Контрольная работа на тему: нахождение определённых интегралов методом непосредственного интегрирования

Оглавление:

Задание: Нахождение определённых интегралов методом непосредственного интегрирования.

Цель: формирование умения находить определённые интегралы методом непосредственного интегрирования и как интегралы от некоторых сложных функций.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

26.1. Выучите определение определенного интеграла. Разберите, в чём заключается техника непосредственного интегрирования в определённом интеграле. Ответьте на контрольные вопросы:

Что называют определенным интегралом ?
Какими свойствами обладает определенный интеграл?
Запишите формулу Ньютона-Лейбница.
Какова техника нахождения определённого интеграла при помощи формулы Ньютона-Лейбница?
Какова глобальные отличия определенного интеграла от неопределенного?

26.2. Найдите определённые интегралы методом непосредственного интегрирования и как интегралы от «некоторых сложных» функций:

Вам известно, что одним из создателей интегрального исчисления был Готфрид Вильгельм Лейбниц.

Много гениальных открытий принадлежит Лейбницу. И действительно это была неординарная личность! Современников Лейбница поражали его фантастическая эрудиция, почти сверхъестественная память и удивительная работоспособность.

А как же любовь? Лейбницу посчастливилось и здесь. Он полюбил одну из лучших германских женщин — первую королеву Пруссии.

Лейбниц стал её учителем, когда юной принцессе было 12 лет. В 16 лег принцессу выдали замуж за тщеславного, недалёкого, любившего блеск и роскошь брандербургского принца Фридриха.

Серьёзная, вдумчивая, мечтательная принцесса не могла выносить пустой и бессмыссленной придворной жизни. Её отдушиной стала переписка с дорогим и любимым учителем. Эта переписка прекращалась лишь на время свиданий. В письмах теперь уже королевы при всей её сдержанности, нравственной чистоте и сознании долга перед мужем, никогда не ценившем и не понимавшем её, прорывалось сильное чувство.

Выполнив задание 26.2 и заменив получившиеся ответы буквами из таблицы, Вы узнаете, как звали королеву, рано ушедшую из жизни, которую искренне и беззаветно любил Готфрид Вильгельм Лейбниц.

Имя королевы:

Карта ответов:

26.3. Найдите определённые интегралы:

Методические указания по выполнению работы:

Определенным интегралом от функции на отрезке называют предел интегральных сумм при и (, где ), который не зависит ни от способа разбиения отрезка на части, ни от выбора точек : .

Числа и называются соответственно нижней и верхней границами интегрирования, — подынтегральной функцией, — подынтегральным выражением, — переменной интегрирования, отрезок — областью (отрезком) интегрирования.

При нахождении определённых интегралов используют следующие методы:

1. Непосредственное интегрирование — метод, основанный на использовании свойств определённого интеграла и формулы Ньютона-Лейбница.

Основные свойства определенного интеграла:

Формула Ньютона-Лейбница: .

Для нахождения определённых интегралов методам непосредственного интегрирования можно использовать следующий алгоритм:

Найдите неопределённый интеграл от заданной функции (если возникают сложности, перечитайте методические указания к выполнению задания 22).
Выпишите получившуюся первообразную функции, в которую вместо слагаемого запишите вертикальную черту с верхними и нижними границами интегрирования.
По формуле Ньютона-Лейбница в первообразную вместо переменной подставьте сначала верхнюю границу, затем запишите знак «минус», затем подставьте нижнюю границу интегрирования.

Советуем рассмотреть реализацию данного метода на примере:

Пример 1.

Вычислите .

Решение:

1. Найдем неопределенный интеграл от заданной функции: .

2. Для нахождения определённого интеграла вместо константы введём границы интегрирования:

3. В полученную первообразную подставим сначала верхнюю, потом нижнюю границы интегрирования: . Раскроем скобки: .

Ответ: .

2. Интегрирование некоторых сложных функций — метод, основанный на использовании техники интегрирования некоторых сложных функций и формулы Ньютона-Лейбница.

Для нахождения определённых интегралов от некоторых сложных функций можно использовать следующий алгоритм:

Найдите неопределённый интеграл от заданной функции, используя формулу (если возникают сложности, перечитайте методические указания к выполнению задания 20).
Для получившейся первообразной вместо слагаемого запишите вертикальную черту с верхними и нижними границами интегрирования.
По формуле Ньютона-Лейбница в первообразную вместо переменной подставьте сначала верхнюю границу, затем знак «минус», затем нижнюю границу интегрирования.