Задание: Решение линейных дифференциальных уравнений.
Цель: формирование умений решать линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
47.1. Какие дифференциальные уравнения первого порядка называют линейными? Какова техника их решения?
47.2. Решите линейное дифференциальное уравнение:
47.3. Решите линейное дифференциальное уравнение:
Методические указания no выполнению работы:
Линейные дифференциальные уравнения — уравнения вида 
.
Для решения линейных дифференциальных уравнений удобно использовать следующий алгоритм (метод Бернулли):
- Приведите дифференциальное уравнение к виду и введите подстановки:
и 
. - Сгруппируйте члены, содержащие
, и вынести за скобки. - Приравняйте к нулю выражение, стоящее в скобках, и найти функцию
(необходимо решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными и 
). Функция не должна содержать константу 
! - Вернитесь к дифференциальному уравнению, полученному после шага 2. Подставьте в это уравнение функцию , найти вторую функцию (функция содержит константу ).
- Подставьте функции и , найденные на 3-м и 4-м этапе, в уравнение . Полученная функция
является общим решением исходного линейного дифференциального уравнения. - Выпишите в ответе получившееся решение дифференциального уравнения.
Пример 1.
Найдите общее решение дифференциального уравнения 
.
Решение:
Данное уравнение — линейное дифференциальное уравнение первого порядка.
1. Выполним подстановки: и :
2. Сгруппируем члены, содержащие , и вынесем за скобки:
3. Считая, что неизвестная функция является произведением двух также неизвестных функций и , мы можем одну из этих функций () выбрать произвольно. Поэтому приравняем к нулю выражение, стоящее в скобках, и найдем функцию :
— уравнение с разделяющимися переменными, для решения которого представим
. Тогда:
. Взяв интегралы от обеих частей, получим, что
. Но поскольку функцию мы выбираем произвольно, удобно константу взять равной нулю. Тогда 
, а 
.
Таким образом, на третьем шаге мы нашли функцию ().
4. Вернёмся к уравнению 
. Поскольку выражение в скобках на третьем шаге мы выбирали равным нулю, то данное уравнение примет вид: 
или 
.
Подставим функцию в это уравнение и найдем вторую функцию :
. Данное уравнение легко приводится к простейшему делением обеих частей на :
или 
. Тогда 
. Константу здесь писать обязательно!
Итак, на четвертом шаге метода Бернулли мы нашли функцию 
.
5. Решением исходного уравнения будет являться функция . Функции и были найдены нами на 3-м и 4-м этапе решения примера. Подставив их в уравнение , найдем, что
— общее решение дифференциального уравнения 
.
Ответ: .
Замечание. На 3-м шаге решения линейного дифференциального уравнения требуется выразить функцию через . Во избежание возможных трудностей, рассмотрим некоторые конкретные примеры, показывающие, как из полученного уравнения выразить . Они основаны на определении (
) и одном из свойств логарифма (
):
На этой странице вы сможете посмотреть все остальные темы готовых контрольных работ по высшей математике:
Готовые контрольные работы по высшей математике
Обратите внимание на похожие контрольные работы возможно они вам будут полезны:
