Оглавление:
Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости
Плоскости в пространстве могут быть параллельными или пересекаться.
Плоскости параллельные
Из геометрии известно: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости ПАРАЛЛЕЛЬНЫ. Следовательно, на чертеже у параллельных плоскостей должны быть соответственно параллельны одноименные проекции двух пересекающихся прямых, лежащих в каждой из плоскостей. Этот признак параллельных плоскостей используется для определения на чертеже параллельности двух заданных плоскостей и построения параллельных плоскостей.
На рис. 4.32 показано построение плоскости 
, проведенной через заданную точку 
, параллельно заданной плоскости 
.
Для решения задачи следует выполнить следующие графические действия:
1-е действие. В заданной плоскости а построить вспомогательную прямую, например, горизонталь 
, то есть создать в плоскости пересекающиеся прямые.
2-е действие. Через заданную точку провести две пересекающиеся прямые 
и 
, параллельные двум пересекающимся прямым 
и 
заданной плоскости 
:
- прямую
параллельно прямой 
(или 
; - прямую
параллельно вспомогательной прямой .
Построенная плоскость 
будет параллельна заданной плоскости , так как две пресекающиеся прямые и плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым и построенной плоскости .
Параллельность прямой и плоскости
Из геометрии известно: прямая параллельна плоскости, если она параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, на чертеже (см. рис. 4.32) прямая, например, , параллельна плоскости , так как проекции прямой проведены параллельно одноименным проекциям прямой , лежащей в этой плоскости.
Плоскости пересекаются
Общим элементом пересечения двух плоскостей является прямая линия, принадлежащая обеим плоскостям.
Плоскости, как известно, могут занимать частные и общее положения относительно плоскостей проекций, поэтому при пересечении двух плоскостей возможны три случая:
1-й случай- обе плоскости занимают частное положение относительно плоскостей проекций. В этом случае искомой линией пересечения является проецирующая прямая, проекция которой, вырожденная в точку, лежит на пересечении вырожденных в прямые проекциях плоскостей.
На рис. 4.33 изображены две пересекающиеся фронтально-проецирующие плоскости 
и 
, элементом пересечения которых является фронтально-проецирующая прямая 
(соответственно горизонтально-проецирующие плоскости пересекаются по горизонтально-проецирующей прямой). Фронтальная 
и вырожденная в точку проекция линии пересечения лежит на пересечении фронтальных, вырожденных в прямые, проекциях (следах) плоскостей, а горизонтальная 
проекция линии пересечения — прямая, перпендикулярная оси 
.
2-й случай — только одна из плоскостей занимает частное положение относительно плоскостей проекции. В этом случае одна из проекций искомой линии пересечения совпадает с вырожденной проекцией плоскости частного положения, а другую проекцию линии пересечения требуется построить.
На рис. 4.34 изображены две пересекающиеся плоскости, из которых плоскость , заданная своим горизонтальным следом 
, является горизонтально-проецирующей, а другая плоскость. заданная треугольником 
, -плоскость общего положения. Горизонтальная проекция 
искомой линии пересечения плоскостей в этом случае совпадает со следом плоскости , а фронтальная проекция 
линии пересечения построена но принадлежности точек 
и 
сторонам треугольника .
3-й случай — пересечение двух плоскостей общего положения, проекции которых в пределах чертежа накладываются, рассмотрим ниже.
!!! Если пересекаются три плоскости, то общим элементом их пересечения является точка!
Пересечение прямой с плоскостью
Общим элементом пересечения прямой с плоскостью является точка, принадлежащая и прямой, и плоскости. Поскольку и прямая, и плоскость могут занимать различные положения относительно плоскостей проекций, то при их пересечении также возможны три случая:
1-й случай — и прямая и плоскость занимают частное положение относительно плоскостей проекций. В этом случае проекции искомой точки пересечения определяются на характерных (вырожденных) проекциях прямой и плоскости.
На рис. 4.35, а изображена горизонтальная плоскость уровня 
, пересекающаяся с горизонтали проецирующей прямой 
. Фронтальная проекция 
точки их пересечения совпадает с фронтатьным следом плоскости 
, а горизонтальная проекция 
точки их пересечения совпадает с вырожденной в точку горизонтальной 
проекцией прямой.
2-й случай — только один элемент (или прямая или плоскость) занимает частное положение относительно плоскостей проекций. В этом случае одна из проекций точки пересечения совпадает с характерной (вырожденной) проекцией элемента частного положения, а другую проекцию точки пересечения требуется построить.
На рис. 4.35, б изображены пересекающиеся фронтально-проецирующая прямая и плоскость общего положения, заданная треугольником . В этом случае фронтальная проекция точки пересечения совпадает с вырожденной в точку проекцией прямой, а горизонтальная проекция точки пересечения построена по принадлежности точки 
плоскости с помощью вспомогательной прямой .
3-й случай — оба пересекающихся элемента занимают общее положение относительно плоскостей проекций, то есть пересекается плоскость общею положения с прямой общего положения. В этом самом сложном для решения случае для построения точки пересечения элементов следует применить вспомогательные построения, чтобы привести условие задачи к более легкому для решения 2-му случаю (см. рис. 4.34), то есть прямую общего положения заменить элементом частного положения, «заключив» ее в плоскость частного положения (см. рис. 4.31 а, б). На рис. 4.36 показана наглядная картина этого действия. Прямая общего положения 
пересекается с плоскостью общего положения 
. Для решения задачи через прямую проведена некоторая вспомогательная плоскость 
то есть прямая «заключена» в плоскость .
Определяется вспомогательная линия 1-2 пересечения двух плоскостей -заданной и вспомогательной. Искомая точка 
лежит на пересечении заданной прямой к и вспомогательной линии пересечения 1-2.
На рис. 4.37 показано построение на чертеже точки пересечения 
плоскости общею положения, заданной треугольником 
, с прямой общего положения 
. Для решения задачи в этом случае выполняется следующий графический алгоритм (графические действия):
1-е действие. Заключить прямую во вспомогательную, например, горизонтально-проецирующую плоскость , задав ее горизонтальным следом 
.
2-е действие. Построить проекции вспомогательной линии пересечения 
заданной плоскости со вспомогательной плоскостью (см. рис. 4.34).
3-е действие. Определить проекции искомой точки пересечения заданных элементов:
- фронтальная проекция
определяется на пересечении фронтальной проекции заданной прямой 
и построенной фронтальной проекции 
вспомогательной линии пересечения; - горизонтальная проекция
определяется на горизонтальной проекции заданной прямой по линии связи.
4-е действие. Определить на проекциях относительную видимость прямой и плоскости по конкурирующим точкам.
На рис. 4.37 показано определение относительной видимости заданной прямой к и плоскости 
с помощью конкурирующих точек, лежащих на скрещивающихся прямых. На горизонтальную проекцию наблюдатель смотрит сверху вниз по стрелке 
. Чтобы определить, какой из элементов — прямая или плоскость — находится ближе к наблюдателю, рассмотрим проекции конкурирующих точек 1 и 3, лежащих на одном проецирующем луче, но на скрещивающихся прямых, — точка 1 лежит на прямой 
, а точка 3 — на прямой . Видно, что ближе к наблюдателю находится точка 7 на прямой , а точка 3 на прямой расположена ниже. Это значит, что на горизонтальной проекции прямая вниз от точки пересечения () «уходит» под плоскость .
Аналогичными рассуждениями, рассмотрев конкурирующие точки 4 и 5 по стрелке 
, определяем относительную видимость прямой и плоскости на фронтальной проекции чертежа — прямая находится над плоскостью вверх от точки 
.
Пересечение двух плоскостей общего положения (3-й случай)
При задании пересекающихся плоскостей на чертеже возможны два варианта:
- а) проекции плоскостей в пределах чертежа не накладываются;
- б) проекции плоскостей накладываются.
Для каждого варианта есть разные рациональные способы построения линии пересечения. Вариант а в пособии не рассматривается (см. учебник по начертательной геомегрии).
Рассмотрим наиболее часто встречающийся в различных задачах вариант а проекции плоскостей накладываются. Построение проекций линии пересечения сводится здесь к построению точек пересечения двух любых прямых одной плоскости с другой плоскостью, то есть к выполнению дважды графического алгоритма построения точки пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения, изложенного выше (см. рис. 4.37).
На рис. 4.38 показан пример построения линии пересечения плоскостей общего положения — 
и 
, проекции которых на чертеже накладываются.
Линия пересечения построена по точкам 
и 
пересечения прямых 
и 
. которыми задана плоскость с плоскостью , то есть дважды выполнен выше приведенный графический алгоритм.
]. Построить точку 
пересечения прямой с плоскостью :
1-е действие. «Заключить» прямую во вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость 
и обозначить ее фронтальный след 
.
2-е действие. Построить проекции 
вспомогательной линии пересечения плоскостей — заданной со вспомогательной у.
3-е действие. Определить проекции точки пересечения прямой с плоскостью 
.
II. Построить проекции точки 
пересечения прямой с плоскостью , повторив графические действия 1, 2 и 3, и соединить прямой построенные точки и .
4-е действие. Определить видимость плоскостей относительно построенной линии пересечения —, рассмотрев пары конкурирующих точек:
- точки 1 и 5 — для определения относительной видимости на фронтальной проекции;
-точки б и 7- для определения относительной видимости на горизонтальной проекции.
Эта теория взята со страницы задач по начертательной геометрии:
Возможно эти страницы вам будут полезны:
