Тригонометрические уравнения и неравенства с примерами решения и образцами выполнения

Корень уравнения есть число, ко­торое, будучи подставленным в
уравнение вместо обозначающей его буквы или вида, приводит к
исчезновению всех его членов.
И. Ньютон

Тригонометрические формулы

В курсе алгебры рассматривались синус, косинус и тангенс
произвольного угла, выраженного в градусах или радианах.
Там же были доказаны основные формулы, которые
исполь­зовались для преобразований тригонометрических выражений.
Напомним эти формулы:

1. Основное тригонометрическое тождество:

2. Зависимость между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом:

Ньютон Исаак (1643— 1727) — английский математик, физик, механик, астроном; основоположник современной механики; одновременно с немецким математиком Г. Лейбницем ему принадлежит разработка дифференциального и интегрального исчислений.

3. Формулы сложения:

4. Формулы синуса и косинуса двойного угла:

5. Формулы приведения:

Для синуса:

Для косинуса:

Формулы приведения запоминать необязательно. Для того
чтобы записать любую из них, можно руководствоваться
сле­дующими правилами:

1) В правой части формулы который

2) Если в левой части формулы угол равен или

то синус заменяется на косинус, тангенс —
на котангенс и наоборот. Если угол равен то замены
не происходит.

Например, покажем, как с помощью этих правил можно
получить формулу приведения для

По первому правилу в правой части формулы нужно поставить знак << —>>,
так как если то a косинус во второй четверти отрицателен. По второму правилу косинус нужно заме­нить на синус, следовательно,

6. Формулы синуса, косинуса, тангенс угла

7. Формулы синуса и косинуса угла

тангенса угла

Приведем несколько примеров применения формул (1) — (9).

Пример:

Вычислить , если и

Сначала найдем . Из формулы (1) Так как в третьей четверти то По формулам (2) находим

Пример:

Упростить выражение

Используя формулы (1), (3) и (4), получаем:

Пример:

Вычислить

Используя формулы (8) и (9), получаем:

По формулам приведения находим:

Ответ.

Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов

Пример:

Упростить выражение

Используя формулу сложения и формулу синуса двойного
угла, получаем:

Эту задачу можно решить проще, если использовать формулу
суммы синусов:

С помощью этой формулы получаем:

Докажем теперь справедливость формулы (1).

Обозначим

Тогда и поэтому

Наряду с формулой (1) используются формула разности
синусов, а также формулы суммы и разности косинусов:

Формулы (3) и (4) доказываются так же, как и формула (1);
формула (2 ) получается из формулы ( 1 ) заменой на
(до­кажите самостоятельно).

Пример:

Вычислить

Пример:

Преобразовать в произведение

Пример:

Доказать, что наименьшее значение выражения равно а наибольшее равно

Преобразуем данное выражение в произведение:

Так как наименьшее значение косинуса равно — 1, а наи­большее равно 1, то наименьшее значение данного выражения
равно а наибольшее равно

Уравнение cos х = а

Из курса алгебры известно, что значения косинуса заключены
в промежутке [— 1; 1], т. е.

Поэтому если |а |> 1 , то уравнение cos x = a не имеет корней. Например, уравнение cos x = — 1,5 не имеет корней.

Пример:

Решить уравнение

Напомним, что cos х — абсцисса точки единичной окруж­ности, полученной поворотом точки Р (1; 0) вокруг начала коор­динат на угол х. Абсциссу, равную имеют две точки окруж­ности

и (рис. 18). Так как , то точка получается из точки Р (1; 0) поворотом на угол , а также на
углы где . . . . Точка получается из точки Р (1; 0) поворотом на угол , f также на углы где . . . . Итак, все корни уравнения — можно найти по формулам Вместо этих двух формул обычно пользуются одной:

Пример:

Решить уравнение

Абсциссу, равную , имеют две точки окружности
и (рис. 19). Так как , то угол
а потому угол . Следовательно, все корни уравнения
можно найти по формуле

Таким образом, каждое из уравнений

и имеет бесконечное множество корней. На отрезке каж­дое из этих уравнений имеет только один корень: — корень уравнения и
— корень уравнения . Число называют арккосинусом числа и за­писывают:

а число — арккосинусом числа и записывают:

Вообще уравнение , где , имеет на отрезке только один корень. Если , то корень заключен в про­межутке ; если а < 0, то в промежутке . Этот ко­рень называют арккосинусом числа а и обозначают arccos а (рис. 20).

Таким образом арккосинусом числа называется число косинус которого равен a.

Например, так как и так как

и

Аналогично тому, как это сделано при решении за­дач 1 и 2, можно показать, что все корни уравнения , где , выражаются формулой

Пример:

Решить уравнение cos x = — 0,75.
По формуле (2) находим

Значение arccos ( — 0,75) можно приближенно найти на ри­сунке 21, измеряя угол РОМ транспортиром.

Приближенные значения арккосинуса можно также находить
с помощью специальных таблиц или микрокалькулятора. На­
пример, значение arccos (—0,75) можно вычислить на
микрокаль­куляторе МК-54 по программе

Итак,

В данном случае переключатель микрокалькулятора Р-ГРД-Г
был установлен в положение Р (радиан).
Если вычисления проводить в градусной мере, то переклю­чатель микрокалькулятора Р-ГРД-Г следует установить в поло­жение Г (градус). Программа вычислений остается прежней:

Итак, .

Пример:

Решить уравнение (4 cos х — 1) (2 cos 2x + 1)=0.

Ответ. ,

Можно доказать, что для любого справедлива
формула

Эта формула позволяет выражать значения арккосинусов
отрицательных чисел через значения арккосинусов
положитель­ных чисел. Например:

Из формулы (2) следует, что корни уравнения cos х = а при а = 0,
а = 1, а = — 1 можно находить по более простым формулам:

Задача 5. Решить уравнение

По формуле (6) получаем откуда

Уравнение sin х= а

Известно, что значения синуса заключены в промежутке
[— 1; 1], т. е. Поэтому если |а |> 1 , то
уравне­ние sin x = a не имеет корней. Например, уравнение
sin x = 2 не имеет корней.

Пример:

Решить уравнение

Напомним, что sin x — ордината точки единичной окруж­ности, полученной поворотом точки Р (1; 0) вокруг начала коор­динат на угол x. Ординату, равную , имеют две точки окруж­ности и (рис. 22). Так как — , то точка полу­чается из точки Р(1; 0) поворотом на угол , а также на
углы где ……. Точка получается из точки Р (1; 0) поворотом на угол , а также на углы где ……. Итак, все корни уравнения можно найти по формулам

Эти формулы объединяются в одну:

В самом деле, если n — четное число, т. е. n = 2k, то из форму­лы (1) получаем а если n — нечетное число, т. е. , то из формулы (1) получаем

О т в е т .

Пример:

Решить уравнение

Ординату, равную имеют две точки единичной ок­ружности и (рис. 23), где . Следо­вательно, все корни уравнения можно найти по фор­мулам

Эти формулы объединяются в одну:

В самом деле, если n = 2k, то по формуле (2) получаем , а если n = 2k — 1, то по формуле (2) находим ..

Ответ.

Итак, каждое из уравнений и имеет
бесконечное множество корней. На отрезке

каждое из этих уравнений имеет только один корень: — корень уравнения и — корень уравнения . Число называют арксинусом числа и записывают: ; число — называют арксинусом числа и пишут:

Вообще уравнение sin x = a, где , на отрезке имеет только один корень. Если , то корень заключен в промежутке ; если а < 0 , то в промежутке .

Этот корень называют арксинусом числа а и обозна­чают arcsin a (рис. 24).

Таким образом , арксинусом числа называется такое число , синус которого равен a.

Например, так как и так как и

Аналогично тому, как это сделано при решении задач 1 и 2 можно показать, что корни уравнения sin x = a, где выражаются формулой

Пример:

Решить уравнение .

По формуле (4) находим

Значение можно приближенно найти из рисунка 25,
измеряя угол РОМ транспортиром.
Значения арксинуса можно находить с помощью специальных
таблиц или с помощью микрокалькулятора. Например, значение можно вычислить на микрокалькуляторе МК-54 по
программе

Итак,
При этом переключатель микрокалькулятора Р-ГРД-Г был установлен в положение Р (радиан).

Пример:

Решить уравнение (3 sin х — 1) (2 sin 2х + 1) = 0.

Ответ.

Можно доказать, что для любого справедлива
формула

Эта формула позволяет находить значения арксинусов отри­
цательных чисел через значения арксинусов положительных
чисел. Например:

Отметим, что из формулы (4) следует, что корни уравнения
sin x = a при а = 0 , а = 1 , а = — 1 можно находить по более
прос­тым формулам:

Пример:

Решить уравнение sin 2х = 1.

По формуле (7) имеем откуда

Уравнение tg x = а

Известно, что тангенс может принимать любое действительное
значение. Поэтому уравнение tg x = a имеет корни при любом
значении а.

Пример:

Решить уравнение

Построим углы, тангенсы которых равны Для этого про­ведем через точку Р (рис. 26) прямую, перпендикулярную РО,
и отложим отрезок через точки М и О проведем пря­
мую. Эта прямая пересекает единичную окружность в двух диа­
метрально противоположных точках и . Из прямоугольного треугольника РОМ находим , откуда .

Таким образом, точка получается из точки Р (1; 0) поворотом
вокруг начала координат на угол а также на углы , где , … .
Точка получается поворотом точки Р (1; 0) на угол

а также на углы , где … .

Итак, корни уравнения можно найти по формулам

Эти формулы объединяются в одну

Пример:

Решить уравнение

Углы, тангенсы которых равны указаны на рисун­ке 27, где Из прямоугольного треугольни­ка РОМ находим , т.е. . Таким образом, точка получается поворотом точки P(1; 0) вокруг начала
координат на угол , а также на углы где k = ± 1, ± 2,….. Точка получается поворотом точки Р (1; 0) на углы .

Поэтому корни уравнения можно найти по формуле

Итак, каждое из уравнений и имеет
бесконечное множество корней. На интервале — каж­дое из этих уравнений имеет только один корень: — корень уравнения и — корень уравнения . Число называют арктангенсом числа и записывают: ; число — называют арктангенсом числа и пишут: .

Вообще уравнение tg х = а для любого имеет на интер­вале только один корень. Если , то корень
заключен в промежутке ; если а < 0 , то в промежутке . Этот корень называют арктангенсом числа а и
обо­значают arctg a (рис. 28)

Таким образом, арктагенсом числа называется такое число тангенс которого равен a.

Например, , так как ; и так как и .

Аналогично тому, как это сделано при решении задач 1 и 2, можно показать, что все корни уравнения tg x = a, где выражаются формулой

Пример:

Решить уравнение tg х = 2.

По формуле (2) находим

Значение arctg 2 можно приближенно найти из рисунка 29,
измеряя угол РОМ транспортиром.

Приближенные значения арктангенса можно также найти по
таблицам или с помощью микрокалькулятора.

Например, значение arctg 2 можно вычислить на МК-54 по
программе

Итак,

Пример:

Решить уравнение

При этих значениях х первая скобка левой части исходного
уравнения обращается в нуль, а вторая не теряет смысла, так
как из равенства tg x = — 4 следует, что

Следо­вательно, найденные значения х являются корнями исходного уравнения.

Эти значения x также являются корнями исходного урав­нения, так как при этом вторая скобка левой части уравнения
равна нулю, а первая скобка не теряет смысла.

Ответ.

Можно доказать, что для любого справедлива формула

Эта формула позволяет выражать значения арктангенсов
от­рицательных чисел через значения арктангенсов положительных чисел.

Например:

Решение тригонометрических уравнений

Формулы корней простейших тригонометрических уравнений sin x = a, cos x = a, tg х = а. К этим уравнениям сводятся другие тригонометрические уравнения. Для решения большинства таких уравнений требу­ется применение формул преобразований тригонометрических выражений. Рассмотрим некоторые примеры решения тригоно­метрических уравнений.

Уравнения, сводящиеся к квадратам

Пример:

Решить уравнение

Это уравнение является квадратным относительно sin х.
Обозначив sin x= y, получим уравнение Его корни

Таким образом, решение исходного уравнения свелось к решению простейших уравнений sin х = 1 и sin х = — 2.

Уравнение sin x = l имеет корни уравне­ние
sin x = — 2 не имеет корней.
Ответ.

Пример:

Решить уравнение

Заменяя на получаем:

Обозначая sin х = у, получаем откуда

1) sin х = — 3 — уравнение не имеет корней, так как | — 3 | > 1.
2)

Ответ.

Пример:

Решить уравнение

Используя формулу получаем:

Ответ.

Пример:

Решить уравнение tg x — 2 ctg x + 1 = 0 .

Так как то уравнение можно записать в виде
Умножая обе части уравнения на tg x, получаем:

Отметим, что левая часть исходного уравнения имеет смысл,
если и Так как для найденных корней и то исходное уравнение равносильно уравнению
Ответ.

Пример:

Решить уравнение

Используя формулы

преобразуем уравнение:

Обозначив sin 6 x = у, получим уравнение от­куда

Ответ.

Уравнения вида a sin х + b cos х = с

Пример:

Решить уравнение 2 sin x —3 cos x = 0.
Поделив уравнение на cos x, получим 2tg x — 3 = 0,

При решении этой задачи обе части уравнения 2 sin x — cos x = 0 были поделены на cos x. Напомним, что при делении
уравнения на выражение, содержащее неизвестное, могут быть
потеряны корни. Поэтому нужно проверить, не являются ли
кор­ни уравнения cos x = 0 корнями данного уравнения. Если
cos x = 0, то из уравнения 2 sin x — cos x = 0 следует, что sin x = 0. Однако sin х и cos х не могут одновременно равняться нулю, так как они связаны равенством Следовательно, при
делении уравнения a sin х + b cos x = 0, где cos x
(или sin x) корни этого уравнения не теряются.

Пример:

Решить уравнение 2 sin x + cos x = 2.
Используя формулы
и записывая правую часть уравнения в виде , получаем

Поделив это уравнение на

Обозначая получаем уравнение откуда

Ответ.

Пример:

Решить уравнение sin 2x — sin x — cos x — 1 = 0.
Выразим sin 2 x через sin x + cos x , используя тождество

Обозначим sin x + cos x = t, тогда и уравнение при­мет вид , откуда

2) Уравнение sin x + cos x = 2 не имеет корней, так как
и равенства sin x = 1, cos x = l одновременно не могут
выполняться.

Ответ.

Уравнения, решаемые разложением левой части на множители

Многие тригонометрические уравнения, правая часть кото­рых равна нулю, решаются разложением их левой части на
мно­жители.

Пример:

Решить уравнение sin 2х — sin х = 0.

Используя формулу для синуса двойного аргумента, за­пишем уравнение в виде 2 sin х cos х — sin х = 0.
Вынося общий множитель sin х за скобки, получаем
sin x (2 cos x — 1) = 0

Ответ.

Пример:

Решить уравнение cos Зх + sin 5x = 0.

Используя формулу приведения , за­пишем уравнение в виде

Используя формулу для суммы косинусов, получаем:

Ответ.

Пример:

Решить уравнение sin 7 x + sin 3 х = 3 cos 2х.

Применяя формулу для суммы синусов, запишем уравне­ние в виде

Уравнение cos2x = 0 имеет корни а уравнение не имеет корней.
Ответ.

Пример:

Решить уравнение

Так как

уравнение примет вид:

Заметим, что числа вида содержатся среди чисел вида так как если n = 3k, то

Следовательно, первая серия корней содержится во второй.

Ответ.

Часто бывает трудно усмотреть, что две серии корней, полу­
ченных при решении тригонометрического уравнения, имеют об­
щую часть. В этих случаях ответ можно оставлять в виде двух
серий. Например, ответ к задаче 12 можно было записать и так:

Пример:

Решить уравнение

Эти значения х являются корнями исходного уравнения, так
как при этом первая скобка левой части уравнения равна нулю,
а вторая не теряет смысла.

При этих значениях х вторая скобка левой части исходного
уравнения равна нулю, а первая скобка не имеет смысла. Поэтому
эти значения не являются корнями исходного уравнения.

Ответ.

Пример:

Решить уравнение

Выразим

Так как то

от­куда

Поэтому исходное уравнение можно записать так:

2) уравнение — корней не имеет.

Ответ.

Решение тригонометрического уравнения состоит из двух частей: 1) преобразование тригонометрического выражения к простейшему виду; 2) решение простейшего тригонометрического уравнения. Первая часть сложна из-за множества применяемых формул как тригонометрических, так и алгебраических. Применяются такие приемы как разложение на множители, преобразование суммы или разности тригонометрических функций в произведение и, наоборот, произведения в сумму. Достаточно часто тригонометрические уравнения сводятся к линейным и квадратным уравнениям и уравнениям с корнями. Тригонометрические уравнения во всяком случае имеют ограничения, содержащиеся в тангенсе и котангенсе, т.к. , , то здесь и .Простейшими тригонометрическими уравнениями называются уравнения вида: ; и

1) Решение уравнения . Арксинусом числа называется число, обозначаемое , синус которого равен , при этом . Поэтому решение уравнения записывается: Этому решению соответствуют две точки на окружности:

Напоминаем, что ось — это ось синусов, и значение синуса

отмечается на оси .

2) Решение уравнения . Арккосинусом числа называется число, обозначаемое , косинус которого равен , при этом Поэтому решение уравнения записывается: Этому решению соответствуют две точки на окружности:

Эти решения отмечены на окружности.

Напоминаем, что ось — ось косинусов, и значение косинуса отмечается на оси .

3) Решение уравнения Арктангенсом числа называется число, обозначаемое , тангенс которого равен , при этом . Поэтому решение уравнения записывается: Этому решению соответствуют две точки на окружности:

Напоминаем, что значение тангенса отмечается на оси тангенсов, которая параллельна оси и касается единичной окружности в крайней правой точке.

Там, где возможно, и заменяются табличными значениями. Соответствующая таблица и тригонометрические формулы приведены в разделе преобразования тригонометрических выражений. Там же рассмотрены примеры таких преобразований.

Здесь использована специальная формула, отличная от стандартной для уравнения

Существуют следующие специальные формулы:

Следует заметить также, что буква для обозначения целого числа может быть выбрана любая, но принято брать Если уравнение имеет два и более решений, эти буквы принято брать различными.

Т.к. решения 1-го и 2-го уравнений должны совпадать, то, как видно на окружности, единственно возможная точка соответствует решению

Эта система, как видно на окружности, решений не имеет

Этот материал взят со страницы решения задач по математике:

Решение задач по математике

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Иррациональные уравнения задачи с решением

Показательные и логарифмические уравнения задачи с решением

Решение рациональных уравнений

Решение уравнений с модулем

Тригонометрические уравнения и неравенства — основные понятия и определения

В этой главе мы рассмотрим некоторые уравнения, а также простейшие системы уравнений, содержащие неизвестную иод знаком тригонометрических функций. Такие уравнения называются тригонометрическими уравнениями.

Приведем некоторые примеры тригонометрических уравнений и их систем:

1) ; 2) ; 3) ; 4) 5) 6) .

Решение различных типов тригонометрических уравнений большей частью основано на сведении их к некоторым простейшим уравнениям, которые мы рассмотрим ниже. При этом остаются в силе общие правила, относящиеся к решению уравнений. В частности, данное уравнение не всегда приводится к простейшей форме с помощью одних лишь равносильных преобразований. Поэтому следует проверить найденные решения, подставляя их в исходное уравнение.

Тригонометрические уравнения слишком разнообразны для того, чтобы пытаться дать их общую классификацию или общий метод решения. Мы можем указать лишь способы решения некоторых типов таких уравнений.

Уравнения, разрешенные относительно одной из тригонометрических функций

При решении различных тригонометрических уравнений мы будем часто приходить к некоторым простейшим уравнениям, решения которых следует запомнить. Приведем эти уравнения. Для того чтобы можно было дать геометрическую иллюстрацию к этим уравнениям, будем считать х углом в радианной мере.

Уравнение sin х = а

Уравнение

имеет решение при . Для вывода общей формулы, которая заключает в себе все корни нашего уравнения, воспользуемся рис. 127. Допустим, что мы нашли какой-то корень уравнения sin х = а:

Тогда, в силу периодичности функции sin х, имеем

т.е. и числа вида , где k = 0, ±1, ±2, …, удовлетворяют уравнению (139.1). Заметим еще, что и

т. е. также удовлетворяет уравнению (139.1). Следовавательно также удовлетворяют данному уравнению. Следовательно, зная одно какое-то значение , удовлетворяющее уравнению sin х = а, мы можем получить две серии значений аргумента, удовлетворяющих этому же уравнению:

где k= 0, ±1, ±2, …

В качестве будем, как правило, брать arcsin а.

Объединив две серии (139.2) и (139.3) корней данного уравнения sin х = а одной формулой, мы будем записывать в дальнейшем его общее решение (совокупность всех корней) в виде

где n = 0, ±1, ±2, … и .

Поясним формулу (139.4) и другим способом, с помощью рис. 139.

Известно, что sin x = а (на рис. 139 ОA = 1, ).

Уравнению (139.1) удовлетворят углы:

а) положительные: и (k = 0, +1, +2, …);

б) отрицательные: и (k = 0, —1, —2, …).

Все эти углы можно задать одной формулой (139.4), и, обратно, любой угол, полученный по формуле (139.4), есть угол либо вида а), либо вида б). Проверим, например, обратное утверждение для положительных углов.

Если (четное число), то из (139.4) получаем

если же (нечетное число), то из (139.4) получаем

Аналогично проводится проверка и для отрицательных углов.

Пример:

sin x = 1/2.

Решение:

Так как , то .

Пример:

.

Решение:

Так как , то .

Замечание. При выводе формулы (139.4) мы воспользовались рис. 127, на котором и . Очевидно, что при помощи этой формулы получаются все корни уравнения sin x = a. Формула (139.4) остается в силе и тогда, когда , а также при а = 0, 1 или —1. Однако эти последние случаи удобней рассмотреть особо.

Допустим, что а = 1 или a = — 1. Корни уравнения sin х = 1 можно записать так:

где n = 0, ±1, ±2, …, а корни уравнения sin x = — 1 можно записать так:

где n = 0, ±1, ±2…. . Допустим теперь, что а = 0. Корни уравнения sin x = 0 можно записать так:

Уравнение cos x = a

Уравнение

имеет решение при . Для вывода общей формулы корней уравнения (140.1) воспользуемся рис. 128. Допустим, что мы нашли какое-нибудь решение уравнения (140.1): .

Тогда в силу периодичности , т. е. и числа вида , где n = 0, ±1, ±2, …, удовлетворяют уравнению cos х = а. В силу четности косинуса ; применив еще свойство периодичности, мы получим, что числа вида также удовлетворяют уравнению cos х = а. (На рис. 128 мы видим, что .) Следовательно, зная одно какое-либо значение , удовлетворяющее уравнению cos x = a, мы можем получить две серии значений аргумента, удовлетворяющих этому же уравнению:

где n = 0, ±1, ±2, …

В качестве будем, как правило, брать arccos а.

Объединив две серии (140.2) и (140.3) корней уравнения cos x = a одной формулой, мы будем писать в дальнейшем его общее решение (совокупность всех корней) в виде

где n = 0, ±1, ±2, … и .

Рекомендуем читателю пояснить формулу (140.4) с помощью рисунка, аналогичного рис. 139.

Пример:

.

Решение:

Пример:

cos x = — х/2.

Решение:

Пример:

cos х = 0,995.

Решение:

(см. приложение II).

Замечание. При выводе формулы (140.4) мы воспользовались рис. 128, на котором и . Очевидно, что при помощи этой формулы получаются все корни уравнения cos x = a. Рекомендуем читателю доказать, что формулой (140.4) можно пользоваться и во всех остальных случаях (—1 < а < 0, а = 0, а = — 1 и а = 1), если учесть, что arccos 1 = 0, arccos (—1) = и arccos 0 = . Но все-таки в этих частных случаях (а = — 1, а = 0 и а = 1) проще пользоваться другими формулами.

Уравнение cos x = — 1 имеет корни:

Уравнение cos x = l имеет корни:

Уравнение cos x = 0 имеет корни:

Уравнение tg x = a

Уравнение

имеет решение при любом а (). Воспользуемся рис. 129 для вывода общей формулы, которая заключает в себе все корни уравнения (141.1). Допустим, что мы нашли какое-нибудь решение уравнения (141.1), т. е. . Тогда, в силу периодичности, , т.е. и числа вида , где n = 0, ±1. ±2, …, удовлетворяют уравнению tg x = a. Следовательно, зная одно какое-то значение удовлетворяющее уравнению tg x = а, мы можем получить общее решение (совокупность всех корней) в виде

В качестве будем, как правило, брать arctg a. Итак, общее решение уравнения tg х = а выражается формулой

где n = 0, ±1, ±2, … и .

Пример:

.

Решение:

Пример:

.

Решение:

Пример:

tg x = —1,9648.

Решение:

(см. приложение II).

Уравнение ctg х = а

Уравнение

имеет решение при любом а (). Для вывода общей формулы корней уравнения (142.1) воспользуемся рис. 130. Допустим, что мы нашли какое-нибудь решение уравнения (142.1), т. е. . Тогда, в силу периодичности, , т. е. и числа вида , где n = 0, ±1, ±2, …. удовлетворяют уравнению ctg х = а. Следовательно, зная одно какое-то значение , удовлетворяющее уравнению ctg х = а, мы можем получить общее решение в виде

В качестве будем, как правило, брать arcctg a. Итак, общее решение уравнения ctg х = а выражается формулой

где n = 0, ±1, ±2, … и .

Пример:

.

Решение:

Пример:

.

Решение:

Пример:

ctg х = —28,64.

Решение:

. Воспользовавшись формулой , будем иметь

(см. приложение I). Следовательно,

Некоторые дополнения

Если в уравнениях sin x = a, cos х = а, tg х = а и ctg x = a известно, что х — угол в градусной мере, то общие решения нужно записывать по-другому.

Для уравнения sin x = a, где , нужно писать:

где n = 0, ±1, ±2, … и .

Для уравнения cos х = а, где , нужно писать:

где n = 0, ±1, ±2, … и .

Для уравнения tg х = а, где а — любое число, нужно писать:

где n = 0, ±1, ±2, … и — 90° < arctg а < 90°.

Для уравнения ctg х = а, где а —любое число, нужно писать:

где n = 0, ±1, ±2. … и 0° < arctg < 180°.

Хотелось бы предупредить о недопустимых записях при решении тригонометрических уравнений.

Пример:

Решить уравнение sin х = +1/2.

а) В п. 139 мы получили общее решение данного уравнения в виде , где под х можно понимать как отвлеченное число, так и число радиан.

Общее решение этого уравнения, если под х понимать число градусов, можно писать и так:

б) Нельзя, однако, писать

Разберем примеры уравнений, непосредственно сводящихся к уже рассмотренным.

Пример:

Решить уравнение .

Решение:

sinх = 1 /]/2, откуда согласно (143.1) имеем х — 180°и + (—1)»45°, где я = 0, ±1, ±2, …

Пример:

Решить уравнение .

Решение:

, откуда согласно (140.4) имеем , где n = 0, ±1, ±2, …

Пример:

Решить уравнение 3 sin х — 4 = 0.

Решение:

Из нашего уравнения получаем равносильное уравнение sin x = 4/3, которое решений не имеет, ибо не выполняется условие . Следовательно, первоначальное уравнение также не имеет решений.

Пример:

Решить уравнение 3 tg х + 1 = 0.

Решение:

tg x = —1/3, откуда согласно (141.3) имеем , где n = 0, ±1, ±2, …, или .

Замечание. Ответ можно записать так:

где n = 0, ±1, ±2, …

Пример:

Решить уравнение 3 ctg x + 2 = 0.

Решение:

ctg x = —2/3, откуда согласно (142.3) имеем , где n = 0, ±1, ±2, …, или .

Пример:

Решить уравнение 2 sin 5x + l = 0.

Решение:

Записав уравнение в виде sin 5x = —1/2, найдем отсюда сначала промежуточный аргумент , откуда получим общее решение данного уравнения , где n = 0, ±1, ±2,…

Способ приведения к одной функции одного и того же аргумента

Сущность способа: Мы получили решения уравнений вида sin x = a, cos х = а, tg x = a и cxg x = a. Во многих случаях решение тригонометрических уравнений сводится к решению основных элементарных уравнений после выполнения ряда алгебраических действий.

Так, пусть имеется уравнение, левая часть которого содержит х только под знаком одной тригонометрической функции, например:

Во всех этих случаях задача решения уравнения распадается на две:

1) Решение алгебраического уравнения относительно новой неизвестной t = sin x, t = tg x, t = cos x.

2) Решение уравнений вида sin x = a, cos x = a, tg x = a.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

1) Положив sin x = t, приходим к алгебраическому уравнению (в данном случае к квадратному уравнению) относительно новой неизвестной t:

Решив уравнение , получим и .

2) Задача решения уравнения свелась к решению двух тригонометрических уравнении:

Уравнение sin x = — 3 решений не имеет. Общее решение уравнения sin x = 1/2 имеет вид

Так как при переходе от тригонометрического уравнения к двум тригонометрическим уравнениям мы нигде не теряли и не получали посторонних корней, то решение является решением первоначального уравнения .

В большинстве случаев, однако, приходится исходное уравнение еще преобразовывать так, чтобы оно приобрело нужный вид:

В п. 145 показаны приемы таких преобразований.

Некоторые типы уравнений, приводящихся к уравнениям относительно функции одного аргумента

1) Рассмотрим уравнение типа

где a, b и с — какие-то действительные числа. Изучим случай, когда . Разделиз обе части уравнения (145.1) на , придем к следующему уравнению, содержащему только t = tg х:

Заметим, что уравнения (145.1) и (145.2) будут равносильны, ибо мы предполагаем, что . (Те значения х, при которых cos x = 0, не являются корнями уравнения (145.1) при .) Далее следует найти значения t = tg x из уравнения (145.2) и, если они окажутся действительными, отыскать соответствующие серии решений х.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Разделим обе части уравнения на . (Те значения х, при которых cos x = 0, не являются корнями данного уравнения, ибо при этом , следовательно, потери корней не происходит). Получим уравнение , откуда .

а) , ;

б) , .

Ответ.

где п = 0, ±1, ±2, …

Замечание:

Уравнение типа

где , сводится к уравнению типа (145.1), если его записать сначала так:

а потом так:

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Запишем данное уравнение так:

После этого будем иметь

Разделим обе части последнего уравнения на . (Те значения х, для которых cos x = 0, не являются корнями данного уравнения.) Получим уравнение

откуда и . Решив последние уравнения, получим решения первоначального уравнения:

2) Рассмотрим уравнение типа

где a, b и с — какие-то действительные числа. Пусть . Заменив через , мы придем к уравнению

или

Из уравнения (145.6) находим возможные значения для t = соs x; естественно, что они будут иметь смысл лишь в случае . Рассмотрим несколько примеров. Пример 3. Решить уравнение

Решение. Заменяя через , придем к уравнению , откуда cos x = 1 и cos x = —1/2. Уравнение cos x = l имеет решение , а уравнение cos x = —1/2 — решение . Совокупность значений и является решением данного уравнения.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Заменив через , придем к уравнению

откуда cos x = 1/2 и cos x = —3/2. Последнее уравнение не имеет решений, ибо не выполнено условие . /Мы получаем одну серию решений данного уравнения: .

3) Рассмотрим уравнение тина

где a, b и с—какие-то действительные числа. Oграничимся рассмотрением примеров.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Заменив через , придем к уравнению

откуда sin x = 1/2 и sin x = —1/4. Оба последних уравнения имеют соответственно решения

Совокупность значений и является множеством всех решений данного уравнения.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Заменив через , придем к уравнению

откуда и . Последнее уравнение не имеет решения, ибо не выполнено условие . Мы получаем одну серию решении первоначального уравнения:

4) Рассмотрим уравнение типа

где .

Деля обе части уравнения на , получим

Следовательно,

где n = 0, ±1, ±2, … Заметим, что, предположив , мы не потеряли корней, ибо если cos x = 0, то .

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Разделим обе части уравнения на , получим , откуда .

5) Если в уравнение входят тригонометрические функции от различных аргументов, то и в этом случае иногда представляется возможным выразить их все через одну тригонометрическую функцию одного и того же аргумента.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Заменив через , придем к уравнению

откуда cos 2х = — l/3.

Следовательно, и (n = 0, ±1, ±2, …).

Пример:

Решить уравнение .

Решение:

Заменив sin 2x через 2sin x cos x, придем к уравнению или . Последнее уравнение распадается на два:

Первое уравнение имеет корни (n = 0, ±1, ±2, …).

Второе уравнение после деления на дает ctg x = 2, откуда (n = 0, ±1, ±2, …).

Решениями первоначального уравнения и будут значения и . Заметим, что в нашем случае деление обеих частей уравнения б) на sinx не привело к потере корней, ибо те значения х, при которых sin x обращается в нуль, не являются корнями первоначального уравнения.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Умножим обе части уравнения на 2 и, заменив 2sin x cos x на sin 2х, получим sin 2x cos 2x = 1/4. С последним уравнением поступим опять так же, получим sin 4x = 1/2, откуда . Окончательно имеем

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Заметим, что

Подставив найденное значение для в исходное уравнение, получим . Далее имеем

Последнее уравнение распадается на два:

Первое уравнение имеет корни (n = 0, ± 1, ± 2, …). Второе уравнение запишем в виде . Приравняв нулю числитель (1 — 2cos x), получим корни второго уравнения: .

Способ разложения на множители

1) Если в уравнении, приведенном к виду f(x) = 0, его левая часть f(x) разлагается на множители, то, как указано в п. 54, следует приравнять каждый из этих множителей к нулю. Получится несколько отдельных уравнений; корни каждого из них будут корнями основного уравнения, если только они входят в о. д. з. каждого из множителей левой части уравнения.

Все полученные решения объединяются в одну совокупность решений первоначального уравнения. Заметим, что этот способ мы уже фактически применяли при решении примеров 9 и 11 из п. 145.

Рассмотрим е;це несколько примеров.

Пример:

Решить уравнение sin x ctg 2x = 0.

Решение:

Согласно предыдущему будем искать отдельно решения двух уравнений: a) sin x = 0 и б) ctg 2x = 0. Первое уравнение имеет корни (n = 0, ±1, ±2, …). Второе уравнение имеет корни (n = 0, ±1, ±2, …). Проверка показывает, что решениями первоначального уравнения будет лишь совокупность значений , а значения не удовлетворяют данному уравнению, ибо при теряет смысл второй множитель ctg 2х.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Запишем это уравнение следующим образом:

Применив формулу (125.2), получим

откуда

Последнее уравнение распадается на два уравнения:

Первое уравнение имеет корни (n = 0, ± 1, ± 2, …).

Второе уравнение имеет корни (n = 0, ±1, ±2, …). Все найденные значения и являются корнями заданного уравнения.

2) Рассмотрим уравнения типа: a) ; б) ; в) , где и — любые действительные числа, отличные от нуля, причем и . Покажем прием решения такого типа уравнений.

Запишем это уравнение в виде . Применив к левой части формулу (125.2), будем иметь

Последнее уравнение распадается на два:

Решения этих уравнений имеют вид

Эти же решения будут и решениями уравнения (146.1).

Решите это уравнение самостоятельно с помощью формулы (125.4) и убедитесь, что его решения имеют вид

Решите самостоятельно также уравнение .

Запишем это уравнение в виде . Одну из функции, например , заменим по формуле приведения на . Уравнение (146.3) примет вид , откуда получаем

Последнее уравнение распадается па два:

Решения этих уравнений имеют соответственно вид

Заметим, что полученные формулы решений запоминать не следует (нужно только понять сам прием).

Пример:

Решить уравнение sin 7х = sin Зх.

Решение:

Запишем данное уравнение а виде . Применив к левой части формулу (125.2), будем иметь

Последнее уравнение распадается на два:

sin 2x = 0 и cos 5x = 0.

Решения этих уравнений будут иметь вид

Все эти решения являются решениями данного уравнения.

Решение рациональных тригонометрических уравнений с помощью универсальной тригонометрической подстановки tg (x/2) = t

Допустим что функции sin x и cos x входят в тригонометрическое уравнение только рационально. Такие тригонометрические уравнения назовем рациональными тригонометрическими уравнениями (см. п. 37). Если все члены такого уравнения перенесены в его левую часть, то в общем виде его можно записать так:

где R — символ совокупности рациональных операций, которые нужно произвести над sin x и cos x.

Приведем примеры рациональных тригонометрических уравнений, а также тригонометрических уравнений, которые таковыми не являются.

1) Уравнение

является рациональным тригонометрическим уравнением, так как

2) Уравнение

не является рациональным тригонометрическим уравнением, ибо в число операций, которые производятся над тригонометрическими функциями, содержащими аргумент х, входит не рациональная операция — извлечение кубического корня.

3) Уравнение

является рациональным тригонометрическим уравнением.

4) Уравнение

не является рациональным тригонометрическим уравнением, ибо в число операций, которые производятся над тригонометрическими функциями, содержащими аргумент х, входят не рациональные операции — операция взятия синуса от и операция взятия косинуса от .

Теорема:

Рациональное уравнение

с помощью тригонометрической подстановки

приводится к рациональному уравнению

относительно новой неизвестной t.

Доказательство:

Имеем уравнение R (sin x, cosx) = 0. Введем новую неизвестную t с помощью подстановки tg (х/2) =t. Согласно формулам п. 122 имеем

Подставив эти выражения в (147.1), получим

Обозначив через новую совокупность всех рациональных операций, которые нужно проделать теперь уже над t, мы придем к уравнению .

Подстановку tg (х/2) = t обычно называют универсальной три-гонометрической подстановкой.

Следует заметить, что указанный выше общий способ не всегда является самым лучшим, ибо при решении уравнения относительно новой неизвестной t могут встретиться технические трудности ничуть не меньшие тех, которые стояли при решении уравнения (147.1), Рекомендуется сначала поискать какой-либо специальный прием решения, который применим к данному конкретному уравнению, и если такой прием не удается найти, то следует применить общий способ.

Заметим, что, применяя общий способ — подстановку tg (х/2) = t, мы исключаем из рассмотрения те значения неизвестной х, при которых tg (x/2) не имеет смысла, т. е. значения , но эти значения могут являться корнями первоначального рационального тригонометрического уравнения. Поэтому при решении рациональных тригонометрических уравнений с помощью универсальной тригонометрической подстановки tg (x/2) = t нужно обязательно проверить, не являются ли значения корнями первоначального уравнения (147.1).

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Сделав универсальную подстановку tg (x/2) = t, получим . Подставив значение cos x в уравнение (147.5), придем к рациональному относительно t уравнению . Решив последнее уравнение, будем иметь и .

Приходим к двум уравнениям:

Первое уравнение имеет корни

Второе уравнение имеет корни

Заметим, что значения не являются корнями данного уравнения (147.5). Итак, уравнение (147.5) имеет следующие серии решений:

Пример:

Решить уравнение

Решение:

С помощью универсальной подстановки tg (3x/2) = t получим уравнение, рациональное относительно

откуда

Общее решение последнего уравнения имеет вид

Проверим теперь, не являются ли значения корнями первоначального уравнения (147.6). (Напомним, что при этих значениях теряет смысл функция tg (Зх/2) = t.) Подставив в уравнение (147.6), получим

Следовательно, значения являются корнями уравнения (147.6).

Итак, решениями уравнения (147.6) являются

Некоторые частные приемы решения тригонометрических уравнений и систем

Введение вспомогательного аргумента

Рассмотрим уравнение

где . Запишем его в виде

а затем положим

(см. п. 127). Уравнение (148.1) примет вид

Последнее уравнение имеет решение, если , т. е. если или .

Допустим, что ; тогда общее решение уравнения (148.2) имеет вид

а общее решение уравнения (148.1) запишется так:

где — аргумент (вспомогательный), который находится из условий и .

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Запишем уравнение (148.3) в виде

Положим и . Уравнение (148.3) примет вид

или

Последнее уравнение имеет решение, ибо .

В качестве можно, например, взять . Уравнение (148.4) имеет решение

откуда получим общее решение нашего уравнения в виде

или

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Запишем уравнение (148.5) в виде

Положим . Уравнение (148.5) примет вид

Последнее уравнение имеет решение, ибо 0 < 1/2 < 1. В качестве можно, например, взять . Уравнение (148.6) имеет решение

откуда получим общее решение уравнения (148.5) в виде

Решение уравнения (148.5) другим способом приведено в п. 147. Рекомендуем читателю убедиться в том, что множества решений этого уравнения, полученные в пп. 147 и 148, совпадают.

Преобразование произведения в сумму или разность

Рассмотрим уравнения:

где , , и — какие-то постоянные коэффициенты. Если числа , , и удовлетворяют одному из следующих условий:

или

то уравнения (149.1), (149.2) могут быть решены с помощью приема, основанного на переходе от произведений тригонометрических функций к полусуммам или к полуразностям. Для уравнения (149.3) условия (149.5), (149.6) заменяются условием

Для уравнения же (149.4) эти условия заменяются условиями

Рассмотрим, например, уравнение (149.1). Применив к левой и правой частям этого уравнения формулу (123.3), придем к уравнению

или

Если, например, в уравнении (149.1) , то (149.10) приобретает вид

Уравнения типа (149.11) разобраны в п. 146. Пример. Решить уравнение

Решение:

Применив к левой и правой частям уравнения (149.12) формулу (123.3), получим

или

Перенеся cos 2x в левую часть уравнения и применив формулу для разности косинусов, получим уравнение

распадающееся на два уравнения:

Общее решение первого уравнения: (n = 0, ±1, ±2,…).

Общее решение второго уравнения: (n = 0, ±1,±2, …).

Так как при n = 2k мы имеем (k = 0, ±1, …) (совокупность решений содержит совокупность решений ), то общее решение уравнения (149.12) можно записать а виде

Переход к функциям удвоенного аргумента

Рассмотрим уравнения

и

где , , и — какие-то постоянные числа. Если числа , , и удовлетворяют некоторым условиям, то уравнения (150.1) й (150.2) легко могут быть решены с помощью приема, основанного на выражении квадратов тригонометрических функций через тригонометрические функции удвоенного аргумента. Рассмотрим, например, уравнение (150.1). Применив к его левой и правой частям формулу (121.3), придем к уравнению

или

Сказанное об уравнении (150.1) относится и к уравнению (150.2), ибо оно сводится в точности к уравнению (150.3). В самом деле, применив формулу (121.2), получим

или

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Действуя аналогично предыдущему, получим

или

Перейдя в последнем уравнении к произведениям по формуле (125.3), получим

или

Последнее уравнение распадается на два:

а) cos x = 0, , где n = 0, ±\, ±2, … ;

б) , или , и , где n = 0, ±1, ±2, …

Мы получили три серии решений первоначального уравнения. Заметим, что серия решений, записанных с помощью формулы , входит в серию решений — она получается из последней при нечетном n. Следовательно, окончательно имеем

(мы изменили обозначение на ).

Мы не делаем проверки полученных решений, так как равносильность соответствующих уравнений нигде не была нарушена.

Замечание:

Аналогичным приемом при определенных условиях могут быть решены и следующие уравнения:

и т. д.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Перенеся в правую часть уравнения, заменим на , a на . После этого придем к уравнению

или

Последнее уравнение распадается на три:

Итак, мы получили три серии решений первоначального уравнения:

Мы не делаем проверки полученных решений, так как нигде не нарушали равносильности уравнений. Рассмотрим уравнение

где а — действительное число. Воспользовавшись формулой

перепишем уравнение (150.8) в виде

или

Последнее уравнение имеет решение, если , т. е. если . В этом случае уравнение (150.10) распадается на два простейших уравнения:

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Воспользовавшись формулой (119.5), придем к уравнению

откуда получим . Последнее уравнение, а следовательно и исходное уравнение, будет иметь общее решение в виде

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Воспользовавшись формулой (119.5), придем к уравнению

из которого получим . Последнее уравнение, а следовательно, и уравнение (150.12), решения не имеет, ибо не выполнено условие . В этом случае и не выполнено условие необходимое для существования решения уравнения (150.12).

Замечание:

Примеры 3 и 4 можно было решать, используя формулы (121.3) и (121.2). В этом случае мы бы имели

Вместо уравнения (150.11) мы получили бы

Вместо же уравнения (150.12) мы получили бы уравнение которое решения не имеет.

Решение уравнения типа:

Рассмотрим уравнение

Решение:

Применив формулу (125.5) для суммы тангенсов, получим новое уравнение:

Перенесем все члены уравнения в левую часты

Преобразуем числитель, воспользовавшись формулой (123.2):

или

Заменив разность косинусов по формуле (125.4), будем иметь

Приравняв нулю числитель дроби в левой части уравнения (151.3), получаем

Последнее уравнение распадается на три уравнения, которые дают следующие три серии решений:

1) sin х = 0, х = ;

2) sin 2л; = 0, х = ;

3) sin 5л; = 0, х = .

Заметим, что первая серия решений входит во вторую при четных n, т. е. при п = 2m. Поэтому общее решение уравнения (151.4) состоит из двух серий:

Проверка. Заметим следующее:

1) уравнения (151.1) и (151.3) эквивалентны, поэтому мы можем делать проверку полученных решений, подставляя их в уравнение (151.3);

2) проверку решений можно делать в общем виде, а можно, используя нечетность и периодичность функций, входящих в уравнение (151.3), делать проверку только тех решений, которые попали в отрезок оси Ох, равный половине периода (в нашем случае период равен качестве такого отрезка можно, например, взять отрезок ). Продемонстрируем оба способа проверки. (Будем проверять решения, подставляя их в уравнение (151.3), эквивалентное уравнению (151.1).)

а) Проверяем решения в общем виде.

1 . . Вычислим

Дробь не имеет смысла при нечетном , ибо тогда . При четном же она обращается в нуль. Следовательно, в качестве решений уравнения (151.1) нужно оставить следующую серию решений: (m = 0, ±1, ±2, …).

2. . Вычислим

Дробь обращается в нуль при любом n. (Знаменатель дроби ни при каком n в нуль не обращается.)

Итак, объединяя полученные результаты, получим окончательно, что уравнение (151.3), а следовательно и первоначальое уравнение (151.1), имеет две серии решений: и , которые можно объединить в одну серию (k = 0, ±1, ±2, …). (При k = 5m первая серия решений составляет часть второй серии.)

б) Проверяем отдельные решения, лежащие в отрезке .

Из серии в отрезок попадают следующие значения х: 0 и .

Из серии в отрезок попадают следующие значения х: 0, и .

Переходим к проверке этих значений. (Будем проверять решения, подставляя нх в уравнение (151.3), эквивалентное уравнению (151.1).)

1) х = 0. Тогда 0/1 = 0. Следовательно, х = 0 — корень нашего уравнения.

2) . При этом значении x cos x (и cos 3x) обращается в нуль, и левая часть уравнения теряет смысл. Следовательно, не является корнем уравнения (151.1).

3) . Имеем

Следовательно, — корень уравнения (151.1).

4) . Получаем

Следовательно, —корень уравнения (151.1).

Итак, из серий предполагаемых решений и исключаются значения , и вообще значения вида , где m = 0, ± 1, ±2, …

Объединяя полученные результаты, найдем окончательно, что уравнение (151.3), а следовательно, и первоначальное уравнение (151.1), имеет две серии решений: и , которые можно объединить в одну серию (k = 0, ± 1, ±2, …).

Заметим, что решить это уравнение удалось благодаря определенному соотношению между аргументами тангенсов (х + 4х = 2x + 3x). Поэтому большой общности наш прием, как и сходные приемы, показанные ранее в пп. 149, 150, не имеет.

Применение подстановок sin х ± cos x = y

Если в тригонометрическое уравнение входят только выражения sin x + cos х и sin 2х или sin x — cos x и sin 2x, то, применив подстановку sin x + cos x = y или sin x — cos х = у, можно получить уравнение относительно у.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Введем новую неизвестную у, положив

Возведя обе части равенства (152.2) в квадрат, получим

откуда будем иметь

Подставив (152.2) и (152.3) в (152.1), получим уравнение относительно у:

Корни уравнения (152.4):

Возвращаясь к тригонометрическим функциям, получаем два уравнения:

которые решаются так:

Так как , то уравнение (152.7) имеет решение

где n = 0, ±1, ±2,

Действуя аналогично предыдущему, придем к уравнению

Уравнение (152.8) решения не имеет, так как

Итак, уравнение (152.1) имеет решение

Системы тригонометрических уравнений

Напомним, что решением, системы п уравнений с п неизвестными называется такая совокупность п чисел , которая обладает тем свойством, что, будучи подставлена в каждое из уравнений системы, обратит его в верное числовое равенство. В этом определении слово «решение» нужно понимать не как слово, определяющее процесс действий, которое мы производим над системой уравнений, а как слово, заменяющее слово «корень» («ответ») в случае одного уравнения с одной неизвестной. Заметим, что возможны следующие случаи:

1) система не имеет решения,

2) система имеет конечное число решений,

3) система имеет бесконечное множество решений.

Перейдем теперь к рассмотрению систем тригонометрических уравнений, ограничиваясь отдельными примерами.

Пример:

Решить систему уравнений

Решение:

Левую часть первого из уравнений системы преобразуем в произведение:

Воспользовавшись тем, что , мы от системы (153.1) перейдем к эквивалентной ей системе

Первое из уравнений системы (153.2) дает . Мы приходим к бесконечному множеству систем

где п = 0, ± 1, ±2, …

Зафиксируем какое-либо п и решим систему (153.3). Получим решение , . Так как п может меняться и принимать бесконечное множество значений 0, ±1, ±2 … , то и система (153.1) имеет бесконечное множество решений

Проверка. Проверим, что решением данной системы является любая пара чисел вида и . Подставив соответственно значения и вместо значений х и у в каждое из уравнений системы (153.1), придем к очевидным равенствам

Итак, система (153.1) имеет бесконечное множество решений

Пример:

Решить систему уравнений

Решение:

Действуя аналогично предвдущему, придем к системе, эквивалентной данной:

Эта система не имеет решений, так как не может быть больше 1.

Ответ. Данная система уравнений не имеет решений. Замечание 1. Примеры 1 и 2 являются частными случаями системы.

Система (153.6) сводится к эквивалентной системе

Последняя система (153.7) может иметь бесчисленное множество решений, а может не иметь ни одного.

Замечание:

Систему (153.6) можно было бы решать и методом подстановки, например, так: а) у выразить через х из второго уравнения, т. е. написать у = b — х; б) у = b — х подставить в первое уравнение системы (153.6) и записать его так: (1 — cos b)sin x + sin b cos x = а. В этом случае данная система (153.6) заменилась бы эквивалентной ей системой

Замечание:

Аналогично предыдущему решаются и системы

или

Замечание:

Система вида

(и аналогичные ей) сводится к рассмотренным выше системам, если воспользоваться формулами приведения, положив, например, или . Пример 3. Решить систему уравнений

Решение:

Левую часть первого уравнения преобразуем по формуле

и используем второе уравнение. После указанных преобразований система (153.12) заменится эквивалентной ей системой

Эта система имеет решение, если . В этом случае имеем

откуда получаем совокупность решений ,

и

Замечание:

Аналогично решаются системы

или

Пример:

Решить систему уравнений

Решение. Воспользовавшись формулами

(ср. с формулой (121.2)), получим систему, эквивалентную данной:

Система (153.17) решается так же, как система из примера 1. Пример 5. Решить систему уравнений

Решение:

Первое уравнение запишем в виде пропорции:

Предполагаем пока, что . Образуем теперь производную пропорцию:

Пусть . Из последней пропорции получаем

Предполагаем, что . Воспользовавшись вторым уравнением данной системы, придем к системе

Решая первое уравнение, получим

Мы приходим к бесконечному множеству систем

где

Решая каждую из систем (153.20), получим

Проверим теперь, являются ли решения (153.21) решениями первоначальной системы. Второе уравнение данной системы обращается сразу в справедливое равенство , . Подставим теперь и в первое уравнение системы (153.18),

получим

Рассмотрим два случая.

Случай I. n = 2m — четное число. Имеем

Обозначим . Следовательно,

Напомним, что . В нашем случае имеем

Тогда

Теперь имеем АВ = 2, т. е. .

Случай II. n = 2m + 1 — нечетное число. Имеем

Аналогичным путем получим

Следовательно, . Итак, решения (153.21) являются решениями данной системы.

Исследуем теперь особые случаи, которые мы временно исключили из рассмотрения.

1) Корни уравнения tg y = 0, т. е. числа вида , не могут входить в решения нашей системы, ибо не существует. Следовательно, предположив, что , мы не потеряли решений данной системы.

2) Мы предположили также, что . Если бы могло выполняться равенство tg х + tg у = 0, то мы имели бы tg х = —tg у, но tg x = 2 tg у. Мы пришли к противоречию, ибо у нас . Следовательно, предположив, что , мы не потеряли решений данной системы.

3) Мы предположили также, что . Допустим теперь, что cos x cos y = 0. Это возможно, если, например:

а) cos x = 0. Но в этом случае не имеет смысла tg x, входящий в первое уравнение данной системы.

б) cos y = 0. Но это тоже невозможно, ибо в противном случае мы имели бы ctg y = 0, а мы должны иметь tg x ctg x = 2.

Следовательно, предположив, что , мы не потеряли решений данной системы.

Итак, система (153.18) имеет бесконечное множество решений , где

и

Пример:

Решить систему уравнений

Левые части уравнений преобразуем в произведения; получим новую систему, эквивалентную данной:

Предположив, что , поделим почленно первое уравнение системы (153.23) на второе. Получим уравнение

из которого находим

Подставим (153.25) в первое уравнение системы (153.23):

Заметим, что

После этого будем иметь

Решив уравнение (153.26), получим

Для отыскания х и у нужно теперь решить бесконечное множество систем

которые получаются при различных комбинациях n и k (n и k независимо друг от друга могут принимать значения 0, ±1, ±2, ±3, …). Считая n и k фиксированными, решим систему (153.28). Сложив два уравнения системы (153.28), получим

откуда

Вычитая второе уравнение из первого, будем иметь

откуда

Итак, система (153.22) имеет бесчисленное множество решений , где

Замечание:

Предположив, что , мы не потеряли решений системы (153.22), ибо те х и у, при которых или , не являются решениями системы (153.23), а следовательно, и решениями эквивалентной ей системы (153.22).

Замечание:

Можно показать, что . После этого формулы (153.29) можно несколько упростить. Например, для четных п (п = 2т) будем иметь

где т = 0, ±1, ±2, … и k = 0, ±1, ±2, …

Замечание:

В заключение укажем некоторые частные решения системы (153.22). Положив, например, в (153.30) m = 0 и k = 0, получим

и

Замечание:

Система (153.22) является частным случаем системы

Рекомендуем читателю самостоятельно решить и провести исследование различных случаев системы (153.31).

Решение тригонометрических неравенств

Простейшие тригонометрические неравенства: При решении тригонометрических неравенств мы будем использовать свойства монотонности и графики соответствующих тригонометрических функций, а также тот факт, что основной период функций sin x и cos х равен , а основной период функции tg x равен .

I. Неравенство вида

Если , то неравенство (154.1) не имеет решений, а если , то неравенству (154.1) удовлетворяет любое х. Поэтому интерес представляют случаи, когда

Рассмотрим один из случаев.

1) Решить неравенство

Решение:

Рассмотрим отрезок оси Ох. На рис. 127 (стр. 319) видно, что неравенству sin удовлетворяют все х, лежащие в отрезке . Так как и , то решение данного неравенства на отрезке имеет вид

Учитывая, что функция y = sin x периодическая, с периодом, равным , мы получаем, что во всех отрезках вида

где п = 0, ±1, ±2, …

II. Неравенство вида

Если , то неравенству (154.2) удовлетворяет любое х, а если , то неравенство (154.2) не имеет решений. Поэтому интерес представляют случаи, когда

Рассмотрим один из случаев.

2) Решить неравенство

Решение. Рассмотрим отрезок длины (рис. 127 на стр. 319). Видно, что данному неравенству удовлетворяют все х, лежащие в отрезке . Заметим, что , а . Следовательно, на отрезке решение данного неравенства имеет вид

Учитывая, что функция у = sin х периодическая, с периодом, равным , мы получаем, что во всех отрезках вида

где n = 0, ±1, ±2, …

III. Неравенство вида

Если а > 1, то неравенство (154.3) не имеет решений, а если , то неравенству (154.3) удовлетворяет любое х. Поэтому интерес представляют случаи, когда

Рассмотрим один из случаев.

3) Решить неравенство

Решение:

Рассмотрим отрезок оси Ох. На рис. 129 (стр. 321) видно, что неравенству удовлетворяют все х, лежащие в отрезке . Так как и , то решение данного неравенства на отрезке имеет вид

Учитывая, что функция у = cos х периодическая, с периодом, равным , мы получаем, что во всех отрезках вида

IV. Неравенство вида

Если 1, то неравенству (154.4) удовлетворяет любое х, а если , то неравенство (154.4) не имеет решений. Поэтому интерес представляют случаи, когда

Рассмотрим один из случаев.

4) Решить неравенство

Решение:

Рассмотрим отрезок оси Ох. На рис. 129 (стр. 321) видно, что данному неравенству удовлетворяют все х, лежащие в отрезке . Так как и , то решение данного неравенства на отрезке имеет вид

Учитывая, что функция y = cos x периодическая, с периодом, равным , мы получаем, что во всех отрезках вида

где n = 0, ±1, ±2, …

V. Неравенство вида

Так как функция у = tg x принимает значения в интервале (), то неравенство (154.5) имеет решение при любом а. Рассмотрим пример.

5) Решить неравенство

Решение:

Рассмотрим отрезок оси Ох. На рис. 131 (стр. 323) видно, что данному неравенству удовлетворяют все х, заключенные в пределах

(При не существует tg x.) Так как , то решение неравенства (154.5) на отрезке имеет вид

Учитывая, что функция y = tg x периодическая, с периодом, равным , мы получаем, что всюду, где

где n = 0, ±1, ±2, …

VI. Неравенство вида

Так как функция y = tg x принимает значения в интервале (), то неравенство (154.6) имеет решение при любом а. Рассмотрим пример. 6) Решить неравенство

Решение:

Рассмотрим отрезок оси Ох. На рис. 131 (стр. 323) видно, что данному неравенству удовлетворяют все х, заключенные в пределах . Так как , то решение неравенства (154.6) на отрезке имеет вид .

Таким образом, неравенство удовлетворяется во всех интервалах вида

Примеры тригонометрических неравенств, сводящихся к простейшим

Пример:

Решить неравенство

Решение:

Обозначив sin х через t, придем к следующему квадратному неравенству:

Это неравенство удовлетворяется при и . Поэтому все решения первоначального неравенства должны удовлетворять либо неравенству , либо неравенству .

Неравенство имеет следующее решение:

где n = 0, ±1, ±2, … Неравенство же решений не имеет.

Следовательно, решение первоначального неравенства совпадает с решением неравенства .

Пример:

Решить неравенство

Решение:

Обозначив cos 2x через t, придем к следующему квадратному неравенству:

Это неравенство имеет место при —1/2 < t < 1. Возвращаясь к cos 2x, получим неравенства

Обозначив 2х через z, получим неравенства

На отрезке последние неравенства имеют следующие решения:

На всей же числовой прямой Оz эти неравенства имеют решения

Возвращаясь к неизвестной х, получим

Рекомендуем читателю построить график y = cos x и решить графически неравенства .

Пример:

Решить неравенство .

Решение:

Рассмотрим отрезок оси Ох. На рис. 140 видно, что данному неравенству удовлетворяют все х, заключенные в пределах

(tg x не существует при и . Так как , то решение данного неравенства на отрезке имеет вид

и

Учитывая, что функция y = |tg x| периодическая, с периодом, равным , мы получаем, что | tg х | > 4/3 всюду, где

где n = 0, ±1, ±2, …

Решение заданий и задач по предметам:

• Математика
• Высшая математика
• Математический анализ
• Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
2. Функции и графики
3. Преобразования графиков функций
4. Квадратная функция и её графики
5. Алгебраические неравенства
6. Неравенства
7. Неравенства с переменными
8. Прогрессии в математике
9. Арифметическая прогрессия
10. Геометрическая прогрессия
11. Показатели в математике
12. Логарифмы в математике
13. Исследование уравнений
14. Уравнения высших степеней
15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
16. Комплексные числа
17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
18. Алгебраические уравнения
19. Неопределенные уравнения
20. Соединения
21. Бином Ньютона
22. Число е
23. Непрерывные дроби
24. Функция
25. Исследование функций
26. Предел
27. Интеграл
28. Двойной интеграл
29. Тройной интеграл
30. Интегрирование
31. Неопределённый интеграл
32. Определенный интеграл
33. Криволинейные интегралы
34. Поверхностные интегралы
35. Несобственные интегралы
36. Кратные интегралы
37. Интегралы, зависящие от параметра
38. Квадратный трехчлен
39. Производная
40. Применение производной к исследованию функций
41. Приложения производной
42. Дифференциал функции
43. Дифференцирование в математике
44. Формулы и правила дифференцирования
45. Дифференциальное исчисление
46. Дифференциальные уравнения
47. Дифференциальные уравнения первого порядка
48. Дифференциальные уравнения высших порядков
49. Дифференциальные уравнения в частных производных
50. Тригонометрические функции
51. Показательная функция
52. Показательные уравнения
53. Обобщенная степень
54. Взаимно обратные функции
55. Логарифмическая функция
56. Уравнения и неравенства
57. Положительные и отрицательные числа
58. Алгебраические выражения
59. Иррациональные алгебраические выражения
60. Преобразование алгебраических выражений
61. Преобразование дробных алгебраических выражений
62. Разложение многочленов на множители
63. Многочлены от одного переменного
64. Алгебраические дроби
65. Пропорции
66. Уравнения
67. Системы уравнений
68. Системы уравнений высших степеней
69. Системы алгебраических уравнений
70. Системы линейных уравнений
71. Системы дифференциальных уравнений
72. Арифметический квадратный корень
73. Квадратные и кубические корни
74. Извлечение квадратного корня
75. Рациональные числа
76. Иррациональные числа
77. Арифметический корень
78. Квадратные уравнения
79. Иррациональные уравнения
80. Последовательность
81. Ряды сходящиеся и расходящиеся
82. Тригонометрические функции произвольного угла
83. Тригонометрические формулы
84. Обратные тригонометрические функции
85. Теорема Безу
86. Математическая индукция
87. Показатель степени
88. Показательные функции и логарифмы
89. Множество
90. Множество действительных чисел
91. Числовые множества
92. Преобразование рациональных выражений
93. Преобразование иррациональных выражений
94. Геометрия
95. Действительные числа
96. Степени и корни
97. Степень с рациональным показателем
98. Тригонометрические функции угла
99. Тригонометрические функции числового аргумента
100. Тригонометрические выражения и их преобразования
101. Преобразование тригонометрических выражений
102. Комбинаторика
103. Вычислительная математика
104. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
105. Прямая и плоскость
106. Линии и уравнения
107. Прямая линия
108. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
109. Кривые второго порядка
110. Кривые и поверхности второго порядка
111. Числовые ряды
112. Степенные ряды
113. Ряды Фурье
114. Преобразование Фурье
115. Функциональные ряды
116. Функции многих переменных
117. Метод координат
118. Гармонический анализ
119. Вещественные числа
120. Предел последовательности
121. Аналитическая геометрия
122. Аналитическая геометрия на плоскости
123. Аналитическая геометрия в пространстве
124. Функции одной переменной
125. Высшая алгебра
126. Векторная алгебра
127. Векторный анализ
128. Векторы
129. Скалярное произведение векторов
130. Векторное произведение векторов
131. Смешанное произведение векторов
132. Операции над векторами
133. Непрерывность функций
134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
135. Предел и непрерывность функции одной переменной
136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
139. Матрицы
140. Линейные и евклидовы пространства
141. Линейные отображения
142. Дифференциальные теоремы о среднем
143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
144. Функции комплексного переменного
145. Преобразование Лапласа
146. Теории поля
147. Операционное исчисление
148. Системы координат
149. Рациональная функция
150. Интегральное исчисление
151. Интегральное исчисление функций одной переменной
152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
153. Отношение в математике
154. Математическая логика
155. Графы в математике
156. Линейные пространства
157. Первообразная и неопределенный интеграл
158. Линейная функция
159. Выпуклые множества точек
160. Система координат