Интегральное исчисление функций одной переменной с примерами решения и образцами выполнения

Первообразная функции: В предыдущем семестре мы изучали дифференциальное исчисление, основная задача которого заключается в нахождении производных.

В это семестре мы будем решать, в основном, другую задачу. Если
функцию обозначить а ее производную то эта задача может быть сформулирована так: для данной функции найти такую производная которой равнялась бы данной функции т.е

Допустима и следующая формулировка этой задачи: для данной
функции найти такую функцию дифференциал которой равнялся бы дифференциалу исходной функции, т.е.

Определение:

Функция производная которой равна называется первообразной функции

Так, например, первообразной функции является функция так как

функции ее первообразной составляет основную задачу интегрального исчисления. При этом возникает вопрос: для
всякой ли функции существует первообразная? Отвечает на него следующая теорема, принимаемая без доказательства.

Теорема:

Любая непрерывная на отрезке функция имеет на
этом отрезке первообразную.

Поэтому в дальнейшем (если это специально не оговорено) функции,
для которых ищутся первообразные мы будем рассматривать на тех
промежутках, где они непрерывны.
Теперь возникает следующий естественный вопрос: если
первообразная существует, то одна или несколько? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема:

Если функция на отрезке имеет первообразную то на этом отрезке она имеет бесчисленное множество первообразных вида где — произвольная константа.

Доказательство:

Очевидно, что если — первообразная для то — тоже Допустим, что на отрезке функция имеет различные первообразные и Тогда из равенства (39.1) следует:

Вычитая из одного равенства другое и учитывая, что разность
производных двух функций равна производной разности этих функций, получим:

С помощью теоремы Лагранжа легко можно доказать, что если на
некотором отрезке производная функции равна нулю, то она на этом отрезке постоянна. Поэтому из формулы (39.3) следует, что

В формуле (39.4) — произвольное число. Ясно, что выражениеохватывает совокупность всех первообразных данной функции. Следовательно, все первообразные функции имеют вид а все первообразные функции имеют вид

Неопределенный интеграл

Введем теперь одно важное
понятие.

Определение:

Если функция одна из первообразных функции то выражение где постоянная, называется неопределенным интегралом, иными словами неопределенным интегралом называется однопараметрическое семейство первообразных данной функции.

Неопределенный интеграл обозначается Таким образом:

Здесь:

Рассмотренные ранее примеры, мы можем записать так:

Действие отыскания неопределенного интеграла (или что то же
самое, бесчисленного множества первообразных) называется
интегрированием. Заметим, что вместо слов «найти интеграл» иногда используется выражение «взять интеграл».

Необходимо отметить, что из факта существования первообразной не
следует, что у элементарной функции первообразная первообразная также является элементарной функцией.
Существующая в силу теоремы 39.1 первообразная не всегда может
быть выражена с помощью конечного числа алгебраических действий и суперпозиций, проведенных над элементарными функциями. К таким интегралам относятся, например,

Интегралы такого типа называются на математическом жаргоне «не-
берущимися», а соответствующие первообразные находятся приближенно с помощью различных приемов.
Для сравнения вспомним, что у элементарной функции производная
( в отличие от первообразной ) всегда является элементарной функцией.

Свойства неопределенного интеграла

• Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:

• Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций
  равен сумме неопределенных интегралов от этих функций:

Справедливость формул (39.6) и (39.7) может быть доказана их
дифференцированием. Свойство 2 легко обобщается на случай любого (большего двух) конечного числа слагаемых.

• Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

Справедливость последних двух свойств вытекает из определения
неопределенного интеграла.

• Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс :

Это свойство доказывается подстановкой в левую часть (39.5) (см. формулу (39.2)).

Замечание:

Обратите внимание на формулы (39.9) и (39.10): знаки и следуя друг за другом как бы уничтожают друг друга.
Но ведь дифференцирование и интегрирование — два взаимно обратных действия.

Замечание:

Из формулы (39.10) следует, что если, например,

Это вытекает из известного свойства инвариантности формы первого
дифференциала функции:
Формула

сохраняет вид как для случая, когда является независимой
переменной, так и для случая, когда зависит еще от какой-то другой переменной.

При нахождении второго и третьего интегралов мы воспользовались
тем, что

Такое преобразование подынтегрального выражения называется
подведением (внесением) функций под знак дифференциала. Это
преобразование — самый универсальный прием практического интегрирования. Можно даже утверждать (с небольшой долей преувеличения), что интеграл не найти, если ничего нельзя внести под знак дифференциала.

Таблица основных интегралов

Как и всякая обратная
задача, отыскание первообразной (неопределенного интеграла) сложнее, чем производной (дифференциала).
Если для отыскания производной существует четкий алгоритм, то для отыскания первообразных элементарных функций такого алгоритма не существует. Так, например, не существует правил нахождения интеграла от произведения двух функций, даже если известны интегралы от сомножителей.
Методы интегрирования функций сводятся к указанию ряда приемов, выполнение которых приводит к цели в некоторых частных случаях.
Для облегчения интегрирования составляется таблица так
называемых основных интегралов. Она получается из основных формул дифференцирования и включает в себя наиболее часто встречающиеся интегралы.
Процесс интегрирования (нахождения интеграла или первообразной) сводится к выполнению тождественных преобразований до тех пор, пока нельзя будет применить одну или несколько формул из таблицы интегралов.
Какой интеграл считать табличным — дело вкуса. Первые 11 формул
включаются в такие таблицы всегда.
Вот наша таблица:

Доказательство этих формул сводится к проверке того, что
дифференциал правой части равен подынтегральному выражению в левой части.
Докажем, например, две из них.
Формула №2:

Формула №7:

В справедливости некоторых других формул мы убедимся в
дальнейшем.
А теперь еще несколько примеров.

Пример:

Найти интеграл

Решение:

Пример:

Найти интеграл

Решение:

Замечание:

Все формулы интегрирования сохраняют виду если
в обе части формулы вместо подставить любую дифференцируемую функцию .

Решение задание на тему: Первообразная и неопределенный интеграл

Вспомните определение 39.1 первообразной. Исходя из него с помощью обращения формул дифференцирования найдем первообразные функций и проверим результат дифференцированием.

Пример:

Решение:

Пример:

Решение:

Проверка:

Пример:

Решение:

Проверка:

Вспомним теперь определение 39.2 неопределенного интеграла,
таблицу основных интегралов.
При нахождении неопределенных интегралов на этом занятии мы
будем пользоваться только одним, но универсальным приемом — внесением функций под знак дифференциала.
Ради краткости слово «неопределенный» часто будем опускать.
Найти интегралы с использованием формулы №1 таблицы интегралов:

Пример:

Решение:
Учитывая, что найдем

Пример:

Решение:

Учитывая, что найдем

Найти интегралы с использованием формулы №2 таблицы интегралов:

Пример:

Решение:

Пример:

Решение:

Найти интегралы с использованием формул №3 и №4 таблицы
интегралов:

Пример:

Решение:

Число 5 нельзя вынести за знак синуса, но зато число 5
можно внести под знак дифференциала, умножив одновременно интеграл на

Пример:

Решение:

Так как то:

Найдите следующие интегралы с использованием других формул
таблицы интегралов с помощью, приема неоднократно использованного выше -внесение функций под знак дифференциала

Пример:

Решение:

Пример:

Решение:

Пример:

Решение:

Пример:

Решение:

Основные методы интегрирования

Основные методы интегрирования — замена переменной, методом
разложения, по частям. Интегрирование выражений, содержащих
квадратный трехчлен.

Рассмотрим теперь некоторые приемы, позволяющие сводить
заданные интегралы к табличным.

Интегрирование методом замены переменной

Имеет
место формула

в справедливости которой можно убедиться, найдя дифференциалы обеих ее частей:

Допустим, что интеграл в правой части формулы (40.1) найден. Тогда
разрешим выражение относительно и подставим его в

Замечание 40.7. Для запоминания формулы (40.1) заметим, что правая ее часть получается, если в интеграле заменить на и на

Пример:

Найти интеграл

Решение:

При нахождении такого типа интегралов надо обращать
внимание на функции и . Степень аргумента во второй на единицу меньше, как и у производной степенной функции. Поэтому, если воспользоваться подстановкой то после дифференцирования последнего равенства получим Следовательно, множитель «войдет» в

Оформим нахождение интеграла с помощью подстановки следующим образом:

Пример:

Найти интеграл

Решение:

Обозначим

Пример:

Найти интеграл

Применим подстановку

Поэтому:

Если заменить и получим формулу №7 из нашей таблицы интегралов.

Интегрирование методом разложения

Этот метод
основан на разложении подынтегральной функции на сумму нескольких функций и применении свойств 1 и 2 неопределенного интеграла.

Пример:

Найти

Решение:

Ясно, что сумма трех произвольных постоянных произвольная постоянная, которую можно обозначить просто Поэтому при нахождении интеграла от суммы нескольких слагаемых следует писать только одно произвольное слагаемое.

Пример:

Найти

Решение:

Пример:

Найти

Решение:

Этот интеграл можно найти еще и так:

Пример:

Найти интеграл:

В исходном интеграле степень в последнем Применяем тот же прием.

Интегралы, в которых подынтегральная функция есть произведение
синусов и косинусов разных аргументов также могут быть разложены на слагаемые с помощью тригонометрических формул:

Пример:

Найти интеграл:

Решение:

Пример:

Найти интеграл:

Решение:

Можно показать, что

Для доказательства достаточно в правой части привести к общему
знаменателю. Поэтому:

Это — табличный интеграл №11.

Интегрирование по частям

Очевидно: проинтегрировав обе части этого равенства, получим:

Формула (40.3) называется формулой интегрирования по частям. Она
применяется, когда:
I) подынтегральная функция есть произведение степенной на
показательную или тригонометрическую функции

В этих случаях подынтегральное выражение разбивается на
множители и преобразуется так:

II) подынтегральная функция есть произведение степенной на
логарифмическую или обратную тригонометрическую функции

В этих случаях подынтегральное выражение разбивается на
множители и преобразуется так:

III) в некоторых других случаях;
Пример:

Найти интеграл

Решение:

Пример:

Найти интеграл

Пример:

Найти интеграл

Формулу интегрирования по частям применим дважды.
Решение:

Пример:

Найти интеграл

Решение:

И, наконец, рассмотрим примеры на вышеупомянутый пункт 3. В
следующих двух упражнениях применение формулы интегрирования по частям дважды приводит к уравнению относительно искомого интеграла, из которого последний и находится.

Пример:

Решение:

Получили уравнение, содержащее искомый интеграл Решая это
уравнение, находим:

Величина прибавляется потому, что равенство содержит интегралы с точностью до произвольной константы.

Пример:

Найти интеграл

Решение:

Итак, мы получили равенство:

откуда

Нахождение интегралов, содержащих квадратный трехчлен

При нахождении интегралов, содержащих квадратный трехчлен часто полезна подстановка:

Пример:

Найти интеграл:

Решение:

Сделаем подстановку

Далее получим:

Сделав обратную подстановку, получим:

Пример:

Найти интеграл:

Решение:

Применение подстановки 40.4 аналогично операции выделения полного квадрата.

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

Так как

то

Решение заданий на тему: Неопределённый интеграл

На предыдущем занятии мы пользовались лишь табличными
формулами интегрирования и методом внесения функций под знак
дифференциала.
Решим несколько примеров с использованием метода разложения,
который заключается в представлении подынтегральной функции в виде суммы нескольких слагаемых и использовании свойств интеграла:

Пример:

Решение:

Пример:

Решение:

Пример:

Решение:

Но этого достаточно только для нахождения простейших интегралов.
Сейчас мы рассмотрим более сложные методы.
Найти интегралы с помощью замены переменной.

Пример:

Решение:

Пример:

Решение:

Пример:

Решение:

Замечание:

поэтому знак абсолютной величины опущен.

Пример:

Решение:

Этот интеграл можно найти и с помощью подведения функции под знак дифференциала:

Найти интегралы с помощью подведения функций под знак
дифференциала.

Пример:

Решение:

Пример:

Решение:

Пример:

Решение:

Пример:

Решение:

Найти интегралы с помощью интегрирования по частям.

Пример:

Решение:

Пример:

Решение:

Если же показатель степени то интеграл находится так:

Пример:

Решение:

Напомним, что в лекции мы нашли таким же способом похожий
интеграл

А следующий интеграл мы найдем с помощью подстановки 40.4.

Пример:

Решение: Примем за новую переменную I половину производной
квадратного трехчлена

Замечание:

После подстановки дважды примените интегрирование по частям.

Интегрирование рациональных дробей

Интегрирование простейших элементарных дробей. Примеры
интегрирования рациональных функций.

Интегрирование простейших рациональных дробей

В лекции 36 мы ввели понятие так называемых простейших дробей
следующих четырех типов.

Рассмотрим как находятся интегралы от этих дробей.
Интегралы от простейших дробей первого и второго типов являются
табличными интегралами, входящими туда под номерами 1 и 2.

Интеграл от дроби третьего типа рассмотрен нами в п. 40.4 Повторим
его вычисление в общем виде.

Если ввести обозначение:

то

Заменяя и их выражениями, получим:

Для вычисления интеграла от дроби третьего типа можно поступить так

а) В числителе дроби, стоящей под интегралом, записываем
производную знаменателя, т.е. Тождественными преобразованиями из получаем заданный числитель Для этого умножаем на и к полученному произведению прибавляем Очевидно, что

б) Преобразованная дробь

принимает вид

и представляется как сумма двух дробей:

Числитель первой дроби равен производной знаменателя, поэтому
интеграл от нее равен натуральному логарифму модуля знаменателя.
Для интегрирования второй дроби в знаменателе выделяем полный
квадрат:

Интеграл от второй дроби приводится к табличному №11, если и к табличному №8, если

Замечание:

Если в знаменателе дроби вместо трехчлена находится трехчлен то для сведения этого случая к предыдущему необходимо коэффициент а вынести за скобку.

Пример:

Найти интеграл:

Решение:

Половину производной квадратного трехчлена обозначим , т.е. тогда и Следовательно,

Этот же интеграл найдем рассмотренным на с 55 способом.

Производная знаменателя равна Умножим и делим дробь Константу в числителе, равную 2 записываем, как 4-2:

Почленным деления числителя на знаменатель разбиваем дробь на две дроби и в знаменателе второй дроби выделяем полный квадрат:

Тогда интеграл равен:

IV. Применив к интегралу от простейшей дроби IV типа ту же
подстановку, что и к интегралу от дроби Ш типа, получим:

Первый интеграл в (41.1) легко вычисляется:

Для вычисления второго интеграла. запишем его в виде:

Замечая, что получим:

К интегралу применим интегрирование по частям, полагая:

Подставляя данный интеграл в формулу (41.2), после приведения
подобных членов, получим:

Это — рекуррентная формула или — формула приведения. Она
позволяет свести интеграл от дроби IV типа с показателем степени к интегралу от дроби IV типа с показателем степени

Формулу (41.3) надо применять раз, пока показатель степени в знаменателе не станет равным единице.

Пример:

Найти интеграл:

Решение:

Здесь Применяя формулу (41.3), получим:

По той же формуле:

Так как

то

и

Рассмотрим теперь где рациональная дробь. Как
мы видели в лекции 36 любая дробь может быть представлена в виде целой части (многочлена) и суммы простейших дробей. А следовательно всегда может быть сведен к интегралам от многочлена и суммы простейших дробей.

Пример:

Haйmu интеграл

Решение:

Дробь под интегралом правильная. Представим ее в
виде:

Приведем в правой части к общему знаменателю и приравняем числители:

Коэффициенты найдем пользуясь и методом
произвольных значений, и методом неопределенных коэффициентов:

При нахождении последних трех уравнений, мы использовали
найденные ранее значения и

Для определения имеем систему уравнений

решая которую, найдем:

Таким образом,

Пример:

Найти интеграл

Решение:

Неправильную дробь, стоящую под интегралом
представим в виде суммы целой части и правильной дроби:

Далее разложим знаменатель на множители. Этот множитель имеет очевидный корень Поэтому он делится на двучлен без остатка. Выполнив это деление, найдем:

Квадратный трехчлен имеет действительные корни и также может быть разложен на множители. Но не будем это делать, так как корни иррациональные.
Представим правильную дробь в виде суммы дробей:

Приведем в правой части к общему знаменателю и приравняем
числители:

Коэффициенты найдем пользуясь и методом произвольных значений, и методом неопределенных коэффициентов:

Следовательно,

Проведем теперь над второй дробью в правой части тождественные
преобразования:

Теперь окончательно получаем:

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

Дробь, стоящая под интегралом, — неправильная.
Разделив числитель на знаменатель, найдем:

Разложим знаменатель на множители:

Разложим правильную дробь на простейшие:

Приведем в правой части к общему знаменателю и приравняем числители:

Коэффициенты найдем пользуясь и методом произвольных значений, и методом неопределенных коэффициентов:

Таким образом,

Окончательно получаем:

Решение заданий на тему: Интегрирование рациональных дробей

Это практическое занятие вначале мы посвятим интегрированию
элементарных дробей, а затем примерам интегрирования рациональных функций, разложение которых на дроби мы получим на практическом занятии.
Проинтегрировать элементарные дроби.

Пример:

Найти интеграл от дроби 1 типа

Решение:

Пример:

Найти интеграл от дроби 2 типа

Решение:

Пример:

Найти интеграл от дроби 3 типа

Решение:

Пример:

Найти интеграл от дроби 4 типа

Решение:

Последовательно применяем рекуррентную формулу
(41.3):

Но ведь

Далее увеличиваем индекс:

Пример:

Найти

Решение:

Под интегралом стоит неправильная рациональная
дробь. Разделив числитель на знаменатель, получим

Поэтому

Учитывая, что у разложим правильную рациональную дробь на простейшие дроби

Приведем к общему знаменателю в правой части тождества и
приравняем числители

Коэффициенты найдем пользуясь и методом произвольных значений, и методом неопределенных коэффициентов:

Поэтому

Пример:

Найти

Решение:

Это интеграл от правильной дроби.
Раскладываем ее на простейшие:

Далее

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих
частях равенства:

Решив систему, найдем

Следовательно,

Последний интеграл берется с помощью подстановки

Тогда

Таким образом:

Пример:

Решение:

Приведя к общему знаменателю и приравняв числители, получим

Приравнивая друг другу соответствующие коэффициенты левой и
правой частей, приходим к системе

Ее решение:

Таким образом:

Интегрирование тригонометрических функций

Универсальная тригонометрическая подстановка. Некоторые
частные приемы нахождения интегралов, содержащих
тригонометрические функции.

Рассмотрим некоторые приемы, полезные при нахождении интегралов:

— рациональная функция.

Например, если — рациональная функция относительно и то — рациональная функция относительно и а — рациональная функция относительно

Универсальная тригонометрическая подстановка

Из
тригонометрии известно, что все тригонометрические функции аргумента рационально выражаются через тангенс половинного аргумента:

Поэтому с помощью формул:

интеграл (42.1) сводится к интегралу

где — рациональная функция а, как показано в предыдущей
лекции такой интеграл, в принципе, берется в элементарных функциях.

Пример:

Найти интеграл:

Решение:

По формулам (42.2):

Сделаем еще одну подстановку:

Возвращаясь от к а затем от дополучим:

Применение универсальной тригонометрической подстановки часто
приводит к сложным выкладкам. Поэтому на практике она
применяется к интегралам, для которых не существует более простых подстановок, например, к интегралам вида

При нахождении интегралов, содержащих тригонометрические
функции в другой форме, применяются другие приемы.

Нахождение интегралов вида

Хотя бы один из показателей степени — целое нечетное
положительное число другой показатель — равен любому числу (даже не целому).

Если делается подстановка то Если и -нечетные числа, делается любая из указанных подстановок (см. пример 43.8).

Если же при нахождении интегралов пользуются не подстановкой, а
подведением под знак дифференциала, то надо руководствоваться
правилом: та функция, показатель степени которой вносится под знак дифференциала.

Пример:

Найти интеграл

Решение:
а) с помощью подстановки:

б) с помощью подведения функции под знак дифференциала:

Пример:

Найти интеграл

Решение:

Внесем под знак дифференциала:

и представим:

Тогда:

Оба показателя степени — четные положительные числа (один
из них может равняться 0). В этом случае пользуются
тригонометрическими формулами:

После их применения интегралы сводятся к случаям 42.2.1 или 42.2.2.

Пример:

Найти интеграл

Решение:

Первый интеграл относится к пункту 42.2.2, второй к пункту 42.2.1.
Поэтому

Оба показателя отрицательные числа одинаковой четности.
В этом случае, числитель и знаменатель надо разделить на и ввести дифференциал тангенса (котангенса). Требование того, чтобы были целыми числами и оба отрицательными не является обязательным.

Пример:

Найти интеграл:

Решение:

Пример:

Решение:

Очевидно, что

Поэтому:

Укажем еще случаи, позволяющие избежать применения
универсальной тригонометрической подстановки.

Если меняет знак при замене полезна подстановка

Если меняет знак при замене полезна подстановка

Если не меняется при одновременной замене на

Пример:

Найти интеграл:

Решение:

Так как синус и косинус находятся в четных степенях,
то подынтегральная функция не изменится при изменениях знака у этих функций.
Делаем подстановку:

Если

Поэтому:

Пример:

Найти интеграл:

Решение:

При замене подынтегральная функция меняет знак, поэтому применяем подстановку

Интеграл примет вид:

Это — интеграл от рациональной дроби. Раскладывая дробь

на простейшие, после тождественных преобразований, окончательно получим

Нахождение интегралов вида Можно рекомендовать два способа:

а) С использованием формулы:

и понижением показателя степени на две единицы ( см. пример 40.7).

б) С помощью подстановки:

Пример:

Найти интеграл:

Решение: Обозначим: тогда Поэтому:

Аналогично находятся интегралы вида

Нахождение интегралов вида В этом случае с помощью подстановки получаем интеграл от рациональной функции аргумента

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

Введя новую переменную

получаем интеграл от правильной рациональной дроби:

Разлагаем дробь на сумму элементарных дробей:

Приводим в правой части тождества к общему знаменателю и
приравниваем числители:

Подставив в последнее соотношение найдем, Приравняв коэффициенты при а затем свободные члены, найдем

Следовательно,

Сделав обратную подстановку, и учитывая, что

получим

Решение заданий на тему: Интегрирование тригонометрических функций

На этом занятии мы поупражняемся в нахождении интегралов от
тригонометрических функций. Некоторые интегралы такого типа мы находили ранее, при знакомстве с методом разложения.

Пример:

Найти интеграл

Решение:

Воспользуемся формулой, преобразования произведения
косинусов в сумму:

Пример:

Найти интеграл

Решение:

Рассмотрим три вида интегралов

а) Хотя бы один из показателей — нечетное положительное число,
другой — любое число.

Пример:

Найти интеграл

Решение:

Пример:

Найти интеграл

Решение:

Воспользуемся заменой переменной: Тогда

б) Оба показателя четные положительные числа (один из них, в
частности, может равняться нулю).

Пример:

Найти интеграл

Решение:

Так как

Опять применив формулу понижения степени: получим

Пример:

Найти интеграл

Решение:

в) Показатели степени — отрицательные числа одинаковой четности

Требование того, чтобы были целыми числами и оба
отрицательными не является обязательным.

Пример:

Найти интеграл

Решение:

В этом примере показатель синуса а показатель степени косинуса а потому

Применим подстановку тогда

Поэтому

В следующих двух примерах применим, рассмотренные в лекции, два приема нахождения интегралов от -ой степени и

Пример:

Найти интеграл

Решение:

Пример:

Найти интеграл

Решение:

Воспользуемся формулами

И, наконец, решим два примера на универсальную
тригонометрическую подстановку.

Пример:

Найти интеграл

Решение:

При нахождении, например, интеграла надо сначала заменить а затем применить универсальную подстановку.

Пример:

Найти интеграл

Опять применим универсальную подстановку тогда

Разложим дробь на простейшие

Отсюда

Поэтому

Интегрирование иррациональных функций

Нахождение интегралов от иррациональных выражений.
Рационализация функций с помощью тригонометрических подстановок. Заключительные замечании об интегрировании.

Рассмотрим некоторые частные приемы, позволяющие
иррациональные функции свести к рациональным.

43.1. Интегралы вида Интегралы вида где — рациональное выражение относительно и — целое положительное число не меньшее двух, могут быть сведены к интегралам от рациональных функций с помощью замены переменной:

Следовательно,

Интеграл в правой части последнего равенства может быть найден
приемами, изложенными ранее.

Пример:

Найти интеграл:

Решение:

Положим:

Поэтому:

Интеграл можем найти разложением дроби на сумму
элементарных дробей. Однако, проще сделать подстановку

Дальнейший ход решения следующий:

Интегралы вида Эти интегралы
приводятся к интегралам от рациональной функции подстановкой:

Пример:

Вычислить интеграл:

Решение:

Пусть

Поэтому

Раскладываем подынтегральную функцию на элементарные дроби:

Находим коэффициенты этого разложения, пользуюсь и методом
неопределенных коэффициентов, и методом произвольных значений.

Поэтому:

Вернувшись к исходной переменной, получим:

Если в подынтегральное выражение входят корни из одного и того же
выражения разных степеней, т.е. для интегралов вида

применяется подстановка, рационализирующая подынтегральную
функцию:

где — наименьшее общее кратное показателей корней

Пример:

Найти интеграл

Решение:
Так как выражение входит в корни 3 и 4 степеней, а наименьшим общим кратным этих чисел является 12, то положим:

Тогда интеграл примет вид:

Это — интеграл от рациональной дроби. Так как дробь неправильная,
разделим числитель на знаменатель, находим:

Сделав обратную подстановку окончательно получим:

Интегралы вида После подстановки такие интегралы сводятся к интегралам, содержащим корни вида:

Если интеграл не является табличным, то интегралы, содержащие
корни вида (43.4), рационализируются подстановками:

Пример:

Вычислить интеграл:

Решение:

После подстановки:

интеграл запишется в виде:

Далее положим

Таким образом:

Так как

Поэтому

Отметим, что интегралы с корнями вида (43.4) иногда можно взять
по частям (см. пример 40.15).

Пример:

Вычислить интеграл:

Решение:

Интегралы вида К таким интегралам можно
было бы применить методику М. 41.3, но однако целесообразнее оказывается подстановка

Пример:

Найти интеграл:

Решение:

Применив подстановку (43.5) по лучим:

Интегралы от дифференциальных биномов

Так
называются интегралы вида:

где — любые рациональные числа.

Доказано, это только в трех случаях этот интеграл может быть
выражен в конечном виде через алгебраические, логарифмические и показательные функции.

целое число. В этом случае применяется двухчлен возводиться в степень и после умножения на почленно интегрируется.

— целое число. В этом случае применяется подстановка где — знаменатель дроби

— целое число В этом случае применяется подстановка где — знаменатель дроби

Пример:

Найти интеграл

Решение:

Перепишем интеграл в виде:

Здесь

— целое число

Делаем подстановку:

Поэтому

Для возвращения к исходной переменной, воспользовавшись равенством

получим

Заключительные замечания об интегрировании

Интегрирование — операция не только сложнее, в общем случае, чем
дифференцирование, но в отличие от нее не имеет четкого алгоритма.
Вся трудность интегрального исчисления заключается в
невозможности сразу сказать, выражается ли первообразная через элементарные функции или нет.
Каким бы простым не казался на первый взгляд интеграл, например,

выразить его через элементарные функции невозможно.
Для нахождения ряда интегралов существуют различные способы.

Пример:

Найти интеграл

Решение:

Найдем этот интеграл тремя способами, внеся под знак
дифференциала сначала , затем и, наконец число 2.

Замечание:

Может показаться, что решение последнего при-
мера противоречит теореме 39.2. Но из тригонометрических формул следует, что функции

отличаются друг от друга на постоянные величины.

Мы ознакомились только с небольшим числом приемов
интегрирования функций. Тем не менее, они позволяют интегрировать довольно широкие классы элементарных функций.
Но и к нахождению таких интегралов необходимо подходить
творчески. Так для нахождения, например, интеграла

из примера 41.4 потребуется произвести большой объем вычислений.
Интеграл же

на первый взгляд такой же трудоемкий берется значительно проще, так как числитель подынтегральной функции равен произвольной
знаменателя. Внеся числитель под знак дифференциала, применяем формулу №2 таблицы интегралов.
В нашей таблице интегралов 15 формул. А в таблицах интегралов,
сумм, рядов и произведений (авторы И.С.Рыжик и И.М.Градштейн,
Наука, 1971) около пяти тысяч интегралов.
На практике достаточно сложные интегралы не вычисляют, а ищут в более или менее подробной таблице интегралов, или в соответствующей программе на компьютере

Решение заданий на тему: Интегрирование иррациональностей

Пример:

Найти интеграл

Решение:

Замечание:

Если в последнем интеграле поменять местами
числитель и знаменатель, то кроме аналогичного, можно
рекомендовать более простой способ вычисления интеграла. Достаточно почленно разделить числитель на знаменатель:

Такой же прием для рационализации подынтегральной функции
применяется, если последняя содержит дробь в разных степенях.

Пример:

Найти интеграл

Решение:

Подстановка приводит к интегрированию
рациональной функции. Из указанной подстановки определим и

Поэтому

Первый интеграл табличный, второй — от дроби 4-ого типа:

Взяв этот, а значит и предыдущий, после возвращения к исходной
переменной, получим окончательно

Пример:

Найти интеграл

Решение: Этот интеграл можно свести к рассматриваемому типу,
например:

Поэтому

Так как

Вернувшись к исходной переменной, окончательно получим

В следующих примерах мы не рационализируем подынтегральные функции, а сводим интегралы к табличным.

Пример:

Найти интеграл

Решение:

Пример:

Найти интеграл

Решение:

Интегралы сводятся к рассмотренным выше подстановкой

Пример:

Найти интеграл

Решение:

Пример:

Найти интеграл

Решение:

В заключение данного занятия найдем интеграл с помощью
тригонометрической подстановки.

Пример:

Найти интеграл

Решение:

Положим тогда

Поэтому

Найдем через

Поэтому окончательно

Определенный интеграл

Определенный интеграл. Свойства, теорема существования.
Производная по переменной верхней границе. Формула Ньютона-
Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в
определенном интеграле. Физический и геометрический смысл
определенного интеграла.

Определенный интеграл. Пусть на отрезке дана непрерывная функция

Проделаем следующие действия:

• Отрезок разделим на частей произвольным образом. Каждый такой отрезок назовем частичным. Если обозначить точки деления отрезка

то длина частичного отрезка

• На каждом частичном отрезке выберем произвольную точку т.е.

• Вычислим значение функции в произвольно выбранной точке умножим это значение на длину соответствующего частичного отрезка и составим сумму всех таких произведений, которую обозначим

Эта сумма называется интегральной суммой для функции на отрезке . Очевидно для функции на отрезке можно составить бесчисленное множество интегральных сумм.

• Найдем предел интегральной суммы (44.1) при условии, что число частичных отрезков неограниченно возрастает и каждый из них стягивается в точку.

Обозначим через длину наибольшего из частичных отрезков.

Определение:

Предел интегральной суммы (44.1)

при условии, что (и, следовательно, при ) если он
существует и не зависит ни от. способа деления отрезка интегралом функции на отрезке и обозначается символом

Таким образом,

Функция в этом случае называется интегрируемой на отрезке

Возникает естественный вопрос: при каких условиях существует
предел (44.1). Отвечает на него следующая теорема, которую мы принимаем без доказательства.

Теорема:

Существования определенного интеграла. Если
функция непрерывна на отрезке , то существует определенный интеграл т.е. существует предел (44.1), не зависящий ни от способа разбиения отрезка, ни от способа выбора внутренних точек.

В символе

— нижний и верхний пределы (границы) интегрирования,

— подынтегральная функция,

— подынтегральное выражение.

Отрезок называется отрезком (областью) интегрирования.

Отметим, что каждое слагаемое есть величина бесконечно малая. Так как их число неограниченно возрастает можем сказать, что определенный интеграл есть предел бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых.

Свойства определенного интеграла

Рассмотрим исходя из
определения интеграла (44.1) его простейшие свойства.

• Постоянный множитель можно вынести за знак определенного
  интеграла, т.е. если — число, то

Действительно,

При доказательстве этого свойства мы воспользовались тем, что
постоянный множитель можно выносить как за знак суммы, так и за знак предела.

• Определенный интеграл от суммы двух функций равен сумме
  определенных интегралов от слагаемых.

Доказательство аналогично предыдущему.
Это свойство легко обобщается на случай не двух, а любого конечного
числа слагаемых.

• Если в определенном интеграле поменять местами пределы
  интегрирования, то он изменит знак, т.е.

Справедливость этого свойства вытекает из того очевидного факта,
что если точки деления брать одни и те же, то в интегральных суммах, соответствующих интегралам в обеих частях равенства будут равны по величине и противоположны по знаку.
Возьмем интеграл, у которого пределы одинаковы и поменяем их местами:

Числа, отличающиеся знаком равны, если они равны нулю. Поэтому

• Если отрезок интегрирования точкой с разбить на две части и , то

Предположим сначала, что с

Предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения отрезка на частичные отрезки.

Это позволяет при составлении каждой интегральной суммы
включать точку с в число точек разбиения. Пусть Тогда интегральная сумма может быть разбита на две:

Переходя в этом равенстве к пределу при получим формулу (44.4).

Положим теперь, что например, Но тогда мы можем считать, что точка делит внутренним образом отрезок на отрезки и .

Тогда

Но на основании формулы (44.3)

Поэтому и при «внешнем» делении отрезка получим формулу (44.4).

Это свойство легко распространить на случай и большего числа точек деления отрезка

• Если на отрезке

то

Действительно, так как для любых то интегральная сумма

Поэтому и предел интегральной суммы при т.е. также неотрицателен.

Если же при условии 44.5 непрерывная функция хотя бы в одной точке отрезка , то

Действительно, пусть непрерывная функция везде на но в какой-то точке Но в силу непрерывности она положительна на каком-то отрезке содержащем

Разобьем отрезок двумя точками и на три отрезка. Тогда

Очевидно в правой части последнего равенства первый и третий
интегралы неотрицательны, а второй положителен.

Имеет место аналогичное свойство для случая, когда на отрезке

• Если на отрезке две функции и удовлетворяют неравенству то

Иными словами, неравенство можно почленно интегрировать.

В самом деле, разность поэтому согласно свойству 5

Откуда

• Если — непрерывная на отрезке функция, то на отрезке существует хотя бы одна такая точка что

Обозначим через и соответственно наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке т.е. для любого справедливо неравенство

Применяя свойство 6, получим

Ho т.к. для

Поэтому

Введя обозначение получим

Число лежит между и . Так как непрерывная на отрезке функция принимает все промежуточные значения между наименьшим и наибольшим то найдется такое число для которого откуда

Итак, определенный интеграл от непрерывной функции равен
значению подынтегральной функции в некоторой внутренней точке, умноженному на длину отрезка интегрирования. Это значение называется средним интегральным значением функции на отрезке

Вычисление определенного интеграла как предела интегральной
суммы имеет только теоретическое значение, почти никогда на деле не применямое.

Получить правило вычисления определенного интеграла, имеющее практическую ценность, мы сможем очень скоро после ознакомления с двумя теоремами.

Производная интеграла по переменной верхней границе

Пусть — непрерывная на отрезке функция. Рассмотрим интеграл

Закрепим нижнюю границу а и будем изменять верхнюю границу,
тогда интеграл будет функцией своей верхней границы. Чтобы подчеркнуть, что верхняя граница переменная, обозначим ее через вместо

Переменную интегрирования, чтобы не смешивать ее с верхней
границей обозначим через Таким образом интеграл с переменной верхней границей является функцией

Для этой функции имеет место следующая теорема.

Теорема:

Производная интеграла по переменной верхней
границе равна подынтегральной функции, в которой переменная
интегрирования заменена верхней границей, т.е.

Доказательство:

Найдем производную функции (44.6), исходя из
определения (см. часть 1, стр. 176, п. 14.2).

Дадим приращение тогда:

Следовательно, приращение функции равно:

Разделим отрезок точкой на два отрезка и

Поэтому на основании свойства 4 определенного интеграла:

Тогда на основание формулы (44.9) соотношение (44.8) примет вид

Применим к интегралу в правой части (44.10) теорему о среднем
значении, тогда

Разделим обе части последнего равенства на

Перейдя в равенстве (44.11) к пределу при получим искомую формулу (44.7).

Доказанная теорема является одной из основных теорем
математического анализа. Ее смысл в том, что интеграл с переменной верхней границей есть одна из первообразных подынтегральной функции.

Формула Ньютона-Лейбница

В предыдущем пункте мы
установили, что функция

является первообразной для непрерывной подынтегральной функции

Известно, что все первообразные функции отличаются друг от друга постоянным слагаемым. Поэтому, если — другая первообразная для или

Подставим в эту формулу и учитывая, что

получим

Подставив это значение в (44.12) и положив найдем

Эта формула Ньютона-Лейбница. Из нее следует, что

Определенный интеграл — это приращение первообразной функции на отрезке

Вследствие этой формулы, определенный интеграл и вычисляется как приращение первообразной, а не как предел интегральной суммы.

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

Замена переменной в определенном интеграле

Предположим, что нужно вычислить определенный интеграл

где — непрерывная на отрезке функция. Перейдем от переменной к переменной положив:

Пусть:

Предположим, кроме того, что

• Функция и ее производная непрерывны на отрезке

• При изменении от до значения функции не выходят за пределы отрезка

При выполнении этих условий имеет место следующая формула
замены переменной в определенном интеграле:

В самом деле, пусть — первообразная для функции т.е. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница:

Если в первообразной положить то функция будет первообразной для подынтегральной функции преобразованного интеграла.

В самом деле, применяя правило дифференцирования сложной
функции, получим:

Поэтому по формуле Ньютона-Лейбница

Равенство правых частей формул (44.16) и (44.17) и доказывает
справедливость формулы (44.15).
Рассмотрим два примера.

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

Интегрирование по частям в определенном интеграле

Пусть и функции, непрерывные вместе со своими
производными на отрезке

Очевидно:

Интегрируя это соотношение в пределах до получим

откуда

Формула (44.18) называется формулой интегрирования по частям в
определенном интеграле.

Пример:

Найти

Решение:

Геометрический смысл определенного интеграла

Пусть на Фигура, ограниченная отрезком осичастью графика функции и двумя прямыми и называется криволинейной трапецией.

Для нахождения ее площади поступим следующим образом.

• Произвольным образом точками

разобьем отрезок на частичные (элементарные) отрезки

• На каждом элементарном отрезке выберем по одной произвольной точке

• С небольшой погрешностью можем принять, что на протяжении
  каждого элементарного отрезка функция постоянна и равна ее значению в произвольно выбранной точке. Фактически мы заменяем площадь элементарной криволинейной трапеции с основанием на площадь прямоугольника с тем же основанием и высотой (рис. 12).
  Тогда:

• За точное значение площади примем предел этой интегральной суммы при

Последнее равенство выражает геометрический смысл определенного интеграла: интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции осью и вертикальными и

Физический смысл определенного интеграла

Пусть
материальная точка совершает прямолинейное движение, причем ее скорость является функцией времени: Найдем путь, пройденный точкой за промежуток времени до

Поскольку движение не является равномерным мы не можем
вычислить путь по формуле

Поэтому для подсчета пути поступим следующим образом.

1. Разобьем отрезок оси Ot произвольным образом на частичные отрезки точками с длинами
2. На каждом частичном отрезке выберем по одной произвольной точке
3. Если эти отрезки достаточно малы, то без большой погрешности движение на каждом отрезке можно считать равномерным со скоростью, равной значению функции в произвольно выбранной точке. Тогда:

4. За точное значение пройденного пути примем предел интегральной суммы (44.21) при условии, что число частичных отрезков неограниченно возрастает и каждый из них стягивается в точку:

Последнее равенство выражает физический смысл определенного
интеграла: пройденный путь равен определенному интегралу от скорости по времени.

Решение заданий на тему: определённый интеграл

Вспомним определение интеграла как предела интегральных сумм и
применим его при решении последующих двух задач.

Пример:

Составить формулу для вычисления интегральных сумм для функции непрерывной на отрезке разделяя этот
отрезок на равных элементарных отрезков и взяв в качестве внутренней правый конец каждого отрезка.

Решение:

Обозначим длину каждого частичного отрезка через

Координаты точек деления:

Значения функции в правых концах частичных отрезков:

Умножая каждое из этих значений на длину частичного отрезка составив сумму таких произведений, получим интегральную сумму

Пример:

Вычислить интеграл как предел интегральной суммы

Решение:
Предпримем такое разбиение отрезка интегрирования на
части, чтобы абсциссы точек деления образовали геометрическую прогрессию (иными словами — длины отрезков образовывали геометрическую прогрессию)

Если знаменатель прогрессии обозначить то абсциссы точек деления будут такими:

Заметим на будущее, что

Длины частичных отрезков равны

Значения функции в левом конце каждого отрезка равны

Умножим эти значения на соответствующие длины отрезков и
составим суммы таких произведений:

Сумма геометрической прогрессии

а с учетом формулы (44.8)

Поэтому

Видно, что составление интегральных сумм и нахождение их пределов дело очень сложное.

К счастью существует и второе определение определенного интеграла как приращение первообразной для функции на отрезке . С помощью такого определения решение последнего примера уместится в одной строке:

Найдем еще несколько интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Пример:

Найти

Решение:

Пример:

Найти

Решение:

Пример:

Найти

Решение:

Напомним, что при замене переменной в определенном интеграле после нахождения первообразной не следует возвращаться к переменной если найдены значения и значениям соответствующие и

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

Сделаем подстановку откуда Найдем пределы изменения

Следовательно,

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

Сделав подстановку найдем пределы изменения

Поэтому

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

Сделаем первую подстановку: или откуда

Следовательно

Сделаем вторую подстановку:

Поэтому

Замечание:

При нахождении пределов изменения мы
выбрали отрезок так как: ow удовлетворяет условиям 1,2 на с. 99

Замечание:

При вычислении интеграла от четной функции в
пределах, симметричных относительно нуля мы воспользовались
соотношением

В заключение этого практического занятия найдем интегралы с
помощью формулы интегрирования по частям.

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

Приложения определенного интеграла

Площадь фигуры в декартовой системе координат:
Воспользуемся известной нам формулой (44.19) нахождения площади криволинейной трапеции в декартовых координатах.

Пример:

Найти площадь эллипса, определяемого уравнением

Решение:

Найдем площадь четверти эллипса, изображенного на
рис. 13. Он ограничен кривой

Поэтому

Воспользуемся подстановкой указанной в п. 43.3,

Площадь же всего эллипса в четыре раза больше.

При получаем известную формулу площади круга

Пусть теперь плоская фигура такова, что любая вертикальная прямая пересекает ее не более, чем в двух точках (рис. 14).

Следовательно, в области выполняются условия такого типа:

Тогда согласно геометрическому смыслу определенного интеграла

Эта формула справедлива для любого расположения кривых (в
верхней или в нижней полуплоскостях), лишь бы выполнялось условие

Если же кривая задана в параметрическом виде:

Эта формула получается из формулы (44.19) формальной подстановкой Значения параметра соответствуют нижней границе — верхней границе

Пример:

Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой
циклоиды

осью абсцисс.

Решение:

Границам первой арки циклоиды соответствуют
значения и

Поэтому

Выведем теперь формулу для нахождения площади, если граница дана в полярных координатах

Воспользуемся второй схемой (рис. 16).

С точностью до бесконечно малых высших порядков по сравнению мы можем вычислить площадь этой фигуры, как площадь сектора.
Поэтому

Если полюс находится внутри области, то в интеграле (45.3) пределы
интегрирования от 0 до

Пример:

Найти площадь одного лепестка кривой (рис. 11)

Решение:

Объем тела по известным поперечным сечениям

Пусть
мы хотим определить объем некоторого тела. Предположим, что нам известны площади сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными Назовем эти сечения поперечными. Очевидно, что они являются функциями переменной Обозначим через и абсциссы самой левой и самой правой точек тела.

Разобьем отрезок на частей точками

Проведем через эти точки плоскости, перпендикулярные оси Эти плоскости рассекут тело на слоев. Обозначим объем слоя, заключенного между двумя плоскостями, проведенными через точки через Тогда

Рассмотрим один из слоев, заключенный между плоскостями,
проведенными через точки Его объем приближенно равен объему прямого цилиндра, высота которого равна а основание совпадает с поперечным сечением в какой-то точке

Объем такого цилиндра равен произведению площади основания на
высоту:

Поэтому объем тела приближенно будет равен:

За точное значение объема примем предел интегральной суммы 45.4
при условии, что длина шага рабиения отрезка стремится к нулю:

Окончательно получаем:

Пример:

Найти объем эллипсоида

Решение:

Найдем площадь сечения эллипсоида плоскостью,
перпендикулярной оси Ее уравнение Подставив в уравнение эллипсоида найдем, что в сечении получится эллипс

с полуосями

Его площадь (см. пример 45.2)

А теперь положим Тогда площадь поперечного сечения эллипсоида станет функцией:

И объем эллипсоида найдем по формуле (45.6):

Объем тела вращения

Пусть криволинейная трапеция (рис.
18) вращается вокруг оси

Очевидно

Подставив это значение в формулу (45.6), получим

Пример:

Найти объем тела, полученного вращением фигуры,
ограниченной линиями вокруг

а) оси абсцисс,
б) оси ординат.

Решение:

Пользуемся формулой (45.7) и такой же с заменой на и на

Длина дуги плоской кривой

Пусть дана кривая начальной точкой и конечной (рис. 19). Разделим ее на ряд элементарных дуг точками Положив и соединив соседние точки деления отрезками, получим ломаную

Определение:

Длиной дуги плоской кривой называется
предел, к которому стремится периметр вписанной в эту дугу ломаной при условии, что число звеньев неограниченно возрастает и длина каждого из звеньев стремится к нулю.

Впишем в дугу ломаную

Тогда периметр этой ломаной будет

где — длина звена По теореме Пифагора:

Применим к отрезку теорему Лагранжа:

В последнем равенстве принадлежит отрезку но где точно она лежит неизвестно.

Вспомним, что в определении интеграла как предела интегральных:
сумм присутствуют произвольно выбранные точки . Так вот, в качестве «произвольных» точек выберем точки существовании которых говориться в теореме Лагранжа.

Тогда периметр ломаной

Но (45.8) есть интегральная сумма для функции на отрезкеПоэтому

Выражение

называются дифференциалом дуги в декартовых координатах.

Если плоская дуга задана в параметрическом виде то

и длина дуги в параметрическом виде может быть найдена по формуле

Если же в формуле (45.10) перейти к полярным координатам по
формулам

то надо найти

Подставив найденные дифференциалы в формулу (45.10), получим

откуда длина дуги в полярных координатах равна

Пример:

Вычислить длину дуги кривой от точки с абсциссой 1 до точки с абсциссой

Решение:

Применив подстановку

получим

Пример:

Найти длину одной арки циклоиды (см. пример 45.2).

Решение:

Криволинейный интеграл по длине дуги

Пусть кривая (рис 19) находится в скалярном поле, определяемом функциейПо аналогии с пунктом 45.4 для кривой определяемом уравнением введем интегральную сумму

Определение:

Предел интегральной суммы 55.10 при условии, что все и, следовательно, называется криволинейным интегралом по длине дуги в скалярном поле или криволинейным интегралом 1-го рода, и обозначается

где дифференциал дуги

Если кривая задана в параметрическом виде или в полярных координатах то криволинейный интеграл по длине дуги будет вычисляться в соответствии с выражением дифференциала дуги (см. п. 45.4) по формулам:

где — значение параметра или полярного угла в точках и

Пример:

Вычислить криволинейный интеграл по дуге окружности от точки от точки от функции

Решение:

По формуле 55.12

Из условия определяем из условия находим Поскольку получаем:

Следует обратить внимание на то, что точки и выбирались таким образом, чтобы выполнялось условие

Установим физический смысл криволинейного интеграла по длине
дуги. Пусть вдоль кривой распределена масса с линейной плотностью Напомним, что линейной плотностью массы в точке называется предел отношения массы участка дуги содержащего точку его длине, когда длина стремится к нулю (т.е. участок стягивается в точку ).Тогда приближенное значение массы участка (см. рис. 19) будет равно Суммируя, найдем приближенное значение массы всей дуги Точное значение массы получится предельным переходом и, в соответствии с
определением 55.2, будет равно криволинейному интегралу:

Если формула 55.14 переходит в формулу 45.9 для вычисления дуги

Пример:

Найти массу проволоки, имеющей форму параболы на участке если плотность определяется формулой

Решение: По формуле 55.14, учитывая, что получаем:

Позже мы рассмотрим криволинейные интегралы рода, которые
имеют более широкие приложения.

Площадь поверхности вращения

Воспользуемся второй
схемой применения определенного интеграла. При вращении вокруг оси элементарной трапеции с основанием получится усеченный конус, боковая поверхность которого равна
произведению длины средней линии на апофему:

— откуда

Пример:

Вычислить объем и поверхность шара,
рассматривая его как тело вращения.

Решение:

Будем считать, что сфера образована вращением
окружности вокруг оси . Чтобы найти объем шара по формуле 45.7, найдем из уравнения окружности

Переменная интегрирования изменяется от до Поэтому

Вычислим теперь площадь сферы по формуле 45.17. Из уравнения
окружности

Подставляя это значение корня в 45.17, найдем

Приложение определенного интеграла к решению физических задач

Пример:

Сила тока является заданной непрерывной функцией времени Определить количество электричества протекшего через поперечное сечение проводника за время от момента начала эксперимента.

Решение:

1. Разделим отрезок времени точками на элементарных отрезков

Обозначим

2. На каждом отрезке выберем по одной произвольной точке

3. Будем считать, что за время сила тока не изменяется и равна значению функции в произвольно выбранной внутренней точке т.е.

Так ка для постоянного тока количество электричества, протекшее
через поперечное сечение проводника равно произведению силы тока на время, то на каждом элементарном отрезке

а на всем проводнике

4. За точное значение примем предел этой интегральной суммы при условии, что число элементарных отрезков неограниченно возрастает и каждый из них стягивается в точку:

В последней формуле длина наибольшего частичного отрезка.
На основании формулы (44.1) окончательно получаем

Пример:

Тяжелая цепь длиною поднимается,
навиваясь на ворот. Определить работу силы веса при подъеме цепи, если погонный метр весит 50 кг. Размерами ворота пренебречь.

Решение:

Пусть к некоторому моменту времени на ворот
навернулся отрезок цепи длиной . Тогда свешивается часть цепи длиной Весит эта часть

Элементарная работа силы веса на перемещении будет равна

Полную работу найдем по формуле:

Замечание:

Знак минус поставлен потому, что сила веса
направлена противоположно перемещению.

Пример:

Скорость движения материальной точки
выражается формулой Какой путь пройдет эта точка за первые 2 с движения.

Решение:

Решение заданий на тему: Приложения определенного интеграла

Пример:

Найти площадь, ограниченную графиками функций (см. рис. 21).

Решение:

Найдем площадь двумя способами,

а) Как разность площадей криволинейных трапеций с основаниями на оси и

б) Как разность площадей криволинейных трапеций с основаниями на оси и В этом случае вместо ординат из уравнений

верхней и нижней границ области используется абсциссы из уравнений правой и левой границ области.

Пример:

Найти площадь, ограниченную эллипсом

Решение:

Воспользуемся формулой (45.2) для вычисления площади,
ограниченной кривой, заданной в параметрическом виде:

Найдем всю площадь, как учетверенную площадь четверти эллипса.

Так как

то

Напомним, что ранее ( см. упр. 45.1) мы нашли площадь того же
эллипса в декартовых координатах.

Пример:

Найти площадь одного лепестка четырехлепестковой розы

Решение:

Один лепесток ограничен кривой и двумя лучами и Поэтому

Замечание:

Очевидно шар является эллипсоидом с
одинаковыми осями

Поставив это значение в формулу объема эллипсоида вместо и с получим известную формулу объема шара

Пример:

Найти объем тела вращения фигуры, ограниченной линиями и вокруг осей и

Решение:

Этот объем равен разности двух объемов (см. рисунок 21) и . — объем тела вращения трапеции а — треугольника вокруг оси

Следовательно,

Объем тела вращения вокруг оси найдем по формуле аналогичной (45.7) с заменой на и на :

В нашем случае

Пример:

Вычислить поверхность сферы, радиуса рассматривая ее как тело вращения.
Решение:

Будем считать, что сфера образована вращением вокруг оси . Найдем из этого соотношения

Подставляя эти значения в формулу

найдем

Пример:

Найти длину дуги кривой

Решение:

Длина дуги в декартовых координатах находится по
формуле (45.9). В нашем случае

Пример:

Найти длину окружности радиуса заданной параметрическими уравнениями

Решение:

Пример:

Найти длину кривой

Решение:

Длина дуги в полярных координатах находится по
формуле (45.11).

Находим:

Следовательно,

В заключение этого занятия решим задачу на физическое приложение определенного интеграла.

Пример:

К телу прикреплена пружина, другой конец которой
закреплен неподвижно в точке

Упругая сила, с которой действует пружина на тело, подчиняется
закону Гука, согласно которому где коэффициент пропорциональности, а удлинение пружины. Найти работу упругой силы при прямолинейном перемещении по линии действия силы от до

Решение:

Элементарная работа силы упругости при перемещении равна

Следовательно, вся работа при перемещении от до определится по формуле:

Приближенное вычисление определенного интеграла

Вычисление интегралов с помощью рядов. Методы трапеций и
Симпсона. Оценка ошибок.

Постановка задачи: Пусть требуется найти определенный интеграл Если функция непрерывна на отрезке и может быть найдена ее первообразная то по формуле Ньютона-Лейбница (44.13).

Если же первообразная не может быть найдена или функция задана графически или таблично, то для вычисления интеграла прибегают к приближенным формулам, точность которых может быть сколь угодно большой.

Чаще всего формулы приближенного интегрирования вытекают из
геометрического смысла определенного интеграла как площади
криволинейной трапеции. Следовательно, задача о приближенном вычислении интеграла заменяется другой, равносильной ей — задачей о нахождении площади криволинейной трапеции.

При этом кривая заменяется другой достаточно «близкой» к ней.
В качестве этой новой кривой выбирают такую, для которой площадь криволинейной трапеции подсчитывается просто, т.е. для которой мы легко можем найти первообразную. В зависимости от выбора этой кривой, и различаются формулы приближенного интегрирования.

Предположим сначала, что

Разобьем отрезок на равных частей точками

Длина каждого малого отрезка

Через точки деления проведем вертикальные прямые. Пусть они
пересекают кривую в точках

Формулы прямоугольников

Заменим кривую
ломаной, расположенной выше ее. Тогда определенный интеграл будет приблизительно равен площади прямоугольников

Если же кривую заменить ломаной, расположенной ниже ее, то получится формула

Формулы 46.2 и 46.3 называются формулами прямоугольников.

Формула трапеций

Соединив каждые две соседние точки
деления отрезками прямых, заменим кривую вписанной в нее ломаной. Площадь элементарной криволинейной трапеции с основанием заменим площадью трапеции, ограниченной сверху прямой (рис. 25).

Тогда площадь криволинейной трапеции, ограниченной ломаной будет приблизительно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой т.е. интегралу

Но свойству аддитивности площадь фигуры, ограниченной ломаной
равна сумме площадей прямолинейных трапеций, ограниченных сверху звеньями этой ломаной.
Площадь каждой такой трапеции легко подсчитать. Надо только
понять, что в отличие от привычного расположения трапеции (основания горизонтальны) эти трапеции расположены так, что их основания вертикальны.
Длины этих оснований — ординаты смежных точек деления. Высота
каждой малой трапеции равна

Следовательно, площадь всех таких трапеций

После очевидных преобразований получим

Таким образом, имеем приближенную формулу вычисления
определенного интеграла

называемую формулой трапеций.

Формула параболических трапеций (Симпсона)

Предположим, что число делений четное Возьмем две примыкающие друг к другу малые трапеции (рис. 26)

Абсциссы левой и правой точек основания обозначим и середины отрезка

Пусть на кривой им соответствуют точки Уравнение такой параболы:

Можно показать справедливость формулы

Для того, чтобы убедится в справедливости формулы достаточно
вычислить ее левую и правую части.

Поэтому

Следовательно,

Эта формула называется формулой параболических трапеций.

Замечание:

По определению (см. 44.2)

Заменяя предел приближенным равенством, получим

Все формулы численного интегрирования, рассмотренные ниже,
вытекают из (46.6) и отличаются друг от друга только выбором точек

Можно показать справедливость формул прямоугольников, трапеций и Симпсона и в случае, если условие 46.1 не выполняются.

Оценка ошибок

Рассмотрим одну элементарную
криволинейную трапецию (рис. 27). Ошибка при замене ее площади площадью прямоугольника равна

По формуле Лагранжа приращение функции на отрезке равно длине
этого отрезка, умноженной на значение производной функции в некоторой точке:

Поэтому

где — наибольшее значение производной функции на отрезке

Так как всего отрезков деления

то оценка абсолютной погрешности увеличится в раз:

а с учетом формулы (46.7):

Аналогично можно вывести оценки ошибок для методов трапеций и
Симпсона:

В этих формулах на отрезке

Для оценки погрешностей вычислений по формулам трапеций и
Симпсона существуют еще и формулы, которые мы приводим без доказательств:

При вычисление интегралов с помощью этих формул обычно
поступают так:

• вычисляют интеграл при числе точек деления п и 2п
• сравнивают результаты вычислений и оставляют все первые
  совпадающие знаки.

Пример:

На сколько частей надо разделить отрезок
интегрирования [0;1], чтобы вычислить по формулам численного интегрированный интеграл с точностью

Решение:

Длина отрезка интегрирования учитывая, что наибольшее значение всех производных:

согласно формулам (46.8), (46.9) и (46.10) получим для

1. Формул прямоугольников.

2. Формулы трапеций.

3. Формулы Симпсона.

Вычисление интегралов с помощью рядов

Этот метод
приближенного нахождения определенных интегралов основан на
разложении подынтегральной функции в ряд Тейлора с последующим интегрированием каждого слагаемого этого ряда. При нахождении определенного интеграла сумма ряда заменяется его частичной суммой с последующей оценкой ошибки.

Пример:

Вычислить интеграл с точностью

Решение:

Это — известный «интеграл вероятностей». Разложим
подынтегральную функцию в ряд Маклорена:

Интеграл от каждого слагаемого легко находится. Поэтому при получим:

Полученный ряд знакочередующийся.

Для него очень проста оценка ошибки — надо взять столько членов
ряда, чтобы первый отброшенный по абсолютной величине не превышал погрешности. Так как то с точностью до

Решение заданий на тему: Приближенное вычисление определенного интеграла

При решении примеров этого занятия необходимо вспомнить формулы трапеций (46.4) и Симпсона (46.5).

Пример:

Вычислить по формулам трапеций и Симпсона интеграл

Вычисления вести с пятью десятичными знаками. Отрезок
интегрирования разбить на 10 частей.

Решение:

Для оценки погрешностей мы будем приближенно
вычислять интеграл, точное значение которого известно:

Для применения обеих численных формул вычислим значения
подынтегральной функции в точках деления отрезка интегрирования. Эти данные занесем в таблицу:

По формуле трапеций:

В формуле Симпсона число делений отрезка берется четным

Поэтому множитель при будет равен Следовательно,

При пользовании формулой трапеций только два знака после запятой верные, при расчете по формуле Симпсона — все пять.

Пример:

Найти число пользуясь интегралом

Решение:

С шестью верными знаками

Разделим отрезок интегрирования на 10 частей (в формуле трапеций и в формуле Симпсона).

Эти данные занесем в таблицу:

Найдем суммы, необходимые нам в обеих формулах.

Тогда интеграл по формулам трапеций и Симпсона равен:

Применение формулы трапеций дает 3 верных знака, Симпсона — все 6

Вычислим теперь интегралы из упражнений этого занятия с помощью разложения подынтегральных функций в ряды Маклорена.

Пример:

Вычислить интеграл

разлагая подынтегральную функцию в ряд и заменив его сумму суммой первых семи членов. Вычисления вести с четырьмя знаками после запятой.

Решение:

Известно разложение в ряд Маклорена:

Беря интеграл от каждого члена разложения, получим:

Все четыре цифры после запятой — верные.

Пример:

Вычислить интеграл

с точностью 0,001, разлагая подынтегральную функцию в ряд
Маклорена (см. том 1 с 234)-

Решение:

Воспользуемся формулой суммы бесконечно убывающей
геометрической прогрессии:

С помощью этой формулы разложим подынтегральную функцию в ряд:

Поэтому, беря интеграл от каждого слагаемого, получим:

В полученном знакочередующемся ряду проста оценка погрешности.
Необходимо учитывать только члены ряда, большие по абсолютной
величине погрешности.

Несобственный интеграл

Интегралы с бесконечными пределами. Интегралы от разрывных
функций. Признаки сходимости несобственных интегралов.

Определение интеграла (44.1) основано на следущих условиях:

• областью интегрирования является отрезок

• подынтегральная функция непрерывна на этом отрезке.

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то обычное
определение интеграла становится неприемлемым.
Обобщим, поэтому, понятие определенного интеграла на случаи, когда эти условия не выполняются.

Интегралы с бесконечными пределами

Пусть в интеграле верхний предел бесконечный:

Поступим следущим образом:

1. Заменим бесконечный предел на конечный, например,

2. Вычислим Очевидно он будет функцией переменной

3. Найдем предел этого интеграла при условии, что
Этот предел называют несобственным интегралом с бесконечным пределом и обозначают

Таким образом

Если предел существует, то несобственный интеграл называется
сходящимся (существует), в противном случае — расходящимся (не
существует).

Пример:

Исследовать на сходимость интеграл

Решение:

Заменим бесконечный предел на конечный:

Находим интеграл, а затем его предел.

Если то первообразная равна и при логарифм неограниченно возрастает — интеграл расходится.

При

При предел равен бесконечности — интеграл расходится.

При предел равен — интеграл сходится.

Рис. 28 иллюстрирует этот пример.

Обратите внимание на то, что фигура, неограниченная справа может
ограничивать площадь, имеющую предел (если соответствующая кривая при лежит ниже пунктирной).

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

Следовательно, интеграл существует (сходится) и равен .

Пример:

Найти интеграл

Решение:

Таким образом, интеграл не существует (расходится).
Аналогично определяется интеграл с бесконечным нижним пределом:

Интеграл, у которого оба предела бесконечны определяется формулой

где — любая фиксированная точка.

Интеграл в левой части (47.4) существует (сходится), если
существуют оба интеграла в его правой части.

Пример:

Исследовать на сходимость интеграл

Решение:

Вычислим первый интеграл:

Вычислим второй интеграл:

Поэтому

Следовательно, интеграл существует (сходится) и равен 0.

Замечание:

Иногда замена переменной может превратить
несобственный интеграл в определенный.

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

Введем новую переменную и найдем соответствующие
пределы интегрирования.

Тогда:

ЗАМЕЧАНИЕ 47.19. При решении примеров, связанных с
несобственными интегралами допускается следующая формальная запись:

где понимается, что

Интегралы от разрывных функций

Пусть функция непрерывна на промежутке и в точке имеет разрыв. Что же в таком случае понимать под выражением

Поступим следущим образом

1. Заменим верхний предел точкой По определению По определению непрерывна на отрезке

2. Вычислим определенный интеграл

3. Найдем предел этого определенного интеграла при

Этот предел называют несобственным интегралом от разрывной
функции. Если предел существует, то говорят, что интеграл сходится
(существует). В противном случае интеграл расходится (не существует).

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

Подынтегральная функция имеет разрыв в точке правой границе области интегрирования. Поэтому

Следовательно, интеграл расходится (не существует)

Если же подынтегральная функция непрерывна на то интеграл определяется так:

Если же точка разрыва лежит внутри отрезка то

Интеграл в левой части равенства называется сходящимся, если
существуют оба интеграла в правой части.

Пример:

Исследовать на сходимость интеграл

Решение:

Подынтегральная функция разрывная в точке Поэтому рассмотрим отдельно интегралы и Легко убедится, что оба интеграла не существуют. Так

Следовательно, по определению не существует интеграл

Замечание:

Если действовать формально, применяя
формулу Ньютона-Лейбница, то получили бы заведомо неверный результат

Эта ошибка вызвана неправильным применением формулы Ньютона- Лейбница.

Замечание:

Все виды несобственных интегралов можно
определить как пределы определенных интегралов (а не пределы
интегральных сумм).

Признаки сходимости несобственных интегралов

Иногда нет необходимости вычислять несобственный интеграл, а достаточно лишь знать сходится ли он или нет.
В таких случаях бывает полезно сравнить данный несобственный
интеграл с другим, сходимость или расходимость которого заранее известна.
Приведем без вывода теоремы, устанавливающие признаки сходимости или расходимости, основанные на сравнении несобственных интегралов.

Теорема:

Пусть на промежутке функции и непрерывны и удовлетворяют условиям

Тогда

а) если интеграл сходится, то сходится и интеграл

б) если интеграл расходится, то расходится и интеграл

Пример:

Исследовать на сходимость интеграл:

Решение:

Ранее (см. пример 47.2) было найдено, что интеграл сходится. Так как на то интеграл также сходится.

Теорема:

Пусть функции и на промежутке непрерывны и удовлетворяют условиям

в точке имеют разрыв.

Тогда

а) если интеграл сходится, то сходится и интеграл

б) если интеграл расходится, то сходится и интеграл

Пример:

Исследовать на сходимость интеграл:

Решение:

Подынтегральная функция непрерывна на и имеет бесконечный разрыв в точке Сравним ее с функцией также непрерывной на и имеющей бесконечный разрыв в точке

Для всех имеет место неравенство

Но тогда

Таким образом, подынтегральная функция в промежутке меньше функции

Вычислим интеграл

Так как он сходится, то сходится и исходный интеграл.

Интегральный признак сходимости знакоположительных рядов

В 12 лекции первого тома были рассмотрены признаки
сходимости знакоположительных рядов — сравнения, Даламбера, Коши (радикальный).
Познакомимся еще с одним — интегральным признаком Коши.

Теорема:

Пусть члены знакоположительного ряда

являются значениями при

некоторой функции положительной, непрерывной, убывающей на промежутке так что

Рассмотрим несобственный интеграл

Тогда на основании интегрального признака Коши, принимаемого
нами без доказательства:

I.Ecлu сходится интеграл (47.9), сходится ряд (47.8).
2.Если расходится интеграл (47.9) , то расходится ряд (47.8).

Пример:

Исследовать на сходимость обобщенный
гармонический ряд

Решение:

Согласно (47.2) интеграл

Сходится при и расходится при

Следовательно, и ряд 47.10 сходится при и расходится при

Решение заданий на тему: Несобственные интегралы

При решении примеров этого занятия необходимо вспомнить
определения несобственных интегралов, а также признаки их сходимости (расходимости).

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

При так как при

Ясно, что при несобственный интеграл расходится.

Поэтому заключаем, что исходный интеграл сходится при и равен в этом случае При интеграл расходится и суммы не имеет.

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

Решение оформим с учетом замечания 47.19:

Но при не стремится ни к какому пределу, совершая колебания от -1 до 1. Следовательно, интеграл расходится.

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

Мы воспользовались тем, что

Следовательно, интеграл сходится и равен

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

У данного несобственного интеграла оба предела
бесконечны. Разобьем его на два, например, точкой 0:

Вычислим их:

Так как оба интеграла сходятся, то исходный интеграл сходится и
равен:

Напомним, что иногда достаточно не вычисляя интеграла только
выяснить сходится он или нет. В таких случаях необходимо пользоваться признаками сходимости интегралов.

Пример:

Исследовать на сходимость интеграл

Решение:

На промежутке подынтегральная функция данного интеграла не больше, чем у сходящегося интеграла примера 47.3:

Поэтому данный интеграл сходится (заметим, что сумма его не
найдена, но в данном примере она нас не интересует).

Пример:

Исследовать на сходимость интеграл

Решение:
Используем для доказательства сходимости интеграла признак
сравнения.
Проделаем элементарные преобразования:

Так как функция монотонная, то

Из примера 47.1 следует, что интеграл

сходится. Поэтому сходится и исходный интеграл.
Он называется интегралом вероятностей, Для него составлены
подробные таблицы.

Пример:

Исследовать на сходимость интеграл

Решение:
Рассмотрим несобственный интеграл:

Покажем, что он расходится:

Так как начиная с некоторого числа то на основании признака сравнения исходный интеграл расходится.

Решим физическую задачу, приводящую к несобственному интегралу.

Пример:

В начале координат находится масса которая притягивает по закону Ньютона с силой, модуль которой материальную точку единичной массы, находящуюся на оси на расстоянии от начала координат.

Вычислить работу которую произведет эта сила при перемещении в бесконечность из положения

Решение:
Так как сила притяжения направлена к началу координат, т.е. против движения, то работа будет отрицательной.

На основании закона Ньютона:

Перейдем теперь к интегралам от разрывных функций.

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

Очевидно, при подынтегральная функция неограниченно возрастает. Ясно, что она непрерывна на отрезке

По определению несобственного интеграла от разрывных функций
имеем:

Следовательно, интеграл сходится и равен двум.

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:
Особая точка лежит внутри отрезка интегрирования. Поэтому
разобьем интеграл на два:

У первого интеграла особой точкой является верхняя граница
интегрирования, у второго — нижняя.
Исследуем на сходимость

Так как расходится, то независимо от того, сходится или расходится исходный интеграл расходится.

Решение заданий и задач по предметам:

• Математика
• Высшая математика
• Математический анализ
• Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
2. Функции и графики
3. Преобразования графиков функций
4. Квадратная функция и её графики
5. Алгебраические неравенства
6. Неравенства
7. Неравенства с переменными
8. Прогрессии в математике
9. Арифметическая прогрессия
10. Геометрическая прогрессия
11. Показатели в математике
12. Логарифмы в математике
13. Исследование уравнений
14. Уравнения высших степеней
15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
16. Комплексные числа
17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
18. Алгебраические уравнения
19. Неопределенные уравнения
20. Соединения
21. Бином Ньютона
22. Число е
23. Непрерывные дроби
24. Функция
25. Исследование функций
26. Предел
27. Интеграл
28. Двойной интеграл
29. Тройной интеграл
30. Интегрирование
31. Неопределённый интеграл
32. Определенный интеграл
33. Криволинейные интегралы
34. Поверхностные интегралы
35. Несобственные интегралы
36. Кратные интегралы
37. Интегралы, зависящие от параметра
38. Квадратный трехчлен
39. Производная
40. Применение производной к исследованию функций
41. Приложения производной
42. Дифференциал функции
43. Дифференцирование в математике
44. Формулы и правила дифференцирования
45. Дифференциальное исчисление
46. Дифференциальные уравнения
47. Дифференциальные уравнения первого порядка
48. Дифференциальные уравнения высших порядков
49. Дифференциальные уравнения в частных производных
50. Тригонометрические функции
51. Тригонометрические уравнения и неравенства
52. Показательная функция
53. Показательные уравнения
54. Обобщенная степень
55. Взаимно обратные функции
56. Логарифмическая функция
57. Уравнения и неравенства
58. Положительные и отрицательные числа
59. Алгебраические выражения
60. Иррациональные алгебраические выражения
61. Преобразование алгебраических выражений
62. Преобразование дробных алгебраических выражений
63. Разложение многочленов на множители
64. Многочлены от одного переменного
65. Алгебраические дроби
66. Пропорции
67. Уравнения
68. Системы уравнений
69. Системы уравнений высших степеней
70. Системы алгебраических уравнений
71. Системы линейных уравнений
72. Системы дифференциальных уравнений
73. Арифметический квадратный корень
74. Квадратные и кубические корни
75. Извлечение квадратного корня
76. Рациональные числа
77. Иррациональные числа
78. Арифметический корень
79. Квадратные уравнения
80. Иррациональные уравнения
81. Последовательность
82. Ряды сходящиеся и расходящиеся
83. Тригонометрические функции произвольного угла
84. Тригонометрические формулы
85. Обратные тригонометрические функции
86. Теорема Безу
87. Математическая индукция
88. Показатель степени
89. Показательные функции и логарифмы
90. Множество
91. Множество действительных чисел
92. Числовые множества
93. Преобразование рациональных выражений
94. Преобразование иррациональных выражений
95. Геометрия
96. Действительные числа
97. Степени и корни
98. Степень с рациональным показателем
99. Тригонометрические функции угла
100. Тригонометрические функции числового аргумента
101. Тригонометрические выражения и их преобразования
102. Преобразование тригонометрических выражений
103. Комбинаторика
104. Вычислительная математика
105. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
106. Прямая и плоскость
107. Линии и уравнения
108. Прямая линия
109. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
110. Кривые второго порядка
111. Кривые и поверхности второго порядка
112. Числовые ряды
113. Степенные ряды
114. Ряды Фурье
115. Преобразование Фурье
116. Функциональные ряды
117. Функции многих переменных
118. Метод координат
119. Гармонический анализ
120. Вещественные числа
121. Предел последовательности
122. Аналитическая геометрия
123. Аналитическая геометрия на плоскости
124. Аналитическая геометрия в пространстве
125. Функции одной переменной
126. Высшая алгебра
127. Векторная алгебра
128. Векторный анализ
129. Векторы
130. Скалярное произведение векторов
131. Векторное произведение векторов
132. Смешанное произведение векторов
133. Операции над векторами
134. Непрерывность функций
135. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
136. Предел и непрерывность функции одной переменной
137. Производные и дифференциалы функции одной переменной
138. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
139. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
140. Матрицы
141. Линейные и евклидовы пространства
142. Линейные отображения
143. Дифференциальные теоремы о среднем
144. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
145. Функции комплексного переменного
146. Преобразование Лапласа
147. Теории поля
148. Операционное исчисление
149. Системы координат
150. Рациональная функция
151. Интегральное исчисление
152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
153. Отношение в математике
154. Математическая логика
155. Графы в математике
156. Линейные пространства
157. Первообразная и неопределенный интеграл
158. Линейная функция
159. Выпуклые множества точек
160. Система координат