Пропорции в математике с примерами решения и образцами выполнения

Оглавление:

Определение пропорции:

Связь между четырьмя алгебраическими выражениями А, В, С и D, имеющая вид

называется пропорцией.

(Равенство пропорции теряет смысл и перестает быть пропорцией как при В = О, так и при D = 0. Оно теряет смысл и перестает быть пропорцией и тогда, когда В и D равны нулю одновременно.)

Примеры пропорции:

В пропорции величины А и D называются крайними, а В и С средними членами. Далее выражение называется первым отношением, а вторым; А и С называются предыдущими членами этих отношений, а В и D —последующими.

Главное свойство пропорции

Умножив левую и правую части пропорции

на произведение bd, получим ad = be, т. е. во всякой пропорции произведение крайних членов равно произведению средних.

Составление пропорции по данному равенству двух произведений

Пусть pq = ху. Разделив левую и правую части этого равенства на qx, получим

Этот результат можно сформулировать следующим образом.

Если произведение двух чисел равно произведению двух других, то из этих четырех чисел можно составить пропорцию, беря множители одного произведения за крайние, а множители другого произведения за средние члены пропорции. (При этом дополнительно требуется, чтобы оба последующих члена пропорции не оказались равными нулю.)

Перестановка членов пропорции

Пусть ad = be и числа а, b, с, d — все отличны от нуля. Разделив левую и правую части равенства ad = bc первый раз на bd, второй на ab, третий на ас и четвертый на cd, получим соответственно четыре пропорции:

Поменяв местами отношения в этих равенствах, получим еще четыре пропорции:

Этот результат показывает, что в пропорции можно менять местами средние и крайние члены и ставить оба крайних члена на места средних, а оба средних на места крайних.

Производные пропорции

1. Прибавив к левой и правой частям пропорции по единице, получим

или

т. е. во всякой пропорции сумма членов первого отношения так относится к своему последующему, как сумма членов второго отношения — к своему последующему.

2. Вычтя из левой и правой частей пропорции по единице, получим:

или

т. е. во всякой пропорции разность членов первого отношения так относится к своему последующему, как разность членов второго отношения — к своему последующему.

3. Разделив левую часть равенства пропорции на левую часть равенства и правую на правую, получим:

т. е. во всякой пропорции сумма членов первого отношения так относится к своему предыдущему, как сумма членов второго отношения — к своему предыдущему.

4. Разделив левую часть равенства пропорции на левую часть равенства и правую на правую, получим:

т. е. во всякой пропорции разность членов первого отношения так относится к своему предыдущему, как разность членов второго отношения —к своему предыдущему.

5. Разделив левую часть равенства пропорции на левую часть равенства и правую на правую, получим:

т. е. во всякой пропорции сумма членов первого отношения так относится к их разности, как сумма членов второго отношения — к их разности.

Из пропорции мы вывели пять производных пропорций. Однако надо иметь в виду, что из пропорции можно было бы получить сколько угодно производных пропорций.

Например, умножив обе части пропорции на число а, получим . Прибавив к левой и правой частям последнего равенства число , будем иметь, что

или

т. е. получим новую производную пропорцию.

Определение неизвестного члена пропорции

Пусть в пропорции числа а, с, d известны, a х изображает число неизвестное. Тогда по свойству пропорции cx = ad, откуда , т. е. неизвестный средний член пропорции равен произведению крайних членов, деленному на известный средний. Аналогично определяется и неизвестный крайний член.

Примеры:

1. Найти неизвестное число х из пропорции , где а, b и с числа известные.

Составим производную пропорцию по правилу: сумма членов первого отношения так относится к своему последующему члену, как сумма членов второго отношения к своему последующему:

т. е.

откуда

2. Найти неизвестное х из пропорции Составим производную пропорцию по правилу: сумма членов первого отношения так относится к их разности, как сумма членов второго отношения к их разности, т. е.

или

отсюда

Ряд равных отношений

Иногда бывает удобно вместо различных букв употреблять для обозначения чисел одну и ту же букву, снабженную дополнительными значками — индексами. Например пропорции Эти обозначения читаются так: икс нулевое, икс первое, икс второе, икс третье, … , икс энное.

Основное свойство ряда равных отношений

Пусть имеется ряд равных отношений:

Обозначим общее значение всех этих отношений буквой k. Тогда

Отсюда

Складывая левые и правые части этих равенств, получим:

или

т.е.

Итак, доказано следующее:

если несколько отношений равны друг другу, то отношение суммы их предыдущих членов к сумме последующих равно каждому из этих отношений.

Пример:

Пусть длины пропорции сторон одного многоугольника (рис. 53) пропорциональны длинам сторон другого многоугольника, т. е.

По свойству ряда равных отношений получим:

или

где Р и Q периметры многоугольников.

Прямая пропорциональность

Сначала рассмотрим несколько примеров.

Пример:

Пусть буква х обозначает в годах возраст сына, а буква у — возраст отца и пусть в данный момент сыну один год, а отцу 25 лет.

Составим таблицу значений х и соответствующих им значений буквы у. В третьей строке этой таблицы выпишем значения отношения пропорции :

В этом примере отношение пропорции (отношение возраста отца к возрасту сына) не остается неизменным. Оно с течением времени убывает.

Пример:

Пусть буква х обозначает в сантиметрах длину стороны квадрата, а буква у — площадь квадрата в квадратных сантиметрах.

Составим таблицу, подобную предыдущей.

Отношение пропорции и здесь не остается неизменным. Оно возрастает при возрастании х.

Пример:

Пусть буква х обозначает в кубических сантиметрах объем ртути при температуре 0°, а буква у — вес этой ртути в граммах. Известно, что 1 куб. см ртути при температуре 0° весит 13,6 г.

Опять составим таблицу значений х, у и пропорции .

Этот третий пример существенно отличается от двух предыдущих. Здесь отношение пропорции сохраняет неизменное значение.

Определение:

Две величины у и х называются прямо пропорциональными (или просто пропорциональными), если при всех их возможных изменениях отношение остается равным одному и тому же числу и если при х = 0 значение у также равно нулю.

Значит, вес ртути и объем ртути при постоянной температура являются величинами пропорциональными.

Возраст отца и возраст сына не пропорциональны.

Также не пропорциональны сторона квадрата и его площадь.

Пусть изменяющиеся величины у и х пропорциональны. Тогда отношение пропорции будет равно некоторому постоянному числу.

Обозначая это постоянное число буквой k, получим:

или

Следовательно, если величины у и х пропорциональны и отношение пропорции равно k, то у выражается в зависимости от х формулой

пропорции

Число k называется коэффициентом пропорциональности (величины у по отношению к величине х).

Теперь докажем обратное положение. Пусть

где k — постоянное число.

Отсюда следует, что при х = 0 и у = 0 и что пропорции А это и означает, что величины у и х пропорциональны.

Из того что пропорции следует, что , или что Отсюда можно сделать следующий вывод:

Если коэффициентом пропорциональности величины у по отношению к величине х служит постоянное число k, то коэффициентом пропорциональности величины х по отношению к величине у будет служить число .

Приведем еще один пример пропорциональных величин. Путь s, пройденный при равномерном движении, пропорционален. времени t, т. е.

Здесь постоянное число v есть коэффициент пропорциональности величины s по отношению к величине t (v есть скорость равномерного движения).

Сделаем еще два замечания.

Замечание:

Если имеется два ряда чисел:

и если

то числа одного из этих рядов называются пропорциональными числам другого ряда.

Замечание:

Если имеются только два постоянных числа а и b, то бессмысленно говорить о них, что они пропорциональны или не пропорциональны.

В этом случае можно интересоваться либо характером этих чисел, либо их разностью, либо их отношением и т. д.

В заключение решим две простые задачи на пропорциональные величины.

Задача:

На карте в масштабе пропорции расстояние между двумя пунктами равно 42,5 см. Определить, чему равно это расстояние на карте в масштабе

Решение:

Длина на карте прямо пропорциональна масштабу. Поэтому.

Задача:

С помощью непосредственного измерения установили, что при повышении температуры рельса на 24°С его длина увеличивается на 1,5 мм. Требуется вычислениями определить изменение длины рельса при понижении его температуры на 40°С. (Считать изменение длины рельса величиной, прямо пропорциональной изменению температуры.)

Решение:

Обозначив искомое изменение (в мм) буквой х, получим:

откуда

т. е. при понижении температуры рельса на 40°С его длина сократится на 2,5 мм.

Обратная пропорциональность

Сначала приведем примеры.

1. Рассмотрим изменяющийся прямоугольный параллелепипед с квадратным основанием, имеющий неизменный объем, равный 3600 куб. см (рис. 54).

Пусть буква х обозначает в сантиметрах изменяющуюся сторону основания, а буква у — изменяющуюся высоту параллелепипеда.

Рассматривая таблицу:

легко видеть, что произведение ху не остается неизменным при постоянстве объема.

2. Рассмотрим изменяющийся прямоугольник, имеющий неизменную площадь, равную 100 кв. см.

Пусть буква х обозначает одно изменяющееся измерение (например, длину прямоугольника), а буква у — другое изменяющееся измерение (ширину). Пусть х и у выражены в сантиметрах.

Так как произведение измерений прямоугольника равно его площади, то величины х и у при всех своих возможных изменениях будут давать в своем произведении число 100, т. е. произведение изменяющихся величин х и у будет оставаться неизменным.

Существенное отличие второго примера от первого заключается в том, что в нем произведение ху остается неизменным, в то время как в первом оно изменяется.

Определение:

Две величины х и у называются обратно пропорциональными, если при всех их возможных изменениях произведение ху остается равным одному и тому же числу.

Обозначая это число буквой k, получим

или

Следовательно, если величины х и у обратно пропорциональны, то величина у выражается через величину х по формуле следующего вида:

Число k называется коэффициентом обратной пропорциональности.

Длина прямоугольника и ширина прямоугольника при заранее заданной площади прямоугольника являются величинами обратно пропорциональными. Коэффициентом обратной пропорциональности служит как раз эта площадь.

Сторона основания прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием и высота параллелепипеда при заранее заданном объеме не являются величинами обратно пропорциональными.

Задача:

Зал освещается m лампами по а свечей каждая. Сколькими лампами в b свечей можно получить ту же освещенность зала?

Число ламп и число свечей каждой лампы при данной освещенности зала являются величинами обратно пропорциональными. Поэтому, обозначая число ламп в b свечей буквой x, получим

откуда

Пропорциональное деление

Задача:

Число А разделить на n слагаемых прямо пропорционально числам пропорции

Обозначим искомые слагаемые буквами пропорции Тогда по условию задачи

Пользуясь свойством ряда равных отношений, получим

Но

Поэтому

Задача:

Число А разделить на n слагаемых обратно пропорционально числам пропорции

Обозначим искомые слагаемые буквами пропорции Тогда согласно условию задачи

или

По свойству ряда равных отношений получим

Но

Поэтому

Пропорции и пропорциональная зависимость

Отношением числа а к числу b называется частное , а называется предыдущим, b — последующим членом отношения.
Пропорцией называется равенство, каждая часть которого является отношением двух чисел. В пропорции

члены а и d называются крайними, а b и с средними.

При изложении свойств пропорции будем считать, что ни один из членов пропорции не равен нулю.

Пример:

пропорции отношение числа 7 к числу 2. Предыдущий член здесь 7, последующей 2.

Пример:

пропорции пропорция. Крайние члены здесь 10 и 2, средние— 4 и 5.

Главное свойство пропорции

Теорема:

Во всякой пропорции произведение крайних
членов равно произведению средних.

Доказательство:

Дана пропорция

Умножим обе части равенства (1) на bd, получим

Теорема доказана.

Теорема:

Если произведение двух чисел
равно произведению двух других чисел, то из этих четырех чисел можно составить пропорцию^ крайними членами которой являются сомножители одного из двух произведений, а средними—сомножители другого.

При этом предполагается, что ни один из сомножителей не равен нулю.

Доказательство:

Пусть

a, b, с, d все отличны от нуля. Разделим обе части равенства на bd, получим

Теорема доказана.

Пример:

пропорции — пропорция. Произведение крайних ее членов равно 20, произведение средних ее членов также равно 20.

Пример:

8 • 9 = 3 • 24 — равенство двух произведений.
Разделим обе части этого равенства на 9 • 24, получим пропорцию

Определение неизвестного члена пропорции

Теорема:

Средний член пропорции равен произведению крайних, деленному на другой средний. Крайний член пропорции равен произведению средних, деленному на другой крайний.

Пусть

Покажем, что

На основании теоремы 1 имеем

Разделим обе части равенства (4) на с, получим равенство (2). Разделим обе части равенства (4) на d, получим равенство (3). Теорема доказана.

Пример:

Найти х, если пропорции

Решение:

Пример:

Найти х, если пропорции

Решение:

Перестановка членов пропорции

Теорема:

Во всякой пропорции можно переставить
средние члени, переставить крайние члени, переставить и средние члени и крайние, средние поставить на место крайних, а крайние на место средних.

Иными словами, если

то

(переставлены средние члены),

(в (1) переставлены крайние члены),

(в (1) переставлены и средние и крайние члены),

(средние поставлены на место крайних, крайние — на место средних).

Доказательство:

В пропорций (1)

Разделим обе части равенства (6) на cd, получим равенство (2). Точно так же, разделив обе части равенства (6) на аb, а затем на ас, получим равенства (3) и (4). Равенство (5) получается из равенства (4) посредством перестановки отношений. Теорема доказана.

Следствие:

Переставим отношения в равенствах (I), (2), (3), получим еще три пропорции

Таким образом, всякую пропорцию посредством перестановки ее членов можно представить в восьми различных видах.

Производные пропорции

Теорема:

1) Во всякой пропорции сумма членов первого отношения так относится к последующему члену этого отношения, как сумма членов второго отношения относится к своему последующему.
2) Во всякой пропорции разность членов первого отношения так относится к последующему члену этого отношения, как разность членов второго отношения относится к своему последующему.

Иными словами, если

то

Доказательство:

Прибавим к каждой части равенства (1)
по 1, получим равенство (2). Вычтем из каждой части равенства (1) по 1, получим равенство (3). Теорема доказана.

Теорема:

1) Во всякой пропорции сумма членов первого отношения так относится к предыдущему члену этого отношения, как сумма членов второго отношения относится к своему предыдущему.
2) Во всякой пропорции разность членов первого отношения так относится к предыдущему члену этого отношения, как разность членов второго отношения относится к своему предыдущему.

Иными словами, если

то

Доказательство:

Разделим равенство (2) почленно на
равенство (1), т. е., левую часть равенства (2) разделим на левую часть равенства (1), а правую часть равенства (2) на правую часть равенства (1). Получим равенство (4). Разделив равенство (3) почленно на равенство (1), получим равенство 5). Теорема доказана.

Теорема:

Во всякой пропорции сумма членов первого
отношения так относится к их разности, как сумма членов второго отношения относится к их разности, если только эти разности отличны от нуля.

Иными словами, если

то

Доказательство:

Разделив почленно равенство (4) на
равенство (5), получим равенство (6).

Ряд равных отношений

Теорема:

Если даны несколько равных отношений* то
сумма всех предыдущих членов отношений относится к сумме всех последующих как любой из предыдущих к своему последующему.

Доказательство:

Пусть имеется несколько равных отношений

Обозначим результат деления пропорции на буквой q. Так как все отношения ряда (1) равны между собой, каждое из них также равно q. Таким образом,

Отсюда

Сложив почленно все равенства (2), имеем

откуда

Теорема доказана.

Задача:

Дано, что

Доказать, что при любых пропорции отличных от нуля,

Решение:

Умножим каждый, член первого отношения на пропорции получим пропорцию

Точно так же

Значит,

На основании теоремы 8 имеем

Задача:

Решить уравнение пропорции

Решение:

Пользуясь теоремой 7 § 5, имеем

Пропорциональная зависимость

Мы много раз составляли уравнения, выражающие зависимость между величинами, и могли наблюдать, что. зависимости эти бывают весьма разнообразны.

При решении многих задач мы встречаемся с двумя величинами, зависимость между которыми такова, что при изменении этих величин их отношение остается неизменным. Такие величины называются прямо пропорциональными, а зависимость между ними — пропорциональной зависимостью.

Для примера приведем несколько задач, в которых мы встретимся с величинами, находящимися в пропорциональной зависимости.

Задача:

Скорость течения реки 3 км в час. Плот за t часов прошел вниз по реке S км. Составить уравнение, выражающее зависимость между S и t.

Ответ. S = 3t.

Задача:

С каждого гектара собрано 30 ц ржи и, таким образом, с k га собрано А ц. Составить уравнение, выражающее зависимость между А и k.

Ответ. А = 30k

Задача:

Основание прямоугольника 2 см, высота h см, площадь Q пропорции . Составить уравнение, выражающее зависимость между Q и h.

Ответ. Q = 2h.

Задача:

1 м материи стоит 20 руб. За m м этой материи
уплатили N pyб. Составить уравнение, выражающее зависимость между N и m.

Ответ. N=20m.

Мы рассмотрели четыре задачи, которые по своему содержанию относятся к различным областям практической деятельности. Нетрудно убедиться, что в каждой из этих задач мы действительно имеем дело с прямо пропорциональными величинами.

Так, в первой задаче отношение расстояния (в kм), пройденного плотом, к времени (в часах), в течение которого плот находился в пути, всегда одно и то же и равно 3. Поэтому расстояние, которое проходит плот вниз по реке, пропорционально времени, в течение которого плот находится в пути, при условии, что скорость течения реки повсюду одна и та же.

Точно так же во второй задаче количество ржи, собранной с нескольких гектаров, пропорционально количеству ржи, собранной с одного гектара, при условии, что с каждого гектара собрано по одному и тому же количеству ржи и т. д.

Заметим, что уравнения, к которым мы пришли в рассмотренных задачах, имеют один и тот же вид. В этих уравнениях одна, из величин равна произведению некоторого числового множителя на другую величину. Этот множитель называется коэффициентом пропорциональности. В первой задаче коэффициент
пропорциональности равен 3, во второй задаче он равен 30, в третьей задаче он равен 2, в четвертой задаче он равен 20.

Таким образом, пропорциональная зависимость между величинами всегда выражается уравнением y = kx, где k — коэффициент пропорциональности. Известно, что зависимость между двумя величинами может быть наглядно представлена таблицей, а затем и графиком.

Для примера представим таблицей зависимость, выражаемую уравнением S = 3/ (первая задача):

Построим график зависимости S = 3t (рис. 19). Обратим внимание на следующие обстоятельства:

Отношение чисел, находящихся в одном столбце таблицы, повсюду одно и то же и равно коэффициенту пропорциональности:

и т. д. (для первого столбца это отношение не имеет смысла; так как на нуль делить нельзя).

2, График представляет собой луч, выходящий из начала координат (при t= 0, S = 0). (Доказательство этого утверждения здесь провести нельзя, так как для этого требуются некоторые сведения из геометрии.)

То же самое можно наблюдать и при графическом представлении любой другой пропорциональной зависимости между двумя величинами.

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике: