Для связи в whatsapp +905441085890

Монотонность и экстремумы

Напомним, что окрестностью точки называется любой интервал (), содержащий точку , или любое множество, содержащее такой интервал. Точка множества называется внутренней, если существует окрестность этой точки, целиком содержащаяся в .

Точка называется граничной, если любая окрестность этой точки содержит как точки множества , так и точки его дополнения.

Будем говорить, что некоторое свойство выполняется вблизи точки, если существует окрестность этой точки, в которой выполнено это свойство.

Монотонность.

Функция , определенная на множестве , называется возрастающей на этом множестве, если из того, что следует, что . Если последнее неравенство строгое для всех пар точек из , связанных условием , то функция называется строго возрастающей. Аналогично определяется убывающая и строго убывающая на функция. В обоих случаях мы говорим о монотонной или строго монотонной на функции.

Пример 1.

Функции и монотонны на промежутке . При этом первая возрастает на этом промежутке, а вторая — убывает. Функция монотонна (строго убывает) на каждом из лучей: и , но не является монотонной на всей области определения.

Геометрический смысл производной дает основания предполагать, что если производная функции в некоторой точке положительна, то существует окрестность точки , внутри которой функция возрастает. Однако, как показывает следующий пример, в общем случае это неверно.

Пример 2.

Пусть при , (см. рисунок справа).

В то же время .

Нетрудно заметить, что производная вблизи нуля принимает как положительные, так и отрицательные значения и, следовательно, функция не может постоянно возрастать ни на каком интервале, содержащем 0.

Тем не менее в некотором, более слабом смысле, возрастание все же есть.

Лемма о возрастании в точке.

Пусть функция определена на некотором интервале, содержащем точку , дифференцируема в точке и в этой точке производная положительна, то есть . Тогда существует окрестность этой точки такая, что:

Чтобы получить возрастание на промежутке, нужны более сильные условия.

Теорема о монотонности на интервале. Пусть функция определена на интервале , причем в каждой точке интервала производная существует и положительна. Тогда функция строго возрастает на .

Оценить изменение функции на заданном отрезке можно с помощью формулы конечных приращений, которая является результатом следующего важного утверждения.

Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , то в этом интервале найдется точка , такая что

Пример 3.

Оценить число , считая, что .

Решение:

Производная функции равна . Используя формулу конечных приращений при , получим , где . Таким образом, . С другой стороны, . Следовательно, .

Пример 4.

Используя, что , оценить с помощью теоремы Лагранжа число .

Решение:

Используем вновь формулу конечных приращений, считая, что . Поскольку . Следовательно,

«Настоящее» значение числа приблизительно равно 0, 588.

Пример 5.

Доказать, что при выполняются неравенства

Решение:

Обозначим и применим формулу конечных приращений (теорему Лагранжа):

Поскольку , получаем требуемые неравенства.

Экстремумы.

Пусть функция задана на множестве . Точка называется точкой максимума, если существует окрестность в такая, что . Точка называется точкой строгого максимума, если существует проколотая окрестность в такая, что .

Точка называется точкой минимума, если существует окрестность в такая, что . Точка называется экстремумом или экстремальной точкой, если она является либо точкой максимума, либо точкой минимума. Соответственно определяется точка строгого минимума и строгий экстремум.

Точка называется точкой абсолютного (или глобального) максимума в , если . Соответственно определяется точка абсолютного (или глобального) минимума в . Чтобы подчеркнуть отличие, точки максимума (или минимума) иногда называют точками локального максимума (минимума).

Максимумом (минимумом) функции называется значение функции в точке максимума (минимума) или пара . Мы будем чаще использовать второй вариант.

Значение функции в точке глобального максимума называют также наибольшим (наименьшим) значением на множестве .

Пример 6.

Функция, график которой изображен на рисунке слева, определена и непрерывна на отрезке [—4; 4] и имеет 4 минимума:

и 4 максимума:

Наибольшее и наименьшее значения функции:

Приведенные определения отличаются от тех, что используются в школьном учебнике. Во-первых, мы включаем в число возможных точек экстремума концы отрезка. Кроме того, термин «максимум» в школьном учебнике соответствует нашему термину «строгий максимум».

Некоторые авторы не используют термин «экстремум», если функция не является непрерывной. Нам представляется это ограничение излишним, хотя в дальнейшем практически во всех примерах рассмотренные функции являются непрерывными.

Пример 7.

Область определения изображенной на рисунке справа функции имеет два промежутка, состоящих из точек максимума: и . Множество точек минимума: . Кроме того, строгим максимумом (локальным) является пара , . Наибольшее значение: . Точек глобального минимума нет.

Тем не менее, многие достаточно естественные утверждения об экстремумах становятся неверными без предположения о непрерывности функции в точке экстремума.

Теоремы об экстремумах

Теорема 1. Пусть функция имеет в точке экстремум. Тогда:

a) функция имеет в точке экстремум противоположного типа (то есть если, например, имеет минимум в , то функция имеет максимум. Если минимум строгий, то и максимум строгий);

b) если , причем непрерывна в точке , то имеет в экстремум противоположного типа.

Теорема 2. Пусть функции и определены на одном и том же множестве и имеют в точке экстремум одного и того же типа. Тогда:

a) имеет в экстремум того же типа;

b) если и , причем и непрерывны в точке , то имеет в экстремум того же типа.

Теорема 3. Пусть и . Тогда:

a) если непрерывна в точке , и имеет в экстремум, то и функция имеет в экстремум того же типа;

b) если возрастает в точке , а имеет в экстремум, то имеет в экстремум того же типа. Если убывает в точке , то имеет в экстремум противоположного типа;

c) если непрерывна вблизи точки , а непрерывна вблизи и имеет в экстремум, то либо в , либо в также имеют экстремум.

Пример 8.

Исследовать на экстремум функцию .

Решение:

, где . Функция не имеет экстремумов, а функция имеет единственный экстремум — строгий минимум в точке . Таким образом, имеет единственный экстремум (строгий минимум): .

Пример 9.

При каких функция имеет максимум в точке ?

Решение:

Используя стандартные тригонометрические формулы, преобразуем вид функции:

, где .

В нашем случае . Парабола рассматривается на промежутке и на этом промежутке имеет максимум в точке , если вершина параболы находится левее этой точки. Если вершина находится правее или в самой точке, то в ней достигается минимум. Следовательно, . Это и есть ответ задачи.

Фундаментальное значение в задаче об отыскании экстремумов имеет следующий результат.

Теорема Ферма. Если функция определена и непрерывна на отрезке , , является экстремумом и имеет производную в этой точке, то .

Пример 10.

Исследовать на экстремум функцию на отрезке [—4,5] (см. рисунок справа).

Решение:

. Подсчитаем значения в критических точках и в концах промежутков. .

Поскольку функция на всем указанном промежутке дифференцируема, то производная сохраняет знак на промежутках [—4;—2], [—2; 2], [2; 5]. Таким образом, на этих промежутках функция строго монотонна. Направление монотоннности легко определяется по значениям на концах указанных промежутков. Следовательно, — минимум; — максимум; — минимум; — максимум.

Пример 11.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [—2,2].

Решение:

. . Поскольку , то . Найдем значение функции в указанных точках и на концах промежутка: .

Из этих значений мы и должны выбрать наибольшее и наименьшее:

Пример 12.

На отрезке [-2,2] найти наибольшее и наименьшее значения функции .

Решение:

Функция определена и непрерывна на всей прямой. Представим ее в виде , где . Функция имеет экстремумы в точках . Вычисляем значения в этих точках, на концах промежутка и в нуле, поскольку эта точка была упущена при преобразовании функции:

Таким образом, точки и — точки минимума, и — точки максимума.

На этой странице найдёте другие готовые курсовые работы во высшей математике:

Много готовых курсовых работ по высшей математике

Можете посмотреть другие готовые курсовые работы по высшей математике:

Курсовая работа на тему: предел функции
Курсовая работа на тему: производная
Курсовая работа на тему: правило Лопиталя и выпуклость
Курсовая работа на тему: графики функций