Показательные функции и логарифмы в математике с примерами решения и образцами выполнения

Оглавление:

Определение показательной функции:

Определение:

Показательной функцией от независимого переменного х называется выражение Показательные функции и логарифмы , где а — данное число.

Если а положительно, функция Показательные функции и логарифмы определена (т. е. имеет смысл) при любых вещественных значениях х или, как принято говорить, при положительных а функция определена при всех значениях х от -∞ до +∞

Если а отрицательно, функция Показательные функции и логарифмы определена только при когда х дробное или иррациональное (см. определение дробного показателя в гл. VI).

Если а = 0, функция Показательные функции и логарифмы определена только при именно при х > 0 всех положительных значениях x =0. При х = 0, а также при х < 0 выражение не имеет смысла.

В дальнейшем функция Показательные функции и логарифмы будет изучаться только при положительных а.

Интересными и полезными для приложений являются случаи, когда a ≠ 1

Если а= 1, то Показательные функции и логарифмы = 1 при всех значениях х. Графиком функции служит прямая, параллельная Ох, проходящая через точку (0,1) (рис. 82).

Свойства функции

Если а > 0, функция определена при всех значениях х от -∞ до +∞
При всех значениях х функция > 0
При а > 1 функция возрастает. При a < 1 функция убывает (теорема 2 § 8 гл. VI).
Если а положительно и отлично от единицы и то x₁ = х₂ т. е. если степени одного и того же положительного отличного от единицы основания равны, то равны и показатели степеней. Докажем это. Предположим, что x₁ > х₂ . Тогда при а при Точно так же доказывается, что нельзя предполагать, что x₁ < х₂
Если a > 1 то при неограниченном возрастании показателя х функция неограниченно возрастает, а при неограниченном убывании показателя х функция принимает значения, сколь угодно близкие к нулю.

Если a < 1 то при неограниченном возрастании показателя х функция Показательные функции и логарифмы принимает значения, сколь угодно близкие к нулю, а при неограниченном убывании показателя х функция неограниченно возрастает. Это свойство можно формулировать так:

Доказательство:

Пусть а > 1 и М—сколь угодно большое положительное число. Как показано в теореме 2 § 9 гл. V, Показательные функции и логарифмы >М при всех Пусть теперь

При всех значениях х, удовлетворяющих этому неравенству, Показательные функции и логарифмы

Пусть теперь m— сколь угодно малое положительное число. По доказанному найдется такое х, что Показательные функции и логарифмы или, что все равно т. е.

Первая часть утверждения доказана.

Пусть теперь а < 1. Положим Показательные функции и логарифмы тогда Так как возрастает от значений, сколь угодно близких к нулю, до сколь угодно больших, обратная величина

убывает от значений сколь угодно больших до значений, сколь угодно близких к нулю. Вторая часть утверждения доказана.

6. Если а положительно и отлично от единицы, то каково бы ни было положительное число N, существует и притом только одно такое значение х, что

Иными словами, если а положительно и отлично от единицы и N— данное положительное число, уравнение Показательные функции и логарифмы имеет решение и притом только одно.

Доказательство:

Докажем сначала, что уравнение имеет решение. Одно из двух: или существует такое рациональное число г, что Показательные функции и логарифмы или такого числа не существует. Если имеет место первое, то для таких N утверждение доказано. Если имеет место второе, покажем, что существует такое иррациональное число а, что Показательные функции и логарифмы

Пусть а > 1. Существует такое целое т, что Показательные функции и логарифмы С другой стороны, существует такое целое n₁ что Выпишем все целые числа от n₁ дo n:

Рассмотрим последовательность степеней

Сравнивая члены последовательности (1) с числом N, можно найти такие два соседних члена Показательные функции и логарифмы последовательности (1), что число N будет заключено между ними, т. е.

Составим теперь последовательность

Сравнивая члены последовательности (2) с числом N, можно найти таких два соседних члена Показательные функции и логарифмы последовательности (2), что

Составим последовательность

Сравнивая члены последовательности (3) с числом N, опять найдем таких два соседних члена Показательные функции и логарифмы что

Продолжая неограниченно процесс деления промежутка на 10 равных частей и сравнивая всякий раз число N с получающимися при этом степенями числа а, получим две последовательности показателей

и две последовательности степеней

Последовательность (4) — возрастающая и ограниченная сверху любым членом последовательности (5). Последовательность (5) — убывающая и ограниченная снизу любым членом последовательности (4). Разность последовательностей (5) и (4) сходится к нулю. Следовательно, существует единственное число а, которое больше всех членов последовательности (4) и меньше всех членов последовательности (5).

Точно так же существует единственное число, которое больше всех членов последовательности (6) и меньше всех членов последовательности (7). Этим числом по построению последовательности является число N. По определению степени с иррациональным показателем, этим числом является Показательные функции и логарифмы . Значит,

Пусть теперь а < 1. Положим Показательные функции и логарифмы , тогда a₁ >1. Уравнение

имеет решение при любом положительном N. Это же решение удовлетворяет уравнению

Докажем, что решение единственно. Предположим, что уравнение имеет два решения: x = x₁, и х = х₂, причем x₁>x₂. Тогда имеем:

Но это невозможно, так как при Показательные функции и логарифмы

График показательной функции

Пусть а > 1, тогда график функции Показательные функции и логарифмы имеет вид, указанный на рис. 83. В соответствии со свойствами функции , изложенными в § 2, график этой функции обладает следующими свойствами:

Весь график расположен в верхней полуплоскости, т. е. там, где ординаты положительны (свойство 2 § 2).
Всякая прямая, параллельная оси Оу, пересекает график и притом только в одной точке (свойства 1 и 4 § 2).
Из двух точек графика правее, т. е. по мере продвижения слева направо график поднимается вверх (свойство 3 § 2).
На графике имеются точки, лежащие выше любой прямой, параллельной оси Ох. На графике имеются точки, лежащие ниже любой прямой, проведенной в верхней полуплоскости параллельно оси Ох.

В левой своей части график, если наблюдать за ним справа налево, все ближе подходит к оси Ох, как бы стремясь коснуться ее. Однако график нигде не касается оси Ох (свойства 5 и 2 § 2).

5. Всякая прямая, параллельная оси Ох и лежащая в верхней полуплоскости, пересекает график и притом только в одной точке (свойство 6 § 2).

6. При всех а график проходит через точку (0,1). Это объясняется тем, что при любом положительном а

Если a < 1, график функции Показательные функции и логарифмы имеет вид, указанный на рис. 84.

Рис. 83 и 84 представляют собой лишь схемы графиков функции Показательные функции и логарифмы при a > 1 и при а < 1, так как численное значение а неизвестно.

Если величине а придать какое-нибудь определенное значение, график функции Показательные функции и логарифмы можно построить по точкам, составив предварительно таблицу значений функции при некоторых значениях х.

На рис. 85 изображен график функции у = 2*. График построен при помощи следующей таблицы значений функции у при некоторых значениях аргумента jc:

Таблица составлена посредством приближенного извлечения √2, ∜2, √8, ∜8 и т. д.

На рис. 86 изображен график функции Показательные функции и логарифмы График построен при помощи следующей таблицы:

Определение логарифма

Определение:

Логарифмом числа N по основанию а называется показатель степени, в которую надо возвести а, чтобы получить N.

Для обозначения логарифма употребляется знак log. Тот факт, что число х является логарифмом числа N по основанию а, записывается так:

По определению Показательные функции и логарифмы . Например, log₂ 8 = 3, так как 2³ = 8;

Логарифмическая функция

Пусть а > 0 и отлично от единицы. Возьмем произвольное положительное число у. Как показано (п. 6 § 2), уравнение

имеет единственное решение. Это значит, что всякое положительное число у по любому основанию (положительному и отличному от единицы) имеет единственный логарифм

Это утверждение называется теоремой о существовании логарифма.

Придавая числу у различные положительные значения, будем получать различные значения Показательные функции и логарифмы и при этом каждому положительному значению у будет соответствовать одно и только одно значение х. Это означает, что х является функцией от у, определенной и однозначной для всех положительных значений у. Функция эта называется логарифмической.

