Оглавление:
Напомним, что окрестностью точки называется любой интервал (
), содержащий точку
, или любое множество, содержащее такой интервал. Точка
множества
называется внутренней, если существует окрестность этой точки, целиком содержащаяся в
.
Точка называется граничной, если любая окрестность этой точки содержит как точки множества
, так и точки его дополнения.
Будем говорить, что некоторое свойство выполняется вблизи точки, если существует окрестность этой точки, в которой выполнено это свойство.
Монотонность.
Функция , определенная на множестве
, называется возрастающей на этом множестве, если из того, что
следует, что
. Если последнее неравенство строгое для всех пар точек из
, связанных условием
, то функция называется строго возрастающей. Аналогично определяется убывающая и строго убывающая на
функция. В обоих случаях мы говорим о монотонной или строго монотонной на
функции.
Пример 1.
Функции и
монотонны на промежутке
. При этом первая возрастает на этом промежутке, а вторая — убывает. Функция
монотонна (строго убывает) на каждом из лучей:
и
, но не является монотонной на всей области определения.
Геометрический смысл производной дает основания предполагать, что если производная функции в некоторой точке
положительна, то существует окрестность точки
, внутри которой функция возрастает. Однако, как показывает следующий пример, в общем случае это неверно.

Пример 2.
Пусть при
,
(см. рисунок справа).

В то же время .
Нетрудно заметить, что производная вблизи нуля принимает как положительные, так и отрицательные значения и, следовательно, функция не может постоянно возрастать ни на каком интервале, содержащем 0.
Тем не менее в некотором, более слабом смысле, возрастание все же есть.
Лемма о возрастании в точке.
Пусть функция определена на некотором интервале, содержащем точку
, дифференцируема в точке
и в этой точке производная положительна, то есть
. Тогда существует окрестность
этой точки такая, что:

Чтобы получить возрастание на промежутке, нужны более сильные условия.
Теорема о монотонности на интервале. Пусть функция определена на интервале
, причем в каждой точке интервала
производная существует и положительна. Тогда функция строго возрастает на
.
Оценить изменение функции на заданном отрезке можно с помощью формулы конечных приращений, которая является результатом следующего важного утверждения.

Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна на отрезке
и дифференцируема на интервале
, то в этом интервале найдется точка
, такая что

Пример 3.
Оценить число , считая, что
.
Решение:
Производная функции равна
. Используя формулу конечных приращений при
, получим
, где
. Таким образом,
. С другой стороны,
. Следовательно,
.
Пример 4.
Используя, что , оценить с помощью теоремы Лагранжа число
.
Решение:
Используем вновь формулу конечных приращений, считая, что
. Поскольку
. Следовательно,

«Настоящее» значение числа приблизительно равно 0, 588.
Пример 5.
Доказать, что при выполняются неравенства

Решение:
Обозначим и применим формулу конечных приращений (теорему Лагранжа):

Поскольку , получаем требуемые неравенства.
Экстремумы.
Пусть функция задана на множестве
. Точка
называется точкой максимума, если существует окрестность
в
такая, что
. Точка
называется точкой строгого максимума, если существует проколотая окрестность
в
такая, что
.
Точка называется точкой минимума, если существует окрестность
в
такая, что
. Точка
называется экстремумом или экстремальной точкой, если она является либо точкой максимума, либо точкой минимума. Соответственно определяется точка строгого минимума и строгий экстремум.
Точка называется точкой абсолютного (или глобального) максимума в
, если
. Соответственно определяется точка абсолютного (или глобального) минимума в
. Чтобы подчеркнуть отличие, точки максимума (или минимума) иногда называют точками локального максимума (минимума).
Максимумом (минимумом) функции называется значение функции в точке максимума (минимума) или пара . Мы будем чаще использовать второй вариант.
Значение функции в точке глобального максимума называют также наибольшим (наименьшим) значением на множестве
.

Пример 6.
Функция, график которой изображен на рисунке слева, определена и непрерывна на отрезке [—4; 4] и имеет 4 минимума:
и 4 максимума:
Наибольшее и наименьшее значения функции:
Приведенные определения отличаются от тех, что используются в школьном учебнике. Во-первых, мы включаем в число возможных точек экстремума концы отрезка. Кроме того, термин «максимум» в школьном учебнике соответствует нашему термину «строгий максимум».
Некоторые авторы не используют термин «экстремум», если функция не является непрерывной. Нам представляется это ограничение излишним, хотя в дальнейшем практически во всех примерах рассмотренные функции являются непрерывными.

Пример 7.
Область определения изображенной на рисунке справа функции имеет два промежутка, состоящих из точек максимума: и
. Множество точек минимума:
. Кроме того, строгим максимумом (локальным) является пара
,
. Наибольшее значение:
. Точек глобального минимума нет.
Тем не менее, многие достаточно естественные утверждения об экстремумах становятся неверными без предположения о непрерывности функции в точке экстремума.
Теоремы об экстремумах
Теорема 1. Пусть функция имеет в точке
экстремум. Тогда:
a) функция имеет в точке
экстремум противоположного типа (то есть если, например,
имеет минимум в
, то функция
имеет максимум. Если минимум строгий, то и максимум строгий);
b) если , причем
непрерывна в точке
, то
имеет в
экстремум противоположного типа.
Теорема 2. Пусть функции и
определены на одном и том же множестве
и имеют в точке
экстремум одного и того же типа. Тогда:
a) имеет в
экстремум того же типа;
b) если и
, причем
и
непрерывны в точке
, то
имеет в
экстремум того же типа.
Теорема 3. Пусть и
. Тогда:
a) если непрерывна в точке
, и
имеет в
экстремум, то и функция
имеет в
экстремум того же типа;
b) если возрастает в точке
, а
имеет в
экстремум, то
имеет в
экстремум того же типа. Если
убывает в точке
, то
имеет в
экстремум противоположного типа;
c) если непрерывна вблизи точки
, а
непрерывна вблизи
и
имеет в
экстремум, то либо
в
, либо
в
также имеют экстремум.
Пример 8.
Исследовать на экстремум функцию .
Решение:
, где
. Функция
не имеет экстремумов, а функция
имеет единственный экстремум — строгий минимум в точке
. Таким образом,
имеет единственный экстремум (строгий минимум):
.
Пример 9.
При каких функция
имеет максимум в точке
?
Решение:
Используя стандартные тригонометрические формулы, преобразуем вид функции:
, где
.
В нашем случае . Парабола
рассматривается на промежутке
и на этом промежутке имеет максимум в точке
, если вершина параболы находится левее этой точки. Если вершина находится правее или в самой точке, то в ней достигается минимум. Следовательно,
. Это и есть ответ задачи.
Фундаментальное значение в задаче об отыскании экстремумов имеет следующий результат.
Теорема Ферма. Если функция определена и непрерывна на отрезке
,
,
является экстремумом и
имеет производную в этой точке, то
.

Пример 10.
Исследовать на экстремум функцию на отрезке [—4,5] (см. рисунок справа).
Решение:
. Подсчитаем значения в критических точках и в концах промежутков.
.
Поскольку функция на всем указанном промежутке дифференцируема, то производная сохраняет знак на промежутках [—4;—2], [—2; 2], [2; 5]. Таким образом, на этих промежутках функция строго монотонна. Направление монотоннности легко определяется по значениям на концах указанных промежутков. Следовательно, — минимум;
— максимум;
— минимум;
— максимум.
Пример 11.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [—2,2].
Решение:
.
. Поскольку
, то
. Найдем значение функции в указанных точках и на концах промежутка:
.
Из этих значений мы и должны выбрать наибольшее и наименьшее:

Пример 12.
На отрезке [-2,2] найти наибольшее и наименьшее значения функции .
Решение:
Функция определена и непрерывна на всей прямой. Представим ее в виде , где
. Функция
имеет экстремумы в точках
. Вычисляем значения в этих точках, на концах промежутка и в нуле, поскольку эта точка была упущена при преобразовании функции:

Таким образом, точки и
— точки минимума,
и
— точки максимума.
На этой странице найдёте другие готовые курсовые работы во высшей математике:
Много готовых курсовых работ по высшей математике
Можете посмотреть другие готовые курсовые работы по высшей математике:
Курсовая работа на тему: предел функции |
Курсовая работа на тему: производная |
Курсовая работа на тему: правило Лопиталя и выпуклость |
Курсовая работа на тему: графики функций |