Поверхностные интегралы в математике с примерами решения и образцами выполнения

Оглавление:

При изучении темы «Поверхностные интегралы» вы познакомитесь с понятием интеграла по поверхности от функции трех
переменных и научитесь сводить его к двойному (а затем — к повторному), проецируя заданную поверхность на одну из координатных плоскостей. Кроме того, вы научитесь вычислять интегралы по части цилиндрической и сферической поверхностей.

Поверхностный интеграл первого рода

Постановка задачи. Вычислить поверхностный интеграл

Поверхностные интегралы

где Поверхностные интегралы — часть поверхности, описываемая уравнением F(x,y,z) = 0
и некоторыми неравенствами.

План решения. Поверхностный интеграл сводится к двойному
проецированием Поверхностные интегралы на координатную плоскость XOY по формуле

Поверхностные интегралы

где D — проекция Поверхностные интегралы на плоскость XOY, — угол между нормалью
к поверхности и осью OZ; z(x, у) определяем из уравнения поверхности F(x, у, z) = 0.

Замечание:

Если уравнение F(x,y,z) = 0 не определяет однозначно функцию z = z(x,y), то проецируем Поверхностные интегралы на другую координатную плоскость или используем криволинейные координаты (можно
также разбить поверхность на части и воспользоваться аддитивностью интеграла).

1.Единичные нормальные векторы Поверхностные интегралы к поверхности, заданной уравнением F(x, у, z) = 0, определяются формулой

Поверхностные интегралы

2.Проекцию D поверхности Поверхностные интегралы на плоскость XOY находим, исключая z из условий, определяющих .

3.Находим z = z(x, у), решая уравнение F(x, у, z) = 0.

4.Переходим от поверхностного интеграла к двойному по формуле (1) и вычисляем двойной интеграл, сводя его к повторному.

Записываем ответ.

Пример:

Вычислить поверхностный интеграл

Поверхностные интегралы

где Поверхностные интегралы — часть плоскости

Поверхностные интегралы

расположенная в первом октанте (т.е. Поверхностные интегралы ).

Решение:

1.Единичные нормальные векторы Поверхностные интегралы к по-
поверхности, заданной уравнением F(x, у, z) = 0, определяются формулой

Поверхностные интегралы

В данном случае F(x,y,z) = х + 2у + 3z — 1. Следовательно,

Поверхностные интегралы

2.Поверхность Поверхностные интегралы определяется условиями

Поверхностные интегралы

Ее проекцию D на плоскость XOY находим, исключая z из условий,
определяющих Поверхностные интегралы :

Поверхностные интегралы

Отсюда

Поверхностные интегралы

3.Из уравнения х + 2у + 3z — 1 = 0 находим z(x, у) = (1 — х — 2у)/3.

4.Переходим от поверхностного интеграла к двойному по формуле (1) и вычисляем двойной интеграл, сводя его к повторному:

Поверхностные интегралы

Ответ. Поверхностные интегралы

Интеграл по цилиндрической поверхности

Постановка задачи. Вычислить поверхностный интеграл

Поверхностные интегралы

где Поверхностные интегралы — часть поверхности вырезаемая плоскостями
z = 0 и z = h.

План решения.

1.Вводим на заданной поверхности (цилиндре) криволинейные
координаты

Поверхностные интегралы

В этих координатах поверхность задается условиями

Поверхностные интегралы

2.Так как

Поверхностные интегралы

то

Поверхностные интегралы

3.Вычисляем повторный интеграл и записываем ответ.

Пример:

Вычислить поверхностный интеграл

Поверхностные интегралы

где Поверхностные интегралы — часть поверхности вырезаемая плоскостями
z = 0, z = 2.

Решение:

1.Вводим на заданной поверхности (цилиндре) криволинейные
координаты

Поверхностные интегралы

В этих координатах поверхность задается условиями

Поверхностные интегралы

2.Так как Поверхностные интегралы и то имеем

Поверхностные интегралы

3.Вычисляем повторный интеграл:

Поверхностные интегралы

Ответ. Поверхностные интегралы

Интеграл по сферической поверхности

Постановка задачи. Вычислить поверхностный интеграл

Поверхностные интегралы

где Поверхностные интегралы — верхняя полусфера

Поверхностные интегралы

План решения.

1.Вводим на заданной поверхности (сфере) криволинейные координаты

Поверхностные интегралы

В этих координатах поверхность задается условиями

Поверхностные интегралы

2.Так как Поверхностные интегралы имеем

Поверхностные интегралы

3.Вычисляем повторный интеграл и записываем ответ.

Пример:

Вычислить поверхностный интеграл

Поверхностные интегралы

где Поверхностные интегралы — верхняя полусфера

Поверхностные интегралы

Решение:

1.Вводим на заданной поверхности (сфере) криволинейные координаты

Поверхностные интегралы

В этих координатах поверхность задается условиями

Поверхностные интегралы

2.Так как Поверхностные интегралы и имеем

Поверхностные интегралы

3.Вычисляем повторный интеграл:

Поверхностные интегралы

Ответ. Поверхностные интегралы

Определение и свойства поверхностных интегралов

Ориентируемые и неориентируемые поверхности.	Поверхностные интегралы как пределы интегральных сумм.
Второй подход к понятию ориентации поверхности.	Поверхностные интегралы по кусочно-гладким поверхностям.

Поверхностный интеграл I рода

Обобщением двойного интеграла является так называемый поверхностный интеграл.

Пусть в точках некоторой поверхности S, с площадью S , пространства Oxyz определена непрерывная функция f(х; у; z). Разобьем поверхность S на п частей Поверхностный интеграл площади которых обозначим через ДSi (см. рис. 246), а диаметры — через В каждой части возьмем произвольную точку и составим сумму

Она называется интегральной для функции f(x;y;z) по поверхности S.

Если при Поверхностный интеграл интегральная сумма (57.1) имеет пре-дел, то он называется поверхностным интегралом I рода от функции f(x;y;z) по поверхности S и обозначается

Таким образом, по определению,

Отметим, что «если поверхность S гладкая (в каждой ее точке существует касательная плоскость, которая непрерывно меняется с перемещением точки по поверхности), а функция f(x;y;z) непрерывна на этой поверхности, то поверхностный интеграл существует» (теорема существования).

Поверхностный интеграл I рода обладает следующими свойствами:

3. Если поверхность S разбить на части Поверхностный интеграл такие, что а пересечение состоит лишь из границы, их разделяющей, то

4.Если на поверхности S выполнено неравенство

7.Если f(x; у, z) непрерывна на поверхности S, то на этой поверхности существует точка Поверхностный интеграл такая, что

(теорема о среднем значении).

Вычисление поверхностного интеграла I рода

Вычисление поверхностного интеграла I рода сводится к вычислению двойного интеграла по области D — проекции поверхности S на плоскость Оху.

Разобьем поверхность S на части Поверхностный интеграл Обозначим через проекцию на плоскость Оху. При этом область D окажется разбитой на п частей Возьмем в произвольную точку и восстановим перпендикуляр к плоскости Оху до пересечения с поверхностью S . Получим точку Поверхностный интеграл на поверхности . Проведем в точке М, касательную плоскость и рассмотрим ту ее часть , которая на плоскость Оху проектируется в область (см. рис. 247). Площади элементарных частей Поверхностный интеграл обозначим как соответственно. Будем приближенно считать, что

Обозначив через Поверхностный интеграл , острый угол между осью Oz и нормалью п, к поверхности в точке получаем:

(область Поверхностный интеграл есть проекция на плоскость Оху).

Если поверхность S задана уравнением z = = z(x;y), то, как известно (см. (45.2)), уравнение касательной плоскости в точке Поверхностный интеграл есть

где Поверхностный интеграл — координаты нормального вектора к плоскости. Острый угол уг есть угол между векторами и

Следовательно,

Равенство (57.4) принимает вид

В правой части формулы (57.2) заменим Поверхностный интеграл (учитывая (57.3)) на полученное выражение для , a заменим на Поэтому, переходя к пределу при стремлении к нулю наибольшего диаметра (а следовательно, и Поверхностный интеграл ), получаем формулу

выражающую интеграл по поверхности S через двойной интеграл по проекции S на плоскость Оху.

Отметим, что если поверхность S задана уравнением вида у = y(x;z) или х = x(y;z), то аналогично получим:

где Поверхностный интеграл — проекции поверхности S на координатные плоскости Oxz и Oyz соответственно.

Пример:

Вычислить Поверхностный интеграл — часть плоскости расположенной в I октанте (см. рис. 248).

Решение:

Запишем уравнение плоскости в виде Поверхностный интеграл

Находим Поверхностный интеграл По формуле (57.5) имеем:

Пример:

Вычислить

где S — часть цилиндрической поверхности Поверхностный интеграл отсеченной плоскостями z = 0, z = 2 (см. рис. 249).

Решение:

Воспользуемся формулой (57.6). Поскольку

то где Поверхностный интеграл — прямоугольник

Некоторые приложения поверхностного интеграла I рода

Приведем некоторые примеры применения поверхностного интеграла I рода.

Площадь поверхности

Если поверхность S задана уравнением z = z(x; у), а ее проекция на плоскость Оху есть область D, в которой z(x;y), zx'(x; у) и zy'(x;y) — непрерывные функции, то ее площадь S вычисляется по формуле

или

Кроме того, поверхностный интеграл применяют для вычисления массы, координат центра масс, моментов инерции материальных поверхностей с известной поверхностной плотностью распределения массы Поверхностный интеграл Все эти величины определяются одним и тем же способом: данную область разбивают на конечное число «мелких» частей, делая для каждой области деления упрощающие задачу предположения; находят приближенное значение искомой величины; переходят к пределу при неограниченном измельчении области деления. Проиллюстрируем описанный способ на примере определения массы материальной поверхности.

Масса поверхности

Пусть плотность распределения массы материальной поверхности есть Поверхностный интеграл Для нахождения массы поверхности:

Разбиваем поверхность S на п частей площадь которой обозначим .
Берем произвольную точку в каждой области . Предполагаем, что в пределах области плотность постоянна и равна значению ее в точке .
Масса области мало отличается от массы фиктивной однородной области с постоянной плотностью

4. Суммируя Поверхностный интеграл по всей области, получаем:

5.За точное значение массы материальной поверхности S принимается предел, к которому стремится полученное приближенное значение при стремлении к нулю диаметров областей Поверхностный интеграл , т. е.

т. е.

Моменты, центр тяжести поверхности

Статистические моменты, координаты центра тяжести, моменты инерции материальной поверхности S находятся по соответствующим формулам:

Пример:

Найти массу полусферы радиуса R, если в каждой точке поверхности плотность численно равна расстоянию этой точки от радиуса, перпендикулярного основанию полусферы. Решение: На рисунке 250 изображена полусфера радиуса R. Ее уравнение Поверхностный интеграл — поверхностная плотность полусферы.

По формуле (57.7) находим:

Переходим к полярным координатам:

внутренний интеграл вычислен с помощью подстановки r= Rsint:

Поверхностный интеграл II рода

Поверхностный интеграл II рода строится по образцу криволинейного интеграла II рода, где направленную кривую разлагали на элементы и проектировали их на координатные оси; знак брали в зависимости от того, совпадало ли ее направление с направлением оси или нет.

Пусть задана двусторонняя поверхность (таковой является плоскость, эллипсоид, любая поверхность, задаваемая уравнением z =f(x;y), где f(x;y), Поверхностный интеграл — функции, непрерывные в некоторой области D плоскости Оху и т.д.). После обхода такой поверхности, не пересекая ее границы, направление нормали к ней не меняется. Примером односторонней поверхности является так называемый лист Мебиуса, получающийся при склеивании сторон АВ и CD прямоугольника ABCD так, что точка А совмещается с точкой С, a В — с D (см. рис. 251).

Далее, пусть в точках рассматриваемой двусторонней поверхности S в пространстве Oxyz определена непрерывная функция f(x; у; z). Выбранную сторону поверхности (в таком случае говорят, что поверхность ориентирована) разбиваем на части Поверхностный интеграл , где i = 1,2,…,п, и проектируем их на координатные плоскости. При этом площадь проекции берем со знаком «плюс», если выбрана верхняя сторона поверхности, или, что то же самое, если нормаль п к выбранной стороне поверхности составляет с осью Oz острый угол (см. рис. 252, а), т. е. Поверхностный интеграл со знаком «минус», если выбрана нижняя сторона поверхности (или ) (см. рис. 252, б). В этом случае интегральная сумма имеет вид

где Поверхностный интеграл — площадь проекции на плоскость Оху. Ее отличие от интегральной суммы (57.1) очевидно.

Предел интегральной суммы (58.1) при Поверхностный интеграл если он существует и не зависит от способа разбиения поверхности S на части и от выбора точек называется поверхностным интегралом II рода (по координатам) от функции f(x;y;z) по переменным x и у по выбранной стороне поверхности и обозначается

Итак

Аналогично определяются поверхностные интегралы II рода по переменным у и z и z и х:

Общим видом поверхностного интеграла II рода служит интеграл

где P, Q, R — непрерывные функции, определенные в точках двусторонней поверхности S.

Отметим, что если S — замкнутая поверхность, то поверхностный интеграл по внешней стороне ее обозначается , по внутренней .

Из определения поверхностного интеграла II рода вытекают следующие его свойства:

Поверхностный интеграл II рода изменяет знак при перемене стороны поверхности.
Постоянный множитель можно выносить за знак поверхностного интеграла.
Поверхностный интеграл от суммы функций равен сумме соответствующих интегралов от слагаемых.
Поверхностный интеграл II рода по всей поверхности равен сумме интегралов по ее частям (аддитивное свойство), если пересекаются лишь по границе, их разделяющей.
Если — цилиндрические поверхности с образующими, параллельными соответственно осям Oz, Ох, Оу, то

Вычисление поверхностного интеграла II рода

Вычисление поверхностного интеграла II рода сводится к вычислению двойного интеграла.

Пусть функция R(x; у, z) непрерывна во всех точках поверхности S, заданной уравнением z = z(x; y), где z(x; у) — непрерывная функция в замкнутой области D (или Поверхностный интеграл ) — проекции поверхности S на плоскость Оху.

Выберем ту сторону поверхности S, где нормаль к ней образует с осью Oz острый угол. Тогда Поверхностный интеграл

Так как Поверхностный интеграл , то интегральная сумма (58.1) может быть записана в виде

Правая часть этого равенства есть интегральная сумма для функции R(x;y;z(x;y)), непрерывной в области D. Переходя к пределу в равенстве (58.2) при Поверхностный интеграл , получаем формулу

выражающую поверхностный интеграл II рода по переменным х и у через двойной интеграл. Если выбрать вторую сторону, т. е. нижнюю, поверхности S, то полученный двойной интеграл берут со знаком «минус». Поэтому

Аналогично

где Поверхностный интеграл — проекции поверхности S на плоскости Oxz и Oyz соответственно (замкнутые области).

В формуле (58.5) поверхность S задана уравнением у = y(x;z), а в формуле (58.6) — уравнением х = x(y;z). Знаки перед интегралами выбираются в зависимости от ориентации поверхности S (так, в формуле (58.5) берем знак «плюс», если нормаль к поверхности образует с осью Оу острый угол, а знак «минус» — если тупой угол).

Для вычисления общего поверхностного интеграла II рода используют формулы (58.4)-(58.6), проектируя поверхность S на все три координатные плоскости:

Замечание:

Можно показать справедливость равенств

— элемент площади поверхности Поверхностный интеграл — направляющие косинусы нормали n к выбранной стороне поверхности S.

Поверхностные интегралы I и II рода связаны соотношением

Пример:

Вычислить

по верхней стороне части плоскости 2х — Зу + z = 6, лежащей в IV октанте.

Решение:

На рисунке 253 изображена заданная часть плоскости. Нормаль п, соответствующая указанной стороне поверхности, образует с осью Оу тупой угол, а с осями Ох и Oz — острые. В этом можно убедиться, найдя направляющие косинусы нормального вектора Поверхностный интеграл = (2; —3; 1) плоскости:

Поэтому перед двойными интегралами в формулах (58.4) и (58.6) следует брать знак «плюс», а в формуле (58.5) — знак «минус». Следовательно,

Формула Остроградского-Гаусса

Связь между поверхностным интегралом II рода по замкнутой поверхности и тройным интегралом по объему, ограниченному этой поверхностью устанавливает следующая теорема.

Теорема:

Если функции P(x;y;z), Q(x;y,z), R(x;y;z) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в пространственной области V, то имеет место формула

где S — граница области V и интегрирование по S производится по ее внешней стороне.

Формула (58.9) называется формулой Остроградского-Гаусса (является аналогом формулы Остроградского-Грина (см. п. 56.3).

Пусть область V ограничена снизу поверхностью Поверхностный интеграл , уравнение которой сверху — поверхностью , уравнение которой (функции непрерывны в замкнутой области D — проекции V на плоскость , сбоку — цилиндрической поверхностью Поверхностный интеграл , образующие которой параллельны оси Oz (см. рис. 254).

Рассмотрим тройной интеграл

Двойные интегралы в правой части равенства заменим поверхностными интегралами II рода по внешней стороне поверхностей Поверхностный интеграл соответственно (см. (58.3)). Получаем:

Добавляя равный нулю интеграл Поверхностный интеграл по внешней стороне (см. свойство 5 п. 58.1), получим:

или

где S — поверхность, ограничивающая область V. Аналогично доказываются формулы

Складывая почленно равенства (58.10), (58.11) и (58.12), получаем формулу (58.9) Остроградского-Гаусса.

Замечания:

Формула (58.9) остается справедливой для любой области V, которую можно разбить на конечное число областей рассмотренного вида.
Формулу Остроградского-Гаусса можно использовать для вычисления поверхностных интегралов II рода по замкнутым поверхностям.

Пример:

Вычислить

где S — внешняя сторона пирамиды, ограниченной плоскостями 2х — Зу + z = 6, х = 0, у = 0, z = 0.

Решение:

По формуле (58.9) находим:

Заметим, что интеграл Поверхностный интеграл (см. пример 58.1) можно вычислить иначе:

где поверхности Поверхностный интеграл есть соответственно треугольники ОАС, АОВ, СОВ (см. рис. 255). Имеем:

Формула Стокса

Связь между поверхностными и криволинейными интегралами II рода устанавливает следующая теорема.

Теорема:

Если функции P(x;y;z), Q(x;y;z) и R(x;y;z) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в точках ориентированной поверхности S, то имеет место формула

где L — граница поверхности S и интегрирование вдоль кривой L производится в положительном направлении (т. е. при обходе границы L поверхность S должна оставаться все время слева).

Формула (58.13) называется формулой Стокса (Д. Г. Стоке — английский математик, физик).

Пусть z = f(x;y) — уравнение поверхности S, функции Поверхностный интеграл непрерывны в замкнутой области D (проекции поверхности S на плоскость Оху), — граница области D (см. рис. 256).

Будем считать, что поверхность S пересекается с любой прямой, параллельной оси Oz, не более чем в одной точке. Выберем верхнюю сторону поверхности S. Рассмотрим сначала интеграл вида Поверхностный интеграл

Значения функции Р(х; у; z) на L равны значениям функции P(x; y;z(x;y)) на Поверхностный интеграл . Интегральные суммы для криволинейных интегралов II рода по контурам совпадают. Поэтому

Применим к этому интегралу формулу Остроградского-Грина (см. п. 56.3). Тогда получим:

Преобразуем полученный двойной интеграл в равный ему поверхностный интеграл II рода (см. п. 58.2). Для этого последнее равенство перепишем в виде

(см. 58.7) и используем уравнение нормали к поверхности S (см. (45.3)). Так как выбрана верхняя сторона поверхности S, т. е. Поверхностный интеграл — острый угол между нормалью к поверхности S и осью Oz), то нормаль имеет проекции 1. Направляющие косинусы пропорциональны соответствующим проекциям:

Отсюда Поверхностный интеграл Тогда

Следовательно,

Аналогично получаются при соответствующих условиях еще два равенства:

Складывая почленно три последних равенства, получаем формулу Стокса (58.13).

Отметим, что формулу Стокса (58.13) можно применить и для поверхностей более сложного вида (разбив ее на части рассмотренного выше типа).

Формулу Стокса можно применять для вычисления криволинейного интеграла по замкнутому контуру с помощью поверхностного интеграла.

Из формулы Стокса вытекает, что если выполняются условия

то криволинейный интеграл по произвольному пространственному замкнутому контуру L равен нулю:

Следовательно, в данном случае криволинейный интеграл не зависит от вида пути интегрирования.

Пример:

Вычислить Поверхностный интеграл где контур L — окружность а) непосредственно,
б) используя формулу Стокса, взяв в качестве поверхности полусферу

Решение: Поверхность интегрирования изображена на рисунке 257.

а) Запишем уравнение окружности в параметрической форме:

По формуле (56.7) имеем:

б) По формуле Стокса (58.13) находим:

Переходя к полярным координатам, получаем:

Некоторые приложения поверхностного интеграла II рода

С помощью поверхностного интеграла 11 рода можно найти объем тела, ограниченного сверху поверхностью Поверхностный интеграл снизу — поверхностью сбоку — цилиндрической поверхностью , образующие которой параллельны оси Oz:

где Поверхностный интеграл

Действительно, положив в формуле Остроградского-Гаусса (58.9) Поверхностный интеграл находим:

Аналогично, полагая P = 0, Q = у, R = 0, находим еще одну формулу для нахождения объема тела с помощью поверхностного интеграла II рода:

Наконец, положив Р = 0, Q = 0, R = z, по формуле (58.9) находим третью формулу

выражающую объем тела через поверхностный интеграл II рода.

Сложив почленно равенства (58.15)-(58.17) и разделив на три, получим формулу (58.14).

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике: