Вычислительная математика и её элементы с примерами

Оглавление:

Роль математики в современной науке и технике:

С самых древних времен практическая деятельность людей была связана с необходимостью выделения и обозрения тех или иных совокупностей объектов, участков земли, установления их количественных оценок. Во всех этих случаях нужно было представлять совокупности различных элементов как единое целое, определять формы участков земли и сосудов, измерять их площади
и объемы, сравнивать, вычислять.

В результате многолетней практической деятельности людей возникли основные абстрактные математические понятия, такие как понятия множества, отношения, числа, геометрической фигуры. В дальнейшем математика как наука развивалась в тесной связи с развитием производственной деятельности людей и общечеловеческой культуры. За свою многовековую историю
математика превратилась в стройную дедуктивную науку,
предоставляющую мощный аппарат для изучения реального мира,.

Особое значение для развития науки, техники и в целом народного хозяйства приобретает математика в наши дни. Одной из характерных черт современного научно-технического прогресса является существенное расширение областей применения теоретической и вычислительной математики на базе широкого
использования электронных вычислительных машин (ЭВМ). Сейчас математические методы и вычислительная техника широко применяются не только в таких традиционных науках как механика, астрономия, физика,

но и в экономике, химии и даже в таких, с первого взгляда как будто бы далеких от математики отраслей знания, как социология, лингвистика, биология, медицина и др.

Чем объяснить такое широкое проникновение
математики в другие науки? В первую очередь, большинство
направлений научной и технической деятельности людей достигли сравнительно высокого уровня своего развития и, на данном этапе, исчерпали возможности описательных методов исследования. В связи с этим дальнейший успех возможен только на базе использования точных количественных методов исследования, т. е.
применения математического аппарата. Во-вторых, развитие самой математики и ряда смежных научных дисциплин, таких как математическая логика, физика, в особенности электроника, позволило создать мощные электронные вычислительные машины, способные выполнять большие объемы громоздкие массовых
вычислений.

Современные вычислительные машины способствуют не только решению сложных практических задач, которые не могут быть решены в реальном отрезке времени непосредственными человеческими усилиями, но также и дальнейшему развитию теоретических исследований.

Только благодаря высокому уровню развития науки и техники, их влиянию друг на друга и взаимному обогащению, столь характерным для современной научно-технической революции, стало возможным решать такие трудоемкие и сложные задачи, как создание автоматизированных систем управления (АСУ) предприятиями и отраслями производства, оптимальное планирование народного хозяйства, использование атомной энергии в мирных целях, создание пассажирских сверхзвуковых самолетов и крупнейших морских кораблей разного назначения, таких, как ледоколы «Ленин», «Арктика», «Сибирь», изучение космического пространства,
обеспечение длительной работы научных экспедиций в космосу и т. д. В решении таких задач важную роль играет теоретическая и вычислительная математика, и в особенности современная вычислительная техника.

Однако было бы ошибкой думать, что математические методы нужны только для решения крупных задач. При изучении основ естественных наук в средней школе мы встречались с примерами применения математических

методов и вычислений в решении различных конкретных задач. Подобные задачи (как правило, простые, а иногда и довольно сложные) встречаются в ежедневной работе технических специалистов, экономистов, технологов. Поэтому работникам народного хозяйства, в какой бы области они ни трудилсь, необходимо владеть основными математическими методами исследования и приемами вычислений, устным, письменным и инструментальным счетом. Специалисты должны иметь полное представление о возможностях современной универсальной и специализированной вычислительной техники, уметь пользоваться
распространенными вычислительными машинами.

Вычислительные машины и приспособления дискретного и непрерывного действия

Для облегчения вычислений и сохранения результатов счета используются различные вспомогательные средства и приспособления. Одним из древних таких приспособлений являются русские счеты, которые до сих пор с успехом применяются на практике и на которых полезно уметь хорошо считать. Математиками и инженерами создавались и другие, иногда довольно сложные механические вычислительные машины. Однако скорость выполнения вычислений на таких машинах была невелика. Новый этап в развитии вычислительной техники начался в середине нашего века, когда были созданы первые электронные вычислительные машины. В электронных вычислительных машинах механическое движение деталей сведено к минимуму, оно заменено передачей электрических импульсов, вследствие чего существенно повысилась скорость вычислений. За прошедшие несколько десятилетий в создании вычислительной техники были достигнуты грандиозные успехи. Сейчас повсеместно имеются вычислительные центры, оснащенные современной электронной вычислительной техникой, способной выполнять десятки и сотни тысяч операций в секунду. А такие отечественные машины, как ЭВМ класса «БЭСМ», выполняют около миллиона операций в секунду.

Вычислительные машины (как малые, так и большие) делятся на два класса: дискретного и непрерывного действия.

К машинам дискретного действия относятся арифмометры, клавишные механические, электромеханические и электронные цифровые машины. В машинах дискретного действия числа изображаются в обычной цифровой форме в десятичной системе счисления.

В машинах непрерывного действия числа представляются при помощи непрерывных геометрических или физических величин — длин отрезков, углов поворотов, силы тока, напряжения в цепи и т. д.

К машинам и устройствам непрерывного действия относятся логарифмическая линейка, планиметр (устройство для измерения площадей плоских фигур), аналоговые электронные вычислительные машины и др.

Логарифмическая линейка

Логарифмическая линейка — это простое вычислительное устройство, которое с успехом используется в инженерных расчетах.

В основе логарифмической линейки лежит идея сложения чисел при помощи двух скользящих линеек с нанесенными на них одинаковыми равномерными шкалами. Например, для нахождения суммы 6+7 при помощи таких двух линеек (рис. 1) сдвигаем начальную

точку одной:из шкал на отрезок, равный первому слагаемому, т. е. отметка 0 на подвижной шкале должна совпадать с отметкой 6 на неподвижной шкале. Отмечая на подвижной шкале значение второго
слагаемого^-числа 7, находим на неподвижной шкале значение суммы 13.

В логарифмической линейке вместо равномерных шкал используются логарифмические шкалы, в которых длина соответствующего отрезка равна логарифму представляемого числа В этом случае сумме отрезков будет соответствовать сумма логарифмов отмеченных чисел. Но, как известно, сумма логарифмов равна логарифму

произведения Вычислительная математика Следовательно, при помощи таких скользящих логарифмических шкал можно выполнять умножение и деление чисел (рис. 2).

Устройство и правила применения логарифмической
линейки в вычислениях нам известны из курса средней школы.

Арифмометр

Это одна из самых простых и распространенных механических вычислительных машин. Первый арифмометр был предложен в 1670 г. немецким

математиком Лейбницем. На арифмометре можно выполнять все четыре арифметических действия. Отечественный арифмометр «Феликс» (рис. 3) состоит из неподвижного корпуса, главной частью которого является барабан с рычажками для установления чисел 2,
и передвижной каретки 5.

С правой стороны барабана находится оперативная рукоятка 4, вращающая вал 1, на котором расположены счетные колеса Однера. Исходные данные устанавливаются посредством перемещения рычажков 2 вдоль прорезей на барабане. В правой части передвижной каретки имеется 13-разрядный счетчик результатов 7, а в ее левой части имеется 8-разрядный счетчик оборотов 8 вращения рукоятки.

Перед началом работы каждый раз арифмометр необходимо привести в исходное положение. Для этого нужно погасить показания всех счетчиков, установить рычажки против нулей и поставить каретку 5 при помощи рычага перемещения каретки 15 в крайнее левое
положение.

Сложение

Пусть требуется вычислить сумму

3275+1241 + 729.

При помощи рычажков набираем на барабан арифмометра первое слагаемое 3275. Для этого первый рычажок (считая справа) ставим против цифры 5, второй —

против цифры 7, третий — против цифры 2 и четвертый—против цифры 3. Одним полным поворотом рукоятки по ходу часовой стрелки (т.е.в сторону стрелки, отмеченной знаками « Вычислительная математика », такие повороты будем называть положительными) переносим это число в счетчик результатов.

В окошках счетчика результатов покажется число После этого гасим число 3275 на установочном

барабане и набираем при помощи рычажков в таком же порядке второе слагаемое 1241. Выполняем рукояткой еще один положительный оборот. В окошках счетчика результатов появится число 4516, т. е. сумма чисел 3275 и 1241. Дальше продолжаются те же действия. Гасим на барабане число 1241, набираем следующее
слагаемое 729 и выполняем один положительный оборот рукоятки. В окошках счетчика результатов читаем искомую сумму 5245.

Так можно сложить любое число слагаемых при условии, что сумма не превысит* емкость счетчика результатов, т. е. для 13-разрядного счетчика результатов не превысит числа 9 999 999 999 999.

Вычитание

Для нахождения разности двух чисел установим уменьшаемое в счетчике результатов. Набираем на барабане вычитаемое и выполним один полный оборот рукоятки против часовой стрелки (т.е. в сторону стрелки, отмеченной знаками «— :», такие повороты будем
называть отрицательными). В итоге в окошках счетчика результатов читаем значение искомой разности.

Комбинируя вращения рукоятки в положительную и отрицательную стороны (в зависимости от знака соответствующих чисел), можно вычислять любые алгебраические суммы при условии, что как все
промежуточные, так и окончательный результаты являются положительными.

Замечание:

При выполнении сложения и вычитания можно не обращать внимание на цифры, появляющиеся в окошках счетчика оборотов.

Пример:

Вычислить 2341 — 1292+123 — 425.

Решение:

Устанавливаем на барабане арифмометра при помощи рычажков число 2341 и одним положительным поворотом рукоятки переносим его в счетчик результатов. Потом устанавливаем на барабане число 1292 и выполняем один отрицательный поворот
рукоятки. В счетчике результатов прочтем число 1049. Устанавливаем на барабане число 123 и выполняем один положительный оборот рукоятки. В счетчике результатов появится число 1172. Наконец, устанавливаем на барабане число 425 и выполняем один отрицательный поворот, после чего в счетчике результатов читается окончательный ответ 747.

Умножение

Действие умножения выполняется посредством повторного сложения.

Пример:

Вычислить 4293 Вычислительная математика 437.

Решение:

Устанавливаем на барабане один из сомножителей. Для уменьшения числа оборотов рекомендуется устанавливать на барабане сомножитель, у которого больше сумма цифр. В нашем случае таким является первый сомножитель 4293. После этого рукояткой делаем 7 положительных оборотов. В счетчике результатов появится число 30051, это — произведение 4293 Вычислительная математика 7. В счетчике оборотов появится цифра 7 (белая). Передвигаем каретку на один шаг вправо и выполняем три положительных оборота. В счетчике результатов появится число 158841, а в счетчике оборотов— число 37. Наконец, передвигаем каретку еще на один шаг вправо и выполняем 4 положительных оборота. В счетчике результатов прочтем окончательный результат 1876041, а в счетчике оборотов — значение второго сомножителя 437

7. В счетчике оборотов появится цифра 7 (белая). Передвигаем каретку на один шаг вправо и выполняем три положительных оборота. В счетчике результатов появится число 158841, а в счетчике оборотов— число 37. Наконец, передвигаем каретку еще на один шаг вправо и выполняем 4 положительных оборота. В счетчике результатов прочтем окончательный результат 1876041, а в счетчике оборотов — значение второго сомножителя 437.

Заметим, что разными способами можно уменьшить количество выполняемых поворотов рукоятки. Так, в нашем случае при умножении на 7 вместо того, чтобы выполнить первые 7 положительных оборотов рукоятки, можно передвинуть каретку на один шаг вправо и выполнить одни положительный поворот (что соответствует умножению на 10), передвинуть каретку обратно на один шаг влево и выполнить три отрицательных оборота рукоятки. В счетчике результатов будет число 30051 (умножение на 7). При таком способе умножения в счетчике оборотов не окажется второй сомножитель, там появятся и красные цифры.

Деление

Пусть требуется разделить 74678 на 534. Устанавливаем рычажками на барабане делимое 74678 и переносим его в счетчик результатов. После этого гасим число на барабане и единицу в счетчике оборотов.
Устанавливаем делитель 534 на барабане. Теперь передвигаем каретку вправо до тех пор, пока первая слева цифра делителя (т, ef первый рычаг слева, передвинутый с нулевой позиции) не будет над первой слева цифрой делимого (который записан в счетчике результатов)

После этого выполняем столько отрицательных поворотов рукоятки, пока не раздастся звонок и в счетчике вместо крайних левых нулей не появятся девятки. Если первая цифра делителя больше первой цифры делимого, то такое положение наступит после первого же поворота. При помощи одного или, быть может, двух, трех (но не лишних) положительных оборотов восстанавливаем нули в крайних левых окошках счетчика результатов. В нашем случае звонок и девятки появятся на втором отрицательном повороте рукоятки, после чего выполняем один корректирующий положительный поворот. В счетчике результатов восстановится остаток 21278. Переводим на один разряд каретку влево и опять вращаем рукоятку в отрицательном направлении до появления звонка. В нашем случае это будет на четвертом обороте. Положительным оборотом восстанавливаем остаток 5258. Передвигаем каретку на один разряд влево и вращаем рукоятку в отрицательном направлении до звонка. Теперь звонок раздастся на 10-м повороте. Положительным поворотом восстанавливаем остаток 452.

В счетчике оборотов читаем значение частного 139 (при этом цифры 1 и 3 красные, а цифра 9 белая), в счетчике результатов читаем значение остатка 452, т. е. 74678 = 534 Вычислительная математика 139 + 452.

Действия над десятичными дробями

Для выполнения сложения и вычитания и вообще алгебраического сложения точных чисел, представленных десятичными дробями, используются передвижные запятые на каретке и барабане.

Пример:

Найти значение выражения

121,702 — 24,3 + 732,04 — 501,0042.

Решение:

Определим, каково наибольшее число десятичных знаков в заданных числах. В нашем случае это число равно 4. Приписывая соответствующее число нулей, т. е. приводя дроби к общему знаменателю, представим каждое число с четырьмя десятичными знаками: 121,7020 — 24,3000 + 732,0400 — 501,0042. После этого запятую на счетчике результатов устанавливаем между четвертым и пятым окошками. Сейчас действия над данными числами выполняются так же, как и над целыми числами.

В итоге со счетчика результатов снимаем ответ с учетом запятой: 328,4378.

При умножении десятичных дробей отвлекаемся от наличия запятой, умножаем соответствующие целые числа и в полученном произведении отделяем справа столько десятичных знаков, сколько имеется их вместе в обоих сомножителях.

Пример:

Найти произведение 374,05 Вычислительная математика 25,175.

Решение:

Имеем: 37405 Вычислительная математика 25175 = 941670875. В первом сомножителе имеются 2 десятичных знака, во втором — 3 и 2 + 3 = 5, следовательно,

374,05 Вычислительная математика 25,175 = 9416,70875.

Деление десятичных дробей можно выполнить различными4 способами. Укажем один из них: деление с наперед заданной точностью. Пусть требуется разделить 382,05 на 63,571 с точностью до 0,0001. Установим запятую на счетчике оборотов между четвертым и пятым справа окошками, отделяя таким образом четыре десятичных разряда. Приведем данные числа к общему знаменателю. В нашем примере делимое нужно взять в виде 382,050. Отмечаем запятой над барабаном три разряда и набираем на барабане делимое 382,050.
Передвигаем каретку вправо на четыре шага (в соответствии с требуемыми четырьмя десятичными знаками в частном) и переносим делимое одним положительным оборотом рукоятки в счетчик результатов. Установим запятую на счетчике результатов против запятой на барабане, в нашем случае между седьмым и восьмым окошками.

Имеется ряд усовершенствованных моделей арифмометров. К ним, например, относятся машины типа ВК (ВК-1, ВК-2, ВК-3). В арифмометрах этого типа набор чисел клавишный, передвижная каретка заменена более совершенными устройствами, заключенными в корпусе машины.

В некоторых моделях оперативная рукоятка отсутствует, машина снабжена электроприводом. Имеются также различные типы электромеханических машин, например, полноклавишная вычислительная машина-автомат ВММ-2. Многие операции в этих
машинах выполняются в полуавтоматическом режиме.

В последнее время все большее распространение получают настольные и портативные электронные вычислительные машины на полупроводниках и интегральных схемах.

Настольные электронные клавишные вычислительные машины «Искра», «Электроника»

Вычислительная машина «Искра» разработана в Институте кибернетики АН УССР в 1966 г. и предназначена для выполнения научно-технических и учетно-статистических расчетов. Ввод чисел производится путем нажатия соответствующих клавиш. Набранные числа и результаты действий наблюдаются на индикаторных лампах.
На машинах «Искра» можно выполнять, с учетом знаков и запятых, над 16-разрядными десятичными числами такие операции, как сложение, вычитание, умножение, деление, нахождение процентов, извлечение квадратного корня, вычисление значений тригонометрических, показательных, логарифмических функций, накопление — алгебраическое суммирование результата произведенного действия с содержимым накапливающего регистра. Операции производятся в автоматическом и полуавтоматическом режимах.

Широкое распространение получили настольные и портативные электронные клавишные вычислительные машины отечественного производства типа «Электроника». Машины типа «Электроника» имеют весьма небольшие размеры и вес, работают от электросети или от химических элементов.

На машине «Электроника БЗ-24» выпуск 1977 г. (рис. 4) и других родственных моделях можно выполнять все четыре арифметических действия над положительными и отрицательными числами. Кроме того, имеется устройство памяти, при помощи которого можно вычислять алгебраические суммы. Имеется также устройство работы с константой для умножения и деления ряда чисел на одно и то же число. На этой машине среднее время выполнения одной арифметической операции 0,5 сек.

Набор данных й команды для выполнения операций производятся нажатием соответствующих клавиш. Окончательный результат выводится на световом индикаторе нажатием клавиши Вычислительная математика .

достаточно нажать поочередно клавиши соответствующего наименования:

Для получения результата необходимо, как и в любом случае, нажать клавишу Вычислительная математика . На световом индикаторе читаем результат 307,671.

Для вычисления произведения или частного также нажимаются поочередно клавиши соответствующего наименования. Для прочтения результата нажимается, как всегда, клавиша Вычислительная математика .

Пример:

Для вычисления произведения 2,301 Вычислительная математика 47,5 нажимаются клавиши

и на световом индикаторе читается результат 109,2975.

Пример:

Для вычисления частного 2,301 : 47,5 таким же образом нажимаем соответствующие клавиши.

В нашем случае на шестом месте нужно нажать клавишу Вычислительная математика . В конце, после нажатия клавиши на индикаторе читаем результат 0,0484421.

Пример:

Для вычисления алгебраической суммы

34,521 — 241,05 + 32,1 = 34,521 + (—241,05)+ 32,1

после набора числа 34,521 нажимается клавиша Вычислительная математика , после этого набирается число 241,05 и изменяется его знак нажатием клавиши , т. е. для вычисления этого выражения нужно нажимать клавиши в следующем рядке;

На индикаторе читается ответ: — 174,429.

При более сложных вычислениях для выполнения промежуточных алгебраических сумм, произведений или частных используется память.

Пример:

Вычислить: (3,4 Вычислительная математика 2 — 0,5 1,5 4:0,2) З.

Решение:

Нажимаем клавиши в следующем порядке:

На индикаторе читаем ответ 78,15.

Имеются модели машин типа «Электроника» также портативного формата, которые выполняют до 32-х операций, среди них — нахождение значений тригонометрических и других функций.

Электронные вычислительные машины

Вычислительные центры нашей страны снабжены различными электронными вычислительными машинами, как цифровыми дискретного действия (ЭЦВМ), так и аналоговыми (ABM). ABM являются, как правило, специализированными машинами. Специализированные ЭВМ
строятся для определенной цели. Так, имеются управляющие машины, машины для решения некоторого узкого класса задач, например, для предсказания погоды, для решения специальных экономических задач, обработки информации и т. д. Универсальные ЭВМ предназначены для решения широкого круга задач. Любая современная универсальная ЭЦВМ включает в себя следующие основные узлы:

Устройство ввода данных в машину (УВ).
Устройство вывода данных (УВыв).
Арифметическое устройство (АУ).
Запоминающее устройство (ЗУ).
Устройство управления (УУ).

Устройство ввода данных служит для ввода числовых данных и программ в машину. УВ может быть построено на различных принципах. Клавиатурные
устройства являются простыми и эффективными
устройствами непосредственного ввода данных в машину, но
имеют ограниченную скорость ввода данных. Устройства
считывания требуют предварительной подготовки
данных, их фиксирования на тех или иных носителях
информации (перфокартах, перфолентах, магнитных лентах,
дисках, барабанах, электронно-лучевых трубках и др.).
Такие устройства обеспечивают высокую скорость ввода
данных и допускают многократное использование.
Эффективными могут оказаться в будущем устройства
распознавания речевых сигналов, в которых информация
будет подаваться в форме речевых команд.

Устройство вывода предназначено для выдачи результатов вычислений на различные носители информации. Самыми распространенными и довольно удобными являются алфавитно-цифровые печатающие устройства (АЦПУ), которые представляют данные в виде обычного печатного текста. В некоторых случаях,
результаты выдаются на перфолентах, на световых табло. Для ввода и вывода тех или иных особых форм информации, например, графической, создаются специальные устройства ввода — вывода.

Арифметическое устройство — это, собственно, вычислительная часть машины. АУ предназначено для выполнения арифметических операций, операций сравнения чисел, различных преобразований чисел (изменения; знака, сдвига), а также логических операций. На такие операции распадается любой вычислительный процесс. Основой АУ является сумматор, который выполняет сложение чисел. Остальные операции сводятся к однократному или многократному сложению и некоторым другим вспомогательным операциям, например, сдвигам при умножении.

Запоминающее устройство выполняет функции приема, хранения и выдачи всей требуемой информации (исходных данных, промежуточных результатов, программ вычислений, окончательных результатов вычислений).

Устройство управления обеспечивает координацию действий всех устройств ЭВМ, автоматически управляя всем вычислительным процессом в соответствии с программой решения задачи.

Логические связи между отдельными устройствами ЭВМ, определяющие движение информации, могут быть реализованы по различным схемам. На рис. 5, а указаны логические связи в первых образцах ЭЦВМ, в которых информация при вводе и выводе проходила через

АУ. На рис. 5,6 представлена схема проектирования последующих систем ЭЦВМ, в которых информация проходит через ЗУ. В таких машинах удается совместить по времени работу устройств ввода — вывода с вычислительным процессом в АУ, что повышает производительность машины. Логические связи устройств в
современных машинах, например, в машине БЭСМ-6,
координирует так называемый «диспетчер», который организует одновременную работу различных устройств ЭВМ (рис. 5,в). Диспетчер состоит из программы — диспетчера, который управляет прохождением заданий в ЭЦВМ, и специального устройства, обеспечивающего необходимые связи устройств ЭЦВМ.

Основными параметрами, характеризующими качество различных типов ЭВМ, являются быстродействие, объем памяти, состав устройств ввода — вывода, надежность, полезное время и др.

Быстродействие — это характеристика скорости работы машины, которая измеряется средним количеством машинных операций, выполняемых за единицу времени. Быстродействие малой машины «Проминь» — около 100 операций в секунду, а большой машины БЭСМ-6— около 1 млн. операций в секунду. Быстродействие ЭВМ
зависит от быстродействия АУ, ЗУ и других ее узлов.

Для решения наиболее сложных задач применяются машины типа БЭСМ (БЭСМ-2, БЭСМ-4, БЭСМ-6), типа ЕС
(ЕС-2010, ЕС-2020, ЕС-2040 $ т. д.), обладающие большим быстродействием и большой памятью. Для решения научных, производственных, управленческих задач обычной сложности применяются распространенные ЭВМ типа «Минск» («Минск-22», «Минск-32»), типа «М» (М-20, М-220), типа «Урал» («Урал-11»,«Урал-14»),
Для решения текущих инженерных и экономических задач применяются малогабаритные ЭВМ «Проминь», «Наири», «Мир», которые отличаются простотой управления. Кроме этого, имеется много специализированных машин для выполнения бухгалтерских и финансовых расчетов, управления различными установками
(станками, металлургическими нечами и т. д.).

В настоящее время как теория, так и практика проектирования вычислительных систем развиваются быстрыми темпами, создаются новые, более совершенные типы машин, необходимых для решения научных и народнохозяйственных задач.

Приближенные числа

Из курса математики средней школы нам известны характеристики приближенных чисел и действия над ними. Несмотря на это, учитывая важность приближенных вычислений как для усвоения специальных и технических дисциплин, так и для практической работы, мы повторим еще раз основные вопросы теории
приближенных вычислений.

Источники приближенных чисел

Число Вычислительная математика называется приближенным значением или приближением некоторой величины (или просто приближенным числом), если — число, близкое к истинному значению а данной величины. В таких случаях пишут Вычислительная математика . Например,

Вычислительная математика

Основными источниками приближенных чисел являются; измерение непрерывных величин (расстояния» времени, веса, температуры, силы тока и т. д.), определение количества элементов больших множеств, выполнение арифметических операций, вычисление значений функций.

Абсолютная и относительная погрешности

Основными характеристиками приближенных чисел
являются абсолютная и относительная погрешности. Пусть
Вычислительная математика — приближение величины .

Определение:

Абсолютной погрешностью Вычислительная математика приближения называется модуль разности , т. е.

Отсюда следует, что Вычислительная математика или
т. е. или В таких случаях пишут:

Пример:

Известно, что Вычислительная математика … Найдем абсолютную погрешность приближения Имеем

Этот пример показывает, что точное значение абсолютной погрешности, как и точное значение рассматриваемой величины, является, вообще говоря, громоздким числом, неудобным для вычислений. Больше того, часто точное значение рассматриваемой величины является неизвестным, следовательно, неизвестным
является и точное значение абсолютной погрешности. Поэтому для характеризации точности приближения вводится понятие границы абсолютной погрешности.

Определение:

Границей абсолютной погрешности приближения Вычислительная математика называется такое положительное число которое больше (или равно) абсолютной погрешности :

П р и м е р 2. Для приближения Вычислительная математика так как
можно взять

В отличие от абсолютной погрешности граница абсолютной погрешности не определяется однозначно. Поэтому на практике в качестве границы абсолютной погрешности Вычислительная математика берется по возможности наименьшее число, которое удобно для вычислений и обеспечивает необходимую точность.

Заметим, что:

Условимся писать Вычислительная математика Эта запись означает, что (рис. 6) и, аналогично,
(рис. 7). Легко видеть, что

Пример:

Для некоторой машины нужна круглая деталь диаметром 24 мм. Известно из практики, что машина работает нормально, если диаметр детали отличается от заданного не более, чем на ±0,5 мм, т. е d = 24 ± 0,5 мм, или Вычислительная математика [24 — 0,5; 24 + 0,5].

Абсолютная погрешность, так же как и граница абсолютной погрешности, не достаточна для полной характеристики приближения. Пусть, например, при измерении длины радиоволны абсолютная погрешность равна одному метру. Для длинных радиоволн порядка 1000 м это будет хорошая точность, в то время как для коротких волн, длина которых около 40 м, ошибка измерений окажется слишком большой. Таким образом, для более полной характеристики точности измерения необходимо определить, какую часть, или сколько процентов, составляет абсолютная погрешность от
значения данной величины.

Определение:

Относительной погрешностью Вычислительная математика приближенного числа называется отношение абсолютной погрешности этого числа к модулю точного значения данной величины, т. е.

Определение:

Границей относительной погрешности приближения Вычислительная математика точного числа а называется положительное число которое больше (или равно) относительной погрешности , т. е.

Если задана граница абсолютной погрешности Вычислительная математика , то

Как правило, число Вычислительная математика берется в качестве границы относительной погрешности :

Пример:

При измерениях для длины Вычислительная математика некоторого провода получено значение , для диаметра — значение Вычислим границы относительных погрешностей

В процентах имеем Вычислительная математика Эти данные показывают, что измерение длины проведено более точно, чем измерение диаметра провода. Из (3) получаем формулу

для определения границы абсолютной погрешности, если известна граница относительной погрешности.

Пример:

Для приближения Вычислительная математика граница
относительной погрешности равна Найти
границу абсолютной погрешности

Решение:

По формуле (2) имеем

Запись приближенных чисел. Верные и значащие цифры

Определение:

Цифра Вычислительная математика в представлении приближенного числа десятичной дробью называется верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы того разряда, в котором записана эта
цифра. В противном случае она называется сомнительной.

Например, если Вычислительная математика то цифра 4 верная, так как следовательно, предыдущие цифры 7 и 3 также верны; цифра 1 сомнительная, так как тем более следующая цифра 2 является сомнительной.

Для записи приближенных Чисел десятичными дробями принимается следующее правило: если не указывается граница абсолютной погрешности, то приближение записывается так, чтобы все записанные цифры были верные. Так, в случае последнего примера следует писать Вычислительная математика

Отсюда следует, что, в отличие от случая точных чисел, когда, например, 0,03 = 0,030 = 0,0300, записи 0,03, 0,030, 0,300 как изображения приближенных чисел неравносильны. В самом деле, запись 0,03 показывает, что абсолютная погрешность меньше 0,01, записи 0,030 и 0,0300 показывает, что здесь имеем более высокую
точность, соответственно 0,001 и 0,0001.

Если цифра- нуль сомнительна, то это указывается особо. В записях это делается словесным выражением. Например, мы говорим: «Население СССР на 15.1.1970 г, составляло 241720 тысяч человек». Такая запись показывает, что цифры сотен, десятков и единиц являются сомнительными. Следовательно, это число нельзя представить в виде 241720 000. В науке (особенно, в физике, технике) вместо словесного выражения пишется множитель вида Вычислительная математика . Так, рассмотренное выше приближенное число пишется в виде

Рассмотрим еще некоторые примеры. В справочниках читаем: модуль упругости тянутой меди равен Вычислительная математика , литой меди , коэффициент линейного расширения никеля равен .

Определение:

Все верные цифры, кроме нулей, расположенных левее первой отличной от нуля цифры, называются значащими цифрами.

Например, в числе Вычислительная математика (плотность серого чугуна) имеются три значащие цифры, в числе км (расстояние от Земли до Солнца) — четыре значащие цифры в числе 4400 км (длина реки Лена) — четыре значащие цифры, в числе 0,000270 (коэффициент линейного расширения олова)—три значащие цифры.

Если по разряду последней верной цифры можно определить границу абсолютной погрешности приближенного числа, то по количеству значащих цифр можно оценить границу относительной погрешности. Так, из формулы (3) легко получить, что Вычислительная математика , если приближенное число имеет значащих цифр.

Пример:

Вычислительная математика В числе последняя верная цифра — это цифра сотен, следовательно, , число значащих цифр . Тогда

Аналогично, Вычислительная математика и

Порядок малости величин. Приближенные формулы

Две величины называются величинами одного порядка, если с точки зрения допустимой абсолютной погрешности разность между ними незначительна. Для величин, меньших единицы, в качестве количественной характеристики порядка малости обычно берется
число Вычислительная математика , где — число нулей между запятой и первой отличной от нуля цифрой. Например, числа 0,00034 и 0,00041 имеют один и тот же порядок малости . Легко видеть, что произведение двух малых величин имеет более высокий порядок малости, чем данные сомножители. Например, пусть Вычислительная математика . Тогда . Для чисел имеем . Легко видеть, что если сомножители имеют порядок малости , то их произведение имеет порядок малости не ниже .

Если данные величины имеют одинаковый порядок малости, то их произведение имеет, по крайней мере, вдвое более высокий порядок малости. В связи с этим на практике пользуются следующим правилом: если Вычислительная математика имеют близкие порядки малости, то можно пренебрегать слагаемыми, равными их произведению или их степеням. При помощи этого правила приводятся приближенные
формулы. Рассмотрим некоторые примеры таких формул Пусть Вычислительная математика — малое число. Тогда

В самом деле,

Покажем, что

Действительно,

так как число Вычислительная математика имеет более высокий по сравнению с порядок малости.

Таким же образом показывается, что

Аналогичным образом, но более сложными вычислениями, устанавливаются приближенные формулы;

Подчеркнем еще раз, что эти формулы имеют место только для малых Вычислительная математика , причем, чем меньше , тем выше точность формулы.

Учет погрешностей результатов операций над приближенными числами

Вычисления со строгим учетом погрешностей

Под строгим учетом, погрешностей понимаются правила, по которым определяются границы абсолютной и относительной погрешностей результатов операций в зависимости от границ погрешностей данных чисел.

Теорема:

Если Вычислительная математика с границами абсолютных погрешностей , то границы абсолютных погрешностей приближений , находятся по формулам

т. е. граница абсолютной погрешности суммы и разности равна сумме границ абсолютных погрешностей слагаемых, соответственно, уменьшаемого и вычитаемого.

Теорема:

Если с границами относительных погрешностей то границы относительных погрешностей приближений находятся по формулам:

т. е. граница относительной погрешности произведения и частного равна сумме границ относительных погрешностей сомножителей, соответственно, делимого и делителя.

Доказательства формул (1), (2), (3) известны из курса средней школы. Докажем формулу (4). Для этого покажем предварительно, что если Вычислительная математика с относительной погрешностью с той же
относительной погрешностью, т. е.

В самом деле,

Из равенства (5) следует, что

После этого, учитывая формулу (3), получаем

Формулы (1) и (3) имеют место для любого конечного числа слагаемых, соответственно сомножителей:

Теорема:

Если с границей относительной погрешности , то с границей относительной погрешности , т. е.

В самому деле,

Теорема:

Если границей относительной погрешности , то с границей относительной погрешности , т. е.

Пусть Вычислительная математика . Учитывая формулу (9),
имеем

Отсюда получаем требуемую формулу (10),

Зная границу абсолютной (относительной) погрешности некоторой величины, по формуле (3) § 3 ((2) § 3) находим границу относительной (абсолютной) погрешности.

Так, для границы относительной погрешности суммы Вычислительная математика имеем:

Аналогично, если Вычислительная математика получаем:

Замечание:

Если числа Вычислительная математика и сильно отличаются друг от друга и, например, намного меньше, чем то дробь близка к нулю, а дробь ; близка к единице. В таком случае в (12) можно пренебречь вторым слагаемым, следовательно, Вычислительная математика

Если же Вычислительная математика и — близкие по значению числа, то мало по величине и тогда дроби и — могут принимать достаточно большие значения. В таком случае из соотношения (12) получаем, что Вычислительная математика может оказаться очень большим числом. Следовательно, точность приближения является очень плохой. Это неблагоприятное положение можно устранить, если удастся посредством каких-либо преобразований избежать операции вычитания чисел, близких, друг к другу.

Примеры решения прикладных задач со строгим учетом погрешностей

Пример:

Для сторон Вычислительная математика и прямоугольника найдены приближения

Вычислительная математика Найти приближенное значение периметра и найти границы абсолютной и относительной погрешностей.

Решение:

Итак, Вычислительная математика Итак,
следовательно, можно взять

Пример:

При измерении классной комнаты (с учетом отклонения стен в разных местах) было принято: длина Вычислительная математика и ширина Найти площадь классной комнаты и определить погрешности.

Решение:

Вычислительная математика При этом,

Следовательно, Вычислительная математика Учитывая точность измерения, естественнее писать

Вычислительная математика

Пример:

В заявке на изготовление детали сферической формы указан радиус Вычислительная математика Определить объем детали и указать погрешность приближения

Решение:

Объем шара вычисляется по формуле

Берем Вычислительная математика Тогда

Определим относительную погрешность каждого сомножителя:

Тогда

Вычислим абсолютную погрешность

Следовательно,

В данном случае ответ естественнее представлять в виде

Вычисления без строгого учета погрешностей

Вычисления со строгим учетом погрешностей играют большую роль в прикладных вопросах, потому что позволяют определить точные границы погрешностей. Однако строгий учет погрешностей имеет и некоторые
недостатки. Отметим два из них.

Во-первых, строгий учет погрешностей значительно усложняет вычисления. Во-вторых, получаемые границы являются слишком широкими, так как они получаются в предположениях, что погрешности компонент операций усиливают друг друга. На практике при суммировании большого числа приближенных слагаемых встречаются как положительные погрешности, так и отрицательные, поэтому погрешность суммы оказывается меньше суммы погрешностей слагаемых. Так; если каждое из Вычислительная математика слагаемых дано с одной и той же абсолютной погрешностью , то граница абсолютной погрешности суммы, вычисленная по правилам строгого учета погрешностей, будет Вычислительная математика . Фактически погрешность намного меньше. В теории вероятностей доказывается, что, с достаточно большой достоверностью, можно считать границу абсолютной погрешности равной Вычислительная математика При массовых вычислениях, когда не учитывается погрешность каждого промежуточного результата, рекомендуется пользоваться следующими правилами подсчета верных цифр.

1. При сложении и вычитании приближенных чисел младший сохраняемый десятичный разряд результата должен быть наибольшим среди десятичных разрядов, выражаемых последними верными значащими цифрами исходных данных.

2. При умножении и делении приближенных чисел в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет то из приближенных исходных данных, в котором наименьшее число верных значащих цифр.

3. В промежуточных результатах рекомендуется сохранить на одну-две цифры больше, чем указано в правилах 1 и 2. В конечном результате последние цифры надо округлить.

Пример:

Сложить приближенные числа: 2,369, 17,2, 8,653, 94,124, в которых все цифры верные.

Решение:

Согласно правилу 1, надо округлить эти числа до сотых долей: 2,37, 17,2, 8,65, 94,12. Их сумма равна 122, 38. После округления получаем 122,4.

Пример:

Умножить приближенные числа: 23,41 и 0,0324.

Решение:

Выполняется точное умножение и получается 0,758484. Согласно правилу 2

Если некоторые данные имеют излишне много десятичных разрядов (при сложении и вычитании) или больше, чем другие данные, значащих цифр (при умножении, делении), то предварительно надо числа округлить.

Пример:

Вычислить сумму Вычислительная математика где в записях слагаемых все цифры верные

Решение:

Выделим слагаемые с наименьшим числом десятичных знаков: 5,12. Округлим остальные слагаемые до трех десятичных знаков: Вычислительная математика . Находим сумму полученных чисел:

Полученный результат округляем на один десятичный знак: Вычислительная математика .

Пример:

Вычислить

где Вычислительная математика

Решение:

Представляем данные числа в стандартном виде: Вычислительная математика , .

Выделим среди данных чисел те, которые имеют наименьшее число значащих цифр; такими будут первые два данных числа, имеющие по две значащие цифры. Остальные округлим до трех значащих цифр:

В результате оставляем две значащие цифры, следовательно, Вычислительная математика

Основные вопросы организации вычислений

Некоторые приемы устного и письменного счета

Имеются три основных вида счета: устный, письменный, машинный. Несмотря на широкое распространение и доступность вычислительных машин, приемы устного и письменного счета не теряют своего значения. Письменный и в особенности устный счет играют большую роль как в решении конкретных задач, так и в
творческой работе.

Приемы устного и письменного счета имеют много общих черт, однако между ними имеются и принципиальные различия. Так, если в письменном счете, как известно, действия начинаются с меньших разрядов, то в устном счете — с высших. При устном счете необходимо пользоваться различными частными приемами. Например, удобнее к большим числам прибавлять меньшие; ориентироваться на круглые числа 10, 100, 1000 и т. д. и дополнять промежуточные результаты до них.

Например, пусть требуется сложить числа 362 и 839. К большему числу 839 добавим меньшее 362. При этом рассуждать можно следующим образом. К 800 прибавим 300, для этого к 800 прибавляем 200, получаем 1000, да еще 100, будет 1100. Дальше, к 62 надо добавить 39. Учитываем, что 60 + 40= 100, берем от 62 две единицы (остается 60), одну единицу прибавляем к 39, получим 40, одну единицу держим в уме, 60 + 40 = 100. К 1100 прибавляем 100 и получаем 1200, да еще одна единица, окончательно будет 1201.

Приемом «дополнения» следует пользоваться и в письменных вычислениях. При умножении двузначных чисел можно пользоваться схемой, изображенной на рис. 8.

Именно, умножая цифры, соединенные прерывистой стрелкой, находим число единиц, записываем цифру единиц, десятки (если имеются) переводятся в следующий разряд. Далее, умножим цифры, соединенные тонкими сплошными стрелками, сложим результаты и учитываем также переведенные десятки. Записываем цифру десятков и переводим сотни в следующий разряд. Наконец, умножая цифры, соединенные жирной стрелкой, получим число сотен.

Целесообразно запоминать некоторые частный приемы быстрого выполнения действий. Например, умножение двузначного числа на 11 можно выполнить следующим образом: цифра единиц результата равна цифре единиц данного числа, для нахождения цифры десятков сложим цифры данного числа. Если при этом сумма больше 10, то переносим единицу в старший разряд и прибавляя ее к цифре десятков данного числа, получим число сотен результата.

Например, при умножении 23 на 11 цифра единиц результата будет 3, десятков 2 + 3 = 5 и сотен 2, т. е. Можно сказать так: между цифрами данного числа пишем сумму его цифр (с переводом единицы в следующий разряд, если сумма цифр больше десяти) В нашем случае сначала пишем 2 3 посредине ставим 2+3 = 5, получим 253.

Рассмотрим еще один пример: Вычислительная математика , поэтому .

Возведение в квадрат двузначных чисел, оканчивающихся на 5, можно выполнить следующим образом: цифру десятков умножаем на следующее за ней в натуральном ряду число и к полученному результату приписываем 25.

Найдем, например Вычислительная математика . Имеем тогда Аналогично, следовательно .

Вычисления при помощи таблиц

В вычислительной практике целесообразно пользоваться математическими таблицами и другими справочными материалами. Существуют различные сборники таблиц и справочники, как общего характера, так и специализированные, содержащие богатый материал и вспомогательные данные для облегчения вычислений. Более распространенными являются таблицы функций одной переменной. Таковы, например, таблицы обратных чисел, квадратов, кубов, квадратных корней, логарифмических, тригонометрических функций и т. д.

Значения аргумента, которые приводятся в таблицах, как правило, образуют арифметическую прогрессию. Разность этой арифметической прогрессии, т. е. разность между двумя соседними значениями аргумента, называется шагом таблицы. Имеются, однако,
и таблицы с переменным шагом.

Часто бывает необходимо узнать значения функций для тех значений аргумента, которые находятся между имеющимися в таблице. Если Вычислительная математика — значения функции соответственно для то значение находится по формуле линейной интерполяции (пропорциональных добавок):

Смысл этой формулы объясним на следующем примере Для функции Вычислительная математика из таблицы находим:

Вычислим Вычислительная математика . Общее приращение по табличным данным будет . Это приращение приходится на приращение аргумента . На единичное приращение аргумента придется

Тогда части Вычислительная математика соответствует
приращение . Прибавляя эту величину к , получим

Отсюда получаем Вычислительная математика

Функциональные шкалы. Номограммы

Как мы знаем, шкалы на логарифмической линейке не являются равномерными. Так, основная шкала является логарифмической: точка с пометкой Вычислительная математика находится
на расстоянии от начала шкалы. Подобным образом строят функциональные шкалы, беря за основу другие функции, например, и др.

При помощи функциональных шкал можно построить различные устройства, облегчающие счет. Примером таких устройств служит
логарифмическая линейка. Другим примером являются номограммы.

Номограмма — это чертеж, составленный из функциональных шкал и, возможно, других вспомогательных линий. Каждая номограмма служит для определения значения некоторой величины.

В качестве примера на рис. 9 изображена, номограмма для нахождения положительных корней квадратного уравнения

Для нахождения отрицательных корней заменяем Вычислительная математика на — и получим уравнение

положительные корни которого по модулю равны отрицательным корням первоначального уравнения. Использование данной номограммы объясним на примере. Найти корни уравнения Вычислительная математика Соединяем линейкой точки с пометками (на рис. 9 — нижняя пунктирная линия). На
криволинейной ответной шкале находим корень . Заменяя , получим уравнение

Соединяем линейкой точки с пометками Вычислительная математика (на рис. 12 — верхняя пунктирная линия), на ответной шкале находим корень уравнения Для первоначального уравнения, так как , получим второй корень Вычислительная математика .

Вычисление значений функций по заданной формуле

Одним из основных видов вычислительных работ, который часто встречается в прикладной математике и технике, является вычисление значений функции, заданной по некоторой формуле. Например, пусть требуется найти значения функции

для ряда значений аргументов Вычислительная математика и . Организация вычислений начинается с выяснения промежуточных операций и установления наиболее удобной последовательности их выполнения. В нашем примере имеем следующие промежуточные операции: вычисление Вычислительная математика . Эти операции производятся при помощи таблиц значений соответствующих функций. Дальше находим значение числителя и подкоренного выражения знаменателя Вычислительная математика . Эти операции можно производить при помощи вычислительных машин или письменно. Значения корня находится опять по таблице и, наконец, делением значения числителя на значение знаменателя находим
окончательный результат.

После этого Переходим к составлению расчетной схемы (иногда говорят о расчетном бланке или формуляре) (табл. 1).

Таблица 1
Вычислительная математика

Форма расчетной таблицы зависит от вида заданной формулы и от того, какими вычислительными средствами мы располагаем. В расчетной таблице фиксируются исходные и промежуточные данные, команды операций и их значения. Если вычисления ведутся со
строгим учетом погрешностей, то в таблице выделяются столбцы для границ абсолютной и относительной погрешностей, промежуточных и окончательных результатов.

В организации вычислительных работ можно выделить следующие основные этапы:

1. Производится расписка формулы, на основе чего изготовляется расчетный бланк; этим устанавливается программа вычислений.

2. Выбираются средства вычислений (таблицы, вычислительные машины и т. д.) для промежуточных операций.

3. Выполнение вычислений и получение результата.

Перед началом выполнения вычислений, исходя из требуемой точности, необходимо определить, сколько верных или значащих цифр надо взять в исходных и промежуточных данных. Вычисления и записывание результатов нужно вести так, чтобы любой промежуточный результат всегда можно было проверить.

Примеры решения прикладных задач на вычисление

В соответствии с постановкой задачи, вычисления могут быть проведены со строгим учетом погрешностей, без строгого учета погрешностей или в точных числах.

Пример:

Вычислить объем тонкого шарового слоя, заключенного между концентрическими сферами радиусов Вычислительная математика

Решение:

Объем V шарового слоя равен разности объемов внешнего шара Вычислительная математика и внутреннего шара

Так как числа Вычислительная математика близки по значению, то, как мы знаем, относительная погрешность разности будет очень большой. В таких случаях целесообразно избежать разности между близкими числами. В нашем случае это достигается следующими преобразованиями: Вычислительная математика .

Следовательно, искомый объем можно вычислять по формуле

Переходим к составлению программы вычислений. Сами вычисления будем производить по соответствующей расчетной схеме. В первом столбце расчетной схемы (табл. 2) записаны номера исходных данных и выполняемых над ними операций (т. е. промежуточных и конечных данных). Программа вычислений указана во втором столбце и, по существу, начинается с шестой строки. В этой и последующих строках столбца записаны команды действий и указано, над какими числами
выполняются эти действия. В третьем столбце записаны формулы для вычисления промежуточных результатов; этот столбец имеет чисто наглядно-информационный характер и, после приобретения надлежащего опыта, от него можно отказаться. В четвертом столбце записаны

Таблица 2
Вычислительная математика

приближенные значения промежуточных и конечного результатов В пятом и шестом столбцах, соответственно, указаны границы абсолютной и относительной погрешностей результатов h и Е.

Таким образом, Вычислительная математика

Учитывая величину абсолютной погрешности, ответ нужно дать в виде

с границей относительной погрешности 0,052 или 5,2%.

Замечание:

Если провести вычисления по первоначальной формуле (1), то граница относительной погрешности получится около 50%.

Формализация вычислений по расчетной схеме особо продуктивна, когда необходимо вычислять значения функции, заданной формулой при различных исходных данных.

Пример:

Найти вес Р медного провода диаметром D мм и длиной l м при плотности меди Вычислительная математика
если:

Решение:

Для получения результата в килограммах расчет проводим по формуле

Расчеты выполняем по схеме согласно таблице 3 (вычисления проводятся без строгого учета погрешностей).

Таблица 3
Вычислительная математика

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике: