Оглавление:
Определение предела последовательности можно считать частным случаем определения предела функции на бесконечности (при , стремящемся к
), поскольку значения
образуют последовательность, которая тем более будет стремиться к
, если
.
Число называется пределом функции
при
, если


При этом, разумеется, естественно считать, что имеет смысл говорить о том, что стремится к бесконечности, лишь когда область определения не является ограниченным множеством. Прежде чем перейти к случаю, когда
стремится к конечному числу, введем несколько вспомогательных понятий.
Замыкание множества.
Окрестностью точки называется любой интервал
, содержащий точку
, или любое множество, содержащее такой интервал,
-окрестностью точки
называется интервал
. Проколотой окрестностью точки
называется окрестность
без самой точки, то есть множество
.
Пусть . Будем говорить, что точка
является точкой сгущения, или предельной точкой, множества
, если в любом интервале (
), содержащем точку
, найдется хотя бы одна другая точка множества
. Если точка множества не является точкой сгущения этого множества, то она называется изолированной. Объединение множества
и множества его точек сгущения называется замыканием множества
и обозначается через
. Для множества точек сгущения нет специального обозначения, но это множество получится, если из замыкания множества выкинуть все изолированные точки. Говорят также, что бесконечность является предельной точкой множества
, если
не является ограниченным.
Если некоторая точка не является предельной для области определения функции, то в ней понятие предела этой функции не имеет смысла.
Пример 1.
Пусть: ,
,
. Тогда:
,
. При этом множество точек сгущения множества
совпадает с
. Для
,
и
множество точек сгущения совпадает с их замыканиями. Бесконечность является предельной точкой для множеств
,
и
.
Предел функции. Пусть — точка сгущения множества
.
Число называется пределом функции
при
, если

Число является пределом функции
при
(пределом функции справа), если

Аналогично определяется предел функции слева и на бесконечности.
Число называется пределом функции
при
(пределом функции слева), если


Говорят, что функция стремится к + бесконечности при
, если

Теорема об арифметических операциях с пределами. Если функции и
имеют предел в точке хо, то функции
,
,
также имеют предел, причем:

Все то же самое верно и для отношения , но при дополнительном предположении, что
.
Дробно-рациональной функцией называется функция вида , где
,
.
Теорема о дробно-рациональной функции.
Пусть . Тогда: если
, то
;
если , то
;
если , то
.
Пусть . Тогда: если
, то
;
если , то
.
Пример 2.
Теорема о переходе к пределу в неравенстве. Если функции и
имеют предел в некоторой точке и
в какой-либо окрестности этой точки, то в этой точке
.
Теорема о сжатой функции. Пусть три функции ,
и
в некоторой окрестности точки
удовлетворяют неравенствам
. Если функции
и
имеют предел в этой точке и при этом
, то функция
также имеет предел и
.
Ограниченные, бесконечно малые и бесконечно большие.
Функция называется бесконечно малой в точке
, если
при
.
Функция называется ограниченной на интервале (
), если
такое, что
верно неравенство
.
Функция называется ограниченной в окрестности точки
, если существует интервал, содержащий точку
, такой, что
ограничена на этом интервале.
Утверждение. Произведение функции, бесконечно малой в некоторой точке, на ограниченную в окрестности этой же точки есть бесконечно малая в этой точке функция.
Функция называется бесконечно большой в точке
, если
при
.
Утверждение. Произведение бесконечно малой на ограниченную есть бесконечно малая. Если ограниченную разделить на бесконечно большую, то получится бесконечно малая.
Примеры бесконечно малых функций:
при
;
при
;
при
.
Примеры бесконечно больших функций:

Эквивалентные функции.
Две функции и
называются эквивалентными в точке
, если существует предел
и если этот предел равен 1. При этом мы пишем:
при
.
Две функции и
будем называть эквивалентными в точке
с точностью до постоянной (с точностью до постоянного множителя), если существует предел
и если этот предел не равен 0. Обозначив этот предел через
, получим, что
при
.
Замечательные пределы.
Два предела принято называть замечательными:

Иногда замечательными называют также соотношения, являющиеся следствиями указанных двух:

Символ Ландау.
Если , то говорят, что функция
есть
-маленькое от
при
, стремящемся к
и пишут:
при
. Значок «
» называется символом Ландау.
Примеры: при
,
при
.
Если обе функции и
являются бесконечно малыми в точке
, то говорят, что
является бесконечно малой более высокого порядка, чем
.
Примеры: при
,
при
.
Теорема о выделении линейной части. Пусть функции и
определены в некоторой окрестности точки
и при этом в точке
существует предел
. Обозначим этот предел через
. Тогда

Выражение и называется линейной частью функции
относительно
. В частности, запись «
при
» эквивалентна записи «
при
».
Примеры: при
,
при
.
Ниже приведены примеры нескольких наиболее часто встречающихся эквивалентностей при .

Упр. 1. В каждом из рассмотренных примеров укажите также предел отношения двух функций при .
Теорема о замене на эквивалентную под знаком предела. Если при
, то:

Пример 3.


Пример 4.

Определение предела на языке последовательностей.
Определение предела, которое было дано в начале главы принято называть определением на языке эпсилон-дельта или на языке Коши.
Иногда удобно использовать и другое, эквивалентное определение, которое называют определением на языке последовательностей или на языке Гейне (в честь немецкого математика XIX века).
Число является пределом функции
при
, если для любой последовательности
, стремящейся к
, такой, что
, верно, что
при
.
Прежде чем продемонстрировать на примере, как используется эквивалентность двух определений предела, приведем без доказательства еще одно важное соотношение:

Подставив в указанное соотношение последовательность , получим уже доказанное ранее соотношение
.
Пример 5.

Непрерывность функции.
Функция называется непрерывной в точке
, если предел в этой точке существует (в случае, если
— точка сгущения множества
) и равен значению функции в этой точке.
Если — изолированная точка множества
, то мы будем считать функцию непрерывной в этой точке (это вопрос чисто формальной договоренности).
Если пределы слева и справа существуют, то у непрерывной функции они должны быть равны между собой.
Таким образом, предел непрерывной функции в точке равен значению функции в точке. Вспоминая определение предела функции в точке мы можем дать «явное» определение непрерывности.
Функция называется непрерывной в точке
, если

Эквивалентное определение можно дать и на языке последовательностей.
Функция называется непрерывной в точке
, если для любой последовательности
, стремящейся к
, верно, что
при
.
Понятие непрерывности достаточно естественно.
В частности, тем, что выполняются простые условия, обеспечивающие работу с непрерывными функциями.
Теорема об арифметических операциях замене с непрерывными функциями. Если и
— функции, непрерывные в точке
, то в этой же точке непрерывны функции
, а также
, при дополнительном предположении, что
.
Теорема о непрерывности суперпозиции. Если функция непрерывна в точке
, а
непрерывна в точке
, то в точке
непрерывна функция
.
Функция называется непрерывной на множестве
, если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Для множества функций, непрерывных на промежутке принято следующее обозначение:
. Таким образом, запись
означает, что функция
определена и непрерывна на отрезке
.
Теорема о непрерывности обратной функции. Если и у
существует обратная функция
, то
непрерывна на
(или
, если
).
Пример 6.
Дробно-рациональная функция непрерывна в каждой точке
вещественной прямой, в которой
.
Пример 7.
Функции и
непрерывны на своих областях определения, то есть на промежутках
.
Пример 8.
Функции , и
непрерывны на всей вещественной прямой.
Также без доказательства сформулируем еще две важные теоремы об ограниченности непрерывных функций на замкнутом промежутке.
1-я теорема Вейерштрасса. Если функция определена и непрерывна на промежутке , то она ограничена на этом промежутке.
Карл Вейерштрасс (Karl Weierstras, 1815 — 1897) — выдающийся немецкий математик, «отец современного анализа». Занимался теорией аналитических функций. В значительной степени ему мы обязаны современными формулировками теорем, ставших классическими, крылатой фразой «нельзя быть настоящим математиком, не будучи немного поэтом», а также славой Софьи Ковалевской.
2-я теорема Вейерштрасса. Если функция определена и непрерывна на промежутке , то в некоторых точках этого промежутка она принимает свои наибольшее и наименьшее значения.
Пример 9.
а) Функция определена и непрерывна на
, однако не является ограниченной на этом промежутке;
b) Функция при
,
при
, определена на
, однако не является ограниченной на этом промежутке;
c) Функция определена и непрерывна на
, является ограниченной на этом промежутке, но не принимает ни в какой точке наибольшее или наименьшее значения.
Следующая теорема иногда называется теоремой о промежуточном значении. Она была доказана Больцано в 1817 году и позже Коши в 1821 году.
Теорема Больцано (Больцано — Коши). Пусть дана непрерывная функция на отрезке (
). причем
. Без ограничения общности предположим, что
. Тогда для любого
существует
такое, что
.
Следующее важное следствие иногда называют 1-й теоремой Больцано — Коши: Если функция принимает в концах отрезка значения разных знаков, то существует точка, в которой она равна нулю.
Пример 10.
Многочлены имеют по 4 корня, расположенных в интервалах
.
Действительно, в обоих случаях числа и
положительны, а
и
отрицательны.
Точки разрыва. Говорят, что в точке функция имеет устранимый разрыв, если существует предел функции в этой точке, однако само значение функции в этой точке либо не определено, либо не совпадает с этим пределом. Говорят, что в точке
функция имеет разрыв 1 рода, или скачок, если пределы функции в этой точке слева и справа существуют и различны. Во всех остальных случаях говорят, что функция имеет разрыв 2 рода.
На этой странице найдёте другие готовые курсовые работы во высшей математике:
Много готовых курсовых работ по высшей математике
Можете посмотреть другие готовые курсовые работы по высшей математике:
Курсовая работа на тему: элементы комбинаторики |
Курсовая работа на тему: числовые последовательности |
Курсовая работа на тему: производная |
Курсовая работа на тему: монотонность и экстремумы |