Начертательная геометрия задачи с решением и примерами

Здравствуйте на этой странице я собрала примеры решения задач по предмету начертательная геометрия с решением по каждой теме, чтобы вы смогли освежить знания!

Начертательная геометрия

Начертательная геометрия служит теоретической основой построения технических чертежей в виде графических моделей конкретных объектов машиностроения. Инженерная графика вырабатывает у студентов умение и навыки понимания по чертежу конструкции изделия и принципа действия изображенного технического объекта.

Если что-то непонятно — вы всегда можете написать мне в WhatsApp и я вам помогу!

Начертательная геометрия включена в число обязательных дисциплин ведущих технических вузов мира. И связано это, прежде всего, с тем, что она как никакая другая дисциплина развивает логическое конструктивно-геометрическое мышление, пространственное представление и воображение, а также способность к анализу и синтезу пространственных форм.

Задача начертательной геометрии – изучение визуально-образного геометрического языка и технологии его реализации. Она является уникальным техническим языком, информативность которого настолько велика, что заменить его другим практически невозможно. Роль ее в подготовке специалистов и решении прикладных задач возрастает в связи с необходимостью повышения эффективности труда конструктора.

Проецирование геометрических фигур. Параллельное проецирование

Любую геометрическую фигуру рассматривают как множество всех при надлежащих ей точек. Чтобы получить параллельную проекцию фигуры на плоскости (плоскости проекций), необходимо через каждую точку фигуры пронести проецирующие лучи параллельно заранее вы бранному направлению до пересечения с (рис. 1).

Основные свойства параллельного проецирования.

1. Проекция точки есть точка.
2. Проекции прямой есть прямая или точка ( — точка).
3. 
4. 
5. 
6. 

Самоконтроль I. На рис. 2 показано проецирование и на плоскость но направлению . Какой из треугольников расположен в плоскости, параллельной ?

1 a . Треугольник (с. 55).

2 б. Треугольник (с. 56).

Таким образом, Вы отметили еще два свойства параллельного проецировання:

1. Если фигура расположена в плоскости, параллельной плоскости проекций, то она проецируется на эту плоскость в натуральную величину,
2. Фигура, принадлежащая проецирующей плоскости, проецируется в отрезок прямой, совпадающей с проекцией плоскости (проецирующая прямая вырождается в точку).

Если направление проецирования , получают ортогональные (прямоугольные) параллельные проекции, которыми чаще всею пользуются на практике.

Проекции точки

Проекцией точки называется точка пересечения проецирующего луча, проходящего через точку, с плоскостью проекций.

Одна проекций точки не определяет положение точки в пространстве. Для получения обратимого чертежа ортогональное проецирование осуществляется на две (и более) перпендикулярные плоскости проекций (рис. 3)t которые затем совмещают в одну (метод Монжа). Получается плоское изображение, которое является носителем двух плоскостей. Это изображение называют эпюром или комплексным чертежом.

— горизонтальная плоскость проекций, — фронтальная плоскость проекций, — ось проекций.

На эпюре горизонтальная и фронтальная проекции точки связаны вертикальной линией связи, т.е

Положение точки в пространстве определяется ее расстоянием до плоскостей проекций. При этом покрывает расстояние до — показывает расстояние до .

Самоконтроль 2. Какая из заданных точек (рис. 4) принадлежит плоскости ?

2а. Точка (с. 55) 26. Точка (с. 56).

Характерным признаком эпюра точки, принадлежащей плоскости проекций, является то, что одна проекция точки принадлежит оси проекции.

На рис. 5 показано получение трех картинного чертежа точки .

— профильная плоскость проекций.

Является очевидным, что .

Определитель точки в пространстве — три координаты точки, т.е. расстояние от точки до трех координатных плоскостей Принимается, что плоскости проекций совмещены с координатными плоскостями.

Условная запись определителя точки: . Положение проекции точки определяют две координаты: Определителем точки на эпюре является совокупность двух проекций точки: . Координаты точки устанавливаются измерением (рис. 6).

Пример задачи №1.

Построить три проекции точки .

Решение:

1. Координатные плоскости принимаем за плоскости проекций и строим на чертеже оси проекций (рис. 7), отмстив на них масштабные единицы.
2. Последовательно откладываем на соответствующих осях заданные значения
3. Из полученных точек проводим прямые, параллельные соотвстствуюхцнм осям, и получаем проекции (см. рис. 7).

Проекции прямой

Определитель прямой: две точки. Условная запись: . На чертеже прямую определяют двумя проекциями (рис. 8). или .

Условие принадлежности точки прямой: точка принадлежа прямой, если проекции точки принадлежат одноименным проекциям прямой, (см. точку на прямой — рис. 8),

След прямой — точка пересечения прямой с плоскостью проекций (рис. 9). — горизонтальный след прямой, — фронтальный след прямой,

Заметим, что так как . Прямую, которая не параллельна ни одной из плоскостей проекций, называют прямой общего положения. Проекции прямой общего положения всегда наклонены к осям проекций (см. рис. 8, 9).

• Прямые частного положения делятся на прямые уровня и проецирующие прямые.

Прямые уровня — прямые, параллельные одной плоскости проекций (рис. 10).

Таким образом, направление одной проекции прямой уровня постоянно — параллельно направлению оси проекций. Вторая проекция наклонена к оси под углом.

Проецирующие прямые — прямые, перпендикулярные плоскости проекций (рис. 11).

Таким образом, одна проекция проецирующей прямой — точка, вторая проекция направлена параллельно линиям ивязи.

Самоконтроль 3. На рис 12 изображен отрезок профильной прямой . Можно ли построить горизонтальную проекцию точки , которая принадлежит отрезку, не построив профильную проекцию отрезка?

За. Можно (с. 55) 36. Нельзя (с, ,56)

Пример задачи №2.

Достроить фронтальную проекцию отрезка горизонтальной прямой (рис. 13а).

Решение:

Так как отрезок параллелен горизонтальной плоскости, то фронтальная проекция его должна быть параллельна направлению оси . Положение фронтальной проекции точки определяем в пересечении линии связи, проведенной с вертикально (рис 136), и направления фронтальной проекции прямой.

Пример задачи №3.

Построить проекции фронтально проецирующего отрезка , длина которого 20 мм (рис. 14а).

Решение:

У фронтально проецирующей прямой фронтальная проекция вырожденная — точка, а горизонтальная проекции расположена вертикально,

На горизонтальную плоскость проекций отрезок проецируется без искажения.

Выполненные построения ясны на чертеже (рис. 146).

Взаимное расположение прямых. Прямые параллельны, если одноименные проекции двух прямых параллельны.

Прямые пересекаются, если точки пересечения одноименных проекций двух прямых лежат на одной линии связи.

Если на чертеже отсутствуют признаки параллельности и пересечения, то заданы скрещивающиеся прямые.

Самоконтроль 4. На каком рисунке изображены скрещивающиеся прямые?

4а. На рис. 15а (с. 55)

4б. На рис, 156 (с. 56)

Теорема о проецировании прямого угла. Если одна сторона прямого угла параллельна, а другая сторона не перпендикулярна плоскости проекций, то прямой угол на эту плоскость проецируется в натуральную величину.

Пример задачи №4.

Через точку провести прямую а, пересекающую прямую под прямым углом (рис. 16а),

Решение:

1. Так как прямая параллельна , то на фронтальной проекции величина прямого угла сохранится.
2. Построение начинаем с фронтальной проекции, проведя (рис. 16 6),
3. Отмечаем фронтальную проекцию точки пересечения прямых — .
4. Строим горизонтальную проекцию точки .
5. .

Пример задачи №5.

Через точку провести горизонтальную прямую, пересекающую отрезок (рис. 17а),

Решение:

1. Так как искомая прямая является горизонтальной, то фронтальная проекция ее должна быть направлена параллельно направлению оси . Проводим .
2. Отмечаем фронтальную проекцию точки пересечения прямых: (рис. 176).
3. Строим горизонтальную проекцию , учитывая сохранение пропорционального деления отрезка на проекциях.
4. .

Проекции плоскости

Задание плоскости. Плоскость на чертеже задается проекциями ее элементов, которые определяют положении ее в пространстве, а именно; проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой; проекциями параллельных прямых; проекциями пересекающихся прямых; проекциями прямой и точки вне этой прямой, проекциями плоской фигуры; следами.

По отношению к плоскостям проекций плоскости разделяются на плоскости общего и плоскости частного положения. Плоскости частного положения могут быть перпендикулярными к одной из плоскостей (проецирующие) иди к двум плоскостям одновременно {плоскости уровня).

Опознавательным признаком плоскости частного положения является наличие вырожденной проекции (проекции-линии) плоскости на эпюре. Точка и прямая в плоскости. Точка принадлежит плоскости, если она находится на примой, лежащей в данной плоскости.

Прямая лежит в плоскости, если она пересекается с прямыми, задаюшими эту плоскость, или пересекается с одной из них и параллельна другой.

Признаком принадлежности точки и прямой к плоскости частного положения является совмещение на эпюре их проекций с одноименными вырожденными проекциями данной плоскости.

Самоконтроль 6. На каком рисунке прямая принадлежит плоскости ? 6 а. На рис. 19 а (с. 55) б б. На рис. 19 6 (с. 56).

Пример задачи №6.

Построить горизонтальную проекцию прямой , лежащей в плоскости (рис. 20 а).

Решение:

1. Прямые одной плоскости либо пересекаются, либо параллельны. Так как фронтальная проекция прямой пересекает фронтальные проекции прямых и , то эти прямые в пространстве пересекаются.
2. Отмечаем фронтальные проекции точек пересечения прямых
3. Строим горизонтальные проекции точек и , учитывая что .
4. (см. рис. 20 б).

Пример задачи №7.

Построить фронтальную проекцию прямой , принадлежащей плоскости (рис 21 а).

Решение:

Так как фронтальные проекции прямых и совпадают, то заданная плоскость является фронтально проецирующей плоскостью. В этом случае фронтальная проекция плоскости, (вырожденная проекция) обладает собирательным свойством и поэтому (рис. 216).

Следует отметить, что для плоскости общего положения на эпюре произвольно можно задавать только одну проекцию любой прямой, принадлежащей плоскости. Вторую проекцию этой прямой необходимо строить, учитывая, что прямые одной плоскости либо пересекаются, либо параллельны.

Для проецирующей плоскости достаточно совпадения соответствующей проекции прямой с вырожденной проекцией плоскости, чтобы эта прямая принадлежала плоскости.

Пример задачи №8.

Построить фронтальную проекцию точки , принадлежащей плоскости (рис. 22 а).

Решение:

1. Известно, что точка принадлежит плоскости, если она находится на какой-либо прямой, лежащей в данной плоскости. Поэтому через и (рис. 226) проводим горизонтальную проекцию вспомогательной прямой» лежащей в данной плоскости.

Главные линии плоскости. К главным линиям плоскости относятся:

1. Линии уровня плоскости, т.е. прямые плоскости, параллельные плоскостям проекций

— горизонталь плоскости; — фронталь плоскости.

1. Линии наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекций. Такие прямые принадлежат плоскости и перпендикулярны к линиям уровня плоскости.

Для построения горизонтали плоскости (рис. 23) необходимо;

На рис. 23 построены проекции линии наибольшего наклона плоскости к плоскости т.к. (согласно теореме о проекциях прямого угла) Линию наибольшего наклона плоскости к плоскости называют линией ската.

Аналогично на рис. 24 построены проекции фронтали и линии наибольшего наклона плоскости к плоскости .

Самоконтроль 7. Можно ли считать заданной плоскость, если на эпюре задана линия ската плоскости?

7 а. Можно (с. 55)

7 б. Нельзя (с. 56)

Пример задачи №9.

Построить проекции отрезка , принадлежащею плоскости , зная что и величина отрезка равна 30 мм (рис. 25).

Решение:

Отрезок принадлежит горизонтали плоскости, проходящей через . Строим проекции этой горизонтали (рис. 25 а). На горизонтальной проекции горизонтали находим горизонтальную проекцию точки , учитывая что . Находим фронтальную проекцию точки (рис. 25 б).

Параллельность прямой и плоскости двух плоскостей. Признаком параллельности плоскости и прямой является-параллельность прямой некоторой прямой плоскости.

• Признаком параллельности прямой и плоскости частного положения является параллельность вырожденной проекции плоскости соответствующей проекции прямой.

Признаком параллельности двух плоскостей является параллельность двух пересекающихся прямых одной плоскости, соответственно, двум пересекающимся прямым второй плоскости. Признаком параллельности плоскостей частного положения является взаимная параллельность одноименных вырожденных проекций. У параллельных плоскостей одноименные линии уровня взаимно параллельны.

Пример задачи №10.

Построить горизонтальную проекцию прямой проходящей через точку и параллельной плоскости (рис. 26 а).

Решение:

(Рис. 26 6).

1. В плоскости проводим фронтальную проекцию , прямой параллельной прямой .
2. Строим горизонтальную проекцию , учитывая принадлежность прямой плоскости .
3. Строим .

Перпендикулярность прямой и плоскости, двyx плоскостей. Прямая, перпендикулярная плоскости, изображается на фронтальной проекции перпендикулярной к фронтали плоскости, на горизонтальной — к горизонтали плоскости.

Пример задачи №11.

Опустить перпендикуляр из точки на плоскость (рис. 27 а).

Решение:

(рис. 27 б).

1. Проводим произвольные горизонталь и фронталь данной плоскости (рис. 27 б).
2. Затем проводим проекции перпендикуляра rti эАг А п2-L/2;

Пример задачи №12.

Через прямую провести плоскость, перпендикулярную к плоскости (рис. 24 а).

Решение:

(рис. 28 б).

1. Строим произвольные горизонталь и фронталь плоскости .
2. Выбираем на прямой произвольную точку .
3. Из точки опускаем перпендикуляр на плоскость . Это перпендикуляр совместно с прямой определяют искомую плоскость .

Поверхность: общие сведения

Поверхность — это совокупность последовательных положений непрерывно перемещающейся в пространстве линии в пространстве линии.

Перемещающуюся в пространстве линию называют образующей. Она может быть прямой, кривой, постоянной или переменной. Образующей может быть также поверхность (рис. 29).

Закон перемещения может быть оговорен словесно (вращательное, поступательное, винтовое) и задан направляющей, т.е, неподвижной линией, по которой скользит перемещающаяся образующая.

Поверхность, которая может быть получена перемещением прямой линии, называют линейчатой (рис. 29 а).

Поверхность, образующей которой может быть только кривая, называют кривой (рис. 29 6).

По признаку перемещения образующей поверхности делят на поверхности вращения, поверхности переноса, винтовые поверхности.

Поверхности делят также на развертываемые и нераввертываемые.

Задание поверхности на чертеже. Поверхность считается заданной, если в отношении любой точки пространства на чертеже однозначно решается вопрос о принадлежности ее данной поверхности.

Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит линии поверхности!.

Поверхность на чертеже может быть задана ее определителем, очерком, каркасом.

Определитель поверхности — это совокупность условий, однозначно определяющих данную поверхность. Определитель поверхности состоит из двух частей: геометричесхой, задающей форму образующей и направляющей, и алгоритмической, определяющей условия перемещения или же изменения образующей.

На рис. 30 задана поверхность конуса. Ее определителем является направляющая и образующая , пересекающая кривую и проходящая через неподвижную точку .

Точка принадлежит данной поверхности, так как она принадлежит линии этой поверхности.

Очерк поверхности — это линия пересечения плоскости проекций с проецирующей на данную плоскость проекций цилиндрической поверхностью, огибающей заданную поверхность (рис. 31).

Линию касания огибающей проецирующей поверхности с данной поверхностью называют линией контура.

Проекцию линии контура на плоскость, перпендикулярную данной плоскости проекций, называют линией видимости.

Линия контура, так же как и линия видимости, делит поверхность на ее видимую и невидимую части в проекции на данную плоскость,

Каркас поверхности — это совокупность линий, принадлежащих поверхности (рис. 32).

Линейчатые поверхности — что те, у которых образующей может быть прямая, линия (рис. 33).

К ним относят торсы, и как частный случай цилиндрические, конические, призматические и пирамидальные поверхности. Эти поверхности развертываемые.

Неразвертываемые линейчатые поверхности это поверхности с плоскостью параллелизма — цилиндроид, коноид, гиперболический параболоид (косая плоскость).

Поверхностью вращения называют поверхность, образованную вращением некоторой линии (кривой или примой) вокруг неподвижной прямой, называемой осью поверхности (рис. 34).

Окружности, принадлежащие поверхности вращения и лежащие в плоскостих, перпендикулярных оси поверхности, называют параллелями поверхности. Параллель наименьшего радиуса — щрло, наибольшего -экватор.

Любая плоскость, проходящая через ось поверхности вращения, выделяет на поверхности кривую, называемую меридианом поверхности.

Меридианы, проекции которых дают очерки поверхности, называют главными.

Известно, что точка, например, точка на рис. 33, 34, принадлежит поверхности, если она принадлежит линии поверхности. В качестве линии на поверхности выбирают графически простые линии — прямые или окружности. Для линейчатых поверхностей — это будут образующие -прямые линии» для поверхностей вращения — параллели — окружности.

На рис. 35, 36 показано решение задач на построение ортогональных проекций точки , принадлежащей поверхности.

Решение:

Решение задачи на построение точки, принадлежащей поверхности, проводится в следующей последовательности:

1) одну проекцию точки задаем произвольно в пределах очерка поверхности,

2) через заданную проекцию точки проводим одноименную проекцию вспомогательной линии поверхности;

3) находим другую проекцию проведенной линии исходя из принадлежности ее данной поверхности,

4) на найденной проекции вспомогательной линии отмечаем искомую проекцию точки.

На рис. 35 а, б, в проекции точки построены на поверхности наклонной призмы, наклонного конуса, коноида с помощью прямолинейной образующей , проходящей через точку, .

На рис. 36 а,б,в проекции точки , принадлежащей соответственно поверхности вращения общего вида, сфере, тору, построены с помощью вспомогательной окружности-параллели, проходящей через эту точку.

Проекции точки , принадлежащей поверхности кругового конуса, могут быть построены как с помощью окружности-параллели, так и с помощью прямолинейной образующей (рис. 36 г,д).

Поверхность может занимать относительно данных плоскостей проекций проецирующее положение (рис. 36 е.ж).

Поверхность является проецирующей относительно той плоскости проекций, которой ее образующие перпендикулярны. Проецирующей может быть только поверхность цилиндра, призмы.

Построение проекций точки, принадлежащей проецирующей поверхности, не требует введения вспомогательных линий поверхности, так как соответствующие ее проекции будут всегда расположены на вырожденной проекции данной поверхности.

Самоконтроль 8. Которая из отмеченных точек принадлежит заданной на рис. 37 поверхности вращения? Ответ:

8 а — точка А (с. 55) 8 б — точка В (с. 56). Построение проекций линии, принадлежащей поверхности, принципиально не отличается от построения проекций точки, принадлежащей поверхности. Различие состоит в том, что определяются проекции не одной, а множества точек, принадлежащих линии.

Если задана одна проекция линии, принадлежащей поверхности, то решение задачи на построение второй проекции этой линии сводится к следующему:

1) на заданной проекции линии задают проекции некоторых точек;

2) через проекции отмеченных точек проводят одноименные проекции вспомогательных линий поверхности;

3) строят вторую проекцию вспомогательных линий поверхности;

4) находят вторую проекцию отмеченных точек на соответствующих проекциях вспомогательных линий;

5) соединяют построенные проекции отмеченных точек с учетом их видимости и получают искомую проекцию заданной на поверхности линии.

Если необходимо определить проекции линии, принадлежащей проецирующей поверхности, то построения значительно упрощаются за счет наличия вырожденной проекции, обладающей собирательным свойством.

Необходимо отметить, что следует внимательно отнестись к выбору точек, с помощью которых будет строиться вторая проекция заданной линии.

Если нужно строить ломаную линию, то обязательно нужно построить точки излома. Обязательному построению подлежат также точки, лежащие на характерных линиях поверхности (очерковых линиях, ребрах многогранной поверхности), Если заданы закономерные кривые, то необходимо строить характерные точки этой кривой (вершины, точки, определяющие оси симметрии, кривой и т.д.).

На рис. 38-42 приведены примеры построения проекций линий, привадлежащих различным поверхностям. Проследите за выполненными на этих рисунках построениями.

Пример задачи №13.

Задана фронталь проекция линий, принадлежащих поверхности данного тела (рис, 38).

Требуется построить их другие проекции.

Решение:

Боковая поверхность тела — горизонтально проецирующая, поэтому горизонтальные проекции отмеченных на фронтальной проекции точек 1-10 находим на вырожденной проекции тела, т.е. на горизонтальном очерке.

Их профильные проекции строим по двум проекциям — фронтальной и горизонтальной.

Точки 3. 5, 7, 9 — случайные, с их помощью определяют кривизну полученных в профильной проекции кривых.

Пример задачи №14.

Задана горизонтальная проекция линии, принадлежащей поверхности кругового конуса (рис. 39).

Требуется построить отсутствующие проекции этой линии.

Решение Конус — поверхности общего вида. Заданная линия гипербола. Ее вершина определяется точкой 4, Точка 5 определяет видимость кривой во фронтальной проекции, точка 3 — в профильной. Их проекции отмечаем на главных меридианах поверхности. Случайные точки 2, 6 и высшую точку 4 строим с помощью окружностей параллелей, проведенных через эти точки,

Пример задачи №15.

Задана фронтальная проекция двух линий, принадлежащих поверхности сферы (рис. 40).

Требуется пост роить их горизонтальную и профильные проекции.

Решение:

Сфера — поверхность общего вида. Каждая из этих линий половина окружности. Полуокружность 3-9 изображается и горизонтальной и профильной проекциях н виде половины эллипсон. Точки 9, 3 определяют одну ось эллипса, точка 6 — другую полуось, В качестве вспомогательных линий при построении проекций отмеченных точек использованы окружности-параллели сферы.

Пример задачи №16.

Задана фронтальная проекция двух линий, принадлежащих поверхности тора (рис. 41).

Требуется построить их горизонтальную и профильные проекции.

Решение:

Каждую из отмеченных во фронтальной проекции точек находим на других проекциях с помощью окружностей-параллелей, проходящих через эти точки,

Точка 8 определяет видимость кривой 5-10 в горизонтальной проекции. Точка 3 характерна для кривой 1 -5.

Пример задачи №17.

Задана фронтальная проекции линии , принадлежащей поверхности гиперболического параболоида — косой плоскости (рис. 42). Требуется построить ее горизонтальную проекцию.

Решение:

Каждую из отмеченных во фронтальной проекции точек 1-4 кривой определяем с помощью прямолинейных образующих поверхности.

Видимость кривой в горизонтальной проекции не устанавливаем, считая поверхность гиперболического параболоида прозрачной.

Пересечение фигур

Фигурой пересечения прямой и плоскости является точка, двух плоскостей — примам линия, прямой и поверхности — две точки, плоскости и поверхности — крипая или ломаная линия.

Среди множества точек, принадлежащих кривым пересечения, выделяют характерные и случайные точки.

Алгоритм построения точек общих для двух пересекающихся фигур различен в зависимости от того, какое положение этифигуры занимают относительно данных плоскостей проекций, общее или проецирующее.

Если обе пересекающиеся фигуры или одна из них проецирующие, то алгоритм решения упрощается, так как в этом случае одна или две проекции искомой фигуры пересечения совпадают с вырожденными проекциями проецирующих фигур.

Другие проекции искомых точек фигуры пересечения находят по двум отмеченным их проекциям или же, в случае если одна фигура проецирующая, по принадлежности этих точек фигуре общего вида, участвующей в данном пересечении.

В том случае, если пересекаются две геометрические фигуры общего вида, то для получения точек общих для них используют способ посредников, плоскостей или поверхностей.

Рассмотрим три варианта решения задач на пересечение фигур при их различном положении относительно данных плоскостей проекций.

Если пересекаются две фигуры, занимающие относительно данных плоскостей проекций проецирующее положение, то две проекции искомой фигуры пересечения совпадают с вырожденными проекциями проецирующих фигур, третью прсекцию находят по двум отмеченным.

Пример задачи №18.

Построить линию пересечения поверхности цилиндра с плоскостью (рис. 44).

Решение:

Анализируя пересекающиеся фигуры, устанавливаем, что боковая поверхность цилиндра горизонтально проецирующая, я плоскость фронтально проецирующая. Отсюда следует, что горизонтальная проекция фигуры пересечения совпадает с вырожденной проекцией цилиндра, т.е. с окружностью, фронтальная — со следом .

Наметив на фронтальной и горизонтальной проекциях фигуры пересечения ряде точек (точки 1-5), строим их профильные проекции (см. значение для точки 4). Кривой пересечения будет эллипс.

Пример задачи №19.

Построить линию пересечения двух цилиндров (рис. 45).

Решение:

Меньший цилиндр горизонтально проецирующий, больший — профильно проецирующий, следовательно горизонтальные и профильные проекции точек, принадлежащих линии пересечения, могут быть отмечены ла соответствующих вырожденных проекциях цилиндров.

Фронтальную проекцию искомой линии находим но двум имеющимся проекциям (см. и ).

Пересекаются две геометрические фигуры из которых одна общего положения, другая — проецирующая

В этом случае одна проекция фигуры пересечения совпадаете вырожденной проекцией проецирующей фигуры, другую ее проекцию находим по принадлежности искомых точек фигуре общего вида, участвующей в пересечении,

Пример задачи №20.

Построить пересечение прямой с плоскостью (рис. 46 а).

Решение:

Так как прямая фронтально проецирующая, то фронтальная проекция искомой точки (рис. 46 б) совпадает с вырожденной проекцией прямой . Горизонтальную проекцию находим по принадлежности точки фигуре общего вида, т.е. плоскости . Делаем это с помощью вспомогательной прямой 1-2.

Видимость прямой относительно безграничной непрозрачной плоскости устанавливается по правилу конкурирующих точек (см. ). Проекция выше, а значит проекция в окрестности выбранных конкурирующих точек будет невидима. Видимость проекции прямой меняется после точки пересечения.

Пример задачи №21.

Построить линию пересечения двух плоскостей и (рис. 47 а).

Решение:

— горизонтальная плоскость и в тоже время фронтально проецирующая, следовательно, фронтальная проекция линии пересечения совпадает со следом (рис. 47 б ), горизонтальную проекцию строим по принадлежности этой линии фигуре общего вида, т.е плоскости .

Пример задачи №22.

Определить точки пересечения прямой с поверхностью конуса (рис. 48).

Решение:

Прямая — фронтально проецирующая, значит . проекции и находим по принадлежности искомых точек поверхности общего вида, т.е. конусу, для чего используем вспомогательные образующие .

Пример задачи №23.

Построить линию пересечения наклонного цилиндра с плоскостью (рис. 49).

Решение:

Искомая линия будет кривой. Плоскость — горизонтально проецирующая, следовательно, горизонтальная проекция искомой кривой совпадает со следом

Отмечаем на следе точки, подлежащие определению во фронтальной проекции, выделив при атом обязательно точки, принадлежащие очерковым образующим.

Каждую изотчеченнык точек находим во фронтальной проекции по принадлежности поверхности цилиндра. Делаем это с помощью образующих цилиндра.

Проследите по чертежу за этими построениями. Точки принадлежат горизонтальному очерку цилиндра, — фронтальному очерку. Точки 1, 2 — случайные.

Заметим, что видимой считаем точку, которая принадлежит видимой на данной проекции образующей. Точки 1, 2 во фронтальной проекции обе невидимы, в горизонтальной точка 2 — видима, — невидима.

Пример задачи №24.

Построить линию пересечения тора и цилиндра (рис. 50).

Решение:

Цилиндр — профильно проецирующий, следовательно с его профильной проекцией совпадает профильная проекция искомой линии пересечения.

Намечаем на ней точки, подлежащие определению в других проекциях, и находим каждую ил них по принадлежности фигуре общего вида, т.е. поверхности тора. Делаем это с помощью окружностей — параллелей,

Точки — характерные, Точки определяют видимость кривой в горизонтальной проекции, Точки 1,2- случайные.

Пример задачи №25.

Построить линию пересечения пирамиды и цилиндра (рис. 51).

Решение:

Цилиндр — горизонтально проецирующий, следовательно его горизонтальной проекцией совпадает горизонтальная проекция искомой линии. Фронтальные проекции точек, отмеченных на этой линии, находим по принадлежности и к поверхности пирамиды. Делаем Это с помощью линий, параллельны основанию пирамиды.

Проследите за этими построениями на примере точек I, 2.

Пример задачи №26.

Построить линию пересечения тора и призмы (рис. 52).

Решение:

Призма — горизонтампроецирующая, следовательно с ее горизонтальной проекцией совпадает горизонтальная проекция искомой линии пересечения.

Намечаем на ней точки 1-4, подлежащие определению но фронтальной и профильной проекциях

Точка 3 — случайная. Ее фронтальная проекция построена с помощью окружности — параллели, проведенной через эту точку. Радиус параллели для точки 3 определяется положением точки .

Точка 2 принадлежит фронтальному очерку тора. Радиус параллели для точки 4 определяется положением точки .

Самоконтроль 10. Назовите плоскость, которая пересекает поверхность конуса по гиперболе (рис. 53).

Ответ: 10 а — плоскость (с. 55). 10 б — плоскость (с. 56).

Пересекаются две геометрические фигуры общего положения

Для построения проекций их пересечения используют способ посредников. Посредником может быть плоскость или поверхность*

Сущность способа посредников следующая.

Обе заданные фигуры и (рис. 54) пересекают посредником , находят линии и пересечения заданных фигур с посредником и в пересечении полученных линий отмечают точки , общие для пересекающихся фигур.

При выборе посредника руководствуются тем, чтобы линии, получаемые в пересечении посредника с заданными фигурами, был и графически простыми. Количество посредников зависит от вида пересекающихся фигур,

В случае пересечения прямой с плоскостью или поверхностью плоскость посредник, чаще всего проецирующую, проводят через прямую (рис. 55).

Использование плоскостей посредников

Пример задачи №27.

Определить точку пересечения прямой с плоскостью (рис. 56 а).

Решение:

Так как прямая и плоскость — фигуры общего вида, то для решения задачи используют способ посредников.

Посредник, плоскость проводим через прямую (см. рис. 56 б) и строим линию пересечения посредника с заданной плоскостью , линию . Линию определяют точки 1, 2.

В пересечении линии с заданной прямой отмечаем искомую точку .

Видимость прямой относительно непрозрачной плоскости устанавливаем по правилу конкурирующих точек. Так видимость прямой в горизонтальной проекции определяем с помощью горизонтально конкурирующие точек 3, 4 (см, ).

Так как точка 3, принадлежащая прямой , т.е. плоскости во фронтальной проекции расположена выше, чем точка 4, принадлежащая прямой , то плоскость закрывает в горизонтальной проекции прямую , следовательно, прямая в этой части чертежа невидима.

Во фронтальной проекции видимость прямой относительно непрозрачной плоскости устанавливаемой по фронтально конкурирующим точкам Так как проекция ближе к глазу наблюдателя, чем проекция то прямая в этой части чертежа видима.

Пример задачи №28.

Определить точки пересечения прямой с поверхностью вращения (рис.57).

Решение:

Так как пересекаются геометрические фигуры общего вила, то через прямую, также как и в предыдущем примере, проводим фронтально проецирующую плоскость и строим линию пересечения плоскости-посредника с поверхностью вращения, линию . В пересечении полученной линии с прямой отмечаем искомые точки .

Проекции — видимые, — невидимая.

Пример задачи №29.

Определить линию пересечения двух плоскостей (рис.58).

Решение:

Обе плоскости общего положения, поэтому дли определении точек и , общих для них, используем способ посредников. В качестве посредников выбраны плоскости и .

Пример задачи №30.

Определить линию пересечении сферы и тора (рис. 59).

Решение:

Обе поверхности общею вида, поэтому дли решении задачи используем способ посредников.

Посредники, плоскости и перпендикулярны плоскости и оси тора .

Плоскость пересекает сферу и тор по окружностям и , радиусы которых определяют точки и . В пересечении окружностей получаем точки, общие для сферы и тора, точки 1, 2.

С помощью посредника получаем точку , положение которой в горизонтальной проекции определяет переход кривой от ее видимой части к невидимой.

Использование сфер-посредников

Соосные поверхности пересекаются по окружностям. Сфера соосна с любой поверхностью вращения, если ее центр расположен на оси поверхности вращении.

Использование концентрических сфер в качестве посредников возможно, ели (рис. 60);

пересекаются поверхности вращения; оси поверхностей вращения пересекаются;

плоскость, образованная осями пересекающихся поверхностей, параллельна плоскости проекций.

На рис. 60 а показано определение точек общих для конуса и цилиндра , с помощью введения посредника — сферы Сфера пересекает конус по окружностям и , цилиндр по окружностям и . В их пересечении отмечаем точки общие для сферы , конуса и цилиндра,

На рис. 60 б построена линия пересечения конуса и цилиндра.

Проведено множество сфер- посредников, среди которых особо нужно выделить сферу с , который определяется размером максимальной нормали.

Горизонтальные проекции полученных точек определяем исходя из принадлежности их поверхности конуса.

Кстати готовые на продажу задачи тут, и там же теория из учебников может быть вам поможет она.

Теорема г. монжа

Если две поверхности второго порядка описаны около третьей поверхности, второго порядка или вписаны а нее), то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки касания.

На рис- 61 построены проекции линии пересечения конуса и цилиндра, описанных вокруг сферы.

Линией их пересечения являются два эллипса, фронтальные проекции которых изображаются на чертеже в виде прямых линий.

На рис. 62, 6J даны примеры пересекающихся поверхностей, когда проекции линии пересечения, согласно теореме Г.Монжа, представляют собой отрезки прямых линий.

Примеры решения задач по всем темам начертательной геометрии

Начертательная геометрия – это раздел геометрии, в котором пространственные фигуры изучаются с помощью их изображений на плоскости (чертежей). Разработка методов построения и чтения чертежей, решения геометрических и технических задач является предметом изучения начертательной геометрии. В начертательной геометрии используются графические методы решения задач, поэтому к чертежам предъявляются особые требования – обратимость, точность, наглядность и другие.

Правила построения изображений фигур основано на методе проецирования. Наиболее распространенными в начертательной геометрии являются чертежи, полученные при проецировании фигур на две плоскости – комплексные чертежи в системе двух плоскостей проекций. Под фигурой будем понимать любое множество точек.

Изображением точки, которая является элементом фигуры, является пара точек – две связанные между собой проекции точки. Каждой точке пространства соответствует единственная пара точек плоскости чертежа и каждой паре точек плоскости чертежа соответствует единственная точка пространства. Пара точек плоскости чертежа является геометрической моделью точки пространства.

Изображения фигур пространства, получаемые методами начертательной геометрии, являются геометрическими моделями этих фигур на плоскости. Между фигурой и ее изображением устанавливается строгая геометрическая связь, что позволяет судить о форме и размерах фигуры по ее изображению.

Задачи в начертательной геометрии обычно делятся на позиционные (задачи на определение общих элементов заданных фигур), метрические (задачи на определение значений геометрических величин – длин отрезков, размеров углов и т.д.) и конструктивные (задачи на построение фигур, удовлетворяющих заданным условиям). Знание элементарной геометрии, методов решения позиционных и метрических задач дает возможность решать и конструктивные задачи.

Метод проекций

Для того чтобы чертеж соответствовал изображаемому предмету и передавал его свойства, он должен быть построен по определенным геометрическим законам. Правила построения изображений в инженерной геометрии основаны на методе проекций.

Метод проекций предполагает наличие плоскости проекций, объекта проецирования и проецирующих лучей.

Проекцией точки на плоскость называется точка пересечения с этой плоскостью проецирующего луча , проходящего в пространстве через точку (рис. 1.1).

Различают два метода проецирования: центральное и параллельное.

Центральное и параллельное проецирование

При центральном проецировании все проецирующие лучи проходят через точку , называемую центром проекций и не лежащую в плоскости проекций. Для построения проекций некоторых точек (рис. 1.2) проводим через эти точки и центр проекций проецирующие лучи до пересечения с плоскостью . На плоскости проекций каждой точке будет соответствовать единственная точка — проекции .

Центральное проецирование обладает наглядностью, оно используется при построении изображений архитектурно-строительных объектов, но даст значительное искажение размеров, вследствие чего не применяется для выполнения чертежей.

При параллельном проецировании проецирующие лучи параллельны заданному направлению (рис. 1.3). Точки пересечения проецирующих лучей, проходящих через точки с плоскостью проекций — параллельные проекции на плоскости .

Параллельное проецирование можно рассматривать как частный случай центрального при бесконечно удаленном центре проекций. В зависимости от направления проецирующих лучей относительно плоскости проекций параллельное проецирование может быть прямоугольным (проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций) и косоугольным (проецирующие лучи составляют с плоскостью проекций угол, не равный ).

Прямоугольной (ортогональной) проекцией точки (рис. 1.4) является основание перпендикуляра , проведенного из точки на плоскость . Динамический рисунок с перемещением точек и в пространстве относительно плоскости проекций можно посмотреть здесь.

Ортогональное проецирование имеет ряд преимуществ перед центральным и косоугольным параллельным проецированием.

Для разработки чертежей применяется в основном прямоугольное (ортогональное) проецирование. Прямоугольное проецирование включает в себя все свойства центрального и параллельного проецирования.

1. Каждая точка и прямая в пространстве имеют единственную проекцию на плоскости, так как через любую точку в пространстве можно провести только один проецирующий луч (рис. 1.4).
2. Каждая точка на плоскости проекций может быть проекцией множества точек, если через них проходит общий проецирующий луч (рис. 1.5).
3. Если точка принадлежит прямой, то проекция точки принадлежит проекции этой прямой (рис. 1.6).

1. Отношение отрезков прямой равно отношению их проекций (рис. 1.6):

1. Проекции параллельных прямых параллельны. Если , то (рис. 1.7). Если прямая перпендикулярна плоскости проекций, то проекцией этой прямой является точка (прямая , рис. 1.8).

1. Если отрезок прямой параллелен плоскости проекций, то на эту плоскость отрезок проецируется в натуральную величину (прямая , рис. 1.8).

Точка в системе двух и трех плоскостей проекций

Возьмем в пространстве две взаимно перпендикулярные плоскости. Одна из них располагается горизонтально — ее называют горизонтальной плоскостью проекций и обозначают буквой . Другая плоскость перпендикулярна горизонтальной и называется фронтальной плоскостью проекций. Эта плоскость обозначается буквой (рис. 1.9). Линия пересечения плоскостей проекций называется осью проекций. Ось проекций разделяет каждую из плоскостей на две полуплоскости.

Спроецируем точку на плоскости проекций и . Горизонтальной проекцией точки называют прямоугольную проекцию точки на горизонтальной плоскости проекций. Горизонтальную проекцию находим как точку пересечения перпендикуляра, проведенного из точки , с плоскостью . Обозначим ее символом . Проведем из точки в плоскости перпендикуляр на ось и отметим вспомогательную точку .

Фронтальной проекцией точки называют прямоугольную проекцию точки на фронтальной плоскости проекций. Фронтальную проекцию находим как точку пересечения перпендикуляра, проведенного из точки , с плоскостью . Обозначим ее .

Для получения плоского чертежа точки необходимо совместить плоскость с плоскостью поворотом вокруг оси . При этом отрезки и образуют один отрезок , перпендикулярный к оси . Отрезок называется линией проекционной связи (рис. 1.10). Без обозначения плоскостей и этот чертеж будет выглядеть так, как показано на рис. 1.11. Полученный чертеж имеет название эпюр Монжа (Epure — чертеж (франц.)), в честь основоположника начертательной геометрии французского ученого Гаспара Монжа.

Иногда двух проекций геометрического элемента бывает недостаточно, чтобы определить его форму и истинные размеры. Тогда выполняют построение изображения на третьей плоскости. Введем в систему , третью плоскость проекций, перпендикулярную плоскостям и . Ее называют профильной плоскостью проекций и обозначают (рис. 1.12).

Три взаимно перпендикулярные плоскости проекций называются координатными плоскостями. Они пересекаются по трем взаимно перпендикулярным прямым которые называются осями координат и обозначаются . Общая точка — начало координат.

Рассмотрим построение трех проекций некоторой точки пространства. Зададимся произвольной точкой (рис. 1.12). Проецирование на плоскости и выполняется аналогично приведенному выше примеру проецирования точки на две плоскости проекций. Профильной проекцией точки является прямоугольная проекция точки на профильной плоскости проекций . Обозначим ее .

Часто с осями проекций совмещают декартову систему координат. Из рис. 1.12 видно, что:

(высота точки — аппликата);

(глубина точки — ордината);

(широта точки — абсцисса).

Чтобы перейти к плоскому изображению, повернем плоскость вниз вокруг оси и плоскость яз вправо вокруг оси до совмещения с плоскостью . При развороте плоскостей и ось воспроизводится дважды.

На рис. 1.13 показано расположение проекций точки после совмещения плоскостей проекций.

Прямые, соединяющие на чертеже две проекции одной и той же точки, являются линиями проекционной связи, между и — вертикальная линия связи, между и — горизонтальная линия связи, между проекциями и — ломаная линия связи. Переход от оси плоскости к оси плоскости может осуществляться при помощи дуги или вспомогательной прямой, проведенной под углом к оси .

На рис. 1.14 выполнено построение профильной проекции точки по заданной горизонтальной и фронтальной . Построение выполняется следующим образом.

1. Проводим через проекцию горизонтальную линию связи, на которой находится профильная проекция .
2. Проводим ломаную линию связи через до пересечения с горизонтальной линией связи, проведенной через фронтальную проекцию .

Профильную проекцию можно получить, откладывая на горизонтальной линии связи от точки отрезок, равный координате .

Как известно, положение точки в пространстве может быть задано при помощи трех ее координат (абсциссы , ординаты , аппликаты ), т. е. трех чисел, выражающих расстояния от этой точки до трех плоскостей проекций. Запись координат точки производится в такой форме: . Например, задана точка . Эта запись означает, что точка определяется координатами .

Если масштаб для построения чертежа задан или выбран, то построение проводят так, как показано на рис. 1.13, 1.14 — откладывается на оси от точки отрезок , а на перпендикуляре к этой оси, проведенном из точки ,откладывают отрезки и . Затем строят профильную проекцию , как описано выше.

Проекции отрезка прямой линии

Как известно из элементарной геометрии, прямая линия определяется двумя точками, поэтому чтобы построить проекции этой прямой, необходимо иметь проекции двух точек, принадлежащих этой прямой.

Возьмем на произвольной прямой две точки и (рис. 1.15). Их проекции и на плоскости по определяют прямую, которую можно рассматривать как линию пересечения плоскости с плоскостью , определяемой прямой и проецирующими лучами и . Линия пересечения плоскостей и проходит через проекции и на плоскости . Эта линия и является проекцией прямой на плоскости проекций .

Одна проекция прямой не определяет ее положения в пространстве. Для однозначного определения прямой в пространстве необходимы как минимум две проекции.

Прямые общего и частного положения

Прямые в пространстве могут занимать относительно плоскостей проекций различное положение. Прямую, не параллельную ни одной из плоскостей проекций, называют прямой общего положения. На рис. 1.16, а дано пространственное изображение, а на рис. 1.16,6-чертеж прямой .

Точки и находятся на разных расстояниях от каждой из плоскостей проекций, т. е. прямая не параллельна ни одной из них. Значит, прямая общего положения.

На представленном примере показан перемещающийся в пространстве отрезок и его проекции на три плоскости.

По двум известным проекциям отрезка прямой всегда можно построить третью проекцию, так как любая пара проекций содержит все три координаты конечных точек отрезка.

Прямые, параллельные или перпендикулярные к плоскостям проекций, называются прямыми частного положения.

Прямая, параллельная плоскости проекций, называется прямой уровня. Существуют три линии уровня.

Прямая, перпендикулярная к плоскостям проекций, называется проецирующей. Различают три вида проецирующих прямых.

Определение натуральной величины отрезка прямой и углов наклона прямой к плоскостям проекций

Отрезки прямых общего положения не проецируются в натуральную величину ни на одну из плоскостей проекций. Длину (натуральную величину — ) отрезка можно определить на основании свойства ортогонального проецирования.

Из рисунка 1.17 видно, что натуральная величина отрезка общего положения является гипотенузой прямоугольного треугольника . В этом треугольнике один катет параллелен плоскости и равен по длине горизонтальной проекции отрезка , а величина второго катета равна разности расстояний точек и до плоскости проекций , т. е. .

Угол — угол наклона отрезка к горизонтальной плоскости проекций .

Таким образом, на горизонтальной проекции отрезка (рис. 1.18) можно построить прямоугольный треугольник, взяв вторым катетом . Гипотенуза этого треугольника будет натуральной величиной отрезка , а угол определяет угол наклона отрезка к горизонтальной плоскости проекций .

Аналогичное построение можно сделать на фронтальной плоскости проекций, взяв в качестве второго катета разность расстояний концов отрезка () до фронтальной плоскости проекций . Отрезок -натуральная величина отрезка , угол — угол наклона к плоскости .

Относительное положение точки и прямой

Точка и прямая в пространстве могут занимать различное положение относительно друг друга. Если точка принадлежит прямой, то проекции этой точки лежат на одноименных проекциях данной прямой. Точка принадлежит прямой (рис. 1.19), так как се проекции и лежат на одноименных проекциях прямой и . Точки не принадлежат прямой , так как одна из проекций этих точек не лежит на соответствующей проекции прямой.

Задание плоскости на чертеже

Плоскостью называется поверхность, образуемая перемещением прямой линии, которая движется параллельно самой себе по неподвижной направляющей прямой.

На чертеже плоскость можно изобразить только в том случае, если она проецируется в линию. На рис. 1.20 плоскость , расположенная перпендикулярно к плоскости , проецируется на нее прямой линией .

Если плоскость не перпендикулярна к плоскости проекций, то изобразить ее на чертеже невозможно, так как проекции плоскости занимают полностью всю плоскость проекций.

Однако ее можно задать на чертеже, изобразив отдельные геометрические элементы, определяющие ее.

Такими элементами являются:

• три точки, не лежащие на одной прямой (рис. 1.21, а);
• прямая и точка, не лежащая на ней (рис. 1.21, б);
• пересекающиеся прямые (рис. 1.21, в);
• две параллельные прямые (рис. 1.21, г);
• плоская фигура (рис. 1.21, <)).

Плоскости общего и частного положения

Плоскость, не перпендикулярную ни к одной из плоскостей проекций, называют плоскостью общего положения (рис. 1.22). Эти плоскости имеют наибольшее распространение. Причем плоскость не ограничивается задающей ее плоской фигурой, а является бесконечной (если иное не оговорено в условии задачи).

К плоскостям частного положения относятся плоскости, перпендикулярные или параллельные плоскостям проекций.

Если плоскости перпендикулярны к одной из плоскостей проекций, то они называются проецирующими.

Различают горизонтально-проецирующую, фронтально-проецирующую и профильно-проецирующую плоскости.

Плоскости, параллельные какой-либо плоскости проекций, называются плоскостями уровня.

К ним относятся:

1. горизонтальная плоскость уровня — параллельная плоскости проекций ;
2. фронтальная плоскость уровня — параллельная плоскости ;
3. профильная плоскость уровня — параллельная плоскости .

Прямая и точка в плоскости

К числу основных задач, решаемых на плоскости, относятся: построение прямой, принадлежащей заданной плоскости; построение недостающих проекций точки, лежащей в плоскости. Решение указанных задач основано на известных положениях геометрии, перечисленных ниже.

• Прямая принадлежит плоскости, если две ее точки принадлежат этой плоскости.

Например, плоскость задана параллельными прямыми и (горизонтальные проекции и фронтальные проекции на рис. 1.23). Требуется построить горизонтальную проекцию прямой , лежащей в этой плоскости, если известна ее фронтальная проекция .

Прямые лежат в одной плоскости, поэтому точки и являются точками пересечения соответственно прямых и и и . По линиям связи определяем горизонтальные проекции точек и . Через проекции точек и проводим горизонтальную проекцию прямой.

1. Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку этой плоскости параллельно какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости.

Например, плоскость задана треугольником (проекции и на рис. 1.24). Требуется построить прямую, лежащую в плоскости и проходящую через точку . Через точку проводим прямую , параллельную .

Следует отметить, что через точку в плоскости треугольника можно провести множество прямых.

Точка принадлежит плоскости, если она находится на прямой, лежащей в этой плоскости. Например, необходимо определить фронтальную проекцию точки , принадлежащей плоскости, заданной треугольником (рис. 1.25). Через точку проведем горизонтальную проекцию прямой и построим . Проекции точки принадлежат одноименным проекциям прямой . По линии связи находим фронтальную проекцию точки .

Прямые особого положения в плоскости

К числу прямых, занимающих особое положение в плоскости, относятся горизонтали, фронтали, профильные линии. Прямая, принадлежащая данной плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций , называется горизонталью плоскости. Фронтальная проекция горизонтали параллельна оси . Построение проекций горизонтали треугольника , представленного проекциями и на рис. 1.26, начинается с проведения из вершины фронтальной проекции горизонтали , затем по линиям проекционной связи строится горизонтальная проекция .

На рис. 1.27 построение фронтали (линии, параллельной фронтальной плоскости проекций) треугольника удобно начать с горизонтальной проекции , затем с помощью линий проекционной связи строится фронтальная проекция .

Задачи с решением №1

Задача №1.

По заданным координатам точки построить ее проекции.

Решение:

По оси откладываем (точка на рис. 1.28). В точке восстанавливаем перпендикуляр к оси (линия связи) и, отложив на нем и , получаем — горизонтальную и — фронтальную проекции точки .

Затем из точки проведем перпендикуляр к оси (точка ). Радиусом переносим точку на ось на профильной проекции.

Из точки проводим горизонтальную линию связи. В пересечении линий связи получим точку — профильную проекцию точки .

Задача №2.

Через точку (проекции и на рис. 1.29) провести фронтальную прямую длиной под углом к плоскости и отложить на ней отрезок .

Решение:

Прямая параллельна фронтальной плоскости проекций яг и спроецирустся на эту плоскость в натуральную величину.

Из точки проводим прямую под углом к оси и откладываем на ней отрезок .

На фронтальной проекции откладываем отрезок . По линии связи определяем горизонтальную проекцию точки .

Вопросы для контроля

1. Как называются и обозначаются плоскости проекций?
2. Сформулируйте основные свойства прямоугольного проецирования.
3. Какие координаты определяют положение фронтальной проекции точки?
4. Какая прямая называется прямой общего положения?

Относительное положение двух прямых в пространстве

Прямые в пространстве могут занимать различное взаимное положение — они могут быть параллельными, пересекаться и скрещиваться. Из свойств параллельного проецирования следует, что если прямые параллельны (рис. 2.1), то их проекции также параллельны. На рис. 2.2 приведен чертеж параллельных прямых и . Проекции .

Если прямые в пространстве пересекаются, то их проекции также пересекаются и точка пересечения лежит на одной общей линии связи. Пересекающиеся прямые и , приведенные на рис. 2.3, а, имеют общую точку .

Поэтому горизонтальная () и фронтальная (К») проекции этой точки лежат на пересечении одноименных проекций данных прямых. На рис. 2.3, б проекции точки и соединены линией связи (находятся на одном перпендикуляре к оси проекций).

Если две прямые не параллельны и не пересекаются, то они называются скрещивающимися. Как видно из рис. 2.4, а и б, горизонтальные проекции точек и прямых и , заданных проекциями и , и фронтальные проекции точек и сливаются в одну, так как расположены на одной проецирующей прямой. Но эти точки пересечения одноименных проекций ( и ) не являются общими для двух прямых, и, следовательно, прямые и скрещиваются.

Пары точек и , лежащие на горизонтально-проецирующей прямой, или и , лежащие на фронтально-проецирующей прямой, называются конкурирующими.

Параллельность прямой и плоскости

Прямая, не лежащая в плоскости, может быть параллельна плоскости или пересекаться с ней. Решение вопроса о параллельности прямой и плоскости основывается на следующем свойстве: прямая параллельна плоскости, если она параллельна одной из прямых, лежащих в этой плоскости.

Задача и решение №2

Через точку требуется провести горизонтальную прямую, параллельную плоскости треугольника (рис. 2.5).

Построение следует начинать с проведения в плоскости треугольника произвольной прямой — горизонтали , например через вершину .

Затем через заданную точку проводим прямую , параллельную .

Если заданы плоскость и прямая, то для определения их параллельности нужно попытаться построить в плоскости прямую, параллельную заданной.

Параллельность двух плоскостей

Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые, принадлежащие одной плоскости, параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Так, на рис. 2.6 плоскость треугольника параллельна плоскости двух пересекающихся прямых и , проходящих через точку , так как две стороны и соответственно параллельны прямым и .

Задача:

Через точку требуется провести плоскость, параллельную плоскости параллельных прямых и (рис. 2.7, а).

Решение. Через точку проводим прямую , параллельную прямым и , задающим плоскость (рис. 2.7, б).

Для того чтобы получить вторую прямую, проводим в заданной плоскости произвольную прямую 1-2. Затем проводим через точку прямую , параллельную прямой 1-2. Прямые и пересекаются и параллельны двум пересекающимся прямым заданной плоскости, следовательно, плоскости параллельны.

Пересечение двух плоскостей

Линией пересечения двух плоскостей является прямая, которая строится по двум точкам, общим для обеих плоскостей (рис. 2.8). Линия пересечения, по которой пересекаются между собой две плоскости, проходит через точки и , в которых прямые и плоскости треугольника пересекают вторую плоскость, т. е. точки и принадлежат обеим плоскостям.

Для нахождения точек пересечения приходится выполнять целый ряд вспомогательных построений.

На рис. 2.9 приведен пример построения линии пересечения двух плоскостей: плоскости общего положения, заданной треугольником , и фронтально-проецирующей плоскости треугольника . В данном случае решение упрощается, так как одна из плоскостей занимает частное положение. Общими точками для этих двух плоскостей будут точки пересечения и сторон и треугольника с «вырожденной» проекцией треугольника . Фронтальная проекция линии пересечения совпадает с проекцией . Горизонтальные проекции и строятся при помощи линий связи.

При рассмотрении фронтальных проекций видно, что часть треугольника расположена над проекцией и на горизонтальной проекции будет видна («накрывает» плоскость треугольника ). Часть располагается под и «накрывается» плоскостью треугольника .

Теперь рассмотрим общий случай построения линии пересечения двух плоскостей. Пусть в пространстве (рис. 2.10) заданы две плоскости общего положения и , плоскость — двумя пересекающимися прямыми и , плоскость — двумя параллельными прямыми и . Для построения линии их пересечения необходимо найти две точки, общие для обеих плоскостей.

Для определения этих точек заданные плоскости пересекают двумя вспомогательными плоскостями. В качестве таких плоскостей применяют плоскости частного положения. В данном случае использованы горизонтальные плоскости и . Плоскость пересекает плоскости и по горизонталям 1-2 и 3-4 соответственно. Эти горизонтали, пересекаясь, определяют точку , общую для плоскостей и . Вторая вспомогательная плоскость пересекает заданные плоскости по горизонталям 5-6 и 7-8, которые, пересекаясь, определяют вторую общую точку . Прямая — искомая линия пересечения плоскостей и . На рис. 2.11 описанный метод применен для решения этой задачи на проекционном чертеже.

Пересечение прямой линии с плоскостью частного положения

Так как плоскости частного положения проецируются на перпендикулярную к ней плоскость проекций в виде прямой линии, то на этой прямой должна находиться соответствующая проекция точки пересечения прямой с проецирующей плоскостью. Примеры определения точек пересечения прямой с плоскостью частного положения даны на рис. 2.12.

На рис. 2.12, а прямая общего положения пересекается с фронтально-проецирующей плоскостью, заданной треугольником . Фронтальная проекция точки пересечения находится в точке пересечения фронтальной проекции прямой с проекцией . Горизонтальная проекция построена при помощи линий связи.

На рис. 2.12,6 прямая общего положения пересекается с горизонтальной плоскостью , заданной проекцией . В этом случае фронтальная проекция точки пересечения определена в пересечении фронтальной проекции прямой с проекцией плоскости . Горизонтальная проекция построена при помощи линии связи.

Во всех случаях плоскость считается «непрозрачной» — та часть прямой, которая закрывается плоскостью, показывается штриховой линией.

Пересечение прямой с плоскостью общего положения

Для определения точки пересечения прямой с плоскостью общего положения следует выполнить следующие построения:

• провести через прямую вспомогательную плоскость;
• построить линию пересечения вспомогательной плоскости с заданной;
• найти точку пересечения заданной прямой и построенной;
• определить видимые части проекций данной прямой.

На рис. 2.13 приведено построение точки пересечения прямой (проекции , ) с плоскостью, заданной треугольником (проекции ).

Через прямую проведена вспомогательная горизонтально-проецирующая плоскость . По горизонтальным проекциям и точек 1 и 2 находим фронтальные и , соединяя которые получаем фронтальную проекцию линии пересечения . Проекция пересекает фронтальную проекцию в точке , с помощью линии связи определяем горизонтальную проекцию точки . Видимость прямой и плоскости на горизонтальной плоскости проекций определяется с помощью горизонтально-конкурирующих точек 2 и 3. Точка 2 лежит на стороне а 3 — на прямой .

Их фронтальные проекции и показывают, что точка 2 находится ниже точки 3, поэтому на горизонтальной плоскости проекций горизонтальная проекция точки 2 будет закрыта проекцией точки 3. Отсюда следует, что проекция расположена ниже проекции и участок этой прямой с левой стороны до будет видимым. Относительную видимость на фронтальной плоскости проекций можно определить с помощью фронтально-конкурирующих точек 4 и 5.

На рис. 2.14 изображена горизонтально-проецирующая прямая , пересекающаяся с плоскостью общего положения, заданной треугольником .

Положение горизонтальной проекции точки пересечения известно а положение фронтальной проекции определено при помощи прямой треугольника .

Перпендикулярность прямой и плоскости

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.

На рис. 2.15 показано построение перпендикуляра из точки к плоскости треугольника . Направление проекций перпендикуляра определяется горизонталью (прямая ) и фронталью (прямая ) плоскости треугольника.

Горизонтальная проекция перпендикуляра проведена под прямым углом к проекции горизонтали, а фронтальная проекция расположена под прямым углом к фронтальной проекции фронтали.

Задача и решение №3

Пусть требуется построить плоскость, проходящую через точку и перпендикулярную данной прямой (рис. 2.16).

Искомую плоскость задаем двумя пересекающимися прямыми (горизонталью и фронталью ), проходящими через точку .

Горизонтальная проекция горизонтали перпендикулярна горизонтальной проекции прямой , фронтальная проекция фронтали перпендикулярна фронтальной проекции .

Если плоскости занимают частное положение, то перпендикуляры к этим плоскостям располагаются параллельно плоскостям проекций. Так, перпендикуляром к горизонтально-проецирующей плоскости (проекция ) является горизонталь (рис. 2.17, а). Фронтальная прямая перпендикулярна фронтально-проецирующей плоскости (проекция рис. 2.17, б). Горизонтально-проецирующая прямая является перпендикуляром к горизонтальной плоскости (проекция рис. 2.17, в).

Взаимно перпендикулярные прямые общего положения образуют прямой угол, который проецируется на плоскости проекций с искажением. В общем случае перпендикуляр к прямой можно построить с помощью плоскости, расположенной перпендикулярно к этой прямой.

На рис. 2.18 показано построение перпендикуляра из точки к прямой . Сначала через точку проводим плоскость, перпендикулярную к прямой . Эта плоскость задается двумя пересекающимися прямыми: горизонталью и фронталью (при этом горизонтальная проекция перпендикулярна к горизонтальной проекции , а фронтальная проекция перпендикулярна к фронтальной проекции ).

Затем определяем точку пересечения прямой с проведенной плоскостью. Для этого через прямую проводим фронтально-проецирующую плоскость , которая пересекает плоскость, заданную горизонталью и фронталью , по линии 1-2 (проекции .

В пересечении прямой 1-2 с прямой получается точка . Прямая является искомым перпендикуляром, так как пересекает прямую и находится в плоскости, перпендикулярной прямой .

При построении проекций перпендикуляра к прямым частного положения задача упрощается, так как одна из сторон прямого угла параллельна плоскости проекции и прямой угол на эту плоскость проекций проецируется без искажения.

Так на рис. 2.19, а показано построение проекций перпендикуляра, проведенного из точки к горизонтали . Горизонтальная проекция перпендикуляра располагается под прямым углом к горизонтальной проекции прямой . Фронтальная проекция определяется при помощи линий связи (точка принадлежит прямой ). На рис. 2.19, б показано построение проекций перпендикуляра, проведенного из точки к фронтально-проецирующей прямой . Построение фронтальной проекции перпендикуляра очевидно из рисунка, а его горизонтальная проекция перпендикулярна к горизонтальной проекции прямой .

Перпендикулярность двух плоскостей

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой. На рис. 2.20 показано построение плоскости, перпендикулярной к плоскости, заданной треугольником . Дополнительным условием здесь служит то, что искомая плоскость должна проходить через прямую . Следовательно, искомая плоскость определяется прямой и перпендикуляром к плоскости треугольника. Для проведения этого перпендикуляра в плоскости взяты горизонталь и фронталь (). Через точку прямой проведены проекции перпендикуляра к плоскости .

Образованная пересекающимися прямыми и плоскость перпендикулярна к плоскости , так как проходит через перпендикуляр к этой плоскости.

Задачи с решением

Задача №1.

Построить фронтальную проекцию отрезка прямой , принадлежащую плоскости, заданной двумя параллельными прямыми и (рис. 2.21).

Решение:

Обозначим горизонтальные проекции точек пересечения прямой с прямыми и соответственно и .

По линиям связи определяем их фронтальные проекции и и проводим искомую проекцию .

На примере здесь можно проследить ход решения подобной задачи.

Задача №2.

В плоскости, заданной прямой и точкой , провести горизонталь на расстоянии 15 мм от горизонтальной плоскости проекций (рис. 2.22).

Решение:

Зададим исходную плоскость двумя пересекающимися прямыми. Для этого из точки проведем прямую , пересекающую прямую в точке . Затем на расстоянии 15 мм от оси проведем фронтальную проекцию горизонтали . По линиям связи определим горизонтальные проекции точек и и через них проведем горизонтальную проекцию горизонтали.

Задача №3.

Построить линию пересечения двух плоскостей, заданных треугольниками и (условие на рис. 2.23).

Решение:

Для построения линии пересечения двух плоскостей общего положения используем вспомогательные плоскости. На рис. 2.24, а приведено построение линии пересечения .

Точка найдена как точка пересечения прямой с плоскостью треугольника . Для ее построения через сторону проведена фронтально-проецирующая плоскость (на рисунке проекция совпадает с проекцией ). Плоскость пересекает плоскость треугольника по прямой 1-2; точка получается как точка пересечения прямых и 1-2. Сначала находим горизонтальную проекцию точки , затем по линии связи строим фронтальную проекцию . Точка линии пересечения треугольников получена с помощью второй плоскости , которая проведена через прямую треугольника .

Фронтальная проекция совпадает с проекцией . Плоскость пересекает треугольник по линии 3-4. На пересечении прямых и 3-4 получается точка , принадлежащая линии пересечения двух треугольников. Сначала находится горизонтальная проекция точки , затем по линии связи определяется фронтальная проекция .

Для определения видимости сторон треугольников надо сравнить положение двух точек, из которых одна принадлежит стороне треугольника , вторая — стороне треугольника и у которых совпадают либо горизонтальные, либо фронтальные проекции (конкурирующие точки). В первом случае устанавливается, какая из этих точек «закрывает» другую по отношению к горизонтальной плоскости проекций, во втором — относительно фронтальной плоскости проекций.

На рис. 2.24, б в качестве примера приведены две горизонтально-конкурирующие точки — и . У этих точек совпадают горизонтальные проекции (). Но точка принадлежит стороне треугольника и расположена выше, чем точка , принадлежащая стороне треугольника . Следовательно, для наблюдателя, смотрящего на плоскость сверху, точка «закрывает» точку , а это значит, что данная часть треугольника , которой принадлежит точка , закрывает треугольник . Поэтому часть горизонтальной проекции стороны, закрытой треугольником , показывается штриховой линией.

Для определения видимости фронтальных проекций треугольников рассмотрим относительное положение двух фронтально-конкурирующих точек и (рис. 2.24, б), у которых фронтальные проекции совпадают .

Точка , расположенная на стороне треугольника , находится ближе к глазу наблюдателя, смотрящего на плоскость , чем точка , расположенная на стороне треугольника . Это значит, что часть треугольника , которой принадлежит точка , закрывает треугольник . Поэтому часть фронтальной проекции стороны , закрытой треугольником , показывается штриховой линией.

Вопросы для контроля

1. Какая плоскость называется плоскостью общего положения?
2. Какая плоскость называется проецирующей?
3. Как проверить принадлежность точки плоскости?
4. Какие линии в плоскости называются горизонталями, фронталями?
5. Каковы признаки параллельности прямой и плоскости, двух плоскостей?
6. Как построить точку пересечения прямой с плоскостью общего положения?

Способы преобразования проекций геометрических объектов

Решение задач значительно упрощается, если прямые линии и плоскости занимают частное положение относительно плоскостей проекций. В этом случае ответ получается или непосредственно по данному чертежу, или при помощи простейших построений.

Переход от общего положения геометрических элементов к частному выполняется следующими способами:

• введением дополнительных плоскостей проекций, расположенных либо параллельно, либо перпендикулярно рассматриваемому геометрическому элементу;
• изменением положения линии или плоской фигуры в пространстве при неизменной системе плоскостей проекций.

Основные задачи преобразования:

1. прямая линия общего положения становится прямой уровня;
2. прямая линия общего положения становится проецирующей прямой;
3. плоскость общего положения становится проецирующей плоскостью;
4. плоскость общего положения становится плоскостью уровня.

Способ замены плоскостей проекций

Сущность способа заключается в том, что положение заданных элементов (точек, линий, фигур, поверхностей) в пространстве остается неизменным, а система плоскостей проекций дополняется новыми плоскостями, по отношению к которым элементы задачи (прямая, плоскость) занимают частное положение.

На рис. 3.1 показана точка , заданная в системе плоскостей проекций . Заменим другой вертикальной плоскостью и построим новую фронтальную проекцию на эту плоскость. Так как плоскость проекций является общей для систем и , то координата точки остается неизменной. Следовательно, расстояние от новой фронтальной проекции до новой оси равно расстоянию от заменяемой проекции до оси . При этом проекция определена как основание перпендикуляра, опущенного из на . Горизонтальная проекция остается прежней, а координата в системе будет теперь иной и определяется расстоянием от точки до плоскости .

Для получения плоского чертежа плоскость вращением совмещается с . Также с совмещается новая фронтальная проекция , которая располагается на общем перпендикуляре с оставшейся без изменения горизонтальной проекцией (рис. 3.2).

Аналогично можно заменить горизонтальную плоскость проекций на новую, перпендикулярную . В этом случае измеряется величина координаты , которая определяет расстояние от точки до общей для двух систем плоскости .

Преобразование прямой общего положения в положение прямой уровня

Для преобразования прямой в прямую уровня (т. е. параллельную плоскости проекций) (рис. 3.3) вводят новую плоскость проекций так, чтобы ось проекций была параллельна какой-либо проекции (в данном случае — ). Затем проводятся линии связи перпендикулярно оси и откладываются координаты для построения проекций и , равные координатам проекций и . Новая проекция прямой даст натуральную величину отрезка и позволяет определить угол наклона этого отрезка к плоскости проекций . Угол наклона отрезка к фронтальной плоскости проекций можно определить, построив его изображение на дополнительной плоскости проекций (рис. 3.4). Ось параллельна фронтальной проекции отрезка . Проекция также будет представлять собой натуральную величину отрезка .

На примере здесь можно проследить последовательность построений при решении задачи с использованием способа замены плоскостей.

Преобразование прямой общего положения в проецирующую

Преобразование прямой общего положения в проецирующее положение требует двойной замены плоскостей проекций, так как плоскость, перпендикулярная прямой, не будет перпендикулярна ни к , и к .

На рис. 3.5 выполнено преобразование прямой общего положения в проецирующее. В результате первой замены происходит преобразование прямой в прямую, параллельную плоскости па- Для этого проводится новая ось проекций ‘ и находится проекция .

Затем выполняется вторая замена плоскостей проекций, переход к системе плоскостей . При этом ось проекций проводится перпендикулярно к . В результате прямая располагается перпендикулярно к плоскости проекций и проецируется в виде точки.

Преобразование плоскости общего положения в проецирующее положение

Известно, что если одна плоскость перпендикулярна другой, то она должна содержать прямую, перпендикулярную этой плоскости. В качестве такой прямой для преобразований плоскости в проецирующее положение следует взять прямую уровня, например горизонталь (рис. 3.6).

Плоскость , перпендикулярная к горизонтали и плоскости , является плоскостью, перпендикулярной к плоскости треугольника . Новая ось проекций проводится перпендикулярно проекции горизонтали . Затем определяются проекции вершин треугольника на плоскость . Проекция вырождается в прямую, что свидетельствует о том, что плоскость треугольника перпендикулярна плоскости . При этом угол наклона плоскости треугольника к плоскости на плоскость проецируется без искажения.

Аналогичное преобразование выполнено на рис. 3.7, где плоскость заменена плоскостью , перпендикулярной и плоскости треугольника . Для этого в плоскости проведена фронталь , перпендикулярно к которой располагается плоскость . Новая ось проведена перпендикулярно .

На линиях связи, проведенных из вершин треугольника перпендикулярно оси откладывают отрезки, равные Плоскость треугольника относительно стала проецирующей. Угол наклона плоскости треугольника к плоскости на плоскости проецируется без искажения.

Преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня

Преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня требует двойной замены плоскостей проекций, так как плоскость, параллельная заданной плоскости, не будет перпендикулярна ни ни , т. е. она не образует с плоскостью проекций ортогональной системы. На рис. 3.8 показано преобразование плоскости треугольника общего положения в положение уровня.

При первой замене ( па ) используется горизонталь треугольника . Новая ось проекций проводится перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали . Спроецировав треугольник на новую плоскость проекций , получим проекцию . Эти построения описаны выше.

На втором этапе преобразуем плоскость треугольника в плоскость уровня. Для этого перейдем от системы к системе . Новая плоскость устанавливается параллельно треугольнику, а значит, новая ось на чертеже проводится параллельно прямой, на которой расположены точки .

Через указанные точки проводят перпендикуляры — линии связи к новой оси и откладывают на них в плоскости отрезки, равные по длине расстояниям от оси до вершин и соответственно. Полученная проекция определяет истинную величину треугольника.

Подобные двойные преобразования используются для решения задач на определение углов при вершинах треугольника, построение высот и биссектрис его углов, центра вписанной (описанной) окружности и т. п., так как эти задачи требуют определения натуральных величин треугольников.

При вращении вокруг неподвижной прямой (оси вращения) каждая точка геометрического элемента перемещается в плоскости, перпендикулярной к оси вращения (плоскости вращения). Точка перемещается по окружности, центр которой находится в точке пересечения оси с плоскостью вращения, а радиус вращения равен расстоянию от вращаемой точки до центра. Если точка находится на оси вращения, то она остается неподвижной.

Вращение точки вокруг проецирующих прямых. На рис. 3.9 точка , вращаясь вокруг оси , описывает окружность, плоскость а которой перпендикулярна . Центр окружности (центр вращения) расположен в точке пересечения оси вращения с плоскостью , а радиус вращения равен длине отрезка .

Так как плоскость вращения параллельна плоскости , то проекция траектории вращающейся точки на плоскость представляет собой окружность радиуса , а на плоскость — отрезок прямой, параллельной оси . Через обозначено новое положение точки , которое она занимает после поворота на угол .

На рис. 3.10 приведен ортогональный чертеж точки , вращающейся вокруг горизонтально-проецирующей оси . После поворота на угол точка займет новое положение ( — плоскость вращения, — центр вращения, — радиус вращения).

Если ось вращения расположена перпендикулярно плоскости (рис. 3.11), то фронтальная проекция точки будет перемещаться по окружности, а горизонтальная — по прямой, перпендикулярной линиям связи. Новое положение точки, которое она занимает после поворота на угол — точка . Плоскость вращения — фронтальная плоскость .

Для поворота отрезка прямой на заданный угол необходимо повернуть на этот угол две точки, определяющие отрезок. Каждая из этих точек вращается в плоскости, перпендикулярной оси вращения, и будет иметь свой радиус вращения.

Плоскопараллельное перемещение отрезка

При плоскопараллельном перемещении все точки геометрической фигуры движутся в плоскостях, параллельных плоскости проекций, т. е. сохраняется основной принцип вращения вокруг проецирующих осей. На рис. 3.12 приведено наглядное изображение плоскопараллельного перемещения отрезка .

На рис. 3.12, а дано исходное положение отрезка — прямой, занимающей относительно плоскостей проекций общее положение. На рис. 3.12, б отрезок перемещен в новое положение, при этом точка движется в плоскости , точка — в плоскости . Обе плоскости параллельны горизонтальной плоскости проекций.

При таком перемещении угол наклона отрезка к плоскости сохраняется неизменным, поэтому не изменяется и длина горизонтальной проекции отрезка, т. е. . Последнее свойство имеет важное значение для решения задач.

На рис. 3.13 приведен пример плоскопараллельного перемещения отрезка в новое положение, параллельное фронтальной плоскости проекций. На этом чертеже отрезок перемещается в новое положение параллельно фронтальной плоскости проекций. При этом сначала перемещается в новое положение, параллельное оси , горизонтальная проекция отрезка, причем . Затем по линиям связи строится фронтальная проекция .

После перемещения отрезка в новое положение он станет параллельным плоскости и его новая фронтальная проекция будет равна натуральной величине. Соответственно, угол наклона проекции к оси проекций будет равен углу наклона отрезка к плоскости .

На рис. 3.14 приведено двойное плоскопараллельное перемещение отрезка с целью преобразования его в фронтально-проецирующее положение. Вначале произведено перемещение фронтальной проекции в положение, параллельное оси , причем . Отрезок занял положение, параллельное плоскости , и его горизонтальная проекция равна длине отрезка. Затем горизонтальная проекция перемещается в положение, перпендикулярное оси , причем .

Отрезок занял фронтально-проецирующее положение и его фронтальная проекция .

На рис. 3.15 показано перемещение треугольника , расположенного в плоскости общего положения, в положение плоскости уровня. При первом движении треугольник переводится во фронтально-проецирующее положение. Для этого в плоскости треугольника строится горизонтальная прямая , затем горизонтальная проекция перемещается в проецирующее положение (на свободном поле чертежа проводится отрезок перпендикулярно оси ).

В процессе перемещения размеры и форма горизонтальной проекции треугольника не изменяются. Построение вершин и выполняется засечками с помощью циркуля. Все вершины треугольника на фронтальной плоскости проекций перемещаются по горизонтальным линиям связи, пересечение которых с линиями связи, проведенными из соответствующих вершин новой горизонтальной проекции треугольника , образует новую фронтальную проекцию , перпендикулярную фронтальной плоскости проекций.

При втором движении все точки треугольника перемещаются в плоскостях, параллельных фронтальной плоскости проекций, в результате чего он займет положение горизонтальной плоскости уровня и его вырожденная фронтальная проекция расположится перпендикулярно линиям связи, оставаясь неизменной по длине. Новая горизонтальная проекция треугольника будет равна его натуральной величине.

Задачи с решением №4

Задача №1.

Определить расстояние между скрещивающимися прямыми и (рис. 3.16).

Решение:

Расстояние между скрещивающимися прямыми измеряется длиной перпендикуляра, общего к заданным прямым. Для решения задачи используем способ замены плоскостей проекций

Если в результате преобразования одна из прямых займет положение проецирующей относительно какой-либо плоскости проекций, т. е. будет представлять собой точку, то перпендикуляр, опущенный из этой точки на другую прямую, будет параллелен этой плоскости проекций и спроецируется на нее в натуральную величину. Прямая преобразуется в проецирующую двойной заменой плоскостей проекций.

Сначала построим проекции и на плоскости , расположенной параллельно прямой (проводим ).

Затем найдем проекции прямых и на плоскость , перпендикулярную прямой . На плоскость прямая спроецируется в точку ( ), а расстояние между нею и проекцией (отрезок ) будет искомой натуральной величинои расстояния между заданными прямыми.

Далее путем обратного проецирования строим проекцию отрезка на плоскость , при этом точку находим, проведя перпендикуляр из точки к проекции . Прямой угол здесь на искажается, так как проекция параллельна плоскости . С помощью линий связи находим проекции отрезка сначала на плоскости а затем на плоскости .

Задача №2.

Повернуть точку вокруг оси до совмещения ее с плоскостью общего положения, заданной пересекающимися прямыми ВС и CD (рис. 3.17).

Решение:

Точка вращается вокруг оси , перпендикулярной к плоскости проекций . Через точку проведена плоскость , перпендикулярная к оси вращения и, следовательно, параллельная . Горизонтальная плоскость пересекает заданную () по горизонтали . При вращении точка описывает окружность радиуса , величина которого определяется длиной перпендикуляра, проведенного из точки на ось.

Окружность проецируется на плоскость без искажения и пересекается с проекцией горизонтали в точках и , которые являются горизонтальными проекциями точки , т. е. задача имеет два решения.

По линиям связи находим фронтальные проекции точек и , лежащих на горизонтали .

Вопросы для контроля

1. Сформулируйте основные задачи преобразования чертежа.
2. Перечислите способы преобразования чертежа.
3. В чем заключается способ замены плоскостей проекций?
4. Как перемещаются проекции точки при вращении ее вокруг проецирующих осей?
5. В чем заключается способ плоскопараллельного перемещения?

Многогранники

Одним из видов пространственных форм являются многогранники — замкнутые пространственные фигуры, ограниченные плоскими многоугольниками. Эти многоугольники образуют грани. Общие стороны многоугольников называются ребрами’, вершины многогранных углов, образованных его гранями, сходящихся в одной точке, — вершинами многогранника. Наибольший практический интерес представляют собой призмы, пирамиды и правильные многогранники.

Призма — многогранник, две грани которого представляют равные многоугольники с взаимно параллельными сторонами (основаниями) (рис. 4.1). Ребра, не принадлежащие основаниям и параллельные друг другу, называют боковыми. Призму, ребра которой перпендикулярны к основаниям, называют прямой. Прямая призма называется правильной, если ее основаниями являются правильные многоугольники.

Пирамида — многогранник, одна грань которого — плоский -угольник (основание), а остальные грани — треугольники с общей вершиной (рис. 4.2). Если основанием пирамиды является правильный многоугольник и высота ее проходит через центр этого многоугольника, пирамиду называют правильной.

Многогранник называют правильным, если его грани представляют собой правильные и равные многоугольники.

Точка и прямая линия на поверхности многогранника

Точки на гранях призмы и пирамиды строятся при помощи вспомогательных прямых, принадлежащих соответствующим плоскостям граней. Чтобы определить по заданной фронтальной проекции точки 1, лежащей на грани призмы , горизонтальную проекцию (рис. 4.3), нужно провести через точку фронтальную проекцию вспомогательной прямой , параллельную ребрам призмы.

Фронтальная проекция точки 2, лежащей на грани , построена с помощью вспомогательной прямой , проведенной через проекцию . Недостающую проекцию точки 3, расположенную на ребре определим с помощью линии связи.

На рис. 4.4 показано построение недостающих проекций точек, находящихся на боковой поверхности пирамиды . Фронтальная проекция точки 1, расположенная на грани , представляющей собой профильно-проецирующую плоскость, построена с помощью линий связи.

Чтобы определить по заданной проекции точки 2, лежащей на грани , проекцию (рис. 4.4), используем горизонталь .

Фронтальная проекция горизонтали проведена через проекцию до пересечения с проекцией ребра в точке .

Горизонтальная проекция горизонтали проходит через точку параллельно проекции стороны .

Чтобы определить по заданной проекции точки , расположенной на грани , проекцию , используем прямую . Фронтальная проекция точки 4, расположенной на ребре , построена с помощью линий связи.

Пересечение многогранников плоскостью

При пересечении многогранника плоскостью в сечении получается многоугольник.

Определение вершин многоугольника сводится к построению точек пересечения прямых (ребер многогранника) с плоскостью — способ ребер. При определении сторон многоугольника решаются задачи на пересечение двух плоскостей — способ граней.

На рис. 4.5 показано построение проекций линии пересечения прямой четырехугольной призмы фронтально-проецирующей плоскостью (проекция ).

Пересечение проекции а» с фронтальными проекциями боковых ребер призмы дает проекции вершин многоугольника сечения. Горизонтальные проекции этих вершин совпадают с «вырожденными» проекциями соответствующих ребер, так как призма прямая. Профильные проекции вершин определим при помощи горизонтальных линий связи на соответствующих проекциях ребер призмы.

Натуральная величина многоугольника еечения найдена способом плоскопараллсльного перемещения. Переместим фронтальную проекцию сечения в горизонтальное положение.

Проекция — натуральная величина многоугольника сечения.

Развертка поверхности призмы

Разверткой называется фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с плоскостью (без наложения элементов поверхности друг на друга).

Развертки необходимы при изготовлении изделий из листового материала. Построение разверток поверхностей многогранников рассмотрим на примерах призмы и пирамиды.

Развертка боковой поверхности призмы, представленной на рис. 4.5, состоит из четырех прямоугольников, у которых одна сторона равна высоте призмы, а другие стороны равны сторонам основания призмы (рис. 4.6).

Для построения развертки боковой поверхности усеченной призмы наносим на развертку точки расположенные на соответствующих ребрах. Чтобы получить полную развертку усеченной части призмы, к одному из участков линии пересечения пристраиваем натуральную величину сечения.

Развертку усеченной части призмы обводим сплошной толстой основной линией, линии сгиба — штрихпунктирной с двумя точками линией. Достроив к сторонам прямоугольника верхнее и нижнее основание призмы, получим полную развертку ее поверхности.

Пересечение пирамиды проецирующей плоскостью

На рис. 4.7 приведено построение проекций линии пересечения четырехугольной пирамиды фронтально-проецирующей плоскостью .

Фронтальные проекции вершин многоугольника сечения находятся в пересечении следа-проекции плоскости с фронтальными проекциями боковых ребер пирамиды. Проекции и точек 2 и 3, лежащих на ребрах и , совпадают, так как грань является фронтально-проецирующей плоскостью. Горизонтальные и профильные проекции точек 1, 2, 3, 4 определяются по линиям связи на соответствующих ребрах пирамиды. Натуральная величина многоугольника сечения найдена способом перемены плоскостей проекций. Это четырехугольник .

Развертка поверхности пирамиды

Развертка боковой поверхности пирамиды состоит из четырех треугольников — боковых граней пирамиды (рис. 4.8). Для построения развертки необходимо знать натуральную величину всех фигур, составляющих развертку.

В данном случае одна из сторон боковых граней определяется натуральной величиной горизонтальной проекции ребра основания пирамиды, поскольку основание пирамиды занимает горизонтальное положение. На рис. 4.7 видно, что ребро параллельно фронтальной плоскости, следовательно проекция — его истинная величина. Для определения натуральной величины других боковых ребер используем способ вращения вокруг оси, проходящей через вершину перпендикулярно плоскости .

Поворачиваем ребра до положения, параллельного плоскости . Длины проекций являются натуральными длинами соответствующих ребер.

На рис. 4.8 представлено построение полной развертки усеченной пирамиды. Вначале на плоскости чертежа строим треугольники — боковые грани пирамиды — по трем сторонам, последовательно достраивая треугольники друг к другу боковыми ребрами. Пристроив к стороне одного из треугольников четырехугольное основание пирамиды, получим полную развертку ее поверхности.

Чтобы выделить на развертке усеченную часть пирамиды, находим положение вершины фигуры сечения на ребре . Зная натуральную величину многоугольника сечения , последовательно засекаем на ребрах развертки точки и , используя величину сторон многоугольника сечения.

Полученные на развертке точки соединяем отрезками прямых. Пристраиваем затем натуральную величину сечения к одному из участков линии пересечения . Полученную полную развертку поверхности усеченной пирамиды обводим сплошной толстой основной линией, а линии сгиба — штрихпунктирной с двумя точками линией.

Задача с решением №5

Задача №1.

Правильная треугольная пирамида усечена двумя плоскостями: фронтально-проецирующей и профильной (рис. 4.9). Построить недостающие проекции усеченной пирамиды.

Решение:

Плоскость а пересекает грань по отрезку 1-2, грань по отрезку 2-3, грань по отрезку 1-4.

Плоскость р пересекает грань по отрезку 3-5, а грань по отрезку 4-5. При построении проекций точек, принадлежащих линии пересечения, следует учитывать, что профильные проекции и ‘ совпадают, так как грань SAB пирамиды является профильно-проецирующей плоскостью.

Недостающие проекции точки 1, расположенной на ребре , и точки 5, расположенной на ребре , построены при помощи линий связи. Проекции точки 2, расположенной на ребре , определены при помощи линий связи сначала на профильной проекции ребра, а затем на горизонтальной.

Горизонтальные проекции точек 3 и 4 получены с помощью вспомогательной прямой , принадлежащей грани , и прямой , принадлежащей грани .

Построив горизонтальные проекции и этих прямых, по линии связи определим горизонтальные проекции точек 3 и 4, а затем их профильные проекции.

Плоскости и пересекаются по фронтально-проецирующей прямой 3-4. Соединив построенные проекции точек, получим проекции линии пересечения.

Вопросы для контроля

1. Какая фигура называется многогранником?
2. Дайте определение призмы, пирамиды, правильного многогранника.
3. Как определить недостающую проекцию точки на поверхности многогранника?
4. Что представляет собой сечение многогранника плоскостью?
5. В чем различие способов ребер и граней?
6. Как используется способ перемены плоскостей проекций при построении сечения многогранника плоскостью?

Поверхности вращения

Поверхность вращения (рис. 5.1) получается вращением прямолинейной или криволинейной образующей вокруг неподвижной прямой — оси поверхности. За ось вращения обычно принимается вертикальная прямая. Каждая точка образующей (например, точка ) описывает при своем вращении окружность с центром на оси . Эти окружности называются параллелями. Наибольшая из этих параллелей — экватор, наименьшая — горло.

Плоскости, проходящие через ось вращения, пересекают поверхность по меридианам. Меридиан, расположенный в плоскости, параллельной , называется главным.

Поверхность вращения называют закрытой, если криволинейная образующая пересекает ось поверхности в двух точках. Если образующая — прямая линия, то получается линейчатая поверхность вращения, если кривая — нелинейчатая.

Замкнутую область пространства вместе с ее границей (поверхностью) называют геометрическим телом.

Цилиндр вращения (рис. 5.2) образуется вращением прямой вокруг параллельной ей оси . Все точки образующей (например, точка ) описывают окружности (параллели), равные окружностям оснований цилиндра.

Конус вращения (рис. 5.3) образуется вращением прямой вокруг пересекающейся с ней оси . Все точки образующей описывают окружности различных радиусов (для точки — радиус ). Величина радиуса изменяется от нуля до радиуса окружности основания конуса.

Сфера (рис. 5.4) образуется вращением окружности вокруг ее оси . Каждая точка образующей сферы при таком перемещении описывает свою окружность, радиус которой уменьшается при перемещении точки к полюсам. Например, точка описывает параллель наибольшего радиуса (экватор). Для сферы экватор и меридианы — равные между собой окружности.

Построение точек лежащих на поверхности вращения

Точка принадлежит поверхности, если она находится на линии, лежащей на этой поверхности. В качестве таких линий могут быть выбраны образующие, параллели, меридианы и др. На рис. 5.5 показано построение проекций точек и , принадлежащих боковой поверхности цилиндра.

Горизонтальные проекции точек и ( и ) лежат на окружности. Профильные проекции этих точек и находятся при помощи линий связи.

Очерковые (крайние) образующие цилиндра разделяют фронтальную и профильные проекции на видимую и невидимые части. Так, образующие и делят цилиндрическую поверхность на видимую спереди и невидимую, образующие и — на видимую слева и невидимую. Невидимые проекции точки В указаны в скобках.

На рис. 5.6, а показано построение горизонтальной и профильной проекций точки по заданной фронтальной проекции на поверхности конуса.

Если задана горизонтальная проекция точки (рис. 5.6, а), то построение начинается с проведения горизонтальной проекции образующей , на которой находится точка . Определив фронтальную проекцию этой образующей, по линиям связи находим фронтальную проекцию точки , а затем и профильную .

Образующие и разделяют коническую поверхность на видимую спереди и невидимую, а образующие и — на видимую слева и невидимую.

Проекции и находятся на невидимой части конуса. Горизонтальная проекция поверхности конуса является видимой.

На рис. 5.6, б показано построение недостающих проекций точек и при помощи параллелей. Через заданные проекции и проводятся проекции и параллелей и . Используя точки 1 и 2, лежащие на очерковых образующих, определим положение проекций и проведенных параллелей. По линиям связи найдем положение проекций и точки и проекций и точки .

На рис. 5.7 приведены проекции сферы, которые ограничены экватором , фронтальным меридианом и профильным . Каждый из них проецируется на соответствующую плоскость проекций в виде окружности, на остальные — в виде отрезков прямых длиной, равной диаметру сферы. На этом же рисунке показано построение недостающих проекций точек , и по заданным фронтальным проекциям этих точек. Точка находится на экваторе , точка — на фронтальном меридиане , точка — на профильном меридиане . Недостающие проекции определяются по линиям связи. Направление построений указано стрелками.

Экватор разделяет сферу на видимую (верхняя половина на фронтальной проекции) и невидимую части на горизонтальной проекции. Фронтальный меридиан разделяет сферу на видимую (нижняя половина горизонтальной проекции) и невидимую части на фронтальной проекции.

Профильный меридиан п разделяет сферу на видимую (левая половина на фронтальной проекции) и невидимую части на профильной проекции.

Так, на рис. 5.7 горизонтальная проекция точки невидимая (взята в скобки), так как находится на нижней (невидимой) половине сферы. На поверхности сферы можно провести множество параллелей, соответствующих плоскостям проекций. Эти параллели используются для построения проекций точек на сфере.

По фронтальной проекции точки найдена горизонтальная как принадлежащая горизонтальной параллели . Для построения горизонтальной проекции использована точка 1, принадлежащая фронтальному меридиану. Профильная проекция точки построена при помощи линий связи и находится на невидимой (правой половине) части сферы.

Пересечение поверхностей вращения плоскостью

Линия пересечения кривой поверхности с плоскостью представляет собой плоскую кривую. Для построения этой кривой линии на чертеже находят проекции ее отдельных точек, соединяемых с помощью лекала.

Для нахождения точек линии пересечения применяются вспомогательные секущие плоскости (проецирующие или плоскости уровня). Вспомогательные плоскости выбираются так, чтобы в пересечении с кривой поверхностью получались простейшие линии — прямые и окружности. Задача на построение линии пересечения кривой поверхности плоскостью значительно упрощается, если заданные секущие плоскости являются плоскостями частного положения.

Пересечение цилиндра плоскостью

При пересечении цилиндра вращения плоскостью возможны случаи:

1. секущая плоскость параллельна оси — в сечении цилиндрической поверхности получаются две прямые (образующие) (рис. 5.8, я);
2. секущая плоскость перпендикулярна оси — в сечении получается окружность, равная окружностям оснований (рис. 5.8, б);
3. секущая плоскость наклонна к оси — в сечении получается эллипс, малая ось которого всегда равна диаметру цилиндра, а большая зависит от угла (рис. 5.8, в).

Пример модели цилиндра, усеченного плоскостями, приведен здесь. На рис. 5.9 показано построение проекций цилиндра вращения, усеченного плоскостями частного положения

Горизонтальная плоскость пересекает поверхность цилиндра по части окружности, профильная плоскость — по прямым и (образующим цилиндра), фронтально-проецирующая плоскость — по части эллипса. Фронтальная проекция линий пересечения совпадает со следами-проекциями секущих плоскостей , а горизонтальная -с окружностью основания цилиндра.

Построение профильной проекции сводится к построению профильных проекций точек по двум заданным (направление линий связи указано стрелками).

Обычно для построения точек линий сечения пользуются образующими, равноотстоящими друг от друга. Поэтому горизонтальная проекция цилиндра (окружность) разделена на 12 частей (точки 1,2, …, 12). Этой равномерной «разметкой» удобно пользоваться для создания не только проекций сечений, но и развертки.

Развертка поверхности цилиндра

Для построения развертки поверхности вращения, усеченной плоскостями, используется соответствующая многогранная фигура, вписанная в эту поверхность. Развертка получается приближенной, погрешность определяется количеством сторон многоугольника, вписанного в основание поверхности.

Построение развертки боковой поверхности цилиндра, приведенного на рис. 5.9, начинают с вычерчивания горизонтальной прямой, на которой откладывают длину окружности основания и делят ее, например, на 12 равных частей. Из точек деления проводят перпендикуляры к отрезку (рис. 5.10) и на них откладывают длины образующих от основания цилиндра до секущих плоскостей и .

Для построения точек на развертке использовано расположение этих точек на горизонтальной проекции цилиндра (от точек деления откладывают длины дуг и ). Точки соединены прямыми линиями. Точки соединяют плавной линией. К верхней части боковой развертки достраивают натуральные фигуры сечения плоскостями (часть эллипса, прямоугольник, сегмент окружности).

Пересечение конуса плоскостью

При пересечении конуса получаются различные виды кривых второго порядка.

1. Эллипс () — секущая плоскость пересекает весь конус (рис. 5.11).
2. Окружность — секущая плоскость перпендикулярна оси конуса (рис. 5.12).
3. Парабола — секущая плоскость параллельна образующей конуса (рис. 5.13).

1. Гипербола — плоскость параллельна двум образующим конуса (рис. 5.14).
2. Прямые линии — секущая плоскость проходит через вершину конуса (рис. 5.15).

На примере здесь показана последовательность построения линий пересечения конуса плоскостями.

На рис. 5.16 показано построение проекций усеченного конуса вращения плоскостями частного положения и .

Конус пересекают фронтально-проецирующие плоскости и . Фронтальная проекция линий пересечения совпадает с проекциями этих плоскостей.

Для построения точек линий сечения использованы образующие, равноотстоящие друг от друга. Поэтому горизонтальная проекция основания конуса (окружность) разделена на 12 равных частей (точки I, II, …, XII). Это позволяет использовать равноотстоящие образующие для построения развертки конуса.

Фронтальные проекции образующих пересекают проекцию в точках . Эти точки по линиям связи находятся на горизонтальных проекциях образующих, причем точки 4 и 10 определяются на профильной проекции, а затем на горизонтальной.

Вспомогательная плоскость пересекает плоскость а по фронтально-проецирующей прямой, а конус — по окружности радиуса . В пересечении прямой и дуги радиуса определим горизонтальные проекции и .

Построения профильных проекций точек эллипса () сводится к построению проекций точек по двум заданным (по линиям проекционной связи).

Для построения точек, принадлежащих гиперболе, использованы точки и , находящиеся на образующих II и XII, а также точки и , принадлежащие вспомогательной горизонтальной плоскости .

Построение развертки конуса

Построение развертки начинают с проведения из точки (рис. 5.17) дуги окружности радиусом, равным длине образующей конуса .

Длина дуги определяется центральным углом :

где — диаметр окружности основания конуса; — длина образующей.

Дугу делят на 12 частей и полученные точки соединяют с точкой . От вершины на образующих откладывают действительные длины отрезков образующих от вершины конуса до секущих плоскостей. Действительные длины данных отрезков находят способом вращения их вокруг оси конуса. Для этого достаточно из фронтальных проекций точек фигур сечений провести горизонтальную прямую до пересечения с контурной образующей конуса, являющейся действительной ее длиной.

Для построения точек и , лежащих на основании конуса, следует отложить от точек III и XI соответствующие дуги (эти дуги на рис. 5.16 и 5.17 отмечены одной черточкой-штрихом).

Для построения точек и на развертке находят положения образующих, на которых есть эти точки, откладывая от точек II и XII соответствующие дуги (эти дуги отмечены двумя черточками-штрихами). Положение точек и на образующих находим, используя действительные длины отрезков и .

Для получения полной развертки пристраивают к развертке боковой поверхности часть основания конуса и натуральные величины сечений.

Натуральная величина эллипса построена по его осям (использован способ перемены плоскостей проекций), натуральная величина сечения профильной плоскостью находится на профильной проекции (рис. 5.16).

Вопросы для контроля

1. Какие линии получаются при пересечении цилиндра плоскостью?
2. Какие линии получаются при пересечении конуса плоскостью?
3. Какие поверхности вращения являются развертывающимися?
4. Как построить развертку цилиндра?
5. Какой метод используется для построения развертки конуса?

Пересечение прямой линии с многогранниками и поверхностями вращения

Точки пересечения прямой линии с геометрическими телами называют также точками встречи, одна из них является точкой входа, другая — точкой выхода.

Частные случаи определения точек пересечения

Частный способ определения указанных точек основывается на том, что пересекаемая грань перпендикулярна плоскости проекций, т. е. ее проекция представлена на этой плоскости в виде прямой и проекция искомой точки пересечения совпадает с проекцией точки пересечения этой прямой и заданной прямой. Другая проекция определяется по линиям связи из условия принадлежности точки прямой.

На рис. 6.1 показано построение точек пересечения прямых линий и поверхностью четырехугольной прямой призмы. Боковая поверхность призмы — проецирующая (грани перпендикулярны горизонтальной плоскости проекций). Поэтому горизонтальные проекции точек пересечения находятся на «вырожденных» проекциях боковых граней, представляющих собой прямые линии. Фронтальные проекции этих точек определяются по линиям связи на фронтальных проекциях прямых и . Вторая точка пересечения (точка ) прямой находится на пересечении с верхним основанием призмы, которое является горизонтальной плоскостью. Сначала отмечаем фронтальную проекцию , а затем по линии связи находим горизонтальную .

Видимость фронтальных проекций точек пересечения прямых и определяется видимостью граней, на которых лежат указанные точки. Так, точка лежит на невидимой грани , и поэтому участок прямой от проекции до ребра невидим. Участки прямых, расположенных внутри тел, изображаются невидимыми. Участок горизонтальной прямой от точки видим, так как точка расположена на верхнем основании призмы.

На рис. 6.2 показано построение точек пересечения прямых и с поверхностью цилиндра вращения.

Горизонтальные проекции точек находятся на пересечении окружности (горизонтальной проекции боковой поверхности цилиндра) с проекциями прямых, фронтальная проекция точки — на пересечении горизонтальной плоскости верхнего основания с проекцией прямой.

При определении видимости фронтальных проекций прямых и следует учесть, что проекции и расположены на невидимой части цилиндра и поэтому участки прямых и от проекций и до очерковой образующей невидимы.

Горизонтальная проекция точки расположена на верхнем основании цилиндра, поэтому проекция до точки видима.

На рис. 6.3 показано построение точек пересечения проецирующих прямых и с поверхностью пирамиды. Фронтальные проекции и точек пересечения фронтально-проецирующей прямой совпадают с «вырожденной» проекцией прямой, а горизонтальные проекции находятся на прямых и граней и .

Горизонтальные проекции точек пересечения и горизонтально-проецирующей прямой совпадают с «вырожденной» проекцией прямой, фронтальная проекция точки находится на прямой грани . Точка находится на горизонтальной плоскости основания пирамиды.

На рис. 6.4 показано построение точек пересечения проецирующих прямых и с поверхностью конуса вращения. Проекции и определяются с помощью параллели (окружности радиуса ) конуса, проекция — с помощью образующей . Точка расположена на горизонтальной плоскости основания конуса.

На рис. 6.5 для нахождения горизонтальных проекций точек пересечения проецирующих прямых и с поверхностью сферы использованы параллели (окружности) сферы. Точки и находятся на параллели радиуса , а точки и — на параллели радиуса . Точки пересечения расположены на видимых участках проекций сферы.

Определение точек пересечения прямой с поверхностью

В общем случае точки пересечения прямой линии с поверхностью геометрических тел находятся следующим образом:

• через данную прямую проводится вспомогательная плоскость;
• строится линия пересечения геометрического тела вспомогательной плоскостью;
• определяются точки пересечения построенной линии и заданной прямой. Эти точки являются искомыми;
• определяется видимость участков прямой линии.

Вспомогательную секущую плоскость выбирают так, чтобы она пересекала поверхность геометрического тела по линии, легко определяемой на чертеже, например состоящей из прямых или окружностей. Обычно в качестве вспомогательной плоскости выбирают проецирующую плоскость, проходящую через заданную прямую.

На рис. 6.6 показано нахождение точек пересечения прямой общего положения с поверхностью пирамиды .

Через прямую проведена вспомогательная фронтально-проецирующая плоскость , пересекающая поверхность пирамиды по линии 1-2-3. На пересечении этой линии с прямой находятся искомые точки пересечения. Видимость участков прямой линии определяется видимостью граней, на которых лежат точки пересечения и . Так, на горизонтальной проекции (рис. 6.6, б) точки и расположены на видимых проекциях и граней и , а на фронтальной проекции точка лежит на невидимой грани . Поэтому участок фронтальной проекции от до ребра невидим.

Для нахождения точек пересечения конуса вращения с горизонтальной прямой (рис. 6.7) использована вспомогательная горизонтальная плоскость пересекающая конус по окружности. На рис. 6.8 для определения точек пересечения сферы с фронтальной прямой использована фронтальная плоскость . В заключение определяется видимость участков прямых относительно точек пересечения.

Вопросы для контроля

1. Поясните способ определения точек пересечения прямой с поверхностью геометрических тел.
2. С помощью каких преобразований можно упростить задачу построения точек пересечения прямой общего положения с конусом?

Взаимное пересечение поверхностей геометрических тел

Линия пересечения поверхностей геометрических тел в общем случае является пространственной и может распадаться на две и более частей. Линию пересечения строят по точкам, которые подразделяются на характерные (опорные) и промежуточные.

Общим способом построения этих точек является способ вспомогательных секущих плоскостей. При пересечении заданных поверхностей вспомогательной плоскостью определяются линии пересечения ее с данными поверхностями, а в пересечении этих линий получаются точки, принадлежащие искомой линии пересечения.

В качестве вспомогательных секущих плоскостей чаще всего используют плоскости, параллельные одной из плоскостей проекций. Положение их выбирают такое, чтобы они пересекали заданные поверхности по простейшим линиям — прямым или окружностям.

Построение линии пересечения многогранников

При решении задач используется один из следующих способов:

1. способ ребер (пересечение прямой линии с плоскостью);
2. способ граней (взаимное пересечение плоскостей).

Преимущество отдается тому из способов, который дает более простое решение.

Рассмотрим построение линии пересечения пирамиды с призмой (рис. 7.1).

Грань призмы — горизонтальная плоскость , пересекающая боковую поверхность пирамиды по ломаной линии, звенья которой параллельны сторонам основания пирамиды. По фронтальной проекции точки , расположенной на ребре пирамиды, найдем ее горизонтальную проекцию и, проведя звенья ломаной линии, определим точки

Горизонтальные проекции и точек пересечения ребер и с гранями призмы определяются с помощью линий связи. Горизонтальные проекции и точек пересечения ребра призмы с поверхностью пирамиды определим с помощью горизонтальной плоскости , проведенной через ребро призмы. Плоскость пересекает поверхность пирамиды по линиям, параллельным сторонам основания пирамиды. Спроецировав точку , лежащую на ребре пирамиды, через проекцию проведем линии, параллельные

и . Эти линии пересекаются с горизонтальной проекцией ребра призмы в точках и .

На рис. 7.2 показано построение линии пересечения двух призм, боковые поверхности которых являются проецирующими.

Рассматривая положение горизонтальных и профильных проекций многогранников, отмечаем, что призма пересекает боковую поверхность призмы . При пересечении получаются две замкнутые ломаные линии: одна из них — пространственная (пересекаются две грани призмы ), другая — плоская (пересекается одна грань).

Горизонтальная проекция линий пересечения совпадает с горизонтальной проекцией вертикальной призмы, а профильная — с профильной проекцией горизонтальной призмы. Отмечая точки пересечения горизонтальных проекций ребер с горизонтальной проекцией призмы при помощи линий связи находим их фронтальные проекции.

Фронтальные проекции точек пересечения ребра с боковой поверхностью призмы определим по линиям связи, используя их профильные проекции и . Последовательно соединяя найденные точки пересечения, принадлежащие одним и тем же граням, построим две ломаные линии 1-3-8-5-7-1 и 2-4-6-2.

Построение линии пересечения поверхностей вращения с многогранниками

Линия пересечения многогранника с телом вращения в общем случае состоит из отдельных участков кривых линий, получающихся при пересечении граней многогранника с поверхностью вращения. Точки перехода от одного участка к другому находятся на пересечении ребер многогранника с телом вращения.

Пример пространственной модели конуса, пересекающегося с треугольной призмой.

Последовательность операций при построении линии пересечения на чертеже следующая:

• определяются точки пересечения ребер многогранника с поверхностью вращения;
• находятся точки, принадлежащие линиям пересечения отдельных граней многогранника с телом вращения. Построение начинают с определения характерных (опорных) точек линии — высшие и низшие, ближайшие и наиболее удаленные, крайние слева и справа и т. д. Точки определяются визуально по чертежу;
• определяется видимость проекций участков линии пересечения.

Рассмотрим построение линии пересечения поверхности прямой трехгранной призмы с поверхностью цилиндра вращения (рис. 7.3). Боковые грани призмы являются горизонтально-проецирующими плоскостями, а ось цилиндра перпендикулярна профильной плоскости проекций.

При построении точек линии пересечения многогранников с телами вращения используют вспомогательные секущие плоскости. Их располагают так, чтобы они пересекали данные поверхности по простым линиям (прямым или окружностям).

Грань призмы параллельна оси цилиндра и пересекает поверхность цилиндра по прямой 2-3 (образующая цилиндра).

Грани и наклонены к оси цилиндра и пересекают его поверхность по кривым (частям эллипсов).

Горизонтальная проекция линии пересечения совпадает с проекцией боковой поверхности призмы, а профильная проекция совпадает с проекцией боковой поверхности цилиндра.

Характерными точками линии пересечения являются точки пересечения 1, 2, 3 ребер призмы с поверхностью цилиндра (фронтальные проекции этих точек определяем с помощью линий связи, проведенных через их профильные проекции). Точки 4 и 5 разделяют фронтальную проекцию линии пересечения на видимую и невидимую части.

Построение промежуточных точек 6, 7, 8, 9 выполняем следующим образом. На одной из имеющихся проекций линии пересечения (горизонтальной или профильной) намечаем проекции точек и с помощью линий связи строим недостающие проекции.

По построенным точкам проводим фронтальную проекцию линии пересечения. Видимой является часть , расположенная на видимой проекции цилиндра. Часть фронтальных проекций ребер и закрывается очерком цилиндра.

На рис. 7.4 приведено построение линии пересечения сферы с прямой трехгранной призмой. Боковые ребра призмы перпендикулярны горизонтальной плоскости проекций. Характерными точками линии пересечения являются точки 1 и 2 — точки пересечения ребер призмы со сферой (обозначение точек линии пересечения приведено лишь на одной симметричной части). Для построения этих точек использованы фронтальные плоскости и , проведенные через ребра призмы и пересекающие сферу по окружностям радиусов и .

Фронтальную проекцию точки 1 можно определить и по профильной проекции с помощью линий связи. Так как грань призмы является фронтальной плоскостью, то плоскость позволяет определить дугу окружности, по которой она пересекает сферу. Точка 3 — высшая точка этой дуги.

Грани и призмы пересекают сферу по дугам окружностей, которые на фронтальную и профильную плоскости проекций проецируются в виде частей эллипсов. Фронтальная проекция линии пересечения этих граней представляет собой две симметричные части, а профильные проекции совпадают.

Характерными точками фронтальной проекции линии пересечения являются также точки и . Точка 4 разделяет линию на видимую и невидимую части, точка 5 — высшая точка линии пересечения. Проекция находится на очерке сферы — фронтальном меридиане, проекция определена с помощью фронтальной плоскости .

Для построения промежуточных точек и фронтальной проекции использованы фронтальные плоскости и . Каждая из фронтальных плоскостей пересекает сферу по окружности определенного радиуса, а призму — по горизонтально-проецирующим прямым.

Видимой частью фронтальной проекции линии пересечения является часть эллипса , на профильной проекции симметричные части линии пересечения изображаются видимой линией. На фронтальной проекции части ребер и закрываются контуром сферы.

Построение линии пересечения поверхностей вращения

Линия пересечения двух поверхностей вращения в общем случае представляет пространственную кривую. Здесь приведен пример модели пересекающихся конуса и цилиндра. Линию пересечения поверхностей на чертеже строят по точкам.Общим способом построения является способ вспомогательных секущих поверхностей. В качестве поверхностей-посредников применяются плоскости или сферы.

Способ вспомогательных секущих плоскостей

Если одна из поверхностей является цилиндрической проецирующей поверхностью, то построение линии пересечения упрощается, так как в этом случае одна проекция линии пересечения совпадает с окружностью — проекцией цилиндра на перпендикулярную плоскость проекций.

На рис. 7.5 показано построение линии пересечения двух цилиндров вращения, оси которых скрещиваются. Ось горизонтального цилиндра — профильно-проецирующая, а ось вертикального — горизонтально-проецирующая.

Линией пересечения цилиндров является пространственная кривая, горизонтальная проекция которой совпадает с окружностью — горизонтальной проекцией вертикального цилиндра. Отмстим на этой окружности точки, принадлежащие линии пересечения: опорные 1, 2, 3, 4, лежащие на крайних образующих цилиндров, и промежуточную 5. Точки обозначены только на одной симметричной части линии пересечения.

Фронтальные проекции точек лежащие на ближней, верхней и нижней образующих горизонтального цилиндра, определяем с помощью линий связи.

Для построения фронтальных проекций точек использованы вспомогательные фронтальные плоскости пересекающие оба цилиндра по образующим. Положение образующих вертикального цилиндра найдем по их горизонтальным

проекциям при помощи вертикальных линий связи. Для построения образующих горизонтального цилиндра использована его профильная проекция.

На рис. 7.6 показано построение линии пересечения конуса вращения и цилиндра вращения, у которых оси скрещиваются под прямым углом. Линией пересечения указанных тел является пространственная кривая, фронтальная проекция которой совпадает с окружностью цилиндра. Отметим здесь точки линии пересечения: опорные (1, 2, 3, 4, 5, 6) и промежуточные (7, 8, 9). Горизонтальные проекции точек 1 и 2 определим с помощью линий связи. Для построения горизонтальных проекций точек 3 и 4 использованы вспомогательные плоскости и .

Плоскость пересекает цилиндр по крайней левой образующей, а конус — по окружности (параллели) радиуса , пересечение которых определяет горизонтальную проекцию точки 3.

Плоскость , касающаяся цилиндра по его нижней образующей, позволяет построить горизонтальную проекцию точки 4. Подобным образом с помощью горизонтальных плоскостей и находятся горизонтальные проекции точек 5 и 6, расположенных на ближней образующей конуса, а также горизонтальные проекции промежуточных точек 7, 8, 9.

Видимой частью горизонтальной проекции линии пересечения является линия , принадлежащая верхней части цилиндра.

На примере здесь приведена пространственная модель конуса с цилиндрическим отверстием.

На рис. 7.7 показано построение линии пересечения полусферы с цилиндром вращения. Поскольку ось цилиндра перпендикулярна к горизонтальной плоскости проекций, то горизонтальная проекция линии пересечения совпадает с окружностью — горизонтальной проекцией цилиндра. Отметим на этой окружности опорные точки линии пересечения и промежуточные .

Точки и (низшая и высшая точки) расположены в горизонтально-проецирующей плоскости , горизонтальный след-проекция которой пройдет через горизонтальные проекции и осей тел вращения.

Чтобы определить фронтальные проекции и этих точек, повернем плоскость с лежащими на ней линиями сечения сферы и цилиндра вокруг оси сферы до фронтального положения. Новое положение образующих цилиндра и контура сферы на плоскости проекций даст точки и , по которым определяем проекции и .

Фронтальные проекции точек и , расположенных на фронтальном меридиане сферы, определим с помощью линий связи.

Для построения фронтальных проекций опорных точек размещенных на крайних образующих цилиндра, и точек находящихся на профильном меридиане сферы, использованы вспомогательные фронтальные плоскости . Фронтальные проекции промежуточных точек построены с помощью фронтальных плоскостей и . Эти плоскости пересекают цилиндр по образующим — прямым, а полусферу — по полуокружности. Так, вспомогательная плоскость пересекает цилиндр по образующим, а полусферу — по дуге радиуса .

Пересечение фронтальных проекций указанных линий сечения и даст точки и . Видимой частью фронтальных проекции является линия , принадлежащая видимой (передней) части цилиндра.

Способ вспомогательных сфер

В некоторых случаях для построения линии пересечения двух поверхностей вращения целесообразно применять в качестве секущих поверхностей сферы. Этот способ основан на свойстве сферы пересекаться с любой поверхностью вращения, ось которой проходит через центр сферы, по окружности.

Чтобы сфера одновременно пересекала две поверхности по окружностям, необходимо выполнить следующие условия:

1. оси поверхностей вращения должны пересекаться (точку пересечения принимают за центр вспомогательных концентрических сфер);
2. оси поверхностей вращения должны располагаться параллельно какой-либо плоскости проекций.

На рис. 7.8 показано построение линии пересечения двух конусов с пересекающимися осями, параллельными плоскости .

Линия пересечения — симметричная пространственная кривая. Фронтальные проекции симметричных половин совпадают и образуют кривую 2-го порядка. Точки 1 и 2, находящиеся в пересечении образующих конусов, очевидны. Остальные точки определены с помощью вспомогательных сфер с центром в точке — точке пересечения осей конусов. С помощью сферы Сф. 1 (наименьшей из всех возможных) построена крайняя левая точка фронтальной проекции линии пересечения.

Эта сфера касается поверхности конуса с вертикальной осью по окружности радиуса и пересекает другой конус по окружности радиуса . В пересечении этих окружностей получается фронтальная проекция . Для определения фронтальной проекции точки 4, расположенной на ближайшей образующей конуса с горизонтальной осью, использована сфера Сф. 2.

Радиус этой сферы подобран так, чтобы окружность пересечения ее с поверхностью вертикального конуса лежала в плоскости С помощью сферы Сф. 3 определена фронтальная проекция точки 5.

Применение способа сфер позволяет построить линию пересечения поверхностей вращения, пользуясь только одной проекцией.

Особые случаи пересечения

При пересечении между собой кривых поверхностей линиями пересечения являются пространственные кривые, которые в ряде случаев могут распадаться на более простые линии. Рассмотрим несколько таких примеров.

1. Два цилиндра с параллельными осями пересекаются по образующим.

На рис. 7.9 изображены пересекающиеся между собой цилиндры вращения с параллельными осями. Линиями пересечения являются общие образующие и .

1. Если две поверхности второго порядка описаны около третьей или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка. Плоскости этих кривых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания.

На рис. 7.10 изображены пересекающиеся между собой цилиндр и конус, касающиеся сферы радиуса . Линии касания -окружности, плоскости которых параллельны фронтальной и профильной плоскостям проекций.

Плоскости касания пересекаются между собой по фронтально-проецирующей прямой . Фронтальная проекция линии пересечения — два эллипса, плоскости которых проходят через прямую и являются фронтально-проецирующими плоскостями. Большие оси эллипсов — отрезки 1-2 и 3-4, а малые равны диаметру цилиндра. Горизонтальная проекция линии пересечения находится из условия принадлежности ее точек поверхности конуса.

1. Соосные поверхности вращения (т. е. поверхности с общей осью) пересекаются по окружностям.

Если ось вращения соосных поверхностей перпендикулярна к какой-либо плоскости проекций, то линия их пересечения проецируется на эту плоскость в виде окружности, а на другую плоскость проекций — в прямую линию.

На рис. 7.11 даны примеры пересечения соосных поверхностей вращения (ось вращения перпендикулярна плоскости ). На рис. 7.11, а приведены цилиндр и конус, б — конус и сфера, в — две сферы. За ось сферы можно принять любой ее диаметр. Поэтому сфера, центр которой находится на оси поверхности вращения, пересекается с этой поверхностью по окружности.

Вопросы для контроля

1. Поясните общий способ построения линии пересечения двух поверхностей.
2. Какие точки линии пересечения являются характерными (опорными)?
3. Как определяется видимость линии пересечения?
4. Что представляет собой линия пересечения тела вращения с многогранником?
5. При каком взаимном положении поверхностей вращения возможно применение вспомогательных секущих сфер?
6. Какие линии образуются при взаимном пересечении: а) цилиндров с параллельными осями; б) конусов с общей вершиной?

Аксонометрические проекции

Теоретические основы построения аксонометрических проекций

Аксонометрическая проекция, или просто аксонометрия, даст наглядное изображение предмета на одной плоскости. Слово аксонометрия означает оссизмерение.

Способ аксонометрического проецирования состоит в том, что данную фигуру вместе с осями прямоугольных координат, к которым она отнесена в пространстве, параллельно проецируют на некоторую плоскость, принятую за плоскость аксонометрических проекций (ее называют также картинной плоскостью). При различном взаимном расположении осей координат в пространстве и плоскости аксонометрической проекции, а также при разном направлении проецирования можно получить множество аксонометрических проекций, отличающихся одна от другой направлением аксонометрических осей и масштабами по ним.

В конструкторской документации аксонометрические проекции стандартизованы в ГОСТ 2.317-69. Он предусматривает три вида аксонометрических проекций:

• прямоугольная изометрия;
• прямоугольная диметрия;
• фронтальная косоугольная диметрия.

Рассмотрим, как будут направлены аксонометрические оси, а также как будет осуществляться масштабирование по ним в случае направления проецирования, перпендикулярного аксонометрической плоскости проекций, т. е. для прямоугольной аксонометрической проекции. На рис. 8.1 изображена пространственная система прямоугольных координат а также единичные отрезки на осях координат и их проекции в направлении на некоторую (картинную) плоскость , являющуюся аксонометрической плоскостью проекций.

Проекции : отрезка на соответствующих аксонометрических осях в общем случае не равны отрезку в и не равны между собой.

Эти проекции являются единицами измерения по аксонометрическим осям — аксонометрическими масштабами.

Отношения: называют коэффициентами искажения по аксонометрическим осям.

В частном случае положение картинной плоскости можно выбрать таким, что аксонометрические единицы — отрезки — будут равны между собой или будет равна между собой пара этих отрезков.

При аксонометрическую проекцию называют изометрической, искажения по всем осям в ней одинаковы. При равенстве аксонометрических единиц по двум осям, обычно при , имеем диметрическую проекцию.

Отрезки являются аксонометрическими проекциями отрезков . Обозначим углы между осями координат и их проекциями на плоскости через . Тогда . Эти отношения являются коэффициентами искажения, т. е. Поскольку треугольники и прямоугольные, то сумма квадратов направляющих косинусов равна единице:

Отсюда или следовательно, Таким образом: т. е. сумма квадратов коэффициентов искажения равна 2.

Прямоугольная изометрическая проекция

Прямоугольная (ортогональная) изометрическая проекция образуется при прямоугольном проецировании предмета и его координатных осей на плоскость аксонометрических проекций, одинаково наклоненную к каждой координатной оси.

При таком проецировании все три коэффициента искажений будут равны между собой: тогда откуда . Углы между аксонометрическими осями будут равны .

При построении изометрической проекции размеры предмета, откладываемые по аксонометрическим осям, необходимо умножать на 0,82. ГОСТ 2.317-69 допускает для упрощения построений принимать коэффициенты искажений равными единице. При этом увеличение изображения предмета составляет . Каждый отрезок, направленный по осям или параллельно им, сохраняет свою величину.

Расположение осей изометрической проекции показано на рис. 8.2, а.

Все отрезки прямых, которые были параллельны осям на комплексном чертеже, останутся параллельными соответствующим осям в изометрической проекции. На рис. 8.2, б приведена изометрическая проекция отрезка , расположенного перпендикулярно профильной плоскости проекций.

На рис 8.3 показано построение эллипсов, в которые проецируются окружности, лежащие в плоскостях проекций или в плоскостях, параллельных им. Размер большой оси эллипса равен малой — где — диаметр исходной окружности.

В учебных чертежах рекомендуется вместо эллипсов применять овалы, очерченные дугами окружностей. На этом же рисунке показано расположение осей овалов и один из способов построения овалов в прямоугольной изометрической проекции.

На рис. 8.4, а приведен чертеж цилиндра, усеченного несколькими плоскостями, и его изометрическая проекция (рис. 8.4, б), на которой показано построение точки , принадлежащей одной из линий сечения.

Здесь используются все три оси координат. Сначала по оси откладывается значение , измеренное на горизонтальной проекции цилиндра, далее из этой точки проводится линия, параллельная оси , на которой откладывается величина , измеренная также на горизонтальной проекции. В конечной точке этого отрезка проводится вертикальная линия длиной , измеренной на фронтальной проекции цилиндра. Аналогично находятся остальные точки сечения цилиндра в количестве, необходимом для получения качественной линии пересечения.

Прямоугольная диметрическая проекция

Прямоугольная (ортогональная) диметрическая проекция образуется при прямоугольном проецировании предмета и связанных с ним координатных осей на плоскость аксонометрических проекций, одинаково наклоненную к двум координатным осям.

Коэффициенты искажений в диметрической проекции имеют следующие значения: Тогда

В целях упрощения построений в соответствии с ГОСТ 2.317 приведенные коэффициенты искажений по осям и принимают равными единице; а по оси коэффициент искажения равен 0,5. Следовательно, по осям и или параллельно им все размеры откладывают в натуральную величину, а по оси размеры уменьшают вдвое. Увеличение в этом случае составляет (выражается числом 1,06 = 1 / 0,94).

Расположение осей в диметрической проекции показано на рис. 8.5. Ось наклонена по отношению к горизонтальной линии под углом , а ось — под углом .

В диметрической проекции изображения геометрических тел строят так же, как в изометрической, с учетом коэффициента искажений по оси у, вдоль которой размеры уменьшаются вдвое. Все отрезки прямых, которые были параллельны осям на комплексном чертеже, останутся параллельными соответствующим осям в диметрической проекции.

На рис. 8.6 приведены окружности в диметрической проекции с указанием соответствующих значений величин осей эллипсов.

Большая ось эллипсов во всех случаях равна , где — диаметр окружности. Малые оси эллипсов, расположенных на плоскостях, параллельных плоскостям проекций и , равны , а на плоскости, параллельной фронтальной плоскости .

Косоугольная фронтальная диметрия

Если аксонометрическая проекция параллельна одной из координатных плоскостей, то изображения, лежащие в этой плоскости, на аксонометрической проекции не искажаются. При этом ортогональное проецирование недопустимо, так как координатная ось, перпендикулярная указанной координатной плоскости, изобразится точкой и изображение будет лишено наглядности. Поэтому пользуются косоугольным проецированием, при котором направление оси у выбирают так, чтобы углы между ней и осями и равнялись бы (рис. 8.7), а показатель искажения — 0,5. Такая косоугольная аксонометрия называется фронтальной диметрией.

На рис. 8.8 показаны проекции окружностей, расположенных в плоскостях, параллельных координатным. Окружность, расположенная в плоскости , проецируется на плоскость проекций без искажения, а окружности, расположенные в плоскостях, параллельных координатным плоскостям и , спроецируются в виде эллипсов. Эти эллипсы обычно строят по сопряженным диаметрам. Большая ось эллипсов равна , а малая ось — ( — диаметр окружности).

Задачи с решением №6

Задача №1.

Построить изометрическую проекцию точки , представленной проекциями и (рис. 8.9, а).

Решение:

Если даны прямоугольные проекции точки, то это значит, что известны все три координаты , позволяющие построить изометрическую проекцию. Построение

начинаем с изометрических осей, которые проводим под углом друг к другу (рис. 8.9, б). Далее от начала координат 0 по оси откладываем отрезок . Из полученной точки проводим прямую, параллельную оси , и на ней откладываем отрезок . Из точки проводим прямую, параллельную оси , на которой откладываем отрезок, равный координате точки , —. Полученная точка — искомая изометрическая проекция точки .

Задача №2.

Построить изометрическую проекцию куба.

Решение:

Центр нижнего основания куба размещается в точке 0 пересечения изометрических осей (рис. 8.10). В направлении осей откладываем расстояния, равные половине длины стороны куба . Из полученных точек проводим стороны основания куба, равные полной длине . Линии проводим параллельно осям. Затем из точки 0 вдоль оси откладываем расстояние а и строим верхнее основание куба.

Задача №3.

По заданным проекциям построить изометрическую проекцию цилиндра и точки , лежащей на его боковой поверхности (рис. 8.11).

Решение:

Проводим изометрические оси и строим эллипс нижнего основания. Затем определяем центр верхнего основания цилиндра и строим второй эллипс. Оба эллипса соединяем вертикальными образующими. Для построения точки отмечаем точку на нижнем основании цилиндра (откладывая координаты и точки ). Затем на вертикальной образующей, проходящей из точки на высоте отмечаем точку .

Задача №4.

Построить прямоугольную диметрическую проекцию куба со стороной, равной .

Решение:

Начало координат разместим на пересечении граней куба. Нижнее основание куба размещаем в плоскости (рис. 8.12). В направлении оси откладываем расстояние, равное полной длине куба . В направлении оси откладываем расстояние, равное половине длины стороны куба . Из полученных точек проводим стороны основания куба параллельно осям и . Затем из точки 0 вдоль оси вверх откладываем расстояние а и строим верхнее основание куба аналогично нижнему. Вершины нижнего и верхнего оснований соединяем вертикальными линиями.

Задача №5.

Построить фронтальную косоугольную диметрическую проекцию шестигранника.

Решение:

Разместим основание шестиугольной призмы параллельно плоскости (рис. 8.13). В этом случае шестиугольник проецируется на аксонометрическую плоскость проекций без искажений. Затем из вершин шестиугольника проводим прямые, параллельные оси . На этих прямых откладываем отрезки, равные половине длине боковых ребер призмы. Соединив полученные точки, получаем второе основание призмы. В заключение определяем видимые и невидимые линии призмы.

Вопросы для контроля

1. Дайте определение аксонометрической проекции.
2. Что называется коэффициентом искажения?
3. Какие виды аксонометрии вы знаете?
4. Как располагаются оси прямоугольной изометрии?

Интерактивные графические системы проектирования. Основы компьютерных геометрических построений

Этапы развития систем проектирования. Зд-моделирование

Современный инженер должен быть знаком и уметь применять в своей деятельности новые технологии. В условиях динамично развивающихся систем автоматизированного проектирования знание основ трехмерного моделирования, параметризации, технологии создания чертежей в CAD-системе является необходимым для студентов, получающих высшее техническое образование.

В основе ЗЭ-моделирования заложен математический аппарат, реализованный в ядре графической системы и производящий трехмерные изображения. Математические зависимости, описывающие формирование цифровой модели реальных объектов, а также алгоритмы для расчета виртуального пространства, были разработаны еще в 1960-х годах. Со временем геометрические формы создаваемых на экране моделей усложнялись: наряду с простыми геометрическими примитивами и их комбинациями (куб, сфера, тор, различные тела, описываемые несложными алгебраическими уравнениями) появилась возможность поверхностного моделирования. При этом формируемая модель представляет собой поверхность, которая может состоять из множества полигонов (чаще всего треугольников). Развитие поверхностного моделирования стало большим шагом вперед и позволило создавать модели практически любой формы.

Стабильный рост производительности персональных компьютеров в 90-х годах прошлого века дал толчок развитию относительно недорогих приложений для трехмерного моделирования. Появление таких программных пакетов сделало 3D доступным для простых пользователей. Легкость в освоении, относительно небольшие требования к аппаратному обеспечению и широкие возможности таких систем обеспечили им быстрое распространение.

Следом за дизайном трехмерная графика проникла и в инженерное проектирование. Исторически сложилось так, что сфера промышленного проектирования жестко ограничена требованиями стандартов, которые касаются лишь плоского черчения. По этой причине переход на трехмерное моделирование в машиностроительном проектировании не был безболезненным. Однако большие возможности по созданию моделей сложных форм, легкость в проектировании и планировке, намного лучшие возможности для выявления ошибок на этапе проектирования и, самое главное, более наглядное представление объекта проектирования сделали свое дело. С середины 1990-х годов трехмерная графика стала широко применяться в инженерии.

Чертежи, выполняемые вручную карандашом на кульмане, ушли в прошлое. Точность таких чертежей невысока, времени на их изготовление затрачивается много, а редактирование невозможно. По мере совершенствования компьютерных технологий развивалась и сфера конструирования. В графических редакторах появилась возможность создавать библиотеки типовых элементов, оформлять чертежи и другую документацию в соответствии со стандартами ЕСКД.

Постепенно в промышленном проектировании стало применяться трехмерное моделирование. Кроме лучшего визуального представления проектируемых изделий, ЗD-графика на порядок повышает точность проектирования составных объектов, позволяет легко редактировать трехмерную модель. Ассоциативная связь, устанавливаемая в инженерных ЗD-системах между моделью изделия, его чертежами, а также документацией на изделие (например, спецификацией), позволяет при внесении изменений в ЗD-модель автоматически отобразить все эти изменения в других документах, связанных с моделью.

В данной лекции в рамках курса «Инженерная геометрия и графика» рассматривается применение ЗD-модслирования только для решения геометрических задач.

Материал лекции рассчитан на студентов, прошедших ознакомительные лабораторные работы в объеме 10 часов и освоивших графический редактор и приемы плоского черчения в системе КОМПАС.

В связи с ограниченностью объема данного издания рассматривается порядок построения моделей лишь простых геометрических фигур — призмы, пирамиды, цилиндра, конуса, сферы, а также моделей взаимно пересекающихся фигур. Конечной целью построений является создание чертежа, содержащего 3 проекции смоделированного объекта со всеми линиями пересечений.

Основные команды построения трехмерных моделей

Система KOMПAC-3D является наиболее приближенной к требованиям стандартов ЕСКД, изучаемых в курсе «Инженерная геометрия и графика», поэтому вопросы трехмерного моделирования далее рассматриваются на основе этой системы. Все операции по созданию и редактированию трехмерных моделей системы КОМПАС-ЗО предназначены для работы с твердыми телами.

Твердое тело — область трехмерного пространства, состоящая из однородного материала и ограниченная замкнутой поверхностью, которая сформирована из одной или нескольких граней. Любое твердое тело состоит из базовых трехмерных элементов: граней, ребер и вершин (рис. 9.1).

Контур формы тела определяется плоской фигурой, называемой эскизом, а сама форма создается путем перемещения этого эскиза в пространстве (вращение вокруг оси, выдавливание перпендикулярно плоскости эскиза, перемещение по траектории и пр.).

Эскиз — это обычное двухмерное изображение, размещенное на плоскости в трехмерном пространстве. В эскизе могут присутствовать любые графические элементы.

Последовательность построения эскиза для формообразующей операции такова:

1. Выделяется в дереве построения плоскость, на которой планируется разместить эскиз (плоскость может быть стандартной или вспомогательной).
2. Открывается эскиз (кнопка ) на панели инструментов Текущее состояние. Модель изменит ориентацию таким образом, чтобы выбранная плоскость разместилась параллельно экрану (т. е. по нормали к линии взгляда).
3. После запуска процесса создания эскиза компактная панель инструментов изменит свой вид. На ней будут доступны панели инструментов с командами для двухмерных построений. В этом режиме создается эскиз изображения. Для завершения еще раз нажимается кнопка Эскиз.

Все команды для построения и редактирования объемной детали расположены на панели инструментов Редактирование детали (рис. 9.2).

Все трехмерные операции в КОМПАС-ЗЭ делятся на основные (формообразующие) и дополнительные. Основные операции включают команды для добавления и удаления материала детали, булевы операции. Дополнительные операции представляют собой команды для реализации конструкторских элементов на детали (фаски, скруглсния, отверстия, ребра жесткости и т. д.).

Существует три основных способа формирования трехмерных элементов:

1. Выдавливание. Форма трехмерного элемента образуется путем смещения эскиза операции (рис. 9.3) строго по нормали к его плоскости. Эскизом может быть один замкнутый контур;
2. Вращение. Формообразующий элемент является результатом вращения эскиза (рис. 9.4) в пространстве вокруг произвольной оси. Вращение может происходить на угол 360° или меньше. Ось вращения не должна пересекать изображение эскиза!
3. Кинематическая операция. Поверхность элемента формируется в результате перемещения эскиза операции вдоль произвольной трехмерной кривой (рис. 9.5). Эскиз должен содержать обязательно замкнутый контур, а траектория перемещения начинаться в плоскости эскиза.

В контекстном меню (правая клавиша мыши) для каждой операции с трехмерными элементами есть несколько полезных команд:

• Удалить — удаляет трехмерный элемент из модели и дерева построения. При удалении определенного элемента из детали его эскиз не удаляется, но удаляются все зависящие от него трехмерные элементы (операции);
• Скрыть — управляет отображением элемента детали, выбранного в дереве построения. После выполнения данной команды элемент будет скрыт в модели;
• Исключить из расчета — исключает из расчета выбранную операцию, вследствие чего модель перестраивается так, как будто исключенной операции вообще нет в модели.

При редактировании эскиза трехмерная операция, в которую он входит, а также все операции в модели, следующие за этой операцией в дереве построения, блокируются (становятся недоступными). Данные операции нельзя выделить, изменить до тех пор, пока не будет завершено редактирование эскиза. После выхода из режима редактирования эскиза все эти операции будут перестроены с учетом изменений в эскизе.

Построение модели призмы

Рассмотрим построение трехмерной модели призмы, часть которой отсечена несколькими плоскостями частного положения. На рис. 9.6 в качестве исходных данных приведены две проекции призмы с необходимыми размерами.

Сразу после запуска программы КОМПАС появляется окно Выбор типа создаваемого документа (рис. 9.7).
В диалоговом окне Новый документ выбирается тип файла Деталь Этот документ содержит трехмерное изображение (ЗD-модель) объекта, сформированного при помощи формообразующих операций (выдавливание, вырезание, булевы операции).

Система создаст новый документ, при этом главное меню и панели инструментов будут иметь вид, представленный на рис. 9.8.

Команды, необходимые для моделирования, можно выбирать в главном меню (Системное меню — Операции на рис. 9.8) или на компактной панели инструментов под кнопкой .

Расположение инструментальных панелей на рис. 9.8 дано для режима настройки «по умолчанию», т. е. как предлагают разработчики системы. Пользователь может перемещать панели в любое удобное для него место экрана, но в этом случае расположение кнопок выполняемых в дальнейшем команд не будет совпадать с приведенными в лекции примерами.

Кратко рассмотрим этапы построения модели призмы.

1. Открыть в дереве модели Начало координат.
2. Выбрать плоскость .
3. Перейти в режим Эскиза
4. Построить тонкой линией окружность диаметром 120 мм. Ориентацию эскиза не трогать и не менять!
5. Построить основной линией равносторонний треугольник, вписанный в эту окружность. Окружность удалить.
6. Выйти из режима Эскиза (повторно нажать на знак ).
7. В дереве модели указать этот эскиз, выбрать команду Редактирование детали и операцию Выдавливание
8. В строке Свойства задать Направление Прямое и размеры призмы: Расстояние 1 (высота): 120 мм.
9. Завершить операцию, нажав на кнопку в строке Свойства.
10. Указать команду Ориентация и установить Вид Спереди. Закрыть окно, нажав Выход.
11. В дереве модели выбрать Плоскость .
12. Перейти в режим Эскиз
13. Открыть инструментальную панель Геометрия Непрерывную линию и построить на призме контур сечения, соблюдая размеры, указанные в задании (рис. 9.9). В этом режиме деталь можно уменьшать (увеличивать) колесиком мыши, а для перемещения дополнительно нажимать клавишу Shift. Контур обязательно должен быть замкнутым.

1. Выйти из режима Эскиз (повторно нажать на знак ).
2. В дереве модели указать этот эскиз, а на панели Редактирование детали выбрать Вырезать выдавливанием (кнопка ).
3. В строке Свойства указать Направление Два направления и размеры: Расстояние 1: 60 мм, Расстояние 2: 60 мм. Модель можно повернуть, наблюдая за изменениями секущих плоскостей.
4. Завершить операцию, нажав на кнопку в строке Свойства.
5. На призме должен сформироваться вырез, соответствующий построенному контуру (рис. 9.10). Проверить правильность полученных видов, выбрав в команде Ориентация Вид Спереди (установить), Сверху (установить), Слева (установить). Выйти из команды (Выход) и сохранить модель. После того как получена модель призмы, можно перейти к автоматизированному построению чертежа, содержащему три стандартных вида призмы — спереди, сверху и слева. Для получения этого чертежа необходимо выполнить следующие команды.

1. Выбрать в основном меню: Файл — Создать — Чертеж.
2. Изменить формат чертежа с А4 на A3 с помощью менеджера
3. Открыть окно Виды или выбрать в меню Вставка модели — Стандартные.
4. В открывшемся окне выбрать файл с моделью призмы и открыть его.

1. В строке Свойства выбрать схему видов и изменить расстояние между видами с 15 мм (по умолчанию) на 50 мм по горизонтали и 25 мм по вертикали (рис. 9.11).
2. В этой же строке Свойства нажать кнопку Линии и включить Невидимые линии и Линии переходов.
3. Разместить виды в центре чертежа (рис. 9.12) и нажать
4. Достроить оси на всех видах. Номер вида выбирается в строке Текущее состояние (обычно находится в верхней части экрана). Виды являются ассоциативно связанными и никакие изменения на них не допускаются. Можно редактировать только модель
5. Обозначить точки на линиях пересечения на всех проекциях, подписать вершины основания призмы. Заполнить основную надпись.

Построение развертки боковой поверхности призмы

Компьютерные системы проектирования позволяют строить развертки различными способами. Здесь рассмотрим один из возможных вариантов.

1. Построить модель призмы.
2. Создать новый чертеж. Для этого выбрать команды Файл — Создать — Чертеж.
3. Изменить формат чертежа с А4 на A3 с помощью менеджера документа
4. Вернуться к модели призмы.
5. Выбрать боковую грань и построить относительно ее смещенную плоскость: Операции — Плоскости — Смещенная плоскость — Расстояние 1 мм.
6. Завершить операцию, нажав на кнопку в строке Свойства.
7. Указать в дереве построений эту плоскость и перейти в режим Эскиз .
8. Построить основной линией контур этой грани со всеми вырезами (рис. 9.13).
9. Обвести контур рамкой и скопировать его в буфер, указав точку привязки на этой грани (в любом месте, потом эта точка будет использоваться для вставки на чертеже развертки).
10. Выйти из режима Эскиз (повторно нажать на кнопку ).
11. Перейти в окно с чертежом развертки и выполнить вставку скопированной грани на поле чертежа.
12. Вернуться к модели призмы.
13. Выбрать следующую боковую грань и построить относительно ее еще одну смещенную плоскость: Операции — Плоскости — Смещенная плоскость — Расстояние 1 мм.
14. Завершить операцию, нажав на в строке Свойства.
15. Указать в дереве построений эту плоскость и перейти в режим Эскиз
16. Открыть инструментальную панель Геометрия , выбрать Непрерывную линию и построить основной линией контур грани. В этом режиме деталь можно уменьшать или увеличивать колесиком мыши, а для перемещения необходимо дополнительно нажимать клавишу Shift.
17. Обвести контур рамкой и скопировать его в буфер, указав точку привязки на этой грани (в любом месте).
18. Выйти из режима Эскиз (повторно нажать на кнопку ).
19. Перейти в окно с чертежом развертки и выполнить вставку скопированной грани на поле чертежа.
20. Повторить приведенные выше операции столько раз, сколько граней на призме.
21. На чертеже должна сформироваться развертка, содержащая столько прямоугольников, сколько боковых граней в призме (рис. 9.14).

Линии, разделяющие внутренние сгибы развертки должны иметь специальную форму — штрихпунктирные с двумя точками, как показано на рис. 9.14.

В завершении необходимо обозначить точки на линии пересечения граней плоскостями и подписать вершины основания призмы.

Построение развертки боковой поверхности любой фигуры в системах КОМПАС-ЗD версий 15 и выше возможно с помощью команд библиотеки Машиностроение (Механика) -Оборудование — Развертки Эта библиотека входит в отдельный пакет MCAD, устанавливаемый вместе с системой КОМПАС.

Построение модели пирамиды, усеченной плоскостями

На рис. 9.15 представлен чертеж-задание пирамиды, усеченной плоскостями. Порядок построения модели пирамиды следующий.

1. Выбрать Файл — Создать — Деталь.
2. Открыть в дереве модели Начало координат и выбрать Плоскость .
3. Создать эскиз на этой плоскости, для этого нажать кнопку , построить треугольник основания, вписанный в окружность диаметром 120 мм.
4. Выйти из эскиза .
5. Выделить этот эскиз в дереве построений, включить Выдавливание и выдавить треугольник на высоту 120 мм. Направление Прямое. Расстояние 1: 120 мм. Угол внутрь: 14-15°. Угол может быть другой, надо следить за вершиной, чтобы получить одну точку (рис. 9.16).
6. В верхнем меню Ориентация выбрать Вид Спереди (нажать Установить и Выход).
7. В дереве модели выбрать плоскость .
8. Включить Эскиз и на этой плоскости построить контур сечения пирамиды плоскостями (по заданным размерам). Контур строить Непрерывной линией. Линия контура должна быть замкнутой (рис. 9.17).
9. Выйти из эскиза
10. Выбрать этот эскиз в дереве модели и указать операцию. Вырезать выдавливанием
11. Для выдавливания выбрать Два направления, расстояния примерно 30 мм. Завершить операцию, нажав на строке Свойства.
12. Проверить соответствие видов: в меню Ориентация выбрать Вид Сверху (установить), Слева (установить).
13. Сохранить модель.

Теперь создадим чертеж построенной модели. Для этого следует выполнить следующие действия.

1. Выбрать в основном меню: Файл — Создать — Чертеж. Установить формат чертежа A3.
2. Выбрать Вставка — Вид — Вид с модели — Стандартные. В открывшемся окне выбрать файл модели пирамиды и открыть его.
3. Графический редактор КОМПАС-ЗD предложит стандартную схему построения чертежа из 3 видов: Спереди, Сверху и Слева. Изменять схему не нужно, надо только расширить расстояние между проекциями: в строке Свойства (в нижней части экрана) выбрать кнопку Схема и задать расстояния по горизонтали 50 мм, а по вертикали 25 мм.
4. Выбрать отрисовку невидимых линий: для этого на панели свойств открыть вкладку Линии и включить Невидимые. Завершить построение, нажав . Начертить оси.
5. Обозначить вершины пирамиды, точки на линии сечения на всех проекциях.
6. Заполнить основную надпись и сохранить чертеж.
7. Распечатать чертеж, используя масштаб 99 (режим Обрезать по размеру страницы).

Построение модели цилиндра, пересеченного плоскостями

На рис. 9.18 приведен чертеж-задание для построения модели цилиндра. Процедура построения модели цилиндра состоит из следующих этапов.

1. Выбрать в основном меню: Файл — Создать — Деталь.
2. Открыть в дереве модели Начало координат.
3. Выбрать плоскость .
4. Перейти в режим Эскиз
5. Построить окружность диаметром 120 мм. Ориентацию не трогать и не менять!
6. Выйти из режима Эскиз (нажать на кнопку ).
7. В дереве модели указать этот эскиз, затем выбрать команду Редактирование детали и Выдавливание .
8. В строке Свойства задать Направление Прямое и размеры цилиндра: Расстояние 1 (высота): 120 мм.
9. Завершить операцию, нажав на в строке Свойства.
10. Указать команду Ориентация и установить Вид Спереди. Закрыть окно, нажав Выход.
11. В дереве модели выбрать плоскость .
12. Перейти в режим Эскиз
13. Открыть инструментальную панель Геометрия и построить на цилиндре контур сечения, соблюдая размеры, указанные в задании (рис. 9.19). В этом режиме деталь можно уменьшать или увеличивать колесиком мыши, а для перемещения дополнительно нажимать клавишу Shift. Контур обязательно должен быть замкнутым.
14. Выйти из режима Эскиз (нажать на знак).
15. На панели Редактирование детали выбрать команду Вырезать выдавливанием (кнопка 1Mb). В дереве модели указать последний эскиз.
16. В строке свойств указать Направление Два направления, Расстояние 1: 60 мм и Расстояние 2: 60 мм. Модель можно повернуть, рассматривая вырез со всех сторон. Рис. 9.19
17. Завершить операцию, нажав .
18. На цилиндре должен сформироваться вырез, соответствующий заданному контуру (рис. 9.20). Проверить правильность полученных видов, выбрав в команде Ориентация Вид Спереди (установить), Сверху (установить), Слева (установить). Выйти из команды (Выход) и сохранить модель.

После того как построена модель цилиндра, можно приступить к формированию чертежа, содержащего 3 стандартных вида объекта.

1. Выбрать в основном меню: Файл — Создать — Чертеж. Изменить формат чертежа с А4 на A3 с помощью менеджера документа
2. Открыть окно Виды или выбрать в меню Вставка — Вид — Вид с мо-дели — Стандартные.
3. В открывшемся окне выбрать файл с моделью цилиндра и открыть его.
4. В строке свойств выбрать схему видов и изменить расстояние между видами с 15 мм (по умолчанию) на 50 мм по горизонтали и 25 мм по вертикали.
5. В этой же строке свойств нажать кнопку Линии и включить Невидимые линии и Линии переходов.
6. Расставить виды на поле чертежа и нажать .
7. Достроить оси на каждом виде и обозначить точки на линиях пересечения на всех проекциях. Номер вида выбирается из строки Текущее состояние. Виды являются ассоциативно связанными и никакие изменения на видах не допускаются. Можно редактировать только модель.

Построение трехмерной модели конуса с горизонтальным и вертикальным отверстиями

Большинство реальных технических деталей имеет форму в виде взаимно пересекающихся геометрических тел — конических, призматических, цилиндрических и др. Построению таких тел посвящено много задач дисциплины «Инженерная геометрия и графика». Здесь рассмотрим один из способов построения подобных тел на примере модели усеченного конуса с двумя взаимно перпендикулярными сквозными отверстиями (рис. 9.21).

Процедура построений следующая.

1. Выбрать в основном меню: Файл — Создать — Деталь.
2. Открыть в дереве модели Начало координат и выбрать плоскость .
3. Перейти в режим Эскиз
4. Построить окружность диаметром 110 мм. Ориентацию не трогать и не менять!
5. Выйти из режима Эскиз (повторно нажать кнопку ).
6. В дереве модели указать этот эскиз, выбрать команду Редактирование детали и Выдавливание
7. В строке Свойства задать Направление Прямое и размеры конуса: Расстояние 1 (высота): 120 мм, Уклон внутрь: 12°. Рис. 9.21
8. Завершить операцию, нажав на в строке свойств.

9-1. Проверить полученное верхнее основание конуса (оно должно иметь диаметр 60 мм). Для этого построить смещенную плоскость относительно плоскости на расстоянии 120 мм. На этой плоскости построить эскиз , содержащий окружность диаметром 60 мм.

9-2. Выйти из эскиза, нажав

9-3. При необходимости изменить диаметр верхнего основания конуса, подвести курсор в дереве модели к ранее выполненной операции выдавливания — Операция выдавливания: 1, нажать правую кнопку мыши, выбрать в контексном меню команду Редактировать и изменить угол выдаваливания, чтобы диаметр основания соответствовал диаметру окружности на смещенной плоскости.

9-4. Завершить операцию, нажав на в строке свойств.

1. Указать команду Ориентация и установить Вид Спереди. Закрыть окно, нажав Выход.
2. В дереве модели выбрать плоскость .
   содержащий окружность диаметром 60 мм.
3. Перейти в режим Эскиз (нажать кнопку ).
4. Открыть инструментальную панель Геометрия построить на этой плоскости окружность диаметром 70 мм (рис. 9.22).
5. Выйти из режима Эскиза (нажать кнопку ).
6. На панели Редактирование детали выбрать Вырезать выдавливанием (кнопка ).
7. В строке свойств указать Направление Два направления, Расстояние 1: 70 мм и Расстояние 2: 70 мм. Модель можно повернуть, наблюдая за линией пересечения.
8. Завершить операцию, нажав на в строке свойств.

1. На конусе образуется сквозное горизонтальное отверстие.
2. Осталось построить сквозное вертикальное отверстие. Для этого выбрать построенную ранее смещенную плоскость относительно основания на 120 мм. На этой плоскости в режиме эскиза построить окружность диаметром 50 мм (рис. 9.23).
3. Выйти из эскиза и вырезать выдавливанием сквозное вертикальное отверстие в конусе.
4. Завершить операцию, нажав на в строке свойств.
5. Проверить правильность полученных видов, выбрав команду Ориентация и Вид Спереди (установить), Сверху (установить), Слева (установить).
6. Выйти из команды (Выход) и сохранить модель.

Создание чертежа из модели конуса

1. Выбрать в основном меню: Файл — Создать — Чертеж.
2. Изменить формат чертежа с А4 на A3 с помощью менеджера документа.
3. Открыть окно Виды или выбрать в меню Вставка — Вид — Вид с модели — Стандартные.
4. В открывшемся окне выбрать файл с моделью конуса и открыть его.
5. В строке свойств выбрать Схему видов и изменить расстояние между видами с 15 мм (по умолчанию) на 50 мм по горизонтали и 25 мм по вертикали.
6. В этой же строке свойств нажать кнопку Линии и включить Невидимые линии и Линии переходов.
7. Расставить виды на поле чертежа и нажать .
8. Достроить оси на каждом виде и обозначить точки на линиях пересечения на всех проекциях. Виды являются ассоциативно связанными и никакие изменения на видах не допускаются. Можно редактировать только трехмерную модель.
9. Заполнить основную надпись.

Вопросы для контроля

1. Какую роль выполняет эскиз при построении трехмерных моделей?
2. На какой плоскости располагается эскиз?
3. Перечислите основные команды создания объемных моделей и их свойства.
4. Из каких геометрических элементов можно построить сферу? Какие операции используются для построения сферы?

Готовые задачи с решением по начертательной геометрии

Начертательная геометрия представляет собой раздел геометрии, занимающийся изучением форм предметов реального мира и абстрактных закономерностей с использованием «плоских эквивалентов многомерного пространства»- чертежей.

Если что-то непонятно — вы всегда можете написать мне в WhatsApp и я вам помогу!

Начертательная геометрия является одной из базовых учебных дисциплин в вузах и колледжах России. Однако методы ее преподавания и изучения до сих пор практически не претерпели изменений: те же лекции с традиционной линейкой, те же практические занятия с заготовками для задач в рабочих тетрадях, все те же ветшающие в библиотеках старые учебники, которых все более и более не хватает.

В этой связи содержание начертательной геометрии можно свести к следующим двум основным вопросам:

• разработке способов построения изображений (чертежей) пространственных фигур на двумерной плоскости;
• изучению способов решения и исследования пространственных задач при помощи «плоских эквивалентов» (чертежей).

Начертательная геометрия является одной из базовых учебных дисциплин в вузах и колледжах России. Однако методы ее преподавания и изучения до сих пор практически не претерпели изменений: те же лекции с традиционной линейкой, те же практические занятия с заготовками для задач в рабочих тетрадях, все те же ветшающие в библиотеках старые учебники, которых все более и более не хватает.

Построение проекции плоского контура по заданному условию

• Метод проекции и свойства
• Точка в системе плоскостей проекций h v и w
• Прямые общего и частных положений относительно плоскостей проекций
• Деление отрезка в заданном отношении на чертеже
• Взаимное положение двух прямых
• Теорема о проекции прямого угла

Задача №1.

Построить проекции плоского контура по заданному условию. Задача имеет два варианта условий.

Варианты 1-15: построить фронтальную и горизонтальную проекции ромба с диагоналями и по заданному условию: вершина ромба, точка , дана, а диагональ лежит на заданной прямой уровня вторая диагональ ромба равна 130 мм и проходит через заданную точку . Диагональ ромба определяется построениями. Определить углы наклона диагонали ромба к плоскостям проекций и .

Варианты 16-30: построить проекции квадрата с диагоналями и но заданному условию: вершина квадрата, точка , дана, а диагональ лежит на заданной прямой ; вторая диагональ квадрата проходит через заданную точку . Диагонали квадрата определяются построениями. Определить углы наклона диагонали квадрата к плоскостям проекций и .

Данные всех вариантов представлены координатами и точек и в табл. 4.1.

На образце показан пример решения задачи 1 по условию вариантов 1-15, т.е. построены проекции ромба .

Для решения задачи рассмотрим ромб как геометрическую фигуру: диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения (точка ) делятся пополам.

По заданным в табл. 4.1 координатам точек построить на левой половине листа 1 графическое условие задачи: проекции фронтальной прямой уровня и проекции точки . В левом верхнем углу выполнить таблицу с координатами точек своего варианта.

План графических действий для решения задачи 1 :

1-е действие. Построить фронтальную и горизонтальную проекции прямой общего положения , проходящей через точку , на которой будет лежать диагональ ромба :

• фронтальная проекция этой прямой перпендикулярна фронтальной проекции прямой уровня (в соответствии с теоремой о проекции прямого угла) и проходит через фронтальную проекцию точки ;

-фронтальная проекция точки пересечения диагоналей ромба определяется на пересечении фронтальных проекций заданной прямой уровня и построенной прямой , а ее горизонтальная проекция построена по линии связи на проекции прямой ;

горизонтальная проекция прямой проходит через горизонтальные проекции точек и .

2-е действие. Построить на прямой общего положения проекции отрезка (половина второй диагонали ромба , построение см. на рис. 4.11 и 4.12), т.е. построить проекции вершины ромба.

3-е действие. Построить проекции вершин ромба и . отложив на диагоналях от точки отрезки, равные построенным проекциям половин диагоналей и .

4-е действие. Достроить проекции ромба , соединив прямыми линиями построенные проекции его вершин.

5-е действие. Определить углы наклона половины диагонали ромба — отрезка к плоскостям проекций и : построить натуральную величину отрезка способом прямоугольного треугольника относительно горизонтальной проекции этого отрезка и определить искомые углы:

-угол наклона отрезка к плоскости проекций определяется между проекцией половины диагонали и гипотенузой построенного прямоугольного треугольника ;

• угол наклона отрезка к плоскости проекций определяется между проекцией половины диагонали и гипотенузой построенного относительно горизонтальной проекции прямоугольного треугольника .

Построение фронтальной и горизонтальной проекции линии пересечения двух плоскостей общего положения

• Различные способы задания плоскости на чертеже
• Прямые особого положения в плоскости
• Положение плоскости относительно плоскостей проекций
• Проведение плоскости частного положения через прямую общего положения
• Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости

Задача №2.

Построить фронтальную и горизонтальную проекции линии пересечения двух плоскостей общего положения. Задача имеет два варианта графических условий.

Варианты 1-15: построить проекции линии пересечения двух плоскостей общего положения и , заданных треугольными отсеками.

Варианты 16-30: построить проекции линии пересечения треугольника и параллелограмма , предварительно достроив проекции вершины параллелограмма.

Данные всех вариантов представлены координатами , точек и в табл. 4.2.

На образце дан пример решении задачи 2 но графическому условию вариантов 1-15.

Поскольку проекции заданных плоскостей общего положения и на чертеже накладываются, то для построения линии их пересечения используем графический алгоритм построения точки пересечения прямой общего положения с плоскостью общею положения, изложенный выше (см. описания к рис. 4.37 и 4.38). Графические действия алгоритма следует выполнить дважды, гак как прямая пересечения плоскостей проходит через две общие точки.

План графических действий для решения задачи 2:

Построить точку пересечения прямой с плоскостью :

1-е действие. Заключить прямую (сторону треугольника ) во вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость и обозначить ее фронтальный след .

2-е действие. Построить проекции линии пересечения вспомогательной плоскости с другим треугольником .

3-е действие. Определить проекции точки пересечения стороны с плоскостью , продлив горизонтальную проекцию построенной вспомогательной линии до пересечения с горизонтальной проекцией стороны .

II. Повторить графические действия алгоритма и построить проекции второй точки пересечения прямой с плоскостью , заключив ее во вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость . и обозначить ее горизонтальный след ; соединить прямыми одноименные проекции построенных точек (в пределах треугольников можно рассматривать линию ).

4-е действие. Определить относительную видимость плоскостей и . рассмотрев две пары конкурирующих точек: точки 1-5 для определения видимости на фронтальной проекции и точки 3-6 для определения видимости на горизонтальной проекции.

!!! Внимание! К листу 1 выполнить приложение, изложив на листах писчей бумаги планы решения задач 1 и 2.

Для решения задач 3 и 4 следует усвоить материал начертательной геометрии по теме.

Тема 2:

• перпендикулярность прямой и плоскости;
• теорема о проекции прямого угла (см. рис. 4.17, 4.18. 4.19 — повторить);
• перпендикулярность плоскостей.

Перпендикулярности прямой и плоскости

Решение задач на тему перпендикулярности прямой и плоскости основано на двух теоремах геометрии:

1-я теорема: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

2-я теорема: о проекции прямого угла (изложена выше — см. рис. 4.17, 4.18 и 4.19 к листу 1) — если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна, то на эту плоскость проекций угол проецируется прямым.

Из этих двух теорем следует, что на чертеже проекции перпендикуляра к плоскости можно провести только к проекциям фронтали и горизонтали, то есть к двум пересекающимся прямым уровня, которые можно провести в плоскости.

!!! Запомните:

• фронтальная проекция перпендикулярной прямой к плоскости перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали этой плоскости — ;

• горизонтальная проекция перпендикулярной прямой к плоскости перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали этой плоскости —

Задачи на тему перпендикулярности прямой и плоскости можно разделить натри группы:

1-я группа. Провести от точки, лежащей в плоскости, перпендикуляр в пространство.

2-я группа. Провести из точки, не лежащей в плоскости, перпендикуляр к этой плоскости.

3-я группа. Построить плоскость, перпендикулярную к прямой общего положения (построить геометрическое место точек — ГМТ).

Первая группа задач требует по условию проведения перпендикуляра от плоскости (восстановить перпендикуляр) в пространство (рис. 4.39).

В этой группе задач требуется, как правило, построить на проведенном перпендикуляре проекции отрезка заданной величины Графические действия по построению проекций отрезка заданной величины на проекциях прямой общего положения изложены ранее (см. рис. 4.12 к листу 1).

На рис. 4.39 показано решение примерной задачи первой группы: построить плоскость параллельную заданной плоскости , на расстоянии 15 мм.

Эта задача относится к первой группе, поскольку для построения параллельной плоскости нужно предварительно построить произвольную точку на расстоянии 15 мм от заданной плоскости , то есть из произвольной точки плоскости провести перпендикуляр в пространство.

Для решения задачи требуется выполнить следующий графический алгоритм :

1-е действие. Провести в заданной плоскости общего положения проекции фронтали и горизонтали :

• — построить по вспомогательной точке 1;
• — построить по вспомогательной точке 2.

2-е действие. Провести от точки плоскости, например, от вершины в пространство проекции перпендикуляра :

• фронтальную проекцию перпендикулярно ;
• горизонтальную проекцию перпендикулярно .

3-е действие. На проекциях перпендикуляра построить проекции отрезка заданной величины 15 мм. для чего выполнить следующие графические действия:

1. Ограничить построенную прямую произвольным отрезком .
2. Построить натуральную величину этого отрезка (см. рис. 4.11) способом прямоугольного треугольника — это гипотенуза .
3. На построенной гипотенузе отложить заданную величину и построить проекции отрезка заданной величины (см. построения), т.е. проекции точки , находящейся на расстоянии 15 мм от плоскости .

4-е действие. Построить плоскость , параллельную заданной плоскости , проведя через проекции точку две пересекающиеся прямые и , соответственно параллельные двум пересекающимся прямым и плоскости :

• ;
• , то есть .

К первой группе относится задача 3 графической работы № 2.

Вторая группа задач требует по условию проведения перпендикуляра из точки в пространстве к плоскости (опустить перпендикуляр). В этой группе задач, как правило, требуется построить точку пересечения построенного перпендикуляра с заданной плоскостью.

Построение точки пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения было рассмотрено выше (см. рис. 4.37).

На рис. 4.40 показано решение примерной задачи второй группы: определить расстояние от точки до заданной плоскости .

Эта задача относится ко второй группе, так как расстояние от точки до заданной плоскости определяется величиной перпендикуляра, проведенного из точки к плоскости.

Для решения задачи требуется выполнить следующий графический алгоритм:

1-е действие. Провести в плоскости фронталь и горизонталь .

2-е действие. Провести через заданную точку проекции перпендикуляра к плоскости :

перпендикулярно;

перпендикулярно .

3-е действие. Построить точку пересечения перпендикуляра с заданной плоскостью общего положения . выполнив промежуточный графический алгоритм:

1. Заключить прямую во вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость
2. Построить вспомогательную линию пересечения 3-4 заданной плоскости со вспомогательной плоскостью :

• — определяется на следе ;
• — строится по принадлежности точек 3 и 4 сторонам и треугольника .

1. Определить проекции искомой точки пересечения на пересечении проекций построенной вспомогательной линии пересечения 3-4 с проекциями перпендикуляра .

4-е действие. Построить натуральную величину отрезка способом прямоугольного треугольника, то есть определить расстояние от точки до плоскости .

Ко второй группе относится задача 4 графической работы № 2.

Третья группа задач требует по условию построения некоторой вспомогательной плоскости (геометрического места точек), перпендикулярной к прямой общего положения. Эту перпендикулярную плоскость можно задать двумя пересекающимися прямыми, каждая из которых должна быть перпендикулярна прямой общего положения (теорема о перпендикулярности прямой и плоскости, т.е. признак перпендикулярности прямой и плоскости). На чертеже плоскость, перпендикулярную к прямой общего положения, можно задать только проекциями пересекающихся прямых уровня — фронтальной (параллельной плоскости проекций и горизонтальной (параллельной плоскости ), что соответствует теореме о проекции прямого угла. В задачах этой группы, как правило, требуется по условию определить точку пересечения заданной прямой со вспомогательной перпендикулярной плоскостью.

Па рис. 4.41 показано решение примерной задачи третьей группы: определить расстояние от точки до прямой общего положения .

Эта задача относится к третьей группе, поскольку на чертеже провести перпендикуляр к прямой общего положения, но которому определяется расстояние от точки до заданной прямой . нельзя (прямой угол в этом случае не проецируется

прямым). Следовательно, для решения нужно построить вспомогательную плоскость , перпендикулярную к заданной прямой, которая будет геометрическим местом всех перпендикуляров к этой прямой.

Для решения задачи требуется выполнить следующий графический алгоритм:

1-е действие. Построить вспомогательную плоскость , перпендикулярную заданной прямой , задав ее двумя пересекающимися прямыми уровня и :

• горизонтальной прямой ;
• фронтальной прямой .

2-е действие. Построить точкупересечения заданной прямой со вспомогательной плоскостью по алгоритму построения точки пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения (см. рис. 4.40).

3-е действие. Соединить одноименные проекции точек и : полученный отрезок общего положения и есть расстояние от точки до прямой, искаженное на проекциях по величине.

4-е действие. Построить натуральную величину построенного отрезка способом прямоугольного треугольника (см. рис. 4.40).

Образец выполнения листа 2 с задачами 3 и 4 показан на рис. 4 42, а и б. Задачи выполнить на формате A3 чертежной бумаги

Задача №3. выполняется на левой половине поля чертежа.

По заданному условию своего варианта построить графическое условие задачи: фронтальную и горизонтальную проекции плоскости общего положения — основания прямой призмы (рассматривается решение задачи по условию вариантов 1-15).

Рассмотрим прямую правильную призму. Из геометрии известно: ребра и основания у любой призмы равны и параллельны, ау прямой призмы -ребра перпендикулярны основанию.

План графических действий решения задачи:

1-е действие. Провести в плоскости проекции фронтали и горизонтали .

2-е действие. Провести проекции перпендикуляра из вершины плоскости основания в пространство, т.е. построить направление ребер призмы.

3-е действие. Построить на перпендикуляре проекции отрезка заданной величины 65 мм, т.е. проекции ребра призмы.

4-е действие. Провести из вершин основания и прямые, параллельные и равные построенному отрезку . и достроить второе основание призмы.

5-е действие. Определить относительную видимость граней призмы на ее проекциях по конкурирующим точкам.

Задача №4. выполняется на правой половине поля чертежа.

По заданному условию своего варианта построить графическое условие задачи: фронтальные и горизонтальные проекции плоскости общего положения и отрезка общего положения (рассматривается решение задачи по условию вариантов 16-30).

Заданная плоскость общего положения по условию задачи является плоскостью проекций, и проецирующие лучи из концов отрезка должны быть перпендикулярны этой плоскости.

План графических действий для решения задачи:

1-е действие. Провести в заданной плоскости фронталь и горизонталь .

2-е действие. Провести проекции перпендикуляров (проецирующих лучей) из конечных точек и отрезка к плоскости .

3-е действие. Построить точки и пересечения перпендикуляров-лучей с плоскостью проекций , полученные проекции отрезка , лежащего в плоскости проекций , и есть прямоугольная проекция отрезка на эту его плоскость.

!!! Внимание. К листу 2 выполнить приложение, изложив на листах писчей бумаги планы решения задач 3 и 4.

Задача №5. Задача имеет два варианта графических условий.

Варианты 1-15. Построить проекции центра окружности, описанной вокруг плоскости общего положения, заданной треугольником , способом замены плоскостей проекций.

Варианты 16-30. Построить проекции центра сферы, вписанной в плоский угол , способом -замены плоскостей проекций.

Задача №6. Задача имеет два варианта графических условий.

Варианты 1-15. Построить натуральную величину заданного треугольника (из задачи 5) способом вращения вокруг линии уровня — фронтали или горизонтали (линия уровня указана для каждого варианта в табл. 4.4).

Варианты 16-30. Построить натуральную величину заданного угла (из задачи 5) способом вращения вокруг линии уровня (указана для каждого варианта в табл. 4.4).

Данные всех вариантов представлены координатами и точек и в табл. 4.4.

Задание прямых линий и плоскостей в частных положениях относительно плоскостей проекций

Задание прямых линии и плоскостей в частных положениях относительно плоскостей проекций значительно упрощает построения и решение различных задач. Существует несколько способов преобразования чертежа, которые позволяют переходить от общих положений геометрических элементов в условиях задач к частным. Рассмотрим эти способы.

I. Способ замены (перемены) плоскостей проекции:

Способ замены плоскостей проекций даст возможность изменить общие положения прямых и плоскостей относительно плоскостей проекций Н или V на частные положения введением дополнительных плоскостей проекций.

Сущность способа:

• положение предмета в пространстве не меняется, а изменяется положение плоскостей проекций относительно этого предмета так. чтобы в дополнительной системе плоскостей проекций предмет занял частное положение (проецирующее или положение уровня), удобное для решения задачи;
• проецирование предмета на дополнительные плоскости проекций выполняется по методу Г. Монжа — методу параллельного прямоугольного проецирования на взаимно перпендикулярные плоскости, то есть сохраняется взаимная перпендикулярность основных и дополнительных плоскостей проекций.

На рис. 4.43 изображена наглядная картина построения фронтальной проекции отрезка на дополнительную плоскость проекций .

Образована дополнительная система перпендикулярных плоскостей проекций с новой осью проекции . Обратите внимание, что координаты фронтальных проекций и конечных точек отрезка на дополнительной плоскости равны координатам фронтальных проекций и точек в заданной системе . Для получения чертежа дополнительную плоскость поворачивают вокруг новой оси проекций до совмещения с плоскостью проекций .

На рис. 4.44 показан чертеж (эпюр) произвольного преобразования отрезка общего положения двумя последовательными заменами плоскостей проекций, для чего выполнены следующие графические действия:

I замена.

1-е действие. Введена первая дополнительная система , ось проекций которой расположена произвольно на поле чертежа.

2-е действие. Построена в дополнительной плоскости проекций фронтальная проекция отрезка :

• проведены линии связи от горизонтальных и проекций конечных точек отрезка, перпендикулярные оси проекций

• от оси проекций отложены координаты , равные координатам фронтальных и проекций точек и в заданной системе .

II замена.

3-е действие. Введена вторая дополнительная система , ось проекций которой расположена произвольно на поле чертежа.

4-е действие. В дополнительной плоскости проекций построена горизонтальная проекция отрезка :

• от построенных в первой дополнительной системе фронтальных проекций точек и проведены линии связи, перпендикулярные оси проекций
• от оси проекций отложены координаты , взятые из предыдущей системы : от оси до горизонтальных и проекций точек и .

Поскольку на рис. 4.44 рассмотрен пример произвольного, без всяких условий, двойного преобразования прямой общего положения, то и в первой, и во второй дополнительных системах этот отрезок преобразовался также в прямую общего положения.

Для преобразования прямой или плоскости общего положения в прямую или плоскость частного положения рассмотрим четыре основные задачи преобразования способом замены плоскостей проекций, применяемые как отдельные графические действия для решения различных задач.

Задача №1. Преобразовать прямую общего положения в прямую уровня.

На рис. 4.45 показано преобразование прямой общего положения во фронтальную прямую уровня. Для решения задачи выполнен следующий графический алгоритм:

1-е действие. Ввести дополнительную систему плоскостей проекций расположив ось проекций параллельно горизонтальной проекции отрезка .

2-е действие. Построить фронтальную проекцию отрезка в дополнительной плоскости по координатам , взятым из предыдущей системы .

В результате преобразования отрезок в дополнительной системе занял положение, параллельное дополнительной плоскости проекций , т.е. преобразовался во фронтальную прямую уровня. Следовательно, построены также натуральная величина отрезка и угол его наклона к плоскости проекций .

Па рис 4.46 показано преобразование прямой общего положения в горизонтальную прямую уровня. Для решения задачи введена дополнительная система плоскостей проекций и выполнены аналогичные графические действия.

Задача №2. Преобразовать прямую уровня в проецирующую прямую.

На рис. 4.47 показано преобразование фронтальной прямой в горизонтально-проецирующую прямую. Для решения задачи выполнен следующий графический алгоритм:

1-е действие. Ввести дополнительную систему плоскостей проекций расположив ось проекций перпендикулярно фронтальной проекции отрезка .

2-е действие. Построить горизонтальные совпадающие проекции и точек и отрезка в дополнительной плоскости проекций по координатам взятым из предыдущей системы .

В результате преобразования горизонтальный отрезок в дополнительной системе занял положение, перпендикулярное

дополнительной плоскости проекций , т.е. преобразовался в горизонтально-проецирующую прямую.

На рис. 4 48 показано преобразование горизонтальной прямой уровня во фронтально-проецирующую прямую. Для решения задачи введена дополнительная система плоскостей проекций и выполнены аналогичные графические действия.

Задачи №3. Преобразование плоскости общею положения в проецирующую плоскость.

Чтобы понять сущность графических действий этого преобразования, напомним, что у проецирующих плоскостей, перпендикулярных или , одна из линий уровня -или фронталь, или горизонталь — является проецирующей прямой.

На рис. 4.49 показано, что у горизонтально-проецирующей плоскости , горизонтальная проекция которой вырождается в линию, фронталь плоскости занимает положение горизонтально-проецирующей прямой, т.е. она перпендикулярна плоскости проекций (горизонтальная проекция вырождается в точку).

На рис 4.50 показано, что у фронтально-проецирующей плоскости , фронтальная проекция которой вырождается в линию, горизонталь плоскости занимает положение фронтально-проецирующей прямой, т.е. она перпендикулярна фронтальной плоскости проекций (ее фронтальная проекция вырождается в точку).

На рис. 4.51 преобразование плоскости положения во фронтально-проецирующую плоскость Для решения задачи выполнен следующий графический алгоритм:

1-е действие. Провести в плоскости проекции горизонтали .

2-е действие. Ввести дополнительную систему плоскостей расположив ось проекций перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали плоскости.

3-е действие. Построить в дополнительной плоскости проекций фронтальную проекцию плоскости по координатам , взятым (проекция плоскости выродилась в прямую).

В результате преобразования плоскость общего положения в дополнительной системе заняла положение, перпендикулярное дополнительной плоскости проекций , т.е. преобразовалась во фронтально-проецирующую. Следовательно, построен также угол наклона плоскости к плоскости проекций .

На рис. 4.52 показано преобразование плоскости общего положения в горизонтально-проецирующую плоскость. Для решения задачи в плоскости проведены проекции фронтали . Введена дополнительная система плоскостей ось которой перпендикулярна фронтальной проекции фронтали плоскости, и выполнены аналогичные графические действия.

Задача №4. Преобразовать проецирующую плоскость в плоскость уровня.

На рис. 4.53 показано преобразование фронтально-проецирующей плоскости в горизонтальную плоскость уровня. Для решения задачи выполнен следующий графический алгоритм.

1-е действие. Ввести дополнительную систему плоскостей проекций расположив ось проекций параллельно вырожденной фронтальной проекции плоскости .

2-е. действие. Построить горизонтальную проекцию в дополнительной плоскости по координатам , взятым из предыдущей системы .

В результате преобразования фронтально-проецирующая плоскость в дополнительной системе заняла положение, параллельное дополнительной плоскости проекций т.е. преобразовалась в горизонтальную плоскостью уровня. Следовательно, построена натуральная величина этой плоскости.

На рис. 4.54 показано преобразование горизонтально-проецирующей плоскости во фронтальную плоскость уровня. Для решения задачи введена дополнительная система и выполнены аналогичные графические действия.

II. Способ вращения вокруг проецирующей оси (фронтально-проецирующей или горизонтально-проецирующей прямой):

Сущность способа в том, что предмет, занимающий общее положение относительно плоскостей проекций, вращают вокруг проецирующей оси, изменяя его положение в пространстве так, чтобы предмет занял частное положение относительно тех же плоскостей проекций, т.е. стал перпендикулярным (проецирующим) либо параллельным (уровня) плоскости проекций или .

На рис. 4.55 показана наглядная картина способа на примере вращения точки вокруг фронтально-проецирующей оси .

Точка перемещается в положение вращаясь по окружности вокруг фронтально-проецирующей оси в некоторой плоскости , перпендикулярной плоскости проекций .

На плоскость проекций эта окружность проецируется в прямую вращения .

Па плоскость проекций окружность вращения точки проецируется в окружность с центром в точке , которая является вырожденной проекцией фронтально-проецирующей оси вращения .

Па рис. 4.56 и 4.57 показаны примеры применения способа вращения вокруг проецирующей оси для построения натуральной величины отрезка общего положения

На чертеже натуральную величину имеют прямые уровня, параллельные плоскости проекций или (профильную прямую не рассматриваем). Характерный признак прямых уровня на чертеже — одна из проекций параллельна оси проекций : горизонтальная проекция для фронтальной прямой и фронтальная проекция для горизонтальной прямой.

Следовательно, для решения задачи отрезок общего положения нужно повернуть (вращать) вокруг проецирующей оси так. чтобы он занял положение, параллельное плоскости проекций или .

Для решения задачи выполнен следующий графический алгоритм:

1-е действие. Выбрать ось вращения , проходящую через любую конечную точку отрезка (на рис 4.56 фронтально-проецирующая ось вращения проведена через точку , и обозначить се проекции на чертеже.

2-е действие. Повернуть фронтальную проекцию точки вокруг оси по часовой стрелке (можно против) так, чтобы фронтальная проекция отрезка заняла горизонтальное положение параллельное оси проекций .

3-е действие. Построить натуральную проекцию отрезка , переместив горизонтальную проекцию точки перпендикулярно горизонтальной проекции оси вращения (параллельно оси проекций ) до пересечения с вертикальной линией связи от точки .

В результате преобразования отрезок занял положение горизонтальной прямой уровня.

!!! Конечная точка отрезка при вращении остается неподвижной, так как лежит на оси вращения .

На рис. 4.57 показано построение натуральной величины отрезка общего положения вращением вокруг горизонтально-проецирующей оси аналогичными графическими действиями (отрезок занял положение фронтальной прямой уровня).

Плоскопараллельное перемещение

Частный случай способа крашения вокруг проецирующей оси — вращение предмета без указания на чертеже осей вращения, который называют способом плоскопараллельного перемещения. Способ удобен тем, что повернутые вокруг предполагаемой проецирующей оси проекции предмета перемещают и располагают на свободном поле чертежа без взаимного их наложения.

На рис. 4.58 показано построение натуральной величины плоскости общего положения, заданной треугольником ABC, способом плоскопараллельного перемещения.

Для решения задачи плоскость должна занять положение плоскости уровня — или фронтальной , или горизонтальной . Следовательно, плоскость нужно вращать и одновременно перемешать по полю чертежа, чтобы она последовательно заняла сначала проецирующее положение, а затем положение плоскости уровня.

Для двух последовательных преобразований нужно выполнить следующий графический алгоритм.

Первое перемещение. Плоскость общего положения вращением вокруг предполагаемой, например, горизонтально-проецирующей, оси преобразовать во фронтально-проецирующую плоскость, выполнив следующие графические действия:

1-е действие. Провести в плоскости горизонталь .

2-е действие. Повернуть горизонтальную проекцию треугольника, вращая вокруг предполагаемой горизонтально-проецирующей оси (например, проходящей через точку ) и одновременно перемещая вправо на свободное поле чертежа так, чтобы горизонталь плоскости заняла положение фронтально-проецирующей прямой, т.е. должна расположиться перпендикулярно оси . Повернутую проекцию треугольника относительно проекции горизонтали / построить с помощью дуговых засечек, на пересечении которых определяются вершины.

3-е действие. Построить фронтальную проекцию треугольника, переместив заданные фронтальные проекции вершин треугольника параллельно оси проекций до пересечения с вертикальными линиями связи от точек и повернутой проекции: фронтальная проекция выродилась в линию, т.е. треугольник преобразовался во фронтально-проецирующую плоскость.

Второе перемещение. Плоскость фронтально-проецирующую вращением вокруг предполагаемой фронтально-проецирующей оси преобразовать в горизонтальную плоскость уровня, продолжая графические действия.

4-е действие. Повернуть построенную вырожденную проекцию треугольника, вращая вокруг предполагаемой фронтально-проецирующей оси, проходящей через точку , и одновременно перемещая вправо на свободное ноле чертежа так, чтобы эта проекция расположилась параллельно оси проекций : проекция оси .

5-е Действие. Построить новую горизонтальную проекцию треугольника, переместив горизонтальные проекции и вершин треугольника параллельно оси проекций до пересечения вертикальными линиями связи от фронтальных проекций и вершин; построенная горизонтальная проекция треугольника и есть его натуральная величина, так как после второго перемещения треугольник преобразовался в горизонтальную плоскость уровня.

III. Способ вращения вокруг прямой уровня — горизонтальной или фронтальной прямой.

Сущность способа в том, что плоскость общего положения изменяет свое положение в пространстве относительно плоскостей проекций вращением вокруг линии уровня до положения, параллельного плоскости проекций (или ).

На рис. 4.59 показана наглядная картина вращения плоскости общего положения вокруг горизонтальной прямой. Пусть сторона , треугольника , лежит в плоскости , параллельной плоскости проекций . и является горизонтальной прямой , вокруг которой и будет повернута плоскость .

Поскольку вершины и треугольника лежат на оси вращения и, следовательно, неподвижны, то требуется повернуть вокруг прямой уровня только вершину так, чтобы она совместилась с плоскостью . Вершина вращается вокруг горизонтальной прямой (стороны ) в плоскости перпендикулярной оси вращения .

После поворота треугольник лежит в плоскости и, следовательно. параллелен плоскости . Точка имеет радиус вращения и на плоскость у этот радиус проецируется в натуральную величину.

Рассмотрим проекцию этой картины на плоскость проекций . На горизонтальной проекции видно, что натуральную величину треугольника определяет натуральная величина радиуса вращения точки .

На рис. 4.60 показано построение на чертеже натуральной величины плоскости способом вращения вокруг-горизонтальной прямой уровня . В ком случае выполняется вращение горизонтальной проекции треугольника, т.е. вращение выполняется относительно плоскости проекций, которой параллельна ось вращения.

Для решения задачи выполнен следующий графический алгоритм:

1-е действие. К заданной плоскости провести проекции горизонтали , которая является осью вращения.

2-е действие. Провести следы плоскостей и перпендикулярно в которых будут вращаться вершины и вокруг оси вращения точка будет неподвижна, так как лежит на оси вращения.

3-е действие. Определить проекции отрезка , т.е. радиуса вращения точки вокруг горизонтали , и построить любым рассмотренным графическим способом натуральную величину радиуса вращения . В примере натуральная величина построена способом вращения отрезка общего положения вокруг фронтально-проецирующей оси, вырожденная проекция которой совпадает с проекцией точки (см. рис. 4.56).

4-е действие. Построенную натуральную величину радиуса вращения повернуть и расположить на следе плоскости в которой вращается точка треугольника, построив вершину в повернутом положении.

5-е действие. Достроить повернутую проекцию треугольника , определив повернутую проекцию вершины на пересечении следа плоскости вращения с прямой, проходящей через точки и , т.е. натуральную величину радиуса вращения для точки определять нет необходимости: ее повернутое положение определяется графическим построением.

В результате преобразования проекция треугольника заняла положение, параллельное горизонтальной плоскости проекций , и, следовательно, определяет его натуральную величину

!!! Построение на чертеже натуральной величины плоскости вращением вокруг фронтальной прямой уровня выполняется аналогичными графическими действиями, только вращать следует фронтальную проекцию треугольника, так как ось вращения параллельна фронтальной плоскости проекций. Треугольник после вращения занимает положение фронтальной плоскости уровня, которая определяет его натуральную величину.

Образец выполнения листа 3 с задачами 5 и 6 показан на рис. 4 61, а и Г). Задачи выполнить на одном листе формата A3 чертежной бумаги

Задача №5 имеет два варианта графических условий:

Варианты 1-15. Построить проекции центра окружное!и, описанной вокруг плоскости общего положения , способом замены плоскостей проекций.

Bарианты 16-30. Построить проекции центра сферы радиусом 20 мм, вписанной в плоский угол , способом замены плоскостей проекций.

Задача №6 имеет два варианта графических условий:

Варианты 1-15. Построить натуральную величину заданной плоскости общего положения , способом вращения вокруг линии уровня — фронтали или горизонтали (линия уровня указана для каждого варианта в табл. 4.4).

Варианты 1 6-30. Построить натуральную величину заданного угла способом вращения вокруг линии уровня (указана для каждого варианта в табл. 4.4).

Данные для своего варианта взять из табл. 4.4. Условия всех вариантов представлены координатами и точек и .

По заданным координатам точек построить на левой и правой половине поля чертежа графическое условие задач — проекции плоскости общего положения, заданной треугольником . В таблице для каждого варианта указаны линии, относительно которых нужно выполнять преобразование чертежа для 5-й и 6-й задач.

План графических действий для решения задачи 5 (по вариантам 1-15).

Для определения центра окружности, описанной вокруг заданного треугольника , плоскость треугольника должна занять положение плоскости уровня -горизонтальной или фронтальной. Преобразовать плоскость общего положения в плоскость уровня можно двумя последовательными заменами плоскостей проекций (см. задачи 3 и 4 преобразования способом замены, рис. 4.51-4.54). Для решения задачи выполнены следующие графические действия:

Вторая замена.

2-е действие Ввести первую дополнительную систему плоскостей проекций , расположив ось проекций перпендикулярно фронтальной проекции фронтали .

3-е действие. Построить горизонтальную проекцию на дополнительной плоскости по координатам у из системы . Плоскость спроецировалась в прямую (выродилась в линию), т.е. преобразовалась в горизонтально-проецирующую плоскость, перпендикулярную дополнительной плоскости проекций .

4-е действие. Ввести вторую дополнительную систему плоскостей проекций и расположив ось проекций параллельно построенной (вырожденной) проекции треугольника .

5-е действие. Построить фронтальную проекцию плоскости на дополнительной плоскости проекций по координатам из предыдущей системы : построенная проекция является натуральной величиной треугольника , так как плоскость преобразовалась во фронтальную плоскость уровня, параллельную дополнительной плоскости проекций .

6-е действие. Определить центр окружности (точку ), описанной вокруг треугольника , который находится на пересечении перпендикуляров, проведенных через середины сторон треугольника,

7-е действие. Обратным проецированием определить проекции построенного центра описанной окружности на заданных проекциях треугольника, используя вспомогательную линию , на которой лежит точка .

План графических действий для решения задачи 6 (по вариантам I 15).

Натуральную величину определяет только плоскость уровня. Следовательно, заданную плоскость общего положения нужно преобразовать вращением вокруг линии уровня в плоскость уровня, например, в горизонтальную. Для решения задачи на чертеже выполнены следующие графические действия

1-е действие. Провести в заданной плоскости проекции горизонтали следовательно, вращать следует горизонтальную проекцию треугольника.

2-е действие. Провести следы плоскостей и , в которых будут вращаться точки и перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали .

3-е действие. Определить проекции отрезка , т.е. проекции радиуса вращения точки вокруг горизонтали , и построить способом вращения вокруг фронтально проецирующей оси натуральную величину отрезка .

4-е действие. Построенную натуральную величину радиуса повернуть и расположить на следе плоскости , в которой вращается точка построив вершину .

5-е действие. Достроить повернутую проекцию треугольника , которая определяет его натуральную величину. Вершина определяется на пересечении следа плоскости и прямой, проходящей через точки и (без построения натуральной величины ).

!!! Внимание. К листу 3 выполнить приложение, изложив на листах писчей бумаги планы решения задач 5 и 6.

Многогранники, призма и пирамиды

Многогранником называют геометрическое тело, поверхность которого ограничена плоскостями (гранями). Многогранник называют четырех-, пяти-, шестигранником и т.д. по количеству граней (включая основания), образующих его поверхность На чертеже многогранник задают проекциями его граней и ребер (ребро — линия пересечения граней).

Рассмотрим призму и пирамиду — геометрические многогранники (тела), которые часто применяются при формообразовании различных деталей. Основанием призмы и пирамиды может быть любой многоугольник, по количеству сторон которого призму и пирамиду называют треугольной, четыреч-угольной и т.д. Такое название более соответствует изображению этих много-гранников на чертеже, по которому определяется многоугольник основания, что позволяет создать в воображении соответствующий пространственный образ.

Призма как геометрическое тело имеет два параллельных основания, боко-вые грани и параллельные ребра. Призму называют правильной, если ее основаниями являются правильные многоугольники, вписанные в окружность. Призму называю! прямой, если ее ребра перпендикулярны основанию, и наклонной, если ребра не перпендикулярны основанию

Пирамида как геометрическое тело имеет одно основание и вершину, обьединяющую все ее ребра. Пирамиду называю! правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, вписанный в окружность, а высота пирамиды проходит через центр этой окружности (т.е. пирамида прямая).

Пирамида может быть наклонной, если основание высоты не лежит в центре окружности, в которую вписан многоугольник основания пирамиды. Пирамида со срезанной вершиной имеет два основания и называется усеченной.

• Построение проекций прямой правильной призмы
• Построение проекции правильной пирамиды
• Построение проекции точек, лежащих на поверхности пирамиды
• Построение проекций пирамиды со срезами плоскостями частного положения

Задача №7.

Построить фронтальную, горизонтальную и профильную проекции прямой правильной призмы со срезами плоскостями частного положения по заданному условию.

Задача №8.

Построить фронтальную, горизонтальную и профильную проекции правильной пирамиды со срезами плоскостями частного положения по заданному условию.

Задачи 7 и 8 выполнить на одном листе формата A3 чертежной бумаги.

Графические условия вариантов задач 7 и 8 взять из табл. 4.5.

План графических действий для решения задачи 7 (рис. 4.66, а) соответствует предложенному графическому алгоритму (к рис. 4.64).

1-е действие. На левой половине чертежа построить тонкими сплошными линиями фронтальную, горизонтальную и профильную проекции прямой правильной призмы без срезов по графическому условию и размерам шестиугольную призму заданной высоты . Затем выполнить на ее фронтальной проекции заданные срезы плоскостями частного положения: срезы фронтально-проецирующей плоскостью и профильной плоскостью и сквозной паз. образованный двумя симметричными фронтально-проецирующими плоскостями .

Базовую ось (б.о.) на горизонтальной проекции и базовую ось для профильной проекции взять на осях симметрии горизонтальной и профильной проекций. Обозначить ребра буквами и (на нижнем основании призмы).

2-е действие. Обозначить на фронтальной проекции характерные точки пересечения плоскостей срезов с ребрами и гранями призмы:

• совпадающие точки лежат на ребрах и ;
• совпадающие точки лежат на ребрах и ;
• совпадающие точки лежат на гранях и и определяют вырожденную в точку проекцию фронтально-проецирующей линии пересечения плоскостей среза и ,
• совпадающие точки лежат на верхнем основании и определяют вырожденную в точку проекцию фронтально-проецирующей линии пересечения плоскости среза с плоскостью верхнего основания призмы;

совпадающие точки и лежат па сторонах нижнего основания призмы и определяют вырожденные в точки проекции фронтально-проецирующих линий пересечения боковых плоскостей паза ч с плоскостью нижнего основания призмы;

совпадающие точки лежат на ребрах и и определяют вырожденную в точку проекцию фронтально-проецирующей линии пересечения плоскостей паза .

3-е действие. Достроить горизонтальную проекцию призмы со срезами, построив проекции плоскостей срезов по горизонтальным проекциям обозначенных точек, и определить видимость плоскостей срезов:

1. Плоскость среза определяет шестиугольник — искаженная по величине видимая проекция фронтально-проецирующей плоскости среза , обозначенные точки которой лежат на рёбрах и гранях призмы:

• отрезок — видимая проекция линии пересечения плоскостей срезов, обозначенные точки которой лежат на гранях призмы.

1. Плоскость среза определяет видимый отрезок — вырожденная в линию проекция профильной плоскости среза обозначенные точки которой лежат на гранях призмы.
2. Плоскости паза определяют искаженные но величине невидимые четырехугольники и , обозначенные точки которых лежат на ребрах и сторонах нижнего основания призмы.

!!! Поскольку горизонтальная проекция призмы относительно базовой линии (б.о.) имеет вертикальную симметрию, указанные точки обозначены на одной ее половине (верхней).

4-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизонтальной проекции для определения се очерка и внутреннего контура:

1. Горизонтальный очерк определяет шестиугольник основания

1. Внутренний контур определяют видимый и невидимые отрезки и .

5-е действие. Достроить профильную проекцию призмы со срезами, построив проекции плоскостей срезов по профильным проекциям обозначенных точек, и определить видимость плоскостей срезов:

1. Плоскость среза определяет шестиугольник — искаженная по величине видимая проекция фронтально-проецирующей плоскости среза :

• точки и лежат соответственно на ребрах и ;
• точки построены но координате .

1. Плоскость среза определяет прямоугольник — видимая натуральная величина профильной плоскости среза .

• точки построены;
• точки построены на верхнем основании призмы по координате .

1. Плоскости паза определяют невидимые совпадающие четырехугольники и — искаженные по величине проекции двух фронтально-проецирующих плоскостей паза :

• точки и построены на нижнем основании призмы по координатам
• точки — лежат на ребрах и .

6-е действие. Выполнить графический анализ построенной профильной проекции призмы для определения ее очерка и внутреннего контура:

1. Профильный очерк определяют:

• справа и слева — участки ребер и , ломаные линии и ;
• сверху — отрезок — участок верхнего основания призмы;
• снизу — совпадающие отрезки и — участки нижнего основания призмы.

1. Внутренний контур определяю!;

• невидимые линии продолжений невидимых ребер и ,
• невидимые линия пересечения плоскостей паза ,
• видимый отрезок (линия пересечения плоскости среза с гранью );
• видимый отрезок — линия пересечения плоскостей среза и видимые отрезки и ребер и .

7-е действие. Оформить чертеж призмы, выполнив сплошными толстыми линиями очерки и видимые линии внутреннего контура каждой ее проекции (оставить тонкими сплошными линиями контуры проекций призмы без срезов и линии построения).

План графических действий решения задачи 8 (рис. 4.66, Г)) соответствует предложенному алгоритму (к рис. 4.65).

1-е действие. Построить на правой половине чертежа тонкими линиями фронтальную, горизонтальную и профильную проекции правильной пирамиды без срезов по заданному графическому условию — треугольную пирамиду заданной высоты. Затем выполнить на ее фронтальной проекции заданный срез фронтально-проецирующей плоскостью и сквозной паз, образованный горизонтальной плоскостью , фронтально-проецирующей плоскостью и профильной плоскостью .

Базовую ось (6.0.) на горизонтальной и базовую ось на профильной проекции взять на осях симметрии горизонтальной и профильной проекции пирамиды. Обозначить буквами и вершины основания пирамида.

2-е действие. Обозначить на фронтальной проекции точки пересечения плоскостей срезов с ребрами, гранями пирамиды и основанием:

• точка лежит на ребре ;
• совпадающие точки лежат на ребрах и и определяют вырожденную в точку фронтально-проецирующую линию пересечения плоскостей среза с гранью ;
• совпадающие точки лежат на сторонах и основания и определяют вырожденную в точку фронтально-проецирующую линию пересечения основания с плоскостью паза ;
• совпадающие точки и лежат на боковых гранях и и определяют вырожденные в точки фронталью-проецирующие линии пересечения плоскостей паза и и и ;
• совпадающие точки лежат на сторонах основания и и определяют вырожденную в точку фронтально-проецирующую линию пересечения основания с профильной плоскостью паза .

!!! Поскольку горизонтальная проекция пирамиды имеет вертикальную симметрию, точки обозначены на одной сс верхней половине.

3-е действие. Достроить горизонтальную проекцию пирамиды со срезами, построив проекции плоскостей срезов по горизонтальным проекциям обозначенных точек, и определить видимость плоскостей срезов:

1. Плоскость среза определяет треугольник — искаженная по величине видимая проекция фронтально-проецирующей плоскости .

точки и лежат соответственно на ребрах и .

1. Плоскость паза определяет четырехугольник — натуральная величина невидимой горизонтальной плоскости .

• точки и лежат на гранях пирамиды и и построены с помощью вспомогательной линии параллельной основанию.

1. Плоскость паза определяет четырехугольник — искаженная по величине невидимая проекция фронтально-проецирующей плоскости :

• точки построены;
• точки лежат на сторонах основания и .

1. Плоскость паза определяют совпадающие невидимые отрезки и — вырожденная в прямую невидимая проекция профильной плоскости (участки 6-5′- видимые):

• точки построены;
• точки лежат на сторонах основания и .

4-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизонтальной проекции пирамиды со срезами для определения ее очерка и внутреннего контура:

1. Горизонтальный очерк определяют:

• участки и стороны основания :
• сторона основания :

• участки и стороны основания :
• ломаные линии пересечения плоскостей паза с гранями пирамиды и .

1. Внутренний контур определяют:

• видимый участок ребра ;
• видимые участки и ребер и ,
• невидимые отрезки и пересечения плоскостей паза и и :
• невидимые отрезки и пересечения плоскостей паза и с основанием пирамиды.

5-е действие. Достроить профильную проекцию пирамиды, построив проекции плоскостей срезов по профильным проекциям обозначенных точек, и определить видимость плоскостей срезов:

1. Плоскость среза определяет треугольник искаженная по величине видимая проекция плоскости среза :

-точки и лежат на соответствующих профильных проекциях ребер и

1. Плоскость среза определяет частично невидимый горизонтальный отрезок точки которой построены по координатам и и который является вырожденной проекцией профильной плоскости паза (участки — видимые).
2. Плоскость среза определяет четырехугольник — искаженная по величине невидимая проекция фронтально-проецирующей плоскости :

• точки построены;
• точки построены но координате (отрезки ребру )).

1. Плоскость среза определяет четырехугольник — натуральная величина частично невидимой проекции профильной плоскости паза (участки видимые):

-точки и построены;

• точки построены по координатам .

6-е действие. Выполнить графический анализ построенной проф