Логарифмическая функция Показательные функции и логарифмы связана с показательной функцией следующим образом.

Показательная функция дает описание изменения степени числа а в зависимости от изменения показателя степени; логарифмическая функция дает описание изменения показателя степени в зависимости от изменения степени числа а.

Иными словами, показательная функция дает описание изменения числа в зависимости от изменения его логарифма по основанию а; логарифмическая функция дает описание изменения логарифма числа по основанию а в зависимости от изменения числа.

Таблица значений показательной функции при данном основании а является одновременно и таблицей значений логарифмической функции при том же основании а.

График показательной функции Показательные функции и логарифмы является одновременно и графиком логарифмической функции. (см. рис. 83 и 84), только в одном случае значения независимого переменного

отложены на горизонтальной оси, а значения функции — на вертикальной; в другом случае, наоборот, значения функции отложены на горизонтальной оси, а значения не-, зависимого переменного — на вертикальной.

Показательная функция при основании а и логарифмическая функция при том же основании представляют пример двух обратных друг другу функций.

Обычно принято значения независимого переменного обозначать буквой х и откладывать на горизонтальной оси, а значения функции обозначать буквой у и откладывать на вертикальной оси.

Если придерживаться этого правила, то для функции Показательные функции и логарифмы обратной будет функция , а графиком функции будет служить кривая, получаемая из графика функции (рис. 83, 84) посредством преобразования симметрии относительно прямой у = х, т. е. посредством переноса каждой точки М(а, b) в точку М₁ (b, а) (рис. 87).

Свойства логарифмов чисел

Свойства логарифмов чисел при основании, большем единицы:

Всякое положительное число имеет логарифм и притом только один. Это свойство вытекает из свойства 6 показательной функции.
Отрицательные числа и число 0 не имеют логарифмов. Это свойство вытекает из свойства 2 показательной функции.
Логарифм единицы равен нулю. Это вытекает из того, что при любом положительном а а⁰ = 1.
Если т. е. бoльшее число имеет и бoльший логарифм. Это вытекает из свойства 3 показательной функции.
Логарифмы чисел, больших единицы, положительны; логарифмы чисел, меньших единицы, отрицательны. Это вытекает из свойств 3 и 4.
Если число растет неограниченно, то и логарифм его растет неограниченно. Если число, оставаясь положительным, стремится к нулю, логарифм его становится отрицательным и сколь угодно большим по абсолютной величине.

Это свойство вытекает из свойства 5 показательной функции и условно записывается так:

7. Логарифм основания равен единице.

Свойства логарифмов чисел при положительном основании, меньшем единицы:

Всякое положительное число имеет логарифм и притом только один.
Отрицательные числа и число 0 не имеют логарифмов.
Логарифм единицы равен нулю.
Бoльшее число имеет меньший логарифм.
Логарифмы чисел, бoльших единицы, отрицательны; логарифмы чисел, меньших единицы, положительны.
(условная запись); (условная запись)
Логарифм основания равен единице.

Теоремы о логарифмах

Теорема:

Логарифм произведения двух или нескольких чисел равен сумме логарифмов сомножителей.

Доказательство:

Пусть Показательные функции и логарифмы — произвольные положительные числа. По определению логарифма, имеем

Перемножив эти равенства почленно, получим

С другой стороны, по определению логарифма,

Из равенств (1) и (2) имеем

Теорема:

Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.

Доказательство:

Пусть N₁ и N₂ — произвольные положительные числа. По определению логарифма,

Разделив эти равенства почленно, получим

С другой стороны, по определению логарифма,

Из равенств (3) и (4) имеем:

Теорема:

Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания.

Доказательство:

Пусть N—произвольное положительное число и а — любое вещественное число. По определению логарифма,

Возведя обе части равенства в степень а, получим

С другой стороны, по определению логарифма,

Из равенств (5) и (6) имеем

Теорема:

Логарифм корня равен логарифму подкоренного выражения, деленному на показатель корня.

Доказательство:

Пусть N — произвольное положительное число, n— натуральное. Тогда, используя теорему 3, получим

Теорема доказана.

Доказанные теоремы служат основой для вычислений при помощи логарифмов.

Пусть требуется найти произведение двух чисел N₁ и N₂ Пользуясь графиком логарифмической функции или таблицей ее значений, определяют Показательные функции и логарифмы Далее, сложением логарифмов определяют логарифм искомого произведения (теорема 1)

Остается по графику логарифмической функции или по таблице ее значений по Показательные функции и логарифмы найти число N₁ N₂ .

Точно так же при делении, возведении в степень и извлечении корня используются теоремы 2, 3, 4 соответственно.

Логарифмирование и потенцирование выражений

Пользуясь теоремами 1 —4 § 7, часто удается свести логарифм сложного выражения к результату простых действий над логарифмами входящих в него более простых выражений.

Такое преобразование логарифма называется логарифмированием выражения.

Например, пусть надо вычислить

Применяя теорему о логарифме частного, имеем

Далее, на основании теорем о логарифме произведения, степени и корня последовательно имеем

Точно так же

Окончательно

Таким образом, вычисление логарифма А сведено к вычислению логарифмов а, b, с, d, е.

Логарифм суммы не может быть просто выражен через логарифмы слагаемые. Иногда логарифм суммы преобразуется так:

Такое преобразование используется в так называемых гауссовых логарифмах.

При решении некоторых вопросов приходится ввести преобразование, обратное логарифмированию, т. е. приходится результат действий над логарифмами нескольких выражений преобразовывать в логарифм одного выражения. Такое преобразование логарифмов называется потенцированием выражения.

Пример:

Найти А, если

Решение:

На основании теоремы о логарифме степени имеем:

На основании теоремы о логарифме произведения

Ha основании теоремы о логарифме частного

Так как из равенства логарифмов двух чисел дледует равенство этих чисел (см. свойство 4 § 6), то

Пример:

Найти А, если известно, что

Решение:

Ответ. Показательные функции и логарифмы

В этом параграфе, за исключением последнего примера, употребляется знак логарифма без указания основания, по которому берутся логарифмы. Объясняется это тем, что все изложенное здесь справедливо для логарифмов по любому основанию.

Десятичные логарифмы

За основание логарифмов обычно принимается число 10, так как 10 лежит в основе употребительной системы счисления. Логарифмы чисел по основанию 10 называются десятичными. Для упрощения записи десятичных логарифмов основание обычно не указывается и знак log заменяют знаком lg, т. е. вместо log₁₀N пишут lgN

Десятичные логарифмы обладают всеми свойствами логарифмов при основании, бoльшем единицы, и, кроме того, следующими:

Если число является степенью 10 с натуральным показателем, то десятичный логарифм его равен количеству нулей в изображении этого числа. Действительно,

2. Если число является степенью числа 0,1 с натуральным показателем, то десятичный логарифм его равен целому отрицательному числу, абсолютная величина которого равна количеству нулей, входящих в десятичное изображение этого числа, в том числе и нуля целых.

Действительно, Показательные функции и логарифмы Например, lg 1000 = 3; lg 0,0001 = — 4.

3. Если число умножить на Показательные функции и логарифмы , логарифм его увеличится на n.

Действительно, пусть lg N = x, тогда lg

4. Если число разделить на 10ⁿ, логарифм его уменьшатся на n.

5. Если в десятичной дроби перенести запятую на п знаков вправо, логарифм ее увеличится на n. Если в десятичной дроби перенести запятую на п знаков влево, логарифм ее уменьшится на n.

6. Логарифмы рациональных чисел вообще иррациональны. Исключение составляют лишь числа, являющиеся степенью числа 10 с целым показателем.

Доказательство:

1. Пусть натуральное N имеет рациональный логарифм Показательные функции и логарифмы , где m и n — натуральные числа. Тогда

Если N делится на простое число р, отличное от 2 и 5, равенство (1) невозможно, так как 10ᵐ на р не делится. Остается предполагать, что Показательные функции и логарифмы , где q и t — целые неотрицательные числа. Докажем, что q = t и, следовательно, N есть степень числа 10 с целым показателем. Допустим, что q > t. Тогда

Равенство (1) принимает вид

Если m = nt равенство (2) невозможно, так как оно приводит к равенству

где q > t. Точно так же равенство (2) невозможно как при m < nt, так и при m > nt. Итак,

Рассуждая точно так же, можно показать, что q не может быть меньше t.

2. Пусть N—неправильная несократимая дробь, т. е. Показательные функции и логарифмы где а и b натуральные, а > b > 1 и a взаимно просто с b. Предположим опять, что логарифм N равен . Тогда

Так как степень несократимой дроби с натуральным показателем есть опять несократимая дробь, равенство (3) невозможно.

3. Пусть N — правильная несократимая дробь, т. е. Показательные функции и логарифмы ,b < a а и b взаимно просты. Так как N < 1, логарифм его отрицателен. Предположим, что логарифм N равен . Тогда

отсюда

По доказанному в п. 2 равенство (4) возможно только тогда, когда b ≠ 1. Равенство (4) принимает такой вид:

По доказанному в п. 1 последнее равенство возможно только тогда, когда а есть степень числа 10 с целым неотрицательным показателем. Выходит, что

где k—целое неотрицательное число.

Характеристика и мантисса

Если действительное число не является целым, то его можно представить в виде суммы целого числа и положительного числа, меньшего единицы. Например,

Поэтому и логарифм любого положительного числа N можно представить так:

где А — целое число и 0 ≤ a < l. Целая часть логарифма называется его характеристикой, а число а — его мантиссой.

Пример:

Найти характеристику lg 279,8.

Решение:

Так как 100<279,8< 1000, то

т. е. 2 < lg 279,8 < 3. Выходит, что

где 0 < а < 1. Характеристика lg 279,8 равна 2.

Пример:

Найти характеристику ]g0,0045.

Решение:

Так как 0,001 < 0,0045 < 0,01, то

т. е. —3<lg 0,0045 < — 2. Выходит, что

где 0<а<1. Характеристика lg 0,0045 равна —3.

Теорема:

Характеристика логарифма числа, бoльшего единицы, на единицу меньше числа цифр в целой части числа.

Доказательство:

Пусть число N имеет в целой части n цифр. Тогда

так как Показательные функции и логарифмы есть наименьшее целое n-значное число, а 10ⁿ есть (n+ 1)-значное число. Значит,

т. е.

где 0 ≤ а < 1. Характеристика lg N равна n— 1.

Теорема:

Характеристика логарифма числа, меньшего единицы, содержит столько отрицательных единиц, сколько нулей пишется в десятичном изображении этого числа до первой цифры, отличной от нуля, считая и нуль целых.

Доказательство:

Пусть в десятичном изображении числа N пишется n нулей до первой цифры, отличной от нуля, т. е.

а — цифра, отличная от нуля. Тогда Показательные функции и логарифмы Значит,

т. е.

Выходит, что

где 0 ≤ a < 1. Характеристика IgN равна —n.

Пример:

Найти характеристики логарифмов чисел

2,7; 38,7;. 356,6; 1127,66; 0,43; 0,00026.

Ответ. 0; 1; 2; 3; — 1; — 4.

Принята такая запись логарифмов чисел, меньших единицы:

— 3,7 = 4,3; — 0,275 = 1,725,

т. е. логарифмы чисел, меньших единицы, представляют в виде суммы целого отрицательного числа (характеристика) и неотрицательного числа, меньшего единицы (мантисса).

Понятие о вычислении логарифмов

Для использования логарифмов при вычислениях необходимо, чтобы в распоряжении вычислителя имелись достаточно подробные таблицы значений логарифмической функции, вычисленные с определенной, достаточной для практических целей, точностью.

Математика располагает различными средствами для составления таких таблиц. Однако рассмотрение этих способов вычисления логарифмов выходит за пределы школьной программы.

Можно указать способ, далеко не совершенный, но весьма простой по идее, из рассмотрения которого будет видно, что логарифм любого натурального числа может быть вычислен с любой точностью.

Пусть требуется вычислить логарифм натурального числа N с точностью до Показательные функции и логарифмы . Возведем N в k-ю степень и определим количество цифр t получаемого при этом числа. Тогда

отсюда

Например, 2¹⁰= 1024, значит, lg2¹⁰ = 3,… Отсюда lg2 = 0,3…

На следующем примере будет показан более совершенный способ вычисления логарифмов.

Пример:

Вычислить lg 2.

Решение:

Обозначив искомый логарифм буквой х, имеем

Так как 10° < 2 < 10, то 0 < x < 1. Положим Показательные функции и логарифмы , где y > 1.

Тогда

Так как

то

Положим Показательные функции и логарифмы где z > 1. Тогда

Так как

то

Дальнейшие вычисления по этой схеме затруднительны. Имеем

где 3 < z < 4 Положим z = 3, тогда

Положим z = 4, тогда

Так как 3 < z < 4, х заключен между 0,3 и 0,307 т. е.

Посредством весьма несложных вычислений найдено значение lg2 с двумя верными знаками после запятой. Более точные вычисления показывают, что lg 2 = 0,30103 с точностью до 0,00001.

Интерполирование

Предположим, что логарифм числа N не указан в таблице. Найдем в таблице логарифмы ближайших к N чисел N₁ и N₂ из которых N₁ < N, a N₂ > N Будем считать, что приращения логарифмов пропорциональны приращениям логарифмируемых чисел. Тогда имеем

откуда lgN легко определяется.

Этот способ приближенного вычисления, при котором по двум табличным значениям приближенно определяется промежуточное значение, называется интерполированием.

Пример:

Найти lg474,7, если lg 474 = 2,6758, a lg 475 = 2,6767.

Решение:

При увеличении числа на единицу логарифм его увеличился на 0,0009, так как 2,6767—2,6758 = 0,0009. На сколько увеличится логарифм, если число увеличится на 0,7? Предполагая, что приращения логарифмов пропорциональны приращениям логарифмируемых чисел, имеем

Таким образом, логарифм должен увеличиться на 0,0006, т. е.

Действительно, по пятизначным таблицам логарифмов видно, что

Мы получили правильный результат.

Употребление четырехзначных логарифмических таблиц

К таблицам логарифмов приложены объяснения, в которых показано, как следует пользоваться таблицами для отыскания логарифмов чисел и отыскания чисел по их логарифмам. Здесь поэтому нет надобности давать еще раз эти объяснения. Ограничимся рассмотрением примера. Пусть надо вычислить

Прежде всего следует, не вдаваясь в точные вычисления, определить, какой следует ожидать ответ. Так как Показательные функции и логарифмы то

Так Показательные функции и логарифмы то

Таким образом,

Мы видим, что ответ следует ожидать приблизительно равный 8.

Действия над логарифмами с отрицательными характеристиками

При вычислениях при помощи таблиц логарифмов часто приходится производить сложение и вычитание логарифмов, умножение логарифма на натуральное число, деление логарифма на натуральное число.

Эти действия производятся по обычным схемам с учетом незначительной особенности, вызванной тем, что характеристика логарифма может быть отрицательной.

Сложение.

Подробнее:

Вычитание.

Так как мантисса вычитаемого больше мантиссы уменьшаемого, к мантиссе уменьшаемого мысленно прибавляется единица, а от характеристики отнимается единица.

Подробнее:

Умножение.

Подробнее:

Деление.

Если бы потребовалось 6,2344 разделить на 4, следовало бы к характеристике, прибавить —2, а к мантиссе + 2, т. е.

Пример:

Вычислить

Приближенная оценка:

Вычисление.

Понятие об устройстве логарифмической линейки

Расскажем сначала, как при помощи двух линеек можно производить сложение и вычитание чисел.

Возьмем линейку произвольной длины и разобьем ее делениями на 30 равных частей. У каждого деления поставим отметку 0, 1, 2,…, 30 (рис. 89).

Возьмем еще одну линейку такой же длины и разобьем ее на 30 равных частей так же, как и первую. Отметки на линейках должны быть расположены так, чтобы у одной из них они были нанесены на нижнем краю, а у другой —на ее верхнем краю (рис. 90).

При помощи этих двух линеек можно производить сложение и вычитание чисел.

Предположим, что мы хотим к числу 12 прибавить число 17. Отметку 12 на линейке АВ поставим против отметки 0 на линейке CD. Затем найдем на линейке CD отметку 17 и прочтем противостоящую ей отметку 29 на линейке АВ. Эта отметка 29 и дает нам искомую сумму (рис. 91).

Точно так же производится вычитание. Предположим, что мы хотим от 28 отнять 13., Против отметки 28 на линейке АВ устанавливаем отметку 13 на линейке CD. Против отметки 0 на линейке CD находится отметка 15 на линейке АВ. Эта отметка 15 и дает нам искомую разность (рис. 92).

По такой же схеме ведутся вычисления и на логарифмической линейке. Различие лишь заключается в том, что при работе на логарифмической линейке складываются и вычитаются не числа, а их логарифмы.

Возьмем линейку MN произвольной длины и примем ее за единицу. У точки М поставим отметку 1, а у точки N—отметку 10. Это означает, что точка М изображает lg 1, а точка N изображает lg 10.

Отметку 2 мы ставим у точки М₂ находящейся от точки М на расстоянии приблизительно 0,3 MN. Это означает, что точка M₂ изображает lg 2 (lg 2 = 0,301).

Отметку 3 мы ставим у точки M₃, находящейся от точки М на расстоянии приблизительно 0,48 MN. Это означает, что точка М₃ изображает lg 3 (lg 3 = 0,477).

По этому же правилу ставим и остальные отметки. Получается линейка (рис. 93), на которой нанесена логарифмическая шкала.

Возьмем еще одну линейку такой же длины, как и MN, и нанесем на ней точно такую же шкалу, как и на MN. Отметки на линейках и здесь должны быть расположены так, чтобы у одной из них они были нанесены на нижнем краю, а у другой — на ее верхнем краю (рис. 94).

Из способа построения шкал на линейках МN и PQ вытекает, что сложение, произведенное при помощи линеек с логарифмическими шкалами, означает сложение логарифмов и, следовательно, может быть использовано для умножения чисел, логарифмы которых складывались.

Вычитание, произведенное при помощи линеек с логарифмическими шкалами, означает вычитание логарифмов и, следовательно, может быть использовано для деления чисел, логарифмы которых вычитались.

Из сказанного вытекают следующие правила умножения и деления чисел на логарифмической линейке.

Правило умножения. Для того чтобы при помощи двух одинаковых линеек МN и PQ с логарифмическими шкалами перемножить два числа тип, нужно на линейке МN отыскать деление с отметкой m и поставить это деление против отметки 1 или 10 на линейке PQ. Затем на линейке PQ отыскать деление с отметкой n и прочесть на линейке МN противостоящую отметку, которая и даст искомое произведение.

Правило деления. Для того чтобы при помощи двух одинаковых линеек с логарифмическими шкалами разделить число m на n, нужно отметку m на линейке МN поставить против отметки n на линейке PQ. Частное будет дано отметкой ла линейке МN, находящейся против отметки 1 или 10 на линейке PQ.

На рис. 95 показано умножение 2 на 3. На рис. 96 показано умножение 8 на 5. На этих же рисунках показано и деление 6 на 3 (рис. 95) и деление 40 на 5 (рис. 96).

Устройство логарифмической линейки изложено здесь очень кратко и только для того, чтобы помочь учащемуся сделать первые шаги для ознакомления с этим простейшим счетным прибором. Для того

чтобы научиться быстро считать на логарифмической линейке, нужно упражняться и попутно ознакомиться с подробным описанием линейки, и правилами ее использования.

Для приближенных вычислений логарифмическая линейка, длина шкалы которой 25 см, может заменить таблицы трехзначных логарифмов.

Решение некоторых трансцендентных уравнений

Мы рассматривали уравнения первой степени, квадратные, биквадратные, иррациональные. Все эти уравнения относятся к классу алгебраических уравнений.

Помимо алгебраических уравнений, рассматриваются уравнения неалгебраические, или трансцендентные.

Мы рассмотрим некоторые трансцендентные уравнения: уравнения, содержащие неизвестное в показателе степени (показательные уравнения), и уравнения, содержащие неизвестное под знаком логарифма (логарифмические уравнения).

Пример:

Решить уравнение Показательные функции и логарифмы