Оглавление:
В начале этой главы мы вернемся к теме «Пределы» и рассмотрим один из самых удобных и популярных способов вычисления пределов.
Теорема (правило) Лопиталя.
Предположим, что функции и
1) определены, непрерывны и дифференцируемы в некоторой окрестности точки ;
2) ;
3) существует предел .
Тогда существует также и предел , причем

Заметим, что аналогичное утверждение верно и в случае, когда при
. Оно называется вторым правилом Лопиталя.
Пример 1.
Найти предел .
Решение. В данном случае
. Таким образом, можно воспользоваться основным правилом Лопиталя.

Пример 2.
Найти предел .
Решение. В данном случае при
. Таким образом, можно воспользоваться вторым правилом Лопиталя.

Пример 3.
Найти предел .
Решение. После приведения к общему знаменателю заменим множитель в знаменателе на эквивалентный
.
. Теперь можно применить правило Лопиталя, но придется сделать это три раза, чтобы избавиться от неопределенности.

Вторая производная.
Вторая производная не является принципиально новым понятием — это производная от производной. Производная от второй производной называется третьей производной и так далее.
Пример 4.

Пример 5.
Найти , если
. Дифференцируя поочередно, получим, что
. Подставляя нужное значение аргумента, получим ответ:
.
Если функции и
имеют производную порядка
, то для производной произведения справедлива формула Лейбница:

Пример 6.
Найти , если
.
Решение. Запишем формулу Лейбница: , где
. Поскольку любая производная функции
совпадает с ней самой, то
. Подставляя
, получим, что
.
Пример 7.
Найти , если
.
Решение. Поскольку третья производная функции равна нулю, получим, что
, где
. Тогда

Найдем производные логарифма:

Таким образом, .
Выпуклые функции.
В этом разделе мы будем с самого начала предполагать, что рассматриваемые функции определены и непрерывны на некотором промежутке.
Определение 1. Непрерывная функция , определенная на промежутке
называется выпуклой или выпуклой вниз на этом промежутке, если для любых точек
хорда, соединяющая точки
и
, лежит выше графика функции на участке
. Функция называется вогнутой или выпуклой вверх на этом промежутке, если любая хорда лежит ниже графика.

На рисунке справа представлен график функции, выпуклой вверх на отрезке . Здесь
и
. Множество точек
, где
образует отрезок (хорду), соединяющий точки
и
. Условие выпуклости вверх выглядит так:
.
Определение 2. Функция , определенная и непрерывная на промежутке
называется выпуклой на этом промежутке, если для любых точек
выполняется неравенство
. Если последнее неравенство является строгим для любых точек
, то функция называется строго выпуклой. Если выполняются неравенства противоположного направления, то функция называется вогнутой или выпуклой вверх.
Определение 3. Функция , определенная, непрерывная и дифференцируемая на промежутке
называется выпуклой на этом промежутке, если для любой точки
касательная к графику, проведенная в этой точке, лежит выше графика.
Теорема об эквивалентности определений выпуклости. На множестве непрерывных на промежутке функций определения 1 и 2 эквивалентны. На множестве дифференцируемых на промежутке функций все три определения эквивалентны.
Критерий выпуклости.
Если функция , определенная и непрерывная на промежутке
в каждой точке этого промежутка имеет вторую производную, причем
, то функция выпукла. Если неравенство строгое, то функция строго выпукла.
Если , то функция вогнута.
Пример 8.
Функции
являются выпуклыми.
Пример 9.
Функции
являются вогнутыми.
На этой странице найдёте другие готовые курсовые работы во высшей математике:
Много готовых курсовых работ по высшей математике
Можете посмотреть другие готовые курсовые работы по высшей математике:
Курсовая работа на тему: производная |
Курсовая работа на тему: монотонность и экстремумы |
Курсовая работа на тему: графики функций |
Курсовая работа на тему: кривые, заданные параметрически |