Последовательность в математике с примерами решения и образцами выполнения

Последовательность есть одно из основных понятий математики. Это понятие неизбежно возникает при рассмотрении многих важных математических вопросов.

Например, чтобы составить себе представление о длине окружности, мы, вынуждены рассматривать последовательность чисел, выражающих периметры правильных вписанных в эту окружность многоугольников при неограниченном удвоении числа сторон, а также наряду с этим и последовательность чисел, выражающих периметры правильных описанных многоугольников.

Первую последовательность мы можем записать в общем виде, например, так;

Здесь обозначает периметр правильного вписанного шестиугольника, — двенадцатиугольника и т. д.

Вторую последовательность мы запишем так:

Здесь — периметр правильного описанного шестиугольника, — двенадцатиугольника и т. д..

Пользуясь этими двумя последовательностями, мы можем определить длину окружности радиуса R с любой степенью точности. Например, с точностью до 0,00002R эта длина равна 6,28318R .

Чтобы составить себе представление об иррациональном числе , мы вынуждены были рассматривать последовательность приближенных значений с недостатком и последовательность приближенных значений с избытком.

Первая последовательность:

Вторая последовательность:

Пользуясь этими двумя последовательностями, мы определяем приближенное значение с любой степенью точности (с недостатком и с избытком).

Последовательность может быть образована из элементов любой природы. Например, можно составить последовательность равнобедренных прямоугольных треугольников с гипотенузами, равными соответственно 1, 2, 3, 4, 5, … (рис. 141).

Последовательность, образованная из элементов любой природы, записывается в виде:

Элементы, из которых составляется последовательность, называются ее членами.

Наиболее часто встречаются последовательности, элементами которых являются числа (числовые последовательности), а также и такие, элементами которых являются функции (функциональные последовательности).

Примеры числовых последовательностей:

Определение:

Последовательностью чисел называется совокупность бесконечно большого числа следующих друг за другом чисел

заданных при помощи какого-нибудь правила, определяющего как функцию натурального числа n.

Примеры функциональных последовательностей:

Определение:

Последовательностью функций называется совокупность бесконечного множества следующих друг за другом функций

заданных при помощи какого-нибудь правила, определяющего как функцию натурального числа n.

Если из последовательности выделить какое угодно число членов, идущих последовательно друг за другом, то получится конечная последовательность.

Арифметическая прогрессия

Определение:

Последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа или одного и того же выражения, называется арифметической прогрессией.

Это прибавляемое число или выражение называется разностью прогрессии. Разность прогрессии может быть числом положительным, отрицательным и нулем.

Чтобы определить разность данной арифметической прогрессии, достаточно, например, из второго члена вычесть первый.

Если разность арифметической прогрессии положительна, прогрессия называется возрастающей, если отрицательна— убывающей.

Если разность равна нулю, то арифметическая прогрессия будет и невозрастающей и неубывающей, т. е. получится последовательность одинаковых членов.

Примеры:

Последовательность

5; 8; 11; 14; …

есть возрастающая арифметическая прогрессия, первый член которой равен 5, а разность равна 3.

Последовательность

10; 7; 4; 1; —2; —5;…

есть убывающая арифметическая прогрессия, первый член которой равен 10, а разность равна — 3.

Последовательность

1; 1; 1; 1;…

есть арифметическая прогрессия, первый член которой равен 1, а разность равна 0.

Последовательность

есть арифметическая прогрессия, первый член которой равен х, а разность равна .

Если первый член арифметической прогрессии обозначить буквой а, а разность буквой d, то получим арифметическую прогрессию, записанную в общем виде:

Обозначив к-й член арифметической прогрессии , получим:

т. е. любой член арифметической прогрессии равен первому члену плюс произведение разности прогрессии на число членов, предшествующих определяемому.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Предварительно докажем одно простое свойство арифметической прогрессии с конечным числом членов. Такую профессию в общем виде можно записать так:

Первый член этой прогрессии

Рассмотрим суммы членов, равноудаленных от начала и конца:

Оказалось, что сумма двух членов конечной арифметической прогрессии, равноотстоящих от концов, равна сумме крайних членов.

Обозначим буквой сумму первых n членов арифметической прогрессии

Тогда

и

Складывая, получим:

В каждой из n скобок мы имеем либо сумму крайних членов, либо сумму двух членов, равноотстоящих от крайних, а потому

отсюда

т. е. сумма членов конечной арифметической прогрессии равна произведению полусуммы крайних членов на число членов.

Замечание:

Для конечной арифметической прогрессии справедливы, как мы уже видели, следующие две формулы:

Здесь а — первый член прогрессии, — последний член, n — число членов, d — разность и — сумма всех членов прогрессии.

Зная любые три величины, входящие в эти две формулы, можно найти значения двух остальных.

Следовательно, конечная арифметическая прогрессия становится определенной лишь в том случае, когда даны значения каких-либо ее трех элементов или даны какие-либо три условия, связывающие те или иные ее элементы.

Замечание:

Пользуясь формулой

можно записать формулу для еще и так:

Примеры:

1.Найти сумму всех нечетных чисел от 1 до 2k + 1 включительно.

Здесь мы имеем конечную арифметическую прогрессию, первый член которой равен 1, последний член равен 2k + 1 и разность равна 2. Искомую сумму

обозначим буквой х.

Применяя формулу

к нашей прогрессии, получим:

Отсюда находим неизвестное n, т. е. число членов нашей прогрессии:

Применяя формулу

получим:

или

2. Найти сумму квадратов всех натуральных чисел от 1 до n включительно, т. е. сумму

В формуле

положим q последовательно равным

Получим n равенств:

Складывая по столбцам, получим:

Опустив одинаковые члены стоящие в левой и правой частях равенства, обозначив сумму буквой х и заменив, наконец, сумму выражением , получим, что

Отсюда

или

или

или, наконец,

Упражнение. Пользуясь формулой

показать, что

Геометрическая прогрессия

Определение:

Последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, получается из предыдущего умножением на одно и то же число или выражение, называется геометрической прогрессией.

Множитель, на который умножается любой член геометрической прогрессии для получения следующего за ним члена, называется знаменателем геометрической прогрессии.

Примеры:

1.Последовательность

есть геометрическая прогрессия со знаменателем — 2.

2. Последовательность

есть геометрическая прогрессия со знаменателем

3. Последовательность

есть геометрическая прогрессия со знаменателем

4. Последовательность

есть геометрическая прогрессия со знаменателем

5. Последовательность

можно рассматривать как геометрическую прогрессию со знаменателем, равным единице.

6. Последовательность

есть геометрическая прогрессия со знаменателем, равным — 1.

7. Последовательность

есть геометрическая прогрессия со знаменателем, равным нулю.

Если первый член геометрической прогрессии обозначить буквой а, а знаменатель буквой q, то получим геометрическую прогрессию, записанную в общем виде:

Обозначив k-й член геометрической прогрессии получим:

т. е. любой член геометрической прогрессии равен первому члену, умноженному на степень знаменателя с показателем, равным числу членов, предшествующих определяемому.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии

Обозначим буквой сумму первых n членов прогрессии

Тогда получим:

или

Сумма представляет собой сумму первых n членов прогрессии без nго члена. Поэтому

или

Отсюда

Здесь предполагается, что

Пользуясь формулой

можно записать формулу для еще и так:

Замечания:

1.Для конечной геометрической прогрессии справедливы, как мы уже видели, следующие две формулы:

Здесь а —первый член прогрессии, — последний член, n — число членов, q — знаменатель и — сумма всех n членов прогрессии.

Зная любые три величины, входящие в эти формулы, можно найти значения двух остальных. Следовательно, конечная геометрическая прогрессия становится определенной лишь в том случае, когда даны значения каких-либо ее трех элементов или даны какие-либо три условия, связывающие те или иные ее элементы.

2. В том случае, когда знаменатель q прогрессии равен единице, нельзя пользоваться формулой

или формулой

так как в правых частях этих формул получатся выражения
не имеющие смысла.

Когда q = 1, прогрессия имеeт вид:

а поэтому

Примеры и задачи:

1.Найти сумму

Решение:

2. Найти сумму

Решение:

Пользуясь полученным результатом, заметим, что для всякого целого положительного числа m справедливо равенство

(Здесь )

3. Четыре числа составляют геометрическую прогрессию. Если к каждому из них прибавить соответственно 1; 1; 4 и 13, то образуется арифметическая прогрессия. Найти эти числа.

Решение:

Искомые 4 числа можно обозначить соответственно через а; так как они составляют геометрическую прогрессию.

По условию задачи числа

составляют арифметическую прогрессию. Но во всякой арифметической прогрессии разность между любым членом и членом, ему предшествующим, одинакова для любой пары рядом стоящих членов. Поэтому

или

или

или

Из первого уравнения следует, что Подставив во второе уравнение число —3 вместо получим, что

Отсюда

Зная, что q = 2, из уравнения найдем, что a = — 3.

Значит, искомыми четырьмя числами будут:

— 3; —6; —12; —24.

4. Разложить на целые множители разность:

Решение:

Последние два множителя мы получим, пользуясь выведенной на предыдущей странице формулой

Итак, доказано следующее тождество:

При доказательстве этого тождества мы обязаны были сделать оговорку, что . Однако полученное тождество справедливо и при х= 1. Действительно, при х= 1 это тождество принимает вид:

Но последнее равенство, как легко убедиться, является справедливым.

5. Доказать, что квадрат произведения первых я членов геометрической прогрессии равен n-й степени произведения крайних членов.

Доказательство:

Буквой обозначен, как и раньше, первый член прогрессии, а буковой n-й член.
Теорема доказана.

6. Найти произведение первых n членов геометрической прогрессии

если известно, что их сумма равна А, а сумма чисел, обратных первым n членам прогрессии, равна В.

Решение:

По условию задачи

Если знаменатель данной прогрессии обозначить буквой q, то знаменатель прогрессии

будет

Пользуясь формулой суммы членов геометрической прогрессии, получим:

Следовательно,

Но, с другой стороны,

(см. предыдущий пример). Отсюда Зная, что получим окончательный ответ:

Понятие предела последовательности чисел

Приведем несколько примеров числовых последовательностей:

Определение:

Пределом последовательности

называется предел п-го члена последовательности при условии, что , т. е.

Пределами первых трех приведенных выше последовательностей будут нули.

Предел 4-й последовательности

Предел 5-й последовательности

Предел 6-й последовательности

Замечание:

Когда мы говорим, что предел последовательности

равен числу а, то это означает следующее.

Для всякого наперед заданного положительного числа можно указать такое натуральное число N, что при всяком значении n, большем, чем N, разность станет по абсолютной величине меньше, чем , сколь бы малым ни было число , т. е. при всяком n>N будет выполняться неравенство

Существуют последовательности, не имеющие предела, например, такие две последовательности:

У первой последовательности . Эта последовательность не имеет предела, так как

У второй последовательности Эта последовательность также не имеет предела, так как не существует ( принимает попеременно значения то 1, то —1, а потому ни к какому пределу не стремится).

Дополнение к последовательностям в высшей математике

Смотрите также:

• Решение задач по высшей математике

Понятие множества. Логические символы	Предел функции
Функция	Бесконечно малые функции (Б.М.Ф.) и основные теоремы о них

Последовательности чисел

В этой главе мы познакомимся с одним из основных понятий математики — с понятием последовательности. Простейшим примером последовательности служит последовательность всех натуральных чисел

расположенных в порядке возрастания. Другими примерами являются:

а) последовательность всех чисел, обратных натуральным

расположенных в порядке убывания;

б) последовательность всех нечетных чисел первого десятка

расположенных в порядке возрастания.

Каждое число, входящее в последовательность, называется членом последовательности.

Последовательности могут быть как бесконечными, число членов которых бесконечно, так и конечными, число членов которых конечно. Например, последовательность (1) бесконечная, последовательность (3) конечная.

Член последовательности, находящейся на первом месте, называется первым членом этой последовательности, член последовательности, находящийся на втором месте, называется вторым членом последовательности и т. д. Таким образом, каждый член последовательности имеет свой номер, который указывает место этого члена в последовательности.

Если последовательность задана и известен номер места, которое занимает число в этой последовательности, то известно и само число. Например, в последовательности (1) на тысячном месте находится 1000. В последовательности (2) на двадцатом месте находится

В последовательности (1) все члены различны между собой. То же самое можно сказать о последовательностях (2) и (3). Примерами последовательностей, среди членов которых имеются равные друг другу числа, являются:

а) последовательность

в которой на месте с нечетным номером находится 1, а на месте с четным номером находится 0;

б) последовательность

на каждом месте которой находится число 5.

Последовательности (1), (2), (3), (4), (5) были заданы посредством описания их словами. Другой способ задания последовательности состоит в том, что дают формулу ее общего члена. С этой целью члены последовательности обозначаются буквами. Например, так: u₁ — первый член, u₂ — второй член и т. д. Таким образом последовательность имеет вид

Если теперь указать как выражается через свой номер n, последовательность будет задана. Член называется общим членом последовательности.

Например, общий член последовательности (1) определяется формулой

общий член последовательности (2) определяется формулой

общий член последовательности (4) определяется формулой

общий член последовательности (5) определяется формулой

Иногда последовательность обозначается знаком

Например, последовательность всех чисел, обратных натуральным.

Если формула общего члена последовательности известна, можно по этой формуле вычислить любой член последовательности, не вычисляя при этом предыдущих. Бывают случаи, когда формула общего члена последовательности неизвестна, но известно правило, пользуясь которым, можно вычислить любой ее член. В таких случаях последовательность считается также заданной. Например, правило приближенного извлечения квадратного корня из чисел известно, поэтому можно считать заданной последовательность

десятичных приближенных значений √2 с точностью до 1; 0,1; 0,01;… с недостатком.

При любом способе задания последовательности каждый член ее определяется номером занимаемого им места. Поэтому возможно такое определение последовательности: последовательность — это функция натурального аргумента. Каждый член последовательности является соответствующим значением функции. Например, последовательность получится, если в выражении давать аргументу n значения 1, 2, 3,…

Последовательность называется возрастающей, если каждый последующий член ее не меньше предыдущего, т. е. если

Последовательность называется строго возрастающей, если каждый последующий член ее больше предыдущего, т. е. если

Например, последовательность всех простых чисел, расположенных в порядке их возрастания:

есть возрастающая последовательность (строго возрастающая).

Последовательность называется убывающей, если каждый последующий член ее не больше предыдущего, т. е. если

последовательность называется строго убывающей, если каждый последующий член ее меньше предыдущего, т. е. если

Например, последовательность всех чисел, обратных простым, расположенная в порядке их убывания, т. е.

есть убывающая последовательность (строго убывающая).

Последовательность называется ограниченной, если все члены ее по абсолютной величине меньше некоторого числа. Например, последовательность

общий член которой ограниченная. Все члены этой последовательности по абсолютной величине меньше единицы.

Последовательность называется неограниченной, если для любого числа М найдется такой член последовательности, который по абсолютной величине больше М. Например, последовательность

общий член которой неограниченная.

Последовательность называется постоянной, если все члены ее равны между собой. Например, последовательность

общий член которой постоянная.

Арифметическая прогрессия

Последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом, постоянным для этой последовательности, называется арифметической прогрессией.

В арифметической прогрессии разность между последующим и предыдущим членами постоянна для всей прогресии. Она называется разностью прогрессии и обозначается буквой d. Общий вид арифметической прогрессии:

Например, последовательность натуральных чисел

— арифметическая прогрессия. Здесь каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с единицей, т. е. здесь d= 1. Последовательность нечетных положительных чисел

— арифметическая прогрессия. Здесь d = 2. Последовательность нечетных отрицательных чисел

— арифметическая прогрессия. Здесь d = — 2.

Если d > 0, члены прогрессии образуют возрастающую последовательность, и прогрессия называется возрастающей. Например, арифметическая прогрессия

— возрастающая. Разность этой прогрессии равна 4.

Если d < 0, члены прогрессии образуют убывающую последовательность, и прогрессия называется убивающей. Например, арифметическая прогрессия

— убывающая. Разность этой прогрессии равна — 3.

Если d = 0, все члены прогрессии равны между собой. Такие прогрессии не представляют интереса.

Как и всякая последовательность, арифметическая прогрессия может быть конечной или бесконечной.

Теорема:

Общий член арифметической прогрессии, разность которой d, определяется формулой

т. е. любой член арифметической прогрессии равен первому члену, сложенному с произведением разности на число предшествующих членов.

Доказательство:

Доказательство проводится методом математической индукции. Для первого члена утверждение справедливо, так как при n = 1 формула (1) дает u₁ = u₁ Допустим, что утверждение справедливо для k-го члена, где k — некоторое натуральное число, т. е.

Докажем, что тогда утверждение справедливо и для следующего (k + 1)-го члена, т. е.

Действительно,

Отсюда на основании равенства (2)

Теорема доказана.

Теорема:

В конечной арифметической прогрессии сумма членов, равноотстоящих от крайних членов, равна сумме крайних членов.

Доказательство:

Дана арифметическая прогрессия

разность которой d. Прежде всего заметим, что k-й член, считая с конца, есть Требуется доказать, что

Имеем

Напишем члены прогрессии (3) в обратном порядке

В прогрессии (5) разность равна — d, и потому

Складывая почленно равенства (4) и (6), получим

Теорема:

Сумма членов конечной арифметической прогрессии равна произведению полусуммы крайних членов на число членов, т. е.

Доказательство:

Имеем

Складывая почленно оба равенства, получаем

В каждой из n скобок имеем либо сумму крайних членов, либо сумму членов, равноотстоящих от крайних. А потому на основании предыдущей теоремы

отсюда

Следствие:

Сумма членов конечной арифметической прогрессии может бить вычислена по формуле

Доказательство:

По доказанному

но , поэтому

Пример:

Определить сумму первых n членов натурального ряда.

Решение:

Здесь а потому

Формулу (7) можно получить другим способом, который применяется для нахождения суммы квадратов, кубов и вообще любых степеней первых n чисел натурального ряда.

В равенстве (а + 1)²= а² + 2а + 1 положим а последовательно равным 1, 2, …, n. Получим n равенств:

Сложим эти n равенств почленно. Получим

где S₁ означает сумму n первых чисел натурального ряда. После взаимного уничтожения в левой и правой части равенства одинаковых сумм 2² + 3² +… + n² получим

Пример:

эНайти сумму квадратов S₂ = 1² + 2²+ … + n².

Решение:

В равенстве (a + 1)³ = а³ + За² + За + 1 положим а последовательно равным 1, 2, …, n. Получим n равенств:

Сложим эти n равенств почленно. Получим

После взаимного уничтожения в левой и правой части равенства одинаковых сумм 2³ + 3³+…+n³ получим

Заменим S₁ ее значением по формуле (7)

Окончательно

Геометрическая прогрессия

Последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число, постоянное для этой последовательности, называется геометрической прогрессией.

В геометрической прогрессии частное от деления последующего члена на предыдущий постоянно для всей последовательности. Оно называется знаменателем прогрессии и обозначается буквой q. Общий вид геометрической прогрессии

Например, последовательность

общий член которой геометрическая прогрессия. Здесь каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на 2, т. е. здесь q = 2. Последовательность

общий член которой геометрическая прогрессия. Здесь Последовательность

общий член которой геометрическая прогрессия. Здесь q = -3.

Если члены прогрессии образуют возрастающую последовательность, прогрессия называется возрастающей.

Если члены прогрессии образуют убывающую последовательность, прогрессия называется убывающей.

Так, если первый член прогрессии положителен и q > 1 то прогрессия— возрастающая. Например, геометрическая прогрессия

— возрастающая.

Если первый член прогрессии положителен и 0 < q < 1 то прогрессия убывающая. Например, геометрическая прогрессия

— убывающая.

Если первый член прогрессии отрицателен и q > 1 то прогрессия — убывающая. Например, геометрическая прогрессия

— убывающая.

Если первый член прогрессии отрицателен и 0 < q < 1 то про-

грессия возрастающая. Например, геометрическая прогрессия

— возрастающая.

Если q = 1, все члены прогрессии равны между собой. Если q = 0, все члены прогрессии, начиная со второго, равны нулю. Случаи, когда q= 1 или q = 0, не представляют интереса.

Если q < 0, члены прогрессии поочередно меняют знак и прогрессия в этом случае не является ни возрастающей, ни убывающей.

Теорема:

Общий член геометрической прогрессии, знаменатель которой q, определяется формулой

Доказательство:

Доказательство проводится методом математической индукции. Для второго члена утверждение справедливо, так как при n = 2 формула (1) дает u₂ = u₁q. Допустим, что утверждение справедливо для k-го члена, где k — некоторое натуральное число, большее единицы, т. е.

Докажем, что тогда утверждение справедливо и для следующего (k + 1)-го члена, т. е.

Действительно,

Отсюда на основании равенства (2)

Теорема доказана для любого натурального n ≥ 2.

Если условиться считать, что q⁰ = 1, как это и будет сделано в дальнейшем (см. гл. VI), теорема справедлива и для n = 1.

Теорема:

Сумма членов конечной геометрической прогрессии, знаменатель которой отличен от единицы, может быть вычислена по формуле

Доказательство:

Пусть

Умножив обе части равенства (3) на q, получим

Так как по определению

то

Вычитая из равенства (4) почленно равенство (3), получим

отсюда

Следствие:

Сумма членов конечной геометрической прогрессии, знаменатель которой отличен от единицы, может быть вычислена по формуле

Доказательство:

По доказанному

но Следовательно,

Пример:

Определить сумму 6 членов следующей прогрессии:

Решение:

Здесь Следовательно,

Прием, который ыы применили для подсчета суммы членов геометрической прогрессии, применяется и для подсчета других сумм, члены которых не образуют прогрессии.

Пример:

Вычислить следующую сумму:

Решение:

Умножим обе части равенства (5) на q:

Вычитая из равенства (5) почленно равенство (6), получим

Если Поэтому

Если q =1, то

Ответ.

Геометрическое представление числовой последовательности

Каждое вещественное число изображается точкой на числовой оси. Последовательность чисел изображается последовательностью точек. Если задана числовая последовательность, то тем самым задана и изображающая ее последовательность точек и наоборот.

Каждому свойству числовой последовательности соответствует определенное свойство изображающей ее последовательности точек и наоборот. В силу этого вместо числовой последовательности можно рассматривать соответствующую ей последовательность точек. Например, если числовая последовательность ограничена, соответствующая ей последовательность точек расположена вся на отрезке конечной длины.

Принято для обозначения точек употреблять те же знаки, которыми обозначаются соответствующие им числа. Например, точка 2 есть точка, изображающая число 2. Такой же смысл имеют выражения: точка точка точка а.

Предел числовой последовательности

Числовые последовательности имеют очень широкое применение в математике и в ее приложениях. Главным образом применяются те (бесконечные) последовательности, которые имеют предел.

Прежде чем дать определение, понятия «предел», рассмотрим следующие примеры.

1. Рассмотрим последовательность

общий член которой Она изображена на рис. 74. Наблюдая за расположением точек последовательности, легко заметить,

что они все ближе и ближе подходят к нулю, накапливаются около нуля.

Пусть e — любое положительное число. Возьмем на числовой оси отрезок длиной 2e с центром в точке 0. Найдется такой номер N, что всякая точка последовательности с номером, большим IV, будет находиться внутри этого отрезка.

Число N, конечно, зависит от числа е. Чем меньше е, тем вообще больше будет N Если, например, за N можно принять 10.

Действительно, точки

все находятся внутри отрезка

Конечно, за N можно здесь принять и любое целое число, большее 10. Например, можно считать, что N = 100, так как точки

опять все находятся внутри отрезка

Если можно принять 1000 (а также любое целое число, бoльшее 1000).

1. Рассмотрим последовательность

общий член которой изображается на числовой оси последовательностью точек, накапливающихся около 1 (рис. 75). Возьмем на числовой оси отрезок длиной 2e с центром в точке 1. Здесь

также найдется такой номер N (N и здесь, конечно, зависят от е), что всякая точка последовательности с номером, бoльшим N, будет находиться внутри этого отрезка или, что все равно, на расстоянии, меньшем е от 1.

Пусть, например, Все точки находятся от 1 на расстоянии, меньшем чем Так, первая из этих точек находится от 1 на расстоянии , вторая на расстоянии и т. д. Таким образом, при за N можно принять 25 (а также любое целое число, бoльшее чем 25).

Отличие рассматриваемой последовательности от последовательности, рассмотренной в первом примере, заключается только в том, что здесь точки последовательности накапливаются не около 0, а около 1 и что все точки последовательности расположены справа от 1, в то время как в примере (1) они располагались справа и слева от 0.

1. Рассмотрим последовательность

общий член которой Она изображается на числовой оси последовательностью точек, которые нигде не накапливаются (рис. 76).

Возьмем на числовой оси отрезок длиной 1 с центром в произвольной точке. Здесь не удастся указать такой номер N, что

всякая точка с номером, большим N, будет лежать внутри этого отрезка.

1. Рассмотрим последовательность

общий член которой Она изображается последовательностью точек А₁,A₂ … (рис. 77). Точки с нечетными номерами

совпадают с. нулем, а точки с четными номерами совпадают с единицей.

Возьмем на числовой оси отрезок длиной ½ с центром в произвольной точке. Здесь не удастся указать такой номер N, что всякая точка с номером, большим N, будет лежать внутри этого отрезка. Всегда либо точки, совпадающие с нулем, либо точки, совпадающие с единицей, либо и те и другие будут лежать вне такого отрезка, а номера у этих точек могут быть сколь угодно большие. Здесь каждый раз при переходе к следующему значению точка совершает скачок от нуля к единице или наоборот.

Определение:

Число а называется пределом последовательности, если для каждого положительного числа е, сколь бы мало оно ни было, существует такой номер N, что все точки последовательности, у которых номер больше N, будут находиться от а на расстоянии, меньшем чем е.

Для того чтобы точка b находилась на числовой оси на расстоянии, меньшем е, от точки а, необходимо и достаточно, чтобы

На основании этого определение предела можно сформулировать гак: Число а называется пределом последовательности

если для каждого положительного числа е, сколь бы мало оно ни было, существует такой номер N, что все значения у которых номер n > N, удовлетворяют неравенству

Это же определение можно сформулировать и так: Число а называется пределом последовательности

если члены последовательности, начиная с некотооого места, отличаются от а сколь угодно мало.

Тот факт, что а является пределом последовательности

записывают так:

или так:

Знак ∞ читается «бесконечность». Выражение n → ∞ читается «n стремится к бесконечности» и означает, что n растет неограниченно.

Определение:

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.

Если число а является пределом последовательности, то говорят, что последовательность сходится к а.

Пример:

Доказать, что

Доказательство:

Очевидно, что

Пусть е — произвольное положительное число. Для того чтобы достаточно, чтобы Поэтому за N можно принять любое натуральное число, бoльшее или равное 1/e.

Пример:

Доказать, что

Доказательство:

Ясно, что

Пусть е — произвольное положительное число. Для того чтобы достаточно; чтобы Поэтому за N можно принять любое натуральное число, бoльшее или равное 2/e.

Теоремы о пределах

Теорема:

Последовательность не может иметь двух пределов.

Доказательство:

Предположим, что последовательность

имеет два предела а и b, причем b > а. Возьмем на числовой оси два равных отрезка Ка и Кb с центрами в точках а и b столь малой длины, чтобы они не имели общих точек (рис. 78). Например, длины

Так как а — предел последовательности, существует такой номер N₁ что все точки последовательности, номера которых больше N₁

находятся внутри отрезка Ка. Так как b тоже предел последовательности, существует такой номер N₂, что все точки последовательности, номера которых больше Nнаходятся внутри отрезка Кb

Возьмем N столь большим, чтобы оно было больше N₁ и N₂,. Тогда все точки номера которых больше N₂, должны лежать и внутри отрезка Ка и внутри отрезка Кb. Это, однако, невозможно.

Теорема:

Предел последовательности не меняется от того, что в начале ее приписано или исключено конечное число членов.

Доказательство:

Пусть последовательность

имеет пределом число а. Припишем к последовательности (1) в начале ее, например, 100 каких-нибудь членов. Получим последовательность

При этом и т. д. Вообще

Возьмем на числовой оси произвольный отрезок с центром в а, тогда найдется такой номер N, что всякая точка номер которой больше N, будет лежать внутри этого отрезка. Это означает, что внутри этого отрезка будут лежать все точки последовательности (2), номера которых больше чем 100 + N, т. е. число а — предел последовательности (2). Точно так же можно доказать, что из сходимости к числу а последовательности (2) вытекает сходимость к этому же числу и последовательности (1).

Следствие:

Если, начиная с некоторого номера, соответственные члены двух последовательностей (т. е. члены с одинаковыми номерами) равны и одна из них имеет предел, то и другая имеет тот же предел.

Доказательство:

Пусть последовательность {} имеет пределом а и члены ее, начиная с (k + 1)-го, равны соответствующим членам последовательности {}, т. е. и т. д. Требуется доказать, что

Исключим из последовательностей {} и первые k членов. Получим две последовательности

которые будут совпадать всеми своими членами.

Последовательность (3) на основании теоремы 2 имеет пределом а. Значит, и последовательность (4) тоже имеет пределом а. А тогда на основании теоремы 2

Полученный результат называется теоремой о предельном переходе в равенстве и коротко может быть сформулирован так:

Если, начиная с некоторого номера, существует, то существует и и

Например, последовательности, общие члены которых

т. е. последовательности

имеют один и тот же предел, равный нулю. Если из первой последовательности исключить первые пять членов, а из последней первые десять членов, они будут совпадать всеми своими членами со второй.

Теорема:

Если каждый член сходящейся последовательности не менее соответствующего члена другой сходящейся последовательности, то и предел первой не менее предела второй.

Доказательство:

Пусть

и, кроме того, при всех n. Требуется доказать, что a ≥ b

Допустим, что а < b. Построим изображения обеих последовательностей на одной оси (рис. 79). Возьмем на числовой оси два равных отрезка Ка и

Кb с центрами в точках а и b столь малой длины, чтобы они не имели общих точек. Например, длины

Существует такой номер N₁, что при всех n > N₁ точки будут лежать внутри отрезка Ка. Точно так же существует такой номер N₂, что при всех n > N₂ точки будут лежать внутри отрезка Кb

Возьмем N столь большим, чтобы оно было больше и N₁ и N₂. Тогда все точки номера которых больше N, должны лежать внутри отрезка Ка, а соответствующие им точки — внутри отрезка Кb- Это, однако, невозможно, так как ни одна точка не может лежать левее соответствующей точки

Эта теорема называется теоремой о предельном переходе в неравенстве.

Замечание:

Не следует думать, что из строгого неравенства

которому удовлетворяют соответствующие члены двух сходящихся последовательностей, вытекает, что В теореме 3 доказано, что

Например, пусть

Тогда при всех n

Однако

Теорема:

Если члени некоторой последовательности заключены между соответствующими членами двух последовательностей, сходящихся к одному пределу, то и эта последовательность сходится к тому же пределу.

Доказательство:

Имеем при всех n. Кроме того,

Построим изображения всех трех последовательностей на одной, оси.

Возьмем на числовой оси произвольный отрезок К с центром в а. Существует, такой номер N₁ что точки , номера которых больше N₁ лежат внутри отрезка К. Существует такой номер N₂, что все точки , номера которых больше N₂ , лежат внутри того же отрезка.. Возьмем N столь большим, чтобы оно было больше N₁ и N₂ . Внутри отрезка К должны лежать и все точки и все точки , номера которых больше N.

По условию, всякая точка лежит между соответствующими точками и . Значит, при n > N все точки должны находиться внутри отрезка К. Это и означает, что

Например, при всех n

Кроме того, Значит,

Теорема:

Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Доказательство:

Пусть Возьмем на числовой оси произвольный отрезок с центром в а. Начиная с некоторого номера N, все точки последовательности лежат внутри этого отрезка и лишь конечное число точек лежит вне его.

Из точек, лежащих вне построенного отрезка, выберем ту, которая отстоит от а на наибольшем расстоянии d. Теперь возьмем на числовой оси отрезок с центром в а и длиной больше 2d. Внутри этого отрезка должны лежать все точки последовательности.

Теорема доказана.

Замечание:

Обратная теорема не верна, т. е. не всякая ограниченная последовательность имеет предел. Например, последовательность

общий член которой

ограничена, а предела не имеет.

Арифметические операции над последовательностями

Даны две последовательности

и

Составим суммы

Совокупность чисел

есть последовательность. Действительно, если известен номер n, то известны и и , а тогда известна и их сумма .

Определение. Суммой двух или нескольких последовательностей называется такая последовательность, каждый член которой является суммой соответствующих членов слагаемых последовательностей.

Пример:

Сложить последовательности

общие члены которых

Решение:

Суммой является последовательность

общий член которой равен сумме общих членов слагаемых последовательностей

Ответ.

Равенство выражает определение суммы двух последовательностей. Точно так же равенства

выражают определения разности, произведения и частного двух последовательностей. Разумеется, что частное имеет смысл только тогда, когда отлично от нуля при всех n. Например,

Очевидно, что общий член суммы двух или нескольких последовательностей равен сумме их общих членов, общий член разности двух последовательностей равен разности их общих членов и т. д.

Для вывода теорем этого параграфа потребуется следующая теорема:

Абсолютная величина суммы двух слагаемых не превосходит суммы абсолютных величин слагаемых, т. е.

Доказательство. Если а и b одного знака или хоть одно из них равно нулю, то

Если а и b разных знаков, то

Методом математической индукции можно доказать, что теорема справедлива для любого числа слагаемых.

Теорема:

Сумма двух последовательностей, сходящихся к нулю, есть последовательность, сходящаяся к нулю.

Доказательство:

Пусть

Возьмем на числовой оси отрезок с центром в 0 произвольной длины 2е. Существует такой номер N₁, что все точки номера которых больше N₁ лежат внутри построенного отрезка, т. е.

Точно так же существует такой номер N₂ такой, что все точки номера которых больше N₂, лежат внутри того же отрезка, т. е.

Возьмем N столь большим, чтобы оно было больше N₁ и N₂. Тогда при n > N будут одновременно выполняться неравенства (5) и (6). Значит, при n > N выполняется неравенство

но

значит,

Так как 2е может быть сколь угодно малым, последнее неравенство означает, что

Методом математической индукции можно доказать, что теорема справедлива для любого числа слагаемых.

Теорема:

Если последовательность {} имеет пределом число а, то последовательность имеет пределом число а + b, т. е. если

то

Доказательство:

Прибавление к каждому члену последовательности {} числа b означает смещение всей последовательности на длину b вправо, если b > 0, и на длину . | b | влево, если, b < 0. При этом и предел а смещается на направленный отрезок b и занимает положение а + b.

Теорема:

Для того чтобы последовательность имела пределом число а, необходимо и достаточно, чтобы последовательность сходилась к нулю, т. е. для того чтобы

необходимо и достаточно, чтобы

Необходимость:

Пусть Тогда

Достаточность:

Пусть . Тогда

Следствие:

Если последовательность имеет пределом число а, то общий член ее можно представить в виде суммы

причем

Для доказательства достаточно в равенстве

положить

Пример:

Теорема:

Предел суммы двух сходящихся последовательностей равен сумме их пределов, т. е. если

то

Доказательство:

Для доказательства достаточно показать что

Положим

тогда Имеем (теорема 1):

Методом математической индукции можно доказать, что теорема справедлива для любого числа слагаемых.

Пример:

Пусть {} — последовательность десятичных приближенных значений √2 с недостатком с точностью до

, т. е. это последовательность

Пусть {} — последовательность десятичных приближенных значений √3 с недостатком с точностью до. , т. е. {} — последовательность

Тогда последовательность , т. е. последовательность

имеет пределом √2 + √3

Теорема:

Произведение последовательности, сходящейся к нулю, и ограниченной последовательности есть последовательность, сходящаяся к нулю.

Доказательство:

Пусть {} — последовательность, сходящаяся к нулю, а {} — ограниченная последовательность. Требуется доказать, что последовательность сходится к нулю.

Так как по условию последовательность {} ограничена, существует такое положительное число А, что при всех n

Пусть e — произвольное положительное число. Возьмем на числовой оси отрезок с центром в 0 длины . Существует такой номер N, что все точки , номера которых больше N, лежат внутри этого отрезка, т. е.

Абсолютная величина произведения равна произведению абсолютных величин сомножителей. Значит,

На основании неравенств (7) и (8) заключаем, Что при n > N справедливо неравенство

Так как е может быть сколько угодно малым, последнее неравенство означает, что

Следствие:

Произведение последовательности, сходящейся к нулю, на постоянную последовательность есть последовательность, сходящаяся к нулю.

Для доказательства достаточно указать на то, что постоянная последовательность ограничена.

Следствие:

Произведение двух последовательностей, сходящихся к нулю, есть последовательность, сходящаяся к нулю.

Для доказательства достаточно указать на то, что последовательность, сходящаяся к нулю, как и всякая сходящаяся последовательность, ограничена.

Пример:

Последовательность сходится к нулю, последовательность ограничена, значит, последовательность сходится к нулю. При нечетных n члены последовательности Равны нулю, и, таким образом, среди членов последовательности имеется бесконечное количество членов, равных пределу последовательности.

Теорема:

Предел произведения двух сходящихся последовательностей равен произведению их пределов, т. е. если

то

Доказательство:

Для доказательства достаточно показать, что

Положим

тогда

Имеем

На основании теоремы о пределе суммы последовательностей

Каждое слагаемое в правой части последнего равенства равно нулю. Поэтому

Методом математической индукции можно доказать, что теорема справедлива для любого числа сомножителей.

Пример:

Пусть {} — последовательность десятичных приближенных значений √2 с недостатком с точностью до , т. е. последовательность

Пусть последовательность десятичных приближенных значений √3 с недостатком с точностью до , т. е. последовательность,

Тогда последовательность , т. е. последовательность

имеет пределом своим

Пример:

Последовательность (см. предыдущий пример), т. е. последовательность

имеет пределом своим

Теорема:

Предел частного двух сходящихся последовав тельностей равен частному их пределов, если только предел делителя отличен от нуля, т. е. если

то

Доказательство:

Для доказательства достаточно показать, что

Положим

тогда

Имеем

Последовательность на основании теоремы 6 имеет пределом b²

Возьмем на числовой оси отрезок с центром в b² и длиной b² (рис. 80). Существует такой номер N, что все точки , номера которых больше N, лежат внутри построенного отрезка. Таким образом, при n > N

и, следовательно,

Последнее неравенство означаем что последовательность ограничена,

Кроме того, последовательность сходится к нулю, а потому последовательность

сходится к нулю, т. е.

Монотонные последовательности

Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными, а также монотонно возрастающими, монотонно убывающими. При этом возможно как строгое, так и нестрогое возрастание или убывание. Весьма важное значение имеет следующая теорема.

Теорема:

Всякая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел.

Теорема дается здесь без доказательства, мы лишь разъясним ее геометрический смысл.

Пусть —монотонно возрастающая последовательность. Это значит, что переход от каждой точки последовательности к следующей производится посредством некоторого передвижения вправо по числовой оси (рис. 81), Если последовательность возрастает нестрого,

то возможно, что , и таким образом, переход

производится без продвижения по числовой оси.

Если последовательность при этом ограничена, то существует такая точка А, правее которой не может находиться ни одна точка последовательности. Точка А является преградой, через которую точка последовательности перешагнуть не может.

Теорема утверждает, что существует точка В, к которой последовательность сходится; Эта точка В может совпадать с А, а может находиться и левее А.

Точно так же разъясняется смысл утверждения в случае, когда последовательность убывает и ограничена.

Последовательность называется ограниченной сверху, если все члены последовательности меньше некоторого числа. Последовательность называется ограниченной снизу, если все члены последовательности больше некоторого числа.

Всякая монотонная возрастающая последовательность ограничена снизу. Действительно, все члены последовательности больше любого числа, меньшего, чем ее первый член.

Всякая монотонная убывающая последовательность ограничена сверху. Действительно, все члены последовательности меньше любого числа, большего, чем ее первый член.

На основании этого теорему 1 можно сформулировать так:

Всякая монотонная возрастающая и ограниченная сверху последовательность имеет предел.

Всякая монотонная убывающая и ограниченная снизу последовательность имеет предел.

Теорема:

Если последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, последовательность монотонно убывает и ограничена снизу и при этом их разность сходится к нулю, то обе последовательности и имеют общий предел.

Доказательство:

На основании теоремы о монотонной ограниченной последовательности каждая из последовательностей и имеет предел. Остается только доказать, что их пределы совпадают.

Пусть

Тогда

По условию, Значит, а = b.

Следствие:

Если монотонно возрастающая последовательность и монотонно убывающая последовательность имеют общий предел, то предел этот является единственным числом, которое не меньше любого члена возрастающей последовательности и не больше любого члена убывающей последовательности.

Доказательство:

Пусть

Так как последовательность возрастает, при любом n. Так как последовательность убывает, при любом n. Таким образом, число а не меньше любого члена последовательности и не больше любого члена последовательности .

Допустим, что число b обладает тем же свойством, т. е. при любом n Тогда на основании теоремы 3 § 6

Но

а потому

Этот результат был изложен в § 11 гл. I. Там же дана геометрическая иллюстрация этого вопроса.

Пример:

Пусть есть последовательность десятичных приближенных значений √2 с недостатком с точностью до , т. е. последовательность

Пусть —последовательность десятичных приближенных значений √2 с избытком с точностью до , т. е. последовательность

Последовательность монотонно возрастает, а последовательность монотонно убывает. Любой член последовательности больше любого члена последовательности , а потому последовательность ограничена сверху, а последовательность ограничена снизу. Наконец

Все сказанное дает право утверждать, что последовательности и имеют общий предел. Этот предел и называется значением √2.

Таким образом, точным значением √2 является единственное число, которое больше всех приближенных значений , вычисленных с недостатком, и меньше всех приближенных значений √2, вычисленных с избытком.

Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии

Рассмотрим предварительно следующие две теоремы.

Теорема:

Если h > 0 и натуральное n > 1, то

Доказательство:

Доказательство проведем методом математической индукции. При n = 2 утверждение справедливо, так как

Предположим, что утверждение справедливо при n = k, где k — некоторое натуральное число, т. е.

Докажем, что тогда утверждение справедливо и при n = k—1, т. е.

Умножив обе части неравенства (2) на положительное число 1+h, получим

Замечание:

Теорема доказана в предположении, что h > 0. Как видно из доказательства, теорема справедлива и при более общих предположениях. Именно, достаточно, чтобы h было больше — 1, но отлично от нуля. (При h = 0 неравенство (1) несправедливо.)

Теорема:

Если т. е. неограниченно возрастает.

Если т. е. неограниченно убывает.

Доказательство:

Пусть |q | > 1 и М — сколь угодно большое положительное число. Положим |q | = 1+h тогда На основании предыдущей теоремы

или, что все равно,

Для того чтобы было больше М, достаточно, чтобы

Последнее неравенство выполняется при всех n, больших чем

Таким образом, при

Это и означает, что неограниченно возрастает. Первая часть утверждения доказана.

Пусть 0 < | q | < 1. Положим , тогда . Пусть теперь

e — сколь угодно малое положительное число. По доказанному, существует такое N, что при N

а тогда т. е.

Последнее неравенство и означает, что неограниченно убывает. Вторая часть утверждения доказана.

Сумма первых n членов бесконечной геометрической прогрессии

может быть вычислена по формуле

Придавая в этой формуле числу n значения 1, 2, 3, 4,…, получим бесконечную последовательность

общий член которой задан формулой (4). Суммы называются частичными суммами бесконечной геометрической прогрессии.

Если при возрастании n растет, неограниченно. Действительно,

Выражение при всех n сохраняет одно и то же значение,a при возрастании n растет по абсолютной величине неограниченно. В связи с этим растет неограниченно| | а вместе с тем и

Это означает, что при | q | > 1 последовательность (5) предела не имеет. Не имеет предела последовательность (5) также и при q = 1 и q =-1. В первом случае

и следовательно, при возрастании n растет неограниченно. Во втором случае общий член последовательности (5) имеет вид

а сама последовательность (5) имеет вид

Следующая теорема показывает, что при | q | < 1 последовательность (5) имеет предел:

Теорема:

Предел последовательности частичных сумм бесконечной геометрической прогрессии, знаменатель которой по абсолютной величине меньше единицы, равен частному от деления nepeqzo члена на разность между единицей и знаменателем прогрессии. Доказательство.

Так как а величина постоянна, то

Определение:

Предел последовательности частичных сумм членов бесконечной прогрессии называется суммой членов этой прогрессии.

Это определение дает возможность доказанную теорему 3 сформулировать иначе:

Теорема:

Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии, знаменатель которой по абсолютной величине меньше единицы, равна частному от деления первого члена на разность между единицей и знаменателем прогрессии.

Пример:

Найти сумму членов геометрической прогрессии

Решение:

Здесь а потoму

Замечание:

Геометрическую прогрессию, знаменатель которой по абсолютной величине меньше единицы, коротко, но неточно, называют бесконечно убывающей прогрессией. В Действительности, такая прогрессия будет убывающей в смысле определения, данного в §3, если первый член ее положителен и 0 < q < 1

Обращение десятичной периодической дроби в обыкновенную

Из арифметики известно, что при обращении некоторых обыкновенных дробей в десятичные получается бесконечная десятичная периодическая дробь.

Изложенное в этой главе дает возможность решить задачу, обратную той, которая решалась в арифметике: найти обыкновенную дробь, при обращении которой в десятичную получилась данная периодическая дробь.

Пример:

Дана периодическая дробь 0, (12). Найти обыкновенную дробь, при обращении которой в десятичную получилась данная периодическая дробь.

Решение:

Эта дробь может быть представлена в виде суммы

0,12 + 0,0012 + 0,000012 ;…

т. е. в виде суммы членов бесконечной геометрической прогрессии

0,12; 0,0012; 0,000012;…

На основании результатов § 9 эта сумма равна

Ответ.

Те же рассуждения, которые приведены в примере, можно провести в общем виде, рассматривая бесконечную десятичную периодическую дробь

где обозначают цифры, — число, записанное этими цифрами. Тогда получится такой общий результат:

Например,

Пример:

Найти обыкновенную дробь, при обращении которой в десятичную получилась периодическая дробь 0,1 (2).

Решение:

Дробь 0,1(2) может быть представлена в виде суммы

Так как члены этой суммы, начиная со второго, образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 0,1, имеем

Ответ.

Можно доказать, что для обращения смешанной периодической дроби в обыкновенную справедлива формула

Пример:

Пример:

Последовательность — основные понятия и определения

Предел последовательности. Числовая последовательность

Рассмотрим некоторую занумерованную совокупность, состоящую из т чисел:

расположенных в порядке их нумерации. Будем говорить, что они образуют конечную последовательность, состоящую из m членов (или последовательность длины m). При этом членами последовательности называются числа , из которых составлена эта последовательность.

Так же можно рассмотреть и бесконечную последовательность чисел

В этой записи многоточие в конце строки указывает на то, что за последним из выписанных членов следует еще бесконечное множество дальнейших членов последовательности.

Таким образом, конечной или бесконечной последовательностью называется, соответственно, конечное или бесконечное занумерованное множество чисел, расположенных в порядке возрастания номеров.

Член последовательности с номером, пробегающим в случае конечной последовательности значения , а в случае бесконечной — весь натуральный ряд чисел , называется общим членом последовательности. Если — общий член последовательности, то конечная последовательность длины m записывается также в виде

а бесконечная — в виде

Последовательность (83.1) или (83.2) считается заданной, если известно правило, по которому можно определить любой ее член (для конечной последовательности также задается и число членов).

Поскольку общий член последовательности определяется своим номером, то можно рассматривать его как функцию этого номера; говорят, что он является функцией натурального аргумента: . Часто эта функция задается формулой, определяющей общий член через его номер n, например: , , или . Тогда последовательность записывается в виде

соответственно.

Последовательность может также задаваться правилом, по которому находят каждый ее член, если известны предыдущие. Пример: указано, что первые два члена последовательности равны единице, а каждый следующий равен сумме двух непосредственно предшествующих ему. Находим: по условию , . Теперь , , и т. д. Получаем последовательность чисел

(называемых числами Фибоначчи).

Еще один пример задания последовательности, при котором не удается записать формулы, выражающей ее общий член: последовательность десятичных знаков(цифр) в записи числа :

3, 1, 4, 1, 5, 9, …

Последовательность называется монотонно возрастающей (неубывающей), если каждый ее член, начиная со второго, больше (не меньше) предыдущего. Аналогично определяется монотонно убывающая (невозрастающая) последовательность. Такие последовательности называются просто монотонными (если не существенно, убывает или возрастает член последовательности). Ясно, что понятие монотонной последовательности есть то же понятие монотонной функции для случая аргумента, принимающего натуральные значения. Из трех последовательностей (83.5)—(83.7) первая является монотонно возрастающей, вторая — монотонно убывающей, а третья — немонотонной. Проверить эти утверждения можно, рассматривая знак разности между последующим и предыдущим членами последовательности.

Если можно указать такое число М, что все члены бесконечной последовательности оказываются не больше М, т. е. если для всех п выполнится неравенство

то последовательность называется ограниченной сверху числом М. Если можно указать такое число m, что для всех n выполнится неравенство

то последовательность называется ограниченной снизу числом m. Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и снизу и сверху, т. е. если существуют такие числа m и М, что для всех « выполняется неравенство

Так, например, последовательность (83.5) ограничена снизу числом m = 1, но не ограничена сверху. Последовательность (83.6) ограничена: сверху числом М = 1, снизу — числом m = 0. Последовательность

не ограничена ни снизу, ни сверху. Последовательность

ограничена снизу и сверху. За ее границы можно принять, например, числа m = 0 и M = 2.

Ясно, что всякая конечная последовательность ограничена. Последовательность, все члены которой равны одному и тому же числу с, называется постоянной последовательностью; в этом случае . Любая постоянная последовательность ограничена.

Можно определить арифметические действия над двумя или несколькими последовательностями. Так, например, под суммой двух последовательностей и понимают третью последовательность , общий член которой определен равенством

т. е. представляет собой сумму общих членов последовательностей-слагаемых. Аналогичным образом определяются и другие арифметические действия над последовательностями.

Предел числовой последовательности

Пример:

Рассмотрим бесконечную последовательность

Ее общий член

отличается от единицы на 1/(n + 1); по мере увеличения номера n разность между единицей и общим членом последовательности, равная 1/(n + 1), будет все более приближаться к нулю. При п > 99 эта разность будет меньше 0,01, при n > 999 —меньше 0,001 и т. д.

Пример:

Последовательность

обладает тем свойством, что ее члены по мере возрастания n приближаются к числу 2. Действительно, если мы составим разность между общим членом последовательности и числом 2:

то увидим, что с увеличением n она будет приближаться к нулю; так, она будет меньше 0,01 при n > 300, меньше 0,001 при п > 3000 и т. д.

Приближение членов последовательности (84.1) к 1 идет в процессе монотонного возрастания этих членов. Напротив, в примере 2 последовательность (84.2) убывает, ее члены, приближаясь к 2, остаются все же больше 2.

Пример:

У последовательности

члены попеременно отрицательные и положительные, они все более приближаются к нулю при возрастании п, но их величины поочередно то больше, то меньше нуля.

Пример:

Члены последовательности

которая в подробной записи имеет вид

попеременно больше нуля, равны нулю, меньше нуля. При этом также происходит неограниченное сближение члена последовательности с нулем по мере возрастания п.

Общим для всех рассмотренных примеров является неограниченное приближение величины члена последовательности к некоторому постоянному числу (1, 2, 0 и 0 соответственно). В таких случаях говорят, что это постоянное число является пределом данной последовательности при п, стремящемся к бесконечности .

Приведенные примеры 1—4 подводят нас к понятию предела; необходимо дать ему четкое определение.

Число а называется пределом числовой последовательности при п, стремящемся к бесконечности, если для любого положительного числа е существует такое число N, что для
(84.2) всех п, удовлетворяющих неравенству п > N, выполняется неравенство

Если а является пределом последовательности , то пишут:

где lim (читается как «предел») — первые буквы латинского слова «limes» (предел).

В примерах 1—4 соответственно

Приведем некоторые пояснения к сформулированному определению предела последовательности.

1. Разность между членом последовательности и ее пределом рассматривается по модулю, так как несущественно, приближается ли к а, оставаясь меньше а (как говорят «снизу»), больше а («сверху») или становясь попеременно то больше, то меньше, чем а, и даже принимая значения, равные а. В разобранных примерах мы видели эти случаи: п/(п + 1) стремится к 1 снизу, (2п + 3)/п стремится к 2 сверху, колеблется, становясь то меньше, то больше своего предела, равного нулю. Наконец, члены последовательности имеют значения то большие, то меньшие, то равные своему пределу. Во всех случаях важно лишь, чтобы разность между и а становилась меньше любого положительного числа по абсолютной величине. В частности, предел постоянной последовательности равен ее членам.
2. В формулировке понятия предела, говоря о числе > 0, иногда пишут: «сколь угодно малое > 0». В этом нет необходимости, так как любое число означает: в том числе и сколь угодно малое.
3. Воз.вращаясь к примеру 1, заметим, что, например, при = 0,01 неравенство

выполняется, как уже отмечалось, при п > 99, а при = 0,001 — лишь при условии п > 999. Таким образом, когда мы задаем разные значения :

то им соответствуют, вообще говоря, разные N (N = 99, N = 999 и т. д.). Таким образом, N в определении предела, как число, находимое при заданном , может зависеть от . Поэтому обычно пишут N = N().

4. Пусть последовательность сходится к пределу а: . Будем изображать члены последовательности точками числовой оси;

пусть на числовой оси также отмечена точка с абсциссой а (рис. 70). Если задано некоторое > 0, то неравенство (выполняющееся при п > N, т. е. для всех членов последовательности, начиная с некоторого) равносильно неравенствам

и означает, что точки (при n > N) отстоят от а меньше чем на . Иными словами, они лежат в интервале , который называется -окрестностью точки а (п. 30). Эти соображения позволяют дать равносильную формулировку понятия предела с помощью термина «окрестность»: число а называется пределом последовательности , если, какова бы ни была заданная окрестность точки а, все члены последовательности, начиная с некоторого, лежат в этой окрестности. «Начиная с некоторого» здесь то же самое, что «при n > N».

Далеко не всякая последовательность имеет предел. Так, последовательности

не имеют предела.

Первая из этих последовательностей неограниченная; можно доказать, что неограниченная последовательность не имеет предела: ее члены не могут все, начиная с некоторого, помещаться в окрестности одной точки.

Вторая последовательность ограниченная, но тоже не имеет предела. Все ее члены имеют либо значение +1, либо значение —1, причем тех и других бесконечно много. Они также не могут помещаться в окрестности, длина которой .

Если последовательность имеет предел , то ее называют сходящейся. Говорят, что последовательность сходится к а. Если последовательность не имеет предела, то ее называют расходящейся. В частности, все неограниченные последовательности суть расходящиеся.

Если последовательность сходящаяся, т. е. имеет предел а, то этот предел единственный: последовательность не может сходиться к двум различным пределам а и а’. Поясним этот факт, обращаясь к рис. 71. Если бы и а и а’ были пределами последовательности , то все ее члены, начиная с некоторого, попадали бы в обе окрестности, показанные на рис. 71. Если мы взяли окрестности точек а и а’ достаточно малыми, так что они не перекрываются, то члены последовательности не могут одновременно помещаться в обеих окрестностях, т. е. точки а и а’ не могут обе быть пределами последовательности .

Итак, последовательность может иметь или не иметь предела; если она имеет предел, то вполне определенный, единственный.

Встают вопросы: как узнать, имеет ли данная последовательность предел, и, если имеет, как его найти? На эти вопросы мы дадим лишь частичный ответ.

Достаточное условие существования предела (теорема Вейерштрасса)

Если последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, то она сходится. Если последовательность монотонно убывает и ограничена снизу, то она сходится.

Заметим, что пример 1 как раз дает образец последовательности, монотонно возрастающей и ограниченной сверху (все ее члены меньше единицы). Она имеет предел. Последовательность монотонно убывает и ограничена снизу (все ее члены больше нуля). Она также имеет предел. Заметим, что существование предела обеспечивается сочетанием свойств монотонности и ограниченности.

Рассмотрим последовательность

эта последовательность не ограничена сверху. Более того, она обладает особым свойством: каково бы ни было данное число М > 0, можно указать такое число N, что при n > N будет иметь место неравенство

Действительно, достаточно лишь взять , как будем иметь при n > N

В связи с этим дадим определение положительной бесконечно большой последовательности: последовательность называется положительной бесконечно большой при , если для любого числа М > 0 можно указать такое число N, что при всех n, удовлетворяющих неравенству n > N, будет выполняться неравенство

Иначе это можно сформулировать так: последовательность называется положительной бесконечно большой, если, каково бы ни было данное число М, все члены последовательности, начиная с некоторого, превосходят М.

Пишут: , но здесь знак lim употребляется условно, так как символ бесконечности () не является числом, бесконечно большая последовательность должна рассматриваться как расходящаяся.

Так можно определить и отрицательные бесконечно большие последовательности. В этом случае пишут: .

Бесконечно малые. Правила предельного перехода

Если последовательность сходится к нулю:

то она называется бесконечно малой последовательностью. Говорят также, что ее общий член является при бесконечно малой величиной. Бесконечно малыми являются последовательности (84.3) и (84.4).

Если мы применим формулировку понятия предела к случаю бесконечно малой последовательности, т. е. к случаю, когда предел равен нулю, то придем к такому определению бесконечно малой последовательности (равносильному данному выше): последовательность называется бесконечно малой, если для любого заданного найдется такой номер N, что при всех n > N будет иметь место неравенство .

Сформулируем некоторые полезные теоремы о бесконечно малых последовательностях (и для примера докажем первую из них).

Теорема:

Сумма двух или нескольких бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство проведем для случая суммирования двух последовательностей. Пусть последовательности и бесконечно малые. Если — последовательность, полученная их сложением, то она также будет бесконечно малой. Действительно, пусть задано произвольное положительное число . В силу того, что бесконечно малая, найдется число N’ такое, что будет меньше числа при n > N’. Аналогично и для второй последовательности можно указать (вообще говоря, другое) число N» такое что при n > N» будем иметь . Теперь, если n больше большего и?, чисел N’, N», то одновременно

Но тогда, по свойству «модуль суммы не превосходит суммы модулей» (п.74, свойство 13), найдем

что и докажет требуемое утверждение: последовательность бесконечно малая (mах (N’, N») читается как «большее из двух чисел N’ и N’‘»),

Теорема:

Произведение ограниченной последовательности на последовательность, сходящуюся к нулю, есть последовательность, сходящаяся к нулю.

Из этой теоремы, в частности, следует, что произведение постоянной величины на бесконечно малую, так же как произведение нескольких бесконечно малых друг на друга, является бесконечно малой величиной. Действительно, постоянная величина всегда есть величина ограниченная. То же относится и к бесконечно малой. Поэтому, например, произведение двух бесконечно малых можно истолковать как произведение бесконечно малой на ограниченную.

Теорема:

Частное от деления последовательности, сходящейся к нулю, на последовательность, имеющую предел, отличный от нуля, есть последовательность, сходящаяся к нулю.

Следующая теорема позволяет использовать бесконечно малые при доказательствах теорем о пределах (теоремы 6—8).

Теорема:

Общий член последовательности, имеющей предел, можно представить как сумму этого предела и бесконечно малой величины.

Доказательство:

Пусть дана последовательность такая, что

Из определения предела следует:

для всех п, удовлетворяющих неравенству . Обозначим и тогда получим, что для указанных значений n будет

т. е. что есть бесконечно малая величина. Но

а это и доказывает нашу теорему.

Верна и обратная

Теорема:

Если общий член последовательности отличается от какой-либо постоянной величины на бесконечно малую величину, то эта постоянная является пределом данной последовательности.

Теперь мы рассмотрим правила предельного перехода, сформулированные в следующих трех теоремах.

Теорема:

Предел суммы двух или нескольких последовательностей, имеющих предел, равен сумме этих пределов:

Доказательство:

Пусть даны последовательности и такие, что

Тогда на основании теоремы 4 мы можем записать:

где и — некоторые бесконечно малые последовательности. Сложим два последних равенства:

Величина (a + b), как сумма двух постоянных а и b, постоянна, , как сумма двух бесконечно малых последовательностей, по теореме 1 есть бесконечно малая последовательность. Отсюда и из теоремы 5 заключаем, что

или

а это и нужно было доказать.

Доказательство, которое мы сейчас провели, можно без труда обобщить на случай алгебраической суммы любого числа заданных последовательностей.

Теорема:

Предел произведения двух или нескольких последовательностей, имеющих предел, равен произведению пределов этих последовательностей:

Доказательство:

Пусть , . Тогда имеем

где , — бесконечно малые последовательности. Находим

где скобками объединена сумма трех бесконечно малых последовательностей, которая и сама является бесконечно малой последовательностью. Произведение отличается от ab на бесконечно малую последовательность, и потому

что и требовалось доказать.

Доказательство в случае большего числа сомножителей проводится аналогично.

Из теоремы 7 вытекает

Следствие:

Постоянный множитель выносится за знак предела:

(можно рассматривать постоянный множитель как член постоянной последовательности и применить теорему 7 и положение о том, что предел постоянной последовательности равен ее членам).

Теорема:

Предел частного двух последовательностей, имеющих предел, решен частному от деления этих пределов при условии, что предел делителя отличен от нуля.

Записать утверждение этой теоремы можно так: если

то

Арифметическая прогрессия — основные понятия и определения

Формула общего члена

Арифметической прогрессией называется такая последовательность, у которой каждый ее член, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же (определенным для данной последовательности) числом d, называемым разностью прогрессии.

Натуральный ряд чисел дает пример бесконечной арифметической прогрессии с разностью d = 1, а последовательность нечетных и четных чисел —примеры бесконечных арифметических прогрессий, у каждой из которых разность d = 2.

Арифметическая прогрессия при есть монотонная последовательность: если d > 0, то прогрессия возрастает, если d < 0, то прогрессия убывает; при d = 0 она постоянна. Бесконечные арифметические прогрессии, у которых , как последовательности неограниченные, предела не имеют. Они дают пример расходящихся последовательностей. Пусть последовательность

представляет собой арифметическую прогрессию с разностью d. Выведем формулу, выражающую общий член прогрессии через ее первый член , разность d и номер n. С этой целью заметим, что по определению арифметической прогрессии

и также

Подставим в правую часть последнего равенства вместо его выражение через и d, взятое из предыдущего равенства, получим

Точно так же с помощью равенства

непосредственно следующего из определения прогрессии, получим

Видна закономерность, по которой общий член прогрессии выражается через , d и n:

Доказательство формулы общего члена (86.1) проведем методом индукции. Мы уже видели, что формула (86.1) верна для n = 2, 3, 4 (впрочем, достаточно проверить ее справедливость хотя бы для n = 1). Предположим, что она верна для некоторого n, и докажем, что в этом случае она верна и для следующего номера n + 1. Запишем выражение , вытекающее из определения арифметической прогрессии:

Подставим сюда выражение (86.1) для ап (для ап формула (86.1) считается верной):

или

но это и есть формула (86.1), записанная уже для номера (n + 1), которую и требовалось доказать.

Пример:

Найти члены арифметической прогрессии, у которой и .

Решение:

По формуле (86.1) находим

Пример:

Найти член арифметической прогрессии, если у нее , а .

Решение:

С помощью формулы (86.1) запишем:

Из полученной линейной системы (п.66) найдем и . Отсюда

Свойства арифметической прогрессии

Рассмотрим некоторые свойства арифметической прогрессии.

1 . Каждый член арифметической прогрессии равен среднему арифметическому его соседних членов (исключение представляет первый член, а у конечной прогрессии также последний член, так как они имеют только по одному соседнему члену).

Доказательство:

Для члена члены и afc+1 будут соседними. По определению прогрессии мы можем написать

откуда

Взяв полусумму полученных равенств, найдем

а это и надо было доказать.

2. У конечной арифметической прогрессии

суммы членов, равноотстоящих от ее концов, равны между собой и равны сумме крайних членов.

Доказательство:

Выпишем несколько пар членов, равноотстоящих от концов прогрессии:

Замечаем, что у каждой такой пары членов сумма их номеров на единицу больше числа членов прогрессии. Таким образом, если на месте от начала прогрессии находится член , то на месте от ее конца находится член . Найдем сумму этих членов, воспользовавшись формулой (86.1):

Но , и поэтому

что и требовалось доказать.

Формула для суммы п членов арифметической прогрессии

Выведем теперь формулу для суммы членов конечной арифметической прогрессии. Для прогрессии, имеющей n членов, обозначим эту сумму через . Запишем выражение суммы дважды, один раз расположив члены прогрессии по возрастанию их номеров, а другой раз — по убыванию:

Сложим эти два равенства:

Всего в правой части имеется n скобок. По свойству 2 (п. 87) суммы, заключенные в этих скобках, все равны между собой и равны сумме, заключенной в первой скобке. Поэтому

откуда

Если теперь мы вместо подставим в формулу (88.1) его выражение через и по формуле (86.1), то после простых преобразований получим следующую вторую формулу для суммы членов арифметической прогрессии:

Пример:

Определить сумму k первых нечетных чисел, начиная с единицы.

Решение:

На k-м месте в последовательности нечетных чисел находится число . Последовательность нечетных чисел есть арифметическая прогрессия, у которой , . По формуле (88.1) находим

откуда

Так, например,

Геометрическая прогрессия — основные понятия и определения

Формула общего члена

Геометрической прогрессией называется такая последовательность, у которой каждый ее член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же (определенное для данной последовательности) число q, называемое знаменателем прогрессии. Предполагается, что .

Если число членов прогрессии конечно, то она называется конечной геометрической прогрессией; в противном случае она называется бесконечной геометрической прогрессией.

Приведем примеры бесконечных геометрических прогрессий:

а) :

3, 12, 48, 192, …

Эта прогрессия знакоположительная, монотонно возрастающая;

б) :

48, -24, 12, -6, 3, -3/2, …

По причине отрицательности q эта прогрессия знакопеременная.

Абсолютная величина членов этой прогрессии убывает в силу того, что | q | < 1. В связи с этим примером введем определение: геометрическая прогрессия называется убывающей, если |q| < 1 (т. е. если ее члены убывают по модулю; заметим, что при q < 0, как в разобранном примере, сами члены прогрессии попеременно меняют знак и убывающей последовательности не образуют, хотя мы и называем прогрессию убывающей).

Пусть последовательность

представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем q. Выведем формулу, выражающую общий член прогрессии через ее первый член знаменатель q и номер n. С этой целью заметим, что по определению геометрической прогрессии

а также

Подставим в правую часть последнего равенства вместо его выражение через и q, взятое из предыдущего равенства:

Точно так же с помощью равенства

прямо следующего из определения прогрессии, получим

Видна закономерность, по которой общий член геометрической прогрессии выражается через , q и n:

Строгое доказательство формулы (89.1) общего члена геометрической прогрессии проводится методом индукции; оно предоставляется читателю.

Пример:

Найти , и геометрической прогрессии, у которой и .

Решение:

По формуле (89.1) имеем

Пример:

Найти геометрической прогрессии, состоящей из действительных чисел, если у нее , . Решение. С помощью формулы (89.1) запишем:

Из полученной системы уравнений (делением) найдем

Последнее уравнение имеет три корня: один действительный, равный 3, и два комплексных сопряженных (см. п. 18 или п. 63). Ограничимся лишь первым из них, так как требуется найти прогрессию, состоящую из действительных чисел. Итак, q = 3, а значит, , и, следовательно,

Из формулы (89.1), выражающей общий член геометрической прогрессии, можно сделать выводы о его поведении при . Именно, в случае q > 1 общий член является бесконечно большой величиной, а в случае 0 < q < 1 — бесконечно малой:

Если знаменатель прогрессии q < 0, то члены прогрессии попеременно меняют знак; все же и в этом случае при |q|<1. Особенно важным является следующее утверждение.

Теорема:

Общий член бесконечно убывающей геометрической прогрессии стремится к нулю:

Доказательство:

Чтобы не рассматривать отдельно случаи q > 0 и q < 0, будем проводить рассуждения для . Так как |q| < 1, то

— абсолютные величины членов прогрессии монотонно убывают. Так как, кроме того, , то последовательность монотонно убывает и ограничена снизу (нулем). По теореме Вейерштрасса она имеет предел; обозначим этот предел через l:

требуется доказать, что l = 0. Для этого запишем:

Перейдем в равенстве (89.2) к пределу при :

Ясно, что также равен l. Поэтому

или l[1 — |q|] = 0, откуда l = 0 (так как ).

Свойства геометрической прогрессии

Напомним, что среднее геометрическое n положительных чисел определяется формулой

В частности, среднее геометрическое двух положительных чисел равно арифметическому значению квадратного корня из их произведения.

Рассмотрим теперь некоторые свойства геометрической прогрессии.

1 . Каждый член знакоположительной геометрической прогрессии представляет собой среднее геометрическое его соседних членов (исключение представляет первый член, а у конечной прогрессии также последний член, так как они имеют только по одному соседнему члену).

Доказательство. Для члена члены и будут соседними. По определению прогрессии имеем

откуда

Перемножим эти равенства, извлечем корень из результата (возьмем его арифметическое значение) и получим

это и надо было доказать.

2 . У конечной геометрической прогрессии произведения членов, равноотстоящих от ее концов, равны между собой и равны произведению крайних членов.

Доказательство:

Так же как и у арифметической прогрессии, на k-м месте от начала и от конца геометрической прогрессии, имеющей n членов, находятся члены и соответственно. Найдем произведение этих членов, воспользовавшись формулой (89.1):

Но , поэтому

что и требовалось доказать.

Формулы для суммы п членов геометрической прогрессии

Выведем теперь формулу для суммы членов произвольной конечной геометрической прогрессии, содержащей п членов. Обозначим эту сумму через . Имеем

Умножим обе части этого равенства на q:

Ho

поэтому

Вычтем теперь из полученного равенства исходное:

Отсюда находим

Здесь, конечно, предполагается, что .

Найдена первая формула для суммы членов геометрической прогрессии. Вторую формулу для суммы мы получим, если используем формулу (89.1) для общего члена прогрессии:

или

Пример:

Найти сумму семи членов геометрической прогрессии, у которой , .

Решение:

По формуле (91.2) имеем

Пример:

Для геометрической прогрессии, состоящей из действительных членов, найти , если известно, что , .

Решение:

Дважды используем формулу (91.2):

Разделим второе равенство на первое; получим

Заметим, что по формуле разности квадратов

Поэтому после сокращения можно найти

откуда . По условию прогрессия состоит из действительных членов. Поэтому берем только q = —2. Из первого исходного уравнения теперь найдем . Снова использовав формулу (91.2), получим

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Рассмотрим теперь вопрос о суммировании бесконечной геометрической прогрессии. Назовем n-й частичной суммой данной бесконечной прогрессии сумму n ее первых членов. Обозначим n-ю частичную сумму символом . Так,

Для каждой бесконечной прогрессии

можно составить (также бесконечную) последовательность ее частичных сумм :

Пусть последовательность при неограниченном возрастании п имеет предел S:

В этом случае число S, т. е. предел частичных сумм прогрессии, называют суммой бесконечной прогрессии. Мы докажем, что бесконечная убывающая геометрическая прогрессия всегда имеет сумму, и выведем формулу для этой суммы (можно также показать, что при бесконечная прогрессия не имеет суммы, не существует).

Запишем выражение частичной суммы как суммы п членов прогрессии по формуле (91.1) и будем рассматривать предел частичной суммы при :

Из теоремы п. 89 известно, что для убывающей прогрессии ; поэтому, применяя теорему о пределе разности, найдем

(здесь также использовано правило:, постоянный множитель выносится за знак предела). Существование доказано, и одновременно получена формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Равенство (92.1) можно также писать в виде

Здесь может казаться парадоксальным, что сумме бесконечного множества слагаемых приписывается вполне определенное конечное значение. Можно привести наглядную иллюстрацию в пояснение такого положения.

Рассмотрим квадрат со стороной, равной единице (рис. 72). Разделим этот квадрат горизонтальной линией на две равные части и верхнюю часть приложим к нижней так, чтобы образовался прямоугольник со сторонами 2 и 1/2. После этого правую половину этого прямоугольника снова разделим горизонтальной линией пополам и верхнюю часть приложим к нижней (как показано на рис. 72). Продолжая этот процесс, мы все время преобразуем исходный квадрат с площадью, равной 1, в равновеликие фигуры (принимающие вид лестницы с утоньшающимися ступеньками). При бесконечном продолжении этого процесса вся площадь квадрата разлагается в бесконечное число слагаемых — площадей прямоугольников с основаниями, равными 1, и высотами 1/2, 1/4, 1/8, … . Площади прямоугольников как раз образуют при этом бесконечную убывающую прогрессию сумма

т. е., как и следовало ожидать, равна площади квадрата.

Пример:

Найти суммы следующих бесконечных прогрессий:

а) 2, 3/2, 9/8, 27/32, … ;

б) 3, — 1, 1/3, — 1/9, … ;

в) 1, 11/10, 121/100, 1331/1000.

Решение:

а) Замечаем, что у этой прогрессии , q = 3/4. Поэтому по формуле (92.2) находим

б) Здесь , q = —1/3; значит, по той же формуле (92.2) имеем

в) Находим, что у этой прогрессии q = 11/10 > 1. Поэтому данная прогрессия не имеет суммы.

В п. 5 было показано применение формулы суммы членов бесконечно убывающей прогрессии к обращению периодической десятичной дроби в обыкновенную дробь.

Числа и числовые последовательности и методы их решения

Натуральные числа, целые, рациональные, действительные — в такой или примерно такой последовательности расширяли мы в школе свое знание о числе, расширяли само понятие «число».
Попробуем сейчас отметить основные вехи пройденного пути, напомнить некоторые определения и свойства, рассмотреть раз­ личные задачи, и прежде всего те задачи, что остались в свое время вне нашего поля зрения, поскольку появиться в школьном курсе в момент изучения соответствующего программного ма­териала эти задачи не могли из-за недостаточного еще математического развития учащихся.

Натуральные и целые числа

Мы не будем давать строгой аксиоматической теории натурального ряда. Ограничимся напоминанием основных определений, свойств и теорем на уровне «здравого смысла».

Последовательность чисел 1, 2, 3,… образует натуральный ряд. Числа этой последовательности можно попарно складывать и перемножать. В результате всегда получаем натуральное число. Мы говорим, что натуральное число b является делителем натурального числа а (или что число а кратно числу b), если существует натуральное число q, такое, что имеет место равенство a=bq (а — делимое, b — делитель, q — частное). Таким образом, любое натуральное число делится само на себя и на 1. Все натуральные числа больше 1 разбиваются на два множества (класса) — простые и составные. Простые числа не имеют делителей, отличных от двух перечисленных (само число и 1). Составные имеют.

Основная теорема арифметики утверждает: «Любое натуральное число, большее 1, можно представить в виде произведения простых чисел (не обязательно различных), и притом единственным (с точностью до порядка сомножителей) образом».

Напомним еще два понятия арифметики: наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК). Обратим внимание на одну забавную лингвистическую особенность. Каждое из этих понятий само себя определяет. (Наибольшим общим делителем двух или более натуральных чисел называется их … наибольший общий делитель.)

В школе изучаются методы нахождения НОД и НОК, осно­ванные на разложении натуральных чисел на простые множители. Суть в следующем. Пусть нам надо найти наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел а и b — НОД (а; b) и НОК (а; b). Разложим каждое из данных чисел на простые множители. Если простое число р входит в одно разложение k раз (в степени k), а в другое — m раз и то это р входит в разложение на простые множители НОД (а; b) в степени k, а в разложении на простые множители НОК (a; b) — в степени m.

Так, например, если то НОД НОК

Рассмотренные методы обобщаются на произвольное число натуральных чисел. Простое число р входит в разложение на про­стые множители НОД (а; b; с;…) в степени, равной наименьшей из степеней, в которых оно входит в разложение на простые множители чисел а, b, с, а в НОК (а; b; с;…) это р входит соответственно в наибольшей степени. Если НОД (а; b)=1, то а и b называются взаимно простыми.

Другой способ нахождения наибольшего общего делителя двух чисел, так называемый алгоритм Евклида, менее известен в школе. Однако этот алгоритм играет очень важную роль в самых различных математических теориях. В основе его лежит «деление с остатком». Прежде чем напомнить о том, что значит деление с остатком, удобно для большей общности добавить к натуральному ряду число 0 и множество целых отрицательных чисел — получить совокупность целых чисел. (Заметим, что на множестве целых чисел определена еще одна арифметическая операция — вычитание. Раньше мы могли вычитать лишь из большего меньшее.) Пусть теперь а — произвольное целое число, b — натуральное. Разделить а на b с остатком — это значит найти такие целые числа q и r, что выполняется равенство a = bq+r (а — делимое, b — делитель, q — частное или неполное частное, r — остаток). Легко методом от противного доказывается единственность такого представления для заданных а и Ь. Обратим внимание на то, что а — целое, не обязательно натуральное. Например, если а= — 17, b = 7, то — 17 = 7 ( —3)+4 (q= — 3, r=4).

Вернемся к задаче нахождения НОД (а; b), пусть а>b. Нам удобнее обозначить остаток от деления а на b через поскольку затем появятся Имеем Очевидно, любой общий делитель а и b является также делителем и Любой общий делитель b и является делителем а. Таким образом, у пар (а; b) и (b; ) одинаковые общие делители и, следовательно, НОД (а; b)=НОД (b; ). Разделив затем с остатком b на найдем , НОД (b;)=НОД(; ). Затем делим на , находим , и т. д. Получаем убывающую последовательность натуральных чисел

Эта последовательность конечна. Пусть — последний, от­ личный от нуля остаток. Тогда НОД В самом деле, любая пара соседних чисел нашей последовательности имеет один и тот же НОД, а для последней пары НОД , поскольку делится на

Например, найдем НОД (5083; 3553). Алгоритм Евклида приводит нас к последовательности (вычисления опускаем) 5083, 3553, 1530, 493, 51, 34, 17, 0. Последний, отличный от нуля остаток 17, следовательно, НОД (5083; 3553) = 17.

Вернемся к делению с остатком. В практике конкурсного эк­замена, в основном, правда, устного, встречаются задачи типа «найти остаток от деления на …». Прежде чем рассмотреть при­ меры, построим небольшую теорию, благо все предпосылки к этому уже созданы. Если два целых числа а и b при делении на m имеют равные остатки, то мы для краткости (и для удобства) будем это записывать в виде . Эта запись так и читается: а при делении на m дает такой же остаток, как и b при делении на m. (В математической литературе принята запись которая несколько иначе читается, хотя означает то же самое.) Поскольку 0 делится на любое натуральное число, то запись означает, что а делится на m. Очевидно, что записи означают одно и то же, эквивалентны.

Имеют место следующие два свойства: если и , то

Оба свойства достаточно очевидны. Докажем второе. Нам надо доказать, что т. е. что ac — bd делится на m. Имеем поскольку по условию а—-b и d-c делятся на m.

Следствие:

Если то при всех натуральных k.

Решим теперь задачу

1.Найти остаток от деления на 17 числа .

Решение. (Для краткости будем пользоваться записью вида означающей, что при делении на m число а дает тот же остаток, что и b; b — такой же остаток, что и с, и т. д., т. е. все числа а, b, с, …, d дают одинаковые остатки при делении на m.)

Следовательно, при любом натуральном k будет

Но 1989=16-124 + 5. Значит,

Ответ. Остаток равен 12.

Обратим внимание на характерный момент. Мы нашли показатель степени, при возведении в которую получается число, дающее при делении на 17 в остатке С другой стороны, мы показали, что числа при делении на 17 дают остатки, которые периодически повторяются с периодом

Прежде чем продолжить рассмотрение примеров, еще раз под­ черкнем, что введенная запись преследует единственную цель — сокращение записи. Если угодно, это просто стенографический знак, заменяющий соответствующий словесный оборот.

Решение уравнений в целых числах

Рассмотрим несколько типичных уравнений, в которых требуется либо найти целочисленные решения, либо доказать отсутствие таковых.

2. Найти все целочисленные решения уравнения

Решение:

Разложим левую часть на множители:

Имеем (х —у)(3х + 7у)=13. Поскольку 13 можно представить в виде произведения двух целых чисел с учетом порядка четырьмя способами

то получаем четыре системы:

Целочисленные решения имеют лишь 1-я и 3-я системы.
Ответ. (2; 1); (— 2; —1).

3. Решить в целых числах уравнение

Решение:

Выразим у через х: Преобразуем полученную дробь:

Поскольку у и х — целые, то должно быть целым числом.
Имеем четыре возможности: 1) 2х—1 = 1; 2) 2х—1=3; 3) 2х—1 = — 1; 4) 2х—1 = —3. Затем находим х и у.

Ответ. (1; 9); (2; 8); (0; 2); (-1; 3).

4. Найти целочисленные решения уравнения 113х+179у = 17, удовлетворяющие неравенствам х>0, у > — 100.

Решение:

Воспользуемся методом, сходным с алгоритмом Евклида. Имеем 179=113 + 66. Перепишем наше уравнение в виде

Обозначим х + y = u, 113u + 66у=17. Как видим, у нового уравнения один из коэффициентов уменьшился. Можно вновь 113 разделить на 66 с остатком, а лучше так: 113 = 2*66 —19. Получаем

Обозначим 2u + y = v, 66v — 19u = 17, 66=19*3 + 9. Получаем уравнение

Наконец, получаем уравнение 9t+w = 17. Это уравнение имеет очевидное решение: w = 17 — 9t, где t — любое целое число.

Двинулись в обратный путь: v = t — 2w = t — 34+18t = 19t — 34, u = 3v — w = 66t— 119, y = v — 2u= — 113t + 204, x = u —у=179t —323.

Таким образом, х=179t — 323, у= — 113t + 204, где t— произвольное целое. Из условия х>0, у> —100 найдем t = 2, х = 35, у= -—22.

Ответ. 35; —22.

Рассмотрим еще два уравнения. Советуем разобрать и запом­нить приемы, используемые при их решении. Они достаточно часто применяются. (Здесь мы имеем в виду скорее подготовку к математической олимпиаде, чем к конкурсному экзамену.)

5. Найти натуральные х и у, для которых выполняется ра­венство

Решение:

Рассмотрим два случая. 1) х = 2k+1 (х — нечетное число). Поскольку при делении на 3 дает в остатке 1, то при делении на 3 дает в остатке 15 делится на 3. Следовательно, не делится на 3.
Но квадрат числа, не делящегося на 3, дает при делении на 3 в остатке 1. (Докажите и запомните.) Таким образом, равенство невозможно (левая и правая части дают при делении на 3 разные остатки).

2) x = 2k. Тогда откуда Оба множителя слева целые и положительные (так как второй множитель положителен), второй больше первого. Возможны два варианта:

Ответ. (4; 1); (6; 7).

6. Найти натуральные числа х и у, для которых выполняется
равенство

Решение:

Представим левую часть в виде (Мы не смогли выделить полный квадрат — это было бы слишком хорошо, но зато сумели его «почти» выделить.) Умножая обе части на 64, получаем равенство

Таким образом, Умножим обе части исходного равенства на 4, а затем, воспользуясь тем, что

будем иметь

или откуда Осталось проверить для х значения 1, 2, 3.

Ответ. х = 3, у= 11.

Рациональные, иррациональные и действительные числа

Добавляя к целым числам дробные, мы получаем класс рациональных чисел. Напомним, что рациональными называются числа, которые можно представить в виде дроби , где р и q — целые числа. Целые числа в смысле данного определения можно рассматривать в виде дроби со знаменателем, равным 1. (Здесь возникают забавные логические нюансы и даже противоречие — порочный круг, избавиться от которого, не выходя за рамки нашего курса, затруднительно. И еще одно замечание. Исторически развитие понятия числа происходило в иной последовательности: натуральные числа, дробные положительные и лишь затем отрицательные числа. Как правило, этот путь принят и в школе.)

На множестве рациональных чисел определена еще одна операция — деление. Для любых двух рациональных чисел а и b при условии существует рациональное число а:b.

И наконец, последний шаг — пополнение множества рациональных чисел иррациональными. В результате получаем совокупность действительных чисел, заполняющих так называемую числовую прямую. (Заметим, что с понятиями «действительное число», «числовая ось» дело обстоит не так просто, как мы здесь представили. Человечеству понадобилось не одно столетие, чтобы открыть эти понятия, после чего прошло еще немало времени, прежде чем была создана строгая теория действительных чисел.) Напомним, что геометрическая прямая становится числовой, если на ней выделены две точки, одна из которых называется (соот­ветствует) 0, другая 1. Теперь по известному правилу устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками прямой и действительными числами.

Итак, для каждого действительного числа выполняется альтернатива: это число или рационально или иррационально (т. е. нерационально). Конечно, сформулированное утверждение выглядит несколько наивно, чтобы не сказать больше. Тем не менее известный смысл в том, чтобы его выделить, имеется.

Один из наиболее распространенных типов задач, которые следует рассмотреть в связи с данной темой, заключается в доказательстве иррациональности данного числа. Здесь полезной может быть следующая теорема: «При любых натуральных N и k число является или целым или иррациональным».

Иными словами, если не извлекается нацело, то — иррациональное число. Данная теорема является частным случаем теоремы о рациональном корне многочлена с целыми коэффициентами. Для этого достаточно применить эту теорему к уравнению Тем не менее мы дадим еще одно доказательство.

Предположим противное. Пусть , где несократимая дробь и Возводя это равенство в степень k, получим . Но сократимая дробь в любой степени остается несократимой. Получилось противоречие: N равно несократимой дроби со знаменателем, не равным 1.

Рассмотрим несколько задач на эту тему.

7. Доказать иррациональность числа

Решение:

Предположим противное: где r — рациональное число. Тогда Возведем это равенство в куб: откуда

Получилось, что равняется рациональному числу. Противоречие.

8. Найти все рациональные х и у, удовлетворяющие уравнению

Решение:

Обозначим у — х = r, r — рациональное, у = x + r.
Заменяя у через х и r, получим откуда

Значит,

где r — произвольное рациональное,

Еще один часто встречающийся тип задач — сравнение чи­сел.

9. Сравнить, что больше: , не пользуясь микрокалькулятором.

Мы не станем здесь обсуждать, сколь современно выглядят сегодня задачи подобного типа. Ограничимся одним, возможно, и не самым существенным аргументом. Даже в век воздушных лайнеров остаются любители пеших походов, польза которых ни у кого не вызывает сомнений.

Решая подобного рода задачи, необходимо иметь в виду, что знак (приближенного равенства) сам по себе математически бессмыслен. Его можно формализовать, если считать, что истинное значение отличается от написанного не более чем на 1 единицу (или 1 / 2 единицы) последнего десятичного знака записи.

Обычно в задачах, в которых надо сравнить два числа, поступают следующим образом. В процессе решения на черновике между сравниваемыми числами ставится знак V (знак сравнения — знак неравенства, обращенный острым концом вниз, свидетельствующий о нашем незнании, в какую сторону его следует направить) до тех пор, пока не выяснится, что больше. За­ тем этот знак заменяется на нужное неравенство, и на чистовике решение начинается со слов «Докажем, что … больше, чем …».

Решение:

Будем решать нашу задачу, пользуясь знаком V , как на черновике. Имеем Возводим обе части в квадрат, уединяем один корень, вновь возводим в квад­рат и т. д.:

Здесь очевидно, что Следовательно,

10. Сравнить, что больше: или

Решение:

Оставив за кадром эвристические соображения, докажем, что Возведя обе части в куб и упростив, получим Докажем, что В самом деле, после сокращения первого неравенства на 6 и возведения в куб получим очевидное неравенство 2187<2197. Второе неравенство таким же образом приводится к 6561 <6859.

Метод полной математической индукции

Одним из самых универсальных методов доказательств математических утверждений, в которых фигурируют слова «для произвольного натурального n» (возможно, явно не высказанное), является метод полной математической индукции.

Доказательство при помощи этого метода всегда состоит из двух этапов: начало индукции и индуктивный переход. В простейшем варианте это выглядит следующим образом.

1) Начало индукции. Доказывается (проверяется), что сформулированное утверждение выполняется при n=1.

2) Индуктивный переход. Доказывается теорема, что если сформулированное утверждение выполняется для n (при этом справедливость утверждения для n иногда называют «предположением индукции»), то оно выполняется и для n+1. В некоторых случаях для начала индукции приходится проверять несколько начальных значений. Можно также в качестве предположения индукции считать, что утверждение выполняется для всех Бывают и более сложные модификации.

Таким образом, начав с n=1, мы на основании доказанного индуктивного перехода получаем справедливость доказываемого утверждения для n = 2, 3, …, т. е. для любого n.

Рассмотрим несколько примеров.

11. Доказать, что при любом натуральном п число делится на 7.

Доказательство:

Обозначим

1) Начало индукции. Если n= 1, то делится на 7. (Впрочем, начать здесь можно было и с n = 0.)

2) Индуктивный переход. Пусть делится на 7. (Предположение индукции.) Имеем

Последнее число делится на 7, так как представляет собой разность двух целых чисел, делящихся на 7.

12. Доказать равенство

Доказательство:

1) Начало индукции. При n = 1 равенство очевидно.

2) Индуктивный переход. Пусть равенство имеет место при некотором n. Тогда

Таким образом, равенство справедливо и при n + 1, поскольку получается из заменой n на n+1.

13. Доказать, что при всех натуральных п выполняется неравенство

13. Доказательство. Обозначим левую часть неравенства через

1) Начало индукции. Справедливость неравенства при n = 1 очевидна.

2) Индуктивный переход. Пусть Нам надо доказать, что

А поскольку

то нам достаточно доказать неравенство

Возведя это неравенство в квадрат и упрощая, приходим к неравенству

1. Во всех рассмотренных примерах формулировалось утверж­ дение, которое следовало доказать. Нередки задачи, в которых необходимо найти данное выражение и т. п. Например, вместо то­ го чтобы доказывать формулу, по которой можно вычислить сумму квадратов натурального ряда (задача 12), надо было бы найти, чему равна эта сумма. Тогда, если бы мы хотели воспользо­ ваться методом полной математической индукции, сначала надо было бы на основании нескольких начальных наблюдений выдви­ нуть гипотезу, а затем уже доказывать ее. Бесспорно, найти пра­ вильную гипотезу достаточно быстро, а тем более с первого раза удается не всегда. Требуется известный опыт.

2. На основании результата задачи 13 мы легко докажем неравенство

С другой стороны, при доказательстве конкретного числового неравенства с большим числом входящих в него элементов очень часто полезно бывает найти оценку для произвольного n при
помощи метода полной математической индукции, а затем использовать этот результат для конкретного n,

3. Обратим внимание на часто встречающийся парадокс индукции: доказательство более сильного утверждения осуществляется проще, чем доказательство более слабого. Так, например, если бы мы хотели доказать более слабое, чем в задаче 13, неравенство, заменив правую часть на , то мы испытали бы существенно большие затруднения на втором этапе — индуктивном переходе.
Во всяком случае, можно утверждать, что из неравенства
не следует неравенство (Проверьте.)

4. Бывают случаи, когда в качестве начального значения следует взять не 1, а большее значение. Полезно также бывает проверить, «работает» ли индукционный переход на первом шаге.
В качестве предостережения школьникам, начинающим изучать метод полной математической индукции, приведем «доказатель­ство» следующей «теоремы»: «Любые n чисел равны между собой».
При n = 1 утверждение очевидно. Пусть оно верно при некотoром n. Возьмем n +1 произвольных чисел. По предположению индукции первые n чисел равны между собой. Точно так же равны последние n чисел. Следовательно (!), все n + 1 чисел равны между собой.

Числовые последовательности. Суммирование последовательностей

Последовательность есть функция натурального аргумента, т. е. функция, областью определения которой является множество натуральных чисел. Обычно член последовательности, соответствующий значению n, записывают как (или и т. п.).

Последовательность может задаваться непосредственно в виде функции от n. Например, Очень часто мы
встречаемся с последовательностями, задаваемыми (определяемы­ми) рекуррентным соотношением, т. е. соотношением, выражающим зависимость от предыдущих значений: — и конечным набором начальных значений последовательности:

Именно так определяются в школе арифметическая и геометрическая прогрессии. (Для арифметической прогрессии для геометрической Для обеих, кроме того, задается .)

Типичной задачей для последовательностей, заданных рекуррентным соотношением, является задача нахождения формулы, выражающей n-и член как функцию от n.

14. Определить общий член последовательности, заданной соотношением

Решение:

Данная последовательность есть последовательность сумм натурального ряда:

Ответ.

Рекуррентные последовательности широко используются в приближенных вычислениях. Так, например, для вычисления удобна последовательность, определяемая соотношением Члены последовательности достаточно быстро приближаются к . Рассмотрим в связи с этим задачу.

15. С какого п члены последовательности , будут отличаться от не более чем на ?

Решение:

Пусть Тогда

Поскольку Затем Следовательно, уже дает нам верных 10 знаков после запятой для

Ответ. n — 5.

В школьном курсе выводятся формулы, выражающие суммы п членов арифметической и геометрической прогрессии. Методы, при помощи которых эти формулы доказываются, имеют до­ статочно общий характер.

Другой универсальный метод — метод математической индукции — был нами рассмотрен в предыдущем пункте (см. зада­ чу 12). Этот метод особенно удобен, если нужная сумма известна. В иных случаях, как мы уже отмечали, очень много зависит от умения учащегося делать правдоподобные гипотезы. Здесь полезно дать одну рекомендацию. Если — многочлен k-й степени от n, то сумма есть многочлен (k+ 1)-й степени от n.

Рассмотрим еще один пример. Пусть нам надо найти сумму — данная последовательность. Если мы найдем другую последовательность такую, что при всех n выполняется равенство то

Этот прием проиллюстрируем на примере.

16. Найти сумму

Решение:

В данном случае Рассмотрим разность

Следовательно взяв будем иметь Искомая сумма равна

Ответ.

Комплексные числа

Действительные числа мы отождествили с точками числовой прямой. Следующим этапом обобщения понятия числа будет выход в плоскость.

Рассмотрим плоскость, в которой задана числовая прямая, т. е. прямая, на которой отмечены две точки, соответствующие числам 0 и 1. Пусть z— произвольная точка плоскости. Вектор z — это вектор с началом в точке О и концом в точке z. Точку z определяют также два числа — r и r — расстояние от z до 0; — угол, на который надо повернуть против часовой стрелки положительную полуось заданной числовой прямой до того положения, при котором она пройдет через точку z. Как видим, для всех z, отличных от 0,r>0. Кроме того, для всех z, отличных от 0, угол при условии определяется однозначно. (Последнее ограничение можно снять, отождествляя углы, различающиеся на величину, кратную ) Определим теперь для любых двух точек нашей плоскости две точки, которые будем обозначать следующим образом.

1) Вектор, соответствующий точке Z1+Z2, равен сумме векторов, соответствующих (-рис. 21).

2) Если определяется парой — парой то будет определяться парой (рис. 21,6).

Таким образом, для точек нашей плоскости мы определили две операции: сложение и умножение

С этого момента будем называть нашу плоскость комплексной плоскостью. Комплексная плоскость — это плоскость, в которой задана числовая прямая и определены вышеуказанным образом операции сложения и умножения.

Точки комплексной плоскости мы отождествим с комплексными числами (будем называть комплексными числами). Величину г — длину вектора z — мы будем называть модулем комплексного числа z и обозначать |z| (r— |z|), а угол — аргументом комплексного числа Из определения следует, что

Легко проверить, что для точек заданной числовой прямой вышеуказанные операции сложения и умножения не выводят нас за пределы этой прямой и соответствуют обычным операциям сложения и умножения действительных чисел. (Проверьте свой­ства умножения; в частности, правило: «минус на минус дает плюс».) Теперь эту числовую прямую мы будем называть действительной прямой (действительной осью), а ее точки отождествлять с действительными числами (и соответственно обозна­чать) .

Введенные арифметические операции обладают всеми свойствами сложения и умножения, имевшими место для действительных чисел.

Единственное, что необходимо проверить, это справедливость равенства

Докажем это равенство. Геометрически умножение на z означает последовательное (в любом порядке) применение двух преобразований: гомотетии с центром в О и коэффициентом r = |z| и поворота вокруг О на угол против часовой стрелки. Теперь нужное нам свойство умножения комплексных чисел оказывается следствием соответствующих свойств геометрических преобразований гомотетии и поворота по отношению к операции сложения векторов (сначала сложить два вектора, а затем их сумму увеличить в r раз и повернуть на угол — это все равно что сначала каждый вектор увеличить в r раз, по­ вернуть на угол , а уже затем сложить преобразованные векторы).

Естественным образом определяется разность где — — вектор, противоположный вектору . Нетруд­но убедиться, что вектор —, определяемый геометрически, и вектор , получаемый по введенному правилу умножения, суть один и тот же вектор.

Для введения операции деления определим сначала число (вектор) , обратное числу z. Если z задается парой где будем задавать парой . По определению умножения задается парой (1,0). Таким образом, определено для всех z, отличных от 0. А деление на такие z есть умножение на .

Рассмотрим точку комплексной плоскости, модуль которой равен 1, а аргумент . Обозначим эту точку через і и назовем мнимой единицей. Иными словами, вектор і есть единичный вектор, перпендикулярный действительной оси, образующий с ней угол , измеряемый против часовой стрелки. По правилу умножения получаем, что есть вектор единичной длины с аргументом , т. е. Прямую, проходящую через О и i, назовем мнимой осью. Комплексные числа, соответствующие точкам мнимой оси, будем называть чисто мнимыми числами (кроме точки О). Любой точке мнимой оси соответствует вектор bi, где b — действительное число, а значит, чисто мнимые числа есть числа вида bi, где — действительное число.

Любой вектор z комплексной плоскости можно разложить по векторам, расположенным в действительной и мнимой осях.
Поэтому равенство z=a+bi, где а и b — действительные числа, обозначает, что вектор z (комплексное число) есть сумма векторов а (действительного числа а) и bi (чисто мнимого числа bi).

Запись z = a + bi будем называть алгебраической формой записи комплексного числа. Число а есть действительная часть комплексного числа z, b — мнимая часть. Пара действительных чисел (а; b) есть координаты точки z в декартовой системе ко­ ординат, задаваемой действительной и мнимой осями. Ввиду единственности разложения вектора по двум осям равенство — действительные числа, эквивалентно двум равенствам Из определений и свойств умножения и сложения комплексных чисел можно вывести правила сложения и умножения комплексных чисел, заданных в алгебраической форме:

Легко получаются формулы, устанавливающие зависимость между (рис. 22):

Имеет место равенство

Выражение представляет собой тригонометрическую форму записи комплексного числа.

Заметим, что попутно мы можем легко получить формулы для В самом деле, из определения произведения двух комплексных чисел и выведенного правила умножения комплексных чисел, заданных в алгебраической форме, имеем

откуда

Для любого комплексного числа z—a + bi определим число (комплексное сопряженное число) равенством (рис. 23). Имеют место следующие свойства:

Аргументы связаны соотношением (или где k — целое число).

И еще два свойства операции «сопряжения» полезно знать:

(Эти свойства также проверяются очевидным образом.) Из второго свойства следует, что

Следствием этих свойств является также равенство справедливое для любых дробно-рациональных функций

Прежде чем перейти к рассмотрению примеров, советуем читателю решить задачи 148—150.

17. Найти все комплексные z, для которых

Решение:

Поскольку справа стоит число, модуль которого равен 1, а аргумент или то из определения умножения комплексных чисел следует, что |z| = l, a для некоторого целого k. Беря k=0, 1, 2, найдем три значения
аргумента При других k будем получать значения, отличающиеся от найденных на величину, кратную Следовательно, наше уравнение имеет три решения. Соответствую­щие точки на комплексной плоскости являются вершинами правильного треугольника (рис. 24).

Ответ.

18. Доказать, что если число является чисто мнимым,
то |z| = 1.

Решение:

По условию где b—действительное число. Тогда

19. Для каких действительных чисел а не существует комплексных чисел z, для которых выполняются равенства

Решение:

Заметим, что равняется расстоянию между точками на комплексной плоскости. При фиксированном а точки z, для которых лежат на окружности с центром в и радиусом 2. (Вообще, множество z, для которых есть окружность с центром в и радиусом r.) Аналогично равенство определяет окружность с центром в —2а и радиусом 1. Две окружности не имеют общих точек, если расстояние между их центрами больше суммы или меньше разности радиусов. Таким образом, должно выполняться одно из двух неравенств:

Ответ.

Мы рассмотрели здесь один из возможных способов введения комплексных чисел, отличный от традиционно принятого в школе. Обычно изложение этой темы начинается с определения алгебраической формы записи комплексных чисел.

Числовые последовательности и функции

Определение числовой последовательности:

Пусть каждому натуральному числу n (n = 1, 2, 3, …) поставлено
в соответствие некоторое действительное число При этом
разным натуральным числам n могут оказаться поставленными в
соответствие и одинаковые числа

Совокупность элементов называется числовой последовательностью или просто последовательностью.

Каждое число называется элементом (членом) этой
последовательности, а число n — его номером.

Числовую последовательность будем обозначать либо ,
n = 1, 2, 3, …, либо {} .

По определению последовательность содержит бесконечное
множество элементов.

Предел последовательности

Число а называется пределом данной последовательности {}, если
для любого сколь угодно малого числа существует такой номер что для всех номеров выполняется неравенство

При этом пишут или при

Последовательность, у которой существует предел, называется
сходящейся.

Последовательность, не являющаяся сходящейся, называется
расходящейся.

Пример:

Доказать, что пределом последовательности {1/n}
является ноль.

Решение:

Действительно, для любого сколь угодно малого
числа можно найти такое что При всех будет справедливо неравенство Так как 1/n всегда положительно, то и можно записать Из этого утверждения следует требуемое доказательство

Последовательность называется бесконечно большой, если для любого сколь угодно большого числа существует такой номер что для всех выполняется неравенство При этом пишут

Обычно под пределом последовательности понимается конечный
предел.

Следует различать множество элементов последовательности и
множество значений элементов последовательности. Первое
множество всегда бесконечно. Второе множество состоит из всех чисел, являющихся значениями элементов данной последовательности. Оно может быть и конечным. Например, последовательность n = 1, 2, …, как и всякая последовательность, состоит из бесконечного числа элементов, а множество значений ее элементов — из одного числа 1.

Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если
множество значений ее элементов ограничено сверху (снизу).

Последовательность называется возрастающей
(убывающей), если для каждого n = 1, 2, … выполняется неравенство (соответственно ).
Возрастающие и убывающие последовательности называются
монотонными.

Пример:

Определить тип последовательностей и {n} .

Решение:

Последовательность — убывающая, так как Последовательность {n} — возрастающая, так как n < n + 1. ►

Последовательность n = 1, 2, … сходится. Ее предел равен числу Эйлера

Число е в математике играет особую роль. В частности, оно является основанием натурального логарифма.

Бесконечно малой называется последовательность для которой

Свойства пределов

Предел алгебраической суммы (разности) двух сходящихся последовательностей равен сумме (разности) пределов данных последовательностей:

Предел произведения (частного от деления) сходящихся
последовательностей существует и равен произведению (частному от
деления) пределов данных последовательностей:

Пример:

Доказать, что

Решение:

Рассмотрим предел

С другой стороны, так как это одна и та же последовательность. Из полученных соотношений следует, что С = С/2, т.е. С = 0. ►

Пример:

Доказать, что

Решение:

Рассмотрим предел

С другой стороны, так как это одна и та же последовательность. Из полученных соотношений следует, что С = С/2,
т.е. С = 0. ►

Пример:

Найти предел последовательности

Решение:

Пример:

Найти предел последовательности

Решение:

Функция одной переменной и способы ее задания

Переменная у называется функцией от переменной (аргумента) х в области ее изменения X, если по некоторому правилу или закону каждому значению х из X ставится в соответствие одно определенное значение у из Y.

Здесь X и Y — области изменения переменных х и у соответственно. При этом пишут

Функция может быть задана несколькими способами.

Аналитический способ задания функции — это способ задания
при помощи формулы. Примером является экспоненциальная
функция часто используемая для описания тренда при
проведении экономических исследований.

Графиком функции у = f(x) называется множество точек на
плоскости с координатами (х, у). На рис. 6.1 приведен график экспоненты

График функции

представлен на рис. 6.2.

Функцию можно задать также с помощью таблиц, т.е. в таблице
указать для некоторых значений аргумента х соответствующие
значения функции у.

Неявные функции

Пусть дано уравнение вида F(х,y) = 0, т.е. задана функция двух
действительных переменных х и у и рассматриваются только
такие пары х, у (если они существуют), для которых выполняется
условие F(x, у) = 0. В этом случае говорят, что функция задается
неявно уравнением F(x, у) = 0. Одно и то же уравнение F(x, у) = 0
задает, вообще говоря, не одну, а некоторое множество функций.

Термин «неявная функция» отражает не характер
функциональной зависимости, а лишь способ ее задания. Одна и та же функция может быть задана как явно, так и неявно. Например, функции и могут быть заданы также и неявным образом с помощью уравнения в том смысле, что они входят в совокупность функций, задаваемых этим уравнением. Уравнение задает окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале координат. Функция — это верхняя часть окружности (рис. 6.3, а), функция — нижняя (рис. 6.3, 6).

Сложные функции

Пусть заданы функции у = f(x) и z = F(y), причем область
задания функции F содержит область значений функции f, тогда
каждому х из области определения функции f соответствует z такое,
что z = F(y), те у = f(x). Эта функция, определяемая соотношением

z=F[f(x)],

называется сложной функцией.

Пример:

Построить функцию где у = sin х и область
определения аргумента

Решение:

Строим функцию у = sin х, а затем — функцию (рис. 6.4). ►

Важнейшие классы функций

Показательная функция

где а — положительное число, отличное от единицы.

Пример:

Построить функцию

Решение:

График функции представлен на рис. 6.5. ►

Целая рациональная функция — это функция, представленная
целым относительно х многочленом:

Дробная рациональная функция — это отношение двух целых
рациональных функций:

Степенная функция имеет вид

где а — любое постоянное вещественное
число.

Пример:

Построить функцию

Решение:

График функции представлен на рис. 6.6. ►

Логарифмическая функция имеет вид

где а — положительное число, отличное от единицы.

Пример:

Построить график функций

Решение:

Графики функций представлены на рис. 6.7. ►

Тригонометрические функции имеет вид

Очень важно усвоить, что аргументы тригонометрических
функций, если их рассматривать как меры углов, всегда выражают
эти углы в радианах (поскольку не оговорено противное).

Пример:

Построить графики тригонометрических функций.
Решение. Графики функций у = sinx; у = cos х представлены на
рис. 6.8.

Как следует из графика, функции y = sinx; y = cosx — периодические. Их период равен Функция у = sin х пересекается с осью Ох в
точках с координатами а функция y = cosx — в точках с
координатами где k = 0, 1, 2, 3, …

Графики функций у = tgx представлены на рис. 6.9.

Период этой функции равен Функция y = tgx пересекается с
осью Ох в точках с координатами где k = 0, 1, 2, 3, …

Графики функций у = ctg х представлены на рис. 6.10.

Период котангенса равен Функция у = ctg х пересекается с
осью Ох в точках с координатами где k = 0,1, 2, 3, …

Графики функций представлены на рис. 6.11. Период этой функции равен Функция у =sec x с осью Ох не
пересекается.

Графики функций представлены на рис. 6.12.

Период данной функции равен Функция у = csc х с осью Ох
не пересекается. ►

Обратные функции

Пусть функция y = f(x) задана в некоторой области X и пусть Y — множество всех значений, которые эта функция принимает, когда х
изменяется в пределах области X. Выберем какое-либо значение из области Y; тогда в области X найдется, по крайней мере, одно такое значение при котором данная функция принимает именно значение ; подобных значений может оказаться несколько (рис. 6.13).

Таким образом, каждому значению у из Y ставится в соответствие одно или несколько значений х; этим определяется в области Y однозначная или многозначная функция x = g(y), которая и
называется обратной для функции y = f(x). Можно потребовать,
чтобы абсцисса обратной функции обозначалась через х (вместо
у), а ордината — через у (вместо х). Тогда обратную функцию
можно записать в виде

y=g(x)/Если же пожелать при этом, чтобы новая ось х была
горизонтальной, а новая ось у — вертикальной, то это приведет к
изменению графика. В данном случае график y = g(x) получится как
зеркальное отражение графика y = f(x) относительно биссектрисы
первого координатного угла (рис. 6.14).

Пример:

Построить функцию, обратную показательной

Решение:

Прологарифмировав эту функцию по основанию а,
получим Поменяв местами х и у , получим функцию, обратную показательной:

Графики этих функций представлены на рис. 6.15. ►

Пример:

Построить функцию, обратную параболе

Решение:

Возводя левую и правую части в степень 1/2, получим

Поменяв местами у и х, получим функцию, обратную
параболе:

Графики данных функций представлены на рис. 6.16. ►

Обратные тригонометрические функции:

у = arcsin х; y = arccosx; y = arctgx; y = arcctgx.

Рассмотрим обратную тригонометрическую функцию у = arcsin х.
Функция y = sinx определяется в промежутке причем ее
значения заполняют сплошь промежуток Y = [-1; 1] (рис. 6.17).

Прямая, параллельная оси Ох, пересекает синусоиду в
бесконечном множестве точек; иначе говоря, каждому значению у из
промежутка [-1; 1] отвечает бесконечное множество значений х.
Поэтому обратная функция х = arc sin у (у = arc sin х) будет бесконечнозначной (рис. 6.18).

Обычно рассматривают лишь одну «ветвь» этой функции, отвечающую изменению ординаты между Эта ветвь называется главным значением арксинуса и
обозначается у = arcsin х:

где k = 0, ±1, ±2, …

Пример:

Построить график главного значения
арктангенса у = arctg х.

Решение:

График главного значения арктангенса представлен
на рис. 6.19. ►

Предел функции

Функция f[x) имеет пределом число А в точке если для
любого существует такое что для всех х ,
удовлетворяющих условию

выполняется неравенство

При этом

Пример:

Используя определения предела функции, доказать,что

Решение:

Требуется для заданного найти такое что лишь только

Неравенство можно представить:

-для случая т.е. в виде

-для случая т.е. в виде

В общем случае можно записать Это неравенство выполняется, если

Так как то по модулю левая часть неравенства больше правой, т.е.

Тогда данное неравенство тем более выполняется, если

Последнее неравенство можно записать в виде

Итак, стоит лишь положить чтобы при было что и требовалось доказать. ►

Существуют следующие пределы функций:

Функция sin х при вовсе не имеет предела.

При отыскании пределов функции при стремлении аргумента к исследуемой точке можно приближаться как справа, так и
слева (рис. 6.20).

Из рис. 6.20 следует, что функция в точке х = 0 терпит
разрыв и ее пределы справа и слева при имеют различные
значения.

При стремлении х к исследуемой точке справа предел функции
f(х) называется пределом в точке справа и обозначается символом

или f(х + 0).

Аналогично определяется предела функции в точке при стремлении х к слева:

или f(x-0).

Оба эти предела называются односторонними.

Для существования обыкновенного (двухстороннего) предела необходимо и достаточно существования порознь и равенство обоих пределов справа и слева, т.е.

Пример:

Найти пределы функции при х,
стремящемся к нулю справа и слева.

Решение:

Введем замену 1/х = z . Тогда, используя (6.3) и (6.4),
можно записать

(см. рис. 6.20). ►

Пример:

Найти пределы функции при стремлении х к нулю справа и слева.

Решение:

Введем замену 1/х = z . Используя результаты примера 6.14, получим

График функции представлен на рис. 6.21. ►

Непрерывность и разрывы функции в точке

Функция f(х), определенная в некоторой окрестности точки
называется непрерывной в этой точке, если

При некоторых значениях х непрерывность может нарушаться
и график прерывается, т.е. функция имеет разрыв.

Те значения аргумента, при которых происходит разрыв функции,
называются точками разрыва.

На рис. 6.21 это точка

Если функция задана и непрерывна для всех значений х в
интервале от а до b, то она называется непрерывной в этом
интервале (открытом, замкнутом или полуоткрытом). Функция, заданная и непрерывная для всех точек числовой оси, называется непрерывной всюду.

Имеют место следующие типы разрывов:

1.Бесконечный разрыв — обращение функции в бесконечность.

Пример:

Построить функцию указать точку разрыва.

Решение:

Точкой разрыва является точка При
стремлении х к исследуемой точке справа, функция стремится к а слева — к График функции
представлен на рис. 6.22. ►

2.Конечный разрыв — при переходе х через значение функция перескакивает от одного конечного значения к другому. Само значение f(х) при может быть не задано, совпадать со значениями или или быть отличным как от так и от. Для функции y = sign x (см. рис. 6.2) f(-0) = -1, f(+0) = 1, f(0) = 0.

Пример:

Построить функцию в области точки
разрыва и указать эту точку.

Решение:

Точкой разрыва является точка Если ввести
замену то исследуемая функция приобретает вид

При стремлении х к исследуемой точке слева а справа Из сказанного следует, что

Так как данная функция положительная, а числитель всегда меньше
знаменателя, то функция заключена между нулем и единицей. График исследуемой функции в области точки разрыва представлен на рис. 6.23. ►

3.Устраняемый разрыв существует, если но
при функция или не задана, или имеет значение Придавая значение делают
функцию непрерывной.

Основные свойства пределов

1.Предел постоянной величины равен этой величине:

lim А- А.

2.Предел суммы (разности) конечного числа функций равен
соответствующей сумме (разности) пределов этих функций:

3.Предел произведения конечного числа функций равен
произведению пределов этих функций:

4.Предел частного двух функций равен частному пределов этих
функций:

Пример:

Найти предел функции при

Решение:

Пример:
Найти предел функции при

Решение:

Определение производной и дифференциала

Если существует предел отношения приращения функции к
вызвавшему его приращению независимой переменной при т.е.

то он называется производной функции y = f(x) по независимой
переменной х при данном ее значении (или в данной точке).

Обозначения:

Данное определение производной поясняется на рис. 6.24.

Геометрический смысл производной: если функция y = f(x) изображена графиком в декартовой системе координат (рис. 6.24), то производная этой функции в точке равна тангенсу угла наклона между касательной к кривой, проведенной через эту точку, и осью Ох, т.е.

Угол отсчитывается от положительного направления оси Ох
против часовой стрелки.

Если для предела (6.9) не существует, но существуют
пределы слева и справа, то их называют соответственно
производными слева и справа. Геометрический смысл производной слева и производной справа
поясняется на рис. 6.25.

Кривая, представленная на рис. 6.25, имеет излом.

Функция y = f(x), определенная в некоторой окрестности точки , называется дифференцируемой при если ее приращение в этой точке

представимо в виде

где А — постоянная, а при

Линейная функция называется дифференциалом функции f(x) в точке и обозначается или dy.

Из сказанного следует, что

Обычно дифференциал приращения обозначают dx и формулу (6.12) записывают в виде

dy = Adx. (6.13)

Для того чтобы функция f(x) была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке
производную. При этом дифференциал функции и дифференциал
приращения связаны соотношением

Если функция y = f(x) дифференцируема в точке то
она в этой точке непрерывна. Обратное утверждение, вообще
говоря, неверно, т.е. непрерывная функция в данной точке не
обязательно дифференцируема в этой точке. Пример рис. 6.25
подтверждает это.

Производная функции нашла широкое применение во всех
областях человеческих знаний. Примером может служить расчет
производительности труда в заданный момент времени.

Пусть функция g = g(t) выражает количество произведенной
продукции g за время t. Найдем производительность труда в
момент

За период от до количество произведенной продукции
от до значения Тогда средняя производительность труда за период времени будет рассчитываться по формуле Очевидно, что производительность труда в момент можно определить как предельное значение средней производительности при т.е.

Сопоставив это выражение с (6.9), приходим к заключению, что производительность труда есть производная от функции
количества произведенной продукции по времени.

Найдем производные некоторых функций.

1.у=С,где С = const (рис. 6.26).

В этом случае каково бы ни было Поэтому

2.Степенная функция где n — любое вещественное число.
Отношение приращений можно преобразовать к виду

Выражение для производной можно записать в виде

Введем обозначения:

Тогда

В формуле перенесем единицу вправо и
прологарифмируем правую и левую части. В результате получим

или

Подставив полученное значение в выражение для производной,
найдем

Так как то

Основные правила дифференцирования

Производная функции y = f(x) может быть найдена по
следующему алгоритму:

A. Дадим аргументу х приращение и найдем приращение
функции:

B. Составляем отношение:

C. Находим (если этот предел существует).

При нахождении производных используются следующие правила:

1.Производная алгебраической суммы двух или нескольких
дифференцируемых функций равна алгебраической сумме
производных от каждой функции.

Действительно, пусть исследуемая функция имеет вид

Используя приведенный в начале параграфа алгоритм, найдем:

А. Дадим аргументу х приращение и найдем приращение
функции:

B. Составляем отношение

C. Найдем предел этого отношения при используя
правила отыскания пределов:

На основании определения производной (6.9) получим

Аналогично доказываются приведенные ниже соотношения.

2.Производная от произведения двух дифференцируемых
функций равна произведению производной первого сомножителя
на второй плюс произведение первого сомножителя на
производную второго, т.е.

(uv)’=u’v + uv’. (6.15)

3.Постоянный множитель С выносится за знак производной:

(Сu)’ =Сu’. (6.16)

4.Производная частного двух дифференцируемых функций
определяется по формуле:

5.Производная от сложной функции определяется соотношением:

6.Производная обратной функции равна обратной величине
производной данной функции:

Производные некоторых часто встречаемых функций приведены
в табл. 6.1, данные которой использованы при решении
приведенных ниже примеров.

Таблица 6.1

Пример:

Найти производные функций:

Решение:

Используя данные табл. 6.1, получим:

так как

Пример:

Найти производные функций:

Решение:

Используя данные табл. 6.1, получим:

Пример:

Найти производные функций: у = tg х; y = ctg х.

Решение:

Используя (6.17) и данные табл. 6.1, получим:

Пример:

Найти производную функции у = sin [cos (х)].

Решение:

Введя замену u = cos x и используя (6.18), получим:

► Пример:

Найти производную функции, обратной данной функции

Решение:

Найдем производную данной функции по х. Используя (6.17), получим Согласно (6.19)

Производная высших порядков

Если функция y = f(x) имеет конечную производную у’ = f'(x) в некоторой области X, так, что эта производная сама представляет новую функцию от х, то может случиться, что эта функция в некоторой точке из X, в свою очередь, имеет производную, конечную или нет. Ее называют производной второго порядка, или второй производной функции у = f(x), в упомянутой точке и обозначают как

Аналогично, если функция у = f (х) имеет конечную вторую производную в области X, то ее производная, конечная или нет, в какой- либо точке из X называется производной третьего порядка, или третьей производной функции у = f(x), в этой точке и обозначается как

Подобным же образом от третьей производной можно перейти к четвертой и т.д. Производная n-го порядка обозначается следующим образом:

Пример:

Найти четвертую производную функции у = sin х.

Решение:

Пример:

Найти производную n-го порядка функции

Решение:

Применение производных в экономическом анализе

В § 6.12 было показано, что производительность труда z есть производная от функции количества произведенной продукции g по времени t, т.е.

Другими словами, производительность труда есть скорость изменения количества произведенной продукции за единицу времени. Вторая производная от количества произведенной продукции по времени является ускорением для данной функции, или скоростью для производительности труда за единицу времени.

Аналогичным образом могут быть определены предельные издержки производства, предельная выручка, предельный доход и т.д. Например, предельные издержки производства — это дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции. Таким образом, предельные издержки производства r определяются как производная от функции издержек производства у по колику честву выпускаемой продукции х, т.е.

Пример:

Объем продукции, произведенной бригадой рабочих за восьмичасовую смену, описывается уравнением единиц продукции, где t — рабочее время в часах. Вычислить производительность труда и скорость ее изменения в начале и в конце рабочего дня.

Решение:

Производительность труда и скорость ее изменения вычисляются по формулам:

В начале рабочего дня производительность труда бригады и скорость ее изменения:

В конце рабочего дня производительность труда бригады и скорость ее изменения приобретут следующие значения:

Функции нескольких переменных

Помимо рассмотренной функции одной переменной нередки случаи, когда независимых переменных оказывается несколько.

Переменная u (с областью изменения U ) называется функцией независимых переменных в множестве М , если каждой точке из М по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение u (из U ).

При этом пишут:

или u = f(M).

Переменные изменяются независимо друг от друга. Частным случаем функций нескольких переменных является функция двух переменных u = f(x, у). График функции двух переменных можно наглядно представить в виде двумерной поверхности в трехмерном пространстве. Для функции трех и более переменных график не имеет наглядного геометрического представления.

Для функции одной переменной областью изменения аргумента является промежуток, для функции двух переменных — фигура на плоскости, для функции трех переменных — объемная фигура в трехмерном пространстве и т.д.

Для двухмерного случая множество независимых переменных называется выпуклым, если оно вместе с двумя любыми своими точками содержит отрезок, их соединяющий (рис. 6.27). Выпуклое множество не имеет вмятин и дыр. Множество, которое не является выпуклым, называется невыпуклым (рис. 6.28).

Для функций трех независимых переменных и более понятия выпуклого и невыпуклого множества определяются аналогично.

На рис. 6.29 представлен график параболоида вращения, описываемого функцией Эта функция называется выпуклой вниз (вогнутой вверх).

Если функция u = f(М), определенная на некотором множестве М, является выпуклой вниз, то функция g = -f(M) является выпуклой вверх (вогнутой вниз).

Множеством (линией) уровня q , где q = const, функции u = f(x, у) называется множество всех пар (х, у) такое, что f(х, y) = q. Множество уровня q функции u = f(x,y) обозначим

Геометрически смысл уровня q поясняется на рис. 6.29. Плоскостью, параллельной плоскости хОу и пересекающей ось Оu в точке u = q, рассекается параболоид вращения. Линия сечения зависает над плоскостью хОу . Проекция линии сечения на плоскость хОу образует множество уровня q функции u = f(x,y).

Множество всех множеств (линий) уровня функции u = f(x, у) называется картой линий уровня данной функции.

По карте можно получить довольно точное представление о характере графика исследуемой функции.

Пример:

Построить график функции u = ху при х > 0,
у > 0 и ее линии уровня.

Решение:

Линиями уровня q исследуемой функции являются
гиперболы (рис. 6.30). При возрастании q гипербола смещается
вправо и вверх. В пределе при линиями уровня становятся оси координат Ох и Оу .

Если линии уровня выглядят так, как показано на рис. 6.30, то
говорят, что эти линии выпуклы к точке О. Из вида этих линий
уровня можно сделать вывод о том, что исследуемый график имеет
вид горки, основанием которой является плоскость хОу .

Если положить в исходной формуле исследуемой функции у = kх, где (рис. 6.31) — любое положительное число, то получим формулу для линии пересечения исходной функции и
плоскости сечения, проходящей через ось Оu и прямую у = kх,
лежащую в плоскости хОу .

Таким образом, Если прямой у = kх придать направление и обозначить его через р, то формула для линии пересечения исходной функции и плоскости сечения в системе координат рОu примет вид

Сечения функции u = ху , имеющие вид парабол, представлены на рис. 6.32. ►

Представление функций в экономике

При изучении экономических процессов широко используются
все три рассмотренных выше метода представления функций:
аналитический, графический и табличный. Такой функцией является, например, таблица платежей от времени. Другим примером
является мультипликативная производственная функция которая нами рассмотрена в примере 6.30 при

Модель спроса и предложения, представляемая обычно в виде
графиков, является базовой при изучении колебаний объема
выпуска и уровня цен.

Функция совокупного спроса показывает количество товаров и
услуг, которое потребители готовы приобрести при каждом возможном уровне цен. Эту зависимость обычно представляют в виде функции цены продукта (услуги) р от величины спроса на него (q):

P = D(q).

Функция совокупного предложения показывает количество товаров и
услуг, которое производители готовы предложить на рынке при каждом возможном уровне цен. Эту зависимость, которую будем обозначать p = S(q), обычно строят в одной системе координат вместе с графиком совокупного спроса. Графики функций спроса и предложения представлены на рис. 6.33.

Решение заданий и задач по предметам:

• Математика
• Высшая математика
• Математический анализ
• Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
2. Функции и графики
3. Преобразования графиков функций
4. Квадратная функция и её графики
5. Алгебраические неравенства
6. Неравенства
7. Неравенства с переменными
8. Прогрессии в математике
9. Арифметическая прогрессия
10. Геометрическая прогрессия
11. Показатели в математике
12. Логарифмы в математике
13. Исследование уравнений
14. Уравнения высших степеней
15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
16. Комплексные числа
17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
18. Алгебраические уравнения
19. Неопределенные уравнения
20. Соединения
21. Бином Ньютона
22. Число е
23. Непрерывные дроби
24. Функция
25. Исследование функций
26. Предел
27. Интеграл
28. Двойной интеграл
29. Тройной интеграл
30. Интегрирование
31. Неопределённый интеграл
32. Определенный интеграл
33. Криволинейные интегралы
34. Поверхностные интегралы
35. Несобственные интегралы
36. Кратные интегралы
37. Интегралы, зависящие от параметра
38. Квадратный трехчлен
39. Производная
40. Применение производной к исследованию функций
41. Приложения производной
42. Дифференциал функции
43. Дифференцирование в математике
44. Формулы и правила дифференцирования
45. Дифференциальное исчисление
46. Дифференциальные уравнения
47. Дифференциальные уравнения первого порядка
48. Дифференциальные уравнения высших порядков
49. Дифференциальные уравнения в частных производных
50. Тригонометрические функции
51. Тригонометрические уравнения и неравенства
52. Показательная функция
53. Показательные уравнения
54. Обобщенная степень
55. Взаимно обратные функции
56. Логарифмическая функция
57. Уравнения и неравенства
58. Положительные и отрицательные числа
59. Алгебраические выражения
60. Иррациональные алгебраические выражения
61. Преобразование алгебраических выражений
62. Преобразование дробных алгебраических выражений
63. Разложение многочленов на множители
64. Многочлены от одного переменного
65. Алгебраические дроби
66. Пропорции
67. Уравнения
68. Системы уравнений
69. Системы уравнений высших степеней
70. Системы алгебраических уравнений
71. Системы линейных уравнений
72. Системы дифференциальных уравнений
73. Арифметический квадратный корень
74. Квадратные и кубические корни
75. Извлечение квадратного корня
76. Рациональные числа
77. Иррациональные числа
78. Арифметический корень
79. Квадратные уравнения
80. Иррациональные уравнения
81. Ряды сходящиеся и расходящиеся
82. Тригонометрические функции произвольного угла
83. Тригонометрические формулы
84. Обратные тригонометрические функции
85. Теорема Безу
86. Математическая индукция
87. Показатель степени
88. Показательные функции и логарифмы
89. Множество
90. Множество действительных чисел
91. Числовые множества
92. Преобразование рациональных выражений
93. Преобразование иррациональных выражений
94. Геометрия
95. Действительные числа
96. Степени и корни
97. Степень с рациональным показателем
98. Тригонометрические функции угла
99. Тригонометрические функции числового аргумента
100. Тригонометрические выражения и их преобразования
101. Преобразование тригонометрических выражений
102. Комбинаторика
103. Вычислительная математика
104. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
105. Прямая и плоскость
106. Линии и уравнения
107. Прямая линия
108. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
109. Кривые второго порядка
110. Кривые и поверхности второго порядка
111. Числовые ряды
112. Степенные ряды
113. Ряды Фурье
114. Преобразование Фурье
115. Функциональные ряды
116. Функции многих переменных
117. Метод координат
118. Гармонический анализ
119. Вещественные числа
120. Предел последовательности
121. Аналитическая геометрия
122. Аналитическая геометрия на плоскости
123. Аналитическая геометрия в пространстве
124. Функции одной переменной
125. Высшая алгебра
126. Векторная алгебра
127. Векторный анализ
128. Векторы
129. Скалярное произведение векторов
130. Векторное произведение векторов
131. Смешанное произведение векторов
132. Операции над векторами
133. Непрерывность функций
134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
135. Предел и непрерывность функции одной переменной
136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
139. Матрицы
140. Линейные и евклидовы пространства
141. Линейные отображения
142. Дифференциальные теоремы о среднем
143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
144. Функции комплексного переменного
145. Преобразование Лапласа
146. Теории поля
147. Операционное исчисление
148. Системы координат
149. Рациональная функция
150. Интегральное исчисление
151. Интегральное исчисление функций одной переменной
152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
153. Отношение в математике
154. Математическая логика
155. Графы в математике
156. Линейные пространства
157. Первообразная и неопределенный интеграл
158. Линейная функция
159. Выпуклые множества точек
160. Система координат