Контрольная работа на тему: интегральное исчисление функции одной действительной переменной

Оглавление:

Цель: формирование умения находить неопределённые интегралы методом непосредственного интегрирования.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

22.1. Проанализируйте, чем операция интегрирования отличается от дифференцирования. Выучите определение первообразной функции, основное свойство первообразных. Разберите, что называют неопределённым интегралом, каковы его основные свойства. Ответьте на контрольные вопросы:

Какую операцию называют интегрированием?
Что называют первообразной данной функции?
Сколько первообразных имеет любая функция?
В чём заключается основное свойство первообразных и каков его геометрический смысл?
Что называют неопределённым интегралом от функции ?
Перечислите основные свойства неопределённого интеграла.
В чём заключается сущность метода непосредственного интегрирования?

22.2. Найдите интегралы методом непосредственного интегрирования:

22.3. Найдите интегралы:

Методические указания по выполнению работы:

Напомним, что суть дифференцирования: по заданной функции найти её производную. Интегрирование — операция, обратная дифференцированию: нахождение первоначальной функции по известной производной .

Функция называется первообразной для функции на интервале , если для всех из этого промежутка справедливо равенство: .

Основное свойство первообразных: множество первообразных для функции задается формулой: , где — константа.

Множество всех первообразных для функции называется неопределённым интегралом от функции и обозначается символом , т.е. .

Свойства неопределенного интеграла:

Для нахождения неопределённых интегралов существует несколько методов. Рассмотрим первый метод — метод непосредственного интегрирования.

В основе метода — сведение неопределенного интеграла к одному или нескольким табличным путем преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла.

Основные формулы интегрирования:

При нахождении неопределенных интегралов методом непосредственного интегрирования используйте следующие рекомендации:

Проанализируйте, что представляет собой выражение под знаком интеграла.

Если подынтегральное выражение представляет собой сумму или разность функций, то воспользуйтесь свойством: : представьте интеграл как сумму и разность соответствующих интегралов. Вынесите константы за знаки интегралов () и возьмите табличные интегралы (разберите пример 1).
Если в подынтегральном выражении встречаются члены вида , то с помощью формул приведите каждый одночлен к табличному интегралу: (разберите пример 2).
Если подынтегральное выражение представляет собой произведение функций, попробуйте раскрыть скобки, выполнить преобразования и прийти к табличным интегралам (разберите пример 3).
Если подынтегральное выражение представляет собой дробь, в знаменателе которой стоит одночлен, то разделите почленно каждое слагаемое числителя на знаменатель и придите к табличным интегралам (разберите пример 4).
В остальных случаях попробуйте:
- разложить числитель и знаменатель на множители и выполнить соответствующие сокращения:
- добавить и вычесть из числителя какое-либо выражение, чтобы возможно было представить дробь как сумму двух дробей, одна из которых сокращается, а от другой можно взять табличный интеграл.

Пример 1.

Найдите .

Решение:

Воспользуемся свойствами неопределенного интеграла: представим интеграл как сумму и разность соответствующих интегралов: .

Вынесем константы за знак интеграла: и воспользуемся табличными интегралами. Получим, что .

Ответ: .

Пример 2.

Найдите .

Решение:

Каждое слагаемое, стоящее под знаком интеграла, представим в виде степени с рациональным показателем. Для этого применим следующие свойства степени: . Тогда .