобразить последовательную и параллельную схемы замещения цепи. Ток и напряжение на входе цепи:

Решение:

Для определения комплексного входного сопротивления необходимо вычислить его модуль и сдвиг фаз :

Проводимость величина, обратная сопротивлению:

Определяя алгебраическую форму записи и , находим активные и реактивные сопротивления и проводимости:

Следовательно:

Знак «+» перед мнимой частью говорит об активно индуктивном характере нагрузки.

Последовательная и параллельная схемы замещения представлены соответственно на рис.2.1, а, б.

Пример №9.

Определить токи в схеме (рис. 2.2, а) при:

Составить баланс мощностей, построить топографическую диаграмму напряжений.

Решение:

Используем метод эквивалентных преобразований. Заменяем параллельные ветви одной эквивалентной ветвью с сопротивлением :

Участки и соединены последовательно, поэтому входное полученное сопротивление цепи:

Поскольку входное сопротивление является активным, в цепи установился резонанс напряжений. Находим токи:

Составим баланс мощностей. Активная мощность источника

Реактивная мощность источника

Активная мощность приемников

Реактивная мощность приемников

Баланс мощностей выполняется : , значит, токи найдены правильно. Векторная диаграмма токов и топографическая диаграмма напряжений приведены на рис.2.2, б Масштабы: .

Пример №10.

Для схемы (рис.2.3) определить комплексы действующих значений токов в ветвях и напряжений на се элементах. Составить баланс мощностей. Построить векторную диаграмму токов и топографическую диаграмму напряжений.

Параметры элементов цепи

Решение:

Определим сопротивление индуктивности и емкости:

Для нахождения токов и напряжений выберем метод контурных токов

где

Вычислим контурный ток :

Откуда

Ток ветвей:

Напряжения на элементах цепи:

Баланс мощностей:

Баланс мощностей выполняется.

Векторная диаграмма токов и топографическая диаграмма напряжений представлены на рис. 2.4. Масштабы по току и напряжению:

Пример №11.

Па рис.2.5 приведена схема электрической цепи с двумя источниками синусоидально изменяющихся ЭДС

Определить действующие значения токов ветвей методом узловых напряжений. Записать уравнения мгновенных значений токов ветвей.

Решение:

Находим узловые напряжения цепи при

Применяя закон Ома, находим комплексы действующих значений токов ветвей:

Действующие значения токов ветвей

Уравнения мгновенных значений токов ветвей

Пример №12.

Параметры цепи (рис.2.6):

Графоаналитическим методом рассчитаем токи и напряжения на участках цени. Графоаналитический метод — совокупность графического метода и метода пропорционального пересчета. Метод основан на том, что в линейной цени токи пропорциональны напряжениям. Векторная диаграмма напряжений и токов, рассчитанная и построенная для одного значения питающего цепь напряжения, сохранит свой вид при изменении величины этого напряжения, на диаграмме при этом изменятся лишь масштабы напряжении и токов.

Решение:

Построение начинаем с наиболее удаленной точки цепи, соответствующей отрицательной полярности источника ЭДС:

Принимаем масштабы:

Задаемся действующим значением тока . Вектор (рис.2.7) откладывается в заданном масштабе в горизонтальном направлении. Вектор напряжения на участке с активным сопротивлением совпадает по фазе с вектором тока .

Действующие значение тока находим по закону Ома:

Ток на индуктивности отстает от напряжения па угол . Вектор тока строим из конца вектора .

По первому закону Кирхгофа в комплексной форме определяем , что соответствует сложению векторов на комплексной плоскости. Ток (определен в масштабе диаграммы). Определяем и строим на диаграмме напряжения на участках

Вектор напряжения отстает от тока на строим этот вектор из точки под углом к току в сторону отставания. Напряжение совпадает по фазе с током , вектор строим из точки параллельно вектору тока . Теперь соединим начало координат (точку ) с точкой , получим вектор приложенной к цепи ЭДС, равный 30 В (в масштабе диаграммы): . Истинные значения токов и напряжений на участках цепи, обусловленных действием указанной в условии задачи ЭДС = 100 В, определим умножением величин на коэффициент пересчета:

Входная ЭДС имеет начальную фазу . С учетом этого построим систему координат, вещественная ось которой должна совпадать с вектором . Относительно этой оси определим начальные фазы всех токов и напряжений. Комплексы действующих значений искомых токов и напряжений следующие:

Построенная в такой последовательности диаграмма напряжений является топографической.

Пример решения расчета цени с одним источником ЭДС

При выполнении контрольной работы необходимо:

1. Расшифровать задание. Листок с заданием вклеить в контрольную работу.
2. Рассчитать любым известным методом токи во всех ветвях заданной цепи. Результаты расчетов представить в виде комплексов действующих значений и в виде мгновенных значений токов.
3. Составить баланс мощностей для заданной цепи.
4. Определить показания ваттметра, включенного в заданную цепь.
5. По результатам расчетов построить векторную диаграмму токов и совмещенную с ней топографическую векторную диаграмму напряжений.
6. Полагая наличие индуктивной связи между любыми двумя индуктивными элементами, записать для заданной цепи уравнения по законам Кирхгофа.

Каждый студент получает задание, вариант которого приведен ниже:

Токовая обмотка ваттметра включена в ветвь 2, зажим — к узлу 3, — к узлу 3, — к узлу 2. За пулевой потенциал принять потенциал узла №3.

Расшифровку задания производим следующим образом: изобразим в произвольном порядке шесть точек и пронумеруем их цифрами 01 1 до 6. Соединив точки в соответствии с колонкой «начало — конец» задания, получим граф цепи (рис. 2.8).

Перерисуем полученный граф таким образом, чтобы исключить пересечсения ветвей (рис.2.9). На данном рисунке цифрами в кружках обозначены точки цепи, определенные заданием, а цифрами без кружков — номера ветвей цепи в соответствии с колонкой «Номер ветви» задания. Точки 4, 5, 6 являются узлами цепи.

В каждую ветвь последовательно включаются активные сопротивления, индуктивности, емкости и источники ЭДС в соответствии с исходными данными. Каждому элементу цепи присваивается индекс в соответствии с номером ветви, r которой он находится. Направление включения источника ЭДС определяется по колонке «начало — конец»задания.

Схема электрической цепи, полученная для рассматриваемого варианта задания, изображена на рис.2.10.

Запишем параметры элементов цепи дня приведенной схемы:

Расчет пени с одним источником ЭДС целесообразно проводить методом преобразования. Обозначим направления токов в ветвях заданной цепи (см.рис.2.10). Запишем комплексные сопротивления каждой из ветвей:

Преобразуем заданную цепь. Сопротивление между узлами 4 и 6 цепи определится как сопротивление двух параллельных ветвей: ветви с сопротивлением и ветви, образованной последовательным соединением и :

Сопротивление образовано последовательным соединением и :

Сопротивление определяется как параллельное соединение сопротивлений и :

Эквивалентное сопротивление пассивной части цепи относительно источника ЭДС находим как последовательное соединение и :

Определим токи во всех ветвях заданной цепи. Так как в цепи имеется только один источник ЭДС. то токи в ветвях направим в сторону уменьшения потенциалов.

Комплекс тока в первой и второй ветвях определим как отношение ЭДС к эквивалентному сопротивлению:

Комплекс тока в пятой и шестой ветвях определится выражением

Комплекс тока в седьмой ветви определим по первому закону Кирхгофа для узла 5:

Находим комплекс тока в третьей и четвертой ветвях:

Комплекс тока в восьмой ветви определим по первому закону Кирхгофа для узла 6:

По найденным комплексам действующих значений токов запишем их мгновенные значения:

Определим комплексную мощность, отдаваемую источником ЭДС:

Таким образом, активная мощность, отдаваемая источником ЭДС:

а реактивная мощность

Активная мощность, рассеиваемая на активных сопротивлениях цепи:

Реактивная мощность нагрузки определится выражением

Таким образом, активные и реактивные мощности и цепи с высокой степенью точности оказываются равными между собой.

Для нахождения показания ваттметра, включенного в цепь в соответствии с вариантом задания, необходимо определить напряжение на зажимах ваттметра. При этом первый индекс у напряжения соответствует узлу, к которому подключен зажим , а второй индекс — узлу, к которому подключен зажим .

В рассматриваемом примере

Необходимо также знать величину тока, протекающего через токовую обмотку ваттметра. При этом за положительное направление тока принимается ток, втекающий в зажим ваттметра. В нашем примере это ток . Тогда показание ваттметра определится выражением , где — разность фаз между напряжением на зажимах ваттметра и протекающим через прибор током:

Векторы всех найденных токов, отложенные из начала координат комплексной плоскости, представляют собой векторную диаграмму токов. Для удобства построения найденные комплексные значения токов целесообразно представить в алгебраической форме:

Анализ приведенных значений показывает, что для тока удобно выбрать масштаб

Характерной особенностью топографической векторной диаграммы напряжений является то, что на ней комплексные потенциалы отдельных точек цени откладываются по отношению к одной точке, потенциал которой принимается равным нулю.

При этом порядок расположения векторов напряжения на диаграмме соответствует порядку расположения элементов цепи на схеме и каждой точке электрической цени соответствует определенная точка на диаграмме.

На схеме электрической цепи (см. рис.2.10) определены заданием точки 1 — 6, остальные точки обозначим числами 7-12. По условию задачи нулевой потенциал имеет точка 3:

Определим потенциалы остальных точек:

Мы вычислили потенциалы точек одного из контуров заданной цепи. Между точками 3 и 9 этою контура включен источник ЭДС. Вычислим напряжение

Напряжение оказалось равным заданному напряжению на зажимах источника ЭДС. Это подтверждает правильность выполненных расчетов но определению потенциалов. Найдем потенциалы остальных точек:

Сравним значение с полученным выше потенциалом точки 5. Они оказываются равными:

Потенциал совпадает с полученным ранее значением.

По вычисленным значениям потенциалов выбираем масштаб по напряжению на комплексной плоскости таким образом, чтобы векторы токов и напряжений были соизмеримы.

Принимаем . Диаграмма, построенная по полученным численным значениям токов и напряжений, приведена на рис. 2.11. 6. Полагаем, что существует индуктивная связь между индуктивностями и .

Наличие индуктивной связи обозначим на рис.2.10 двухсторонней стрелкой, возле которой указывается взаимная индуктивность . Одноименные зажимы индуктивно связанных катушек обозначены на этом же рисунке точками. Так как токи относительно одноименных зажимов направлены одинаково, то имеет место согласное включение индуктивностей.

Определим число уравнений, необходимое для описания цепи по законам Кирхгофа. Неизвестных токов в цепи — пять, число узлов в цепи — три. Следовательно, по первому закону Кирхгофа необходимо записать два уравнения. Остальные три уравнения запишем по второму закону Кирхгофа. Для мгновенных значений токов и напряжений уравнения будут иметь вид:

Запишем эти же уравнения в комплексной форме:

Примеры задач на расчёт переходных процессов в электрических цепях

Пример №13.

Определить ток- в индуктивности классическим методом и построить его график, если .

Решение:

Закон изменения тока ищем в виде

Здесь — принужденная составляющая тока;

— свободная составляющая тока. Данная схема — с нулевыми начальными условиями. Независимое начальное условие

где — значение тока непосредственно перед коммутацией; — значение тока сразу после коммутации.

Определим принужденную (установившуюся) составляющую тока:

Получим характеристическое уравнение. Для этого в цепи после коммутации мысленно разомкнём ветвь с индуктивностью, а источник ЭДС заменим его внутренним сопротивлением, т.е. закоротим его зажимы. Запишем сопротивление цепи в операторной форме относительно точек размыкания и приравняем его к нулю. Можно определять сопротивление в операторной форме относительно зажимов источника:

Характеристическое уравнение

откуда

Свободная составляющая имеет вид

Определим постоянную интегрирования из начальных условий

Подставим соответствующие значения в данное уравнение и найдем пишем решение в окончательном виде

График тока имеет вид (рис. 3.2)

Пример №14.

Определить и классическим методом, если .

Решение:

Решение для имеет вид

Независимое начальное условие

Принужденное значение

Характеристическое уравнение и его решение

Свободная составляющая

Запишем исходное уравнение для и определим постоянную интегрирования

Решение для напряжения на ёмкости

Вычислим ток

Графики напряжения и тока приведены на рис. 3.4

Пример №15.

Определить ток классическим методом, если

Решение:

Запишем закон изменения тока :

Независимое начальное условие

Находим принуждённый ток символическим методом

Для определения характеристического уравнения для цепи после коммутации запишем сопротивление в операторном виде относительно зажимов источника ЭДС и приравняем его к нулю:

Характеристическое уравнение

Корень характеристическою уравнения

Свободная составляющая

Находим постоянную интегрирования, используя начальные условия:

Левая часть этого уравнения — зависимое начальное условие. Исходя из того, что , емкость представляет собой коротко замкнутый участок при :

откуда

Окончательно

График тока показан на рис. 3.6.

Пример №16.

Определить ток операторным методом (рис. 3.7), если .

Решение:

Находим независимое начальное условие.

Согласно закону коммутации,

Составим операторную схему замещения цепи для послекоммутационной цепи (рис. 3.8). Определим изображение тока :

Вычислим оригинал тока , используя табличные формулы соответствия между оригиналами и изображениями:

Известно, что

Используя эти формулы, получим

График тока изображен на рис. 3.9.

Кстати готовые на продажу задачи тут, и там же теория из учебников может быть вам поможет она.

Пример решения задачи по теме переходные процессы в линейных электрических цепях. Классический метод расчёта переходных процессов

Решение задачи соответствует разделу программы Переходные процессы в линейных электрических цепях. Классический метод расчёта переходных процессов.

Задание для контрольной работы генерируется ЭВМ каждому студенту индивидуально.

Распечатка одного из вариантов задания представлена на рис. 3.10.

В задаче необходимо:

1. Записать шифр задания и вклеить листок с распечаткой задания в контрольную работу.
2. Получить и записать исходные данные контрольной работы по распечатке, начертить схему цепи.
3. Рассчитать классическим методом переходные процессы но току в индуктивности и по напряжению на ёмкости .
4. По результатам расчётов построить графики переходных процессов .

Рассмотрим выполнение варианта типового расчета, представленного на рис. 3.10. с необходимыми комментариями:

1. Шифр задания 13040616 записан на карточке слева.
2. Для получения исходных данных контрольной работы необходимо изобразить схему электрической цепи. Для этого вместо на графической части листка с заданием начертить активные сопротивления, вместо — ёмкость, вместо — индуктивность, вместо — источник ЭДС. Ключ должен находиться в положении 1. Коммутация происходит путём размыкания ключа . Величины сопротивлений заданы в строке «ПАРАМЕТРЫ» листка, величины индуктивностей и ёмкостей — в строке «КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД»: . Для всех вариантов задания . Схема электрической цепи приведена на рис. 3.11
3. Расчет переходного процесса классическим методом сводится к непосредственному решению дифференциальных уравнений, описывающих цепь. Известно, что решение дифференциального уравнения имеет две составляющие. >го частное решение неоднородного и общее решение однородного дифференциальных уравнений. И электротехнике указанные составляющие называются принуждённой и свободной. Принужденная составляющая переходного процесса, или установившийся режим, рассчитывается в цепи после коммутации изученными ранее методами расчёта цепей. Свободная составляющая переходного процесса определяется корнями характеристического уравнения. Расчёт переходного процесса классическим методом производится в следующем порядке:

• рассчитывается цепь до коммутации для определения независимых начальных условий:
• рассчитываются установившийся режим после коммутации;
• составляется характеристическое уравнение цепи и определяются его корни;
• записываются общее решение для свободных составляющих и полное выражение для переходного процесса искомой величины как сумма принуждённой и свободной составляющих;
• рассчитываются необходимые зависимые начальные условия и определяются постоянные интегрирования;
• найденные постоянные интегрирования подставляются в полное решение. Расчёт переходных процессов в цепи, представленной на рис. 3.11, произведём в предложенном порядке.

Начальные условия это значения токов в ветвях, напряжений на элементах цепи, их производных любого порядка в момент коммутации. Различают независимые и зависимые начальные условия. К независимым начальным условиям относятся ток в индуктивности и напряжение на ёмкости, так как они в момент коммутации не могут измениться скачком. Это определяется законами коммутации:

Остальные начальные условия относятся к зависимым.

До коммутации в рассматриваемом варианте цепи отсутствует ёмкость (сё зажимы закорочены ключом ). Следовательно, напряжение на емкости до коммутации будет равно нулю и, согласно закону коммутации, не измени гея непосредственно после размыкания ключа: .

Расчёт тока в индуктивности до коммутации проведём по схеме электрической цени, представленной на рис. 3.12.

Так как в цепи включён источник синусоидального напряжения, расчёт проводим символическим методом.

Реактивное сопротивление индуктивности

Реактивное сопротивление емкости

Комплексное сопротивление цепи относительно источника

Комплексная амплитуда тока в цепи источника определится по закону Ома:

Комплексную амплитуду тока в ветви с индуктивностью определим по правилу плеч:

Мгновенное значение тока в цепи с индуктивностью запишется в виде

Полагая в последнем выражении , получим величину тока в индуктивности непосредственно перед коммутацией:

По законам коммутации ток в индуктивности не может измениться скачком. Следовательно, .

Принужденные составляющие тока в индуктивности и напряжения на емкости определим по схеме цепи на рис. 3.11.

Комплексное сопротивление цепи относительно источника

Комплексная амплитуда тока в ветви источника определится по закону Ома:

Комплексную амплитуду тока в ветви с индуктивностью определим но правилу плеч:

Мгновенное значение тока в индуктивности, т.е. искомая принуждённая составляющая, запишется в виде

Комплексную амплитуду тока в цепи с ёмкостью определим по правилу плеч:

Комплексная амплитуда напряжения на ёмкости определится по закону Ома:

Мгновенное значение напряжения на ёмкости, т.е. искомая принуждённая составляющая, запишется в виде

Характеристическое уравнение цепи составляется по дифференциальному уравнению, описывающему цепь. Можно также составить характеристическое уравнение через входное сопротивление. Для этого в цени после коммутации исключают источники (вместо источников необходимо включить их внутренние сопротивления). В полученной пассивной цепи разрываю!любую ветвь и относительно разрыва записывают комплексное входное сопротивление . В выражении заменяют на . Выражение приравнивают к нулю. Для рассматриваемого варианта задания в цепи на рис 3.11 замыкаем накоротко зажимы источника ЭДС. Разрываем ветвь с емкостью. Комплексное входное сопротивление относительно разрыва запишется в виде

Полагая в последнем выражении , получим

После выполнения алгебраических преобразований получим характеристическое уравнение в юрою порядка

Подставляя численные значения параметров цени, находим

Корни уравнения

По виду корней характеристического уравнения записывается свободная составляющая переходною процесса. Так как число корней равно двум и они действительные, то

Для случая комплексно-сопряженных корней

или

Полный переходной ток в индуктивности равен сумме принуждённой и свободной составляющих:

В последнем уравнении неизвестными являются и следовательно, для их однозначного определения необходимо второе уравнение. Получим его дифференцированием первого

Полагая в вышеприведенных уравнениях , получим

Производная тока в индуктивности в момент коммутации относится к зависимым начальным условиям. Для определения зависимых начальных условий составим систему уравнений по законам Кирхгофа для момента времени послекоммутационной схемы

Подставляя численные значения найденных ранее независимых начальных условий и значение , получим

Тогда уравнения для определения постоянных интегрирования примут вид

Постоянные интегрирования будут равны

Окончательное выражение для переходного тока в индуктивности запишется в виде

Переходной процесс по напряжению на емкости рассчитывается аналогично. Записываем выражение для как сумму двух составляющих:

Принуждённая составляющая переходною процесса определена выше. Свободную составляющую ищем в виде суммы двух экспонент. С учётом этого

Второе уравнение, необходимое для однозначного определения постоянных интегрирования, получим дифференцированием первого

Полагая в обоих уравнениях , получим

Производная напряжения на ёмкости в момент коммутации относится к зависимым начальным условиям. Определим сё значение но выражению

Значение определим из системы уравнений но законам Кирхгофа для момента времени , записанной выше. Тогда

Уравнения для определения постоянных интегрирования примут вид

Решая полученную систему уравнений, определим постоянные интегрирования

Окончательное выражение для переходного напряжения на ёмкости

При построении графиков переходных процессов прежде всего необходимо определить их длительность. Теоретически переходные процессы длятся бесконечно долго, практически же оканчиваются за время, равное трём постоянным времени . За это время свободная составляющая переходного процесса будет иметь значение, составляющее 5% от значения при .

Постоянная времени определяется как величина, обратная минимальному по модулю корню характеристического уравнения

Следовательно, длительность переходного процесса для рассматриваемой задачи

Графики переходных процессов и представлены соответственно на рис. 3.13 и 3.14.

Пример решения задачи по теме переходные процессы в линейных электрических цепях. Операторный метод расчета переходных процессов

Решение задачи соответствует разделу программы Переходные процессы в линейных электрических цепях. Операторный метод расчета переходных процессов». Задание для задачи расчета генерируется ЭВМ каждому студенту индивидуально. Распечатка одного из вариантов задания представлена на рис.3.10. В задаче расчете необходимо:

Записать шифр задания.

Получить и записать исходные данные задачи по распечатке, начертить схему цепи.

Рассчитать операторным методом переходные процессы по току в индуктивности и по напряжению на емкости .

По результатам расчётов построить трафик переходных процессов. Рассмотрим выполнение варианта задачи, представленного рис. 3.10, с необходимыми комментариями:

Шифр задания 13040616 записан на карточке слева.

Для получения исходных данных задачи необходимо изобразить схему электрической цени. Для этого вместо у на графической части листка с заданием начертить активные сопротивления, вместо — емкость, вместо индуктивность. вместо — источник ЭДС. Ключ должен быть разомкнут. Коммутация происходит путём переключения ключа из положения 1 в положение 2. Величины сопротивлений заданы в строке «ПАРАМЕТРЫ» листка, величины индуктивностей и емкостей — в строке «ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД»: рис. 4.1

Для всех вариантов задания .

Схема электрической цени приведена на рис. 4.1.

Расчёт переходных процессов операторным методом основан на использовании преобразования Лапласа. Это позволяет перейти от непосредственного решения дифференциальных уравнений, описывающих цепь во временной области, к решению алгебраических уравнений в области изображений.

Расчёт переходных процессов операторным методом производится в следующем порядке:

• рассчитывается цепь до коммутации с целыо определения независимых начальных условий;
• составляется операторная схема замещения цепи:
• производится расчёт операторной схемы замещения. в результате чего определяются изображения по Лапласу искомых функций;
• на основе обратного преобразования Лапласа от найденных изображений переходят к оригиналам. Расчёт переходных процессов в цепи, представленной на рис. 4.1, произведем в предложенном порядке.

До коммутации в цепи был включён источник постоянного напряжения На постоянном токе индуктивность обладает нулевым сопротивлением, а ёмкость-бесконечно большим. В эквивалентной схеме цепи для расчёта независимых начальных условий, изображенной на рис. 4.2, реактивные элементы показаны как короткое замыкание и обрыв.

Ток в цепи с индуктивностью определится выражением

Напряжение на емкости:

Согласно законам коммутации, ток в индуктивности и напряжение на ёмкости в момент коммутации не могут измениться скачком. Следовательно.

При составлении операторной схемы замещения все элементы цени замещаются их операторными эквивалентами. Так, индуктивность замещается операторным индуктивным сопротивлением . ёмкость операторным ёмкостным сопротивлением ; активное сопротивление не изменяется. При этом ненулевые начальные условия учитываются в цепях с индуктивностью и с ёмкостью дополнительными источниками ЭДС (рис 4.3).

Операторная схема замещения послекоммутационной цепи для рассматриваемого примера, построенная в соответствии с изложенным выше, приведена на рис. 4.4.

Для расчёта операторной схемы замещения может быть применён любой известным метод: метод узловых потенциалов, метод наложения, метод контурных токов и т.д. Однако целесообразно использовать метод контурных токов, который при надлежащем выборе независимых контуров обеспечивает наиболее быстрое получение конечного результата.

Выберем независимые контуры таким образом, чтобы общая ветвь содержала только сопротивление . Тогда контурные токи и будут равны изображениям токов в ёмкости и в индуктивное!и.

Уравнения, описывающие цепь на рис. 4.4 по методу контурных токов, запишутся в виде

Решая полученную систему с помощью определителей, получим

Разделив числитель и знаменатель в двух последних выражениях на и подставив численные значения, получим

Ёмкость на операторной схеме замещения цепи изображается операторным сопротивлением и источником ЭДС, учитывающим ненулевые начальные условия. Поэтому выражение для операторного напряжения на ёмкости запишется в виде

После подстановки получим

Для перехода от найденных операторных изображений токов и напряжений к оригиналам воспользуемся теоремой разложения. Если изображение по Лапласу искомой зависимости представлено в виде отношения двух полиномов

то оригинал находится по выражению

где — -й корень характеристического уравнения ; — порядок характеристического уравнения; — производная полинома . Для тока в индуктивности запишем

Решая характеристическое уравнение , находим два корня и . При этом ток в индуктивности в соответствии с теоремой разложения запишется в виде

Коэффициенты при экспонентах в случае комплексно-сопряжённых корней тоже будут комплексно-сопряжёнными.

Поэтому при суммировании мнимая часть будет равна нулю и ток можно определить как удвоенное значение вещественной части первого или второго слагаемых.

После подстановки в последнее выражение численных значений получим

Переходное напряжение на ёмкости вычислим, используя полученное раньше изображение и свойство линейности преобразования Лапласа.

Сумме изображений

будет соответствовать сумма оригиналов

Введем обозначения

Изображению в области оригиналов будет соответствовать константа .

Оригинал определим, используя теорему разложения. Характеристическое уравнение имеет три корня: . Следовательно,

После подстановки численных значений и выполнения всех преобразований получим

Складывая и , находим полное переходное напряжение на ёмкости

Длительность переходного процесса равна трём постоянным времени. Постоянная времени определяется как величина, обратная действительной части корня характеристического уравнения.

Графики переходных процессов по току в индуктивности и по напряжению на ёмкости представлены соответственно на рис. 4.5 и 4.6.

Пример решения задачи по теме цепи с распределенными параметрами

Решение задачи соответствует разделу программы «Цепи с распределенными параметрами»Примеры решения задач по электротехнике». В нем исследуется однородная длинная линия без потерь в установившемся и переходном режимах.

Исходные данные контрольной работы определяются числом , где — порядковый номер фамилии студента в журнале; номер столбца из табл. 5.1; — номер строки из табл. 5.2; — номер схемы нагрузки из рис. 5.1.

Первичные параметры линии для всех вариантов одинаковы и равны: .

Входное напряжение линии определяется выражениями:

где Длина линии

В контрольной работе необходимо:

1. Рассчитать исходные данные работы согласно варианту задания и записать их.
2. Найти распределение действующих значений напряжения и тока вдоль линии, замкнутой на заданную нагрузку в установившемся режиме. Построить графики .
3. Произвести расчёт установившегося режима в линии, заменив нагрузку волновым сопротивлением. Построить графики .
4. Произвести расчёт установившегося значения в линии при отключенной нагрузке (режим холостого хода). Построить графики .
5. Построить графики распределения падающих волн напряжения и тока в переходном режиме для момента, когда фронт падающих волн достигнет конца линии.
6. Определить законы изменения тока и напряжения нагрузки в переходном режиме. Построить графики .
7. Определить законы изменения отражённых волн напряжения и тока в сечении нагрузки. Построить графики .
8. Построить графики u0(x), i0(x) распределения напряжения и тока отражённой волны вдоль линии при переходном режиме для момента времени, когда фронт отражённой волны достигнет точки на расстоянии «» от конца линии.
9. Построить графики распределения напряжения и тока вдоль линии при переходном режиме для момента времени, когда фронт отраженной волны достигнет точки на расстоянии «» от конца линии.
10. Построить графики при переходном режиме для точки, находящейся на расстоянии «» от конца линии.

Изобразим линию в виде, представленном на рис. 5.2. где — расстояние от начала линии до некоторого сечения;

• — расстояние от конца линии до этого же сечения;
• — входное напряжение линии;
• — входной ток линии;
• — напряжение в конце линии;
• — ток в конце линии.

Пусть номер варианта определяется числом 30357, где — порядковый номер фамилии студента в журнале; — номер столбца из табл. 5.1; — номер строки из табл. 5.2; — схема нагрузки 7 из рис. 5.1. Тогда

Параметры нагрузки: . Схема нагрузки приведена ниже

Найти распределение действующих значений напряжения и тока вдоль линии, замкнутой на заданную нагрузку в установившемся режиме. Построить графики .

Напряжение и ток в произвольном сечении линии без потерь, находящемся на расстоянии от конца линии, описываются выражениями:

где

Преобразуем уравнение 5.1:

где

Согласно варианту задания,

Полагая , из первого уравнения (5.2) выразим выражение :

Подставляя численные значения, получим

Тогда ток в конце линии определится выражением

Комплексы действующих значений напряжения и тока в произвольном сечении линии, находящемся на расстоянии от её конца, получим из уравнений (5.2) с учётом найденных значении и :

В комплексных выражениях и выделяем действительные и мнимые части:

Модули действующих значений и напряжения и тока определятся выражениями:

По выражениям и с учётом численных значений построены графики, представленные на рис. 5.3 и 5.4.

При выполнении этого пункта задания в контрольной работе необходимо привести окончательные выражения и для построения соответствующих графиков.

Произвести расчет установившегося режима в линии, заменив нагрузку волновым сопротивлением. Построить графики и . Полагая , из уравнений (5.2) получим

Модули действующих значений напряжения и тока в произвольном сечении линии не зависят от расстояния .

В линии имеет место режим бегущих волн. Напряжение и ток в произвольном сечении линии равны входным напряжению и току:

Графики и представлены на рис. 5.5, 5.6.

Произвести расчёт установившегося режима в линии при отключённой нагрузке (режим холостого хода). Построить графики и . И режиме холостою хода ток , тогда уравнения (5.1) запишутся в виде

Полагая в первом уравнении , определим напряжение :

Комплексы действующих значений напряжения и тока в произвольном сечении линии на расстоянии от её конца получим из последней системы уравнений с учетом найденного значения :

Из этих уравнений получим модули действующих значений напряжения и тока в произвольном сечении линии на расстоянии от её конца:

Графики и представлены на рис. 5.7. 5.8.

Построить графики распределения падающих волн напряжения и тока в переходном режиме для момента, когда фронт падающих волн достигнет конца линии.

К линии подключается источник постоянного напряжения . При этом возникают падающие волны напряжения и тока и , распространяющиеся вдоль линии с фазовой скоростью

Величины напряжения и тока падающих волн равны . Графики распределения падающих волн и представлены на рис. 5.9, 5.10.

Определить законы изменения тока и напряжения нагрузки в переходном режиме. Построить графики .

Эквивалентная схема цепи для расчёта переходного напряжения и тока в нагрузке линии представлена на рис.5.11.

Произведем расчет классическим методом. Решение найдем в виде суммы принужденной и свободной составляющих:

Определим принужденную составляющую переходного напряжения на нагрузке:

Решая характеристическое уравнение цепи

определим , следовательно .

Для определения постоянной интегрирования решения

рассмотрим при

Зависимые начальные условия определим с учётом независимых начальных условий .

тогда

Окончательно получим . Аналогично определяем

Графики и приведены на рис. 5.12, 5.13.

Определить законы изменения отражённых волн напряжения и тока в сечении нагрузки. Построить графики .

Если сопротивление нагрузки линии не равно волновому сопротивлению, то возникают отраженные волны напряжения и тока. Напряжение и ток в любом сечении линии, в том числе и в сечении нагрузки, складываются соответственно из напряжения и тока падающей волны и напряжения и тока отражённой волны:

Для сечения нагрузки

Из последних соотношений с учетом результатов пп. 5, 6 получим

Графики и представлены на рис. 5.14, 5.15.

Построить графики распределения напряжения и тока отражённой волны вдоль линии при переходном режиме для момента времени, когда фронт отраженной волны достигнет точки на расстоянии от конца линии.

Возникнув в сечении нагрузки, отраженные волны тока и напряжения распространяются к началу линии с фазовой скоростью. Точки, отстоящей от конца линии на , фронт отраженной волны достигнет спустя время . Напряжение и ток отражённой волны в произвольном сечении линии из интервала определяем но выражениям и . полученным в п.7, задаваясь значениями времени . При этом принимает значения из диапазона . Графики и представлены на рис. 5.16, 5.17.

Построить графики распределения напряжения и тока вдоль линии при переходном режиме для момента времени, когда фронт отраженной волны достигнет точки на расстоянии от конца линии. Так как в произвольном сечении линии напряжение и ток складываются из падающих и отраженных волн , то соответствующие распределения, представленные на рис. 5.18, 5.19, получаются из графиков на рис.5.9, 5.16 и из графиков на рис. 5.16 и 5.17 с учётом последних соотношений

Построить графики при переходном режиме для точки, находящейся на расстоянии от конца линии.

Падающие волны напряжения и тока, возникающие в линии при подключении источника напряжения, достигнут точки на расстоянии от конца линии (или па расстоянии от начала линии) спустя время

Далее падающие волны распространяются к нагрузке. Возникшие в сечении нагрузки отражённые волны достигают точки спустя время

После этого в точке появляются отражённые волны, которые складываются с падающими. Закон изменения отражённых волн получен в п.7. Построенные с учётом изложенного графики и представлены на рис. 5.20, 5.21.

Возможно эти дополнительные страницы вам будут полезны:

• Предмет электротехника
• Построение векторных диаграмм токов и напряжений
• Заказать работу по электротехнике
• Помощь по электротехнике
• Контрольная работа по электротехнике