Оглавление:
Достаточно часто кривые задаются в параметрическом виде:
. Например:
. Функции
называются координатными функциями.
Для того чтобы изобразить такую кривую, рекомендуется следующая программа:
Шаг 1. Проводим исследование координатных функций
и строим их графики.

Шаг 2. Рассматриваем критические точки координатных функций, то есть такие точки кривой, в которых производная одной из координатных функций равна нулю. В нашем примере и, следовательно, таких точек две:
.
Особыми точками будем называть точки, в которых обе производные обращаются в нуль или не существуют. Остальные точки называются регулярными.
В нашем примере особой является точка, соответствующая . В особой точке касательная к кривой не всегда определена. В регулярной точке касательная определяется следующим образом: считаем тангенс угла
наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс (аналог производной
) по формуле

и тем самым определяем тангенс угла наклона касательной к графику в не особых точках. Если , а
, то касательная к кривой будет вертикальной.

Шаг 3. Отмечаем на прямой критические точки координатных функций (а также точки разрыва производной каждой из координатных функций).

Шаг 4. Фиксируем на плоскости все отмеченные точки и соединяем их между собой отрезками вместе с указанием на направление изменения параметра
. Получим схему кривой. Для того чтобы понять направление кривой при приближении к границе области задания (в частности, при
), нужно найти пределы

или подсчитать значения в одной из точек, близкой к границе.

Шаг 5. Считаем производную по формуле

в точках, где , и тем самым определяем тангенс угла наклона касательной к графику в регулярных точках. Подставив несколько контрольных значений, окончательно уточняем график.
Поведение кривых в особых точках.
На представленном ниже рисунке показаны возможные типы поведения кривых вблизи особых точек. Везде в качестве особой точки рассматривается начало координат. Кривые задаются следующими координатными функциями:

Параметрически заданные кривые иногда называют траекториями, интерпретируя параметр как время.
Пример 1.
Траектория точки на окружности, катящейся по прямой без скольжения, называется циклоидой.

Кривые в полярных координатах.
Достаточно распространенным является использование в качестве параметра полярного угла, то есть угла, который отсчитывается от луча до направления на точку против часовой стрелки. Говорят, что кривая задана в полярных координатах, если задан полярный радиус
(расстояние от начала координат до точки) как функция полярного угла:
. Функция
при этом обычно предполагается периодической с периодом
. К декартовым координатам можно переходить по формулам

Полярной розой называется кривая на плоскости, уравнение которой в полярных координатах имеет вид , где
и
— некоторые постоянные. На рисунке ниже изображены три таких кривых, построенных при
и различных
.

Пример 2.
Показать, что роза, соответствующая , является окружностью радиуса
с центром в точке
.
Решение. Рассмотрим произвольную точку на кривой, где
. Тогда
. Утверждение доказано.
Степенной розой называется кривая на плоскости, уравнение которой в полярных координатах имеет вид , причем независимо от
угол
таков, что
.
Лемнискатой относительно фокусов называется множество точек
таких, что произведение расстояний от
до фокусов постоянно. Лемниската называется центрально-симметричной, если фокусы образуют правильный
-угольник с центром в начале координат и само начало координат входит в это множество.

Упр. 1 Покажите, что степенная роза, соответствующая и
, изображенная на рисунке справа, является лемнискатой относительно фокусов
с координатами
, где
.
Упр. 2 Покажите, что роза степени 2 также является центрально-симметричной лемнискатой (она называется лемнискатой Бернулли). Постройте ее и найдите ее фокусы.
Параметризация кривых, заданных неявно.
Говорят, что кривая на плоскости задана неявно, или в неявном виде, если координаты ее точек определяются уравнением . Например:
— уравнение окружности. В этом случае, предполагая, что кривую на нужном участке можно задать равенством
, где
— функция, имеющая производную, получим для функции
:


откуда определяется производная .
Попытки разрешить уравнение относительно
редко приводят к удобному способу изображать кривую. Например, даже в случае окружности мы получаем не слишком хорошую зависимость:
при
и
при
.
Другой, более предпочтительный способ изображения кривой состоит в том, чтобы представить ее в параметрическом виде. Переход от неявного задания кривой к параметрическому и называется параметризацией.

Пример 3.
Астроида , допускает параметризацию
.
На этой странице найдёте другие готовые курсовые работы во высшей математике:
Много готовых курсовых работ по высшей математике
Можете посмотреть другие готовые курсовые работы по высшей математике:
Курсовая работа на тему: правило Лопиталя и выпуклость |
Курсовая работа на тему: графики функций |
Курсовая работа на тему: матрицы и операции с ними |
Курсовая работа на тему: системы линейных уравнений |