Курсовая работа на тему: графики функций

Оглавление:

При построении графиков функций, задаваемых явными формулами, то есть в виде , рекомендуется прежде всего потратить время на то, чтобы сначала упростить выражение, определяющее функцию. Затем выделить цепочку элементарных операций с графиками, позволяющую упростить построение: сдвиг вдоль одной из осей, растяжение или сжатие, взятие модуля и так далее.

К таким элементарным операциям относятся:

1) сдвиг вдоль вертикальной оси (вверх при , вниз при );

2) сдвиг вдоль оси абсцисс (влево при , вправо при );

3) сжатие вдоль оси ординат , растяжение при (при — дополнительно меняется направление оси ординат);

4) сжатие вдоль оси абсцисс , растяжение при (при — дополнительно меняется направление оси абсцисс).

Упр. 1. Ниже изображены графики двух функций: и . Определите в обоих случаях значения параметров .

Упр. 2. Постройте график функции:

План полного исследования функции.

При исследовании функции следует постараться ответить на следующие вопросы.

1°. ОДЗ функции ().

2°. Множество значений (). Заметим, что весьма часто множество определяется в последнюю очередь, то есть после того, как указаны экстремумы функции и ее асимптоты.

3°. Является ли функция четной () или нечетной (), или не обладает симметрией (свойством четности-нечетности)?

4°. Является ли функция периодической? Если да, то каков ее период?

5°. Найти нули функции, то есть корни уравнения .

6°. Найти производную .

7°. Найти стационарные (критические) точки функции , то есть нули ее производной ().

8°. Определить участки монотонности, то есть участки возрастания и убывания функции. Для этого на вещественной прямой отмечаются критические точки и точки разрыва производной, после чего выясняются знаки производной на полученных интервалах.

9°. Указать экстремумы, то есть максимумы и минимумы.

10°. Найти асимптоты функции:

a) вертикальные асимптоты. Они появляются, если функция стремится к бесконечности при приближении к точке разрыва или к точке, являющейся границей области определения;

b) горизонтальные асимптоты. Определяются поведением функции при и ; появляются, если при этом функция стремится к постоянной;

c) наклонные асимптоты, то есть асимптоты вида . Необходимым условием наличия наклонной асимптоты является существование предела . Этот предел и является коэффициентом . Параметр определяется соотношением . Таким образом,

11°. Вычислить вторую производную.

12°. Найти точки перегиба и участки выпуклости и вогнутости.

Замечание. Разумеется, не обязательно выдерживать указанную программу полностью, тем более что во многих ситуациях построение упрощается после удачного и аккуратного преобразования формулы, определяющей исследуемую функцию, к виду, позволяющему использовать уже известные свойства элементарных функций.

Пример 1.

Построить график функции .

Решение.

1°. .

2°. определится позже. Заметим, что, во всяком случае, .

3°. График функции не обладает симметрией (функция не обладает свойством четности или свойством нечетности).

4°. Функция не является периодической. Действительно, в противном случае значение , которое функция принимает в точке 0, должно было бы повторяться.

5°. .

6°. .

7°. или .

8°. .

9°. является минимумом, а — максимумом. Находим значения: .

10°. .

Асимптота только одна (горизонтальная): при график приближается к прямой .

Характер поведения функции понятен, однако для уточнения формы графика полезно более точно найти участки выпуклости и вогнутости.

Зачастую это отнимает много времени, поскольку вторая производная не всегда имеет «хороший вид». Но в данном случае найти ее несложно.

11°. .

12°. .

Следовательно, на участках и функция выпукла. На участке — вогнута.

Подсчитав значения дополнительно в нескольких точках, рисуем график.

Графики тригонометрических функций.

План исследования тригонометрических функций не отличается от обычного, стоит лишь заметить, что тригонометрические функции, как правило, являются периодическими. Кроме обычной четности-нечетности зачастую тригонометрические функции обладают дополнительными свойствами:

, — в этом случае мы будем говорить, что -четна, — или — -нечетна.

Пример 2.

Построить график функции .

Решение. . определится позже. Функция четна, поскольку — четная функция. Функция периодическая с периодом . Если определить , то .

Заметим теперь, что график достаточно построить на промежутке . В силу четности функции его можно отразить симметрично относительно оси ординат на интервал , а затем по периодичности продолжить на всю прямую. Таким образом, для построения схемы графика достаточно определить значения в точках . Имеем:

Наконец выясняем, что . Характер поведения функции таким образом ясен. Подсчитав значения дополнительно в нескольких точках, можно уточнить форму графика.

Асимптот у графика нет. Выпуклость определите самостоятельно.

Выше мы уже говорили об асимптотах. Вернемся к этой теме еще раз.

Вертикальные асимптоты.

Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если существует последовательность , стремящаяся к такая, что .

Если стремится к бесконечности при приближении к только с одной стороны, то асимптота называется односторонней.

Асимптота называется нечетной или простой, если стремится к бесконечности некоторого знака при приближении к с одной стороны и меняет знак, стремясь к бесконечности, при приближении к с другой стороны.

Асимптота называется четной, если стремится к бесконечности некоторого знака при приближении к с каждой стороны.

Пример 3.

Прямая является для функции простой асимптотой, а для функции четной.

Пример 4.

Ниже изображены графики трех функций. Везде прямая является асимптотой, причем в третьем случае она является односторонней (правосторонней) асимптотой.

Пример 5.

Найти асимптоты графика функции .

Решение, — вертикальная (правосторонняя) асимптота, — двусторонняя вертикальная асимптота. Наклонных (в частности, горизонтальных) асимптот нет.

Асимптотические кривые.

Кривая называется правой асимптотой графика функции , если при . Аналогично определяется левая асимптота. Если кривая является правой или левой асимптотой (или одновременно и левой и правой), то она называется просто асимптотой или асимптотической кривой. Заметим, что если является асимптотой для , то и наоборот, является асимптотой для . Таким образом, и — взаимно асимптотические кривые.

Наклонные и горизонтальные асимптоты.

Чаще всего в качестве асимптотических кривых рассматривают прямые . При этом, если , то асимптоты называют горизонтальными. В общем случае их называют наклонными. В дальнейшем мы тоже, как правило, будем этим ограничиваться.

Необходимым условием того, что прямая есть правая наклонная асимптота графика , является равенство

которое подразумевает, естественно, что указанный предел существует. Достаточным условием является существование и второго предела:

Пример 6.

Ниже изображены графики трех функций. У первой из них асимптотой является парабола и другой асимптотой (вертикальной) прямая . У второй есть правая асимптота (наклонная): . У третьей две разные наклонные асимптоты: (правая) и (левая).

Построение графиков дробно-рациональных функций. Напомним, что дробно-рациональной функцией называется функция вида , где , . Мы при этом предполагаем, что дробь несократима, то есть числитель и знаменатель не имеют общих корней.

При построении графиков таких функций мы рекомендуем следующий алгоритм.

Шаг 1. Если степень числителя больше или равна степени знаменателя, то следует привести дробь к стандартному виду, выделив целую часть и правильную дробь. Это можно сделать, разделив многочлен на многочлен «уголком».

Например, . Целая часть этого разложения и является асимптотической кривой . В нашем примере это прямая , которая будет наклонной асимптотой.

Шаг 2. Обозначим числитель получившейся правильной дроби через , а саму правильную дробь через . Пусть — некоторый корень знаменателя кратности . Тогда является асимптотой той же четности, что и число .

Обозначим через многочлен, стоящий в знаменателе, но без множителя и найдем число . Тогда вблизи изоклины будет справедливо соотношение при .

Шаг 3. Находим корни функции и на асимптотической кривой отмечаем точки, абсциссы которых совпадают с этими корнями. Используя то, что график функции пересекает асимптотическую кривую только в этих точках, строим эскиз графика.

Упр. 3. На рисунке изображены графики трех дробно-рациональных функций, представленных в стандартном виде. Пунктиром выделены асимптотические кривые и вертикальные асимптоты. Укажите тип этих асимптот и точки пересечения графика с асимптотической кривой.

Разумеется, находить наклонные асимптоты можно и другим путем — используя пределы для нахождения постоянных и .

Пример 7.

Найти асимптоты графика функции .

Решение. Вертикальные асимптоты определяются уравнениями и (нули знаменателя), поскольку при этих значениях числитель не равен нулю.

Чтобы найти наклонные асимптоты, следует рассмотреть предел отношения

После этого рассматриваем предел разности

Таким образом, наклонные асимптоты — прямые, задающиеся уравнением .

Иррациональные особенности.

В этом коротком параграфе мы должны договориться об областях определения.

Функция определена при всех (кроме нуля при ), если — целое или рациональная дробь вида , где — нечетное, а — четное целое число. В последнем случае принято записывать во избежание неприятностей, связанных с равенством .