Метод координат в математике с примерами решения и образцами выполнения

Оглавление:

Метод координат — способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов (например, положение шахматных фигур на доске определяется с помощью чисел и букв). Числа (символы), определяющие положение точки (тела) на прямой, плоскости, в пространстве, на поверхности и так далее, называются её координатами.

Предмет геометрии

Предметом аналитической геометрии служит изучение свойств геометрических образов (линий, фигур, тел, поверхностей и т. п.) с помощью особого метода, называемого методом координат. При этом широко используется алгебра.

В элементарной геометрии также прибегают иногда к методам алгебры, например, при определении площади треугольника по трем сторонам или при вычислении стороны вписанного в окружность правильного многоугольника и т. п. Однако область приложения методов алгебры к геометрии стала наиболее широкой со времени введения метода координат, который позволил изучать не только форму и размеры геометрических образов, но и их положение на плоскости и в пространстве.

Аналитическая геометрия состоит из двух частей. Первая часть — аналитическая геометрия на плоскости, вторая часть — аналитическая геометрия в пространстве.

Здесь мы дадим элементарное изложение только аналитической геометрии на плоскости.

Декартова прямоугольная система координат на плоскости

Возьмем на плоскости две взаимно перпендикулярные прямые Ох и Оу (рис. 1) и произвольную точку М. Опустим из нее перпендикуляры МN и МР на Оу и Ох. Выбрав какую-нибудь единицу масштаба и измерив ею отрезки NМ и РМ, получим числа: Метод координат

Эти числа х и у, определяющие положение точки М по отношению к заданным прямым Оу и Ох, называются координатами точки М. Их обычно записывают в скобках рядом с обозначением точки: М(х; у), причем сначала выписывают координату х, а потом координату у.

Пусть, например, Метод координат единице выбранного масштаба, а единицам того же масштаба. Тогда говорят, что точка М имеет координаты М( 1; 2).

Возникает, однако, вопрос, нет ли на плоскости еще точек, имеющих те же координаты, что и точка М. На рис. 2 показано, что каждая из точек М, М1, М2 и М3 удалена на 1 единицу масштаба от прямой Оу и на 2 единицы масштаба от прямой Ох. Получается неопределенность: четыре точки имеют одинаковые координаты (1; 2). Чтобы устранить этот недостаток, уточним определение прямоугольных координат точек на плоскости.

Координатой х точки М называется число, измеряющее расстояние точки М от прямой Оу и взятое со знаком + если М удалена вправо от Оу, и со знаком — , если М удалена влево от Оу.

Координатой у точки М называется число, измеряющее расстояние точки М от прямой Ох и взятое со знаком если М удалена вверх от Ох, и со знаком — , если М удалена вниз от Ох.

Теперь точки М, М1, М2 и М3 на рис. 2 имеют уже различные и вполне определенные координаты: М( 1; 2), М1(— 1; 2), М2(— 1; —2), М3(1; —2).

Таким образом, чтобы определить положение любой точки на плоскости координатами х и у, нужно задать:

1) две взаимно перпендикулярные прямые Ох и Оу, называемые осями координат, точку О пересечения которых принято называть началом координат;

2) единицу масштаба;

3) направление на каждой из осей координат, принимаемое за положительное (на рисеже принятое положительное направление на осях отмечается стрелками).

Все эти данные называются декартовой системой прямоугольных координат на плоскости |по имени французского математика Декарта (1596—1650)—создателя аналитической геометрии).

Координату х называют абсциссой, а координату у — ординатой.

Как выше показано, в декартовой системе прямоугольных координат на плоскости каждой точке плоскости соответствует пара действительных чисел х и у (ее координат), определяющих положение точки на плоскости, и наоборот, каждой паре действительных чисел х и у соответствует одна точка плоскости. Вследствие указанного соответствия между точками и координатами этих точек принято говорить: «дана точка М(а; b)» вместо «даны координаты точки М», «найти точку М(х; у)» вместо «найти координаты точки М».

Расстояние между двумя точками

Пусть даны дне точки А(х1;у1) и В(х2; у2) (рис. 3); требуется найти расстояние между ними.

Опустим из А и В перпендикуляры АА1 и ВВ1 на ось Ох и проведем Метод координат . Из по теореме Пифагора найдем:

Но, как видно из рисежа,

Подставив значение АС и СВ из равенств (2) в выражение (1)

и обозначив АВ через d, получим:

Можно показать, что формула (3) верна для любого положения точек А и В на плоскости. Пусть, например, точки А и В расположены, как указано на рисеже 4, тогда по-прежнему напишем равенство (1), в котором

Так как АС и СВ, как длины сторон треугольника, положительны, то и слагаемые правых частей равенств (4) должны быть положительными. Но координаты точки А

следовательно,

Отрезки же

Итак,

После замены АС и СВ в равенстве (1) их (значениями получим ту же формулу (3).

Пример:

Найти расстояние между точками А(—3; 5) и В( 1; 2).

Решение:

По условию х1 = — 3, у1 = 5, х2 = 1, у2 = 2. Подставив эти координаты в формулу (3), получим:

Решим тот же пример графически. Для этого построим данные точки А и В (рис. 5) и, измерив отрезок АВ, найдем АВ = 5.

Если одной из точек будет начало координат 0(0; 0), а другой М (х ; у), то формула (3) примет вид

Деление отрезка в данном отношении

Пусть даны точки А(х1; у1) и В(х2; у2) (рис. 6). Требуется найти точку М(х; у), делящую отрезок АВ в отношении:

Опустим из точек А, М и В перпендикуляры АА1, ММ1 и ВВ1 на ось Ох и проведем прямые Метод координат и Из подобия треугольников АМС и МВО найдем:

*) Отношение Метод координат имеет положительное значение, так как

точка М находится внутри отрезка АВ. В случае, если точка М
расположена на продолжении отрезка АВ, величина Метод координат имеет

отрицательное значение

Подставив (2) в (1) получим:

Для краткости положим Метод координат Тогда из равенств (3) получим два уравнения:

Решив уравнения (4) и (5) относительно х и у, получим:

Формулы (6) служат для определения координат точки М(х; у), делящей отрезок между точками А(х1 ; у1) и В(х2; у2) в отношении Метод координат

Можно показать, что формулы (6) справедливы для любого положения точек А и В на плоскости.

В частном случае, при делении отрезка АВ пополам, т. е. в отношении 1:1, получим Метод координат , и поэтому

Если в формулах (6) заменить Метод координат отношением , то получим:

Формулы (8) часто применяются в механике для определения положения центра тяжести однородного тела или отыскания центра параллельных сил.

Пример:

Даны точки А (7; 4) и В(10; — 2). Точка М делит отрезок АВ в отношении АМ : МВ=0,2. Найти точку М.

Решение:

По условию х1 = 7, у1 = 4, х2= 10, у2 = — 2, Метод координат = 0,2. Подставив эти данные в формулы (6), получим:

Итак, искомая точка будет М(7,5; 3).

Решим тот же пример графически. Для этого построим точки А и В (рис. 7) и разделим отрезок АВ на шесть равных частей. Отложив одну такую часть от точки А, получим точку М, которая и разделит АВ в отношении 1 : 5 = 0,2. Измерив отрезки ОР и РМ, найдем координаты точки М:

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике: