Задание: Решение однородных дифференциальных уравнений.
Цель: формирование умений решать однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
46.1. Какие дифференциальные уравнения первого порядка называют однородными? Какова техника их решения?
46.2. Решите однородное дифференциальное уравнение:
46.3. Решите однородное дифференциальное уравнение:
Методические указания по выполнению работы:
Однородные дифференциальные уравнения — уравнения вида 
, где 
и 
— однородные функции одинакового порядка.
Функция 
называется однородной функцией 
-го порядка, если при умножении каждого ее аргумента на произвольный множитель 
вся функция умножится на 
, т.е. 
.
Для решения однородных дифференциальных уравнений удобно использовать следующий алгоритм:
- Выполните подстановки:
и 
. В получившемся дифференциальном уравнении раскройте скобки и приведите подобные слагаемые. Должно получиться уравнение с разделяющимися переменными. - Проинтегрируйте обе части уравнения с разделяющимися переменными относительно переменных
и 
. Найдите общее решение дифференциального уравнения. - В общем решении вернитесь к переменным и
, подставив вместо выражение 
. - Выпишите в ответе получившееся общее решение дифференциального уравнения.
Пример 1.
Найдите решение дифференциального уравнения: 
.
Решение:
Данное уравнение — однородное дифференциальное уравнение первого порядка.
1. Выполним подстановки: и :
Раскроем скобки:
Приведем подобные слагаемые: первое и последнее взаимно уничтожаются. Получим:
Перед нами уравнение с разделяющимися переменными. Соберем в левой части выражения, содержащие 
, в правой — выражения, содержащие 
.
Тогда 
или 
— уравнение с разделёнными переменными.
2. Интегрируя обе части, получим: 
или 
.
3. Подставим вместо выражение: 
или 
. Это и есть общее решение исходного однородного дифференциального уравнения.
Ответ: .
На этой странице вы сможете посмотреть все остальные темы готовых контрольных работ по высшей математике:
Готовые контрольные работы по высшей математике
Обратите внимание на похожие контрольные работы возможно они вам будут полезны:
