Квадратные и кубические корни в математике с примерами решения и образцами выполнения

Квадратный корень  — это такое число, квадрат которого (результат умножения на себя) равен , то есть решение уравнения относительно переменной . Часто под этим понятием подразумевают более узкое — т. н. арифметический квадратный корень — неотрицательное число.

Кубический корень — это число x, куб которого равен a. Другими словами, это решение уравнения x³=a (обычно подразумеваются вещественные решения).

Корни (арифметические)

Определения:

Число, квадрат которого равен а, называется квадратным корнем из числа и обозначается . Так, например,; в самом деле, .

Число, куб которого равен , называется кубическим корнем из числа и обозначается . Так, например, , так как .

Вообще число, -я степень которого равна , назы­вается корнем степени из числа и обозначает . Например, , так как . Если , то показатель при корне писать не принято.

Нахождение корня некоторой степени из данного числа называется извлечением корня. Конечно, не из всякого числа можно извлечь корень данной сте­пени в точности. Если нам не удается сделать это точно, то всегда можно сделать приближенно.

Пример:

Требуется начертить квадрат, площадь которого равнялась бы ; какова должна быть в милли­метрах длина его стороны?

Дело сводится, очевидно, к решению уравнения , т. е. к извлечению корня квадратного из . Мы не найдем целого числа, квадрат которого равнялся бы ; но легко убедиться, что квадрат числа меньше, чем , а квадрат числа больше, чем ; точно так же квадрат числа меньше, чем , а квадрат числа больше, чем . Отсюда можно заключить, что искомый корень нашего уравнения заключен между и . Он нами вычислен приближенно («с точностью до единицы»). Итак, чтобы начертить квадрат площадью в , нужно взять сторону его чуть большей .

Предположим, что точность, доставляемая неравенством , нас бы не удовлетворяла. Тогда можно было бы перейти хотя бы к десятичным дробям и найти число десятых, содержащихся в искомом числе. Было бы нетрудно установить, что среди чисел все до числа включительно имеют квадраты, мень­шие, чем , тогда как два последних имеют ква­драты, большие, чем . Отсюда мы заключили бы, что . И так можно было бы продолжать дальше.

Знак корня иначе называется радикалом.

Извлечение корней непосредственно н с помощью таблиц

При решении множества самых разнообразных за­дач приходится извлекать квадратные корни из чисел; довольно часто нужно бывает извлекать и кубические корни.

Иногда удается извлечь корень точно, и притом не прибегая ни к каким особым приемам. Так, напри­мер, непосредственно ясно, что:

Однако на каждом шагу мы встречаемся и с та­кими случаями, когда точное извлечение корня не­ возможно. Тогда, с практической точки зрения, со­вершенно достаточно найти приближенное значе­ние корня. Обыкновенно значение корня записывают в виде десятичной дроби, ограничиваясь тем или иным числом десятичных знаков после запятой.

Нахождение этих десятичных знаков стоит неко­торого труда. Пусть требуется вычислить приближенно : ото равносильно решению уравнения .

Легко понять, что искомое число , которое мы обоз­начаем через , должно быть больше единицы, но мень­ше (так как , но ). Уже отсюда ясно, что слева от запятой стоит одна цифра . Чтобы установить следующую цифру, подвергаем испытанию число . Так как , то число десятых должно быть не меньше, чем . Попробуем взять число : мы видим, что , и потому интересующая нас цифра не меньше, чем . Испытывая число , убеждаемся, что , и, значит, цифра уже слишком велика. Итак, наверное, первая цифра после запятой есть . Чтобы определить вторую цифру, возьмем хотя бы число : так как , то мы взяли слишком много. Подставив в уравнение , по­ лучим : это — недостаточно. Дальше, : тоже мало. Но — уже больше, чем нужно. Теперь нет сомнения в том, что вторая цифра после запятой есть . Можно сказать, что искомый корень приближенно, с точностью до одной сотой, равен Если нужна большая точность, то таким же методом, с помощью дальней­ших «проб», найдем и третий десятичный знак после запятой.

То же можно сказать и о вычислении корней ку­бических. Желая, например, определить приближенное значение , т. е. найти приближенное решение урав­нения , мы в результате «проб» (затратив порядочно времени) придем к заключению, что , но ; отсюда следует, что приближенно равняется причем можно ручаться за правильность всех выписан­ных цифр.

Более усовершенствованный прием извлечения корня (квад­ратного) указывается в основном курсе алгебры. С другой стороны, в особенности, если надо извлечь целый ряд корней, естественно прибегнуть к готовым таблицам. Существуют таблицы корней с четырьмя, пятью, десятью и большим числом десятичных знаков.
Можно себе представить, какой громадный труд был вложен при составлении этих таблиц, иногда издаваемых в виде отдельных книжек.

Для целей курса начальной алгебры достаточны трехзначные таблицы, внимающие гораздо меньше места. Такие таблицы при­ ведены в конце этой книги.

Следует заметить, что они составлены посредством округле­ния до ближайшей тысячной тех данных, которые содержатся в более подробных таблицах. Поэтому погрешность, возникающая при заимствовании числового значения корня из таблиц этой книги, не может превысить половины тысячной, т. е. .

Понятие об алгебраических корнях

Извлекая корень квадратный из какого-нибудь числа, например , мы ставим себе задачу — решить уравне­ние , т. е. найти все числа, квадрат которых равен . Решение существует: уравнение имеет корень . Но этот корень — не единственный: противоположное по знаку число также удовлетворяет требованию: .

Можно было бы рассуждать иначе: придав уравне­нию вид , или , и принимая во внимание, что произведение может рав­няться нулю только в том случае, если один из мно­жителей равен нулю, мы видим, что неизвестное или равно , или — третьего корня нет.

Таким же образом, всякое положительное число имеет два корня квадратных: один корень — положи­тельный, другой — противоположный по знаку, отри­цательный. Пишут иногда: , и т. п.

Положительное значение корня квадратного назы­вается арифметическим (или значением корня в арифметическом смысле).

Напротив, если хотят рассматривать оба значения квадратного корня из положительного числа, то гово­рят об алгебраических значениях корня (или о значениях корня в алгебраическом смысле).

Из отрицательного числа квадратный корень извлечь нельзя; действительно, квадрат никакого числа не может быть отрицательным. Дру­гими словами, отрицательные числа квадратных корней не имеют.

Что касается нуля, то легко понять, что корень квадратный из существует только один: .

В таблицах ради краткости указываются только арифметические (т. е. положительные) значения корней.

Полезно уяснить себе геометрическую сторону дела, добавляя к графику уравнения (см. упр. 230, пункт 699) те точки, которые соответствуют отрица­тельным значениям радикалов.

Предыдущие замечания относятся только к корням квадратным, но не кубическим. Так как куб всякого положительного числа есть число положительное, а куб всякого-отрицательного числа — число отрицательное, то и обратно: корень кубический из положительного числа имеет лишь одно значение — положительное, а корень кубический из отрицательного числа — лишь одно значение, отрицательное.

Например: , , поэтому , .

К тому же результату приводит иное рассуждение. Уравне­нию можно придать вид , или .

Второй множитель не может равняться нулю, так как при любом значении и значит, должен быть равен нулю первый множитель, что дает .

Глядя на график уравнения кубической параболы сов­сем не трудно «прочесть» ответ на вопрос: сколько существует корней кубических из данного, положительного или отрицатель­ного, числа.

Нахождение промежуточных значений по таблице

Указание. Написав уравнение прямой линии в форме , следует подобрать коэффициенты и таким образом, чтобы уравнению удовлетво­ряли координаты точек и . Затем, подставив в уравнение найденные значения и , останется только вычислить значения при х = 6.

Как ни просто указанное решение этой задачи, при необходимости решать большое число задач подобного содержания удобнее рассуждать несколько иначе. Именно, достаточно прибегнуть к составлению про­ порции. Из чертежа видно, что в треугольниках и катеты и пропорциональны катетам и : .

В этой пропорции известны все члены, кроме первого; в самом деле:

Поэтому пропорция принимает вид и отсюда следует: , .

Короче: если на единиц «приращения абсциссы » () приходится единицы «приращения ординаты» (), то на единицы «приращения абсциссы » () придется — , т. е. «приращения ординаты» (); итого, искомая ордината равна «начальной» () плюс «приращение» (): .

При нахождении корня квадратного или кубиче­ского из числа, которое отсутствует в таблице, но заключено между двумя числами, имеющимися в таб­лице, приходится решать подобные же задачи. Правда, таблица составлена не для линейной зависимости, и, следовательно, график ее — не прямая линия; тем не менее на очень маленьком протяжении (между точками, абсциссы которых равны последовательно взятым числам таблицы) кривую приближенно можно заменить прямой линией и зависимость между и считать линейной.

Пример:

В таблице находим:

При увеличении числа па корень из него увеличивается на . Отсюда следует, что при увеличе­нии числа на корень увеличивается на ; а при увеличении на корень должен увеличиться на . Итак, можно считать, что равняется .

Пример:

В таблице находим:

Запишем кратко приращения: (округлено в тысячных)

Итак, равняется , т. е. .

Полезно постепенно научиться проделывать подоб­ного рода вычисления в уме.

Употребление таблиц при решении простейших геометрических задач

Примечание:

Пользуясь в дальнейшем табли­цами корней квадратных и кубических, следует округ­лять данные и результаты до трех значащих цифр.

Приближенное определение корней уравнения

Пусть дано уравнение второй степени (квадратное уравнение) .

Пробуя разыскать его решение непосредственными подстановками, мы замечаем, что его левая часть (ко­торую мы обозначим через ) при значениях , равных , принимает отрицательные значения, но при значениях принимает значения положительные

Соответствующий график намечен на черт. 56.

Возникает мысль, что при переходе от точки к точке кривая должна в какой-то точке, абс­цисса которой заключена между и , пересечь ось ; другими словами, величина должна принять значение , т. е. уравнение должно иметь корень в промежутке . Более точно этот корень можно вычислить уже знакомыми нам приемами. Подставляя хотя бы значение , мы убеждаемся, что при этом значе­нии величина принимает уже положительное значе­ние ; отсюда можно заключить, что перемена знака совершается в промежутке, более тесном . Подставляя , получаем , и промежуток снова стеснился: . Наконец, подстановка дает: ; итак, иско­мый корень уравнения находится в промежутке . Таким образом, значение корня уже известно с точностью до одной десятой. Так называется это уравнение потому, что в нем отсутствует член первой степени.

Подставляя дальше промежуточные значения , за­ключенные между и , мы сможем вычислить корень с точностью до одной сотой и т. д.

Применение радикалов к решению квадратных уравнений с числовыми коэффициентами

Рассмотрим неполное квадратное уравнение и постараемся найти все его корни. Сделать это очень легко, если преобразовать левую часть по формуле «разность квадратов» : .

Дальше придется сказать: «Произведение равняется нулю в том, и только в том случае, если один из множителей равен нулю». В данном примере может быть одно из двух: или , или .

Но в первом случае , во вторам .

Итак, наше уравнение имеет точно два корня: и .

Если бы было дано квадратное уравнение , то в предыдущем рассуждении изменялось бы немно­гое: нужно было бы принять во внимание, что , и тогда мы получили бы . Отсюда можно было бы заключить о существовании двух корней уравнения, а именно, и .

Рассмотрим теперь полное квадратное уравнение, например,

Его решение не представит труда, если удастся разложить на линейные множители левую часть. Для разложения трехчлена второй степени на линейные множители существует замечательный прием, который носит название «выделение квадрата».

В формуле «квадрат суммы» положим , , и тогда получим .

Последнее выражение только свободным членом отличается от левой части данного уравнения . Если добавим свободный член , то, чтобы тождество не было нарушено, придется одновременно отнять: .

Итак, наш трехчлен принимает вид ,
или . Теперь уже ничего не стоит разложить трехчлен на множители:

После того уравнение можно переписать в сле­дующей форме , и прежнее рассуждение приводит к заключению, что данное уравнение имеет два корня: и .

Обращаясь к таблицам, видим, что эти корни при­ближенно равны и .

Если коэффициент при старшем члене в данном трехчлене неравен единице единице, то лучше всего при разложении трехчлена на множители сразу выносить его за скобки. Например, .

Но .

Значит,

Некоторые действия с радикалами

Выполняя те или иные действия над радикалами, необходимо прежде всего помнить, что согласно смыслу радикала имеют место тождества или ,

Предполагая числа и положительными, а все входящие корни считая арифметическими, установим справедливость следующих формул (I—IV):

Чтобы убедиться в справедливости paвенств (I), посмотрим, каковы квадраты выражений , .

Мы получаем:

Оказывается, что положительные числа и имеют одинаковые квадраты, именно, . Значит, они оба являются корнями квадратными из числа .

Но так как каждое положительное число имеет только один положительный квадратный корень, то отсюда следует, что рассматриваемые числа не могут быть различными. Таким же образом устанавливается спра­ведливость равенства (П).

Что касается равенств (III) и (IV), то для их дока­зательства нужно, конечно, сравнить между собой не квадраты, а кубы правой н левой частей, ссылаясь на то, что каждое положительное число имеет только один кубический корень.

Упомянутые свойства не являются для нас новыми. Нам уже известно, что если и , то . В частности, полагая равным и равным , мы получим первое из свойств. Полагая равным и равным , получим второе.

При решении уравнений, содержащих радикалы, необходимо делать проверку.

Решение заданий и задач по предметам:

• Математика
• Высшая математика
• Математический анализ
• Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
2. Функции и графики
3. Преобразования графиков функций
4. Квадратная функция и её графики
5. Алгебраические неравенства
6. Неравенства
7. Неравенства с переменными
8. Прогрессии в математике
9. Арифметическая прогрессия
10. Геометрическая прогрессия
11. Показатели в математике
12. Логарифмы в математике
13. Исследование уравнений
14. Уравнения высших степеней
15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
16. Комплексные числа
17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
18. Алгебраические уравнения
19. Неопределенные уравнения
20. Соединения
21. Бином Ньютона
22. Число е
23. Непрерывные дроби
24. Функция
25. Исследование функций
26. Предел
27. Интеграл
28. Двойной интеграл
29. Тройной интеграл
30. Интегрирование
31. Неопределённый интеграл
32. Определенный интеграл
33. Криволинейные интегралы
34. Поверхностные интегралы
35. Несобственные интегралы
36. Кратные интегралы
37. Интегралы, зависящие от параметра
38. Квадратный трехчлен
39. Производная
40. Применение производной к исследованию функций
41. Приложения производной
42. Дифференциал функции
43. Дифференцирование в математике
44. Формулы и правила дифференцирования
45. Дифференциальное исчисление
46. Дифференциальные уравнения
47. Дифференциальные уравнения первого порядка
48. Дифференциальные уравнения высших порядков
49. Дифференциальные уравнения в частных производных
50. Тригонометрические функции
51. Тригонометрические уравнения и неравенства
52. Показательная функция
53. Показательные уравнения
54. Обобщенная степень
55. Взаимно обратные функции
56. Логарифмическая функция
57. Уравнения и неравенства
58. Положительные и отрицательные числа
59. Алгебраические выражения
60. Иррациональные алгебраические выражения
61. Преобразование алгебраических выражений
62. Преобразование дробных алгебраических выражений
63. Разложение многочленов на множители
64. Многочлены от одного переменного
65. Алгебраические дроби
66. Пропорции
67. Уравнения
68. Системы уравнений
69. Системы уравнений высших степеней
70. Системы алгебраических уравнений
71. Системы линейных уравнений
72. Системы дифференциальных уравнений
73. Арифметический квадратный корень
74. Извлечение квадратного корня
75. Рациональные числа
76. Иррациональные числа
77. Арифметический корень
78. Квадратные уравнения
79. Иррациональные уравнения
80. Последовательность
81. Ряды сходящиеся и расходящиеся
82. Тригонометрические функции произвольного угла
83. Тригонометрические формулы
84. Обратные тригонометрические функции
85. Теорема Безу
86. Математическая индукция
87. Показатель степени
88. Показательные функции и логарифмы
89. Множество
90. Множество действительных чисел
91. Числовые множества
92. Преобразование рациональных выражений
93. Преобразование иррациональных выражений
94. Геометрия
95. Действительные числа
96. Степени и корни
97. Степень с рациональным показателем
98. Тригонометрические функции угла
99. Тригонометрические функции числового аргумента
100. Тригонометрические выражения и их преобразования
101. Преобразование тригонометрических выражений
102. Комбинаторика
103. Вычислительная математика
104. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
105. Прямая и плоскость
106. Линии и уравнения
107. Прямая линия
108. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
109. Кривые второго порядка
110. Кривые и поверхности второго порядка
111. Числовые ряды
112. Степенные ряды
113. Ряды Фурье
114. Преобразование Фурье
115. Функциональные ряды
116. Функции многих переменных
117. Метод координат
118. Гармонический анализ
119. Вещественные числа
120. Предел последовательности
121. Аналитическая геометрия
122. Аналитическая геометрия на плоскости
123. Аналитическая геометрия в пространстве
124. Функции одной переменной
125. Высшая алгебра
126. Векторная алгебра
127. Векторный анализ
128. Векторы
129. Скалярное произведение векторов
130. Векторное произведение векторов
131. Смешанное произведение векторов
132. Операции над векторами
133. Непрерывность функций
134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
135. Предел и непрерывность функции одной переменной
136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
139. Матрицы
140. Линейные и евклидовы пространства
141. Линейные отображения
142. Дифференциальные теоремы о среднем
143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
144. Функции комплексного переменного
145. Преобразование Лапласа
146. Теории поля
147. Операционное исчисление
148. Системы координат
149. Рациональная функция
150. Интегральное исчисление
151. Интегральное исчисление функций одной переменной
152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
153. Отношение в математике
154. Математическая логика
155. Графы в математике
156. Линейные пространства
157. Первообразная и неопределенный интеграл
158. Линейная функция
159. Выпуклые множества точек
160. Система координат