Оглавление:
Задание: Разложение функций в ряд Маклорена.
Цель: формирование умения разлагать элементарные функции в ряд Маклорена и применять данные разложения для вычисления приближённых значений выражений.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
42.1. Выучите определение ряда Маклорена для функции. Запомните, как в этом случае будет называться функция. Разберите пример и выясните, как найти конкретный член ряда Маклорена для функции.
42.2. Ряд Маклорена для функции имеет вид:
Найдите:
а) третий член ряда Маклорена для функции
б) четвёртый член ряда Маклорена для функции .
42.3. Проанализируйте, при каких условиях ряд Тейлора (Маклорена) будет сходиться к порождающей функции. Выясните, какова техника разложения функции в ряд Тейлора (Маклорена). Постарайтесь освоить алгоритм, позволяющий разлагать функцию в ряд Маклорена на примере функции .
42.4. Разложите функцию в ряд Маклорена.
42.5. Запомните известные разложения некоторых элементарных функций в ряд Маклорена. Выясните, какие преобразования известных разложений позволяют получать новые разложения функций в ряд. Внимательно изучите технику получения подобных разложений на примере функций и .
42.6. Используя известное разложение в ряд Маклорена элементарных функций, представьте в виде ряда:
42.7. Выясните, как разложение функции в ряд Маклорена позволяет найти приближённое значение выражения.
42.8. Используя известное разложение функции в ряд Маклорена, и ограничиваясь заданным числом первых членов ряда, найдите приближённое значение выражения:
a) (два первых члена ряда); б) (три первых члена ряда).
Методические указания по выполнению работы:
Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:
Ряд для функции в точке называется рядом Маклорена.
Если функция имеет в точке производные любого порядка, то для неё можно составить ряд Маклорена. При этом функция называется порождающей функцией для
соответствующего ряда.
Пример 1.
Найдите третий член ряда Маклорена
для функции .
Решение:
Третий член ряда Маклорена для функции имеет вид . Для его нахождения вычислим вторую производную функции в точке :
1) найдём
2) найдём
3) найдём
Подставим в выражение , получим: . Таким образом, третий член ряда Маклорена для функции равен .
Ответ: .
Формально ряд Тейлора (Маклорена) можно построить для любой бесконечно дифференцируемой функции в окрестности точки . Но отсюда ещё не следует, что он будет сходиться к данной функции . Условия, при которых ряд Тейлора (Маклорена) сходится к порождающей функции, изложены в теореме.
Теорема: Если все производные функции ограничены в некоторой окрестности точки () одним и тем же числом, то для любого из этой окрестности ряд Тейлора (Маклорена) для функции сходится к данной функции, т.е. имеет место разложение
Для разложения некоторой функции в ряд Маклорена удобно использовать следующий алгоритм:
1) вычислить значения функции и всех её производных при ;
2) составить ряд Маклорена для функции :
3) проверить выполнение условий теоремы о разложении функции в ряд (доказать, что все производные функции ограничены в некоторой окрестности точки одним и тем же числом);
4) записать разложение функции в ряд Маклорена:
Рассматривая разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций, ограничимся рядами, которые чаще всего используются на практике.
Пример 2.
Разложите функцию в ряд Маклорена.
Решение:
Для разложения функции в ряд Маклорена воспользуемся алгоритмом.
1) Найдём значения функции и последовательно её производных в точке :
Поскольку для функции , то .
2) Составим для функции ряд Маклорена, подставив найденные значения в формулу ряда Маклорена :
3) Проверим выполнение условий теоремы о разложении функции в ряд: для данного найдём интервал , содержащий число , и обозначим . Тогда для любой производной функции имеем . Таким образом, все производные функции в некоторой окрестности ограничены одним и тем же числом . Значит, условия теоремы выполнены, и функция может быть разложена в ряд.
4) Запишем разложение функции в ряд Маклорена: .
Ответ: .
Аналогичным образом можно получить разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций, которые рекомендуется запомнить:
биномиальный ряд (бином Ньютона):
Разложение некоторых функций в ряд Маклорена можно получить, выполняя те или иные преобразования над уже имеющимися разложениями. К таким преобразованиям относятся замена переменной, сложение, вычитание, умножение, дифференцирование и интегрирование степенных рядов.
Рассмотрим примеры получения подобных разложений.
Пример 3.
Используя известные разложения, разложите в ряд Маклорена функцию .
Решение:
Воспользуемся известным разложением в ряд функции :
Заменим в данном разложении на , получим:
Таким образом,
Ответ: .
Пример 4.
Разложите в ряд Маклорена функцию .
Решение:
Функция представляет собой произведение на , поэтому для её разложения в ряд Маклорена воспользуемся разложением функции :
Заменим в этом разложении на , получим:
Умножим разложение на :
Таким образом,
Ответ:
Разложение функций в ряд Маклорена находит широкое практическое применение в вопросах приближённого вычисления значений функций.
Пусть требуется вычислить значение функции при , с заданной точностью. Если функцию в интервале можно разложить в степенной ряд , и , то точное значение равно сумме этого ряда при , т.е. , а приближённое — частичной сумме , т.е. . Точность этого равенства увеличивается с ростом .
Пример 5.
Найдите приближённое значение выражения с точностью до 0,0001, используя известные разложения функций в ряд Маклорена.
Решение:
Воспользуемся известным разложением в ряд Маклорена функции : Поскольку , подставим в данное разложение вместо , получим Так как мы имеем знакочередующийся ряд, то при замене его суммы некоторой частичной суммой абсолютная погрешность не превышает модуля первого отброшенного члена. Непосредственной проверкой убеждаемся, что , следовательно, достаточно ограничиться двумя первыми членами разложения: .
Ответ: .
На этой странице вы сможете посмотреть все остальные темы готовых контрольных работ по высшей математике:
Готовые контрольные работы по высшей математике
Обратите внимание на похожие контрольные работы возможно они вам будут полезны: