Определенный интеграл в математике с примерами решения и образцами выполнения

Определённый интеграл — одно из основных понятий математического анализа, один из видов интеграла. Определённый интеграл является числом, равным пределу сумм особого вида (интегральных сумм). [⇨]. Геометрически определённый интеграл выражает площадь «криволинейной трапеции», ограниченной графиком функции.

Определение определенного интеграла:

Пусть функция y=f(x) определена на отрезке [а, b], а<b. Разобьем этот отрезок на n произвольных частей точками:
Обозначим это разбиение через а точки будем называть точками разбиения. В каждом из полученных частичных отрезков выберем произвольную точку . Через обозначим разность которую условимся называть длиной частичного отрезка

Образуем сумму:

которую назовем интегральной суммой для функции f(х) на [а, b], соответствующей данному разбиению [a, b] на частичные отрезки и данному выбору промежуточных точек Геометрический смысл суммы очевиден: это сумма площадей прямоугольников с основаниями и высотами .

Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка разбиения

Определение:

Если существует конечный предел I интегральной суммы (1) при то этот предел называется определенным интегралом от функции f(х) по отрезку [а, b] и обозначается следующим образом:

В этом случае функция f(х) называется интегрируемой на [а, b]. Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f(х) — подынтегральной функцией, х — переменной интегрирования.

Сделаем ряд пояснений, так как имеет место не совсем обычный предельный переход. В самом деле, интегральная сумма зависит от точек разбиения и промежуточных точек Число тех и других точек стремится к бесконечности при Поэтому само понятие предела интегральной суммы требует уточнения. Сначала дадим соответствующее определение на «языке последовательностей». Пусть отрезок [а, b] последовательно разбивается на части сначала одним способом, затем — вторым, третьим и т. д., причем длина наибольшего частичного отрезка k-ro разбиения стремится к нулю, когда k стремится к бесконечности.

В каждом разбиении выберем произвольно промежуточные точки Таким образом, получаем последовательность разбиения , у которой и можно дать определение определенного интеграла на «языке последовательностей»: функция f(х) называется интегрируемой на [a, b], если для любой последовательности разбиений , у которой соответствующая последовательность интегральных сумм стремится к одному и тому же числу I.

Можно дать определение определенного интеграла и «на языке »: число I называется определенным интегралом от функции f(х) по отрезку [a, b], если для любого существует такое, что при (т. е. если отрезок разбит на части с длинами ) независимо от выбора точек выполняется неравенство

Доказательство эквивалентности обоих определений можно провести аналогично доказательству эквивалентности двух определений предела функции. Определение «на языке последовательностей» дает возможность перенести основные понятия теории пределов и на этот новый вид предела.

Из определения определенного интеграла следует, что величина интеграла (2) зависит только от вида функций f(х) и от чисел a и b. Следовательно, если заданы f(х) и пределы интегрирования, то интеграл (2) определяется однозначно и представляет собой некоторое число. Отсюда, в частности, следует, что определенный интеграл не зависит от выбора обозначения для аргумента подынтегральной функции, т. е. от обозначения переменной интегрирования:

Условия существования определенного интеграла

Ограниченность интегрируемой функции

Теорема:

Необходимое условие интегрируемости функции. Если функция f(х) интегрируема на отрезке [а, b], то она ограничена на этом отрезке.

Доказательство:

Предположим обратное, т. е. допустим, что f(х) не ограничена на [а, b]. Покажем, что в этом случае интегральную сумму можно за счет выбора точек сделать сколь угодно большой при любом разбиении отрезка [а, b].

Действительно, так как f(х) не ограничена на [а, b], то при любом разбиении отрезка [a, b] она обладает этим свойством хотя бы на одном частичном отрезке разбиения, например на . Выберем на остальных частичных отрезках точки произвольно и обозначим

Зададим произвольное число M>0 и возьмем такое на , чтобы

Это можно сделать в силу неограниченности функции f(х) на Тогда т. е. интегральная сумма а по абсолютной величине больше любого наперед заданного числа. Поэтому интегральная сумма о не имеет конечного предела при Это означает, что определенный интеграл от неограниченной функции не существует. ■

Замечание. Обратная теорема неверна, т. е. условие ограниченности функции f(х) необходимое, но не достаточное условие интегрируемости функции. Поясним это утверждение примером. Рассмотрим функцию Дирихле на отрезке [0, 1]:

Функция Дирихле, очевидно, ограничена. Однако она не интегрируема на [0, 1]. Покажем это. Если при любом разбиении отрезка [0, 1] выбрать рациональные точки

то получим

а если взять иррациональными, то получим

Таким образом, при разбиении на сколь угодно малые частичные отрезки интегральная сумма может принимать как значение, равное 0, так и значение, равное 1. Поэтому интегральная сумма при предела не имеет.

Таким образом, для существования определенного интеграла от некоторой функции f(х) последняя, помимо ограниченности, должна обладать дополнительными свойствами, обеспечивающими ее интегрируемость. Для установления этих свойств необходимо ввести понятия нижних и верхних сумм.

Суммы Дарбу

Пусть функция f (х) ограничена на отрезке [a, b] и — разбиение этого отрезка точками: Обозначим через соответственно точную нижнюю и точную верхнюю грани этой функции на отрезке и составим следующие суммы:

Эти суммы называются соответственно верхней и нижней суммами или верхней и нижней суммами Дарбу функции f(х) для данного разбиения отрезка [а, b].

Из определения нижней и верхней граней следует, что Отсюдa

т. е. любая интегральная сумма и суммы Дарбу для данного разбиения связаны неравенствами

Суммы Дарбу имеют простой геометрический смысл. Рассмотрим неотрицательную непрерывную функцию f(х) на [а, b] и криволинейную трапецию, т. е. фигуру, ограниченную графиком функции f(х), двумя вертикальными прямыми, проведенными через точки а и b оси Ох, и осью Ох (рис. 94 и 95). Поскольку функция f(х) непрерывна на [а, b], она непрерывна и на . По второй теореме Вейерштрасса функция f(х) достигает на своих точных граней, и, следовательно, — соответственно наименьшее и наибольшее значения функции на этом отрезке. Поэтому сумма S равна площади заштрихованной на рис. 94 ступенчатой фигуры, «описанной» около криволинейной трапеции, а сумма s равна площади заштрихованной на рис. 95 ступенчатой фигуры, «вписанной» в данную криволинейную трапецию.

Следует особо отметить, что суммы Дарбу зависят только от разбиения отрезка [а, b], в то время как интегральная сумма а зависит еще и от выбора точек , на частичных отрезках . При фиксированном разбиении отрезка [a, b] суммы s и S — некоторые числа, а сумма — переменная величина, так как точки произвольны.

Свойства сумм Дарбу

1°. Для любого фиксированного разбиения х и для любого точки на отрезках можно выбрать так, что интегральная сумма а будет удовлетворять неравенствам Точки можно выбрать также и таким образом, что интегральная сумма будет удовлетворять неравенствам

Доказательство:

Пусть — некоторое фиксированное разбиение отрезка [а, b]. Докажем, например, неравенства Согласно свойству точной верхней грани для данного можно указать такую точку что

Умножая эти неравенства на и затем складывая, получаем Аналогично устанавливаются неравенства ■

2°. От добавления к данному разбиению отрезка [а, b] новых точек разбиения нижняя сумма Дарбу не уменьшается, а верхняя — не увеличивается.

Доказательство:

Для доказательства достаточно ограничиться добавлением к данному разбиению еще одной точки разбиения х’, так как добавление нескольких точек разбиения можно провести, добавляя их по одной. Предположим, что эта новая точка х» попала на отрезок (рис. 96). Обозначим соответственно через s и s’ — нижние, а через S и S’ — верхние суммы Дарбу для данного разбиения и полученного из него добавлением точки х’ разбиения ‘.

Проведем доказательство для нижних сумм Дарбу s и s’. Обозначим через , точные нижние грани функции f(х) соответственно на отрезках . В сумму s входит слагаемое а в сумму s’ вместо него слагаемые . Остальные слагаемые в суммах s и s’ одинаковы. Так как .

Отсюда следует, что
Аналогично доказывается, что ■
3°. Нижняя сумма Дарбу для любого разбиения ‘ не превосходит верхней суммы для любого другого разбиения «.

Доказательство:

Пусть s’ и S’, s» и S» — нижняя и верхняя суммы Дарбу соответственно для разбиений ‘ и «. Рассмотрим разбиение , состоящее из всех точек, входящих в разбиения ‘ и «.

Обозначим его суммы Дарбу через s и S. Так как разбиение может быть получено из разбиения ‘ добавлением к нему точек разбиения «, то согласно свойству 2°, учитывая очевидное неравенство , получаем

Но разбиение может быть также получено из разбиения » добавлением точек разбиения ‘. Поэтому

Сравнивая установленные неравенства, получаем

4°. Множество [S] верхних сумм Дарбу данной функции f(x) для, всевозможных разбиений отрезка [а, b] ограничено снизу, а множество (s) нижних сумм Дарбу ограничено сверху, причем точная верхняя грань множества (s) не превосходит точную нижнюю грань множества (S).

Доказательство:

Это Свойство непосредственно следует из свойства 3°. Действительно, множество всех верхних сумм Дарбу {S} ограничено снизу, например, любой нижней суммой Дарбу [s], а множество всех нижних сумм Дарбу (s) ограничено сверху-например, любой верхней суммой Дарбу S. Поэтому по теореме множества (S) и (s) имеют точные грани. Обозначим через точную нижнюю грань множества (S), а через — точную верхнюю грань множества {s}:

Покажем что Пусть Обозначим их разность через , так что

Необходимое и достаточное условие интегрируемости

Имеет место следующая основная теорема.

Теорема:

Для того чтобы ограниченная на отрезке [а, b] функция f(х) была интегрируемой на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы

Условие (2) означает, что для любого существует такое, что при выполняется неравенство Так как то последнее неравенство равносильно неравенству

Доказательство:

Необходимость. Пусть функция f(х) интегрируема на отрезке [а, b], т. е. существует определенный интеграл
.
Это означает, что для любого существует такое, что для любого разбиения , удовлетворяющего yсловию , независимо от выбора точек выполняется неравенство

Зафиксируем любое такое разбиение . Для него согласно свойству 1° можно указать такие интегральные суммы , что

Отметим, что обе интегральные суммы удовлетворяют неравенству (4). Из соотношения

и неравенств (4) и (5) следует, что

а это и означает выполнение условия (3).

Достаточность. Пусть выполнено условие (3). Согласно свойству 4° для любых нижних и верхних сумм Дарбу, поэтому .

Если же интегральная сумма и суммы Дарбу s и S отвечают одному и тому же разбиению , то, как известно [см. формулу (1)]

Из неравенств (6) и (7) следует, что

По условию для любого существует такое, что при выполняется неравенство (3): Но тогда из неравенства (8) следует, что и

а это означает, что число I является пределом интегральной суммы при , т. е. функция f(х) интегрируема на отрезке [а, b].

В дальнейшем понадобится другая форма записи необходимого и достаточного условия интегрируемости. Обозначая колебанием функции f(х) на отрезке через имеем

Так как то каждое слагаемое в последней сумме неотрицательно, и условие существования определенного интеграла можно переписать так: для любого существует такое, что

В таком виде его обычно и применяют.

Интегрируемость непрерывных и некоторых разрывных функций

Теорема:

Если функция f(х) непрерывна на отрезке [а, b], то она интегрируема на нем.

Доказательство:

Так как функция f(х) непрерывна на отрезке [а, b], то по теореме Кантора она и равномерно-непрерывна на нем. Пусть дано любое . Согласно следствию из теорему Кантора для положительного числа найдется такое, что при разбиении отрезка [а, b] на частичные отрезки , длина которых все колебания меньше

Отсюда

Следовательно, для непрерывной на отрезке [а, b] функции f(х) заполнено достаточное условие интегрируемости, а из него вытечет существование определенного интеграла■

Как следует из теоремы, условие непрерывности функции является достаточным условием интегрируемости функции. Но это не означает, что определенный интеграл существует только для непрерывных функций. Класс интегрируемых функций гораздо шире. Так, например, существует определенный интеграл от функций, имеющих конечное число точек разрыва. Докажем это.

Теорема:

Если функция f(х) ограничена на отрезке [а, b] и непрерывна на нем всюду, кроме конечного числа точек, то она интегрируема на этом отрезке.

Доказательство:

Достаточно рассмотреть случай, когда между а и b имеется лишь одна точка разрыва х’. Пусть М и m — точные грани функции f(х) на [a, b], — ее колебание на данном отрезке. Возьмем любое достаточно малое и рассмотрим отрезки (рис. 97). На каждом из этих отрезков f(х) непрерывна, и, следовательно, найдется такое, что при разбиении их на частичные отрезки с длинами все колебания меньше

Пусть Рассмотрим теперь произвольное pазбиение [а, b] на частичные отрезки, длина которых (рис. 97). Для этого разбиения сумму разобьем на слагаемые где в первую сумму входят частичные отрезки, лежащие целиком вне -окрестности точки х’, а во Вторую — частичные отрезки, либо заключенные целиком внутри -окрестности точки х’, либо имеющие с ней общие точки.

Для первой суммы, как и при доказательстве предыдущей Теоремы, имеем

что касается второй суммы, то заметим, что длины отрезков, целиком попавших внутрь -окрестности точки х’ в сумме меньше или равны ; число отрезков, лишь частично попавших в эту окрестность, не больше двух, поэтому сумма их длин меньше Следовательно,

Таким образом, окончательно имеем

Это и доказывает интегрируемость функции f(х) на [а, b].
Следствие. Кусочно-непрерывная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке.

Основные свойства определенного интеграла

1°. Интеграл был введен для случая a<b. Обобщим понятие определенного интеграла на случай, когда пределы интегрирования совпадают или нижний предел больше верхнего. По определению полагаем

рассматривая эту формулу как естественное распространение понятия определенного интеграла на отрезок нулевой длины.

Также по определению полагаем
рассматривая формулу (2) как естественное распространение понятия определенного интеграла на случай, когда отрезок [а, b] при а<b пробегается в направлении от b к а. В этом случае точки разбиения отрезка [а, b] занумерованы в порядке следования от b к а и в интегральной сумме все разности имеют отрицательный знак.

2°. Каковы бы ни были числа а, b, с, имеет место равенств

(Здесь и в § 4 и 5 предполагается, что интегралы, входящие в докaзываемые формулы, существуют).

Доказательство:

Допустим сначала, что а<c<b Так как предел интегральной суммы а не зависит от способа разбиения отрезка [а, b], то будем разбивать [а, b] так, чтобы точка была точкой разбиения. Если, например, то можно разбить на две суммы:

Переходя в этом равенстве к пределу при , получаем равенство (3).

Суть доказанного свойства состоит в том, что определенный интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по его частям.

Доказательство для другого расположения точек а, b, с легко сводится к рассмотренному случаю. Пусть, например, ; тогда по доказанному имеемт. е. опять пришли к равенству (3). ■

3°. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, т. е.

Доказательство:

Действительно, для любого разбиения отрезка [а, b] и любого выбора точек

Переходя к пределу при имеем

т.е. получено равенство (4). ■

4°. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций Равен алгебраической сумме их интегралов, т. е

Доказательство:

Действительно, для любого разбиения отрезка [а, b] и любого выбора точек ,
Замечание. Свойство 4° имеет место для любого конечного числа слагаемых.

Оценки интегралов и формула среднего значения

Оценки интегралов (всюду в этом параграфе считаем, что а<b). 1°. Если всюду на отрезке [а, b] функция , тo

Доказательство:

В самом деле, любая интегральная сумма для функции f(х) на [а, b] неотрицательна, так как

Переходя к пределу при в неравенстве
получаем

2°. Если всюду на отрезке то

Доказательство:

Применяя оценку 1° к функции имеем

Нo согласно свойству 4°
имеет место неравенство (1).

Доказательство:

Применяя оценку 2° к очевидным неравенствам — получаем
а это равносильно неравенству (2). ■

Следствие:

Если всюду на отрезке то

Действительно, из неравенства и оценок 2° и 3° следует,
что

Отсюда, замечая, что получаем соотношение (3).

4°. Если m и M — соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(х) на отрезке [а, b], то

Доказательство:

По условию для любого имеем

Применяя оценку 2° к этим неравенствам, имеем
откуда с учетом (4) получаем неравенства (5). ■

Формула среднего значения: Теорема 8.5 (теорема о среднем). Если функция f(х) непрерывна на отрезке то на этом отрезке существует точка с такая, что

Доказательство:

Так как (х) непрерывна на [а, b], то по второй теореме Вейерштрасса существуют числа m и М такие, что

Отсюда в силу оценки 4° получаем и, следовательно,

Положим

Так как число заключено между наименьшими и наибольшими значениями непрерывной функции f(х) на [а, b] (рис. 98), то по теореме 4.10 о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение существует точка такая, что Поэтому

а это равносильно равенству (6). ■

Равенство (6) называется формулой среднего значения, а величина f(с) — средним значением функции f(х) на отрезке [а, b].
Замечание. Теорема о среднем имеет геометрический смысл: величина определенного интеграла при равна площади прямоугольника, имеющего высоту f(с) и основание b — а.

Интеграл с переменным верхним пределом

До сих пор мы рассматривали определенный интеграл с постоянными пределами интегрирования а и b. Если изменять, например, верхний предел так, чтобы не выйти за пределы отрезка
[а, b], то величина интеграла будет изменяться. Другими словами, интеграл с переменным верхним пределом представляет собой функцию своего верхнего предела.

Рассмотрим интеграл с постоянным нижним пределом а и переменным верхним пределом х. Величина этого интеграла является функцией верхнего предела х. Обозначим эту функцию через Ф(х), т. е. положим

и назовем ее интегралом с переменным верхним пределом. Геометрически функция Ф(х) представляет собой площадь заштрихованной на рис. 99 криволинейной трапеции, если f(х)>0.

Значение интеграла с переменным верхним пределом раскрывает следующая теорема.

Теорема:

Производная интеграла от непрерывной функции по переменному верхнему пределу существует и равна значению подынтегральной функции в точке, равной верхнему пределу, т. е.

Доказательство:

Возьмем любое значение и придадим ему приращение такое, чтобы т. е. . Тогда функция Ф(х), определенная выражением (1), получит новое значение:

Согласно свойству 2° определенного интеграла (см. § 4) имеем

Отсюда находим приращение функции Ф(х):

Применяя теорему 8.5, получаем

где с — число, заключенное между числами х и . Разделим обе части равенства на :

Если теперь и тогда, в силу непрерывности функции f (х) на [a, b], f(c)->f(x). Поэтому, переходя к пределу при в последнем равенстве, получаем

Таким образом, установлено, что любая непрерывная на отрезке [а, b] функция f(х) имеет на этом отрезке первообразную, причем функция Ф(х) — интеграл с переменным верхним пределом — является первообразной для f(х). А так как всякая другая первообразная для функции f(x) может отличаться от Ф(x) только на постоянную (см. теорему 7.1), то установлена связь между неопределенным и определенным интегралами в вид

где С — произвольная постоянная.

Формула Ньютона—Лейбница

Вычисление определенных интегралов методом, основанным на определении интеграла как предела интегральной суммы, как правило, связано с большими трудностями. Существует более удобный метод вычисления определенных интегралов, который, как будет показано, основан на установленной в § 6 связи между неопределенным и определенным интегралами.

Выше установлено, что функция f(х), непрерывная на отрезке [а, b], имеет на этом отрезке первообразные, причем одной из них является функция

Пусть F(х) — любая другая первообразная для функции f(х) на том же отрезке [а, b]. Так как первообразные Ф(х) и F(х) отличаются на постоянную, то имеет место равенств

где С — некоторое число. Подставляя в это равенство значение х=а и используя формулу (1) из § 4, имеем
т. е. для любого

Полагая х=b, получаем основную формулу интегрального исчисления
которая называется формулой Ньютона—Лейбница.

Разность F(b)—F(а) принято условно записывать так:
и поэтому формула (1) принимает вид

Подчеркнем, что в формуле (1) в качестве F(х) можно взять любую первообразную для f(х) на отрезке [а, b].

Формула (1) дает простой метод вычисления определенного интеграла: определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений любой ее первообразной, вычисленных для верхнего и нижнего пределов интегрирования. Эта формула открывает Широкие возможности для вычисления определенных интегралов, поскольку задача вычисления определенного интеграла сводится к задаче вычисления неопределенного интеграла, которая достаточно полно изучена.
Рассмотрим примеры.

Замечание:

Формула Ньютона—Лейбница была выведена в предположении, что подынтегральная функция f(х) непрерывна. При некоторых условиях формула Ньютона—Лейбница имеет место и для разрывных функций.

Замена переменной в определенном интеграле

Теорема:

Пусть f(х) — непрерывная функция на отрезке [a, b]. Тогда, если: 1) функция дифференцируема на непрерывна на ; 2) множеством значений функции является отрезок [а, b]; 3) (рис. 100), то справедлива формула

Доказательство:

По формуле Ньютона—Лейбница

где F (х) — какая-нибудь первообразная для функции f(х) на [а, b]. С другой стороны, рассмотрим на отрезке сложную функцию от переменной . Согласно правилу дифференцирования сложной функции находим

Отсюда следует, что функция Ф(t) является первообразной для функции непрерывной на , и поэтому, согласно формуле Ньютона—Лейбница, получаем

Формула (1) называется формулой замены переменной или подстановки в определенном интеграле.

Замечание:

Если при вычислении неопределенного интеграла с помощью замены переменной от новой переменной t следует возвращаться к старой переменной х, то при вычислении определенного интеграла этого делать не нужно, так как теперь следует найти число, которое согласно доказанной формуле равно значению каждого из рассматриваемых интегралов.

Пример:

Вычислить

Решение:

Рассмотрим подстановку Проверим законность такой подстановки.

Во-первых, функция непрерывна на [О, 1]; во-вторых, функция x=sin t дифференцируема на непрерывна на и, в-третьих, при изменении функция х=sin t изменяется от 0 до 1, причем Таким образом, данная подстановка удовлетворяет всем условиям теоремы 8.7. Применяя формулу (1), получаем

Замечание:

При использовании формулы (1) необходимо проверять выполнение перечисленных в теореме условий. Если эти условия нарушаются, то может быть получен и неверный результат.

Пример:

Вычислить
Решение:

Имеем

С другой стороны

Подстановка tg x=t формально приводит к следующему результату:

Получен неверный результат, так как . Это произошло потому, что функция t=tg х разрывна при и не удовлетворяет условиям теоремы 8.7.

Формула интегрирования по частям в определенном интеграле

Теорема:

Если функции имеют непрерывные производные на отрезке [а, b], то справедлива формул

Доказательство:

Так как функция является первообразной для функции то по формуле Ньютона—Лейбницa

Отсюда, используя свойство 4° определенных интегралов (см. § 4), получаем
откуда и следует формула (1). ■

Формула (1) называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.

Пример:

Вычислить

Решение:

Положим отсюда и по формуле (1) находим

Пример:

Вычислить

Решение:

эПоложим отсюда и по формуле (1) имеем

Пример:

Вычислить

Решение:

Положим отсюда и по формуле (1) находим

Некоторые физические и геометрические приложения определенного интеграла

Площадь криволинейной трапеции

Пусть на плоскости Оху дана фигура, ограниченная отрезком [а, b] оси Ох, прямыми

x=a, x=b и графиком непрерывной и неотрицательной функции y=f(x) на [а, b]. Это криволинейная трапеция, площадь s* которой может быть вычислена по формуле

Доказательство:

Разобьем произвольно отрезок [а, b] нa n частей точками выберем на каждом частичном отрезке произвольно точку и рассмотрим ступенчатую фигуру (рис. 101). Площадь s криволинейной трапеции приближенно Равна площади ступенчатой фигуры:
, где Естественно
считать, что при , площадь ступенчатой фигуры стремится площади криволинейной трапеции. С другой стороны, площадь ступенчатой фигуры является интегральной суммой для интеграла (1). Так как функция f(х) непрерывна на [а, b], то предел этой суммы при существует и равен интегралу от функции f(х) по [а, b]. Следовательно, и площадь s криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу от функции f(x) по [a, b]:

Итак, определенный интеграл от неотрицательной непрерывной функции f(х) по [а, b] численно равен площади криволинейной трапеции с основанием [а, b], ограниченной сверху графиком функции y=f(x). В этом заключается геометрический смысл определенного интеграла.

Пример:

Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции прямой х= 1 и осью Ох (рис. 102).

Решение:

По формуле (1) имеем

Если

Пусть фигура ограничена снизу и сверху графиками функции (рис. 103), где — две непрерывные функции. Если обе функции неотрицательны, то площадь s данной фигуры равна разности площадей криволинейных трапеций, ограниченных сверху соответственно графиками функций Следовательно,

Заметим, что формула (2) справедлива и тогда, когда не являются неотрицательными. В самом деле, в силу их ограниченности существует число h>0 такое, что функции являются неотрицательными, и имеет место очевидное равенство

Пример:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций (рис. 104).
Решение. Найдем абсциссы точек пересечения прямой у=х с параболой Решая систему уравнений

получаем Это и есть пределы интегрирования. Искомая площадь фигуры согласно формуле (2) такова:

Замечание:

Для вычисления площади криволинейной трапеции в случае, когда верхняя граница задана параметрическими уравнениями

в формуле (1) надо сделать замену переменной, положив Тогда получим

Пример:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом

Решение:

Эллипс симметричен относительно осей координат, поэтому достаточно вычислить площадь части фигуры, Находящейся в I четверти (рис. 105). Следовательно, искомая площадь равна

В частности, если a=b=R, то получаем известную формулу площади круга

Площадь криволинейного сектора

Пусть кривая АВ задана в полярных координатах уравнением причем функция непрерывна и неотрицательна на отрезке . Плоскую фигуру, ограниченную кривой АВ и двумя лучами, составляющими с полярной осью углы будем называть криволинейным сектором (рис. 106). Площадь s криволинейного сектора

Доказательство:

Разобьем произвольно отрезок на n частей точками выберем на каждом частичном отрезке произвольно точку и построим круговые секторы с радиусами В результате получим веерообразную фигуру, площадь которой приближенно равна площади s криволинейного сектора:
где С другой стороны, площадь веерообразной фигуры является интегральной суммой для интеграла (3). Так как функция непрерывна на отрезке , то предел этой суммы при существует и равен интегралу (3).

Следовательно, и площадь криволинейного сектора численно равна этому определенному интегралу:

Пример:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной поляр-ной осью и первым витком спирали Архимеда: где a положительное число (рис. 107).

Решение:

При изменении от полярный радиус описывает кривую, ограничивающую криволинейный сектор ОАВС. Поэтому по формуле (3) имеем

Расстояние от точки С до полюса равно Поэтому круг радиуса ОС имеет площадь т. е. площадь фигуры, ограниченной полярной осью и первым витком спирали Архимеда, равна площади круга с радиусом, равным наибольшему из полярных радиусов витка. К этому выводу пришел еще Архимед.

Длина дуги кривой

Пусть плоская кривая АВ задана уравнением где (х)— непрерывная функция на отрезке
[а, b]. Разобьем кривую АВ на n произвольных частей точками в направлении от A к В. Соединив соседние точки хордами, получим некоторую вписанную в кривую АВ ломаную, длину которой обозначим через Р (рис. 108). Через обозначим длину одного звена ломаной, а через — длину наибольшего из ее звеньев:

Определение:

Число L называется пределом длин ломаных Р при если для любого существует такое, что для всякой ломаной, у которой , выполняется неравенство

Если существует предел L длин Р вписанных в кривую ломаных при , то этот предел называется длиной дуги АВ.

Если функция f(х) непрерывна вместе с f'(х) на отрезке [а, b], то длина L дуги АВ выражается формулой

Доказательство:

Обозначим через координаты точки так что для абсцисс этих точек получим: Тогда длина одного звена ломаной равна

Правая часть равенства представляет собой интегральную сумму для интеграла (4). Функция непрерывна на [а, b],

поэтому предел этой суммы при существует и равен определенному интегралу (4). Так как то при Следовательно,

Пример:

Вычислить длину дуги верхней ветви полукубической параболы , если (рис. 109).
Решение:

Из уравнения находим:
Следовательно, по формуле (4) получим

Замечание:

Для вычисления длины дуги в случае, когда кривая АВ задана параметрическими уравнениями где — значения параметра t, соответствующие значениям в формуле надо сделать замену переменной, положив Тогда получим

Пример:

Вычислить длину дуги одной арки циклоиды: (рис. 110).

Решение:

Из уравнений циклоиды находим: Когда x пробегает отрезок , параметр t пробегает отрезок . Следовательно, искомая длина дуги

Замечание:

Для вычисления длины дуги в случае, когда кривая АВ задана в полярных координатах уравнением имеет непрерывную производную на отрезке , и точкам А к В соответствуют значения , равные , нужно перейти от полярных координат [см. гл. 3, § 3, формулу (1)] к прямоугольным. Тогда получим параметрическое задание кривой АВ уравнениями (—параметр). Так как

то формула (5) принимает вид

Пример:

Вычислить длину первого витка спирали Архимеда: (см. рис. 107).
Решение:

Первый виток спирали образуется при изменении полярного угла Поэтому по формуле (6) искомая длина дуги равна

Объем тела вращения

Пусть функция f(х) непрерывна и неотрицательна на отрезке [а, b]. Тогда тело, которое образуется вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции у=f(x), имеет объем

Доказательство:

Разобьем произвольно отрезок [а, b] на n частей точками На каждом частичном отрезке построим прямоугольник (рис. 111).

При вращении вокруг оси Ох каждый прямоугольник опишет цилиндр. Найдем объем i-го цилиндра, образованного вращением прямоугольника PMNQ

Сумма объемов всех n цилиндров приближенно равна объему данного тела вращения:

С другой стороны, эта сумма является интегральной суммой для интеграла (7). Так как функция непрерывна на [а, b], то предел этой суммы при существует и равен определенному интегралу (7). Таким образом,

Пример:

Вычислить объем тора. (Тором называется тело, получающееся при вращении круга радиуса а вокруг оси, лежащей в его плоскости на расстоянии b от центра круга . Форму тора имеет, например, баранка.)

Решение:

Пусть круг вращается вокруг оси Ох (рис. 112). Объем тора можно представить как разность объемов тел, полученных от вращения криволинейных трапеций ABCDE и ABLDE вокруг оси Ох.

Уравнение окружности LBCD имеет вид

Площадь поверхности вращения

Пусть функция f(х) неотрицательна и непрерывна вместе со своей первой производной на отрезке [а, b]. Тогда поверхность, образованная вращением графика этой функции вокруг оси Ох, имеет площадь Р, которая может быть вычислена по формуле

Доказательство:

Разобьем произвольно отрезок [а, b] на n частей точками

Пусть — соответствующие точки графика функции f (х). Построим ломаную (рис. 113). При вращении этой ломаной вокруг оси Ох получим поверхность, составленную из боковых поверхностей усеченных конусов (цилиндров). Площадь боковой поверхности усеченного конуса (цилиндра), образованного вращением i-го звена ломаной, равна где —длина хорды т. е

По формуле Лагранжа

Полагая получаем

Итак, площадь Р поверхности вращения приближенно равна площади поверхности, полученной от вращения ломаной

Представим эту сумму в виде двух сумм

Первая сумма в правой части последнего равенства является интегральной суммой для интеграла (8), и при

в силу непрерывности функции имеет своим пределом этот интеграл. Покажем, что выражение в фигурных скобках в правой части равенства (9) имеет при предел, равный нулю. Действительно, так как функция f(х) равномерно-непрерывна на [а, b], то по теореме Кантора для любого существует такое, что при выполняются неравенства Если обозначить через М максимальное значение функции на отрезке
[а, b], то выражение в фигурных скобках при оценивается следующим образом

Так как произвольно мало, то отсюда следует, что предел указанного выражения равен нулю при .

Таким образом, переходя в равенстве (9) к пределу при ,
имеем

т. е. получена искомая формула (8). ■

Замечание:

Если поверхность получается вращением вокруг оси Ох кривой АВ, заданной параметрическими уравнениями изменяется от а до b при изменении t от то, производя в интеграле (8) замену переменной получаем

Наконец, если кривая задана уравнением в полярных координатах: имеет непрерывную производную на , то этот случай, как уже отмечалось в п. 3, сводится к параметрическому заданию кривой и формула (10) принимает вид

Пример:

Вычислить площадь Р поверхности шарового пояса, образованного вращением полуокружности , вокруг оси Ох.

Решение:

По формуле (8) получаем

Пример:

Вычислить площадь Р поверхности, полученной вращением одной арки циклоиды вокруг оси Ох.
Решение:

По формуле (10) имеем

Работа переменной силы

Из рассмотренных выше задач, связанных с геометрическим приложением определенного интеграла, следует, что для их решения применяется один и тот же вычислительный метод: приближенное значение искомой величины представляется в виде интегральной суммы, а затем предельным

Переходом получается точное значение в виде интеграла. С помощью этого же метода решается целый ряд других задач механики, физики и техники. В качестве примера вычислим работу переменной силы.

Пусть материальная точка перемещается под действием силы F направленной вдоль оси Ох и имеющей переменную величину, зависящую от х. Требуется определить работу А, совершаемую силой F по перемещению материальной точки вдоль оси Ох из точки х=а в точку . Функция F(х) предполагается непрерывной на отрезке [а, b] (рис. 114).

Разобьем произвольно отрезок [а, b] на n частей точками Выберем на каждом частичном отрезке точку Сила, действующая на материальную точку на отрезке , изменяется от точки к точке. Но если длина отрезка мала, то значение силы в точках отрезка мало отличается от ее значения в любой точке , так как F (х) непрерывна. Поэтому работу совершаемую силой F на , можно считать приближенно равной работе, совершаемой на том же отрезке постоянной силой , т.е.

Проводя аналогичные рассуждения для каждого отрезка разбиения, получаем приближенное значение работы А силы F на всем отрезке:

С другой стороны, сумма в правой части равенства является интегральной суммой для функции F(x). Так как функция F(х) непрерывна на [а, b], то предел этой суммы при существует и равен определенному интегралу от функции F(х) по отрезку [а, b]. Таким образом,

Пример:

Определить работу A, необходимую для запуска тела массой m с поверхности Земли вертикально вверх на высоту h (рис. 115).
Решение:

Обозначим через F силу притяжения тела Землей. Пусть — масса Земли. Согласно закону Ньютона

где х — расстояние от тела до центра Земли.

Полагая , получаем F(x) — где R— радиус Земли. При x=R сила F(R) равна весу тела P=mg, т. е. , откуда Таким образом, по формуле (11) получаем

Несобственные интегралы

Вводя определенный интеграл как предел интегральных сумм, мы предполагали, что отрезок интегрирования конечный, а подынтегральная функция ограничена на этом отрезке. Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, то данное выше определение определенного интеграла теряет смысл. Так, в случае бесконечного отрезка интегрирования нельзя разбить отрезок на п частей конечной длины, а в случае неограниченной функции интегральная сумма не имеет конечного предела. Однако и на эти случаи можно обобщить понятие определенного интеграла. В результате такого обобщения и появилось понятие несобственного интеграла.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

Определение:

Пусть функция f(х) определена на промежутке и интегрируема по любому отрезку [а, R], т. е. существует определенный интеграл при любом R>a. Тогда, если существует конечный предел
то его называют несобственным интегралом первого рода и обозначают

Таким образом, по определению,

В этом случае говорят, что интеграл (2) существует или сходится. Если же предел (1) не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл (2) не существует или расходится.

Аналогично интегралу (2) вводится несобственный интеграл по промежутку :

Наконец, как сумму интегралов вида (2) и (3) можно определить несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами, т. е.
где с — любое число, при условии существования обоих интегралов справа.

Установим геометрический смысл несобственного интеграла первого рода. Пусть Тогда определенный интеграл выражает площадь области, ограниченной сверху графиком функции f(х), снизу — осью Ох, слева — прямой х=а, справа — прямой x=R. Естественно считать, что несобственный интеграл выражает конечную площадь бесконечной области, ограниченной сверху графиком функции f(x), снизу осью Ох, слева прямой х=а (рис. 116). Аналогичная интерпретация имеет место для интегралов (3) и (4).

Рассмотрим несколько примеров вычисления несобственных интегралов первого рода.

Пример:
т. е. данный интеграл сходится.

Пример:но предел функции sin R при не существует, следовательно, интеграл расходится.

Пример:

интеграл расходится, так как

Пример:
—некоторое число.
Таким образом, данный интеграл сходится при и расходится при
Заметим, что в рассмотренных примерах вычисление несобственного интеграла было основано на его определении.

Несобственные интегралы от неограниченных функций

Определение:

Пусть функция f(х) определена на промежутке [а, b). Точку х=b будем называть особой, если функция f(х) неограничена в любой окрестности этой точки, но ограничена на любом отрезке , заключенном в [а, b) (рис.117). Пусть на любом отрезке функция f(х) интегрируема, т. е. существует определенный интеграл при любом таком, что Тогда, если существует конечный предел

то его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают

В этом случае говорят, что интеграл (6) существует или сходится. Если же предел (5) не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл (6) не существует или расходится.

Аналогично, если х = а — особая точка, то несобственный интеграл определяется так:

Если функция f(x) не ограничена в окрестности какой-нибудь внутренней точки , то при условии существования обоих интегралов справа по определению полагают

Наконец, если а и b — особые точки, то если оба интеграла справа существуют, несобственный интеграл определяется как сумма
где с — любая точка из (а, b).

Пример?

— некоторое число.

Таким образом, данный интеграл сходится при и расходится при

Признак сходимости несобственных интегралов

Рассмотрим вопрос о сходимости несобственных интегралов вида

Теорема:

Признак сравнения несобственных интегралов. Если функции f(х) и g(х) непрерывны на промежутке и удовлетворяют на нем условию , то из сходимости интеграла а из расходимости интеграла (8) следует расходимость интеграла (7).

Доказательство:

Введем обозначения
Так как то в силу оценок 1° и 2° (см. § 5) справедливы неравенства
и, кроме того, функция F(R) [а также G(R)] является неубывающей на промежутке . В самом деле, если то и, следовательно,

Пусть интеграл (7) сходится, т. е. функция G(R) имеет конечный предел при Отсюда в силу неубывания G(R) следует, что функция G(R) ограничена на . Но тогда согласно равенству (9) и функция F(R) ограничена на и, следовательно, имеет на , точную верхнюю грань. Пусть По определению точной верхней грани для любого найдется такое Так как функция F(R) не убывает на , то для любого , выполняется неравенство и, значит,

Таким образом,

Это означает, что т. е. интеграл (8) сходится.

Пусть теперь интеграл (8) расходится. Тогда, если предположить, что интеграл (7) сходится, то в силу доказанного выше интеграл (8) сходится, что противоречит условию. Следовательно, интеграл (7) также расходится. ■

Замечание:

Аналогичный признак сравнения для несобственных интегралов второго рода можно сформулировать следующим образом: если функции f(х) и g(x) непрерывны на полуинтервале (а, b] для всех точек х в некотором интервале выполняются условия , следует сходимости интеграла , следует сходимость интеграла следует расходимости интеграла

Пример:

Исследовать сходимость
Решение:

Сравним подынтегральную функцию с функцией на промежутке Очевидно, что

Но интеграл— сходится, так как (см. пример 4).
Следовательно, согласно признаку сравнения сходится и данный интеграл.

Пример:

Исследовать сходимость
Решение:

Сравнивая подынтегральную функцию с функцией на промежутке имеем

Но интеграл расходится, так как (см. пример 4). Следовательно, согласно признаку сравнения и данный интеграл расходится.

Пример использования несобственного интеграла

Вычислим вторую космическую скорость тела, т. е. начальную скорость, при которой оно способно выйти из поля притяжения Земли в межпланетное пространство.

Ранее (см. § 10, п. 6, пример 11) с помощью определенного интеграла была вычислена работа, необходимая для запуска тела массой m с поверхности Земли на высоту h:

Выход тела в межпланетное пространство означает запуск его на бесконечную высоту . Вычислим необходимую для этого работу: где m — масса тела; g — ускорение свободного падения у поверхности Земли (трение и притяжение других планет при этом не учитываются). Эта работа совершается за счет изменения кинетической энергии тела. Поэтому кинетическая энергия тела в начальный момент должна быть не меньше этой работы, т. е. начальная скорость тела должна быть такая, чтобы

Если начальная скорость тела равна 11,2 км/с, то его траектория движения представляет собой параболу. При начальной скорости, большей 11,2 км/с, траектория будет представлять собой гиперболу, а при начальной скорости, меньшей 11,2 км/с, тело будет двигаться по эллиптической траектории, при этом либо упадет на Землю, либо станет искусственным спутником Земли.

Приближенное вычисление определенных интегралов

При решении физических и технических задач приходится находить определенные интегралы от функций, первообразные которых не выражаются через элементарные функции. Это привело к необходимости вывода приближенных формул вычисления определенных интегралов. Познакомимся с двумя из них: формулой трапеций и формулой парабол.

Формула трапеций

Пусть требуется вычислить интеграл — непрерывная функция. Для простоты рассуждений ограничимся случаем, когда Разобьем отрезок [а, b] нa n равных отрезков точками и с помощью прямых построим п прямолинейных трапеций (эти трапеции заштрихованы на рис. 118). Сумма площадей трапеций приближенно равна площади криволинейной трапеции, т. е.

где — соответственно основания трапеций; — их высоты.

Таким образом, получена приближенная формула
которая и называется формулой трапеций. Эта формула тем точнее, чем больше n.

Рассмотрим в качестве примера интеграл Точное значение этого интеграла находится просто:

Вычислим теперь по формуле трапеций его приближенное значение. Пусть n=5. Тогда имеем:
Следовательно,

Точное значение интеграла равно 0,3333…, поэтому абсолютная ошибка меньше 0,007. Во многих технических задачах эта точность достаточна.

Если увеличить число п, то точность будет большей. Так, например, при n=10

т. е. абсолютная ошибка меньше 0,002.

В более полных курсах высшей математики доказывается, что если функция f(х) имеет на [a, b] непрерывную вторую производную, то абсолютная величина погрешности формулы трапеций не больше, чем где k — наибольшее значение на отрезке [а, b].

Следует отметить, что с увеличением n увеличивается не только точность вычисления определенного интеграла, но и объем вычислительной работы. Однако здесь на помощь приходят ЭВМ.

Вычислим по формуле трапеции интеграл при n=10. Разобьем отрезок [0, 1] на 10 равных частей точками Вычислим приближенно значения функции в этих точках:

По формуле трапеций получаем
Оценим погрешность полученного результата. Так как На отрезке [0, 1] имеем Поэтому погрешность полученного результата не превосходит величины

Вычислим точное значение данного интеграла по формуле Ньютона—Лейбница:

Абсолютная ошибка результата, полученного по формуле трапеций, меньше 0,0007. Это находится в соответствии с данной выше оценкой погрешности.

Идею, которая была использована при построении формулы трапеций, можно использовать для получения более точных приближенных формул для вычисления, определенного интеграла.

Формула парабол

Докажем предварительно две леммы.

Лемма:

Через любые три точки с различными абсциссами можно провести единственную кривую вида

Доказательство:

Подставляя в уравнение параболы (1) координаты точек получаем систему трех уравнений первой степени с тремя неизвестными А, В, С:

Так как числа различны, то определитель этой системы (гл. 10, § 3) отличен от нуля:

Следовательно, данная система имеет единственное решение, т. е. коэффициенты А, В, С определяются однозначно. ■

Отметим, что если то кривая (1) является параболой, если А=0, то прямой.

Лемма:

Площадь s криволинейной трапеции, ограниченной кривой проходящей через точки (рис. 119), выражается формулой

Доказательство:

Подставляя в уравнение координаты точек получаем откуда следует, что

Учитывая соотношения (3), имеем

Рассмотрим снова криволинейную трапецию, ограниченную произвольной кривой у=f(х). Разобьем отрезок [а, b] на 2n равных отрезков точками а кривую y=f(x) с помощью прямых на 2n соответствующих частей точками (рис. 120).

Через каждую тройку точек
проведем кривую вида (см. лемму 8.1). В результате получим n криволинейных трапеций, ограниченных сверху параболами или прямыми (эти трапеции заштрихованы на рис. 120). Так как площадь частичной криволинейной трапеции, соответствующей отрезку , приближенно равна площади соответствующей «параболической» трапеции, то по формуле (2) имеем [в данном случае ]

где Складывая почленно эти приближенные равенства, получаем приближенную формулу
или в развернутом виде

Эта формула называется формулой парабол или формулой Симпсона.

В формуле парабол значение функции f(х) в нечетных точка разбиения имеет коэффициент 4, в четных точках — коэффициент 2 и в двух граничных точках — коэффициент 1.

Геометрический смысл формулы Симпсона очевиден: площадь криволинейной трапеции под графиком функции f(х) на отрезке [а, b] приближенно заменяется суммой площадей фигур, лежащих под параболами (прямыми).

В полных курсах высшей математики доказывается, что если функция f(х) имеет на [a, b] непрерывную производную четвертого порядка, то абсолютная величина погрешности формулы Симпсона не больше чем

где М — наибольшее значение на отрезке [а, b]. Выше отмечалось, что погрешность формулы трапеций оценивается числом

Так как растет быстрее, чем , то погрешность формулы Симпсона с ростом n уменьшается значительно быстрее, чем погрешность формулы трапеций. Этим и объясняется, что формула Симпсона позволяет получить большую точность, чем формула трапеций.

Для сравнения точности приближенных формул вычислим еще раз интеграл но теперь по формуле Симпсона при n=4.

Разобьем отрезок [0, 1] на четыре равные части точками и вычислим приближенно значения функции в этих точках

По формуле Симпсона получаем

Оценим погрешность полученного результата. Для подынтегральной функции имеем: , откуда следует, что на отрезке Следовательно, можно взять M=24, и погрешность результата не превосходит величины Сравнивая приближенное значение с точным, заключаем, что абсолютная ошибка результата, полученного по формуле Симпсона, меньше 0,00011. Это находится в соответствии с данной выше оценкой погрешности и, кроме того, свидетельствует, что формула Симпсона значительно точнее формулы трапеций. Поэтому формулу Симпсона для приближенного вычисления определенных интегралов используют чаще, чем формулу трапеций.

Как отмечалось выше, приближенные формулы для вычисления определенного интеграла применяют в тех случаях, когда первообразная подынтегральной функции не выражается через элементарные функции.

Вычислим, например, интеграл по формуле Симпсона с точностью до 0,001.

Чтобы выбрать необходимое для получения заданной точности число 2n, найдем . Последовательно дифференцируя функцию получаем

Так как на отрезке [0, 1] то Следовательно, можно взять М=20. Используя формулу оценки погрешности, имеем откуда Для того чтобы выполнялось это неравенство, достаточно взять n=2, т. е. 2n=4.

Разобьем теперь отрезок [0, 1] на четыре равные части точками и вычислим приближенно значения функции в этих точках: Применяя формулу Симпсона, получаем

Таким образом, с точностью до 0,001. Итак, разбив отрезок [0, 1] всего на четыре равные части и заменив рассматриваемый интеграл суммой, стоящей в правой части формулы Симпсона, мы вычислили данный интеграл с необходимой точностью.

В заключение отметим, что каждый из изложенных методов приближенного вычисления интегралов содержит четкий алгоритм их нахождения, что позволяет широко применять эти методы для вычислений на ЭВМ. Таким образом, указанные методы — эффективное средство вычисления интегралов. Для интегралов, которые нельзя выразить через элементарные функции, с помощью ЭВМ и простейших приближенных методов можно составить таблицы их значений.

Определенный интеграл и его геометрический смысл:

Пусть функция является первообразной для функции на некотором промежутке , а числа принадлежат этому промежутку.

Определение:

Приращение любой из первообразных функций при изменении аргумента от называется определенным интегралом, от до функции и обозначается (читается: «интеграл от до эф от икс де икс»). Числа называются пределами интегрирования, — нижним, — верхним. Отрезок называется отрезком интегрирования. Функция называется подынтегральной функцией, а переменная — переменной интегрирования.

Таким образом, по определению,

Равенство (1) называется формулой Ньютона — Лейбница.

Существует и другой подход к введению понятия определенного интеграла, основанный на применении теории пределов. Рассмотрим его. Пусть дана непрерывная функция . Допустим, для простоты, что функция в указанном промежутке неотрицательна и . Выполним следующие операции:

1) разобьем отрезок на частей так, что

2) обозначим: ; величину назовем шагом разбиения;
3) в каждом из отрезков зафиксируем произвольную точку ;
4) составим сумму всех произведений ,

или, в сокращенном виде,

Суммы вида (2) называются интегральными суммами функции . Геометрически (рис. 78) каждое слагаемое интегральной суммы (2) равно площади прямоугольника с основанием длины с высотой . А вся сумма равна площади «ступенчатой фигуры», получающейся, объединением всех указанных выше прямоугольников.

Очевидно, что при всевозможных разбиениях отрезка Рис 78. на части получим различные интегральные суммы вида (2), а следовательно, и различные «ступенчатые фигуры». Таким образом, для данной функции и данного отрезка можно составить бесконечное множество интегральных сумм вида (2), которые зависят от выбора точек деления и точек .

Определение:

Если при любой последовательности разбиений отрезка таких, что и при любом выборе точек интегральная сумма стремится к одному и тому же конечному пределу , т. е

то число называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается

Итак, по определению,

Функция , для которой существует определенный интеграл (3), называется интегрируемой на отрезке .

Заметим без доказательства, что всякая (не обязательно неотрицательная) непрерывная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке. Если интегрируемая на отрезке функция не отрицательна, то определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , осью абсцисс и прямыми (см. рис. 78), т. е.

В этом заключается геометрический смысл определенного интеграла.

При введении понятия определенного интеграла как предел интегральных суммы допустили, что . В случае примем, по определению,

При , так же по определению, полагаем

Следует заметить, что определенный интеграл зависит только от интегрируемой функции и пределов интегрирования , но не от того, какой буквой обозначается переменная интегрирования. Поэтому

Итак, возможны два различных определения определенного интеграла.

Согласно определению 2 определенный интеграл есть предел интегральной суммы, число членов которой неограниченно возрастает, а каждое слагаемое стремится к нулю.

Из школьного курса известно, что решение ряда задач: вычисление площади, работа переменной силы (ниже будут рассмотрены и другие) сводится к вычислению пределов интегральных сумм вида (2). Если учесть, что непосредственное вычисление таких пределов гораздо труднее, чем вычисление интегралов, им соответствующих, то необходимость введения определения 2 становится очевидной.

Итак, мы будем исходить из определения 2 определенного интеграла. При таком подходе к понятию определенного интеграла формула Ньютона — Лейбница не вводится по определению, а строго доказывается. Нами это будет сделано ниже, а до этого при вычислении простейших интегралов (в рамках школьного курса)
мы будем пользоваться ею.

Пример:

Вычислить

Решение:

Так как для функции одной из первообразных является функция , то по формуле Ньютона — Лейбница получим

Пример:

Вычислить

Решение:

Пример:

Вычислить

Решение:

Заметим, что этот результат легко получить и без использования формулы Ньютона — Лейбница — непосредственно из определения 2. Действительно, при любая интегральная сумма есть просто . Следовательно, и

Основные свойства определенного интеграла

При изложении основных свойств определенного интеграла будем рассматривать лишь непрерывные, а следовательно, и интегрируемые на отрезке функции. Кроме этого, при пояснении геометрического смысла различных свойств будем предполагать, что рассматриваемые функции неотрицательны. Еще раз напомним, что мы условились исходить из определения 2 § 1 определенного интеграла и лишь в конкретных примерах использовать пока формулу Ньютона — Лейбница, которая ниже будет доказана.

1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т, е. если , то

Доказательство:

Согласно определению 2 § 1
имеем

Пример:

Вычислить

Решение:

Интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций:

2. Предлагаем читателю доказать это свойство
самостоятельно.

Пример:

Вычислить

Решение:

Если , то

Не доказывая это свойство, поясним лишь его геометрический смысл: площадь криволинейной трапеции равна сумме площадей трапеций (рис. 79).

Если функция неотрицательна на отрезке ,
то

Доказательство:

Так как при любом разбиении отрезка на отрезки и любом выборе точек , то Но тогда и

5. Если

Доказательство:
Согласно условию . Тогда по свойству 4

Применяя свойства 2 и 1, имеем

Геометрический смысл этого свойства понятен из рис. 80.

Если — наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке , где , то

Доказательство:

Согласно свойству 5

Применяя теперь свойство 1, а также учитывая, что (см. пример 3 § 1), получаем требуемые неравенства.

С геометрической точки зрения это свойство означает, что площадь криволинейной трапеции

заключена между площадями прямоугольников (рис. 81).

Теорема о среднем

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке , то существует точка такая, что

Доказательство:

Пусть — наименьшее, а — наибольшее значения функции на отрезке . Тогда, согласно свойству 6 § 2, имеем

откуда

Известно, что функция , непрерывная на отрезке , принимает все промежуточные значения между своими наименьшим значением и наибольшим значением , а поэтому найдется точка такая, что

Отсюда

что и требовалось доказать.

Если , то теорема о среднем имеет простой геометрический смысл: на отрезке существует точка такая, что площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника с основанием и высотой (рис.82).

Определенный интеграл с переменным верхним пределом

Пусть функция непрерывна на отрезке , тогда определенный интеграл

существует и равен некоторому числу (см. § 1). Если в интеграле (1) нижний предел зафиксировать, а верхний предел заменить переменной то получим интеграл

Очевидно, что с изменением переменной изменяется и значение интеграла (2), т. е. интеграл (2) есть некоторая функция своего верхнего предела. Положим

Геометрически функция (3) определяет переменную площадь криволинейной трапеции (рис. 83).

Теорема:

Если функция непрерывна на отрезке

Доказательство:

Пусть — произвольная точка, принадлежащая отрезку Докажем, .

По определению производной,

Применив к первому интегралу свойство 3 § 2, получим

На основании теоремы о среднем найдется такая точка что

Таким образом,

Очевидно, что

Так как функция непрерывна на отрезке , то она непрерывна и в точке , поэтому

Итак,

или

Таким образом, производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом. Это означает, что определенный интеграл с переменным верхним пределом есть одна из первообразных подынтегральной функции.

Формула Ньютона — Лейбница

Теперь мы можем доказать введенную в § 1 по определению формулу Ньютона — Лейбница.

Теорема:

Если функция непрерывна на отрезке , а является какой-либо ее первообразной на этом отрезке, то

Доказательство:

Из теоремы, доказанной предыдущем параграфе, следует, что функция

тоже является первообразной для функции на отрезке .

Так как — две первообразные для одной и той же функции , то

или

При имеем

Но по определению (см. (Q) из § 1) поэтому

откуда . Подставив найденное значение в равенство (3),
получим

Полагая здесь , будем иметь

или, обозначив переменную интегрирования буквой , получим формулу Ньютона — Лейбница:

Применяя обозначение , формулу Ньютона — Лейбница запишем в виде

Таким образом, известное нам ранее, а теперь выведенное из определения 2 § 1 правило можно словами сформулировать так: чтобы вычислить определенный интеграл , нужно:

1) найти какую-нибудь первообразную для функции (найти неопределенный интеграл от функции , в котором принять );

2) в полученном выражении подставить вместо сначала верхний предел , а затем нижний предел и из результата первой подстановки вычесть результат второй.

Пример:

Вычислить

Решение:

Пример:

Вычислить

Решение:

Пример:

Вычислить

Решение:

Пример:

Вычислить

Решение:

Вычисление определенного интеграла способом подстановки (с помощью замены переменной)

Теорема:

Пусть — непрерывная функция на отрезке , — монотонная и непрерывно дифференцируемая функция на отрезке , причем , тогда

Доказательство:

Пусть — какая-либо первообразная для функции на отрезке т. е, . Так как, по условию, монотонна, то область значений функции совпадает с . Следовательно, сложная функция определена для всех и является первообразной для функции . (так как ).

Применив к каждой из непрерывных функций формулу Ньютона — Лейбница, получим

И

Из равенств (2) и (З) следует равенство (1),

Отметим, что при вычислении определенного интеграла способом подстановки новая переменная вводится подобно случаю неопределенного интеграла. Однако, в отличие от неопределенного интеграла, где в полученном результате мы снова возвращались к
прежнему переменному, здесь этого делать не надо. Это объясняется тем, что при вычислении интеграла получается число, равное

Пример:

Вычислить

Решение:

Положим тогда или Новые пределы интегрирования определяются из подстановки заменой аргумента его пределами . В нашем случае , поэтому . Итак,

Пример:

Вычислить

Решение:

Положим Следовательно,

Пример:

Вычислить

Решение:

Положим ; тогда ,

Следовательно,

Пример:

Вычислить

Решение:

Положим тогда

Следовательно,

Пример:

Вычислить

Решение:

Положим ; тогда , Следовательно,

Пример:

Вычислить

Решение:

Положим тогда Очевидно, что если и если ,
поэтому Итак,

Интегрирование по частям

Пусть функции имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда

Интегрируя обе части этого тождества в пределах от получим

Все эти интегралы существуют, ибо подынтегральные функции непрерывны.

По формуле Ньютона — Лейбница имеем

Из равенств (1) и (2) следует

Эта формула называется формулой интегрирования частям для определенного интеграла.

Пример:

Вычислить

Решение:

Положим тогда Следовательно,

Приближенные методы вычисления определенных интегралов

Мы уже отмечали, что не для всякой непрерывной функции ее первообразная выражается через элементарные функции. Кроме того, на практике сталкиваются с необходимостью вычислять интегралы от функций, заданных табличным или графическим способами, а также интегралы от функций, первообразные которых выражаются через элементарные функции очень сложно, что требует большой вычислительной работы и с практической точки зрения не рационально. В этих случаях вычисление определенного интеграла
по формуле Ньютона — Лейбница либо невозможно, либо затруднительно, поэтому прибегают к различным методам приближенного интегрирования. В основе приближенных методов интегрирования лежит геометрический смысл определенного интеграла, а именно; определенный интеграл

на численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой осью и прямыми .

Пусть на отрезке , задана непрерывная функция ; требуется вычислить Для наглядности будем считать, что на отрезке . Разобьем отрезок на равных частей точками

Длина каждого из полученных отрезков равна

Обозначим через значения функции в точках

В зависимости от того, какой функцией мы заменяем данную функцию на каждом из отрезков получаются различные формулы для приближенного вычисления интеграла Мы рассмотрим наиболее простые формулы приближенного интегрирования: формулы прямоугольников и формулу трапеций.

1. Формулы прямоугольников. При вычислении интеграла по формулам прямоугольников подынтегральная функция заменяется «ступенчатой функцией», которая на каждом из отрезков постоянное значение, равное значению функции на одном из концов этого отрезка (рис. 84).

Пусть, например, на каждом из отрезков ступенчатая функция принимает значения, равные значению функции на левом конце этого отрезка, т. е. равные . Тогда площадь криволинейной трапеции , а следовательно, и значение искомого интеграла, приближенно равна сумме площадей
прямоугольников с высотами и основаниями

Итак,

Очевидно, что если значения ступенчатой функции на каждом из отрезков совпадают со значениями функции на правых концах этих отрезков, то получим формулу

Формулы (1) и (2) называются формулами прямоугольников.

Формула трапеций

При вычислении интеграла
с помощью формулы трапеций подынтегральная функция заменяется функцией, график которой представляет собой ломаную линию, звенья которой соединяют концы ординат (рис. 85).

В этом случае площадь криволинейной трапеции
(а следовательно, и значение искомого интеграла)

приближенно равна сумме площадей обычных трапеций с основаниями и высотой

Итак,

Формула (3) называется формулой трапеций. Очевидно, что с увеличением числа точек деления отрезка увеличивается точность значения искомого интеграла, вычисленного по любой из формул

Однако при одном и том же значении формула трапеций дает лучшее приближение, чем формулы прямоугольников.

Пример:

Вычислить по формулам прямоугольников и трапеций.

Решение:

Разделим отрезок частей. Тогда . Составляем таблицу значений подынтегральной функции (табл. 5).

Таблица 5

По формуле прямоугольников (1) получим:

По формуле прямоугольников (2) получим:

По формуле трапеций (3) получим:

Вычисление площадей плоских фигур

При вычислении площадей плоских фигур с применением определенного интеграла мы рассмотрим следующие случаи.

1. Фигура ограничена графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке функции осью и прямыми

В этом случае согласно геометрическому смыслу определенного интеграла площадь численно равна

Пример:

Вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями (рис. 86).

Решение:

Применив формулу (1), найдем:

2. Фигура ограничена графиком непрерывной и не положительной на отрезке функции , осью и прямыми (рис. 87).

Рассмотрим функцию — . Фигура симметрична фигуре относительно оси (см. рис. 87), а следовательно, их площади и равны. Но

поэтому

Пример:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (рис. 88)

Решение:

По формуле (2) находим:

3. Фигура ограничена осью , прямыми , и графиком функции , которая непрерывна на отрезке и меняет свой знак конечное число раз на этом отрезке (рис. 89). В этом случае разбивают отрезок на такие частичные отрезки, на которых
функция знакопостоянна (на рис. 89 имеется три таких отрезка: . Очевидно, что искомая площадь численно равна алгебраической сумме интегралов, взятых по каждому из полученных отрезков, причем знаки, с которыми эти интегралы входят в алгебраическую сумму, совпадают со знаками функции на соответствующих отрезках.

Так, например, площадь фигуры, изображенной на
рис. 89. вычисляется по формуле

Пример:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (рис. 90).

Решение:

Очевидно, что для всех Поэтому

Фигура ограничена графиками двух непрерывных на отрезке функций и прямыми (рис. 91).

В этом случае искомая площадь вычисляется по
формуле

Для. доказательства этой формулы достаточно разбить отрезок на такие отрезки, на каждом из которых обе функции знакопостоянны.

Пример:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (рис. 92).

Решение:

Пределы интегрирования находим из системы уравнений

Отсюда и

Следовательно, Очевидно, что на отрезке , имеем
По формуле (3) находим:

Вычисление объема тела по известным площадям поперечного сечения

Пусть требуется вычислить объем тела , заключенного между двумя перпендикулярными к оси плоскостями (рис. 93).

Предположим, что известна площадь любого сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси . Эта площадь зависим от положения секущей плоскости, т.. е.

является функцией от . Обозначим ее через и допустим, что она непрерывна на отрезке .

Разобьем отрезок на частей точками

и через точки деления проведем плоскости, перпендикулярные к оси . Эти плоскости разобьют тело на слоев. Обозначим через объем слоя, заключенного между плоскостями Тогда приближенно равен объему цилиндра, высота которого равна основание совпадает с поперечным сечением, образованным пересечением
тела какой-либо плоскостью а объем всего тела

По определению принимаем

или

Объем тела вращения

Пусть функция , непрерывна на отрезке . Требуется вычислить объем тела , образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями (рис. 94). Так как любое поперечное сечение тела есть круг радиуса , то площадь сечения будет

Применив формулу (1) из предыдущего параграфа, найдем:

Пример:

Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями (рис. 95).

Решение:

Такое тело называется параболоидом вращения. Применив формулу (1), получим:

Пример:

Вычислить объем тела, образованного вращением эллипса вокруг оси (рис. 96).

Решение:

Рассматриваемое тело называется эллипсоидом вращения. Эллипс пересекает ось в точках Из уравнения эллипса находим . Ввиду симметричности эллипса относительно оси вычислим объем в пределах от 0 до и полученный результат удвоим:

Пример:

Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями
(рис. 97).

Решение:

Решая систему

находим точки пересечения данных линий: и 5(1; 2). Ввиду симметричности вращающейся фигуры вычислим объем в пределах от 0 до 1 и результат удвоим.

Из рис. 97 видно, что искомый объем равен разности объемов тел, образованных при вращении вокруг оси фигур . Таким образом,

Длина дуги кривой и дифференциал длины дуги

Пусть задана плоская дуга (рис. 98). Введем понятие длины дуги. Для этого разобьем ее на частей точками

Соединив соседние точки хордами, получим ломаную, вписанную в дугу . Обозначим через периметр

этой ломаной, а через — наибольшую из длин ее звеньев.

Определение:

Длиной дуги называется предел, к которому стремится периметр вписанной в эту дугу ломаной, когда число ее звеньев неограниченно возрастает, а наибольшая из длин ее звеньев стремится к нулю:

При этом предполагается, что рассматриваемый предел существует и не зависит от выбора точек деления
Кривые, имеющие конечную длину, называются спрямляемыми.
Пусть плоская дуга является графиком функции имеет непрерывную производную на отрезке . Допустим, что дуга спрямляема на отрезке и ее длина равна . Если дуга спрямляема на отрезке , то она спрямляема и на любом отрезке , где При этом каждому значению будет соответствовать на кривой точка (рис. 99). Очевидно, что длина.

дуги является функцией от ; обозначим ее через . В подробных курсах математического анализа доказывается, что производная функции вычисляется по формуле

Из формулы (1) получаем выражение для дифференциала дуги:

или

Так как функция определена и непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.

Из равенства (2) имеем

По формуле Ньютона — Лейбница находим

Но поэтому

Пример:

Вычислить длину дуги параболы между точками .

Решение:

Находим . Применив формулу (4), получим:

Пример:

Вычислить длину дуги кривой между точками .

Решение:

Из уравнения кривой находим откуда . Применив
формулу (4), получим:

Площадь поверхности вращения

Пусть дуга является графиком функции , где а имеет непрерывную производную на отрезке (рис. 100).

Найдем площадь поверхности, образованной вращением дуги вокруг оси .

Разобьем отрезок на частей точками

в каждой точке деления восставим перпендикуляр к оси до пересечения с дугой и точки пересечения перпендикуляров с дугой обозначим через . Соединив соседние точки хордами, получим ломаную, вписанную в дугу .

Определение. Площадью поверхности вращения, образованной вращением вокруг оси дуги , называется предел, к которому стремится площадь поверхности, образованной вращением ломаной,
вписанной в дугу когда число ее звеньев неограниченно возрастает, а наибольшая из длин ее звеньев стремится к нулю.

Площадь поверхности вращения вычисляется по формуле, которую мы приводим без доказательства:

Пример:

Вычислить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси дуги кубической параболы , ограниченной точками и .

Решение:

Находим . По формуле (1) имеем

Положим Следовательно,

Применение определенного интеграла к решению физических и технических задач

Работа переменной силы

Определенный интеграл широко применяется не только при вычислении различных геометрических величин, но и при решении ряда физических и технических задач. Так, например, из школьного курса известно, что работа , совершаемая переменной силой на пути от точки с абсциссой
до точки с абсциссой , вычисляется по формуле

Пример:

Вычислить работу, необходимую для запуска ракеты весом с поверхности земли на высоту км.

Решение.

Сила притяжения тела землей есть функция от его расстояния до центра земли: где — постоянная. На поверхности земли эта функция равна весу тела , а равно радиусу земли , поэтому Отсюда , и, следовательно,

При подъеме ракеты с поверхности земли на высоту переменная изменяется от . Искомую работу находим по формуле (1):

При получим:

Давление жидкости

Известно, что величина силы давления жидкости в ньютонах на горизонтальную площадку вычисляется по формуле

где — плотность жидкости в — площадь площадки в , — глубина погружения площадки в М.

Если же площадка погружена в жидкость не горизонтально, то формула (1) неприменима, так как в этом случае сила давления жидкости изменяется с глубиной.

Рассмотрим задачу определения давления жидкости на вертикальную площадку.

Пример:

Треугольная пластинка с основанием 0,3 м и высотой 0,6 м погружена вертикально в воду так, что ее вершина лежит на поверхности воды, а основание параллельно ей. Вычислить силу давления воды на пластинку (рис. 101).

Решение:

Разобьем пластинку на тонких полосок. На глубине выделим одну из них (на рис. 101 она заштрихована) и обозначим через ее ширину.

Приняв (с некоторой погрешностью) полоску за прямоугольник найдем ее площадь :

Из подобия треугольников имеем:

откуда Следовательно,

Предположим (также с некоторой погрешностью), что давление
Рис. 101. во всех точках рассматриваемой полоски одинаково и равно давлению на глубине . Тогда сила давления жидкости на полоску площади можно определить по формуле (2)

или, учитывая равенство (4),

Суммируя элементарные давления на каждую из полосок, найдем приближенное значение силы давления жидкости на всю пластинку:

При неограниченном увеличении числа делений данной пластинки , поэтому, по определению, полагаем

Таким образом,

Вычисление статических моментов и центра тяжести плоской кривой

Пусть на плоскости задана материальная точка с массой .

Определение:

Статическим моментом точки относительно оси называется произведение :

Аналогично определяется статический момент точки
относительно оси :

Пусть материальная плоская кривая массы и длины является графиком функции , где .

Допустим, что кривая однородна, т. е. ее линейная плотность распределения массы есть величина постоянная. Положим для простоты , тогда масса кривой численно равна ее длине, т. е.

а статические моменты вычисляются по формулам:

Определение:

Центром тяжести материальной плоской кривой , называется точка плоскости такая, что если в ней сосредоточить всю массу m заданной кривой, то статический момент точки С относительно любой координатной оси будет равен статическому моменту всей кривой относительно той же оси.

Таким образом, откуда

или

Пример:

Найти центр тяжести однородной дуги окружности , расположенной в первой координатной четверги (т. е. при ).

Решение:

Из уравнения окружности имеем

Дифференцируя это равенство, получим

Длина дуги одной четверти заданной окружности
равна а следовательно, и ее масса

По формуле (8) находим статический момент заданной дуги относительно оси :

По формуле (10) имеем:

Так как данная дуга симметрична относительно биссектрисы первого координатного угла, то

Вычисление статических моментов и центра тяжести плоских фигур

Пусть дана материальная плоская фигура, ограниченная кривой осью и прямыми .

Будем считать, что поверхностная плотность данной фигуры постоянна и равна единице . Тогда масса криволинейной трапеции численно равна ее
площади :

Можно показать, что статические моменты заданной фигуры вычисляются по формулами

Определение центра тяжести плоской фигуры аналогично определению центра тяжести плоской кривой, а его координаты вычисляются по формулам:

Пример:

Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной линиями (рис. 102).

Решение:

Из уравнения имеем

По формулам (17) и (18) находим:

Дополнение к определенному интегралу

Смотрите также:

Предмет высшая математика

Замена переменного интегрирования (метод подстановки)	Вычисление определенного интеграла при помощи первообразной функции
Приближенное вычисление площадей криволинейных трапеций	Свойства определенного интеграла

Определенный интеграл  — решение заданий и задач по всем темам с вычислением

При изучении темы «Определенный интеграл» вы познакомитесь с формулой Ньютона-Лейбница и научитесь применять ее для
вычисления определенных интегралов, используя технику нахождения первообразных. Вы научитесь применять определенные интегралы для решения геометрических задач (вычисление площадей плоских фигур, длин дуг кривых и объемов тел).

Интегрирование подведением под знак дифференциала

Постановка задачи. Вычислить определенный интеграл

План решения. Пусть g(х) имеет очевидную первообразную
G(x), a F(x) есть функция этой первообразной, т.е. F(x) = u(G(x)).

Тогда

где

Такого рода преобразование называется подведением под знак
дифференциала.

Если метод избран удачно, то последний интеграл оказывается
табличным или известным образом сводится к табличному, после
чего применяем формулу Ньютона-Лейбница.

Пример:

Вычислить определенный интеграл

Решение:

1.Представим подынтегральное выражение в виде произведения
двух функций F(x)g(x), где g(х) имеет очевидную первообразную
G(x), a F(x) есть функция этой первообразной, т.е. F(x) = u(G(x)).

В данном случае

2.Тогда

где и G(0) = 0, G(1) = 1.

3.Последний интеграл является табличным. Применяем формулу
Ньютона-Лейбница:

Ответ.

Интегрирование по частям

Постановка задачи. Вычислить определенный интеграл

План решения. Пусть на отрезке [а, b] функция g(х) имеет очевидную первообразную G(x), a F(x) — дифференцируемая функция,
причем ее производная f(x) = F'(x) является более простой функцией, чем F(x). Тогда применяем формулу интегрирования по частям

Если метод избран удачно, то интеграл в правой части этого равенства оказывается табличным или известным образом сводится к табличному, например повторным интегрированием по частям.

Пример:

Вычислить определенный интеграл

Решение:

1.Представим подынтегральное выражение в виде произведения
двух функций F(x)g(x), где g(х) имеет очевидную первообразную
G(x), a F(x) — дифференцируемая функция, причем ее производная
f(x) = F'(x) является более простой функцией, чем F(x).
В данном случае

2.Применяем формулу интегрирования по частям

3.Последний интеграл не является табличным, но к нему можно
повторно применить формулу интегрирования по частям:

Ответ.

Интегрирование выражений R(sinx, cosx)

Постановка задачи. Вычислить определенный интеграл

где R — рациональная функция двух переменных.

План решения.

1.Если а и b таковы, что функция tg (х/2) определена на [а, b], то
с помощью подстановки

интегралы от функций R(sinx, cosx) приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной t. Действительно, подставляя в подынтегральное выражение

получаем

Подстановка t = tg (x/2) называется универсальной.

2.Находим новые пределы интегрирования

3.Применяем формулу замены переменной в определенном интеграле

4.Вычисляем первообразную рациональной функции t и применяем формулу Ньютона-Лейбница.

Замечание:

Если подынтегральная функция имеет специальный
вид, то лучше применить подстановки, требующие меньших вычислений:

а) если то применяем подстановку t = sin x. Действительно, подынтегральное выражение приобретает вид

б) если то применяем подстановку t = cos x. Действительно, подынтегральное выражение приобретает вид

в) если то применяем подстановку
t = tgx (при условии, что функция tgx определена на [а, b]). Действительно, подынтегральное выражение приобретает вид

Пример:

Вычислить определенный интеграл

Решение:

1.Поскольку функция tg (х/2) определена на сделаем подстановку

Подставляя в подынтегральное выражение

получим

2.Находим новые пределы интегрирования

3.Применяем формулу замены переменной в определенном интеграле

4.Вычисляем первообразную рациональной функции t и применяем формулу Ньютона—Лейбница

Ответ.

Пример:

Вычислить определенный интеграл

Решение:

1.Так как подынтегральная функция имеет вид R(tg x) и функция tg x
определена на сделаем подстановку tgx = t.

Подставляя в подынтегральное выражение

получаем рациональную функцию t:

2.Находим новые пределы интегрирования:

3.Применяем формулу замены переменной в определенном интеграле:

4.Вычисляем первообразную рациональной функции t и применяем формулу Ньютона—Лейбница:

Ответ.

Интегрирование выражений

Постановка задачи. Вычислить определенный интеграл

где т и п — натуральные числа.

План решения. Применяем формулы понижения степени

до тех пор, пока не придем к табличным интегралам или к интегралам, которые известным образом сводятся к табличным.

Замечание. Полезно иметь в виду, что

Пример:

Вычислить определенный интеграл

Решение:

Применяя формулы понижения степени, имеем

Ответ.

Интегрирование выражений

Постановка задачи. Вычислить определенный интеграл

где R — рациональная функция и p,q,… — натуральные числа.

План решения. С помощью подстановки

где n — общий знаменатель дробей 1/р, 1/q,…, приходим к интегралам от рациональных функций.

Пример:

Вычислить определенный интеграл

Решение:

1.Чтобы сделать подстановку, приводящую к интегралу от рациональной функции, нужно преобразовать подынтегральную функцию так, чтобы она содержала корни любой степени, но из одного и того же выражения вида Поэтому преобразуем подынтегральное выражение, выделяя

2.Применяем подстановку

Делая замену переменной в определенном интеграле, получаем

Вычисляем первообразную рациональной функции и применяем формулу Ньютона-Лейбница

Ответ.

Интегрирование выражений и

Постановка задачи. Вычислить определенные интегралы вида:

где R — рациональная функция.

План решения.

1.Чтобы избавиться от радикала, используем тригонометрические или гиперболические подстановки:

а) х = a sin t или х = a th t;

б) х = a tg t или х = a sh t;

в) или х = a ch t.

2.Применив формулу замены переменной в определенном интеграле, получим интегралы вида или

3.Вычисляем полученные интегралы с помощью известных подстановок или методом понижения степени.

Пример:

Вычислить определенный интеграл

Решение:

1.Чтобы избавиться от радикала, используем подстановку х = 3 sin t. Тогда

и поскольку cos t > 0 при

2.Сделаем замену переменной в определенном интеграле:

3.Применяя формулы понижения степени, получим

Ответ.

Вычисление площадей в декартовых координатах

Постановка задачи. Вычислить площадь области, ограниченной графиками функций и или для всех точек области) и, возможно, прямыми х = а
и х = b.

План решения. Если область D задана системой неравенств

то площадь области D вычисляется по формуле

Если неравенства, определяющие область D, неизвестны, т.е. неизвестны а и b и неизвестно, какая из функций больше другой на (а,b), то выполняем следующие операции.

1.Находим а и b как абсциссы точек пересечения графиков функций , т.е. решаем уравнение

2.Исследуем знак разности на [а, b]. Для этого достаточно вычислить значение в какой-нибудь точке из (а, b). Если оно положительно, то и, следовательно, и Если оно отрицательно, то и, следовательно, и

3.Применяем формулу (1) и находим

Записываем ответ, не забывая о размерности.

Пример:

Вычислить площадь области, ограниченной графиками
функций

Решение:

1.Находим абсциссы а и b точек пересечения графиков. Для этого
решаем уравнение

\

Получаем а = 0, b = 3.

2.Исследуем знак функции на
отрезке [а, b] = [0, 3]. Для этого придадим х любое значение из (0, 3),
например х = 1. Получаем, что = —4. Следовательно, < 0 при
Поэтому при и область
D определяется системой неравенств

3.Применяем формулу (1) при

а = 0 и b = 3:

Ответ. S = 9 (ед. длины

Вычисление длин дуг у = f(x)

Постановка задачи. Вычислить длину кривой, заданной уравнением

y = f(x)

и ограниченной точками с абсциссами х = а и х = b.

План решения. Длина l кусочно гладкой кривой у = f(x), ограниченной точками с абсциссами х = а и х = b, равна

1.Находим

2.Вычисляем дифференциал длины дуги

3.Находим длину дуги, вычисляя определенный интеграл (1).

Записываем ответ, не забывая о размерности.

Пример:

Вычислить длину дуги кривой

Решение:

1.Дифференцируя уравнение кривой, получим

2.Вычисляем дифференциал длины дуги:

3.Находим длину дуги, вычисляя определенный интеграл (1):

Ответ. l = sh 3 ед. длины.

Вычисление длин дуг х = x(t), у = y(t)

Постановка задачи. Вычислить длину дуги кривой, заданной
параметрически

План решения. Если кривая задана уравнениями в параметрической форме

где x = x(t) и y = y(t) — кусочно-гладкие функции, то длина l дуги
кривой определяется формулой

где и — значения параметра, соответствующие граничным точкам дуги.

1.Находим

2.Вычисляем дифференциал длины дуги

3.Находим длину дуги, вычисляя определенный интеграл (1).

Записываем ответ, не забывая о размерности.

Пример:

Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически

Решение:

1.Находим

2.Вычисляем дифференциал длины дуги:

3.Находим длину дуги, вычисляя определенный интеграл (1):

Ответ. ед. длины.

Вычисление длин дуг

Постановка задачи. Вычислить длину дуги кривой, заданной
уравнением в полярных координатах

План решения.

Если кусочно гладкая кривая задана уравнением в полярных координатах то длины дуги равна

где и — значения соответствующие граничным точкам дуги.

1.Находим

2.Вычисляем дифференциал длины дуги

3.Находим длину дуги, вычисляя определенный интеграл (1).

Записываем ответ, не забывая о размерности.

Пример:

Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением в
полярных координатах

Решение:

1.Находим

2.Вычисляем дифференциал длины дуги:

3.Находим длину дуги, вычисляя определенный интеграл (1):

Ответ. ед. длины.

Вычисление объемов по площадям поперечных сечений

Постановка задачи. Вычислить объем тела, если известны
площади его поперечных сечений.

План решения. Если S = S(x) — площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси ОХ и пересекающей ее в точке с абсциссой х, то объем части тела, заключенной между плоскостями
и определяется формулой

1.Находим S(х).

2.Подставляем S(x) в формулу (1) и вычисляем определенный
интеграл.

Записываем ответ, не забывая о размерности.

Замечание:

Аналогично решается задача, если известны площади сечений плоскостями, перпендикулярными оси OY (S(y)) или
оси OZ (S(z)).

Пример:

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

Решение:

Если S = S(z) — площадь сечения тела плоскостью,
перпендикулярной к оси OZ и пересекающей ее в точке с аппликатой z, то объем части тела, заключенной между плоскостями и определяется формулой

1.Сечение заданного тела плоскостью z = const определяется неравенством

т.е. при является эллипсом

с полуосями

Площадь этого эллипса равна

Таким образом, при

2.Подставляем S(z) в формулу (2) и вычисляем определенный
интеграл:

Ответ. (ед. длины

Вычисление объемов тел вращения

Постановка задачи. Вычислить объем тела, образованного
вращением области, ограниченной графиками функций и и, возможно, прямыми х = а и х = b, вокруг оси ОХ.

План решения. Объем тела, образованного вращением области,
ограниченной кривыми у = u(х) и у = v(x) и прямыми х = а, х = b,
где т.е. области, определяемой системой неравенств

вычисляется по формуле

1.Определяем область D. Если неравенства, определяющие область D, неизвестны, т.е. неизвестны а и b и/или неизвестно, какая из функций и больше другой на отрезке [а, b], то выполняем следующие операции.

а) находим а и b как абсциссы точек пересечения графиков функций и , т.е. решаем уравнение

б) исследуем знак разности на [а, b]. Для этого достаточно вычислить значение в какой-нибудь точке из (а, b). Если оно положительно, то и, следовательно, и Если оно отрицательно, то и, следовательно, г/(ж) = /i(#) и v(x) = /2B?).

2.Вычисляем объем по формуле (1).

Записываем ответ, не забывая о размерности.

Замечание:

Аналогично решается задача, если тело образовано
вращением области вокруг оси OY или оси OZ.

Пример:

Вычислить объем тела, образованного вращением области, ограниченной графиками функций

вокруг оси ОХ.

Решение:

1.Определяем область D :

а) находим абсциссы а и b точек пересечения графиков. Для этого
решаем уравнение

Получаем

а = 0, b=1;

б) на отрезке [0,1] Следовательно,

2.Вычисляем объем по формуле (1):

Ответ. (ед. длины

Определенный интеграл и его применение

Определение, свойства, вычисление и применения определенного интеграла

Построение определенного интеграла

Для непрерывной на отрезке [а; b] функции f(x) выполним следующие действия.

1) На отрезке [а, b] произвольным образом возьмем систему из (n+1) различных точек, включая его концы а и b:

2) На каждом элементарном (частичном) отрезке

i = 1,2,…,n, произвольным образом выберем по одной точке т.е. обозначим

3) Составим сумму

Выражение (число) называется интегральной суммой функции f(х) на отрезке [а; b] ( — знак суммы).

4) Обозначим через наибольшую из длин отрезков

Находим предел и при условии, что Если этот предел существует (является конечным числом), то его обозначим

так: и назовем определенным интегралом функции f(x) на

отрезке (а; b]. Таким образом,

При этом а — нижний, b — верхний пределы интегрирования, f(x) — подынтегральная функция, f(x)dx — подынтегральный дифференциал, х — переменная интегрирования.

Функция, имеющая определенный интеграл на отрезке [а; b], называется интегрируемой на нем.

Теорема:

Если f(x) непрерывна на отрезке [а, b], то она интегрируема на этом отрезке.

Геометрический и физический смыслы определенного интеграла

1°. Предположим, что f(x) — непрерывная неотрицательная функция на отрезке [а, b].

Фигура D, ограниченная сверху графиком Г функции у = f(x). снизу осью Ох, а сбоку отрезками прямых х = а, х = b, называется криволинейной трапецией (рис. 2 1а).

Слагаемое , интегральной суммы геометрически

выражает площадь элементарного прямоугольника с основанием высотой — площадь ступенчатой фигуры, полученной суммированием площадей элементарных прямоугольников (рис. 2.16). С увеличением n и уменьшением площадь ступенчатой фигуры почти совпадает с площадью S = S(D) криволинейной трапеции S, т. е

Таким образом, если f(x) — непрерывная неотрицательная функция на отрезке [а;b], то площадь соответствующей криволинейной трапеции D существует и равна

3°. Неотрицательная непрерывная функция у = f(x) на отрезке [а; b] может изображать некоторую силу, действующую на материальную точку М(х). В результате этого точка М переместится из точки А в точку В, а сила f(x) осуществит работу, равную

Основные свойства определенного интеграла

1.Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т. е.

2.Свойства 1 и 2 составляют общее свойство линейности определенного интеграла, записываемое в виде

3.При перемене пределов интегрирования пределов интегрирования меняется знак определённого интеграла т.е.

B частности, если b = a, то

4. Свойство аддитивности интеграла, если а < с < b, то

1. Свойство интегрального среднего.

Теорема:

Если f(х) непрерывна на отрезке [а;b], то на этом отрезке существует хотя бы одна тонка с, такая, что

Величина называется интегральным средним функции f(x) на отрезке [а; b].

6 Интегрирование неравенств.

1) Если то

2) Если х € [а,b], то

3) Если х € [а,b] , то

7.Модуль интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции, т. е.

Если f(х) — четная функция на отрезке [-а; а], то, а если f(x) — нечетная функция, то а если f(x) — нечётная функция, то

Вычисление определенного интеграла

1° . Предположим, что f(х) непрерывна на отрезке [а; b]. Тогда, как известно из гл. I, f(х) имеет первообразную F(x).

Теорема:

Если f(х) непрерывна на отрезке [а; b], то имеет место формула

Таким образом, для непрерывной функции f(х) на отрезке [a; b] ее определенный интеграл равен приращению любой ее первообразной на этом отрезке.

Теорема:

Соответствующая формула носит имена Ньютона— Лейбница (средний член формулы есть обозначение приращения F(x) на [а; b]).

Связь определенного интеграла с неопределенным (или
первообразной) основана на следующей теореме, в которой обозначает определенный интеграл с переменным верхним пределом t — переменная интегрирования на отрезке [а;х]).

Теорема:

Если f(x) непрерывна на отрезке [а; b], то функция представляет собой одну из первообразных функции f(x) на этом отрезке, т. е.

При этом F(x) есть та первообразная функции f(x) (та интегральная кривая), которая обращается в нуль при х = a, т. е. F(a) = 0.

2°. Методы нахождения первообразных автоматически переносятся на вычисление определенного интеграла с учетом пределов интегрирования.

возвращаться к прежней переменной интегрирования. Предположим, что вычисляется подстановкой

где — дифференцируемая функция на некотором отрезке

и

Теорема:

Если — монотонная функция на отрезке , то

Примеры с решениями

Пример:

Определить знак интеграла не
вычисляя его.

Решение:

Так как в интервале функция у = sinх отрицательна, то данный интеграл отрицателен. Ответ. I < 0.

Пример:

Сравнить интегралы и не вычисляя их.

Решение:

Так как в интервале (0; 1) имеем то

Ответ.

Пример:

Оценить интеграл

Решение:

Если то -1 < cos2x <1, а тогда
4 < 7 < 3cos 2x < 10 Следовательно, Применяя свойство 6.3) определенного интеграла при получаем оценку

Ответ.

Пример:

Вычислить определенный интеграл
Решение:

Имеем дело с табличной первообразной 1

Ответ.

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

Интегрируем по частям два раза.

О т в е т. 2(3e-5)

Пример:

Вычислить интеграл и найти
интегральное среднее значение подынтегральной функции на отрезке интегрирования (5; 12].

Решение:

Интегрируем подстановкой. При этом переходим к другому определенному интегралу с другой подынтегральной функцией и другими пределами.

Положим

Тогда

Поэтому если x = 5, то u = 3, а если х = 12, то и = 4. Получаем

Длина отрезка интегрирования равна 12 — 5 = 7, а интегральное сред нее значение функции равно

Ответ.

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

Положим cosх = u,

Тогда если х = 0, то u = 1, а если то u = 0. Получаем

Поскольку новый интеграл получили с верхним пределом, меньшим нижнего предела, то поменяли направление интегрирования и знак интеграла (см. свойство 3).

Последний интеграл представим в виде

Ответ

Пример:

Не вычисляя интеграл найти интегральное среднее значение подынтегральной функции на отрезке интегрирования.

Решение:

Подынтегральная функция определена на симметричном относительно начала координат отрезке и является нечетной: f(—х) = —f(x). Согласно свойству 8 определенного интеграла

Среднее значение f(x) на отрезке [а; b] равно Следовательно, в нашем случае среднее значение f(x) равно нулю.

О т в е т. 0

Применения определенного интеграла к вычислению геометрических величин

Вычисление площади плоской фигуры

1° Площадь фигуры в прямоугольных координатах Пусть D — фигура (часть плоскости), ограниченная сверху графиком функции у = f(x), снизу графиком функции у = g(х), сбоку — отрезками прямых х = а и
х = b (один или оба эти отрезка могут вырождаться в точку), тогда площадь S = S(D) этой фигуры вычисляется по формуле (рис 2, 2а)

2°. Площадь фигуры в полярных координатах. Пусть D — фигура, ограниченная двумя лучами, исходящими из начала координат, и а также двумя кривыми, заданными в полярных координатах: и причем Тогда площадь такой фигуры вычисляется по формуле (рис. 2.26)

Вычисление длины дуги кривой

1°. Прямоугольные координаты. Если у = f(x) имеет непрерывную производную на отрезке [a; b], то длина L = L(Г) ее графика Г (дуги кривой) вычисляется по формуле

2°. Если кривая Г задана параметрически функциями х = x(t), у = y(t), где x(t) и y(t) имеют непрерывные производные на некотором отрезке то ее длина вычисляется по формуле

3°. Полярные координаты. Если кривая Г задана в полярных координатах функцией а непрерывны на отрезке то длина такой кривой вычисляется по формуле

Примечание:

Подынтегральные выражения всех трех полученных выше формул выражают так называемый дифференциал длины дуги кривой, который обозначают dl. Таким образом, длина дуги кривой вычисляется по единой формуле: или где dl — дифференциал длины дуги.

Вычисление объема тела

Дано некоторое тело W, отнесенное к прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве (рис. 2.3). Предположим, что сечение тела W плоскостью, параллельной координатной плоскости Оуz, есть некоторая фигура D с известной площадью S. Если проекция тела W на ось Ох есть отрезок [а; b], а площадь S(x) сечения W плоскостью, перпендикулярной оси Ох и проходящей через точку
(х, 0,0), является непрерывной функцией от х, то объем такого тела вычисляется по формуле

В частности, если W — тело вращения, полученное вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, которая ограничена графиком непрерывной функции на отрезке [а; b] (рис. 2.4), то а объем такого тела равен

Если W — тело, полученное вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, которая ограничена графиком непрерывной функции
х = g(у) на отрезке [с; d], то объем такого тела вычисляется по формуле

Вычисление площади поверхности

Предположим, что график (кривая) Г функции f(x) вращается вокруг оси Ох, — получаемая при этом поверхность вращения, — ее площадь Если f(х) непрерывно дифференцируема на отрезке (а, b], то

Примеры с решениями

В примерах 1-3 вычислить площадь фигуры, ограниченной данными кривыми

Пример:

Решение:

Для наглядности вычислений построим символический чертеж (рис 2 5) Функции и изображаются двумя параболами, которые пересекаются в двух точках, абсциссы которых вычислим так

Согласно формуле (1) имеем

О т в е т

Пример:

у = cos2х, у = 0,

Решение:

Область D площадь которой мы должны определить, разобьем на три части (рис 2 б) ограничена сверху отрезком а снизу графиком функции у = cos2x, и потому ее площадь равна

ограничена сверху графиком у = cos2x, а снизу отрезком и

Площадь области равна

Окончательно

Ответ

Пример:

Решение:

Кривая, заданная в полярных координатах функцией представлена на рис 27 Используем соответствующую формулу

Область — D состоит из двух равновеликих овалов. Поэтому достаточно найти площадь одного из них и результат удвоить

Имеем

Ответ

Пример:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной астроидой

Решение:

Ввиду симметрии астроиды относительно координатных осей (рис. 2.8) достаточно вычислить четверть площади и результат умножить на 4.

Используем формулу (см. п 2.1) с ( x = 0 x = 4 t = 0 ) ,

Получаем S =

О т в е т

Пример:

Найти длину дуги кривой заключенной между точками с абсциссами х = 1 и х = е. Решение. Используем формулу (3). Имеем

О т в е т.

Пример:

Найти длину дуги кривой

от до

Решение:

Имеем

О т в е т. L = 2.

Пример:

Найти длину эллипса

Решение:

Воспользуемся параметрическими уравнениями эллипса и соответствующей формулой (4) длины х = a cos t, у = b sin t ,

— эксцентриситет эллипса, a

Следовательно,

Это один из «неберущихся» интегралов, т.е. он не выражается через элементарные функции. Соответствующая неэлементарная функция, зависящая от е, называется эллиптической. Она табулирована и применяется в теории функций комплексной переменной, теории аппроксимации и других разделах математики.

Пример:

Найти длину дуги кривой

Решение:

Поскольку то а значит, или Функция косинус — четная функция, поэтому ограничимся вычислением длины, соответствующей отрезку , и результат удвоим.

Воспользуемся формулой (5):

Имеем:

О т в е т

Пример:

Вычислить объем тела вращения вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями и 2х + 2у = 3

Решение:

Искомый объем V равен разности объемов двух тел. Первое получается вращением вокруг оси Ох отрезка АВ, второе — вращением дуги параболы АОВ (рис. 2.9). Пределами интегрирования являются проекции точек Л и В на ось Ох. Находим их:

Таким образом,

Окончательно

Ответ.

Пример:

Вычислить объем тела, образованного вращением астроиды вокруг прямой у = — а, где а > 0.

Решение:

Воспользуемся симметрией астроиды относительно координатных осей (рис. 2.10). Искомый объем V равен разности объемов двух тел. Первое получается вращением дуги ABC астроиды, второе — вращением дуги ADC вокруг прямой у = — а. При этом

Таким образом, задача сводится к вычислению двух интегралов. Первый из них можно представить в виде

Второй интеграл, ввиду четности косинуса и нечетности синуса, можно привести к виду

Выше было замечено, что искомый объем выражается через разности этих интегралов:

После возведения в квадрат в подынтегральных выражениях несложно получить для разности следующее выражение:

Таким образом

т.к. интегралы от косинусов дают нуль. Тем самым

О т в е т.

Пример:

Найти объем тела, ограниченного двумя цилиндрами

Решение:

На рис. 2.11 изображена восьмая часть тела, расположенного в первом октанте

Поперечное сечение плоскостью, перпендикулярной оси Ох, представляет собой квадрат. Если сечение проведено через точку с абсциссой (х, 0,0), то сторона квадрата равна а = у = z = а его площадь равна

Используя соответствующую формулу (6), получаем: R

О т в е т.

Пример:

Дуга кубической пораболы заключенная между точками 0(0,0) и А(1,1/3), вращается вокруг оси Ох. Найти площадь поверхности вращения.

Решение:

Согласно формуле (9) получаем:

О т в е т.

Применения определенного интеграла к вычислению физических величин

Работа переменной силы

Предположим, что материальная точка М перемещается вдоль оси Ох под действием переменной силы f(x), направленной вдоль этой оси. Тогда работа, произведенная этой силой при перемещении М из точки х = а в точку х = 6 (a < b) вычисляется по формуле (в предположении, что f(х) непрерывна на [а; b])

Путь, пройденный материальной точкой

Предположим, что материальная точка М перемещается по прямой с переменной скоростью v = v(t), где t — время перемещения. Тогда путь S, пройденный точкой М за промежуток времени от до вычисляется по формуле

Масса плоской материальной кривой

Предположим, что кривая Г, график функции у = f(х), представляет собой материальную кривую массой m. Если элемент кривой достаточно малой длины , содержащий точку М ( х, у ), имеет массу то отношение представляет собой плотность такого элемента, а называется линейной плотностью материальной кривой Г в точке М (х,у).

А теперь предположим, что материальная кривая Г имеет известную линейную плотность р(х). Требуется найти массу такой кривой. Масса элемента длины , содержащего точку М (х,у), равна

Если уравнение Г имеет вид у = f (х), где f(х) — дифференцируемая функция, то а

Полная масса m кривой Г вычисляется по формуле

Если материальная кривая Г имеет постоянную плотность р, то можно считать р = 1, а ее масса равна

Если Г задана параметрически, то

а в полярных координатах —

Статические моменты и координаты центра тяжести материальной кривой

Пусть на плоскости Оху задана система материальных точек соответственно

Статическим моментом этой системы точек относительно оси Ох называется величина, равная сумме произведений масс этих точек на их расстояния до оси Ох, т.е.

Аналогично определяется статический момент этих масс относительно оси Оу.

Предположим, что материальная кривая Г задается уравнением у = f(x), где f(x) — дифференцируемая функция на отрезке [а; b], имеющая линейную плотность р(х). Заменяя Г системой из п элементарных дуг и считая элементарную дугу материальной точкой, приходим к приближенным формулам для статических моментов кривой Г.

А после перехода к пределу при и получаем точные формулы

Если Г задана параметрически, то

а в полярных координатах —

Центром тяжести (центром масс) материальной плоской кривой Г называется точка плоскости, обладающая следующим свойством: если в сосредоточить всю массу m кривой Г, то ее статический момент относительно любой прямой равен статическому моменту всей кривой относительно этой прямой, таким образом, Отсюда где вычисляются по формулам, приведенным выше

Момент инерции материальной кривой

Момент инерции материальной кривой Г с линейной плотностью р(х), заданной функцией у = f(х), имеющей непрерывную производную у’ = f'(х) на отрезке [а,b], относительно начала координат вычисляется по формуле

При этом

— моменты инерции Г относительно координатных осей Ох и Оу соответственно и

Если кривая Г задана параметрически функциями х = x(t), y=y(t), то следует заменить выражением

вместо р(х) записывается p(t), а интеграл следует брать по отрезку

Соответствующие замены необходимо производить и в случае, если Г задана в полярных координатах.

Примеры с решениями

Пример:

Скорость тела изменяется по закону Какой путь пройдет тело за 12 с? Чему равна скорость движения?

Решение:

Путь равен интегралу от скорости:

Средняя скорость равна

Ответ. S = 288 м;

Пример:

Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть пружину на 18 см, если сила в 24 Н растягивает пружину на 3 см?

Решение:

Согласно закону Гука упругая сила, растягивающая пружину, пропорциональна этому растяжению, т.е. F(x) = kх. Согласно условию: F(0,03 м) = 24 Н. Из равенства 24 = 0,03k находим k = 800, а значит, F(x) = 800x есть сила, растягивающая пружину. Работа, выполняемая этой силой, равна

О т в е т. 25,92 Дж.

Пример:

Вычислить массу m и момент инерции плоского однородного стержня длины l относительно его конца (плотность равна р )

Решение:

Совместим стержень с отрезком [0; l] оси Ох
(стержень задается графиком функции у = 0, Тогда

Момент инерции стержня относительно его конца равен

О т в е т.

Пример:

Для однородной материальной кривой, состоящей из одной половины арки циклоиды х = a(t — sin t), у = а(1 — cos t), найти (полагая p = 1 )

1) массу кривой;

2) статические моменты относительно координатных осей;

3) координаты центра тяжести (масс);

4) моменты инерции относительно координатных осей Ох и Оу. Решение:

Воспользуемся формулами вычисления искомых величин в параметрической форме. Находим сначала элемент длины дуги кривой. Имеем

Далее вычисляем искомые величины

2) Статистические моменты

Первое слагаемое интегрировали по частям, второе — преобразованием произведения в сумму.

3) Координаты центра тяжести

4) Моменты инерции.

Каждый из трех интегралов берется своим приемом, поэтому вычислим их отдельно.

Окончательно

Несобственные интегралы

Интегралы с бесконечными пределами (первого рода)

Определенный интеграл не может быть построен в том случае, когда промежуток интегрирования неограничен. В таком случае необходимо использовать предел определенного интеграла при условии, что предел интегрирования стремится к бесконечности.

По определению положим

Такие интегралы называют несобственными интегралами первого рода. Если приведенные пределы существуют и конечны, то соответствующие интегралы называются сходящимися, в противном случае — расходящимися.

Интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл . Абсолютно сходящийся интеграл сходится.

Интегралы от неограниченных функций (второго рода)

Если функция f(x) непрерывна в промежутке [а,b) (или (а, b]) и имеет при х = b (или х = а) разрыв второго рода, то несобственный интеграл от неограниченной функции определяется при помощи предела определенного интеграла:

Если функция f(x) имеет бесконечный разрыв во внутренней точке с интервала (а;b) и непрерывна при а < х < с и с < х < b, то по определению полагают

Несобственный интеграл в этом случае называется
сходящимся, если соответствующие пределы существуют, и расходящимся в противном случае.

Признаки сравнения для несобственных интегралов

Теорема:

Если функции f(x) и g(х) непрерывны на промежутке и удовлетворяют на нем условию то из сходимости интеграла следует сходимость интеграла а из расходимости интеграла следует
расходимость

Теорема:

Если для неотрицательных непрерывных функций f(х) и g(х) существует конечный и отличный от нуля предел

то несобственные интегралы и сходятся либо расходятся одновременно.

Теоремы 7 и 8 распространяются на случай интегралов второго рода В этом случае предел, фигурирующий в теореме 8, следует заменить следующим или

Примеры с решениями

Пример:

Исследовать сходимость интеграла (интеграл Дирихле)

Решение:

По определению

О т в е т Интеграл сходится при p > 1 и расходится при

Пример:

Исследовать сходимость или вычислить значение интеграла

Решение:

Имеем

О т в е т Интеграл сходится и равен

Пример:

Вычислить значение интеграла

Решение:

Подынтегральная функция в точке
х = 1 имеет разрыв второго рода (стремится к бесконечности при x стремящемся к 1 слева), поэтому обычный определенный интеграл от этой функции не имеет смысла. Имеем

О т в е т

Пример:

Найти значение интеграла

Решение:

Подынтегральная функция в точке х = 0 неограничена значит

т е интеграл расходится

О т в е т Интеграл расходится

Пример:

Исследовать на сходимость несобственный интеграл

Решение:

Очевидно, что если то

Но сходится, так как (см пример 2) р = 2 > 1, следовательно,
согласно теореме 7, сходится и данный интеграл
Ответ: Интеграл сходится

Пример:

Исследовать сходимость интеграла

Решение:

В промежутке справедливо неравенство но сходится как интеграл Дирихле при
р > 1 (пример 1), значит, сходится и данный интеграл.

Ответ: Интеграл сходится абсолютно

Пример:

Исследовать на сходимость несобственные интегралы:

Решение:

Обе подынтегральные функции непрерывны на любом отрезке [1; а] , где a > 1 — произвольное число. Поскольку на отрезке [1;2] данные интегралы являются определенными интегралами, то достаточно исследовать их на сходимость на полупрямой

В качестве функций для сравнения берем функции для первого интеграла и для второго. При этом заметим, что расходится, а сходится (убедитесь в этом).

а) Подынтегральную функцию этого интеграла обозначим через Предел отношения при равен 1, а тогда, согласно теореме 8, данный интеграл расходится.

б) Подынтегральную функцию этого интеграла обозначим через . Предел отношения при равен 1, а потому, согласно теореме 8, данный интеграл сходится.

Ответ: а) Расходится; б) сходится.

Примечание:

Несобственный интеграл первого рода может быть преобразован в несобственный интеграл второго рода и наоборот. Например,

Решение определенных интегралов

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

Геометрия: площадь плоской фигуры:

Рассмотрим плоскую фигуру ограниченную кривой АВ, являющейся графиком положительной непрерывной функции отрезком оси Ох и прямыми которую будем называть криволинейной трапецией (рис. 1).

Установим понятие площади криволинейной трапеции и укажем способ вычисления этой площади. Разобьем отрезок на n частей точками

На каждом частичном отрезке возьмем по одной произвольной точке и построим прямоугольник с основанием и высотой, равной Площадь этого прямоугольника будет равна

где длина основания прямоугольника равна В результате такого построения получим «ступенчатую» фигуру, состоящую из n прямоугольников, площадь которой будет равна сумме площадей этих прямоугольников:

Будем теперь делить отрезок на все более и более мелкие части так, чтобы число частичных отрезков увеличивалось, а их длины уменьшались. Тогда «ступенчатая» фигура будет все меньше и меньше отклоняться от криволинейной трапеции Пусть

является длиной наибольшего из частичных отрезков При число частичных отрезков будет не ограничено увеличиваться, а длины всех этих отрезков будут стремиться к нулю, так как для всех Если существует конечный предел Q площади «ступенчатой» фигуры при

то он принимается за площадь криволинейной трапеции т. е.

Этот предел, если он существует, не должен зависеть от способа разбиения отрезка на частичные отрезки и от выбора точек на них. Таким образом, задача о площади криволинейной трапеции привела нас к вычислению предела вида

Физика: путь материальной точки

Рассмотрим следующую физическую зада чу: найти путь S, пройденный материальной точкой за промежуток времени от если известна скорость v движения этой точки какфункция времени t т. е. Для ее решения разобьем промежуток времени на n малых временных интервалов, ограниченных моментами времени

Допустим, что скорость мало меняется на каждом промежутке и поэтому ее можно приближенно считать постоянной на нем и равной значению v в некоторый момент времени Тогда путь пройденный точкой за время будет приближенно равен и, следовательно, путь пройденный точкой за время от приближенно равен

Обозначим через наибольший из частичных промежутков времени

При число частичных промежутков времени будет неограниченно увеличиваться, а сами промежутки будут неограниченно уменьшаться. При переходе к пределу при в сумме получим точное значение пути S, пройденного точкой за промежуток времени от

Мы пришли к вычислению предела, имеющего тот же вид, что и предел (1), только роль переменной х играет время t.

Таким образом, рассмотренные выше две задачи привадят нас к вычислению однотипных пределов (1) и (2) специального вида. Эти пределы, в случае их существования, называются определенными интегралами от функции f(х) (или f(t)) и обозначаются символом

Перейдем теперь к изучению этих пределов, отвлекаясь от их геометрического и физического смыслов.

Понятие определенного интеграла

Пусть функция определена на отрезке Разобьем этот отрезок на n частей произвольными точками

и пусть — длины полученных частичных отрезков В каждом частичном отрезке возьмем произвольную точку вычислим значения функции в этих точках и составим сумму

Эта сумма называется интегральной суммой функции на отрезке Величина интегральной суммы зависит как от способа разбиения отрезка на частичные отрезки так и от выбора точек на них.

Обозначим через длину наибольшего из отрезков т. е.

Определение:

Число J называется пределом интегральных сумм функции на отрезке если для любого числа найдется число такое, что для любого разбиения отрезка на части с длинами для всех неравенство

будет выполняться при любом выборе точек

Для обозначения предела интегральных сумм употребляется запись

Здесь число зависит от выбора числа и поэтому иногда пишут

Определение:

Если при любых разбиениях Отрезка на частичные отрезки и при любом выборе точек в них, интегральные суммы при имеют один и тот же конечный предел J, то этот предел называют определенным интегралом в смысле Римана от функции по отрезку и его обозначают символом

Итак, по определению

Числа называются соответственно нижним и верхним пределами интеграла, х называется переменной интегрирования, — подынтегральной функцией, — подынтегральным выражением.

Заметим, что из самой конструкции определенного интеграла вытекает, что его величина не меняется, если функцию видоизменить в любой точке с отрезка Иначе говоря, если вместо функции взять функцию

где число то

Это справедливо и в случае изменения значений функции в конечном числе точек отрезка

Так как определенный интеграл определен нами при условии, что то дополним его определение, заметив, что:

Пример:

Вычислить

По определению определенного интеграла получаем

Условия интегрируемости функций

Определение:

Функция определенная на отрезке называется интегрируемой по Риману на этом отрезке, если для нее существует определенный интеграл

Теорема:

Если функция интегрируема по Риману на отрезке то она ограничена на этом отрезке.

Пусть функция не ограничена на отрезке Разобьем отрезок на частичные отрезки Так как не ограничена на то найдется частичный отрезок, на котором она не ограничена. Пусть, например, таким отрезком будет отрезок Выберем точки и составим интегральную сумму

Зафиксируем точки и будем менять только точку Тогда сумма будет иметь определенное значение, а первое слагаемое будет изменяться, и надлежащим выбором точки его можно сделать как угодно большим по абсолютной величине и, значит, может быть сделана как угодно большой. Это означает, что интегральная сумма при не имеет конечного предела, т. е. не интегрируема по Риману на Отсюда следует, что если функция интегрируема на то она ограничена на

Замечание:

Ограниченность функции на отрезке не является достаточным условием для ее интегрируемости, т.е. функция может быть ограниченной на и в тоже время не интегрируемой на В качестве примера, доказывающего это утверждение, приведем функцию Дирихле:

которую рассмотрим, например, на отрезке [0, 1]. Эта функция ограничена: но она не интегрируема на нем.

В самом деле, составив для нее интегральную сумму будем иметь:

Итак, при любом как угодно малом интегральная сумма может принимать как значение, равное 1, так и значение, равное нулю. Следовательно, при предела не имеет, т. е. функция Дирихлене интегрируема на отрезке [0,1].

Приведем без доказательства теорему, даюшую достаточное условие интегрируемости функции.

Теорема:

Функция непрерывная на отрезке интегрируема на этом отрезке.

Пример:

Функция непрерывна на отрезке где а — любое число, и поэтому она интегрируема на этом отрезке, т. е. для нее существует определенный интеграл

Приведем формулирован еще двух теорем, даюших достаточные признаки интегрируемости функции.

Теорема:

Функция определенная и монотонная на отрезке интегрируема на этом отрезке.

Здесь следует отметить, что если функция монотонна на отрезке то ее значения заключены между числами Поэтому определенная на монотонная функция ограничена на этом отрезке.

Теорема:

Функция ограниченная на отрезке и имеющая на нем конечное число точек разрыва, интегрируема на этом отрезке.

Пример:

Функция

интегрируема на отрезке потому что она ограничена, и имеет на этом отрезке одну точку разрыва х = 0 (точка разрыва второго рода).

Свойства определенного интеграла

Установим некоторые свойства определенного интеграла. При этом будем считать, что все рассматриваемые функции непрерывны,а следовательно, интегрируемы на отрезке

1.Определенный интеграл зависит только от величины нижнего и верхнего пределов интегрирования, т. е. от чисел и от вида подынтегральной функции но он не зависит от переменной интегрирования. Поэтому величина определенного интеграла не изменится, если букву х, обозначающую переменную интегрирования, заменить любой другой буквой:

2.Постоянный множитель можно выносить за знак (вносить под знак) определенного интеграла:

По определению имеем

3.Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

Следствие:

Имеет место соотношение

где — произвольные постоянные, которое выражает свойство линейности определенного интеграла.

Для любых чисел имеет место равенство

при условии существования обоих интегралов в правой части. Это равенство выражает свойство аддитивности определенного интеграла.

Рассмотрим два случая.

1) Пусть

По определению имеем

Так как интеграл не зависит от способа разбиения отрезка на части, то точку с можно включить в число точек деления этого отрезка. Пусть, например, разбиение имеет вид (рис. 2)

Тогда интегральную сумму соответствующую отрезку можно разбить на две суммы: одну, соответствующую отрезку и другую, соответствующую отрезку т. е.

Переходя в этом равенстве к переделу при получим

2) Пусть а < b < с. В силу доказанного имеем

откуда находим, что

Для случая, когда свойство аддитивности определенного интеграла означает, что площадь криволинейной трапеции равна сумме площадей криволинейных трапеций (рис.2).

5. Если функции на отрезке удовлетворяют условию то

т. е. неравенство можно интегрировать.

Так как в каждой точке то при любом разбиении отрезка на части и при любом выборе точек будет справедливо неравенство

Переходя в этом неравенстве к пределу при получим при

Замечание:

В случае, когда на отрезке это свойство геометрически означает, что площадь криволинейной трапеции не больше площади криволинейной трапеции (рис. 3). Из этого свойства, в частности, следует, что если на отрезке то

6. Если то имеет место неравенство

Интегрируя в пределах от а до b очевидное двойное неравенство

получим

т.е.

Если числа m и M являются соответственно наименьшим и наибольшим значениями функции на отрезке то

Так как для всех то в силу свойства 5 получаем

Но так как

то

Замечаем:

Для функции это свойство геометрически означает, что площадь Q криволинейной трапеции заключена между площадями прямоугольников (рис. 4);

Пример:

Оценить интеграл

Так как

то согласно свойству 7 будем иметь

т.е.

Пример:

Выяснить (не вычисляя), какой из интегралов больше:

На отрезке имеем откуда и так как число и по свойству 5 получаем

Теорема о среднем

Теорема:

Пусть функция непрерывна на отрезке Тогда на этом отрезке найдется по крайней мере одна точка такая, что имеет место равенство:

Так как непрерывна на отрезке то она на этом отрезке имеет наименьшее значение m и наибольшее значение М, и по свойству 7 получим

Учитывая, что находим

Положим

В силу непрерывности функция принимает все промежуточные значения, заключенные между m и М. Поэтому найдется значение такое, что т.е. .

Замечание:

При a < b будем иметь

Положив

находим отсюда Доказанное выше равенство можно записать теперь в виде

Геометрический смысл теоремы о среднем состоит в следующем. Пусть функция на отрезке

Тогда

где — площадь криволинейной трапеции — площадь прямоугольника основанием которого является отрезок а высотой ордината точки Теорема о среднем утверждает, что на кривой АВ (рис.5) найдется по крайней мере одна точка такая, что

Определение:

Число

называется средним значением функции f(x) на отрезке

Если функция непрерывна на то найдется точка такая, что

Пример:

Найти среднее значение функции на отрезке

По определению получаем:

Здесь мы воспользовались формулой Ньютона—Лейбница, которая будет доказана ниже в § 7.

Производная интеграла с переменным верхним пределом

Пусть функция непрерывна на отрезке Возьмем на этом отрезке произвольную точку х и рассмотрим определенный интеграл

Этот интеграл существует для любого в силу непрерывности и является функцией своего верхнего предела х. Обозначим ее через F(x), т. е. положим

Теорема:

Пусть функция непрерывна на отрезке Тогда функция

имеет производную в любой точке причем

Другими словами, производная от определенного интеграла по его верхнему пределу равна значению подынтегральной функции в верхнем пределе.

Дадим аргументу х приращение такое, что Тогда функция F(x) получит приращение равное в силу аддитивности определенного интеграла

Применяя теорему о среднем значении, получим

откуда

Переходя в этом равенстве к пределу при и учитывая непрерывность функции в любой точке получим

т. е.

Замечание:

Если функция непрерывна на отрезке то для любого будем иметь

Пример:

Теорема:

Если функция непрерывна на отрезке то она на этом отрезке имеет первообразную, означит и неопределенный интеграл.

Пусть непрерывна на Тогда для любого х из этого отрезка существует определенный интеграл т. е. существует функция

такая, что

Это означает по определению, что является первообразной для Отсюда следует, что неопределенный интеграл от функции непрерывной на можно представить в виде

где С — произвольная постоянная.

Формула Ньютона—Лейбница

Теорема:

Пусть функция непрерывна на отрезке а функция является ее первообразной на этом отрезке, тогда

Эта формула называется формулой Ньютона—Лейбница.

Возьмем функцию

Эта функция является первообразной для функции на отрезке а любые две первообразные для одной и той же функции отличаются друг от друга постоянным слагаемым, т.е. существует постоянная С такая, что

для всех При имеем

и так как откуда

Следовательно,

Положив x = b, получим

или, обозначая переменную t интегрирования через х,

Замечание:

Если обозначить то формулу Ньютона—Лейбница можно записать в виде

Доказанная формула является основной в интегральном исчислении. Она сводит вычисление определенного интеграла от функции к нахождению ее первообразной

Примеры:

1.Найти

Известно, что

Поэтому

2.Найти

Имеем

Замена переменной в определенном интеграле

Теорема:

Пусть дан интеграл

где функция непрерывна на отрезке Положим и пусть функция удовлетворяет условиям:

1)при изменении t от функция непрерывно меняется от а до b так, что а все остальные значения содержатся в области, где функция определена и непрерывна;

2) производная непрерывна на отрезке

Тогда будет справедлива формула

По формуле Ньютона—Лейбница

где F(x) — какая-нибудь первообразная для функции на отрезке т.е. Возьмем сложную функцию от t, а именно определенную на отрезке По правилу дифференцирования сложной функции ее производная равна

Таким образом, функция есть первообразная для функции непрерывной на и по формуле Ньютона—Лейбница получим

Замечание:

Функцию выбирают так, чтобы новый интеграл

был более простым, чем первоначальный интеграл

При вычислении определенного интеграла по доказанной формуле к старой переменной интегрирования не возвращаются.

Пример:

Вычислить интеграл

Положим, например, Тогда

Полагая в равенстве сначала х = 0, а затем x=a, получим два уравнения из которых находим нижний предел интегрирования t = 0 и верхний предел Поэтому будем иметь

Пример:

Вычислить интеграл

Положим Так как то

Замечание:

В некоторых случаях а интеграле удобнее применять замену переменной не в виде а в виде

Пример:

Вычислить интеграл

Положим Тогда При х = 0 получаем t=0, в при получаем t=1. Следовательно,

Пример:

Вычислить интеграл

Положим В данном случае выражать x через t, т.е. находить функцию не нужно! Дифференцируя ето равенство, получим откуда Поэтому будем иметь

Приведем теорему, которая в некоторых случаях упрощает вычисление определенного интеграла.

Теорема:

Пусть функция интегрируема на симметричном относительно точки О отрезке Тогда

Согласно свойству аддитивности определенного интеграла имеем

Сделаем в первом интеграле замену переменной: Тогда

и, следовательно,

Полагая в этом равенстве (четная функция), а затем (нечетная функция), получим требуемые равенства

Пример:

Интеграл

так как подынтегральная функция на отрезке является нечетной.

В самом деле,

Интегрирование по частям

Теорема:

Пусть функции имеют на отрезке непрерывные производные Тогда имеет место равенство

В силу условия теоремы произведение данных функций имеет на производную, равную

т. е, является первообразной на для функции Применяя формулу Ньютона—Лейбница, получим

По правилу интегрирования суммы это равенство можно представить в виде

откуда находим

Так как по определению дифференциала функции то окончательно будем иметь

Пример:

Вычислить интеграл

В данном интеграле имеем Возьмем тогда Применяя формулу интегрирования no частям, получим

Пример:

Вычислить интеграл

Имеем:

Площадь плоских фигур в прямоугольных координатах

1.Пусть функция непрерывна и неотрицательна на отрезке Тогда площадь Q криволинейной трапеции будет равна (рис. 6)

Пример:

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной параболой прямой и осью Ох (рис.7).

Имеем

2.Пусть функция на отрезке Тогда кривая расположена под осью Ох и интеграл

Площадь Q криволинейной трапеции (рис. 8) будет равна

Пример:

Найти площадь фигуры, ограниченной параболой и осью Ох (рис.9).

Данная фигура расположена под осью Ох на отрезке [0, 2] на котором Поэтому искомая площадь Q будет равна

Пусть функция меняет свой знак при переходе х через точку т. е. часть криволинейной трапеции расположена над осью Ох, а другая часть под осью Ох (рис. 10). Тогда площадь Q всей заштрихованной фигуры будет равна сумме двух площадей

или

Пример:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой прямой х = 2 и осями Ох и Оу (см. рис.11).

Имеем

4. Пусть функции непрерывны и на отрезке причем кривые пересекаются в точках А и В. Тогда площадь Q фигуры, ограниченной этими линиями (рис. 12), будет равна разности площадей криволинейных трапеций соответственно. Таким образом,

или

Для нахождения пределов интегрирования а и b надо из системы уравнений исключить у и решить уравнение действительные корни которого дадут искомые пределы.

Пример:

Найти площадь фигуры, ограниченной параболами (рис. 13).

Находим абциссы точек А и В пересечения денных парабол. Для этого решаем уравнение Его корни являются пределами интегрирования: а= 1, b= 3. Искомая площадь Q равна

5.Пусть кривая АВ задана в параметрической форме уравнениями

где функции непрерывны, причем имеет непрерывную производную на отрезке Площадь Q криволинейной трапеции (рис. 14) описывается формулой

Сделаем замену переменной в этом интеграле, положив Тогда площадь Q криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной параметрическими уравнениями, будет равна

Пример:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом

В силу симметрии эллипса относительно координатных осей достаточно вычислить площадь той части фигуры, которая расположена в первой четверти, а затем ее учетверить, т. е. искомая площадь Q равна

В этом интеграле делаем замену переменной:

Для нахождения новых пределов интегрирования положим х = 0, тогда получим уравнение из которого находим затем, полагая x=a, получим откуда Таким образом, когда х изменяется от 0 до a, то t изменяется от до 0. Поэтому

6. В некоторых случаях для вычисления площадей плоских фигур удобнее пользоваться формулами, в которых интегрирование ведется по переменной у. В этом случае переменная х считается функцией от у: где функция однозначна и непрерывна на отрезке оси Оу. Пределы с и d интегрирования по переменной у, являющиеся точками пересечения данной кривой с осью Оу,находятся из уравнения получаемого из уравнения если в нем положить Тогда площадь Q, ограниченная кривой и осью ординат (рис. 15), будет равна

Пример:

Вычислить площадь, ограниченную кривой (парабола) и осью ординат (рис. 16).

Пределы интегрирования находим как ординаты точек пересечения параболы с осью ординат: при x= 0 получаем уравнение из которого находим

Следовательно,

искомая площадь будет равна

Площадь плоской фигуры в полярных координатах

Пусть кривая задана в полярной системе координат уравнением где функция непрерывна и неотрицательна на отрезке Плоская фигура, ограниченная этой кривой и двумя лучами, образующими с полярной осью углы называется криволинейным сектором (рис. 17).

Для определения площади криволинейного сектора ОАВО разобьем его на n произвольных частей лучами Обозначим углы между этими лучами через Возьмем произвольный луч заключенный между и обозначим через длину радиуса-вектора, соответствующего этому лучу. Возьмем круговой сектор с радиусом, равным и центральным углом (рис. 18). Его площадь будет равна или, так как

Проделав подобное построение во всех n частях сектора ОАВО, получим фигуру, состоящую из n круговых секторов, площадь которой будет равна

Обозначим наибольшее через

Будем делить угол АОВ на все более и более мелкие части так, чтобы Тогда полученная фигура будет все меньше и меньше отклоняться от сектора ОАВО, и поэтому естественно считать площадью Q криволинейного сектора ОАВО предел
площади построенной фигуры, когда при условии что этот предел существует и не зависит от способа разбиения отрезка на частичные отрезки и от выбора точек на них. Таким образом, по определению имеем

Сумма является интегральной суммой для функции которая непрерывна на отрезке в силу непрерывности функции Следовательно, эта сумма при имеет предел, равный определенному интегралу

Итак, площадь криволинейного сектора ОАВО равна

Пример:

Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой

(рис. 19).

Искомая площадь равна

Вычисление объемов тел

Рассмотрим тело, ограниченное некоторой замкнутой поверхностью. Пусть известна площадь Q любого сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси Ох (рис. 20). Эта площадь зависит от положения секущей плоскости, т.е. она будет функцией от х:

Будем считать, что функция Q(x) непрерывна на отрезке [а, b]. Для определения объема данного тела проводим плоскости которые разобьют тело на n слоев. В каждом отрезке возьмем по одной произвольной точке и заменим каждый слой тела цилиндром с образующими, параллельными оси Ох, направляющей которого является контур сечения тела плоскостью (рис. 20). Объем такого цилиндра равен произведению площади его основания на его высоту

а объемом всех n цилиндров будет сумма

Если эта сумма имеет предел при то его естественно принять за объем V данного тела:

В нашем случае сумма является интегральной суммой для функции непрерывной на отрезке и поэтому указанный предел существует и равен определенному интегралу

Пример:

Вычислить объем тела, ограниченного эллипсоидом

В сечении эллипсоида плоскостью, перпендикулярной к оси Ох и соответствующей абсциссе х, получается эллипс (рис. 21)

или

полуоси которого равны

Поэтому площадь Q(x) сечения будет равна

Применяя формулу (1), получим

в частности, при b=с=а, эллипсоид обращается в сферу а объем шара будет равен

Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции аЬВА (рис. 22), ограниченной кривой прямыми и осью Ох. Это тело называют телом вращения. Сечением тела вращения плоскостью, перпендикулярной к оси Ох и соответствующей абсциссе х, является круг площади и, следовательно, объем тела вращения

Пример:

Найти объем тела вращения, полученного вращением дуги OA параболы вокруг оси Ох (рис. 23).
Уравнение дуги OA параболы будет Искомый объем равен

Вычисление длины кривой

Рассмотрим кривую имеющую концы в точках А и В, и возьмем на ней произвольные точки следующие вдоль кривой одна за другой (рис. 24). Соединим эти точки хордами длины которых обозначим соответственно через Тогда длина ломаной вписанной в кривую будет равна

Определение:

Длиной S кривой называется предел, к которому стремится длина вписанной ломаной, когда длина ее наибольшего звена стремится к нулю:

если этот предел существует и не зависит от выбора точек на кривой В этом случае кривая называется спрямляемой.

Длина кривой в прямоугольных координатах

Пусть кривая задана уравнением где функция имеет непрерывную производную на отрезке Разобьем отрезок произвольными точками

на п элементарных отрезков и построим вписанную ломаную, вершинами которой являются точки кривой

Обозначим длины звеньев ломаной через и положим

Тогда длина k-го звена ломаной равна (рис. 25)

Применяя теорему Лагранжа, получим

где — некоторая точка отрезка Поэтому

и длина вписанной ломаной будет равна

Так как по условию непрерывна на то и функция будет непрерывна на этом отрезке, и, следовательно, интегральная сумма (1) имеет предел S при который является определенным интегралом:

или, короче,

Пример:

Вычислить длину S цепной линии

от точки A(0, 1) до точки (рис. 26).

Из уравнения цепной линии находим

Учитывая тождество получим

Поэтому

Длина кривой, заданной в параметрической форме

Пусть кривая задана в параметрической форме уравнениями

где функции имеют непрерывные производные на отрезке причем на этом отрезке. В этом случае уравнения (3) определяют функцию имеющую непрерывную производную Тогда

и, согласно формуйе (2),

или

Пример:

Вычислить длину окружности радиуса R (рис. 27)

Окружность в параметрической форме задается уравнениями

Согласно формуле (4) получим

Пример: Найти длину эллипса.

Так как то, применяя формулу (4) и учитывая симметричность эллипса относительно координатных осей, найдем

где эксцентриситет эллипса, Мы получил так называемый эллиптический интеграл? который не вычисляется с помощью непосредственного применения формулы Ньютона— Лейбница, поскольку первообразная не является элементарной функцией.

Замечание:

Если положить то получим

именно а этой последней записи интересующий нас интеграл обычно и рассматривают.

Пример:

Найти длину одной -арки» циклоиды

Применяя формулу (4), найдем

Длина кривой в полярных координатах

Пусть кривая задана уравнением в полярных координатах где функция имеет непрерывную производную на отрезке Для нахождения длины кривой составим ее параметрические уравнения. С этой целью воспользуемся формулами перехода от полярных координат к декартовым: Подставляя сюда вместо р функцию получим уравнения которые являются параметрическими уравнениями кривой. Здесь параметром является полярный угол Дифференцируя последние уравнения, найдем

Возводя в квадрат обе части каждого равенства и складывая, будем иметь

Согласно формуле (4), получим

или, что то же,

Пример:

Вычислить длину кардиоиды Из уравнения кардиоиды находим Применяя формулу (6), получаем, что

Дифференциал длины дуги кривой

Пусть дана кривая где функция имеет на отрезке непрерывную производную Рассмотрим дугу этой кривой от точки до переменной точки (рис. 29). Тогда длина S дуги этой кривой будет функцией от х и выразится формулой

Так как подынтегральная функция непрерывна на отрезке то будем иметь

или

Отсюда для дифференциала длины дуги получаем формулу

Геометрический смысл дифференциала длины дуги кривой заключается в том, что он равен длине отрезка MN касательной МТ, ограниченного точкой касания и точкой (рис. 29). При достаточно малом длина дуги кривой отвечающей приращению может считаться приближенно равной длине отрезка MN касательной МТ, проведенной в точке М к этой кривой, т. е.

Для случая задания кривой параметрическими уравнениями

где функции имеют непрерывные производные на отрезке получим

или

Из этой формулы, в частности, следует, что если за параметр t взять длину S переменной дуги, т. е. положить

то

Если кривая задана уравнением в полярных координатах: где функция имеет непрерывную производную на отрезке то

Физические приложения определенного интеграла

Работа переменной силы

Определим работу, которую произведет сила F при перемещении ею материальной точки М по прямой Ох из точки а в точку Из физики известно, что если сила F постоянна, то работа А равна произведению величины F силы F на длину пути при условии, что сила направлена по прямой Ох.

Пусть величина силы F, действующей на материальную точку М по прямой Ох, является непрерывной функцией от х;

на отрезке прямой Ох. Разобьем отрезок точками на n частей с длинами На каждом частичном отрезке возьмем произвольную точку и будем считать, что величина силы F на этом отрезке постоянна и равна Тогда при достаточно малом работа будет приближенно равна

а сумма

даст приближенное значение работы А силы F на отрезке Но так как является интегральной суммой для функции F(x) на отрезке то за работу А силы F на отрезке естественно принять предел этой суммы при который существует в силу непрерывности Таким образом, искомая работа А будет равна

Пример:

Найти работу А, которая совершается при перемещении заряда из точки отстоящей от заряда на расстоянии а точку отстоящую от заряда на расстоянии считая, что заряд помещен в точке принятой за начало отсчета.

Пусть электрические заряды имеют одинаковые знаки, например, Поэтому заряд будет отталкивать заряд По закону Кулона величина F силы F электростатического взаимодействия двух точечных электрических зарядов, находящихся в вакууме, равна

где r — расстояние между зарядами, k — коэффициент пропорциональности. Применяя формулу (1), найдем

Масса и центр тяжести неоднородного стержня

Пусть дан неоднородный стержень, расположенный на отрезке [а, b] оси Oar, линейная плотность которого известна. Разобьем отрезок [a, b] точками

на частичные отрезки на каждом из которых возьмем по одной произвольной точке и составим сумму

Так как каждое слагаемое этой суммы является приближенным значением массы части стержня на отрезке то указанную сумму естественно принять за приближенное значение массы всего стержня. Поэтому массу m всего стержня определим как предел сумм при стремлении к нулю т.е. как интеграл

Таким образом, масса m стержня равна

Для определения центра тяжести неоднородного стержня используем формулу для координаты центра системы материальных точек имеющих массы и расположенных в точках Координата центра тяжести этой системы находится по формуле

Разобьем отрезок точками на частичные отрезки и вычислим массу части стержня, расположенной на этом отрезке. По формуле (2) имеем Применив формулу среднего значения к этому интегралу, получим, что

Допуская, что масса сосредоточена в точке отрезка неоднородный стержень можно рассматривать как систему материальных точек с массами расположенных в точках отрезка [а, b]. Так как

то по формуле (3) найдем приближенное выражение для координаты центра тяжести неоднородного стержня:

Выражение, стоящее в числителе правой части (4), является интегральной суммой для функции на отрезке [а, b]. Поэтому координату центра тяжести неоднородного стержня определим по формуле

Пример:

Найти координату центра тяжести неоднородного стержня, линейная плотность которого р=х, а длина

Находим массу данного стержня

Искомая координата центра тяжести равна

Приближенное вычисление определенных интегралов

При решении физических задач приходатся иметь дело с определенными интегралами от непрерывных функций, первообразные которых не выражаются через элементарные функции. Это приводит к необходимости получения приближенных формул для вычисления Определенных интегралов. Приведем две из них, а именно, формулу трапеций и формулу парабол.

Формула трапеций

Пусть требуется вычислить интеграл

где функция непрерывна на отрезке Для упрощения рассуждений будем считать, что

Разобьем отрезок на n равных частей точками

и с помощью прямых построим n прямолинейных трапеций (рис. 30). Сумма площадей этих трапеций приближенно равна площади криволинейной трапеции т. е.

где — соответственно основания трапеций, — их высоты. Таким образом, получена приближенная формула

которая называется формулой трапеций. Эта формула тем точнее, чем больше n.

Замечание:

Если функция имеет на непрерывную производную второго порядка то абсолютная величина погрешности не превосходит числа

где

Пример:

Пользуясь формулой трапеций, вычислить приближенно интеграл

Разобьем отрезок на 10 равных частей точками и вычислим приближенно значения функции в этих точках:

Применяя формулу трапеции получим

Оценим погрешность полученного результата. Так как

На отрезке [0,1] имеем а значит Поэтому погрешность полученного результата не превосходит величины

Точное значение данного интеграла легко находим по формуле Ньютона—Лейбница:

Абсолютная ошибка результата, полученного по формуле трапеций, меньше 0,0007, что находится в соответствии с приведенной выше оценкой погрешности.

Формула парабол

Вычислим сначала площадь Q криволинейной трапеции, ограниченной дугой параболы проходящей через точки (рис.31). Площадь Q будет равна

Выразим площадь Q через ординаты точек Подставляя координаты этих точек в уравнение параболы, получим

Отсюда находим, что

и поэтому

Рассмотрим теперь определенный интеграл

где — произвольная функция, непрерывная и неотрицательная на отрезке

Разобьем отрезок на 2n (четное число) равных отрезков точками

и представим интеграл в виде суммы

Проведем через точки прямые, параллельные оси Оу и обозначим через В точки пересечения этих прямых с кривой а их ординаты обозначим через Через каждые три точки проведем параболу с вертикальной осью симметрии. В результате получим n криволинейных трапеций, ограниченных сверху параболами (рис. 32). Так как площадь частичной криволинейной трапеции, отвечающей отрезку приближенно равна площади соответствующей «параболической» трапеции, то, учитывая, что длина h отрезка равна по формуле (1) имеем

где Подставляя в правую часть равенства (2) вместо интегралов их приближенные значения, получаем приближенную формулу

Эта формула называется формулой парабол или формулой Симпсона.

Замечание:

Если функция имеет на отрезке непрерывную производную четвертого порядка то абсолютная величина погрешности формулы Симпсона не больше чем

где

Погрешность формулы Симпсона с ростом n уменьшается быстрее, чем погрешность формулы трапеций. Поэтому формула Симпсона позволяет получить большую точность, чем формула трапеций.

Пример:

Вычислить приближенно интеграл

по формуле Симпсона при

Разобьем отрезок на четыре равных части точками

и вычислим приближенно значения функции в этих точках:

По формуле Симпсона находим

Оценим погрешность полученного результата. Подынтегральная функция имеет производную четвертого порядка для которой получаем

Погрешность результата не превосходит величины Сравнивая приближенное значение интеграла с точным, приходим к выводу, что абсолютная ошибка результата, полученного по формуле Симпсона, меньше 0,0001, что соответствует полученной выше оценке погрешности.

Эти примеры показывают, что формула Симпсона дает более точные приближенные значения определенных интегралов, чем формула трапеций.

Определенный интеграл с подробным объяснением и теорией

Определенный интеграл как предел интегральной суммы

Пусть функция у = f(х) определена на отрезке [а; b], а < b. Выполним следующие действия.

1.С помощью точек

разобьем oтрезок [a, b] на п частичных отрезков (см. рис. 166).

2.В каждом частичном отрезке выберем произвольную точку и вычислим значение функции в ней, т. е. величину .

3.Умножим найденное значение функции на длину соответствующего частичного отрезка:

4.Составим сумму всех таких произведений:

Сумма вида (35.1) называется интегральной суммой функции у = f(х) на отрезке [а; b]. Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка:

5.Найдем предел интегральной суммы (35.1), когда так, что

Если при этом интегральная сумма имеет предел I, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [а; b] на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число I называется определенным интегралом от функции у = f(х) на отрезке [а; b] и обозначается . Таким образом,

Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f(x) — подынтегральной функцией, f(x)dx — подынтегральным выражением, х — переменной интегрирования, отрезок [а; b] — областью (отрезком) интегрирования.

Функция у = f(x), для которой на отрезке [а; b] существует определенный интеграл , называется интегрируемой на этом отрезке.

Сформулируем теперь теорему существования определенного интеграла.
Теорема 35.1 (Коши). Если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [а; b], то определенный интеграл существует.

Отметим, что непрерывность функции является достаточным условием ее интегрируемости. Однако определенный интеграл может существовать и для некоторых разрывных функций, в частности для всякой ограниченной на отрезке функции, имеющей на нем конечное число точек разрыва.

Укажем некоторые свойства определенного интеграла, непосредственно вытекающие из его определения (35.2).

1.Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования:

Это следует из того, что интегральная сумма (35.1), а следовательно, и ее предел (35.2) не зависят от того, какой буквой обозначается аргумент данной функции.

2.Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:

3.Для любого действительного числа с:

Геометрическим и физическии смысл определенного интеграла

Площадь криволинейной трапеции

Пусть на отрезке [а; b] задана непрерывная функция

Фигура, ограниченная сверху графиком функции у = f(х), снизу — осью Ох, сбоку — прямыми х = а и х = b, называется криволинейной трапецией. Найдем площадь этой трапеции.

Для этого отрезок [а; b] точками разобьем на п частичных отрезков (см. рис. 167). В каждом частичном отрезке возьмем произвольную точку Cj и вычислим значение функции в ней, т. е. .

Умножим значением функции на длину соответствующего частичного отрезка. Произведение равно площади прямоугольника с основанием и высотой . Сумма всех таких произведений

равна площади ступенчатой фигуры и приближенно равна площади S криволинейной трапеции:

С уменьшением всех величин точность приближения криволинейной трапеции ступенчатой фигурой и точность полученной формулы увеличиваются. Поэтому за точное значение площади S криволинейной трапеции принимается предел S, к которому стремится площадь ступенчатой фигуры когда п неограниченно возрастает так, что

Итак, определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции.

В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.

Работа переменной силы

Пусть материальная точка М перемещается под действием силы , направленной вдоль оси Ох и имеющей переменную величину F = F(x), где х — абсцисса движущейся точки М.

Найдем работу А силы по перемещению точки М вдоль оси Ох из точки х = а в точку х = b (а < b). Для этого отрезок [а; b] точками разобьем на п частичных отрезков Сила, действующая на отрезке , меняется от точки к точке. Но если длина отрезка достаточно мала, то сила на этом отрезке изменяется незначительно. Ее можно приближенно считать постоянной и равной значению функции F = F(x) в произвольно выбранной точке .Поэтому работа, совершенная этой силой на отрезке , равна произведению . (Как работа постоянной силы на участке .)

Приближенное значение работы А силы на всем отрезке [а; b]

Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше длина . Поэтому за точное значение работы А принимается предел суммы (36.1) при условии, что наибольшая длина частичных отрезков стремится к нулю:

Итак, работа переменной силы, величина которой есть непрерывная функция F = F(x), действующей на отрезке [а; b], равна определенному интегралу от величины F(x) силы, взятому по отрезку [а; b].

В этом состоит физический смысл определенного интеграла. Аналогично можно показать, что путь S, пройденный точкой за промежуток времени от t = а до t = b, равен определенному интегралу от скорости v(t):

масса m неоднородного стержня на отрезке [a; b] равна определенному интегралу от плотности

Формула Ньютона-Лейбница

Пусть функция у = f(х) интегрируема на отрезке [а; b].

Теорема:

Если функция у = f(х) непрерывна на отрезке [а; b] и F(x) — какая-либо ее первообразная на, то имеет место формула

Разобьем отрезок [а; b] точками на n частичных отрезков как это показано на рис. 168.

Рассмотрим тождество

Преобразуем каждую разность в скобках по формуле Лагранжа

Получим

т. e.

где есть некоторая точка интервала . Так как функция у = f(x) непрерывна на [а; b], то она интегрируема на [а; b]. Поэтому существует предел интегральной суммы, равный определенному интегралу от f(х) на [а; b].

Переходя в равенстве (37.2) к пределу при , получаем

т.е.

Равенство (37.1) называется формулой Ньютона-Лейбница.

Если ввести обозначение , то формулу Ньютона-Лейбница (37.1) можно переписать так:

Формула Ньютона-Лейбница дает удобный способ вычисления определенного интеграла. Чтобы вычислить определенный интеграл от непрерывной функции f(x) на отрезке [a; b], надо найти ее первообразную функцию F(x) и взять разность F(b) — F(a) значений этой первообразной на концах отрезка [а; b]. Например,

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

Основные свойства определенного интеграла

Рассмотрим основные свойства определенного интеграла, считая подынтегральную функцию интегрируемой на отрезке [а; b]. При выводе свойств будем использовать определение интеграла и формулу Ньютона-Лейбница.

1.Если с — постоянное число и функция f(x) интегрируема на [а; b], то

т. е. постоянный множитель с можно выносить за знак определенного интеграла.

Составим интегральную сумму для функции с • f(x). Имеем:

Тогда

Отсюда вытекает, что функция интегрируема на [а; b] и справедлива формула (38.1).

2. Если функции интегрируемы на [a;b], тогда интегрируема на [ a;b ] их сумма и

т. е. интеграл от суммы равен сумме интегралов.

Свойство 2 распространяется на сумму любого конечного числа слагаемых.

Это свойство можно принять по определению. Это свойство также подтверждается формулой Ньютона-Лейбница.

4.Если функция f(x) интегрируема на [а; b] и а < с < b, то

т. е. интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям этого отрезка. Это свойство называют аддитивностью определенного интеграла (или свойством аддитивности).

Q При разбиении отрезка [а; b] на части включим точку с в число точек деления (это можно сделать ввиду независимости предела интегральной суммы от способа разбиения отрезка [а; b] на части). Если то интегральную сумму можно разбить на две суммы:

Каждая из написанных сумм является интегральной соответственно для отрезков [a; b], [а; с] и [с; b]. Переходя к пределу в последнем равенстве при , получим равенство (38.3).

Свойство 4 справедливо при любом расположении точек a, b, с (считаем, что функция f (x) интегрируема на большем из получающихся отрезков).

Так, например, если а < b < с, то

Отсюда

(использованы свойства 4 и 3).

5.«Теорема о среднем». Если функция fix) непрерывна на отрезке [a; b], то существует точка такая, что

По формуле Ньютона-Лейбница имеем

где F'(x) — f (х). Применяя к разности F(b) — F(a) теорему Лагранжа (теорему о конечном приращении функции), получим

Свойство 5 («теорема о среднем») у при имеет простой геометрический смысл: значение определенного интеграла равно, при некотором , площади прямоугольника с высотой f(с) и основанием b — а (см. рис. 169). Число

называется средним значением, функции f(x) на отрезке [а; b].

6.Если функция f(x) сохраняет знак на отрезке [a;b], где а < b, то интеграл имеет тот же знак, что и функция. Так, если на отрезке [а; b], то

По «теореме о среднем» (свойство 5)

где . А так как для всех , то и

Поэтому

7.Неравенство между непрерывными функциями на отрезке [a; b], (а < b) можно интегрировать. Так, если то

Так как то при а < b, согласно свойству 6, имеем

Или, согласно свойству 2,

Отметим, что дифференцировать неравенства нельзя.

8.Оценка интеграла. Если m и М — соответственно наименьшее и наибольшее значения функции у = f(x) на отрезке [а; b], (а < b), то

Так как для любого имеем , то, согласно свойству 7, имеем

Применяя к крайним интегралам свойство 5, получаем

Если то свойство 8 иллюстрируется геометрически: площадь криволинейной трапеции заключена между площадями прямоугольников, основание которых есть [а; b], а высоты равны m и М (см. рис. 170).

9.Модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции:

Применяя свойство 7 к очевидным неравенствам — получаем

Отсюда следует, что

10.Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом, т. е.

По формуле Ньютона-Лейбница имеем:

Следовательно,

Это означает, что определенный интеграл с переменным верхним пределом есть одна из первообразных подынтегральной функции.

Вычисления определенного интеграла

Формула Ньютона-Лейбница

Простым и удобным методом вычисления определенного интеграла от непрерывной функции является формула Ньютона-
Лейбница:

Применяется этот метод во всех случаях, когда может быть найдена первообразная функции F(x) для подынтегральной функции f(х).

При вычислении определенных интегралов широко используется метод замены переменной и метод интегрирования по частям.

Интегрирование подстановкой (заменой переменной)

Пусть для вычисления интеграла от непрерывной функции сделана подстановка .

Теорема:

Если:
1) функция и ее производная непрерывны при ;
2) множеством значений функции при является отрезок [а; b];
3)
то

Пусть F(x) есть первообразная для f(х) на отрезке [а; b]. Тогда по
формуле Ньютона-Лейбница . Так как
является первообразной для функции . Поэтому по формуле Ньютона-Лейбница имеем

Формула (39.1) называется формулой замены переменной в определенном интеграле.
Отметим, что:
1) при вычислении определенного интеграла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется;
2) часто вместо подстановки применяют подстановку ;
3) не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных!

Пример:

Вычислить

Решение:

Положим х = 2 sin t, тогда dx = 2 cost dt. Если x =0, то t = 0; если х = 2, то. Поэтому

Интегрирование по частям

Теорема:

Если функции и = u(x) и v = v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [а; b], то имеет место формула

На отрезке [a; b] имеет место равенство (uv)’ = u’v + uv’. Следовательно, функция uv есть первообразная для непрерывной функции u’v + uv’. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница имеем:

Следовательно,

Формула (39.2) называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.

Пример:

Вычислить

Решение:

Положим

Применяя формулу (39.2), получаем

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

Интегрируем по частям. Положим

Поэтому

Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [-a; а], симметричном относительно точки х = 0. Докажем, что

Разобьем отрезок интегрирования [—а; а] на части [—a;0] и [0;a]. Тогда по свойству аддитивности

В первом интеграле сделаем подстановку х = —t. Тогда

(согласно свойству: «определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования»). Возвращаясь к равенству (39.4), получим

Если функция f(x) четная если функция f(x) нечетная Следовательно, равенство (39.5) принимает вид (39.3).

Благодаря доказанной формуле можно, например, сразу, не производя вычислений, сказать, что

Несобственные интегралы

Определенный интеграл , где промежуток интегрирования [a; b] конечный, а подынтегральная функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], называют еще собственным интегралом.

Рассмотрим так называемые несобственные интегралы, т. е. определенный интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования или определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв.

Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл I рода)

Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке . Если существует конечный предел , то его называют несобственным интегралом первого рода и обозначают .

Таким образом, по определению

В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится. Если же указанный предел не существует или он бесконечен, то говорят, что интеграл расходится.

Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется формулой

где с — произвольное число. В этом случае интеграл слева сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла справа. Отметим, что если непрерывная функция на промежутке и интеграл сходится, то он выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции (см. рис. 171).

Пример:

Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

Решение:

интеграл сходится;

интеграл расходится, так как при предел не существует.

интеграл расходится.

В некоторых задачах нет необходимости вычислять интеграл; достаточно лишь знать, сходится ли он или нет.
Приведем без доказательства некоторые признаки сходимости.

Теорема:

Если на промежутке непрерывные функции удовлетворяют условию , то из сходимости интеграла следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграла следует расходимость интеграла .

Пример:

Сходится ли интеграл

Решение: При имеем Но интеграл сходится. Следовательно, интеграл также сходится (и его значение меньше 1).

Теорема:

Если существует предел

то интегралы одновременно оба сходятся или оба расходятся (т. е. ведут себя одинаково в смысле сходимости).

Пример:

Исследовать сходимость интеграла

Решение:

Интеграл сходится, так как интеграл сходится и

Интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл II рода)

Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [а; b) и имеет бесконечный разрыв при х = b. Если существует конечный предел то его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают

Таким образом, по определению,

Если предел в правой части существует, то несобственный интеграл сходится. Если же указанный предел не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл расходится.

Аналогично, если функция f(x) терпит бесконечный разрыв в точке х = а, то полагают

Если функция f(x) терпит разрыв во внутренней точке с отрезка [a; b], то несобственный интеграл второго рода определяется формулой

В этом случае интеграл слева называют сходящимся, если оба несобственных интеграла, стоящих справа, сходятся.

В случае, когда f(x) > 0, несобственный интеграл второго рода (разрыв в точке х = b) можно истолковать геометрически как площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции (см. рис. 172).

Пример:

Вычислить

Решение:

При х = 0 функция терпит бесконечный разрыв;

интеграл расходится.

Сформулируем признаки сходимости для несобственных интегралов второго рода.

Теорема:

Пусть на промежутке [а; b) функции непрерывны, при х = b терпят бесконечный разрыв и удовлетворяют условию . l/ta сходимости интеграла вытекает сходимость интеграла , а из расходимости интеграла вытекает расходимость интеграла .

Теорема:

Пусть функции непрерывны на промежутке [а; b) и в точке х = b терпят разрыв. Если существует предел то интегралы одновременно сходятся или одновременно расходятся.

Пример:

Сходится ли интеграл

Решение:

Функция имеет на [0; 1] единственный разрыв в точке х = 0. Рассмотрим функцию . Интеграл

расходится. И так как

то интеграл также расходится.

Геометрические и физические приложения определенного интеграла

Схемы применения определенного интеграла:

Пусть требуется найти значение какой-либо геометрической или физической величины А (площадь фигуры, объем тела, давление жидкости на вертикальную пластину и т.д.), связанной с отрезком [а;b] изменения независимой переменной х. Предполагается, что эта величина А аддитивна, т. е. такая, что при разбиении отрезка [а; b] точкой ) на части [a; с] и [с; b] значение величины А, соответствующее всему отрезку [a; b], равно сумме ее значений, соответствующих [a; с] и [с; b].

Для нахождения этой величины А можно руководствоваться одной из двух схем: I схема (или метод интегральных сумм) и II схема (или метод дифференциала).

Первая схема базируется на определении определенного интеграла.

1.Точками разбить отрезок [а; b] на п частей. В соответствии с этим, интересующая нас величина А разобьется на п «элементарных слагаемых»

2.Представить каждое «элементарное слагаемое» в виде произведения некоторой функции (определяемой из условия задачи), вычисленной в произвольной точке соответствующего отрезка на его длину:

При нахождении приближенного значения ; допустимы некоторые упрощения: дугу на малом участке можно заменить хордой, стягивающей ее концы; переменную скорость на малом участке можно приближенно считать постоянной и т. д.

Получим приближенное значение величины А в виде интегральной суммы:

3.Искомая величина А равна пределу интегральной суммы, т. е.

Указанный «метод сумм», как видим, основан на представлении интеграла как о сумме бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых.

Схема I была применена для выяснения геометрического и физического смысла определенного интеграла.

Вторая схема представляет собой несколько видоизмененную схему I и называется «метод дифференциала» или «метод отбрасывания бесконечно малых высших порядков»:

1) на отрезке [а; b] выбираем произвольное значение х и рассматриваем переменный отрезок [а; х]. На этом отрезке величина А становится функцией х: А = А(х), т. е. считаем, что часть искомой величины А есть неизвестная функция А(х) , где — один из параметров величины А;

2) находим главную часть приращения при изменении х на малую величину , т. е. находим дифференциал dA функции А = А(х): dA = f(x)dx, где f(x) , определяемая из условия задачи, функция переменной х (здесь также возможны различные упрощения);

3) считая, что при , находим искомую величину путем интегрирования dA в пределах от а до b:

Вычисление площадей плоских фигур

Прямоугольные координаты:

Как уже было установлено (см. «геометрический смысл определенного интеграла»), площадь криволинейной трапеции, расположенной «выше» оси абсцисс (), равна соответствующему определенному интегралу:

Формула (41.1) получена путем применения схемы I — метода сумм. Обоснуем формулу (41.1), используя схему II. Пусть криволинейная трапеция ограничена линиями (см. рис. 173).

Для нахождения площади 5 этой трапеции проделаем следующие операции:

1. Возьмем произвольное и будем считать, что S = S(x).
2. Дадим аргументу х приращение ). Функция S = S(x) получит приращение , представляющее собой площадь «элементарной криволинейной трапеции» (на рисунке она выделена).

Дифференциал площади dS есть главная часть приращения при , и, очевидно, он равен площади прямоугольника с основанием dx и высотой у:

3,Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = b,
получаем

Отметим, что если криволинейная трапеция расположена «ниже» оси , то ее площадь может быть найдена по формуле

Формулы (41.1) и (41.2) можно объединить в одну:

Площадь фигуры, ограниченной кривыми , прямыми х = а и х = b (при условии ) (см. рис. 174),

можно найти по формуле

Если плоская фигура имеет «сложную» форму (см. рис. 175), то прямыми, параллельными оси Оу, ее следует разбить на части так, чтобы можно было бы применить уже известные формулы.

Если криволинейная трапеция ограничена прямыми у = с и у = d, осью Оу и непрерывной кривой (см. рис. 176), то ее площадь находится по формуле

И, наконец, если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметрически

прямыми х = а и x = b и осью Ох, то площадь ее находится по формуле

где определяются из равенств

Пример:

Найти площадь фигуры, ограниченной осью Ох и графиком функции

Решение:

Фигура имеет вид, изображенный на рисунке 177. Находим ее площадь S:

Пример:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом

Решение: Найдем сначала площади S. Здесь х изменяется от 0 до a, следовательно, t изменяется от до 0 (см. рис. 178). Находим:

Таким образом, . Значит,

Полярные координаты:

Найдем площадь S криволинейного сектора, т. е. плоской фигуры, ограниченной непрерывной линией и двумя лучами и где ? — полярные координаты (см. рис. 179). Для решения задачи используем схему II — метод дифференциала.

1.Будем считать часть искомой площади S как функцию угла уз, т. е. (если ) .

2.Если текущий полярный угол получит приращение , то приращение площади равно площади «элементарного криволинейного сектора» ОАВ.

Дифференциал dS представляет собой главную часть приращения при и равен площади кругового сектора ОАС (на рисунке она заштрихована) радиуса r с центральным углом . Поэтому

3.Интегрируя полученное равенство в пределах от получим искомую площадь

Пример:

Найти площадь фигуры, ограниченной «трехлепестковой розой» (см. рис. 180).

Решение:

Найдем сначала площадь половины одного лепестка «розы», т. е. часть всей площади фигуры:

т. е. Следовательно,

Если плоская фигура имеет «сложную» форму, то лучами, выходящими из полюса, ее следует разбить на криволинейные секторы, к которым применить полученную формулу для нахождения площади. Так, для фигуры, изображенной на рисунке 181, имеем:

Вычисление длины дуги плоской кривой

Прямоугольные координаты:

Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая АВ, уравнение которой у = f(x), где

Под длиной дуги АВ понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена ее стремится к нулю.

Покажем, что если функция у = f (x) и ее производная у’ = f'(x) непрерывны на отрезке [а; b], то кривая АВ имеет длину, равную

Применим схему I (метод сумм).

1.Точками

разобьем отрезок [а; b] на п частей (см. рис. 182). Пусть этим точкам соответствуют точки на кривой АВ. Проведем хорды длины которых обозначим соответственно через . Получим ломаную длина которой равна

2.Длину хорды (или звена ломаной) можно найти по теореме Пифагора из треугольника с катетами

где По теореме Лагранжа о конечном приращении функции , где Поэтому

а длина всей ломаной равна

3.Длина l кривой AB, по определению, равна

Заметим, что при также и и, следовательно, ). Функция непрерывна на отрезке [a; b], так как, по условию, непрерывна функция f'(х). Следовательно, существует предел интегральной суммы (41.4), когда

Таким образом, , или в сокращенной записи

Если уравнение кривой АВ задано в параметрической форме

где х(t) и y(t) — непрерывные функции с непрерывными производными и то длина l кривой АВ находится по формуле

Формула (41.5) может быть получена из формулы (41.3) подстановкой

Пример:

Найти длину окружности радиуса R.

Решение:

Найдем часть ее длины от точки (0; R) до точки (0; R) (см. рис. 183). Так как то

Значит, Если уравнение окружности записать в параметрическом виде то

Вычисление длины дуги может быть основано на применении метода дифференциала. Покажем, как можно получить формулу (41.3), применив схему II (метод дифференциала).

1. Возьмем произвольное значение и рассмотрим переменный отрезок [a; x]. На нем величина I становится функцией от x, т. е.
2. Находим дифференциал dl функции l = l(х) при изменении x на малую величину Найдем l'(x), заменяя бесконечно малую дугу MN хордой , стягивающей эту дугу (см. рис. 184):

Стало быть,

3.Интегрируя dl в пределах от а до b, получаем

Равенство называется формулой дифференциала дуги в прямоугольных координатах.
Так как ,то

Последняя формула представляет собой теорему Пифагора для бесконечно малого треугольника МСТ (см. рис. 185).

Полярные координаты:

Пусть кривая АВ задана уравнением в полярных координатах Предположим, что непрерывны на отрезке .

Если в равенствах связывающих полярные и декартовы координаты, параметром считать угол , то кривую АВ можно задать параметрически Тогда

Поэтому

Применяя формулу (41.5), получаем

Пример:

Найти длину кардиоиды

Решение:

Кардиоида имеет вид, изображенный на рисунке 186. Она симметрична относительно полярной оси. Найдем половину длины кардиоиды:

Таким образом, Значит,

Вычисление объема тела

Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений:

Пусть требуется найти объем V тела, причем известны площади S сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, например оси Ox:

Применим схему II (метод дифференциала).

1. Через произвольную точку проведем плоскость П, перпендикулярную оси Ох (см. рис. 187). Обозначим через S(x) площадь сечения тела этой плоскостью; S(x) считаем известной и непрерывно изменяющейся при изменении х. Через v(x) обозначим объем части тела, лежащее левее плоскости П. Будем считать, что на отрезке [а; x] величина v есть функция от х, т. е.
2. Находим дифференциал dV функции v = v(x). Он представляет собой «элементарный слой» тела, заключенный между параллельными плоскостями, пересекающими ось Ох в точках х и , который приближенно может быть принят за цилиндр с основанием S(x) и высотой dx. Поэтому дифференциал объема dV = S(x) dx.
3. Находим искомую величину V путем интегрирования dA в пределах от а до b:

Полученная формула называется формулой объема тела по площади параллельных сечений.

Пример:

Найти объем эллипсоида

Решение:

Рассекая эллипсоид плоскостью, параллельной плоскости Oyz и на расстоянии х от нее , получим эллипс (см. рис. 188):

Площадь этого эллипса равна — Поэтому, по формуле (41.6), имеем

Объем тела вращения:

Пусть вокруг оси Ох вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией отрезком и прямыми х = а и х = b (см. рис. 189). Полученная от вращения фигура называется телом вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, проведенной через произвольную точку х оси Ох, есть круг с радиусом у = f(x). Следовательно,

Применяя формулу (41.6) объема тела по площади параллельных сечений, получаем

Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции и прямыми х = 0, у = с, у = d (с < d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по аналогии с формулой (41.7), равен

Пример:

Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями вокруг оси Оу (см. рис. 190).

Решение:

По формуле (41.8) находим:

Вычисление площади поверхности вращения

Пусть кривая АВ является графиком функции где , а функция у = f(x) и ее производная у’ = f'(х) непрерывны на этом отрезке.

Найдем площадь S поверхности, образованной вращением кривой АВ вокруг оси Ох.

Применим схему II (метод дифференциала).

1. Через произвольную точку проведем плоскость П, перпендикулярную оси Ох. Плоскость П пересекает поверхность вращения по окружности с радиусом у = f(х) (см. рис. 191). Величина S поверхности части фигуры вращения, лежащей левее плоскости, является функцией от х, т. е.

2.Дадим аргументу х приращение Через точку также проведем плоскость, перпендикулярную оси Ох. Функция s = s(x) получит приращение , изображенного на рисунке в виде «пояска».

Найдем дифференциал площади ds, заменяя образованную между сечениями фигуру усеченным конусом, образующая которого равна dl, а радиусы оснований равны у и у + dy. Площадь его боковой поверхности равна Отбрасывая произведение dydl как бесконечно малую высшего порядка, чем ds, получаем или, так как

3.Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = b, получаем

Если кривая АВ задана параметрическими уравнениями то формула (41.9) для площади поверхности вращения принимает вид

Пример:

Найти площадь поверхности шара радиуса R.

Решение:

Можно считать, что поверхность шара образована вращением полуокружности вокруг оси Ох. По формуле (41.9) находим

Пример:

Дана циклоида

Найти площадь поверхности, образованной вращением ее вокруг оси Ох.

Решение:

При вращении половины дуги циклоиды вокруг оси Ох площадь поверхности вращения равна

Механические приложения определенного интеграла

Работа переменной силы

Пусть материальная точка М перемещается вдоль оси Ох под действием переменной силы F = F(x), направленной параллельно этой оси. Работа, произведенная силой при перемещении точки М из положения х = а в положение х = b (а < b), находится по формуле

(см. п. 36).

Пример:

Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 0,05 м, если сила 100 Н растягивает пружину на 0,01 м?

Решение:

По закону Гука упругая сила, растягивающая пружину, пропорциональна этому растяжению х, т. е. F = kх, где k — коэффициент пропорциональности. Согласно условию задачи, сила F = 100 Н растягивает пружину на х = 0,01 м; следовательно, , откуда k= 10000; следовательно, F = 10000x.

Искомая работа на основании формулы (41.10) равна

Пример:

Найти работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать через край жидкость из вертикального цилиндрического резервуара высоты Н м и радиусом основания R м.

Решение:

Работа, затрачиваемая на поднятие тела весом р на высоту h, равна . Но различные слои жидкости в резервуаре находятся на различных глубинах и высота поднятия (до края резервуара) раз-
Для решения поставленной задачи применим схему II (метод дифференциала). Введем систему координат так, как указано на рисунке 192.

1.Работа, затрачиваемая на выкачивание из резервуара слоя жидкости толщиной , есть функция от х, т.е. А = А(х), где

2.Находим главную часть приращения при изменении х на величину т. е. находим дифференциал dA функции A(х).
личных слоев не одинакова.

Ввиду малости dx считаем, что «элементарный» слой жидкости находится на одной глубине х (от края резервуара) (см. рис. 192). Тогда , где dp — вес этого слоя; он равен , где g — ускорение свободного падения, — плотность жидкости, dv — объем «элементарного» слоя жидкости (на рисунке он выделен), т. е. dp = Объем указанного слоя жидкости, очевидно, равен— высота цилиндра (слоя), — площадь его основания, т. е. .

Таким образом,

3) Интегрируя полученное равенство в пределах от х = 0 до х = Н,
находим

Путь, пройденный телом

Пусть материальная точка перемещается по прямой с переменной скоростью v = v(t). Найдем путь S, пройденный ею за промежуток времени от .

Решение: Из физического смысла производной известно, что при движении точки в одном направлении «скорость прямолинейного дви-жения равна производной от пути по времени», т. е. Отсюда следует, что dS = v(t) dt. Интегрируя полученное равенство в пределах , получаем

Отметим, что эту же формулу можно получить, пользуясь схемой I или II применения определенного интеграла.

Пример:

Найти путь, пройденный телом за 4 секунды от
начала движения, если скорость тела

Решение:

Если v(t) = 10t + 2 (м/с), то путь, пройденный телом от начала движения (t = 0) до конца 4-й секунды, равен

Давление жидкости на вертикальную пластинку

По закону Паскаля давление жидкости на горизонтальную пластину равно весу столба этой жидкости, имеющего основанием пластинку, а высотой — глубину ее погружения от свободной поверхности жидкости, т. е. , где g — ускорение свободного падения, — плотность жидкости, S — площадь пластинки, h — глубина ее погружения.

По этой формуле нельзя искать давление жидкости на вертикально погруженную пластинку, так как ее разные точки лежат на разных глубинах.
Пусть в жидкость погружена вертикально пластина, ограниченная линиями х = а, х = b, ); система координат выбрана так, как указано на рисунке 193. Для нахождения давления Р жидкости на эту пластину применим схему II (метод дифференциала).

1.Пусть часть искомой величины Р есть функция от х: р = р(х), т.е. р = р(х) — давление на часть пластины, соответствующее отрезку [а; x] значений переменной х, где .

Дадим аргументу х приращение . Функция р(х) получит приращение (на рисунке — полоска-слой толщины dx). Найдем дифференциал dp этой функции. Ввиду малости dx будем приближенно считать полоску прямоугольником, все точки которого находятся на одной глубине х, т. е. пластинка эта — горизонтальная.
Тогда по закону Паскаля

3.Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = b, получим

Пример:

Определить величину давления воды на полукруг, вертикально погруженный в жидкость, если его радиус R, а центр О находится на свободной поверхности воды (см. рис. 194).

Решение:

Воспользуемся полученной формулой для нахождения давления жидкости на вертикальную пластинку. В данном случае пластинка ограничена линиями х = R. Поэтому

Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской кривой

Пусть на плоскости Оху задана система материальных точек соответственно с массами

Статическим моментом системы материальных точек относительно оси Ох называется сумма произведений масс этих точек на п их ординаты (т. е. на расстояния этих точек от оси Ox):

Аналогично определяется статический момент этой системы п
относительно оси Оу:

Если массы распределены непрерывным образом вдоль некоторой кривой, то для выражения статического момента понадобится интегрирование.
Пусть у = f(x) — это уравнение материальной кривой АВ. Будем считать ее однородной с постоянной линейной плотностью .

Для произвольного на кривой АВ найдется точка с координатами (x; y). Выделим на кривой элементарный участок длины dl, содержащий точку (х; у). Тогда масса этого участка равна . Примем этот участок dl приближенно за точку, отстоящую от оси Ох на расстоянии у. Тогда дифференциал статического момента («элементарный момент») будет равен (см. рис. 195).

Отсюда следует, что статический момент кривой АВ относительно оси Ох равен

Аналогично находим :

Статические моменты и кривой позволяют легко установить положение ее центра тяжести (центра масс).
Центром тяжести материальной плоской кривой называется точка плоскости, обладающая следующим свойством: если в этой точке сосредоточить всю массу m заданной кривой, то статический момент этой точки относительно любой координатной оси будет равен статическому моменту всей кривой у = f(x) относительно той же оси. Обозначим через центр тяжести кривой АВ.

Из определения центра тяжести следуют равенства

Отсюда или

Пример:

Найти центр тяжести однородной дуги окружности , расположенной в первой координатной четверти (см. рис. 196).

Решение:

Очевидно, длина указанной дуги окружности равна
т. е. . Найдем статический момент ее относительно оси Ох. Так как уравнение дуги есть

Стало быть,

Так как данная дуга симметрична относительно биссектрисы первого координатного угла, то Итак, центр тяжести имеет
координаты

Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской фигуры

Пусть дана материальная плоская фигура (пластинка), ограниченная кривой и прямыми (см. рис. 197).

Будем считать, что поверхностная плотность пластинки постоянна
Тогда масса всей пластинки равна , т. е.
Выделим элементарный участок пластинки в виде бесконечно узкой вертикальной полосы и будем приближенно считать его прямоугольником.

Тогда масса его равна Центр тяжести прямоугольника лежит на пересечении диагоналей прямоугольника. Эта точка отстоит от оси Ох на а от оси Оу на х (приближенно; точнее на расстоянии ). Тогда для элементарных статических моментов относительно осей Ох и Оу выполнены соотношения

Следовательно,

По аналогии с плоской кривой получаем, обозначив координаты центра тяжести плоской фигуры (пластинки) через , что Отсюда

или

Пример:

Найдем координаты центра тяжести полукруга (см. рис. 198).

Решение:

Очевидно (ввиду симметрии фигуры относительно оси Оу), что . Площадь полукруга равна . Находим :

Стало быть,

Итак, центр тяжести имеет координаты

Приближенное вычисление определенного интеграла

Пусть требуется найти определенный интеграл от непрерывной функции f(х). Если можно найти первообразную F(x) функции f(х), то интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:

Но отыскание первообразной функции иногда весьма сложно; кроме того, как известно, не для всякой непрерывной функции ее первообразная выражается через элементарные функции. В этих и других случаях (например, функция у = f(x) задана графически или таблично) прибегают к приближенным формулам, с помощью которых определенный интеграл находится с любой степенью точности.
Рассмотрим три наиболее употребительные формулы приближенного вычисления определенного интеграла — формулу прямоугольников, формулу трапеций, формулу парабол (Симпсона), основанные на геометрическом смысле определенного интеграла.

Формула прямоугольников

Пусть на отрезке [a; b], а < b, задана непрерывная функция f(х).
Требуется вычислить интеграл , численно равный площади а
соответствующей криволинейной трапеции. Разобьем основание этой трапеции, т. е. отрезок [а; b], на п равных частей (отрезков) длины (шаг разбиения) с помощью точек Можно записать, что (см. рис. 199).

В середине каждого такого отрезка построим ординату графика функции у = f(x). Приняв эту ординату за высоту, построим прямоугольник с площадью .

Тогда сумма площадей всех п прямоугольников дает площадь ступенчатой фигуры, представляющую собой приближенное значение искомого определенного интеграла

Формула (42.1) называется формулой средних прямоугольников.
Абсолютная погрешность приближенного равенства (42.1) оценивается с помощью следующей формулы:

где — наибольшее значение |f»(х)| на отрезке [а; b],

Отметим, что для линейной функции (f(х) = kх + b) формула (42.1) дает точный ответ, поскольку в этом случае f»(x) = 0.

Формула трапеций

Формулу трапеций получают аналогично формуле прямоугольников: на каждом частичном отрезке криволинейная трапеция заменяется обычной.
Разобьем отрезок [а; b] на п равных частей длины . Абсциссы точек деления (рис. 200). Пусть — соответствующие им ординаты графика функции. Тогда

расчетные формулы для этих значений примут вид

Заменим кривую у = f(x) ломаной линией, звенья которой соединяют концы ординат Тогда площадь криволинейной трапеции приближенно равна сумме площадей обычных трапеций с основаниями и высотой :

или

Формула (42.2) называется формулой трапеций.
Абсолютная погрешность приближения, полученного по формуле трапеций, оценивается с помощью формулы

Снова для линейной функции у = kх + b формула (42.2) — точная.

Формула парабол (Симпсона)

Если заменить график функции у = f(x) на каждом отрезке разбиения не отрезками прямых, как в методах трапеций и прямоугольников, а дугами парабол, то получим более точную формулу приближенного вычисления интеграла .

Предварительно найдем площадь S криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком параболы сбоку — прямыми х = —h, х = h и снизу — отрезком [—h; h].
Пусть парабола проходит через три точки где — ордината параболы в точке — ордината параболы в точке — ордината параболы в точке х = h (см. рис. 201). Площадь S равна

Выразим эту площадь через Из равенств для ординат уг находим, что Подставляя эти значения с и а в равенство (42.3), получаем

Получим теперь формулу парабол для вычисления интеграл .

Для этого отрезок [а; b] разобьем на 2п равных частей (отрезков) длиной точками . В точках деления вычисляем значения подынтегральной функции где (см. рис. 202).
Заменяем каждую пару соседних элементарных криволинейных трапеций с основаниями, равными h, одной элементарной параболической трапецией с основанием, равным 2h. На отрезке парабола проходит через три точки Используя формулу (42.4), находим

Аналогично находим

Сложив полученные равенства, имеем

или

Формула (42.5) называется формулой парабол (или Симпсона).

Абсолютная погрешность вычисления по формуле (42.5) оценивается соотношением

Отметим, что формула (42.5) дает точное значение интеграла во всех случаях, когда f(x) — многочлен, степень которого меньше или равна трем (тогда ).

Пример:

Вычислить , разбив отрезок интегрирования [0; 2] на 4 части.

Решение:

Имеем:

(см. рис. 203)

а) по формуле прямоугольников:

б) по формуле трапеции:

в) по формуле парабол:

Точное значение интеграла

Абсолютные погрешности соответствующих формул таковы: а) 0,125; б) 0,25; в) 0.

Определение и условия существования определенного интеграла

Площадь криволинейной трапеции: Пусть на отрезке [а,b] задана неотрицательная непрерывная функция . Как показано на рис. 3.7, на плоскости XOY график этой функции, отрезок оси абсцисс и прямые образуют криволинейную трапецию, площадь такой криволинейной трапеции равна S.

Разделим отрезок [а,b] на произвольные n частей и проведем ординаты, соответствующие точкам деления

Криволинейная трапеция стала состоять из n «узких» криволинейных трапеций (полосок) шириной Каждую i-ю полоску заменим на соответствующий прямоугольник, высота которого равна а площадь Сумма площадей полученных прямоугольников приближенно равна площади исходной криволинейной трапеции.

Увеличим число разбиений n. Заметим, что при этом каждый раз обязательно должна уменьшаться длина наибольшего из разбиений , которая называется рангом дробления и обозначается r , т.е. Погрешность приближения для S будет стремиться к нулю, т.е.

Суммы такого вида называют интегральными суммами. Для обозначения предельного значения этой суммы Лейбниц ввел символ «» как стилизацию начертания буквы S — начальной буквы латинского слова Summa.

Определение определенного интеграла: Если независимо от способа разбиения отрезка [а,b] на части, для функции существует конечный предел интегральной суммы при и то этот предел называется определенным интегралом функции от а до b, а сама функция интегрируемой на отрезке [а,b]. Обозначение

Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интеграла.

Интеграл существует для всех функций, которые на отрезке [а, b] определены и непрерывны (или кусочно-непрерывны), т.е. функция интегрируема на отрезке [а, b], если она непрерывна на этом отрезке.

Основные свойства определенного интеграла

1.Определенный интеграл — есть число! Его значение зависит только от вида функции и пределов интегрирования, но не от переменной интегрирования, которую можно обозначить любой буквой.

2.По определению, если

3.По определению, и

4.По определению

5.Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла,

6.Определенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых. Для суммы двух функций имеем

7.Аддитивность. Если функция интегрируема на отрезках то она интегрируема и на отрезке [а, b], причем выполняется равенство

8.Пусть нечетная функция, т.е. то

Пусть четная функция, т.е. то

9.Теорема о среднем. Если непрерывна на отрезке [а, b], то на этом отрезке найдется такая точка с, что справедливо равенство

Эта формула имеет ясный геометрический смысл (рис. 3.9): площадь криволинейной трапеции численно равна площади прямоугольника с тем же основанием, что и трапеция, причем высота прямоугольника равна ординате в некоторой точке с, лежащей между а и b.

10.Функция являющаяся интегралом от функции с постоянном нижним и переменным верхним пределом х, есть одна из первообразных функций от функции , т.е.

Вычисление определенного интеграла

Определенный интеграл вычисляется по формуле

где — первообразная для функции . Формула читается так: определенный интеграл равен разности значений первообразной на концах промежутка, т. е. для вычисления

определенного интеграла необходимо найти первообразную подынтегральной функции, а затем вычислить разности значений первообразной на верхнем и нижнем пределе.

Формулу (3.20) при вычислении определенного интеграла записывают, используя знак подстановки в следующем виде:

Формула (3.20) называется формулой Ньютона — Лейбница.

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

Одна из первообразной функции есть функция

Поэтому

Формула интегрирования по частям в определенном интеграле

Пример:

Вычислить

Решение. Прямому вычислению данного интеграла препятствует наличие сомножителя х в подынтегральном выражении. Поскольку производная от х по х равна 1, то целесообразно положить Тогда

Замена переменной в определенном интеграле

Во многих случаях подынтегральное выражение можно упростить, если заметить, что его часть является дифференциалом некоторой функции. Тогда по аналогии с (3.16) можно записать

Пример:

Вычислить

Решение:

Положив имеем Если то если Тогда

Приложения определенного интеграла

Вычисление площади плоских фигур

Определенный интеграл от функции на отрезке [а, b] численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой осью абсцисс и прямыми Если на [а, b] функция, как показано на рис. 3.10, меняет знак, то необходимо вычислить интеграл от модуля подынтегральной функции. Это означает, что если на отрезке функция то на этом отрезке берется значение функции с противоположным знаком.

Пример:

Вычислить площадь, ограниченную осью абсцисс и синусоидой на отрезке

Поскольку на отрезке то искомая площадь S равна

В общем случае, когда требуется вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной несколькими кривыми линиями, т искомая площадь есть алгебраическая сумма нескольких криволинейных трапеций. Например, как показано на рис. 3.11

Пример:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной функциями Как следует из рис. 3.12, если провести вертикальную прямую то искомая площадь может быть вычислена как сумма площадей двух смежных криволинейных трапеций

Вычисление объемов тел

Пусть для некоторого тела высотой h площадь сечения (перпендикулярного оси OZ) S может быть выражена как функция высоты этого тела В этом случае объем тела V вычисляется по формуле

Пример:

Вычислить объем конуса высотой Н и радиусом основания R. (см. рис. 3.12).

Решение:

Каждое сечение конуса плоскостью параллельной плоскости ХY есть окружность радиуса r. Из геометрии известно, что радиус сечения г выражается через расстояние сечения r выражается через расстояние сечения до вершины h и высоту конуса следовательно, площадь сечения равна

Искомый объем может теперь можно вычислить так

Несобственные интегралы с бесконечными пределами

Пусть функция определена и непрерывна для всех т. е. если интеграл имеет смысл при всех

При изменении величины b этот интеграл будет вести себя как непрерывная функция от b. Если при бесконечном возрастании величины b существует конечный предел то он называется несобственным интегралом от функции с бесконечным верхним пределом. Таким образом, по определении

Если предел в (3.22) бесконечен или не существует, то говорят, что несобственный интеграл не существует или расходится.

Аналогичным образом определяются несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом

и несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами как

Из определений несобственных интегралов непосредственно следует схема их вычисления: вначале находится первообразная для подынтегральной функции , затем рассматривается разность пределов первообразных в точках верхнего и нижнего пределов интегрирования, т.е.

Пример:

Установить, при каких значениях р сходится, и при каких расходится интеграл

Решение:

Вывод: сходимость интеграла I зависит от значения параметра р:

если т.е. интеграл сходится,

если т.е. интеграл расходится.

Несобственные интегралы от разрывных функций

Пусть функция определена и непрерывна на [а, b] за исключением точки с [а, b]. Рассмотрим три случая.

1.Функция терпит разрыв в точке Интеграл от функции с точкой разрыва на верхнем пределе определяется так

Запись означает стремление b к с слева.

Пример:

Вычислить интеграл

2.Функция терпит разрыв в точке Тогда по аналогии с предыдущим случаем интеграл с точкой разрыва на нижнем пределе определяется так

Запись означает стремление а к точке с справа.

Пример:

Исследовать интеграл

Здесь подынтегральная функция в точке не существует, а справа от этой точки существует, поэтому

Таким образом, данный интеграл расходится (не существует).

3.Функция имеет разрыв во внутренней точке отрезка [а, b] т.е.

Пример:

Вычислить интеграл

Подынтегральная функция терпит разрыв в точке 0. Поэтому

Как найти определенный интеграл — подробная инструкция

Приближенное вычисление площадей криволинейных трапеций

Займемся определением ее площади, хотя бы приближенно.

Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную кривой y = f(x) осью Ох и прямыми х = а и х = b (рис. 80).

Разобьем отрезок (а, b) на п частей точками

(на рисунке n = 6) и из этих точек восставим ординаты Построенные ординаты разобьют трапецию на п полос (на рисунке 6 полос). В каждой полосе из конца меньшей ординаты (на рис. 80 левой) проведем прямую, параллельную оси Ох.

Таким образом, мы получим п прямоугольников (на рис. 80 шесть прямоугольников); подсчитаем площадь каждого из них и результаты сведем в таблицу:

Сумму площадей этих прямоугольников обозначим(для рис. 80 эта сумма S6), тогда получим применительно к рис. 80

а в общем случае

Если же в каждой полосе из конца большей ординаты (на рис. 80 правой) проведем прямую, параллельную оси Ох, то получим новые прямоугольники, выходящие за пределы криволинейной трапеции. Подсчитаем площадь каждого из них и результаты сведем снова в таблицу:

Обозначив сумму площадей этих прямоугольников через получим в применении к рис. 80

а в общем случае

Если обозначить площадь криволинейной трапеции буквой S то будем иметь очевидное неравенство

Поэтому, если примем приближенно за S, то получим приближенное значение площади S с избытком, а если за S примем то — с недостатком. Это записывается так:

Каждое из приближенных значений ,, площади S отличается от нее не больше чем на —

Пример:

Найдем приближенное значение площади криволинейной трапеции, ограниченной параболой , осью Ох и прямыми х = а и х = b (рис. 81).

Возьмем приближенное равенство (5). Вычисляя по формуле (1), получим

Для удобства вычислений разобьем отрезок (а,b) на равные части, тогда

Обозначим длину каждой из этих частей через h, тогда

При этом получим

Формулу (6) можно записать в следующем виде:

или, вынося за скобки h,

Раскрывая малые скобки, получим

Произведя внутри фигурных скобок приведение подобных членов и вынося за скобки 2ah и , будем иметь

Придадим полученному выражению более простой вид. Для этого отметим, что

(как сумма членов арифметической прогрессии) и

(вывод этого тождества помещен в конце книги, в приложении). Подставляя (9) и (10) в равенство (8), получим

Подставим сюда выражение h из (7):

Вносим в фигурные скoбки и делаем сокращение:

или

Если бы мы воспользовались формулой (4) для приближенного вычисления площади S и формулой (2) для вычисления то при помощи совершенно аналогичных вычислений получили бы

Искомая площадь S криволинейной трапеции лежит между

Будем увеличивать п, т. е., как принято говорить, будем измельчать разбиение отрезка (а, b). При этом h будет стремиться к нулю, число п отрезков разбиения будет неограниченно увеличиваться, т. е., а дроби и будут стремиться к нулю. Рассматривая правую часть равенства (11), легко заметить, что при n, неограниченно растущем, ее предел равен

Предел правой части равенства (12) также равняется.

При помощи этих длинных вычислений мы убедились, что и при измельчении разбиения отрезка ( а, b), т. е. при , стремятся к одному и тому же пределу, а так как S заключено между ними, то и

Определенный интеграл и его определение

Отвлекаясь от геометрического смысла предыдущего параграфа, можно изложить его содержание следующим образом.

На отрезке , задана функция у=/f(х). Разбиваем этот отрезок на части точками

и составляем суммы и из которых первая строится при помощи наименьших ординат, взятых на каждом из мелких отрезков, а —при помощи наибольших ординат. Сумму будем называть нижней суммой, а сумму — верхней суммой. Составим еще одну сумму;

где — любое число, взятое на отрезке

такую сумму будем называть интегральной суммой. Таким образом, и нижняя и верхняя суммы являются частными случаями интегральных сумм.

Когда мы будем говорить об «измельчении разбиения», то будем подразумевать под этим следующее: отрезок разбиваем точками

на более мелкие отрезки, при этом длину наибольшего из них будем стремить к нулю. Тогда каждый из полученных отрезков по длине будет стремиться к нулю, а число отрезков будет возрастать.

Определение:

Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке называется предел интегральных сумм при условии измельчения разбиения. Записывается определенный интеграл так:

Таким образом,

где Условие «при измельчении разбиения» будем всегда подразумевать, не отражая его в записи.

Число а называется нижним пределом интегрирования, число b —верхним пределом интегрирования, функция f(х) — подынтегральной функцией. Запись читается так: определенный интеграл от функции f(х) в пределах от а до b.

Можно было бы доказать, что для непрерывной функции, заданной на отрезке , пределы верхней, нижней и любой интегральной суммы существуют и равны между собой.

Применяя данное определение к примеру предыдущего параграфа, можем сказать, что площадь криволинейной трапеции, рассмотренной там, равна . Таким образом,

И вообще, площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох, прямыми х = а и х = b и кривой у=f(х), равна .

Вычисление определенного интеграла при помощи первообразной функции

Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную осью Ох, кривой у=f(х) , прямыми аА и хВ, параллельными оси Оу (рис. 82). Если мы будем изменять х, т. е. двигать правую сторону хВ данной трапеции, то площадь будет изменяться. Поэтому можно сказать, что рассматриваемая площадь зависит от положения стороны хВ, а это положение определяется числом х, следовательно, площадь есть функция х .

Обозначим указанную площадь через F(х), тогда пл. аАВх = F(х).

В § 2 было показано, что площадь выражается определенным интегралом, поэтому

А из § 4 гл. IX нам известно, что дифференциал площади криволинейной трапеции равен f(х)dх. Следовательно,

Значит, площадь криволинейной трапеции является одной из первообразных от функции f(х), ограничивающей эту трапецию.

Обозначим через Ф(х) любую первообразную от функции f(х). Тогда

х

Если сделать верхний предел рис. 82. интегрирования равным а (рис. 82),

т. е. правую сторону совместить с левой, то площадь станет равной нулю. Это значит, что

Находим отсюда, что С= — Ф (а). Подставляя полученное значение С в равенство (*), будем иметь

или

В частности,

Таким образом, получается правило вычисления определенного интеграла.

Чтобы вычислить определенный интеграл , нужно:

1) найти одну из первообразных Ф(x) от подынтегральной функции f(x)

2) вычислить значение функции Ф ( x ) при х = b, т. е. Ф (b);

3) вычислить значение функции Ф (х) при x = a, т. е. Ф (а);

4) из первого результата вычесть второй: Ф (b) — Ф (а)

Пример:

Вычислим интеграл. Так как

Результат совпадает с полученным в § 1 этой главы.

Пример:

Так как (—cos х)’ = sin х, то Ф(x) = — cos x. Следовательно,

При вычислении определенного интеграла используют знак подстановки , именно, если Ф(х) есть первообразная от функции f(x), то

Свойства определенного интеграла

Как только что было показано в § 3, определенный интеграл вычисляется при помощи неопределенного (т. е. при помощи первообразной функции), поэтому свойства неопределенного интеграла, указанные в гл. X, §§ 2 и 3, переносятся и на определенный интеграл.

Имеем:

Формулы (I)—(III) применяются без особых затруднений, замена же переменного (IV) требует некоторых объяснений, которые будут даны на примерах.

Формула (V) выражает свойство определенного интеграла, ясное из его геометрического смысла. В самом деле, интеграл есть площадь криволинейной трапеции аАВb (рис. 83),

а интегралы и выражают площади аАСс и сСВb, отсюда и видна справедливость формулы (V). Эта формула называется формулой разбиения отрезка интегрирования.

Приведем примеры.

Пример:

Обозначим для краткости этот интеграл через I. Применяя (И) и используя результат, полученный в пр. 4 из § 2 гл. X, получим

Пример:

Делаем ту же замену переменного, что и в пр. 3 из § 3 гл. X, и используя полученный там результат, получаем

Здесь мы переходили от переменного х к переменному t (при вычислении первообразной) и затем делали обратный переход от t к х. При вычислении мы этого перехода не делаем, так как этот пример был разобран ранее (гл. X, § 3, пр. 3).

Можно сделать вычисления иначе, именно сделав подстановку х = a sin t (*). Пересчитаем пределы интегрирования. Если x = 0, то в силу (*)0 = a sin t , т. е. sin t = 0, откуда t = 0. Если х = а, то в силу (*) имеем а = a sin t, sin t = l, откуда . Итак, при изменении x от 0 до а переменное t меняется от 0 до .

Принимая во внимание все сказанное, можем написать

При таком вычислении нами был осуществлен переход от х к t, обратного перехода от t к х нам делать не пришлось. В этом и есть преимущество такого порядка вычислений.

В формуле (IV) числа а и — значения переменного х, соответствующие значениям а и b переменного z.

Пример:

Вычислим интеграл

Сделаем замену переменного, положив t = sin x(*). Отсюда получаем: при х = 0 t = 0, а при х = t = 1. Дифференцируя(*), имеем dt = cos xdx и, следовательно,

Задачи на применение определенного интеграла

Начнем эту главу с напоминания понятий дифференциала, приращения и бесконечно малых. Для этого рассмотрим пример.

Пример :

Конус имеет ось, расположенную по оси x. Его высота x, угол при вершине 2а, радиус основания r = x tg(a) (рис. 84, а).

Очевидно, что объем конуса есть функция независимого переменного х. Если дадим х приращение h, то объем V получит приращение , изображенное на рис. 84 а, и отдельно на рис. 84, б. Построим цилиндр, имеющий высоту h и радиус основания r. Этот цилиндр изображен на рис. 84, в и отдельно на рис. 84, г.

Построим еще один цилиндр, имеющий высоту h , но с радиусом основания, равным r + . Этот цилиндр указан на рис. 84, в . Объем первого цилиндра назовем V1, а второго V2. Из чертежей ясно, что V1 меньше , а меньше V2 . Таким образом, объем приращения отличается от объема V1 меньше чем на объем (рис. 84, в). Объем цилиндрической трубки с точностью до бесконечно малых высшего порядка равен (см. пр. 2 из § 5 гл. IX)

Применительно к обозначениям рассматриваемого примера, в котором

Но (рис. 84, a), значит, т. е. объем цилиндрической трубки есть бесконечно малая величина высшего порядка относительно h. Значит, объем цилиндра V1 отличается от приращения на величину высшего порядка малости относительно h . Таким образом, мы показали, что V1 есть дифференциал объема конуса:

Рассуждениями, аналогичными проведенным, мы будем постоянно пользоваться в этой главе.

Площадь криволинейной трапеции

Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную осью Ох, кривой у=f(х) и двумя прямыми: х = а и х = b (рис. 85).

Возьмем произвольное значение х (только не а и не b). Дадим eму приращение h = dх и рассмотрим полоску, ограниченную прямыми АВ и СD, осью Ох и дугой ВD, принадлежащей рассматриваемой кривой. Эту полоску будем называть элементарной полоской. Площадь элементарной полоски отличается от площади прямоугольника АСQВ на криволинейный треугольник BQD, а площадь последнего меньше площади прямоугольника ВQDМ со сторонами ВQ = h = dx QD =и площадью, равной h = dх. С уменьшением стороны h сторона также уменьшается и одновременно с h стремится к нулю. Поэтому площадь ВQDМ является бесконечно малой второго порядка. Площадь элементарной полоски есть приращение площади, а площадь прямоугольника ACQB равная , есть дифференциал площади. Следовательно, саму площадь найдем, интегрируя ее дифференциал. В пределах рассматриваемой фигуры независимое переменное х меняется от а до b, поэтому искомая площадь S будет равна

Пример:

Вычислим площадь, ограниченную параболой

прямыми и осью Ох (рис. 86).

Здесь пределы интегрирования и b = 1, поэтому

Пример:

Вычислим площадь, ограниченную синусоидой y = sin x , осью Ох и прямой х = (Рис. 87). Применяя формулу (I), получаем

Пример:

Вычислим площадь, ограниченную дугой синусоиды y = sin x , заключенной между двумя соседними точками пересечения с осью Ох (например, между началом координат и точкой с абсциссой). Заметим, что из геометрических соображений ясно, что эта площадь будет в два раза больше площади предыдущего примера. Однако проделаем вычисления: я

Действительно, наше предположение оказалось справедливым.

Пример:

Вычислить площадь, ограниченную синусоидой и
осью Ох на одном периоде (рис. 88).

Предварительные рассуждения позволяют предположить, что площадь получится в четыре раза больше, чем в пр. 2. Однако, произведя вычисления, получим

Этот результат требует разъяснений.
Для выяснения сути дела вычисляем еще площадь, ограниченную той же синусоидой y = sin x и осью Ох в пределах от до 2. Применяя формулу (I), получаем

Таким образом, видим, что эта площадь получилась отрицательной. Сравнивая ее с площадью, вычисленной в пр. 3, получаем, что их абсолютные величины одинаковы, а знаки разные. Если применить свойство V (см. гл. XI, § 4), то получим

То, что получилось в этом примере, не является случайностью. Всегда площадь, расположенная ниже оси Ох, при условии, что независимое переменное изменяется слева направо, получается при вычислении с помощью интегралов отрицательной.

В этом курсе мы всегда будем рассматривать площади без знаков. Поэтому ответ в только что разобранном примере будет таким: искомая площадь равна 2 + |—2| = 4.

Пример:

Вычислим площадь ОАВ, указанную на рис. 89.

Эта площадь ограничена осью Ох, параболой и прямой у = — x + 1.

Искомая площадь ОАВ состоит из двух частей: ОАМ и МАВ. Так как точка А является точкой пересечения параболы и прямой, то ее координаты найдем, решая систему уравнений

(нам нужно найти только абсциссу точки А). Решая систему, находим . Поэтому площадь приходится вычислять по частям, сначала пл. ОАМ, а затем пл. МАВ

Следовательно, искомая площадь равна

Пример:

Вычислим площадь, ограниченную параболой и прямой у = 2х—3 (рис. 90).

Искомая площадь ABCD. Она частично расположена над осью Ох, частично—под ней. Поэтому вычисления нельзя провести сразу. Рассмотрим вместо площади ABCD две площади: ABD и DBC. Каждая из них не является криволинейной трапецией (см. гл. IX, § 4), а при помощи определенного интеграла можно вычислять площади только криволинейных трапеций. Следовательно, надо поступить иначе. Представим площадь ABCD так:

пл. ABCD = пл. ABE — пл. ADE + пл. DMC — пл. ВМС

Теперь все четыре части являются криволинейными трапециями (две из них, ADE и DMC, просто треугольники) Вычислим площадь каждой из них, для этого нам потребуются точки

Получим:

Поэтому пл.

Объем тела вращения

Рассмотрим поверхность Р, образованную вращением дуги АВ кривой у=f(х) (рис. 91).

Пусть объем V ограничен поверхностью Р и двумя плоскостями, каждая из которых перпендикулярна оси Ох. Одна из них отстоит от начала координат на расстояние а, вторая — на расстояние b. Таким образом, внутри объема V абсцисса меняется от а до b. Проведем плоскость, перпендикулярную оси Ох и отстоящую от начала координат на расстояние х (а < х < b). Объем, отсекаемый этой плоскостью от тела V, является функцией х. Обозначим его V (х). Дадим х приращение h = dх, тогда V (х) получит приращение , указанное на рис. 91 (рекомендуется одновременно рассматривать и рис. 84, а также пр. 1 из § 5 гл. IX).

Это приращение заключено между двумя цилиндрами: первый из них имеет высоту h = dх и радиус основания у=f(х) , а второй—ту же высоту и радиус у + . Объем первого второго Поэтому объем цилиндрической трубки, заключенной между этими цилиндрами, равен 2hу (см. пр. 1 из § 5 гл. IX). Следовательно, приращение отличается от объема меньшего цилиндра не больше чем на 2hу. Но это есть бесконечно малая высшего порядка относительно h = dх , так как одновременно с h, поэтому дифференциал объема равен объему меньшего цилиндра . Интегрируя, получим искомый объем

Пример:

Вычислим объем, полученный вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной параболой осью Ох и прямой х = 1 (рис. 92).

Применяя формулу (II), в которой положим

будем иметь

Пример:

Вычислим объем, полученный вращением вокруг оси Ох фигуры ОАВ, ограниченной линиями и y = 1 — х (см. пр. 5 из § 2 и рис. 89).

В этом случае искомый объем следует разбить на две части. Первая получается вращением фигуры ОМА, а вторая фигуры МВА. Поэтому

Пример:

Вычислим объем, полученный вращением вокруг оси Ох фигуры ОВА. Эта фигура ограничена осью Оу, дугой синусоиды y = sin x и дугой косинусоиды у = cos х (рис. 93).

Так как точка В пересечения синусоиды и косинусоиды имеет абсциссу, равную , то внутри рассматриваемого объема х меняется от 0 до .

Искомый объем сразу вычислить нельзя. Его получим, вычитая из объема, полученного вращением косинусоиды, объем, полученный вращением синусоиды; поэтому

Объем тела, у которого известны площади поперечных сечений

Рассмотрим тело, расположенное так, как указано на рис. 94.

Обозначим объем этого тела через V.

Назовем поперечным сечением этого тела фигуру, полученную при пересечении его плоскостью, перпендикулярной оси Ох. Обозначим площадь сечения S(x). Предположим что площадь каждого поперечного сечения S(x) известна. При этих условиях определим объем тела. Для э т ого возьмем два поперечных сечения на расстоянии h = dx друг от друга. Рассмотрим два цилиндра: первый из них имеет своим основанием левое поперечное сечение, второй — правое; высоты обоих цилиндров одинаковы (dx).

Объем куска тела, расположенного между указанными поперечными сечениями, есть приращение объема V. Обозначим его . Это приращение больше объема первого цилиндра и меньше объема второго. Рассуждая аналогично §§ 1, 3 этой главы, можем сказать, что дифференциал dV равен объему первого цилиндра, т. е. равен произведению площади основания S(х) на высоту dx, так что dV = S(х)dx . Интегрируя в пределах от а до b, будем иметь

Пример:

Дан цилиндр, высота которого равна H, а радиус основания R. Плоскость АРМ, проведенная через диаметр основания, пересекает этот цилиндр (рис. 95).

Определим объем меньшей части, отсекаемой плоскостью, т. е. объем части МРАВ.

Нарисуем отдельно отрезанный кусок (рис. 95, б). На этом рисунке

Примем за ось Ох прямую, перпендикулярную диаметру и лежащую в плоскости основания цилиндра. Тогда OD = х. Проведем поперечное сечение КLTQ, это—прямоугольник (рис. 95, в). Его площадь равна Выразим ее через х. Из прямоугольного треугольника ОDК найдем КD:

Из подобных треугольников ОDС и ОВА находим:

откуда Поэтому площадь поперечного сечения к

Применяя формулу (III), получаем

Для вычисления этого интеграла сделаем подстановку

Отсюда получаем

При х = 0 новое переменное z равно R при x = R оно равно 0. Сделав замену переменного в (*), получим

Вычисление давления жидкости

Давление жидкости на погруженную в нее горизонтальную пластинку равно весу столба этой жидкости, имеющего основанием пластинку, а высотой—расстояние пластинки от свободной поверхности жидкости.

Обозначим давление буквой Р, удельный вес жидкости площадь пластинки S, а расстояние от свободной поверхности жидкости до пластинки Н; тогда

В формулировке этого закона существенно, что пластинка горизонтальна. Поверхность жидкости предполагается также горизонтальной плоскостью. Расстояние между параллельными плоскостями точно определено. Если же пластинка расположена не горизонтально, то надо говорить о расстоянии между двумя непараллельными плоскостями; но что это значит?

Укажем, как решается задача в случае пластинки, расположенной вертикально.

Задача:

Пусть в жидкость, удельный вес которой равен , опущена пластинка, имеющая форму круга радиуса R и расположенная вертикально (рис. 96).

Круг касается поверхности жидкости. Определить давление жидкости на эту пластинку (точнее, на одну ее сторону).

Решение:

Примем за ось Оу вертикальную прямую, проходящую через центр пластинки, а за ось Ох—горизонтальную прямую, проходящую через эту же точку. (Здесь мы принимаем у за независимое переменное, а х—за функцию.) Уравнение контура пластинки запишется в виде

В силу симметрии будем рассматривать только правую половину пластинки. Вырежем из нее горизонтальную полоску АВNМ ширины dу, нижняя сторона которой отстоит от начала координат на расстояние у (рис. 96, а). Тогда

Дополним ее до прямоугольника АВQМ и вместо полоски АВNМ будем рассматривать этот прямоугольник. Повернем АВQМ вокруг АВ, придав ему горизонтальное положение. Теперь можно применить закон, указанный в начале этого параграфа. Возьмем столб жидкости, имеющий основанием прямоугольник АВQМ (в горизонтальном положении), а высотой — расстояние АС до поверхности жидкости. Объем столба равен

а вес Эту величину назовем элементарным давлением и обозначим через dP. Итак,

Интегрируя в пределах от —R до R, получим искомое давление:

Пределы интегрирования показывают наименьшее и наибольшее значения у в пределах пластинки. Под знаком интеграла стоят две переменные величины: х и у. Исключим x, выразив его через у из уравнения (*). Тогда

Преобразуем интеграл:

Применяя результаты, полученные в пр. 2 и 3 из § 3 гл. X, будем иметь:

Поэтому окончательно

Итак, давление жидкости на половину пластинки (правую) равно Давление на всю пластинку равно

Вычисление работы силы

Если постоянная сила F направлена по оси Ох и ее точка приложения Р перемещается также вдоль оси Ох на отрезок (а, b), то работа силы на этом участке вычисляется по формуле

Если же сила меняет величину, хотя и остается направленной по оси, то формулу (*) уже применить нельзя.

Задача:

Сила F направлена по оси Ох и ее величина зависит от абсциссы х точки Р приложения силы, т. е. F = F (х). Точка Р перемещается вдоль отрезка (а, b), расположенного на оси Ох. Вычислить работу силы F (х) на отрезке (а, b).

Решение:

К решению этой задачи нужно применить определенный интеграл, как предел интегральных сумм (см. гл. XI, § 2). Для этого разобьем отрезок (а, b) на мелкие части при помощи точек (рис. 97).

Будем считать, что сила F(х) сохраняет на отрезке , то значение, которое она имела в его левом конце, т. е.. Тогда работу на отрезке можно вычислить поформуле (*), она равна

Поступая аналогично на каждом отрезке, получим результаты, сведенные в таблицу:

Складывая работы, вычисленные на отдельных отрезках, получим приближенное значение искомой работы:

Это интегральная сумма. Если начнем измельчать разбиение, то пределом интегральной суммы будет являться интеграл

Таким образом, работа А силы F(x) на отрезке (а, b) выражается определенным интегралом

Заметим, что все рассуждения проводились в предположении, что сила F(x) непрерывно меняется с изменением х и что она зависит только от х.

Пример:

Вычислим работу силы F, если F зависит только от х, причем Работу вычислим на отрезке имеющем концами точки а = 0 и b = 1. Используя формулу (IV), получим

Пример:

Вычислим работу силы на отрезке от 2 до 5, если сила F определена уравнением F= —х. Применяя формулу (IV), получим

Пример:

Вычислим работу силы, указанной в предыдущем примере, на отрезке от —3 до +3. Применяя формулу (IV), получим

Замечание:

Работа может быть положительной и отрицательной, а также и равной нулю, как это видно из приведенных примеров. Знак работы зависит от того, совпадают ли по знаку перемещение и направление силы.

Длина дуги

Рассмотрим кривую, заданную уравнением

и на ней отметим точку М0, абсциссу которой обозначим x0, а ординату у0. В силу уравнения (1) у0 = f(х0). Длину дуги, расположенной на кривой (1), будем отсчитывать от точки М0.

Если дуга идет в сторону возрастания абсциссы х, то будем считать ее положительной, если в другую сторону, то — отрицательной. На рис. 98, а дуга М0A положительна, дуга М0В отрицательна. Условимся считать точку М0 неподвижной, а точку М(х, у) будем двигать по кривой, тогда для нее у =f(х). Таким образом, длина дуги М0М является функцией х; обозначим ее L(х). Дадим х приращение h = dх, тогда вместо точки М получим новую точку M1. Координаты этой точки будут х+dх и у + dу. Дуга М0М получает приращение ММ1. Это значит, что функция L(х) получит приращение:

Делая ошибку в бесконечно малых высшего порядка, можно считать, что = dу и что дуга ММ1 является почти отрезком прямой (рис. 98, б).

Применяя теорему Пифагора, получим

Выражение называется дифференциалом дуги и обозначается ds, так что

Дифференциал дуги можно выразить через производную, а именно:

тогда

Для того чтобы вычислить длину дуги М0М, где точка М имеет абсциссу х, а ординату у=f(х), надо проинтегрировать дифференциал дуги ds. Интегрируя, получаем

Пример:

Вычислим длину дуги окружности, заданной уравнением лежащей в первом координатном угле.

Из уравнения окружности находим производную

Тогда

Интегрируя, получим

Для вычисления этого интеграла делаем замену переменного интегрирования x = R sin t. Отсюда при x = 0 переменное t = 0, а при x = R переменное t = . Дифференцируя, имеем dx= R cos t dt . Поэтому

что, конечно, совпадает с известным результатом.

Приближенное вычисление определенных интегралов

Вычисления при помощи интегральных сумм:

Очень часто при решении задач физического и технического содержания получаются определенные интегралы, которые нельзя вычислить при помощи первообразных функций (так как первообразные неизвестны) или это вычисление приводится к очень сложным и длительным выкладкам. В этих случаях решают задачи приближенно, заменяя вычисление интеграла вычислением интегральной суммы. Для вычисления интегральной суммы надо уметь только вычислять значения подынтегральной функции, а если они уже известны, то для дальнейших вычислений требуются только арифметические действия.

Приведем пример вычисления интеграла при помощи интегральных сумм.

Пример:

Вычислим интеграл Для этого разобьем промежуток интегрирования на десять частей точками: 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Вычислим значения подынтегральной функции для этих значений независимого переменного. Эти значения можно найти в «Пятизначных математических таблицах» Сегала и Семендяева или в «Справочнике по высшей математике» Бронштейна и Семендяева. Если же этих таблиц нет, то можно воспользоваться логарифмическими таблицами. Имея таблицы логарифмов, будем поступать следующим образом; сначала прологарифмируем выражение и, зная, что lg = 0,43429, найдем логарифмы нужных чисел, а затем и сами числа. Результаты сведены в таблицу:

Воспользуемся формулой (1) из § 1 гл. XI. В нашем случае все разности равны 0,1; поэтому, вынося их за скобку, получим внутри скобок сумму всех значений функции. Эта сумма равна 7,77817. Умножим ее на 0,1, получим 0,777817. Таким образом, интеграл приближенно вычислен:

Нами вычислен приближенно определенный интеграл

но неизвестно, с какой степенью точности проведено это вычисление. Для того чтобы иметь представление о точности получаемого результата, поступают следующим образом: проделывают аналогичные вычисления, только разбивают отрезок интегрирования на большее число частей (обычно это число удваивают). В нашем примере разобьем на двадцать частей. Конечно, при этом получится другой результат, но некоторые цифры сохраняются и в новом результате. По числу сохранившихся цифр и будем судить о точности вычисления. Проделав это, получим

Конечно, эти вычисления не позволяют найти точность вычисления, но все-таки вселяют некоторую уверенность в первом десятичном знаке. В следующем параграфе будет изложен другой метод, который при том же объеме работы, вообще говоря, дает более точный результат.

Формула Симпсона

Помимо приближенного вычисления интегралов при помощи интегральных сумм, существуют различные формулы, выражающие приближенно определенный интеграл. Выведем одну из них, так называемую «формулу Симпсона». Для ее вывода решим предварительно две задачи.

Задача:

Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой

прямыми х = — h, х = h и осью абсцисс.

Решение:

Как было показано раньше, площадь криволинейной трапеции выражается определенным интегралом. В рассматриваемом случае этот интеграл запишется следующим образом:

Вычислим интеграл и произведем возможные упрощения:

Итак, искомая площадь выражается формулой

Задача:

Написать уравнение параболы, проходящей через точки

где числа произвольны, а h — любое положительное число. Кроме того, вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой параболой, осью абсцисс, прямыми х = — h и х = h .

Решение:

Уравнение искомой параболы можно записать в виде

Поскольку по условию точка А должна лежать на параболе, то ее координаты удовлетворяют уравнению (2), т. е.

Также условия того, что точки В и С лежат на параболе, запишутся следующим образом:

В уравнениях (2′), (2″), (2″‘) неизвестными являются а, b и с; мы найдем их, решая систему уравнений (2′), (2″), (2′»). Из уравнения (2″) находим, что

Подставляя найденное значение в уравнения (2′) и (2″‘), будем иметь:

Сложим почленно эти уравнения и найдем а:

а затем вычтем из второго первое и найдем b:

Итак, коэффициенты уравнения (1) определены формулами (3), (4) и (5), т. е. уравнение искомой параболы напишется так:

Для вычисления площади применим результат задачи 1, подставив в формулу (1) значения с и а из формул (3) и (4); будем иметь

Сделаем возможные упрощения:

Искомая площадь выражается формулой

Эту формулу можно прочесть так: площадь, ограниченная параболой, двумя ординатами у0 и у2 и отрезком оси абсцисс, длиной 2h, равна одной трети произведения двух множителей. Первый множитель является суммой крайних ординат у0 и у2 и учетверенной средней ординаты у1, второй множитель равен половине отрезка оси абсцисс, т. е. h .

Пример:

Вычислить площадь, ограниченную параболой

прямыми х = 1 и х = 5 и отрезком оси абсцисс

Найдем крайние ординаты:

Отрезок оси абсцисс равен

Средняя ордината соответствует средней точке отрезка, т. е. абсциссе поэтому средняя ордината

Употребляя формулу (6), получаем

Применим полученные результаты к приближенному вычислению определенного интеграла . Этот интеграл можно рассматривать как площадь криволинейной трапеции ограниченной кривой у = f(x), прямыми х = а, х = b и осью абсцисс. Поэтому приближенное вычисление интеграла равносильно приближенному вычислению площади указанной трапеции.

Обозначим площадь трапеции через S, тогда

Разобьем отрезок (а, b) на 2п равных частей; длина каждой части будет равна Эти мелкие части (отрезки) имеют концы в точках с абсциссами

Через эти точки проведем ординаты точек кривой у = f(x) и обозначим их

а их концы—буквами

Точки

разобьем на тройки:

первая тройка состоит из точек

вторая тройка состоит из точек

последняя тройка состоит из точек

Через точки, принадлежащие одной тройке, проведем дугу параболы, получим: первая дуга А0А1А2, вторая дуга А2А3А4, …, последняя дуга

Рассмотрим, наконец, «двойные полоски». Первая из них ограничена дугой параболы А0А1А2 , ординатами у0 и у2 и отрезком 2h оси абсцисс; вторая ограничена дугой А2А3А4 ординатами у2 и у4 и отрезком оси абсцисс 2h , …, последняя двойная полоска ограничена дугой, ординатами и и отрезком 2h оси абсцисс.

Обозначим двойные полоски

При мелком разбиении, т. е. при маленьких h , сумма площадей двойных полосок

будет достаточно мало отличаться от площади S.

Площади двойных полосок можно вычислять по формуле (6). Получим:

площадь двойной полоски s1 равна

площадь двойной полоски s2 равна

площадь двойной полоски sn равна

Следовательно, сумма площадей всех двойных полосок выражается так:

или

Объединим все у с нечетными номерами и все у с четными номерами, кроме у0 и . Заметим при этом, что, кроме у0 и каждый у с четным номером встречается два раза. Итак,

При малом h приближенно имеем

Поэтому

или получим

получим

Эта формула называется формулой Симпсона.

Пример:

Вычислим вновь интеграл который был приближенно вычислен в § 1. Разобьем промежуток интегрирования на двадцать частей. Напоминаем, что для метода Симпсона требуется обязательно четное число частей. Выпишем значения подынтегральной функции, располагая их определенным образом в таблице:

Следовательно, при помощи формулы Симпсона получено приближенное значение

В этом результате первые три десятичных знака верны (это можно установить, сравнивая полученное число с числом, полученным путем деления на все большее число промежутков, или оценивая ошибку, что хотя трудно, но возможно).

Если сравнивать с результатом, полученным в § 1 (при делении на двадцать частей), то видно преимущество формулы Симпсона; при одинаковом объеме работы эта формула дала три верных десятичных знака, в то время как в § 1 был получен только один верный знак.

Решение заданий и задач по предметам:

• Математика
• Высшая математика
• Математический анализ
• Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
2. Функции и графики
3. Преобразования графиков функций
4. Квадратная функция и её графики
5. Алгебраические неравенства
6. Неравенства
7. Неравенства с переменными
8. Прогрессии в математике
9. Арифметическая прогрессия
10. Геометрическая прогрессия
11. Показатели в математике
12. Логарифмы в математике
13. Исследование уравнений
14. Уравнения высших степеней
15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
16. Комплексные числа
17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
18. Алгебраические уравнения
19. Неопределенные уравнения
20. Соединения
21. Бином Ньютона
22. Число е
23. Непрерывные дроби
24. Функция
25. Исследование функций
26. Предел
27. Интеграл
28. Двойной интеграл
29. Тройной интеграл
30. Интегрирование
31. Неопределённый интеграл
32. Криволинейные интегралы
33. Поверхностные интегралы
34. Несобственные интегралы
35. Кратные интегралы
36. Интегралы, зависящие от параметра
37. Квадратный трехчлен
38. Производная
39. Применение производной к исследованию функций
40. Приложения производной
41. Дифференциал функции
42. Дифференцирование в математике
43. Формулы и правила дифференцирования
44. Дифференциальное исчисление
45. Дифференциальные уравнения
46. Дифференциальные уравнения первого порядка
47. Дифференциальные уравнения высших порядков
48. Дифференциальные уравнения в частных производных
49. Тригонометрические функции
50. Тригонометрические уравнения и неравенства
51. Показательная функция
52. Показательные уравнения
53. Обобщенная степень
54. Взаимно обратные функции
55. Логарифмическая функция
56. Уравнения и неравенства
57. Положительные и отрицательные числа
58. Алгебраические выражения
59. Иррациональные алгебраические выражения
60. Преобразование алгебраических выражений
61. Преобразование дробных алгебраических выражений
62. Разложение многочленов на множители
63. Многочлены от одного переменного
64. Алгебраические дроби
65. Пропорции
66. Уравнения
67. Системы уравнений
68. Системы уравнений высших степеней
69. Системы алгебраических уравнений
70. Системы линейных уравнений
71. Системы дифференциальных уравнений
72. Арифметический квадратный корень
73. Квадратные и кубические корни
74. Извлечение квадратного корня
75. Рациональные числа
76. Иррациональные числа
77. Арифметический корень
78. Квадратные уравнения
79. Иррациональные уравнения
80. Последовательность
81. Ряды сходящиеся и расходящиеся
82. Тригонометрические функции произвольного угла
83. Тригонометрические формулы
84. Обратные тригонометрические функции
85. Теорема Безу
86. Математическая индукция
87. Показатель степени
88. Показательные функции и логарифмы
89. Множество
90. Множество действительных чисел
91. Числовые множества
92. Преобразование рациональных выражений
93. Преобразование иррациональных выражений
94. Геометрия
95. Действительные числа
96. Степени и корни
97. Степень с рациональным показателем
98. Тригонометрические функции угла
99. Тригонометрические функции числового аргумента
100. Тригонометрические выражения и их преобразования
101. Преобразование тригонометрических выражений
102. Комбинаторика
103. Вычислительная математика
104. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
105. Прямая и плоскость
106. Линии и уравнения
107. Прямая линия
108. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
109. Кривые второго порядка
110. Кривые и поверхности второго порядка
111. Числовые ряды
112. Степенные ряды
113. Ряды Фурье
114. Преобразование Фурье
115. Функциональные ряды
116. Функции многих переменных
117. Метод координат
118. Гармонический анализ
119. Вещественные числа
120. Предел последовательности
121. Аналитическая геометрия
122. Аналитическая геометрия на плоскости
123. Аналитическая геометрия в пространстве
124. Функции одной переменной
125. Высшая алгебра
126. Векторная алгебра
127. Векторный анализ
128. Векторы
129. Скалярное произведение векторов
130. Векторное произведение векторов
131. Смешанное произведение векторов
132. Операции над векторами
133. Непрерывность функций
134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
135. Предел и непрерывность функции одной переменной
136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
139. Матрицы
140. Линейные и евклидовы пространства
141. Линейные отображения
142. Дифференциальные теоремы о среднем
143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
144. Функции комплексного переменного
145. Преобразование Лапласа
146. Теории поля
147. Операционное исчисление
148. Системы координат
149. Рациональная функция
150. Интегральное исчисление
151. Интегральное исчисление функций одной переменной
152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
153. Отношение в математике
154. Математическая логика
155. Графы в математике
156. Линейные пространства
157. Первообразная и неопределенный интеграл
158. Линейная функция
159. Выпуклые множества точек
160. Система координат