Выпуклые множества точек и их свойства с примерами решения и образцами выполнения

Оглавление:

Основные определения:

Множество точек называется выпуклым, если оно вместе с любыми
двумя своими точками содержит весь отрезок, соединяющий эти точки.

Например, многоугольник, представленный на рис. 4.1,
является выпуклым, а многоугольник на рис.4.2 выпуклым не является.

Выпуклые множества точек

Выпуклыми множествами могут быть не только многоугольники. Примерами выпуклых множеств являются прямая, круг, куб,
многогранная область, полуплоскость, полупространство и т.д.

Пересечение любого числа выпуклых множеств есть выпуклое
множество.

Точка множества называется внутренней, если в любой ее окрестности (например, круг или шар с центром в этой точке) содержатся точки только данного множества.

Точка множества называется граничной, если в любой ее окрестности содержатся как точки, принадлежащие данному множеству, так и точки, не принадлежащие ему.

Точка множества называется угловой (крайней), если она не является внутренней ни для какого отрезка, целиком принадлежащего данному множеству.

Примеры угловой А, внутренней L и граничной М точек приведены на рис. 4.3.

Выпуклые множества точек

Точка А является угловой, так как для любого отрезка АЕ,
целиком принадлежащего многоугольнику, она не является
внутренней. Точка А — внутренняя для отрезка FN, но этот отрезок не принадлежит целиком множеству.

Для выпуклого множества угловые точки всегда совпадают с вершинами многоугольника (многогранника).

Выпуклые множества точек

Так, на рис. 4.4 точка Е является вершиной невыпуклого многоугольника, но не является угловой, так как она является внутренней для отрезка LM, целиком принадлежащего этому
многоугольнику.

Множество точек называется замкнутым, если оно включает все свои граничные точки.

Множество точек называется ограниченным, если существует круг (шар) радиуса конечной длины с центром в любой точке множества, который полностью содержит в себе данное множество. В противном случае множество называется неограниченным.

Выпуклое замкнутое множество точек плоскости (пространства), имеющее конечное число угловых точек, называется выпуклым многоугольником (многогранником), если оно ограниченное, и выпуклой многоугольной (многогранной) областью, если оно неограниченное.

Введенные понятия рассматривались для множества точек на
плоскости и в пространстве. Их можно обобщить также на n-мерное
точечное пространство.

Геометрический смысл решений неравенств

Рассмотрим решения неравенств с двумя переменными типа

Выпуклые множества точек

Теорема:

Множество решений неравенств с двумя переменными (4.1) является одной из двух полуплоскостей, на которые вся плоскость делится прямой

Выпуклые множества точек

включая и эту прямую, а другая полуплоскость — множеством решений неравенства

Выпуклые множества точек

Пример:

Построить график множества решений следующих
неравенств:

Выпуклые множества точек

Решение:

В соответствии с теоремой множество решений
приведенных неравенств есть полуплоскость.

1.Границей первой полуплоскости является прямая

2х-4у + 8 = 0.

Представим уравнение этой прямой в виде Выпуклые множества точек
Ее график представлен на рис. 4.5.

Выпуклые множества точек

Для определения искомой полуплоскости зададим произвольную контрольную точку, не лежащую на построенной прямой. Проще всего задать точку с координатами (0; 0). Подставив данные
координаты в неравенство

Выпуклые множества точек

видим, что оно не выполняется, так как 8 > 0. Поэтому искомой является верхняя полуплоскость.

2.Границей второй полуплоскости является прямая

2х-4у = 0.

Представим это уравнение в виде

Выпуклые множества точек

График исследуемой прямой представлен на рис. 4.6.

Выпуклые множества точек

В данном случае точка с координатами (0; 0) лежит на этой
прямой. Поэтому выбираем точку с координатами (0; —1) и подставляем данные координаты в неравенство Выпуклые множества точек Так как неравенство выполняется (4 > 0), то искомой является нижняя полуплоскость. ►

Основные свойства выпуклого множества точек

Рассмотрим множество решений совместной системы линейных
неравенств с двумя переменными.

Теорема:

Множество решений совместной системы т линейных
неравенств с двумя переменными

Выпуклые множества точек

является выпуклым многоугольником (или выпуклой многоугольной областью).

Знаки некоторых или всех неравенств могут быть Выпуклые множества точек

Эту теорему для n переменных можно сформулировать
следующим образом.

Теорема:

Множество решений совместной системы m линейных
неравенств с n переменными

Выпуклые множества точек

является выпуклым многогранником (или выпуклой многогранной областью) в n-мерном пространстве.

Пересечение полуплоскостей, каждая из которых определяется соответствующим неравенством системы, называется областью решения системы.

Область решений системы, удовлетворяющая условиям неотрицательности Выпуклые множества точек называется областью неотрицательных (или допустимых) решений.

Пример:

Построить область решений и область допустимых
решений системы неравенств и определить координаты угловых точек области допустимых решений:

Выпуклые множества точек

Решение:

Областью решений является треугольник ABC, представленный на рис. 4.7.

Выпуклые множества точек

Сторона АВ треугольника, образованная границей первого неравенства системы, определяется уравнением прямой у = х + 5 .

Для нахождения искомой полуплоскости зададим контрольную
точку с координатами (0; 0). Подставив данные координаты в неравенство Выпуклые множества точек видим, что оно выполняется, так как 0 < 20 . Поэтому искомой является нижняя полуплоскость.

Сторона ВС треугольника, образованная границей второго неравенства системы, определяется уравнением прямой Выпуклые множества точек Для контрольной точки с координатами (0; 0) неравенство выполняется, так как 0 < 24, поэтому искомой также является нижняя полуплоскость.

Сторона CD треугольника, образованная границей третьего неравенства системы, определяется уравнением прямой Выпуклые множества точек . Для контрольной точки с координатами (0; 0) неравенство выполняется, так как 0 < 3. Поэтому искомой является верхняя полуплоскость.

Областью допустимых решений системы неравенств является пятиугольник ODBCE. Координаты угловых точек (вершин) этого пятиугольника находятся как координаты точек пересечения соответствующих прямых. Например, точка В — точка пересечения первой и второй прямых, т.е. ее координаты являются решением системы двух уравнений:

Выпуклые множества точек

Решив эту систему, получим Выпуклые множества точек

Аналогично находим Выпуклые множества точек

Пример:

Построить область решений и область допустимых решений системы неравенств и определить координаты угловых точек области допустимых решений:

Выпуклые множества точек

Решение:

Областью решений является квадрат ABCD, представленный на рис. 4.8.

Выпуклые множества точек

Областью допустимых решений является тот же квадрат ABCD. Координаты угловых точек данного квадрата находятся как координаты точек пересечения соответствующих прямых:

Выпуклые множества точек

Пример:

Построить область решений и область допустимых решений системы неравенств:

Выпуклые множества точек

Решение:

Построим прямые и определим решения неравенств.
Областью решений является неограниченная многоугольная область
ABCD (рис. 4.9).

Выпуклые множества точек

Областью допустимых решений является неограниченная
многоугольная область AMNCD, представленная на рис. 4.10. ►

Выпуклые множества точек

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике: