Многочлены от одного переменного в математике с примерами решения и образцами выполнения

Оглавление:

Многочлен от одной переменной — это сумма одночленов от одной переменной х (в которой приведены подобные слагаемые, то есть все одночлены-слагаемые имеют различную степень).

Тождественные преобразования многочленов

Основные законы алгебры: Читатель знаком с большим числом алгебраических формул: с формулой квадрата суммы и разности

с формулой разложения разности квадратов на множители

и т. д. Ему известны и многочисленные правила действий над алгебраическими выражениями: сложения многочленов, умножения одночленов и многочленов, правила действий с алгебраическими дробями и т. д.

Все многообразие формул алгебры основано на нескольких основных законах, относящихся к сложению, вычитанию, умножению и делению чисел. Эти основные законы таковы:

1) а + 0 = а. 2) а + (—а) = 0. 3) а+b=b + а (коммутативность сложения). 4) а + (b + с) = (а + b) + с (ассоциативность сложения). 5) аb = bа (коммутативность умножения). 6) а(bс) = (аb)с (ассоциативность умножения). 7) а(b + с) = аb + ас (дистрибутивность умножения относительно сложения). 8) 1 • а = а. 9) Многочлены от одного переменного , где

Покажем, например, как из этих законов выводится формула

По закону дистрибутивности имеем:

Используя коммутативность умножения, получаем:

Вторично применяя дистрибутивность, а также коммутативность умножения и ассоциативность сложения, находим:

Поскольку

то и

Если выводить аналогичным образом формулу

то придется использовать и ассоциативность умножения.

Роль законов 1) — 9) в алгебре аналогична роли аксиом в геометрии. Как в геометрии все теоремы выводятся из аксиом, так в алгебре все формулы выводятся из законов 1) —9).

Как и аксиомы геометрии, алгебраические законы 1)—9) не доказываются. Они являются обобщением многотысячелетнего опыта практической деятельности человечества. Прежде чем сформулировать закон а + b = b + а, надо было много раз подметить такие арифметические соотношения, как 5 + 3 = 3 + 5, 7+12 = 12 + 7 и т. д. Все остальные законы алгебры имеют то же происхождение — они являются буквенной записью многократно проверявшихся арифметических соотношений.

Целые рациональные выражения и функции

Мы уже говорили, что алгебраические законы 1)—9) составляют фундамент всего здания алгебры. Но каждый раз сводить решение того или иного алгебраического вопроса, вывод той или иной алгебраической формулы к непосредственному применению этих законов было бы крайне сложно. Точно так же, как в геометрии из аксиом выводят теоремы и потом на практике пользуются уже этими теоремами, в алгебре из законов 1)—9) выводят алгебраические формулы и правила, а потом пользуются этими формулами и правилами для решения более сложных задач.

В первую очередь надо вывести из алгебраических законов правила действий с одночленами и многочленами.

Введем сначала важные понятия рационального и целого рационального выражения.

Выражение, составленное из букв (например, а, b, с, . . . , х, у, z ) и чисел с помощью знаков арифметических действий (сложения, вычитания, умножения и деления), называется рациональным выражением относительно входящих в него букв.

Примерами рациональных выражений (или, как их называли в начальной алгебре, алгебраических дробей) могут служить:

Если придавать буквам числовые значения, то рациональное выражение, как правило, будет принимать определенные числовые значения (исключение составляют случаи, когда при вычислениях пришлось бы делить на 0).

Поэтому, как правило, рациональное выражение является функцией от входящих в него букв.

Рациональное выражение называется целым относительно не которой буквы (например, х), если в нем нет операции деления на выражение, содержащее эту букву.

Например, выражения

являются целыми относительно х.

Второе (и, конечно, первое!) выражение — целое относительно а, а третье — нет.

Целые рациональные выражения относительно буквы х являются, согласно сказанному выше, функциями от х.

Такие функции называют целыми рациональными функциями от х.

При сложении, вычитании и умножении целых рациональных выражений снова получаются выражения того же вида. Например, если

то

также целые рациональные выражения.

Два целых рациональных выражения относительно х называются тождественно равными, если они принимают одинаковые значения при всех значениях буквы х. В этом случае они задают одну и ту же функцию переменного x. Например, из формулы Многочлены от одного переменного вытекает, что целые рациональные выражения тождественно равны. Правила тождественных преобразований целых рациональных выражений знакомы читателю из начального курса алгебры. Мы укажем здесь более строгий и общий вывод некоторых из этих правил.

Степень с натуральным показателем и ее свойства

Напомним понятие степени с натуральным показателем. Пусть а — некоторое число, а n — натуральное число. Произведение n сомножителей, каждый из которых равен а, называют n-й степенью числа а и обозначают Многочлены от одного переменного Число а называют основанием степени, а n — показателем степени. Например,

Хотя само число а нельзя взять сомножителем только один раз, естественно положить Многочлены от одного переменного то есть считать, что первая степень числа равна этому числу. Из определения степени сразу вытекает, что для любого натурального п выполняются равенства Многочлены от одного переменного

Операция возведения в степень с натуральным показателем обладает следующими свойствами: 1) Если а и b — любые числа и n — натуральное число, то

(дистрибутивность возведения в степень относительно умножения). Иными словами, чтобы возвести в степень произведение двух чисел, надо возвести в степень оба сомножителя и перемножить полученные результаты.

В самом деле, из определения степени следует, что

Используя ассоциативность и коммутативность умножения, переставим в правой части сомножители так, чтобы сначала шли все сомножители, равные а, а потом равные b. Мы получим:

Но Многочлены от одного переменного а потому

Соотношение (1) доказано.

2) Для любых чисел а и b, где и любого натурального числа n выполняется равенство:

Иными словами, чтобы возвести в степень дробь, надо возвести в эту степень числитель и знаменатель дроби и разделить степень числителя на степень знаменателя. В самом деле, по правилу умножения дробей

Из формулы (2) следует, в частности, что при Многочлены от одного переменного

Ь ф О

3) Для любого числа а и любых натуральных чисел т и п выполняется равенство:

В самом деле, из определения степени с натуральным показателем и ассоциативности умножения следует, что

Формулу (4) читают так: при умножении степеней с одинаковы ми основаниями показатели степеней складываются.

4) Если а — любое число, отличное от нуля, а m и n — натуральные числа, причем m > n, то

Если же m < n, то

Иными словами, при делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются.

В самом деле, пусть m > n. Тогда имеем:

Сократим дробь на n множителей, равных а. Тогда в числителе останется m — n таких множителей, а знаменатель обратится в единицу. Поэтому мы получим, что

Разберите самостоятельно случай, когда m < n.

5) Для любого числа а и любых натуральных чисел т и п выполняется равенство:

т. е. при возведении степени в степень показатели перемножаются.

В самом деле, из определения степени с натуральным показателем следует, что

В правой части этого равенства имеем mn сомножителей, каждый из которых равен а, а потому все произведение равно Многочлены от одного переменного Итак,

Если а — положительное число, то при любом натуральном n число положительно. Если же а — отрицательное число, то положительно при четном n и отрицательно при нечетном n.

Правила 1), 2), 5) можно использовать для возведения в степень одночленов. Пусть, например, надо вычислить

По правилам 2) и 1) имеем:

Применяя правило 5), получаем:

Рассмотрим еще пример:

Многочлены

Пусть Многочлены от одного переменного — целая рациональная функция. Как уже говорилось, ее выражение через х может иметь различный внешний вид. Например, выражения

тождественно равны друг другу и потому задают одну и ту же функцию. Поэтому возникает задача — представить данную целую рациональную функцию в «стандартном», «каноническом» виде. Мы будем считать запись целой рациональной функции канонической, если она не содержит скобок и подобных членов, а слагаемые в ней расположены в порядке убывания показателей степеней х (для рассмотренного выше примера такой записью является Многочлены от одного переменного

Приведение к канонической форме делается так. Раскрывают все скобки с помощью дистрибутивного закона а(b+ с) = аb + ас. После раскрытия скобок заменяют все произведения степеней переменного по правилам п. 3, приводят подобные члены и располагают члены в порядке убывания показателей степени. В результате получается выражение вида

где Многочлены от одного переменного Такое выражение называют многочленом от х, а n — степенью этого многочлена. Числа называют коэффициентами многочлена . В частности, Многочлены от одного переменного называют коэффициентом при старшем члене, — свободным членом. Если , многочлен называют приведенным. Например, — приведенный многочлен пятой степени от х со свободным членом —6.

Числа Многочлены от одного переменного мы будем рассматривать как многочлены нулевой степени. Многочлен же, все коэффициенты которого равны нулю (нулевой многочлен), степени не имеет.

Приведение данного целого рационального выражения к каноническому виду можно выполнить различными путями. Например, в выражении

можно сначала перемножить (х+ 1) на (x + 2), а можно сначала перемножить (х+2) на (х+ 3). Поэтому возникает следующий вопрос: могут ли два различных многочлена тождественно равняться одному и тому же целому рациональному выражению?

Мы покажем ниже, что ответ на этот вопрос отрицателен: если два многочлена тождественно равны, то они имеют одинаковые степени, а коэффициенты при одинаковых степенях х в обоих многочленах совпадают. Поэтому, чтобы убедиться в тождественном равенстве двух целых рациональных выражений, надо привести их к каноническому виду (т. е. к виду многочленов) и проверить, что получившиеся многочлены совпадают.

Пример:

Доказать тождество

Имеем:

Так как получились одинаковые многочлены, то заданные целые рациональные выражения равны.

Умножение многочленов

Так как многочлены — это частный случай целых рациональных выражений, то над ними можно выполнять действия сложения, вычитания и умножения. При этом будут получаться целые рациональные выражения, но, вообще говоря, эти выражения не будут многочленами1. Например, складывая многочлены Многочлены от одного переменного получим целое рациональное выражение Однако после приведения подобных членов (и перегруппировки по убыванию степеней x:) мы уже получим многочлен Многочлены от одного переменного В дальнейшем под суммой, разностью, произведением двух многочленов мы будем понимать многочлен, получающийся после приведения соответствующего целого рационального выражения к каноническому виду. Например, произведением многочленов

мы назовем многочлен

получающийся из целого рационального выражения

после раскрытия скобок и приведения подобных членов.

Действия над многочленами сводятся к действиям над их коэффициентами. Так, сложение многочленов сводится к сложению коэффициентов при одинаковых степенях х.

Рассмотрим, как выражаются через коэффициенты сомножителей коэффициенты произведения двух многочленов. Пусть даны многочлены:

Перемножая их, получим целую рациональную функцию

Раскроем скобки, воспользуемся формулой Многочлены от одного переменного и приведем подобные члены. Получим многочлен:

который и является произведением многочленов Многочлены от одного переменного

Старший член многочлена Многочлены от одного переменного имеет степень m +n и является произведением старших членов многочленов

/ (х) и ф (х):

Поэтому Многочлены от одного переменного

Точно так же свободный член в Многочлены от одного переменного является произведением свободных членов многочленов

{ (х) и ф (х)

Выясним, какой вид имеют остальные коэффициенты многочлена Многочлены от одного переменного Член, содержащий появляется дважды: при умножении на и при умножении на Поэтому коэффициент при этом члене равен . Итак,

Точно так же доказывается формула:

Легко заметить общий закон: сумма индексов в каждом слагаемом равна индексу искомого коэффициента:

При этом если k > m или k > n, то некоторые члены в этом равенстве надо опустить — ведь в Многочлены от одного переменного нет коэффициентов для которых k > n, а в нет коэффициентов для которых k > m.

Например, по формуле (1) получаем, что

В дальнейшем нам понадобится следующее тождество:

Чтобы доказать это тождество, раскроем скобки в правой части. Члены, содержащие Многочлены от одного переменного встретятся дважды: при умножении х на и при умножении (—а) на

Сумма этих произведений равна нулю:

Поэтому остаются лишь члены Многочлены от одного переменного и . Тем самым тождество (2) доказано.

Точно так же доказывается тождество:

Числовые кольца и поля

Мы видели, что действия над многочленами сводятся к действиям над их коэффициентами. При этом для сложения, вычитания и умножения многочленов достаточно трех арифметических действий — деление чисел не понадобилось. Так как сумма, разность и произведение двух действительных чисел снова являются действительными числами, то при сложении, вычитании и умножении многочленов с действительными коэффициентами в результате получаются многочлены с действительными же коэффициентами.

Однако не всегда приходится иметь дело с многочленами, имеющими любые действительные коэффициенты. Возможны случаи, когда по самой сути дела коэффициенты должны иметь лишь целые или лишь рациональные значения. В зависимости от того, какие значения коэффициентов считаются допустимыми, меняются свойства многочленов. Например, если рассматривать многочлены с любыми действительными коэффициентами, то Многочлены от одного переменного — 2 можно разложить на множители:

Если же ограничиться многочленами с целыми коэффициентами, то разложение (1) не имеет смысла и мы должны считать многочлен Многочлены от одного переменного — 2 неразложимым на множители.

Отсюда видно, что теория многочленов существенно зависит от того, какие коэффициенты считаются допустимыми. Далеко не любую совокупность коэффициентов можно принять за допустимую. Например, рассмотрим все многочлены, коэффициенты которых — нечетные целые числа. Ясно, что сумма двух таких многочленов уже не будет многочленом того же типа: ведь сумма нечетных чисел — четное число.

Поставим вопрос: каковы «хорошие» множества коэффициентов? Когда сумма, разность, произведение многочленов с коэффициентами данного типа имеют коэффициенты того же типа? Для ответа на этот вопрос введем понятие числового кольца.

Определение. Непустое множество чисел R называется числовым кольцом, если вместе с любыми двумя числами а и b оно содержит их сумму, разность и произведение. Это выражают также короче, говоря, что числовое кольцо замкнуто относительно операций сложения, вычитания и умножения.

Примеры:

1) Множество целых чисел является числовым кольцом: сумма, разность и произведение целых чисел — целые числа. Множество же натуральных чисел числовым кольцом не является, так как разность натуральных чисел может быть отрицательной.

2) Множество всех рациональных чисел — числовое кольцо, так как сумма, разность и произведение рациональных чисел рациональны. 3) Образует числовое кольцо и множество всех действительных чисел. 4) Числа вида Многочлены от одного переменного , где а и b — целые, образуют числовое кольцо. Это следует из соотношений:

5) Множество нечетных чисел не является числовым кольцом, так как сумма нечетных чисел четна. Множество же четных чисел — числовое кольцо.

Если числовое кольцо R состоит не только из одного нуля и вместе с любыми двумя элементами а и b, где Многочлены от одного переменного содержит и их частное , то R называют числовым полем. Множества из примеров 2) и 3) — числовые поля. А множества целых чисел и всех четных чисел не являются числовыми полями. Например, частное Многочлены от одного переменного не является целым числом.

Кольцо многочленов над данным числовым полем

Пусть R — числовое поле. Рассмотрим множество всех многочленов, коэффициенты которых принадлежат числовому полю R, то есть многочленов вида

где Многочлены от одного переменного Это множество обозначают . Легко проверить, что сумма, разность и произведение двух многочленов из также принадлежит . По аналогии с числовыми кольцами множество многочленов Многочлены от одного переменного называют кольцом многочленов над числовым полем R.

Ясно, что если Многочлены от одного переменного — Два числовых поля, причем — подмножество то всякий многочлен из кольца можно рассматривать и как многочлен из кольца то есть Многочлены от одного переменного

Бином Ньютона

При преобразовании целых рациональных выражений в многочлены час? о приходится разлагать выражения вида Многочлены от одного переменного Выведем формулу для этого разложения. Случаи n = 2 и n = 3 известны из курса начальной алгебры:

В разложение Многочлены от одного переменного входят члены, содержащие а в разложение — члены, содержащие

Естественно предположить, что в разложение Многочлены от одного переменного должны войти члены, содержащие

При этом старший член разложения должен равняться Многочлены от одного переменного а свободный член равен . Докажем это предположение с помощью индукции по . Предположим, что уже доказана формула

где через Многочлены от одного переменного обозначен коэффициент при в разложении выражения . Умножим обе части разложения (1) на (х + а):

Посмотрим, какой коэффициент при Многочлены от одного переменного получится после раскрытия скобок. Ясно, что члены с встретятся дважды: при умножении на х и при умножении на а. Значит, коэффициент при Многочлены от одного переменного равен При этом коэффициент при равен 1, а свободный член равен . Итак, мы доказали, что

где

Итак, если разложение (1) справедливо для л, то оно справедливо и для n + 1. Так как оно имеет место при n = 1, то оно выполняется и при n = 2, а тогда и при n = 3 и т. д. Значит, оно верно для всех n.

Разложение (1) называют битном Ньютона. Коэффициенты Многочлены от одного переменного называются биномиальными коэффициентами. Мы получили для них соотношение (2).

Так как первый и последний коэффициенты разложения (1) равны 1, то полагают по определению

С помощью соотношения (2) можно вычислить все биномиальные коэффициенты Многочлены от одного переменного зная коэффициенты

Именно

Заметим, что при вычислении Многочлены от одного переменного мы берем в формуле (2) лишь одно слагаемое.

Найдя Многочлены от одного переменного мы вычисляем

Такое вычисление удобно располагать в виде следующей таблицы:

Здесь каждое число в следующей строке является суммой двух стоящих над ним чисел предыдущей строки (если с какой-нибудь стороны числа нет, соответствующее слагаемое полагают равным нулю). Этот числовой треугольник называют треугольником Пас каля. С помощью треугольника Паскаля можно вычислять биномиальные коэффициенты для любого n.

Явное выражение для любого биномиального коэффициента имеет следующий вид:

где Многочлены от одного переменного — произведение всех натуральных чисел от 1 до n (например, Принято считать, кроме того, что В главе IX равенство (3) будет выведено с помощью методов комбинаторики.

Деление многочленов. Корни многочленов

В отличие от операций сложения и умножения многочленов операция деления многочленов не всегда выполнима: если Многочлены от одного переменного — два многочлена, то далеко не всегда найдется третий многочлен такой, что . В этом отношении множество многочленов больше напоминает множество целых чисел, чем множество рациональных чисел (иными слова ми кольцо многочленов не является полем). Но также, как и для целых чисел, для многочленов всегда определена операция деления с остатком. При этом будут рассматриваться многочлены, коэффициенты которых принадлежат некоторому числовому полю R (многочлены из кольца R [х ]). Читатель может при желании считать его полем всех действительных чисел или полем всех рациональных чисел.

Определим для многочленов понятие деления с остатком. Пусть даны два многочлена

и пусть существуют многочлены Многочлены от одного переменного и такие, что: 1) Имеет место тождество

2) Степень многочлена r(х) меньше степени многочлена Многочлены от одного переменного или r(х) = 0.

В этом случае многочлен Многочлены от одного переменного называют неполным частным при делении на , а r(х) — остатком при этом делении. Если , то есть если r(х) = 0, то говорят, что делится на Многочлены от одного переменного без остатка, а называют частным.

Например, если Многочлены от одного переменного то из тождества

следует, что неполным частным является Многочлены от одного переменного а остатком — Многочлен делится без остатка на так как

Выясним теперь: всегда ли возможно деление с остатком и однозначно ли оно определено? Иными словами, рассмотрим следующие вопросы:

Даны многочлены Многочлены от одного переменного и . Существуют ли такие многочлены и , что и степень меньше степени (или r(х) = 0)? Если эти многочлены существуют, то однозначно ли они определены?

Вопросы такого типа возникают во многих областях математики. Их называют соответственно вопросами о существовании и единственности решения данной задачи.

Для рассматриваемой здесь задачи мы докажем существование решения, указав способ отыскания неполного частного и остатка по заданным многочленам Многочлены от одного переменного После этого будет доказано, что решение задачи единственно.

Рассмотрим сначала следующий пример. Пусть Многочлены от одного переменного Заметим, что если умножить на , то получится многочлен имеющий тот же старший член, что и . Поэтому степень многочлена

меньше степени многочлена Многочлены от одного переменного

Если умножить Многочлены от одного переменного на 2, то получим многочлен имеющий тот же старший член, что и Многочлен имеет меньшую степень, чем

Таким образом, мы получили равенство:

где r(х)—многочлен меньшей степени, чем Многочлены от одного переменного . Это равенство перепишем так:

В этом случае

Рассмотрим теперь вопрос в общем виде.

Начнем с вопроса о существовании неполного частного и остатка, о возможности операции деления с остатком. Проще всего решается вопрос, если степень Многочлены от одного переменного меньше степени . В этом случае многочлены и удовлетворяют всем поставленным условиям. Рассмотрим теперь случай, когда степень n многочлена Многочлены от одного переменного больше или равна степени m многочлена . В этом случае будем строить неполное частное постепенно, вычисляя его члены один за другим. Заметим сначала, что при умножении многочлена Многочлены от одного переменного получим многочлен старший член которого равен то есть старшему члену многочлена Отсюда ясно, что либо многочлен

равен нулю, либо его степень меньше, чем степень многочлена Многочлены от одного переменного (при вычитании старшие члены взаимно уничтожаются). Если делится на без остатка. Пусть и пусть старший член многочлена равен Тогда степень многочлена

будет меньше степени многочлена Многочлены от одного переменного Так как степени многочленов являются целыми неотрицательными числами, то на каком-то шагу процесса мы получим многочлен который либо равен нулю, либо имеет степень, меньшую степени Многочлены от одного переменного Тогда из равенств (1), (2) и т. д. получаем:

Положим:

Мы получим, что

причем либо Многочлены от одного переменного либо степень многочлена меньше степени многочлена . Тем самым доказано, что операция деления с остатком на многочлен, не равный тождественно нулю, всегда определена.

Докажем теперь, что эта операция определена однозначно. В самом деле, предположим, что

где степень многочленов Многочлены от одного переменного меньше степени Тогда имеет место равенство

Из него следует, что

Если Многочлены от одного переменного то степень правой части этого равенства не больше, чем степени многочленов а потому меньше, чем степень многочлена . Левая же часть равенства является произведением многочлена Многочлены от одного переменного на многочлен поэтому равенство может иметь место лишь в случае, когда то есть когда Тем самым однозначность операции деления с остатком доказана.

Деление многочленов обычно выполняют по схеме «деления уголком». Ниже приведен пример такого деления.

Здесь частное равно Многочлены от одного переменного а остаток равен

Отметим, что если Многочлены от одного переменного — приведенные многочлены с целыми коэффициентами, то и неполное частное — многочлен того же вида. Это следует из того, что при отыскании частного нам не придется делить на Многочлены от одного переменного (оно равно 1).

Теорема Безу. Схема Горнера

Пусть Многочлены от одного переменного — многочлен n-й степени и b — некоторое число. Разделим многочлен на двучлен (х — b). Так как степень этого двучлена равна единице, то остаток является некоторым числом r. Итак, мы получаем тождество

Чтобы вычислить значение r, подставим в обе части тождества (1) значение х = b. Мы получим, что Многочлены от одного переменного Итак, нами доказана следующая важная теорема.

Теорема Безу:

Остаток от деления многочлена Многочлены от одного переменного на двучлен х — b равен (то есть результату подстановки числа b в многочлен

Примеры:

1) Остаток от деления многочлена

на х + 3 равен

2) Многочлен Многочлены от одного переменного делится без остатка на х — а. В самом деле, Многочлен делится без остатка на х + а. В самом деле,

Деление многочлена

на двучлен х — b удобно выполнять по так называемой схеме Горнера. Обозначим неполное частное при делении Многочлены от одного переменного на х — b через , а остаток — через . Так как то имеем тождество

Раскроем в правой части этого равенства скобки и сравним коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа. Мы получим, что Многочлены от одного переменного и при имеют место соотношения Отсюда следует, что при

Вычисление коэффициентов многочлена Многочлены от одного переменного и остатка записывают в виде следующей таблицы:

Она называется схемой Горнера. В первой строке этой таблицы за писаны коэффициенты многочлена Многочлены от одного переменного . При заполнении второй строки этой таблицы надо записать в первую клетку Если уже заполнено несколько клеток второй строки, то следующая пустая клетка заполняется так: берут стоящее над ней число первой строки и прибавляют к произведению числа b на предыдущий элемент второй строки.

Так как по теореме Безу Многочлены от одного переменного то схема Горнера позволяет находить значения многочлена при х =b. Во многих случаях вычисление по схеме Горнера удобнее, чем непосредственная подстановка b в многочлен Многочлены от одного переменного .

Пример:

Вычислим по схеме Горнера значение Многочлены от одного переменного , где

Значит, Многочлены от одного переменного

Корни многочлена

При различных значениях х многочлен

принимает различные значения. Нас будут интересовать те значения х , при которых многочлен Многочлены от одного переменного обращается в нуль. Эти значения называют корнями многочлена. Итак, число называется корнем многочлена , если Таким образом, понятие корня многочлена (1) равносильно понятию корня уравнения

(Теория таких уравнений будет изложена в главе II.) Следует от метить, что вся теория многочленов (как, впрочем, и почти вся алгебра) развивалась в связи с решением уравнений.

В первую очередь установим связь между корнями многочлена и его линейными делителями, то есть делителями вида х — Многочлены от одного переменного . Ясно, что если многочлен делится без остатка на х — , то а является его корнем. В самом деле, пусть Тогда имеем

и, значит, Многочлены от одного переменного — корень многочлена .

Справедливо и обратное утверждение: если число является корнем многочлена , то этот многочлен делится без остатка на х — Многочлены от одного переменного .

Для доказательства воспользуемся теоремой Везу. По этой теореме остаток от деления Многочлены от одного переменного на x — равен . Поэтому, если — корень многочлена , то остаток r равен нулю:

Итак, задача нахождения корней многочлена равносильна задаче отыскания его линейных делителей.

Покажем теперь, что если — различные корни многочлена то делится на Многочлены от одного переменного В самом деле, так как — корень для то делится без остатка на х — :

Подставим в обе части этого равенства Многочлены от одного переменного Так как — корень многочлена , то получаем но и потому Таким образом, является корнем многочлена , а потому делится без остатка на Многочлены от одного переменного Таким образом,

Это и означает, что Многочлены от одного переменного делится без остатка на

Точно так же доказывается, что если Многочлены от одного переменного — попарно различные корни многочлена делится без остатка на выражение

Докажем теперь следующую теорему.

Теорема:

Если многочлен не является многочленом степени большей n и обращается в нуль при (n + 1) различных значениях х : то этот многочлен является нулевым много членом.

Доказательство:

Допустим, что многочлен Многочлены от одного переменного не является нулевым. Тогда по условию теоремы его степень не больше чем n. Так как числа являются корнями многочлена , то он делится без остатка на произведение Многочлены от одного переменного

откуда видно, что степень многочлена Многочлены от одного переменного не меньше чем n + 1. Полученное противоречие показывает, что многочлен является нулевым многочленом.

Из доказанной теоремы вытекает важное следствие. Возьмем два многочлена Многочлены от одного переменного степень которых не превосходит n, и предположим, что они принимают одинаковые значения при (n+1) значении х. Покажем, что тогда многочлены Многочлены от одного переменного имеют одинаковые степени и коэффициенты.

Для доказательства рассмотрим разность Многочлены от одного переменного данных многочленов. По условию многочлен обращается в нуль при (n + 1) значении х и не является многочленом степени, большей чем п. Поэтому в силу предыдущей теоремы все его коэффициенты равны нулю. А это и означает, что коэффициенты многочленов Многочлены от одного переменного совпадают, а значит, совпадают и их степени.

В частности, получаем следующее утверждение: если два много члена тождественно равны, то есть принимают одинаковые значения при всех значениях х, то они имеют одинаковые степени и коэффициенты при одинаковых степенях х. Иными словами, не может быть двух различных многочленов (в канонической форме!), принимающих одинаковые значения при всех х. Отсюда следует сформулированное ранее утверждение: целое рациональное выражение тождественно равно только одному многочлену. В самом деле, два многочлена, тождественно равные одному и тому же целому рациональному выражению, тождественно равны друг другу, а по этому их коэффициенты при одинаковых степенях х совпадают.

Интерполяционные формулы

Мы доказали, что многочлен степени п однозначно определяется своими значениями в (n + 1) точке. Иными словами, если взять любые (n+1) точку Многочлены от одного переменного

и любые значения Многочлены от одного переменного то существует не более одного многочлена такого, что Естественно возникает вопрос, а существует ли хоть один такой многочлен? Покажем, что такой многочлен всегда существует.

Именно, рассмотрим выражение

Здесь в числитель дроби с коэффициентом Многочлены от одного переменного входят все множители кроме Знаменатель получается из числителя заменой х на

Так как каждый числитель в формуле (1) является произведением n линейных сомножителей, степень многочлена, тождествен но равного Многочлены от одного переменного , не больше, чем n (она может оказаться меньше, чем n, если после раскрытия скобок и приведения подобных членов коэффициент при обратится в нуль).

Покажем, что этот многочлен принимает нужные значения в точках Многочлены от одного переменного В самом деле, пусть Так как множитель входит в числители всех слагаемых, кроме слагаемого с коэффициентом , то все эти слагаемые обратятся в нуль. В слагаемом же с коэффициентом Многочлены от одного переменного числитель дроби совпадет при со знаменателем, и потому дробь равна 1, а само слагаемое равно . Тем самым доказано, что

Формула (1) называется интерполяционной формулой Лагранжа. Существуют другие формы записи интерполяционной формулы. Однако надо иметь в виду, что любая запись интерполяционной формулы приводит к тому же многочлену, что и формула Лагранжа. Ведь мы знаем, что многочлен nй степени однозначно определяется своими значениями в точках Многочлены от одного переменного

Кратные корни

Если Многочлены от одного переменного — корень многочлена делится без остатка на Может случиться, что делится без остатка не только на но и на где k > 1. В этом случае говорят, что Многочлены от одного переменного является кратным корнем много члена . При этом если без остатка делится на но уже не делится без остатка на , то а называют корнем кратности k.

Рассмотрим, например, многочлен

Мы имеем Многочлены от одного переменного Значит, х = 2 является корнем этого много члена.

Деля Многочлены от одного переменного на х — 2, получим многочлен

Снова подставим вместо х значение 2. Мы получим Многочлены от одного переменного Значит, и делится на х — 2 без остатка. Выполняя это деление, получим многочлен х + 3. Так как 2 не является корнем многочлена х + 3, то Многочлены от одного переменного делится на , но не делится на Значит, 2 — корень второй кратности многочлена .

Многочлены второй степени

Применим полученные общие результаты к многочленам второй степени Многочлены от одного переменного Корни этих многочленов выражаются формулой

известной из начальной алгебры.

Обозначим Многочлены от одного переменного через D. Из формулы (1) видно, что если D > 0, то оба корня многочлена действительны и различны. Если D = 0, то эти корни совпадают (так как безразлично, будем мы прибавлять или вычитать нуль)

Наконец, если D<0, то многочлен f(х) не имеет действительных корней.

Рассмотрим случаи, когда многочлен f(x) имеет два действительных корня Многочлены от одного переменного . Тогда по доказанному выше он делится на много член второй степени Частное от деления этих многочленов— некоторое число. Таким образом,

Значение А получим, сравнив коэффициенты при Многочлены от одного переменного Находим А = а. Итак, мы доказали, что если многочлен второй степени имеет действительные корни , то

Разделим обе части этого равенства на а и выполним умножение в правой части равенства. Мы получим, что

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа, получаем:

Итак, мы доказали следующее утверждение: сумма корней квадратного трехчлена Многочлены от одного переменного равна отношению коэффициентов при х и , взятому с обратным знаком, а их произведение равно отношению свободного члена к коэффициенту при .

Формулы (2) называют формулами Виета. Позже мы увидим, что они справедливы и в случае, когда корни многочлена Многочлены от одного переменного — комплексные числа.

Многочлены с целыми коэффициентами

Мы установили не которые общие теоремы о корнях многочленов. Однако до сих пор мы можем искать лишь корни многочленов первой и второй степени — в начальной алгебре изучается, как решать линейные и квадратные уравнения. Позже мы научимся решать некоторые уравнения высших степеней и тем самым находить корни соответствующих многочленов. Но во многих случаях удается найти корни, не прибегая к теории уравнений высших степеней с произвольными коэффициентами или к методам вычислительной математики. Речь идет о случае, когда ищутся целые корни многочленов с целыми коэффициентами. При этом мы ограничимся случаем, когда многочлен f(х) приведен, то есть когда коэффициент при его старшем члене равен единице.

Докажем следующую теорему.

Теорема:

Пусть

— приведенный многочлен п-й степени, все коэффициенты которого — целые числа. Тогда любой рациональный корень этого многочлена — целое число.

Доказательство:

Пусть Многочлены от одного переменного — корень многочлена f(х), причем — несократимая дробь. Тогда имеет место равенство есть

Умножим обе части этого равенства на Многочлены от одного переменного Все члены, кроме первого, окажутся целыми числами, а тогда и должно было бы быть целым числом. Но это не так: поскольку р и q не имеют общих делителей, то их не имеют и Многочлены от одного переменного и q. Значит, многочлен f(x) не может иметь рациональных корней, не являющихся целыми числами.

Перейдем к отысканию целых корней многочлена.

Имеет место следующая

Теорема:

Пусть

— приведенный многочлен с целыми коэффициентами. Любой целый корень а этого многочлена является делителем его свободного члена.

Доказательство:

Пусть Многочлены от одного переменного — целый корень многочлена f(x). Тогда имеет место равенство

Его можно записать так:

Так как Многочлены от одного переменного и — целые числа, то выражение в скобках — целое число. Отсюда и следует, что делится на .

Из теоремы 3 вытекает следующий метод нахождения целых корней приведенного многочлена с целыми коэффициентами: надо выписать все делители свободного члена и по очереди подставить их в многочлен. Те делители, подстановка которых обратит многочлен в нуль, и являются его целыми корнями. Других целых корней этот многочлен не имеет. Для каждого найденного корня надо определить его кратность.

Подстановка делителей свободного члена может оказаться очень утомительным занятием. Чтобы уменьшить число проверяемых корней, полезно воспользоваться следующим обобщением теоремы 3.

Теорема:

Пусть Многочлены от одного переменного — приведенный многочлен с целыми коэффициентами и а — его целый корень. Тогда для любого целого k число f(к) делится на а — k.

Для доказательства воспользуемся теоремой Безу. По этой теореме остаток от деления f(х) на (х — k) равен f(k). Поэтому f(х)= q(х)(х — k) + f(k). В силу замечания на стр. 40, q(х) также является приведенным многочленом с целыми коэффициентами. Подставим в обе части равенства х = Многочлены от одного переменного . Так как — корень многочлена f(x), то и мы получаем: Таким образом,

Так как Многочлены от одного переменного — целое число, то из равенства (1) следует, что f(k) делится на а — k.

В силу доказанной теоремы отбор чисел, подлежащих проверке, надо проводить так. Сначала берут все делители свободного члена. Пусть это будут числа Многочлены от одного переменного После этого вычисляют . Если — корень многочлена f(x), то должно быть делителем Поэтому из чисел выбирают те, для которых ( является делителем Многочлены от одного переменного После этого вычисляют f(—1) и выбирают из оставшихся чисел то, для которых — делитель f(— 1). Если и после этого осталось слишком много «претендентов», то вычисляют f(2) и берут те из oставшихся чисел, для которых Многочлены от одного переменного — делитель f(2) и т. д.

Пример:

Найти целые корни многочлена

Делителями свободного члена являются числа

Мы имеем f (1) =16. Вычитая из чисел (2) единицу, получаем множество чисел 0, —2, 1, —3, 2, —4, 4, —6, 5, —7, 9, — 11 , 14, — 16, 29, —31. Из них лишь числа —2, 1, 2, —4, 4, — 16 являются делителями 16. Поэтому из делителей (2) остаются лишь — 1, 2, 3, —3, 5, — 15. Теперь находим f (— 1) =24; к числам — 1, 2, 3, —3, 5, — 15 прибавляем единицу и получаем 0, 3, 4, —2, 6, — 14. Из этих чисел лишь 3, 4, —2, 6 являются делителями числа 24. Поэтому остается проверить лишь делители свободного члена: 2, 3, —3, 5. Подстановка этих делителей в многочлен f (х) показывает, что его целыми корнями являются числа 2 и —3.

Из теоремы Безу вытекает, что многочлен f (х) делится на (х — 2) (х+ 3). Выполняя деление, получаем, что

Отсюда видно, что оба корня не являются кратными: ни х = 2, ни х = — 3 не обращают в нуль ха — 5.

Краткие исторические сведения

Некоторые задачи, решаемые по сути дела алгебраическими методами, встречаются еще в вавилонских клинописных текстах (примерно 1700 г. до н. э.). В этих текстах изложены правила суммирования прогрессии, нахождения суммы квадратов, решения квадратного уравнения и т. д. Однако все эти правила лишь пояснялись на числовых примерах, но не формулировались в общем виде — не было буквенной символики.

В древней Греции начинается развитие алгебры как теоретической науки. Поскольку у греческих математиков не было общего понятия действительного числа, они развивали геометрическую алгебру. Например, вместо формулы Многочлены от одного переменного говорили, что площадь квадрата, по строенного на отрезке, равном сумме двух отрезков, равна сумме площадей квадратов, построенных на слагаемых отрезках и удвоенной площади прямоугольника, сторонами которого являются эти Отрезки. Выражения вида Многочлены от одного переменного , аbс трактовались как объемы геометрических тел. Лишь к III веку н. э. у Диофанта Александрийского появляются зачатки буквенной символики.

После крушения античной цивилизации центр математической мысли перемещается в арабские государства. Крупнейшим достижением арабов было создание алгебры как самостоятельной ветви математики (само название «алгебра» — арабского происхождения: от аль-джебр — восстановление; так назывался один из методов решения уравнений). Арабские математики установили формулы для разложения Многочлены от одного переменного , для суммы исследовали кубические уравнения и т. д.

В странах, где в это время господствовала христианская церковь, математика почти не развивалась. В некоторых странах математические исследования были запрещены, они рассматривались как попытка возрождения язычества. Указ византийского императора Юстиниана запрещал заниматься математикой под страхом смертной казни. Лишь в отдельных трактатах по богословию и схоластической философии рассматривались некоторые математические вопросы.

Однако потребности практики, развитие промышленности, торговли и мореплавания привели к необходимости возродить науки, и в частности математику. Первоначально европейские ученые ограничивались изучением древнегреческой науки, но потом познакомились с достижениями арабских математиков, и в частности с алгеброй (многие европейские ученые получили образование в арабских университетах).

Как у арабов, так и у первых европейских алгебраистов, не было буквенной символики. Формулы излагались словесно, что затрудняло их чтение, преобразование и использование. Алгебраическая символика начинает развиваться с конца XV века. В это время у немецких алгебраистов появляются знаки + и — . Однако итальянские математики еще долгое время продолжали пользоваться знаками Многочлены от одного переменного — сокращениями латинских слов рlus и minus. Систематическое применение буквенных обозначений в алгебре начинается с работ французского алгебраиста Ф. Виета (1540— 1603). В его работах буквы используются лишь для обозначения положительных чисел, причем показатели степеней обозначаются словами. Вместо скобок Виета писал черту.

Особые обозначения для степеней неизвестных впервые появляются у голландского ученого С. Стевина (1548— 1620) и его ученика француза Жирара (1595— 1633). Они вместо Многочлены от одного переменного писали 3, а если в выражении содержались еще другие буквы, то писали 2 sес, 4ter (от латинских слов secundus — второй, tertius — третий). Жирар впервые ввел скобки.

Символика Виета была усовершенствована английским математиком Т. Гэрриотом, который, однако, еще не применял обозначений для показателей степени, а выписывал все сомножители, входящие в одночлены. Современный вид алгебраических обозначений в основном принадлежит вели кому французскому математику и философу Р. Декарту (1596— 1650).

Приведем некоторые примеры обозначений, применявшихся разными учеными;

Основные свойства арифметических действий, лежащие в основе алгебраических преобразований, были установлены еще в древней Греции (в геометрической форме). Однако полная и последовательная система основ арифметики была построена лишь в XIX веке немецкими математиками Г. Грассманом и Р. Дедекиндом (общепринятая в настоящее время аксиоматика исходит от итальянского математика Д ж . Пеано). Такое построение оказалось необходимым после того, как были открыты величины (векторы, матрицы, кватернионы), правила действий над которыми отличались от правил действий над числами. Например, при изменении порядка сомножителей векторное произведение меняет знак. Д ля каждого типа величин надо было строить свою алгебру (векторная алгебра, матричная алгебра и т. д.). Это усилило интерес к изучению общих свойств алгебраических действий. Были построены теории колец и полей, структур и других алгебраических образований. Благодаря общности полученных в этих теориях результатов, они оказались приложимыми к величинам самых разных видов. В настоящее время изучение общих свойств алгебраических операций занимает важное место в алгебраической науке. Большой вклад в общую алгебру внесли советские математики О. Ю. Шмидт, А. Г. Курош, А. И. Мальцев и другие.

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике: