Интеграл в математике и его применение с примерами решения и образцами выполнения

Интеграл — это одно из важнейших понятий математического анализа, которое возникает при решении задач: о нахождении площади под кривой; пройденного пути при неравномерном движении; массы неоднородного тела, и тому подобных; а также в задаче о восстановлении функции по её производной (неопределённый интеграл).

Первообразная

Рассмотрим движение точки вдоль прямой. Пусть за время t от
начала движения точка прошла путь s (t). Тогда мгновенная
скорость v (t) равна производной функции s (t) , т. е. v (t) = s’ (t).
В практике встречается обратная задача: по заданной скорости
движения точки v (t) найти пройденный ею путь s (t), т. е. найти
такую функцию s (t), производная которой равна v (t). Функцию
s (t), такую, что s’ (t)=v (t), называют первообразной функции v (t).
Например, если v (t) = а t, где а — заданное число, то функция является первообразной функции v (t), так как

Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на некотором промежутке, если для всех x от этого промежутка

Например, функция F (x)=sin х является первообразной функ­ции
f (х) = cos х, так как (sin x)’ = cos х функция
является первообразной функции , так как

Лобачевский Николай Иванович (1792—1856) — русский математик, созда­тель неевклидовой геометрии, совершившей переворот в представлении о природе пространства.

Пример:

Доказать, что функции
являются первообразными одной и той же функции

1) Обозначим тогда

Вообще любая функция где С — постоянная, явля­ется первообразной функции

Это следует из того, что произ­водная постоянной равна нулю. Этот пример показывает, что для заданной функции ее первообразная определяется неодно­значно.

Пусть — две первообразные одной и той же функ­ции f (х). Тогда F'(x)=f(x) и

Производная их раз­ности равна нулю, так как

Если g ‘(x )= 0 на некотором промежутке, то касательная к графику функции y = g (x) в каждой точке этого промежутка
па­раллельна оси Ох. Поэтому графиком функции y = g (x) является
прямая, параллельная оси Ох, т. е. g (х)=С, где С — некоторая
постоянная. Из равенств g (х) = С, следует, что

Итак, если функция F (х) является первообразной функции
f (х) на некотором промежутке, то все первообразные функции
f (х) записываются в виде F(x)+C, где С — произвольная
постоянная.

Рассмотрим графики всех первообразных заданной функции
f (х). Если F (х) — одна из первообразных функции f (х), то любая
первообразная этой функции получается прибавлением к F (х)
не­которой постоянной: F(x)+C. Графики функций y = F(x)+C
по­лучаются из графика y = F(x) сдвигом вдоль оси Оу (рис. 79).

Выбором С можно добиться того, чтобы график первообразной проходил через заданную точку.

Пример:

Для функции f (х) = х найти такую первообразную, график которой проходит через точку (2; 5).

Все первообразные функции f (х)=х находятся по формуле так как F ‘(х) = х. Найдем число С, такое, чтобы график функции проходил через точку (2;5)

Подставляя х = 2, у = 5, получаем откуда С = 3.
Следовательно,

Пример:

Доказать, что для любого действительного функция является первообразной функции на промежутке х > 0 .

Так как то

Например, первообразная функции равна первообразная функции равна

Правила нахождения первообразных

Напомним, что операцию нахождения производной для задан­ной функции называют дифференцированием. Обратную операцию
нахождения первообразной для данной функции называют
ин­тегрированием (от лат. untegrare — восстанавливать).

Таблицу первообразных для некоторых функций можно соста­вить, используя таблицу производных. Например, зная, что
(cos х)’ = — sin х, получаем (— cos x)’ = sin х, откуда следует, что
все первообразные функции sin x: записываются в виде — cos х = С,
где С — постоянная.

Приведем таблицу первообразных.

Отметим, что во всех рассмотренных примерах и в дальней­шем функция F(x) является первообразной функции f (х) на та­ком промежутке, на котором обе функции Р (х) и f (х) определены.
Например, первообразной функции является функция
на таком промежутке, на котором 2х — 4 > 0 , т. е.
на промежутке x > 2.

Правила интегрирования можно также получить с помощью правил дифференцирования. Приведем следующие правила
ин­тегрирования:

Пусть F (х) и G (х) — первообразные соответственно функций f (х) и g (х) на некотором промежутке. Тогда:
1) функция является первообразной функции
f(x)±g (x);
2) функция aF (х) является первообразной функции af (х).

Пример:

Найти одну из первообразных функции

Используя правила интегрирования и таблицу первообраз­ных для функций при р = 2 и для cos х, находим одну из первообразных данной функции:

Пример:

Найти все первообразные функции

По таблице первообразных находим: одной из первообразных
функции является функция а одной из
первообраз­ных функции sin(2x + 3) является функция правилам интегрирования находим одну из первообразных
дан­ной функции

О т в е т.

Площадь криволинейной трапеции и интеграл

Рассмотрим фигуру, изображенную на рисунке 80. Эта фи­гура ограничена снизу отрезком [а; b] оси Ох, сверху графиком
непрерывной функции у = f(х ), принимающей положительные
значения, а с боков отрезками прямых х = а и х = b. Такую
фи­гуру называют криволинейной трапецией. Отрезок [а; b]
назы­вают основанием этой криволинейной трапеции.

Выясним, как можно вычислить площадь 5 криволинейной
трапеции с помощью первообразной функции f (х).
Обозначим S (х) площадь криволинейной трапеции с основа­
нием [а; х] (рис. 81), где х — любая точка отрезка [а; b]. При
х = а отрезок [а; х] вырождается в точку, и поэтому S (а) = 0;
при х = b имеем S (b) = S.

Покажем, что S (х) является первообразной функции f (х),
т. е. S'(х)= f(х).

Рассмотрим разность S’ (х + h) — S (х), где h > 0 (случай
h < 0 рассматривается аналогично). Эта разность равна площа­ди криволинейной трапеции с основанием [х; х + h] (рис. 82). Если число А мало, то эта площадь приблизительно равна ,
т. е.

Следовательно, При левая часть
этого приближенного равенства по определению производной
стремится к S’ (х), а погрешность приближения при
ста­новится как угодно малой. Поэтому при получается
ра­венство S'(х) = f(х). Это и означает, что S (х) является
перво­образной функции f (х).
Любая другая первообразная F (х) отличается от S (х) на
постоянную, т. е.

F(х) = S (х) + С. (1)

Из этого равенства при х = а получаем F (а) = S (а)+ С. Так
как S (а) = 0, то С=F (а) и равенство (1) можно записать так:
S (х) = F (х-) — F (а).
Отсюда при х = b получаем:
S (b) = F (b) — F (а).

Итак, площадь криволинейной трапеции (рис. 80) можно
вычислить по формуле

где F (х) — любая первообразная функции f (х).

Таким образом, вычисление площади криволинейной трапе­ции сводится к отысканию первообразной F (x) функции f(x),
т. е. к интегрированию функции f (х).

Разность F(b) — F(a) называется интегралом от функции f(x) на отрезке [a; b] и обозначается так (читается: «Интеграл от a до b эф от икс дэ икс») т. е.

Формулу (3) называют формулой Ньютона — Лейбница в честь
создателей дифференциального и интегрального исчисления.
Из формул (2) и (3) получаем:

Пример:

Найти площадь криволинейной трапеции,
изо­браженной на рисунке 83.

По формуле (4) находим

Вычислим этот интеграл с помощью формулы Ньютона — Лейбница (3).

Одной из первообразных функции является

Поэтому

Формулы (3) и (4) справедливы и для случая, когда функ­ция f (х) положительная внутри отрезка [а; b] а на одном из концов отрезка или на обоих концах равна нулю.

Пример:

Найти площадь криволинейной трапеции,
изо­браженной на рисунке 84.

Функция F (х)= — cos х является первообразной для функ­ции
f (x)= sin х. По формулам (3), (4) получаем:

Исторически интеграл возник в связи с вычислением пло­щадей фигур, ограниченных кривыми, в частности площади
кри­волинейной трапеции. Рассмотрим криволинейную трапецию, изо­браженную на рисунке 85. На этом рисунке основание трапеции — отрезок [а; b]— разбито на п отрезков (необязательно равных)
точками

Через эти точки проведены вертикальные прямые. На первом
отрезке выбрана произвольно точка и далее на этом
отрезке построен прямоугольник высотой на втором
отрез­ке выбрана точка и на этом отрезке построен пря­моугольник высотой и т. д. Площадь данной криволиней­ной трапеции приближенно равна сумме площадей построенных прямоугольников:

где — длина первого отрезка, т. е. и т. д. Таким образом, площадь S криволинейной
тра­пеции можно приближенно вычислять по формуле (S), т. е.

Сумму (S) называют интегральной суммой функции f (х) на
отрезке [ а ; b ]. При этом предполагается, что функция f (х) не­
прерывна на отрезке [а; b] и может принимать любые значения
(положительные, отрицательные и равные нулю). Если и длины отрезков разбиения стремятся к нулю, то интегральная
сумма стремится к некоторому числу, которое и называют
интегралом от функции f (х) на отрезке [а; b] и обозначают

При этом также справедлива формула Ньютона — Лейбница.

Вычисление интегралов

Интегралы можно приближенно вычислять с помощью
ин­тегральных сумм. Такой способ приближенного вычисления
ин­теграла требует громоздких вычислений. Им пользуются в тех
случаях, когда не удается найти первообразную функции f (х)
и для вычислений обычно используют ЭВМ, составляя
специаль­ные программы. Если же первообразная функции известна, то интеграл можно вычислить точно, используя- формулу Ньютона — Лейбница.

Приведем примеры вычисления интегралов по формуле Ньюто­на — Лейбница с помощью таблицы первообразных и правил
интегрирования.

Пример:

Вычислить интеграл

Одной из первообразных функции х — 1 является функция

При вычислении интегралов удобно ввести следующее
обозна­чение:

Тогда формулу Ньютона— Лейбница можно записать в виде

Пример:

Вычислить интеграл

так как

Пример:

Вычислить интеграл

Пример:

Вычислить интеграл

Пример:

Вычислить интеграл

Вычисление площадей с помощью интегралов

Пример:

Вычислить площадь криволинейной трапеции,
ограниченной осью Ох, прямыми х = — 1, х = 2 и параболой
Построим график функции и изобразим данную
трапецию (рис. 86).
Искомая площадь S равна интегралу

По формуле Ньютона — Лейбница находим:

Пример:

Найти площадь фигуры, ограниченной парабо­лами и осью Ох.

Построим графики функций и найдем
абсциссы точек пересечения этих графиков из уравнения

Корни этого уравнения

Данная фигура изображена на рисунке 87. Из рисунка видно, что эта фигура состоит из двух криволинейных трапеций.
Следовательно, искомая площадь равна сумме площадей этих
трапеций:

Пример:

Найти площадь S фигуры, ограниченной отрез­
ком оси Ох и графиком функции у = cos x на этом от­
резке.

Заметим, что площадь данной фигуры равна площади фигуры, симметричной данной относительно оси Ох (рис. 88), т. е. площади фигуры, ограниченной отрезком оси Ох и
графиком функции у = — cos x на отрезке . На этом
отрезке и поэтому

Вообще если на отрезке [а; b] (рис. 89), то площадь
S криволинейной трапеции равна

Пример 4. Найти площадь S фигуры, ограниченной параболой и прямой у = x+3.

Построим графики функций и у = х + 3 . Найдем
абсцис­сы точек пересечения этих графиков из уравнения

Это урав­нение имеет корни Фигура, ограниченная графиками данных функций, изображена на ри­сунке 90. Из этого рисунка видно, что искомую площадь можно найти
как разность площадей и двух трапеций, опирающихся на отрезок [— 1; 2],

первая из которых ограничена сверху отрезком прямой у = х+ 3, а вторая — дугой параболы . Так как

Используя свойство первообразных, можно записать S в виде
одного интеграла:

Вообще площадь фигуры, изображенной на рисунке 91, равна

Эта формула справедлива для любых непрерывных функций и (принимающих значения любых знаков),
удовлетво­ряющих условию

Пример:

Найти площадь 5 фигуры, ограниченной пара­болами и

Построим данную фигуру (рис. 92) и найдем абсциссы точек
пересечения парабол из уравнения

Это уравнение имеет корни Воспользуемся фор­мулой (1). Здесь

Применение производной и интеграла к решению практических задач

Простейшие дифференциальные уравнения

До сих пор рассматривались уравнения, в которых неизвест­ными являлись числа. В математике и ее приложениях прихо­дится рассматривать уравнения, в которых неизвестными явля­ются функции. Так, задача о нахождении пути s (t) по заданной
скорости V (t) сводится к решению уравнения s'(t) = v(t), где
v (t) — заданная функция, а s (t) — искомая функция.

Например, если v(t) = 3 — 4t, то для нахождения S (t) нужно
решить уравнение s'(t) = 3 — 4t

Это уравнение содержит производную неизвестной функции.
Такие уравнения называют дифференциальными уравнениями.

Пример:

Решить дифференциальное уравнение у’ = х+1.

Требуется найти функцию у (х), производная которой рав­на х + 1 , т. е. найти первообразную функции х + 1 . По правилам
нахождения первообразных получаем:

где С — произвольная постоянная.

Решение дифференциального уравнения определяется неод­нозначно, с точностью до постоянной. Обычно к дифференциаль­ному уравнению добавляется условие, из которого эта постоянная определяется.

Пример:

Найти решение у (х) дифференциального урав­нения
у’ = cos x, удовлетворяющее условию у(0)= 2.

Все решения этого уравнения записываются формулой
y(x) = sin х + С . Из условия у (0 )= 2 находим sin 0 + С = 2 , откуда C=2.

О т в е т. у = 2 + sin х.

Решение многих физических, биологических, технических и
других практических задач сводится к решению
дифференциаль­ного уравнения
y’ = ky (1)
где k — заданное число. Решениями этого уравнения являются
функции

где С — постоянная, определяемая условиями конкретной задачи.

Например, скорость m’ (t) размножения бактерий связана с массой m (t) бактерий в момент времени t уравнением
m’ (t) = km (t),
где k — положительное число, зависящее от вида бактерий и
внешних условий. Решениями этого уравнения являются функции

Постоянную С можно найти, например, из условия, что в момент
t = 0 масса бактерий известна. Тогда и поэтому

Другим примером применения уравнения (1) является задача
о радиоактивном распаде вещества. Если m’ (t) — скорость
ра­диоактивного распада в момент времени t, то
m’ (t) = — km (t),
где k — постоянная, зависящая от радиоактивности вещества.
Решениями этого уравнения являются функции

Если в момент времени t масса равна , то и поэтому

Заметим, что на практике скорость распада радиоактивного
вещества характеризуется периодом полураспада, т. е.
проме­жутком времени, в течение которого распадается половина ис­ходного вещества.

Пусть Т — период полураспада, тогда из равенства (3) при
t = Т получаем откуда

Поэтому формула (3) запишется так:

Гармонические колебания

В практике часто встречаются процессы, которые периоди­чески повторяются, например колебательные движения маятника,
струны, пружины и т. д.; процессы, связанные с переменным
электрическим током, магнитным полем и т. д. Решение многих
таких задач сводится к решению дифференциального уравнения

где — заданное положительное число, у = у (х), у» = (у'{х))’.
Функцию (у’ (х))’ называют второй производной функции у (х)
н обозначают у» (х) или коротко у». Решениями уравнения (4)
являются функции

где — постоянные, определяемые условиями конкретной
задачи. Уравнение (4) называют дифференциальным уравнением
гармонических колебаний, а равенство (5) называют уравнением
гармонических колебаний.

Например, если у (t) — отклонение точки свободно колеблю­щейся струны от положения равновесия в момент времени t, то

где А — амплитуда колебания, — частота, — начальная фаза.
График гармонического колебания является синусоидой.

Примеры применения первообразной и интеграла

Пример:

Цилиндрический бак, высота которого равна
5 м, а радиус основания равен 0,8 м, заполнен водой (рис. 94).
За какое время вытечет вода из бака через круглое отверстие в
дне бака, если радиус отверстия равен 0,1 м?

Обозначим высоту бака Н, радиус его основания R, ра­диус отверстия r (длины измеряем в метрах, время — в секундах).
Скорость вытекания жидкости v зависит от высоты столба
жидкости х и вычисляется по формуле Бернулли

где g = 9,8, — коэффициент, зависящий от свойства жидкости;
для воды = 0,6. Поэтому по мере убывания воды в баке скорость
вытекания уменьшается ( не постоянна).

Пусть t (х) — время, за которое вытека­ет вода из бака высотой х с тем же ра­диусом основания R и с тем же отверстием радиуса r (рис. 94). Найдем приближенно разностное отношение

счи­тая, что за время ско­рость вытекания воды постоянна и выра­жается формулой (6).

За время объем воды, вытекшей из бака, равен объему цилиндра высотой h с радиусом основания R (рис. 94), т. е.
равен

С другой стороны, этот объем равен объему цилиндра, основанием котоpoгo служит отверстие в дне бака, а высота равна произведению скорости вытекания v на время , т. е. объем равен

Таким образом, Отсюда, учитывая формулу (6) и обо­значение , получаем:

причем погрешность приближения стремится к нулю при Следовательно, при получается равенство

Если х = 0 (в баке нет воды), то t(0) = 0, поэтому С = 0. При
х = Н находим искомое время:

Используя данные задачи, вычисляем:

О т в е т. 108 с. ▲

Пример:

Вычислить работу силы F при сжатии пружины на 0,08 м, если для ее сжатия на 0,01 м требуется сила 10 Н.

По закону Гука сила F пропорцио­нальна растяжению или сжатию пружины, т. е. F = k х, где х — величина растяжения или сжатия
(в м), k — постоянная. Из условия задачи находим k. Так как при
х= 0,01 м сила F = 10 Н, то

Следовательно, F (х) = kх — 1 000х. Работа силы F (х) при перемещении тела из точки а в точку b равна

Используя данные задачи, получаем:

Задача интегрирования

Математика изучает различные связи между величинами. Важнейшие примеры таких связей дает механическое движение. Мы уже много раз обращались к примеру движения материальной точки по оси. Между положением (координатой) точки и ее скоростью есть известная связь, лежащая в основе математического анализа: скорость является производной от координаты по времени. Сама операция нахождения производной называется дифференцированием. Обратная задача — нахождение положения точки по ее скорости — решается с помощью другой математической операции, называемой интегрированием.

Мы знаем много примеров пар величин, которые связаны между собой так же, как положение точки и ее скорость. Нахождение одной из этих величин, если известна другая, мы свели к операции дифференцирования. Так, линейная плотность тонкого стержня есть производная его массы по длине, мощность есть производная работы по времени, сила тока есть производная заряда по времени и т. д. С помощью обратной операции — интегрирования мы научимся вычислять массу по заданной плотности, работу по известной мощности, заряд по заданной силе тока и т. д.

Прежде чем учиться вычислять интегралы, мы рассмотрим их геометрический смысл. Начнем по-прежнему с задачи о механическом движении. Пусть точка движется с постоянной скоростью v = vo. Графиком скорости в системе координат (t; v) будет прямая v = vo, параллельная оси времени t. Если считать, что в начальный момент времени- t = 0 точка находилась в начале координат, то путь ее s, пройденный за время t, вычисляется по формуле s = . Величина представляет собой площадь прямоугольника, ограниченного графиком скорости, осью абсцисс и двумя вертикальными прямыми, т. е. путь точки можно вычислить как площадь под графиком скорости (рис. 119).

Обратимся к случаю неравномерного движения. Теперь скорость можно считать постоянной только на маленьком отрезке времени. Если скорость v меняется по закону v = v{t), то путь, пройденный за отрезок времени [t; t+dt], приближенно выразится произведением v (t)dt, а на графике — площадью прямоугольника со сторонами dt и v (t). Точное значение пути за отрезок времени [t; t+dt] равно площади криволинейной трапеции, заштрихованной на рисунке 120. Весь путь получится сложением площадей таких криволинейных трапеций, т. е. выразится как площадь под графиком скорости.

Аналогично если мы начертим график зависимости силы тока от времени 1 = 1(t) (рис. 121), то величина заряда q, перенесенного током за отрезок времени [t; t + dt], приближенно вычислится по формуле l (t)dt, т. е. представится площадью прямоугольника со сторонами dt и I (t). Точную величину заряда можно вычислить как площадь под графиком силы тока.

Таким образом задача интегрирования тесно связана с задачей вычисления площади.

Геометрический смысл интеграла

Коротко об интеграле можно сказать так:

Интеграл — это площадь.

Способ вычисления площади, о котором пойдет речь в этой главе, уходит корнями в глубокую древность. Еще в III в. до н. э. великий Архимед вычислил площадь параболического сегмента с помощью изобретенного им «метода исчерпывания», который через две тысячи лет был преобразован в метод интегрирования. Простейшими фигурами, площади которых мы научимся вычислять, являются криволинейные трапеции.

Определение:

Пусть на координатной плоскости дан график положительной функции f, заданной на отрезке [а; b]. Под графиком (или криволинейной трапецией) называется фигура, ограниченная графиком функции f, прямыми х = а и х = b и осью абсцисс.

Можно образовать криволинейные трапеции с помощью различных известных вам функций. Некоторые примеры их представлены на рисунке 122.

Определение:

Пусть дана положительная функция /, определенная на конечном отрезке [а; b]. Интегралом от функции f на отрезке [а; b] называется площадь ее подграфика.

Итак, интеграл — это площадь. Если мы научимся вычислять площади, то сумеем вычислить и интегралы, а тем самым многие физические величины.

Прямое вычисление площадей некоторых фигур, а значит, и интегралов от некоторых функций проделал еще Архимед. Однако лишь в XVII в. Ньютону и Лейбницу удалось открыть общий способ вычисления интегралов.

Интегральные суммы

«Метод исчерпывания» Архимеда хотя и не дал общего способа вычисления площади, однако сыграл очень большую роль в математике, так как с его помощью удалось объединить самые разные задачи — вычисление площади, объема, массы, работы, давления, электрического заряда, светового потока и многие, многие другие.

Проиллюстрируем этот метод на простом примере. Предположим, что нам надо вычислить объем лимона, имеющего неправильную форму, и поэтому применить какую-либо известную формулу объема нельзя. С помощью взвешивания найти объем также трудно, так как плотность лимона в разных частях его разная. Поступим следующим образом. Разрежем лимон на тонкие дольки. Каждую дольку приближенно можно считать цилиндриком, радиус основания которого можно измерить. Объем такого цилиндра вычислить легко по готовой формуле. Сложив объемы маленьких цилиндров, мы получим приближенное значение объема всего лимона. Приближение будет тем точнее, чем на более тонкие части мы сможем разрезать лимон.

Применим аналогичную процедуру для вычисления площади подграфика. Рассмотрим подграфик функции f, заданной на отрезке [а; b]. Разобьем этот отрезок на несколько частей.

Площадь всего подграфика разобьется на сумму площадей более мелких криволинейных трапеций. Каждую такую трапецию можно приближенно считать прямоугольником. Сумма площадей этих прямоугольников дает приближенное представление о всей площади подграфика. Чем мельче мы разобьем отрезок [а; b] тем точнее вычислим площадь.

Архимед

(ок. 287—212 до н. з.) — греческий физик и математик. Ему принадлежит метод нахождения длин и площадей, предвосхитивший интегральное исчисление. Закон Архимеда — один из фундаментальных законов механики. «Внимательно читая сочинения Архимеда, перестаешь удивляться всем новейшим открытиям геометрии»,— сказал о нем Лейбниц.

«Легче найти доказательство, приобретя сначала некоторое понятие о том, что мы ищем, чем искать такое доказательство без всякого предварительного знания».

Архимед

Запишем проведенное рассуждение в виде формул.

Разделим отрезок [а; b] на n частей точками

Длину k-ro обозначим через

Составим сумму Sn =

Геометрически эта сумма представляет собой площадь ступенчатой фигуры, заштрихованной на рисунке 123.

Суммы вида Sn= называются интегральными суммами для функции f.

Интегральные суммы дают приближенное значение площади. Точное значение получается при помощи предельного перехода.

Представим себе, что мы измельчаем разбиение отрезка [а; b] так, что длины всех маленьких отрезков стремятся к нулю (т. е. ). Тогда площадь ступенчатой фигуры будет приближаться к площади подграфика S. Можно сказать, что площадь подграфика равна пределу интегральных сумм, т. е.

Тем самым и про интеграл можно сказать так:

Интеграл равен пределу интегральных сумм.

С помощью интегральных сумм можно приближенно вычислять самые различные величины. Приведем примеры.

1.Объем лимона. Обозначим толщину k-й дольки через (необязательно резать лимон на дольки одинаковой толщины), а радиус ее через rk (k = 1,…, n — это означает, что мы разрезали лимон на п долек). Объем лимона приближенно представим интегральной суммой

2. Работа. Предположим, что на точку, движущуюся по оси х, действует некоторая сила F, направленная по той же оси. Мы знаем, что если сила F постоянна, то работа равна Fs, где s — путь, пройденный точкой. Предположим теперь, что F меняется от точки к точке и нам известно ее значение F (х) в каждой точке х некоторого промежутка [a; b]. Как найти работу А по перемещению точки из а в Ь?

Разобьем отрезок [а; b] на п отрезков. Будем приближенно считать, что на каждом отрезке сила постоянна. В качестве постоянной силы на отрезке можно взять значение функции F в одной из точек этого отрезка, например в точке xk. Работу на k-м отрезке пути приближенно можно представить как произведение , а на всем отрезке — интегральной суммой:

Точное значение работы А получается предельным переходом:

Способ вычисления пределов интегральных сумм оказался очень трудным. Даже для простейших функций этот способ вычисления интегралов неприменим. Архимед сумел вычислить некоторые площади, объемы, фактически находя пределы интегральных сумм для квадратичной функции. Однако этот результат стоял особняком в математике до конца XVII в., когда было выяснено, что задача нахождения площади обратна к задаче нахождения скорости.

Скорость роста площади

Рассмотрим положительную функцию f, заданную на отрезке [а; b]. Представим себе «переменную» криволинейную трапецию, полученную следующим образом: закрепим левую стенку х = а, а правую начнем двигать вдоль оси абсцисс. Такая трапеция изображена заштрихованной фигурой на рисунке 124. Ее можно считать подграфиком функции f, область определения которой ограничена отрезком [а; х].

Обозначая площадь трапеции, т. е. площадь подграфика функции f, заданной на отрезке [а; x], через S (х), получим новую функцию S = S(x) (переменная площадь). Перечислим свойства функции S. Она определена для всех x ∈ [а; b], ее значение при х=а равно нулю (трапеция вырождается в отрезок, и ее площадь равна нулю), эта функция возрастает, и при х=b ее значение равно площади всего подграфика, т. е. интегралу от функции f.

Найдем скорость роста функции S и результат запишем в виде теоремы.

Теорема:

О скорости роста площади. Пусть f — положительная функция, S — переменная площадь ее подграфика. Тогда производная функции S равна функции f, т. е. S'(x)=f(x).

Итак, теорема утверждает, что производная переменной площади подграфика функции f равна самой функции f. Для доказательства теоремы поступим так, как всегда поступают при вычислении производной.

Зафиксируем значение аргумента х и дадим аргументу приращение Л*. Вычислим приращение функции: ∆ S = S (х + ∆x) — S (х). По рисунку 125 видно, что приращение площади есть площадь подграфика функции f, определенной на отрезке [х; х + ∆х].

Если ∆х достаточно мало, то площадь заштрихованной на рисунке 125 криволинейной трапеции мало отличается от плошади прямоугольника со сторонами f (х) и ∆х, т. е. можно записать приближенное равенство ∆S ≈ f (х) ∆х. Отсюда мы делаем вывод, что , т. е. производная функции S равна функции f, что и утверждалось в теореме.

Замечание:

В доказательстве теоремы мы использовали такое соображение: если отрезок [х; х+ ∆х] достаточно мал, то площадь подграфика функции f на этом отрезке мало отличается от произведения f (х) ∆х. Но если в точке х функция f имеет разрыв, то это неверно, что хорошо видно на рисунке 126. Поэтому в формулировку теоремы о скорости роста площади надо добавить требование непрерывности функции f.

Подведем итог. Для функции f мы построили новую функцию S — переменную площадь подграфика. Связь между функциями f и S такова:

S — интеграл от функции f,

f — производная функции S.

Из этого видно, что нахождение интеграла (интегрирование) и нахождение производной (дифференцирование) являются взаимно обратными операциями. Если мы знаем функцию f, то нахождение функции S (площади подграфика функции f) есть задача интегрирования функции f. Если же задана функция S, то нахождение функции f (скорости роста площади) есть задача дифференцирования функции S.

Обозначение интеграла

Традиционно интеграл от функции у = (х) на отрезке [а; b] обозначается так:

Эта традиция имеет исторические корни. Интегральные суммы, с помощью которых приближенно вычисляется интеграл, составляются из слагаемых вида f (х) ∆х. Приближенное равенство AS ≈ f(x) ∆х может быть заменено точным равенством дифференциалов dS = f {х) dx. Интеграл можно представить как сумму «бесконечного числа дифференциалов». Знак интеграла ∫ и есть стилизованная запись буквы S — первой буквы слова «сумма» на латинском языке:

Напоминаем, что площадь S можно получить суммированием слагаемых вида f (х) dx. Около знака интеграла ставят пределы интегрирования — концы отрезка [а; b], на котором задана функция f.

Переменная площадь S (х) запишется как площадь подграфика функции f на отрезке [а; х], т. е. в виде интеграла с переменным верхним пределом:

Связь между функциями f и S, установленную в теореме о скорости роста площади, можно записать так:

Выводы

• 1) Интеграл от положительной функции — это площадь ее подграфика.
• 2) Интеграл можно приближенно вычислить с помощью интегральных сумм. Переходя к пределу, можно получить точное значение интеграла.
• 3) Если рассмотреть переменную площадь подграфика функции f, т. е. интеграл от f с переменным верхним пределом, то мы получим новую функцию S, производная которой равна функции f.

Определение интеграла нетрудно распространить на произвольную функцию f, отказавшись от требования ее положительности. Рассмотрим произвольную функцию, заданную на отрезке [а; b] и ее подграфик, т. е. часть плоскости, ограниченную графиком f, прямыми х = а, х = b и осью абсцисс. Этот подграфик состоит из частей, лежащих выше оси абсцисс и ниже ее. Условимся брать первые из них со знаком « + », а вторые — со знаком « —». По определению интегралом от функции f называется сумма площадей частей ее подграфика, взятых с указанными знаками.

Вычисление интеграла

Для вычисления определенного интеграла необходимо найти первообразную, подставить в неё значения «a» и «b» и найти разность. 

Первообразная

Во вводной беседе мы установили, что интегрирование является операцией, обратной дифференцированию. Вычисление интеграла сводится к нахождению функции производная которой равна заданной функции. Эту операцию мы рассмотрим отдельно.

Определение:

Первообразной для функции f называется такая функция F, производная которой равна данной функции.

Иными словами, равенство

F’ = f

можно прочесть двумя способами: f — производная функции F или F — первообразная для функции f. Для обозначения первообразной традиционно используют знак неопределенного интеграла, т. е. интеграла без указания пределов интегрирования:

F(x) = ∫ f(x)dx.

Перечислим свойства первообразной.

1. Если F — первообразная для функции f, то F + C, где С — константа, также является первообразной для той же функции.

Действительно, (F + С)’ = F’ + С’ = f + 0 = f.

2. Если F1 и F2 — две первообразные для одной и той же функции f, то они отличаются на постоянное слагаемое.

Действительно, если F’1 = f и F’2 = f, то (F1 — F2)’ — F’1 — F’2= f — f = 0. Функция, производная которой тождественно равна нулю, является постоянной. Итак, F1 — F2 = C.

Таким образом, все первообразные для функции f получаются из одной из них прибавлением к ней произвольной постоянной. Надо помнить, что знак J является «неопределенным» в том смысле, что он обозначает какую-нибудь первообразную.

3. ∫(f (X) + g (х)) dx = ∫f(x)dx+ ∫g (X) dx.

Действительно, пусть F и G — первообразные для функций f и g соответственно. Тогда F+G является первообразной для функции f—g:

(F+G)’ = F’+G’ = f+g.

4. ∫cf(x)d = c∫f(x)dx.

Доказывается аналогично.

Таблицу первообразных получают с помощью таблицы производных. Проверить таблицу можно, делая обратную операцию, т. е. вычисляя производные.

5. Линейная замена переменной.

Теорема. Пусть F — первообразная для функции f. Тогда

∫ f (kx + b) dx=-i-F (kx + b).

Действительно, вычислим производную от F(kx—b):

(F (kx + b))’ = kF’ (kx + b) = kf {kx + b).

Отсюда F(kx+b) является первообразной для функции f(kx + b).

Отметим полезные следствия, которые можно внести в таблицу первообразных.

Заметим, что операция дифференцирования совершается формально — нужно запомнить несколько правил, и их будет достаточно для нахождения производных. Не так обстоит дело с интегрированием, например нет формулы для интегрирования произведения и частного функций. Поэтому составлены обширные таблицы интегралов (первообразных) и появляется новая задача — научиться преобразовывать вычисляемые интегралы, сводя их к табличным.

Пример:

Вычислить ∫ sin² х dx.

В таблице интегралов нет интеграла от sin² х. Однако можно воспользоваться формулой sin²x = (1 — cos 2х). Для cos 2х интеграл мы знаем, поэтому пишем так:

Теорема Ньютона — Лейбница

Знаменитая теорема, носящая имена основоположников математического анализа, гласит:

Интеграл равен приращению первообразной.

Запишем формулировку более подробно.

Теорема:

Теорема (Ньютона — Лейбница). Пусть f — данная функция, F — ее произвольная первообразная. Тогда

Доказательство:

Сначала проверим теорему, подставив в правую часть известную нам первообразную для функции f — переменную площадь S (jc) подграфика функции f. По определению интеграла

Пусть F — произвольная первообразная для функции f. Тогда она отличается от S на константу, но приращение функций F и S будет одним и тем же: S (x) = F (х) + С.

что и требовалось доказать.

Теорема Ньютона — Лейбница сводит вычисление интегралов к вычислению первообразных (схема XIII).

Приведем примеры вычисления интегралов.

1. Вычислить

Решение оформляется так: выписывают опервообразную F для подынтегральной функции, ставят прямую черту, около которой указывают пределы интегрирования, и затем находят численное значение интеграла

2. Вычислить

Свойства интеграла

Формула Ньютона — Лейбница сводит свойства интеграла к свойствам первообразной, которые, в свою очередь, опираются на свойства производной.

Теорема:

Линейность интеграла.

Доказательство:

Пусть F и G — первообразные для функций fug соответственно. Тогда функция F—G является одной из первообразных функции f + g. По теореме Ньютона — Лейбница

Вторая формула доказывается аналогично.

Отметим полезные следствия выведенных свойств:

Ряд свойств интеграла является следствием свойств площади, лежащей в определении интеграла.

Теорема:

Аддитивность интеграла.

Это свойство интеграла наглядно видно из свойств площади: площадь всей криволинейной трапеции с основанием [a; b] есть сумма площадей трапеций с основаниями [а; с] и [с; b] (рис. 127).

Это же свойство можно получить и вычислением. Пусть F — первообразная для функции f. Тогда

Складывая почленно левые и правые части равенств, получаем:

Доказанное свойство интеграла называют его аддитивностью (от латинского слова addo — складываю).

Полезно отметить, что так как F (a) — F {а) = 0.

Теорема:

Интегрирование неравенства. Если f (x) ≥ g (х),
то

Действительно, функция h (x)=f (x) — g (х) по условию неотрицательна. Следовательно, неотрицателен и интеграл от нее, являющийся по определению площадью подграфика:

Раскрывая левую часть по свойствам 1 и 2, получаем:

т. e., что и требовалось доказать.

Примеры вычисления интегралов.

Приложения интеграла

Определенный интеграл широко используется в практических приложениях математики и физики.

В частности, в геометрии используется для нахождения площадей простых фигур и сложных поверхностей, объемов твердых тел вращения и твердых тел произвольной формы, длин кривых на плоскости и в пространстве. В физике и теоретической механике используется для вычисления статических моментов, масс и центров масс материальных кривых и поверхностей, для вычисления работы переменной силы по криволинейной траектории и т.д.

Площадь

Пусть надо вычислить площадь какой-либо плоской фигуры Ф. Введем на плоскости декартову систему координат. Тогда отдельные куски границы фигуры Ф можно будет задать в виде графиков некоторых функций. Сравнительно простой случай изображен на рисунке 128.

Площадь фигуры Ф можно получить сложением и вычитанием площадей подграфиков функций, задающих границу. Так, в типичном случае, изображенном на рисунке 128, площадь фигуры Ф получается как разность подграфиков функций f и g, т. е. выражается через интегралы:

Примеры:

1. Найти площадь одной арки синусоиды (рис. 129,а).
   

2. Найти площадь фигуры, заключенной между дугами парабол у= x² и у = (рис. 129,6).

Данная фигура ограничена графиками двух функций:
f (х)= и g(x) = x² . Искомая площадь вычисляется так:

Вычисление площади с помощью интеграла изображено на схеме XIV

Вычисление площади — самое простое применение интеграла, так как интеграл по определению у нас тесно связан с площадью. Вычисление некоторых физических величин с помощью интеграла потребует дополнительных рассуждений.

Схема применения интеграла

При знакомстве с понятием интеграла мы выделили три его характеристики.

• 1) Интеграл от функции f есть площадь ее подграфика (с учетом знака).
• 2) Интеграл есть предел интегральных сумм.
• 3) Интеграл от функции f есть приращение ее первообразной.

Любая из этих характеристик интеграла может служить основой для его приложений. Наиболее стандартным путем выражения одной физической величины в виде интеграла от другой является использование третьей характеристики интеграла как приращения первообразной. Однако и две первые характеристики очень важны в приложениях, так как позволяют получить геометрический смысл связи между физическими величинами и простой способ их приближенного вычисления.

Вернемся еще раз к величинам, которые вычисляются с помощью интеграла. К таким величинам можно отнести перемещение, работу, массу, электрический заряд, давление, теплоту. К ним можно присоединить геометрические величины — длину, площадь, объем, свойства которых мы сейчас перечислим.

1. Величины можно рассматривать как функции отрезка. Перемещение вычисляется в зависимости от отрезка времени движения. Работа переменной силы при движении по прямой зависит от пройденного отрезка пути. Массу тонкого неоднородного стержня можно рассматривать как функцию от отрезков этого стержня. Электрический заряд, протекающий через поперечное сечение проводника, зависит от отрезка времени, за который мы производим измерение.
2. Для вычисления этих величин с помощью интеграла нам нужно знать скорость изменения этих величин. Изучая производную, мы привели примеры различных физических величин, являющихся скоростями изменения других величин. Так, скоростью изменения перемещения (или расстояния) будет обычная скорость. Скоростью изменения работы в зависимости от времени является мощность, а скоростью изменения той же работы, но в зависимости от перемещения является сила. Скорость изменения массы — это ее плотность. Само слово «плотность» имеет такой же универсальный характер, как слово «скорость», и им широко пользуются: например, говорят, что сила — это плотность работы по отношению к перемещению.

Если исходная величина нам задана в виде некоторой функции, то ее скорость (или плотность) мы найдем как производную этой функции.

Примеры:

Скорость механического движения:

Линейная плотность стержня:

Мощность:

Сила при перемещении по прямой:

Интеграл применяется тогда, когда известна скорость (плотность) f искомой величины. Если искомую величину представить в виде приращения некоторой функции F, то f является производной F, а тем самым F — первообразной для В итоге искомая величина есть приращение первообразной для функции f, т. е. интеграл от функции f.

Запишем то же самое с помощью формул. В качестве независимого аргумента выберем букву t. Пусть мы ищем величину F. Рассмотрим ее значение на маленьком отрезке [t; t+dt]. Пусть скорость изменения величины F обозначена через f. Эту связь между величинами F и f можно записать в дифференциальной форме:

Итак, схема применения интеграла сводится к следующему:

1) Записываем главную часть изменения искомой величины с помощью дифференциалов:

2) Переписываем значение F в виде интеграла:

3) Находим первообразную для функции f и вычисляем F как разность значений первообразной на концах отрезка (схема XIII).

Замечания:

1. Отметим вольность в обозначениях, которая часто допускается в приложениях. Мы ищем некоторую величину, например массу стержня. Обозначаем ее какой-то буквой, скажем m. Мы ищем массу данного конкретного стержня, и поэтому , будет просто числом. Однако для нахождения m нам надо рассматривать массу произвольного отрезка стержня. Ее мы снова обозначаем m, хотя сейчас понимаем m как функцию. Для этого мы вводим переменную массу — массу стержня от начальной точки до точки х, и эту функцию от х тоже удобно обозначать той же буквой т, чтобы записать соотношение для плотности: р = или dm = pdx. Особой беды, что мы употребляем везде одну и ту же букву, нет, зато это очень удобно.
2. Рассмотренные нами величины зависели от отрезка — отрезка времени, отрезка прямой. Часто встречаются аналогичные величины, но зависящие от других областей. Так, масса произвольного тела зависит не от отрезка, как это мы идеализировали для тонкого стержня, а от области пространства. Работа при перемещении по произвольной траектории зависит от частей этой траектории. Давление на поверхность зависит от частей этой поверхности. Существуют более сложные интегралы, которые позволяют вычислить величины, зависящие от частей кривой линии (криволинейные интегралы), от частей поверхности (поверхностные интегралы), от частей объема (объемные, или тройные, интегралы). В некоторых простых случаях искомые величины удается рассмотреть как функции отрезка и свести их нахождение к вычислению обычных интегралов. С примерами таких случаев мы познакомимся при решении прикладных задач.

Работа и интеграл

Пусть тело движется по оси х, в каждой точке которой приложена некоторая сила F = F(x). Вычислим работу, которую надо проделать при перемещении из точки а в точку b. На маленьком отрезке пути от точки х до точки x+dx можно считать силу постоянной и равной F (х). Тогда дифференциал работы запишем так: dA=F (х) dx. Отсюда получаем, что всю работу на отрезке [a; b] можно записать в виде интеграла:

Эта формула позволяет вычислить работу при прямолинейном движении.

Пример:

Предположим, что в точку О помещен единичный электрический заряд. Он создает электрическое поле. Мы знаем, что на другой единичный заряд, помещенный в точку х, действует сила, обратно пропорциональная квадрату расстояния, т. е.

Найти работу электрического поля по перемещению единичного заряда из точки x₁  в точку x₂. Применяя формулу для работы, получим:

Для функции (первообразную U (х) можно найти по таблице: . Получим:

Функция называется потенциалом электрического поля. Работа равна приращению функции U, т. е. разности потенциалов на концах отрезка.

Используя геометрический смысл интеграла как площади, мы можем представить работу как площадь подграфика для функции U. Изобразим этот график для разобранного выше примера (рис. 130).

Перемещение и интеграл

Предположим, что точка движется по прямой (по оси х) и нам известна скорость этой точки. Положение точки на оси будем считать функцией времени: x = x(t). Как найти перемещение точки за промежуток времени [t1; t2]?

Если скорость точки постоянна и равна v, то это перемещение, которое мы обозначим через s, вычисляется так: s = v(t2 — t1). Пусть теперь эта скорость меняется и нам задан закон этого изменения v = v(t). Рассмотрим отрезок времени [t; t + dt]. Главную часть перемещения \s мы получим, если будем считать, что на этом отрезке скорость постоянна и равна v (t). Получим

Если мы изобразим график скорости, то перемещение будет задаваться площадью подграфика (рис. 131).

Масса и интеграл

Масса произвольного тела является величиной, для вычисления которой нужен более сложный интеграл, чем тот, который мы научились вычислять. Мы сможем написать формулу для вычисления массы тонкого стержня, т. е. такого тела, в котором плотность меняется вдоль одного направления и которое можно представить как отрезок тонкой проволоки с изменяющейся плотностью.

Если стержень однороден, то его масса m пропорциональна длине l, т. е. m = pdl, где р — коэффициент пропорциональности, называемый линейной плотностью. Поставим задачу вычисления массы неоднородного стержня, если нам известно, как меняется плотность р. Представим себе, что стержень расположен вдоль оси так, что он занял положение отрезка [0; l]. Тогда линейную плотность р можно считать функцией от х, т. е. р = р(х), заданной на этом отрезке. Возьмем отрезок [х; x+dx]. Считая на нем плотность постоянной, получим dm = p (х) dx, откуда m =

Таким образом, масса стержня является интегралом от его линейной плотности.

Электрический заряд и интеграл

Представим себе переменный ток, текущий по проводнику. Как вычислить заряд q, переносимый за интервал времени [a; b] через сечение проводника? Если бы сила тока l не менялась со временем, то изменение заряда q равнялось бы произведению l(b — a). Пусть задан закон изменения l= l(t) в зависимости от времени. Тогда на малом интервале времени [t; t + dt] можно считать силу тока постоянной и равной l(t), a dq = l (t) dt, и, следовательно,

а

Мы представили такие величины как работа, масса, электрический заряд, перемещение, количество теплоты в виде функций отрезка с заданной плотностью.

Можно сравнить приведенные сейчас примеры с физическими примерами, обсуждавшимися при применении производной. Фактически мы имеем дело с одними и теми же соотношениями вида dF = f (х) dx, но смотрим на них по-разному. В первом случае нам дана величина F, а мы ищем f. В этом случае f выступает как производная F. Во втором случае нам дана величина f, а мы ищем F. Тогда F является интегралом от f.

Составим из наших примеров таблицу.

Решение прикладных задач с интегралом

Задача:

Пирамида Хеопса представляет собой правильную четырехугольную пирамиду высотой 147 м, в основании которой квадрат со стороной 232 м. Она построена из камня, плотность которого 2,5 г/см3. Найти работу против силы тяжести, затраченную при постройке.

Решение:

Проведем вертикально вверх ось х с началом у основания пирамиды. По этой оси будем измерять высоту подъема камней. Решим задачу в общем виде, а в ответ подставим числовые значения. Пусть высота пирамиды равна Я, сторона основания а, плотность камня р. Обозначим через А (х) работу, которую надо совершить для постройки пирамиды от основания до высоты х. Найдем сначала сторону у квадрата, получающегося в горизонтальном сечении пирамиды на высоте х. Из подобия треугольников получаем , откуда . Рассмотрим тонкий слой пирамиды, расположенный на расстоянии х от основания. Пусть толщина слоя равна dx. Слой можно приблизительно считать параллелепипедом. Масса его dm равна

При подъеме этого слоя на высоту х была проделана работа dA, равная (gdm)-x, где g— ускорение силы тяжести, т. е.

Отсюда

Подставляя числовые данные а = 232 м, H =147 м, р = 2,5 г/см3 = 2,5 т/м3, получаем тонно-километров.

Задача:

Квадратная пластина со стороной а погружена в воду перпендикулярно ее поверхности, причем верхнее основание пластины находится на поверхности. Найти давление воды на пластину.

Решение:

На маленькую площадку площадью dS, расположенную на глубине х от поверхности, давит столб воды в виде цилиндра с основанием dS и высотой х. Давление dp будет при этом равно рgxdS, где р — плотность воды, рxdS — масса цилиндра. Возьмем полоску пластины шириной dx, находящуюся на глубине х. Ее площадь dS равна adx. Отсюда dp = pgaxdx.

Получаем

Составление дифференциального уравнения и интеграл

Вернемся к задаче про пирамиду Хеопса. Для вычисления произведенной работы мы ввели две переменные величины: х — высоту от земли, на которую подняты камни, и А — работу, которую надо проделать, чтобы построить пирамиду до высоты х. Дальнейшие рассуждения дали нам соотношение между дифференциалами этих величин: dA=F(x) dx, где F (x)=kx (H — x)² — найденная нами функция. Полученное соотношение можно назвать дифференциальным уравнением для нахождения А =А (х). Его можно записать и с помощью производной: или A’ = F(x). Это уравнение очень простое: в нем производная неизвестной функции выражена как функция от х. Отыскание самой функции А сводится к операции интегрирования:

Дифференциальные уравнения — это уравнения, связывающие неизвестную функцию и ее производные.

Многие физические законы имеют вид дифференциальных уравнений, т. е. соотношений между функциями и их производными. Задача интегрирования этих уравнений — важнейшая задача математики. Некоторые дифференциальные уравнения удается проинтегрировать в явном виде, т. е. записать искомую функцию в виде формул. Для решения некоторых дифференциальных уравнений до сих пор не удается найти достаточно удобных формул. В этих случаях применяются эффективные численные методы, позволяющие с помощью вычислительных машин найти приближенные решения. Мы не будем подробно изучать методы интегрирования дифференциальных уравнений, а рассмотрим только примеры уравнений и их решений.

1) Уравнение механического движения.

Рассмотрим пример движения материальной точки массой m по оси х под действием силы F. Обозначим через t время, v — скорость, а— ускорение точки. Второй закон Ньютона ma = F можно рассматривать как дифференциальное уравнение, если записать ускорение а как вторую производную:

Уравнение mх» = F называют уравнением механического движения. В этом уравнении x = x(t) — неизвестная функция, m и F — известные величины. В зависимости от физических условий сила F будет задаваться по-разному и мы получим различные дифференциальные уравнения. Рассмотрим несколько примеров.

1. Сила постоянна: F = const. Уравнение движения примет вид

(где а — постоянная).

2. Сила периодически меняется со временем, например, по закону F= F0 sin ωt. Уравнение движения имеет вид х» =

3. Сила пропорциональна смещению (движение идеально упругой пружины): F=—kх (k>0), знак «—» указывает на то, что направление силы противоположно направлению смещения.

Уравнение движения можно записать в виде .

4. Свободный радиальный космический полет — на точку действует сила, обратно пропорциональная квадрату расстояния:

Уравнение движения:

5. Падение с трением — на точку действует постоянная сила

тяжести F1 = — mg и сила трения F2, пропорциональная скорости:

F2=—kx’. Уравнение движения имеет вид

Во всех приведенных уравнениях вторая производная неизвестной функции х выразилась через время t, положение точки х и ее скорость х’. Такое уравнение называют уравнением второго порядка, так как в него входит вторая производная. Дифференциальное уравнение для работы по постройке пирамиды Хеопса является уравнением первого порядка, так как в него входит только первая производная. Приведем еще примеры уравнений первого порядка.

2) Радиоактивный распад.

Рассматривается радиоактивное вещество, масса которого m меняется со временем: m = m (t). Экспериментальные данные дают основание считать, что скорость изменения массы пропорциональна массе вещества в данный момент, т. е. что =— km, где через k обозначен коэффициент пропорциональности (знак « —» перед положительным коэффициентом k выписан для того, чтобы подчеркнуть, что масса вещества убывает).

3) Народонаселение.

Пусть население страны в момент времени t выражается функцией L = L(t). Естественным допущением будем считать, что за единицу времени народонаселение увеличивается на определенный процент. Если в момент времени t число жителей равно L(t), то за период времени [t; t—dt] появится примерно kL (t) dt новых жителей, т. е. ∆ L ≈ kL (t) dt. Хотя величина L принимает целые значения, обычно интересуются приближенными значениями L. Заменяя настоящую функцию L функцией, принимающей значения непрерывно и удовлетворяющей соотношению dL — kLdt, мы не сделаем большой ошибки. Таким образом, скорость роста функции L равна kL и она удовлетворяет дифференциальному уравнению

4) Электрическая цепь.

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных сопротивления и конденсатора (рис. 132). Будем считать, что в цепи сделано короткое замыкание и конденсатор, имевший начальный заряд, начинает разряжаться. Напряжение на конденсаторе в момент времени t обозначим через U (t). Заряд q (t) связан с напряжением U формулой q = CU, где С — емкость конденсатора. Через сопротивление пойдет ток, который связан с напряжением U формулой U = — RI, где R — величина сопротивления (закон Ома), а знак « — > связан с направлением тока. Появление тока связано с изменением заряда q, и, значит, величина I является скоростью изменения заряда во времени:

Подставляя в эту формулу вместо I выражение а вместо q выражение CU, получим уравнение для напряжения:

Сделаем выводы. Многие явления природы и техники описываются дифференциальными уравнениями, т. е. уравнениями, связывающими неизвестные величины и их производные. Вывод дифференциальных уравнений основан на знании законов изучаемых явлений.

Решение дифференциального уравнения

Дифференциальное и интегральное исчисление позволило записать на математическом языке в виде дифференциальных уравнений различные законы и явления. За 300 лет существования этого раздела математики появились многие тысячи дифференциальных уравнений. Первое замечательное обстоятельство, которое было замечено, состоит в том, что многие уравнения похожи друг на друга. Сравним, например, три уравнения, полученные в примерах 2, 3 и 4 предыдущего пункта:

Все они имеют один и тот же вид — скорость изменения искомой функции пропорциональна значению этой функции. Решив уравнение , мы получим решения всех трех уравнении, подставляя разные значения коэффициента пропорциональности k. Здесь мы наблюдаем замечательное проявление силы математики — совершенно разные процессы привели к одной и той же математической модели. Исследование этой модели дает нам ответ как в разобранных задачах, так и во многих других, которые приводят к аналогичному уравнению.

Аналогичное явление мы обнаружим позже и для уравнений второго порядка.

Математики научились объединять вместе похожие уравнения, классифицировать их. Так же как для простых алгебраических уравнений были найдены в свое время формулы их корней, так и для некоторых стандартных дифференциальных уравнений были получены формулы их решений.

Решение дифференциального уравнения — это функция, при подстановке которой уравнение превращается в тождество. Так как операция дифференцирования выполняется просто, то всегда нетрудно проверить, является данная функция решением дифференциального уравнения или нет.

Приведем примеры решений написанных ранее уравнений.

1) Функция где vo, хо — произвольные числа, является решением уравнения х» = а. Действительно, вычисляя производные, получаем x’=at + vo, х» = а.

2) Функция является решением уравнения.

3) Функция где Л и а — произвольные числа, является решением уравнения .

4) Функция , где С — произвольная постоянная, является решением уравнения m’=—km.

Проверьте самостоятельно, что функции, указанные в примерах 2, 3 и 4, действительно являются решениями соответствующих дифференциальных уравнений.

Чебышев Пафнутий Львович

(1821—1894) — русский математик, основатель Петербургской математической школы. Создал современную теорию приближений, получил глубокие результаты в теории чисел и теории вероятностей. Чебышев придавал очень большое значение прикладным задачам и занимался теорией механизмов.

«Сближение теории с практикой дает самые благотворные результаты, и не одна только практика от этого выигрывает, сами науки развиваются под влиянием ее.»

П. Л. Чебышев

Однако не для всех уравнений решения записываются так просто. Так, для уравнения свободного космического полета написать формулу решения довольно трудно. Часто удается исследовать решение дифференциального уравнения, не находя самого решения.

Уравнение показательного роста

Известно много процессов, в которых скорость изменения какой-либо величины пропорциональна ее значению. К числу таких процессов относятся радиоактивный распад, изменение народонаселения и другие сходные процессы, связанные с размножением, а также остывание тела, разряд емкости через сопротивление и т. д.

Эти процессы описываются, дифференциальным уравнением первого порядка x’=kx при различных значениях коэффициента k.

Как же решать уравнение x’=kx?

Мы знаем, что показательная функция обладает тем свойством, что ее производная пропорциональна ей самой. Таким образом, функция х =является одним из решений уравнения х’ = kх. Как найти все решения? Пусть z — произвольное решение, т. е. пусть z’ = kz. Запишем z в виде z = y, где у — новая неизвестная функция. Подставив z в уравнение, получим:

Вычислим производную слева:

Приравнивая полученный результат к правой части уравнения и сокращая, получим у’= 0, т. е. у = С. Таким образом, производная функции у равна нулю н у— С. Итак, любое решение уравнения x’ = dx имеет вид х = С, где С — константа.

Получаем решения рассмотренных выше уравнений.

Значение константы С определяют, зная начальное значение искомой величины. Если в качестве начального момента времени взято t = 0, то значение С как раз и равно значению искомой величины при t = 0. Так, если начальное напряжение на конденсаторе равно Uo, то конденсатор будет разряжаться по экспоненциальному закону:

При больших t значения U будут приближаться к нулю. Графики показательных функций при разных значениях k приведены на рисунке 133.

Уравнение гармонических колебаний

В п. 1 указано уравнение движения точки массой т, прикрепленной к концу упругой пружины. Это уравнение имеет вид mx» = —kx. Оказывается, что есть много задач, приводящих к аналогичным уравнениям второго порядка.

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных конденсатора (с емкостью С) и катушки (с индуктивностью L). Будем считать, что на конденсаторе есть начальное напряжение, в цепи сделано короткое замыкание и пошел ток через катушку. Обозначим через U = U (t) напряжение на конденсаторе в момент времени t. Напряжение на катушке (равное U (/) при выбранном направлении тока) пропорционально скорости изменения тока /, проходящего через катушку, т. е..

Выражая обычным образом ток I через заряд и заменяя заряд q через CU, получим:

Окончательно приходим к уравнению второго порядка относительно напряжения:

Итак, две разные на первый взгляд задачи физики — задача колебания упругой пружины и задача разряда конденсатора через катушку — привели к одному и тому же дифференциальному уравнению второго порядка, только записанному в разных обозначениях:

Разберем одно из них, обозначив константу, стоящую перед искомой функцией, через —. Итак, рассмотрим уравнение х» = —x. Это уравнение называется уравнением свободных гармонических колебаний.

Проверим, что функция х = A cos (ω + а), где A и а — константы, является решением уравнения х» = —x. Действительно,

Оказывается, что, меняя A и а, мы получим все решения уравнения гармонических колебаний. Константы A и а имеют наглядный смысл: А — это амплитуда колебаний, а — начальная фаза. Значения A и а находятся из начальных условий — значений х и х’ в начальный момент времени. Графики гармонических колебаний при различных значениях A, ω и а приведены на рисунке 134.

Уравнение гармонических колебаний получено нами при идеальных предположениях, которые реально не выполняются. Так, при колебаниях пружины часто приходится учитывать трение, а при изучении разряда конденсатора — внутреннее сопротивление. Учет указанных условий вызывает добавление в уравнение члена, зависящего от первой производной (скорости). Приведем пример уравнения для тока I в цепи, изображенной на рисунке 135:

Решения такого уравнения будут зависеть от соотношения между параметрами L, R, С.

Мы рассматривали так называемые свободные колебания. В примере с электрической цепью это соответствует тому, что в ней сделано короткое замыкание и ток идет только за счет начальных условий (заряда, запасенного в конденсаторе). Если к этой цепи подключить источник, задающий некоторое напряжение, то мы получим новое уравнение, которое нетрудно вывести. Решения такого уравнения называются вынужденными колебаниями. Они, конечно, зависят от подаваемого напряжения.

Мы рассмотрели некоторые примеры дифференциальных уравнений. При этом мы не ставили задачи научиться решать эти уравнения: это предмет специального раздела математики, теории дифференциальных уравнений, которая изучается в высшей школе. Важно понять, что с помощью основных операций анализа (дифференцирования и интегрирования) можно строить математические модели (дифференциальные уравнения) достаточно сложных и важных процессов. Полезно иметь в виду и то, что разные задачи могут приводить к одной и той же модели, что делает наиболее часто встречающиеся уравнения особенно важными. К их числу относят уравнение показательного роста, уравнения свободных и вынужденных колебаний.

Интеграл в высшей математике

Основные свойства первообразной: Вы познакомились еще с одним математическим действием — вычислением производной или дифференцированием. Теперь вы познакомитесь с обратным для дифференцирования действием — оно называется интегрированием. При дифференцировании по функции отыскивается производная. Следовательно, обратное действие состоит в том, что по заданной производной надо отыскать функцию. Перейдем к определению.

Функция F называется первообразной для функции f на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка
F'(x) = f(x).

Например, для функции первообразной будет функция
так как для всех х; промежуток представляет собой всю прямую.

Для функции первообразной будет функция F(х) = так как для всех х>0; в этом случае промежутком является

Упражнения на нахождение первообразных даны в конце пункта (№ 196—206).

Одна из задач интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функции найти все ее первообразные. Для доказательства соответствующих теорем нам потребуется признак постоянства функции.

Теорема:

Признак постоянства функции. Для того чтобы функция была постоянной на интервале, необходимо и достаточно, чтобы ее производная равнялась нулю на этом интервале.

Пусть функция g(x) = С — постоянная на некотором интервале. Тогда, как это было доказано g'(x) = (С)’ = 0. Обратное утверждение почти очевидно, но доказывается сложно, его доказательство не входит в программу курса.

Теперь мы можем сформулировать и доказать теорему, играющую основную роль в интегрировании.

Теорема:

Основное свойство первообразных. Если функция F есть первообразная для функции f на промежутке I, то при любой постоянной С функция
F(x)+C (2)
также является первообразной для функции f на промежутке I. Любая первообразная функция f на промежутке I может быть записана в виде F(x) + С.

Первое утверждение теоремы проверяется простым подсчетом. Так как F'(x) = f(х) для всех х из f, то (F(x) + С)’ = F'(x) + (С)’ = f(х) + 0 = f(х) для всех х из f, т. е. F(x) + С есть первообраз-
ная для f(х) на промежутке I.

Для доказательства обратного утверждения воспользуемся признаком постоянства функции. Пусть функция Ф = еще одна первообразная для функции f на промежутке I, т. е. Ф'(х) = f(х) для всех х из этого промежутка. Тогда для всех х из промежутка I имеем
(Ф (х) — F (х))’ = Ф’ (х) — F’ (х) = f(х) — f (х) = 0,

откуда следует в силу признака постоянства функции, что разность Ф(х) — F(x) есть постоянная функция на промежутке I, т. е.
Ф(х)— F(x) = С или Ф(х) =F(x)+С,

что и требовалось доказать.

Например, любую первообразную для функции можно записать в виде

где С — произвольная постоянная.

Пример:

Найти для функции первообразную, график которой проходит через точку (0; 1), и первообразную, график которой проходит через точку (3; 5).
Решение. Так как любую первообразную функции можно за-писать в виде то поставленная задача сводится к нахождению постоянной С по указанным условиям. Для первой первообразной искомую постоянную С можно найти из уравнения
откуда С=1.
Следовательно, первая первообразная

Чтобы найти вторую первообразную, необходимо использовать условие

откуда С = — 4.
Следовательно, вторая первообразная

Из полученных формул видно, что и что график расположен ниже, чем график

Правила нахождения первообразных

Как и при вычислении производных, нахождение первообразных упрощается, если пользоваться некоторыми правилами. Они сформулированы ниже в виде теорем.

Теорема:

Для степенной функции где — действительное число, любую первообразную можно записать в виде

Действительно, при любой постоянной С

То, что так можно записать любую первообразную степенной функции, следует из основного свойства первообразных (теорема 2, п. 13).

Теорема:

Если F есть первообразная для функции f, a G — для функции g (на одном и том же промежутке), то F + G есть первообразная для функции f + g (на этом же промежутке).

По условию, F'(x) = f(x) и G’(x) = g(x) для всех х из рассматриваемого промежутка. Поэтому (для указанных х)
(F (х) + G (х))’ = F’ (х) + G’ (х) = f (х) + g (х),

что и требовалось доказать.

Теорема:

Если F есть первообразная для f и k — постоянная, то kF есть первообразная для kf.

По условию теоремы, F'(x) = f(x) для всех х из некоторого промежутка. Поэтому (для указанных х)

(kF(x))’ = kF'(x) = kf(x), что и требовалось доказать.

Пример:

Найдите первообразную для функции
Решение:

Для функции первообразной является функция
на промежутке а для функции первообразной является функция на . Следовательно, в силу теорем 2 и 3 на промежутке для функции f первообразной является функция

Теорема:

Если функция F(x) есть первообразная для f(x), то функция где и b —числа, есть первообразная для функции f(kx + b).

Действительно, так как F’ = f, то по правилу дифференцирования сложной функции (п. 12) имеем

что и требовалось доказать.
Пример:

Найти первообразную для функции

Решение:

Так как для функции первообразной является (теорема 1), то для функции f(5×4-7) =первообразной будет функция

Пример:

Найти первообразную для функции
Решение:

Так как для функции первообразной является функция (теорема 1), то для функции f(4—Зх) = первообразной будет функция

Пример:

Найти первообразную для функции

Решение:

Так как в промежутке

то первообразной функции g на промежутке будет функция (теоремы 2 и 3). Эта же функция есть первообразная
для функции g и на промежутке

Формула Ньютона—Лейбница

Решение многих задач сводится к вычислению приращения первообразной для заданной функции. Оказывается, что это приращение не зависит от того, какую первообразную мы при этом возьмем. Действительно, пусть F и Ф есть первообразные для функции f на промежутке I. Тогда в силу основного свойства первообразных существует такая постоянная С, что Ф(х) = F(x)+ С для всех Пусть числа а и b принадлежат I. Тогда

Ф (b) — Ф (а) = (F (b) + С) — (F(a) + C)=F(b) — F (а),

что и требовалось доказать.

Таким образом, приращение первообразной зависит только от заданной функции f и чисел а и b.

Определение:

Интегралом от а до b функции f называется приращение первообразной F этой функции: F(b) — F(a).

Определенный интеграл от а до 6 обозначается

и читается: «интеграл от а до b эф от икс дэ икс». Знак называется знаком интеграла. Числа а и b называются пределами интегрирования: а — нижним, b — верхним. Функция f — подынтегральной функцией, а переменная х — переменной интегрирования.

Таким образом, если F есть первообразная для функции f, то, по определению,

Эта формула называется формулой Ньютона — Лейбница.

Например, используя первообразные, найденные в п. 13, имеем:

Для удобства вычислений по формуле Ньютона — Лейбница для разности F(b) — F(a) принята сокращенная запись т. е.

Пользуясь этим обозначением, формулу Ньютона—Лейбница можно записать в виде

а вычисления при этом ведутся, например, таким образом:

Нахождение координаты по заданной скорости и скорости по заданному ускорению

В качестве одного из приложений понятия интеграла рассмотрим задачу определения скорости. При изучении движения полезно иметь такие его характеристики, пользуясь которыми это движение можно восстановить. Поскольку функция восстанавливается по ее производной интегрированием, то будем рассуждать следующим образом. Пусть точка движется по прямой. Ее координата х есть функция от времени движения t, т. е. х = x(t). Поскольку

в силу формулы Ньютона—Лейбница, то можем рассматривать x'(t) как одну из характеристик движения; она называется скоростью и обозначается буквой v. Таким образом, по определению, скорость

Зная скорость движения v как функцию от времени t, т. е. v = v(t), можно в силу равенств (1) и (2) восстановить уравнение движения

где называется начальной координатой.

Если же начальная координата неизвестна, то координата по скорости восстанавливается только с точностью до постоянного слагаемого.

Производную от скорости по времени называют ускорением движения:

Зная ускорение как функцию времени, т. е. а = a(t), можно восстановить уравнение движения, найдя сначала скорость этого движения

по формуле Ньютона — Лейбница, где называется начальной скоростью. После этого можно найти координату по формуле (3).

Нахождение площадей плоских фигур

Фигуры, о которых пойдет речь, называются криволинейными трапециями и определяются следующим образом. Пусть на отрезке [а; b] задана непрерывная и не меняющая знака функция f. Фигура, ограниченная графиком этой функции, отрезком [a; b] и прямыми х = а и х = b, называется криволинейной трапецией (рис. 65). Докажем, что , если на [а; b], то площадь S этой криволинейной трапеции можно подсчитать по формуле

Для доказательства рассмотрим площадь части этой криволинейной трапеции, расположенной левее точки х (рис. 66).

Площадь этой фигуры обозначим S(x). Этим на отрезке [а; b] определена функция S(x). Ясно, что S(b) = S и S(a) = 0. Подсчитаем теперь производную этой функции, коротко говорят: производную площади. Для этого надо найти приращение этой функции

На рис. 67 оно представлено площадью заштрихованной фигуры. Из того же рисунка ясно (для простоты функция f взята возрастающей на и что

и потому

Но так как f — непрерывная функция. Следовательно, в силу определения производной (формула (2), п. 8) и по теореме о промежуточной функции,

Таким образом, доказано, что функция S(x) есть первообразная для функции f(х). Тогда, по формуле Ньютона — Лейбница,

так как S(b) = S и S(a) = 0. Формула (1) доказана.

Теперь мы можем дать геометрическое толкование примерам подсчета интегралов, приведенных на с. 44. В первом примере найдена площадь фигуры, заштрихованной на рис. 68, она равна 3.

Во втором примере найдена площадь фигуры, заштрихованной на рис. 69, она равна 2.

Замечание:

Отметим, что попутно доказано следующее утверждение: непрерывная (неотрицательная) функция имеет первообразную — это площадь S(x) криволинейной трапеции, заштрихованной на рис. 66.

Основные свойства интеграла

I. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования, т. е.

Это следует из того, что, как бы ни обозначать переменную интегрирования, она потом заменяется в формуле Ньютона — Лейбница числами а и b: все написанные выше интегралы равны F(b) — F(a).

Эти свойства также следуют из формулы Ньютона — Лейбница:

Здесь интеграл рассматривается как функция переменной х (верхнего предела интегрирования), а переменная интегрирования обозначена буквой t, чтобы различать эти две переменные.

Если F есть первообразная для f, то

Логарифмическая функция

Возьмем положительное число х и рассмотрим

При х > 1 этот интеграл есть площадь криволинейной трапеции Iх ВА (рис. 70). Если же 0<х< 1, то этот интеграл равен площади

криволинейной трапеции хIВА (рис. 71), но взятой со знаком минус. Действительно, так как х< 1, то площадь криволинейной трапеции хIВА равна

Следовательно, если воспользоваться свойством II определенного интеграла (см. п. 18), то

Для неположительных х этот интеграл не определен, так как подынтегральная функция не ограничена около нуля (рис. 71). Таким образом, для каждого положительного х получаем определенное значение интеграла (1). Этим на промежутке определена функция переменной х, которую называют натуральным логарифмом и обозначают ln. Итак, по определению,

Рассмотрим некоторые свойства натурального логарифма.

В силу свойства II определенного интеграла (см. п. 18)
In 1 = 0, (3)
так как при х = 1 в формуле (2) получается интеграл, у которого верхний и нижний пределы совпадают.

В силу свойства III определенного интеграла (см. п. 18)

т. е. натуральный логарифм есть функция, дифференцируемая во всей области определения, а следовательно, и непрерывная.
Докажем основные свойства натурального логарифма:

Действительно, по правилу вычисления производной сложной функции, Таким образом, Inх и In (ах) есть первообразные для функции на промежутке Поэтому существует такая постоянная С, что ln(aх) = ln + С. Для определения значения постоянной С положим x = 1, тогда lna = = In1 + С = С. Отсюда находим С = Ina. Подставляя найденное значение С в формулу ln(аx) = lnx + С, получаем равенство ln(ax)=lna + lnx, которое при x = b дает (5).

Из формулы (5) следует, что

Действительно, так как то, пользуясь формулой (5), получаем

откуда после переноса в левую часть полученного равенства lnb с противоположным знаком вытекает формула (6).

Из формул (6) и (3) находим, что

так как

При помощи метода математической индукции из формулы (5) для любого натурального n получаем формулу

Из формулы- (8) для любого натурального n находим

Действительно, так как то из формулы (8) при
получаем

откуда следует формула (9).
Наконец, из формулы (8) для любого целого n получаем

Эту формулу докажите самостоятельно сначала для натуральных n, а затем и для отрицательных, используя формулу (7).

Функция натуральный логарифм возрастает на промежутке и не ограничена. Действительно, по формуле (4). А так как х > 0, то (lnх)’>0 и, следовательно, логарифм натуральный есть возрастающая функция (рис. 72).

Покажем, что при увеличении х неограниченно увеличивается и ln х. В самом деле, для любого числа К существует натуральное число в силу свойства неограниченности множества N натуральных чисел. Тогда для всех в силу возрастания функции In имеем

Этим доказано неограниченное возрастание ln.

В следующем пункте вы увидите, что известные из курса VIII класса логарифмы связаны с натуральным логарифмом формулой

В частности,

Из формулы (12) получается формула
lnх = ln 10 • Igx, (13)
которая показывает, что нет необходимости в составлении специальных таблиц для вычисления натуральных логарифмов. Коэффициент пропорциональности ln10 = 2,3026… называют множителем перехода от десятичных логарифмов к натуральным и обычно обозначают через

Экспонента

Вы познакомились с функцией ln и ее свойствами. Она определена для всех х > 0, т. е. областью ее определения является промежуток а множеством значений — множество всех действительных чисел R. Функция ln возрастает и потому имеет обратную функцию (см. «Алгебра—6»), которая называется экспонентной и обозначается ехр. По свойству обратной функции, экспонента имеет область определения, совпадающую со множеством значений функции ln, т. е. D(exp) = R, а множество ее значений совпадает с областью определения In, т. е. Е(ехр) = График экспоненты симметричен относительно прямой у = х графику функции ln (поскольку это взаимно обратные функции). Поэтому, для того чтобы построить график функции у = ехрх, достаточно нарисовать график х = lnу (рис. 73). Отметим, что из определения взаимно обратных функций следуют формулы:
In (exp х) = х при любом х (1)

ехр(lnх) = х при любом х>0. (2)
Приведем основные свойства функции ехр:
ехр 0 = 1, (3)
ехр (а + b) = ехр а • ехр b, (4)

где n — натуральное число,

где n —целое число.

Докажем, например, формулу (4). Пользуясь формулами (2) и (I) и свойством ln (п. 19, равенство (5)), имеем

Равенство (4) доказано. Остальные свойства следуют из формулы (4) (докажите их сами).

В VIII классе степень числа а > 0 была определена только для рациональных показателей

Дадим теперь определение степени а с любым действительным показателем степени х при помощи равенства

Для рациональных х это определение совпадает с определением, данным в курсе VIII класса. Действительно, так как при рациональном х, то из этого равенства в силу равенства (2) получаем т. е. равенство (9) для рациональных показателей степени х.

Далее докажем две важные формулы:
для любых х (10)
и
для любых х>0. (11)

Действительно, согласно определению (формулы (9) и (11), п. 19)

Таким образом, формула (10) доказана. Формула (11) доказывается аналогично:

Из формул (10) и (11) следует, что показательная функция и логарифмическая функция есть взаимнообратные функции. Кроме того, формула (11) показывает, что число определенное формулой (11), п. 19, совпадает с логарифмом числа х по основанию а, определенным в курсе VIII класса.

Значение экспоненты в точке 1 называется числом е и обозначается буквой е, т. е. согласно определению

е = ехр 1. (12)

Это число играет большую роль во многих вопросах математики. Доказано, что число е — иррациональное и потому записывается в виде непериодической десятичной дроби:

е = 2,71828.

Покажем, что экспонента есть показательная функция с основанием е, т. е.

а натуральный логарифм есть логарифм с основанием е:

Действительно, из формулы (12) следует, что

ln е = 1, (15)
и потому, пользуясь равенствами (9) и (11), п. 19 , можем написать:

Докажем теперь, что для любого х

Функция х=lnу имеет во всей области определения производную. Следовательно, в каждой точке график этой функции имеет касательную. Но эта кривая, по определению, есть график функции у=ехр х. Таким образом, график функции y=ехр х имеет в каждой точке касательную, а это значит, что функция ехр всюду имеет производную. Остается найти эту производную. Заметим, что в формуле (1) слева и справа стоят равные функции. Следовательно, их производные тоже равны:
(х)’ = (ln (ехр х))’, т. е.

по правилу вычисления производной сложной функции. Отсюда следует, что
(ехрх)’= ехрх или

Для доказательства второй формулы (16) воспользуемся правилом вычисления производной сложной функции: так как то

Наконец, докажем, что при любом действительном р и любом х>0

Действительно, так как, по определению, то

Из формулы (17) следует, что теорема 1 из п. 14 верна при любом действительном а при р = —1, т. е. для функции первообразной будет lnх + С.

Из формул (16 ) вытекает следующая теорема:

Теорема:

Для показательной функции первообразной будет функция где С — произвольная постоянная. В частности, для экспоненты первообразной будет функция

В самом деле, так как производная постоянной равна нулю, то

a

что и требовалось доказать.

Отметим еще очень важное свойство показательной функции

где С — произвольная постоянная. Для доказательства вычислим

поскольку у’ = ky. Следовательно, производная функция равна нулю для всех х. Отсюда следует в силу признака постоянства функции, что это произведение есть постоянная С, т. е.
откуда

что и требовалось доказать.

Обратное утверждение проверяется дифференцированием.

Интеграл в высшей математике

Понятие о неопределенном интеграле

Имея функцию, можно по известным нам правилам найти ее производную, что, как мы знаем, имеет большое практическое значение. Так, по данному закону движения тела мы находим скорость его, как производную пути по времени ; по данному уравнению кривой определяем при помощи производной угловой коэффициент касательной, проведенной к этой кривой, и т. п.

Однако часто приходится решать и обратную задачу: по известной скорости движения тела устанавливать закон его движения, по данному угловому коэффициенту касательной к кривой находить уравнение этой кривой и т. п., иначе говоря, по данной производной отыскивать функцию, от которой произошла эта производная. Поэтому нам необходимо познакомиться с правилами решения указанной задачи.

Заметим, что находить функцию можно не только по данной ее производной, но и по ее дифференциалу, так как производная функции и ее дифференциал связаны простым соотношением. Практически же отыскивать функцию удобнее по ее дифференциалу, поэтому в дальнейшем изложении мы и будем пользоваться дифференциалом для решения обратной задачи.

Пусть функция

имеет производную f(х), тогда ее дифференциал

Функция (1) по отношению к ее дифференциалу (2) называется первообразной.

Определение:

Первообразной функцией для выражения f(x)dx называется функция F(x), дифференциал которой равен f(x)dx.

Однако дифференциалу функции соответствует не единственная первообразная, а множество их, причем они отличаются друг от друга постоянным слагаемым. Действительно, взяв, например, несколько функций

где С = const, мы замечаем, что дифференциал каждой из них один и тот же:

Но, как видно, этому дифференциалу соответствует множество первообразных функций вида , где С — любая постоянная.

Выражение называется неопределенным интегралом для дифференциала 2х dx и обозначается символом т. е.

Определение:

Совокупность всех первообразных функций F(x) + C для дифференциала f(x)dx называется неопределенным интегралом и обозначается

Таким образом, можно записать

где f(x)dx называется подынтегральным выражением, а С — произвольной постоянной интегрирования.

Процесс нахождения первообразной функции называется интегрированием, а раздел математики, занимающийся вопросами, связанными с интегрированием, — интегральным исчислением.

Из сказанного видно, что интегрирование есть действие, обратное дифференцированию.

Основные свойства неопределенного интеграла

Первое свойство. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т. е.

Это свойство следует из определения неопределенного интеграла.

Второе свойство. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной.

Пусть

Если возьмем интеграл от обеих частей этого равенства, то получим:

Но по определению

следовательно,

Примем без доказательства еще следующие свойства неопределенного интеграла.

Третье свойство. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т. е.

где а — постоянный множитель.

Четвертое свойство. Интеграл алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов каждой из них, т. е.

Основные формулы интегрирования

Для нахождения неопределенного интеграла необходимо знать основные формулы интегрирования.

Выведем сначала формулу для интегрирования степени. Для этого возьмем функцию и найдем ее дифференциал:

Взяв интеграл от обеих частей этого равенства, получим:

Применяя второе свойство интеграла к левой части последнего равенства и третье свойство к правой, найдем:

отсюда при

Обозначив постоянное слагаемое буквой С, будем иметь
окончательно:

Выведенная формула справедлива для любого значения n, кроме n = — 1. В последнем случае эта формула теряет смысл.

Аналогично можно вывести другие простейшие формулы. Но они могут быть получены и проще.

Пусть, например, нам нужно найти . Зададимся вопросом, какая функция имеет своим дифференциалом выражение . Такой является функция , так как

следовательно,

Приводим следующую таблицу основных формул, легко получаемых из соответствующих формул дифференцирования путем их обращения, как это было сделано для вывода

Разберем несколько примеров.

Пример:

Найти

Решение:

Применяя четвертое и третье свойства интеграла, а затем формулу (1) и второе свойство, получим

Здесь С является алгебраической суммой четырех произвольных постоянных слагаемых, входящих составной частью в каждый интеграл.

Легко проверить правильность интегрирования; для этого найдем дифференциал от полученной в ответе функции:

В результате получили подынтегральное выражение; следовательно, интеграл найден верно.

Пример:

Найти

Решение:

Данный интеграл не подходит ни под одну из табличных формул, поэтому подынтегральное выражение преобразуем следующим образом:

Применяя формулу (I), получим:

Решение:

Представим подынтегральное выражение в виде суммы двух дробей, разделив числитель почленно на х:

Разбив последний интеграл на сумму интегралов и применяя формулы (I) и (II), получим

Мы разобрали простейшие примеры, в которых функции могли быть выражены путем несложных преобразований в виде, позволяющем применить для нахождения интеграла табличные формулы. Очень часты случаи, когда таких простых преобразований сделать нельзя и для интегрирования приходится применять особые приемы, иногда довольно сложные.

Таким образом, для интегрирования недостаточно простого знания формул, нужен еще опыт, который накапливается постепенно в процессе решения примеров. Интегрирование в отличие от дифференцирования требует от нас известной изобретательности и смекалки.

Определение постоянной интегрирования

Было установлено, что в равенстве

постоянное слагаемое С имеет произвольное значение, а потому неопределенный интеграл представляет собой множество первообразных функций, отличающихся друг от друга постоянным слагаемым. Чтобы из совокупности первообразных функций найти одну, отвечающую задаче, нужно иметь дополнительное условие.

Пусть, например, требуется найти уравнение кривой, проходящей через точку М (1; 3), если известно, что угловой коэффициент касательной, проведенной в любой точке припой, равен 2х.

Согласно геометрическому смыслу производной напишем:

откуда

Взяв интеграл от обеих частей последнего равенства, получим:

или

Равенство (1) не может служить ответом на вопрос задачи, так как оно содержит неопределенное постоянное С. Чтобы получить определенный ответ (т. е. единственную первообразную функцию для данного дифференциала), воспользуемся дополнительными данными задачи, а именно координатами точки, лежащей на кривой, уравнение которой ищется. Положив в уравнении (1) х = 1 и у = 3, будем иметь:

откуда

Итак, искомое уравнение кривой (т. е. искомая первообразная функция, удовлетворяющая данному дополнительному условию), будет

Построив графики первообразных функций, определяемых уравнением (1), мы получим множество (семейство) парабол (рис. 110), каждая из которых имеет вершину на оси Оу. Задав дополнительное условие (при х = 1 и у = 3), мы тем самым из множества парабол выделили одну параболу (2), на которой лежит точка с координатами х = 1 и у = 3 .

В самом деле, подставив в уравнение (2) вместо х и у соответственно 1 и 3, получим тождество.

Если изменить дополнительное условие, то и С изменится, а соответственно с этим мы получим другую первообразную функцию, графиком которой будет другая парабола того же семейства. Например, если кривая проходит через точку N(1; 1), то С = 0 и (рис. 110).

Определенный интеграл

Пусть в интеграле

аргумент изменяется от х = 2 до х = 4, тогда приращение первообразных функций в указанном промежутке значений х будет:

Полученное приращение первообразных функций называется

определенным интегралом и обозначается символом .

Определение:

Приращение F(b)— F (а) любой из первообразных функций F(x)—C при изменении аргумента от х = а до х = b называется определенным интегралом и обозначается

При этом предполагается, что функция f(x) непрерывна в промежутке значений аргумента от а до b. Таким образом,

Левая часть этого равенства читается так: «определенный интеграл от а до b эф от икс дэ икс».

Значение а называется нижним пределом определенного интеграла, значение b — верхним его пределом. Из равенства (1) вытекает следующее правило:

Для вычисления определенного интеграла

нужно найти соответствующий неопределенный интеграл, в полученное его выражение подставить вместо х сначала верхний, а затем нижний пределы определенного интеграла и из первого результата подстановки вычесть второй.

Чтобы подчеркнуть два действия при отыскании определенного интеграла — нахождение неопределенного интеграла и подстановку пределов, — пишут формулу (1) в следующем виде:

Пример:

Вычислить

Решение:

Согласно правилу имеем:

Пример:

Вычислить

Решение:

Пример:

Вычислить

Решение:

Основные свойства определенного интеграла

Мы рассмотрели четыре основных свойства неопределенного интеграла. В подробных курсах высшей математики доказывается, что третьим и четвертым из них обладает и определенный интеграл. Кроме этих свойств, для определенного интеграла справедливо и следующее:

Если переставить пределы определенного интеграла, то его знак изменится на противоположный.

В самом деле, вынеся за скобку множитель — 1 в правой части равенства

получим:

Но разность в квадратных скобках есть тот же определенный интеграл, только с переставленными пределами, т. е.

Следовательно,

Геометрический смысл определенного интеграла

Пусть дана кривая, определяемая уравнением у=f»(x), причем

f(x) -— функция непрерывная и положительная при рассматриваемых значениях х (рис. 111). Возьмем на кривой точку с постоянной абсциссой и точку М, меняющую свое положение в зависимости от изменения абсциссы ОР = х. Тогда площадь фигуры называемой криволинейной трапецией, будет переменной величиной, зависящей от х. Обозначим ее через S. Дадим аргументу х приращение тогда площадь 5 получит приращение , равное криволинейной площади ММ1Р1Р. Проведя прямую а также до пересечения с продолженной ординатой РМ, будем иметь:

или, выражая площади прямоугольников по формулам:

Но

поэтому неравенства (1) перепишутся так:

Разделив полученные неравенства на положительную величину , получим:

Пусть , тогда

Так как величина заключена между f(x) и , как видно из неравенств (2), то и подавно

или

Но — производная функции s; следовательно,

откуда

Взяв интеграл от обеих частей равенства (3), получим;

или

Пусть F(x)—первообразная функция для дифференциала

f(x)dx, тогда

Сравнив равенства (4) и (5), получаем:

или

где

Для определения С положим в равенстве (6) х = а тогда, как видно из рисежа 111,

будем иметь:

Отсюда С = — F (а) и равенство (6) перепишется так:

Но по определению

Следовательно,

Эта формула определяет переменную площадь

Чтобы получить постоянную площадь в промежутке значений х от а до b (рис. 112), нужно в равенстве (7) положить х = b; тогда площадь

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривой у=f(х) где f(х) > 0, осью Ох и двумя прямыми х = а и х = b , выражается определенным
интегралом

Таков геометрический смысл определенного интеграла.

Пример:

Определить площадь фигуры, заключенной между ветвью кривой, осью Ох и прямыми х = 0 и х = 3.

Решение:

Согласно геометрическому смыслу определенного интеграла искомая площадь (рис. 113)

Интегрирование способом подстановки

Если заданный интеграл простейшими преобразованиями трудно привести (или совсем нельзя привести) к табличному, то для его отыскания применяются особые приемы. Рассмотрим один из них, называемый интегрированием способом подстановки.

Пример:

Найти

Решение:

Положим

где z — новое переменное. Возьмем дифференциал от обеих частей равенства (1); получим:

Заменив в искомом интеграле 1 + х и dх их найденными значениями и применив формулу (1) , будем иметь:

Но ответ должен быть представлен как функция от переменной х; поэтому, подставив вместо r его значение из равенства (1), получим:

Для проверки решения найдем дифференциал полученного выражения, рассматривая его как сложную степенную функцию:

В результате получилось подынтегральное выражение; следовательно, интегрирование было произведено верно.

Пример:

Найти

Решение:

Положим

отсюда

Подставив в подынтегральное выражение вместо 2х +3 и dх их значения, заменив корень степенью с дробным показателем и применив формулу (I) , будем иметь:

Перейдя к прежнему переменному х, получим:

Пример:

Найти

Решение:

Положим

откуда

Сделав подстановку, как в предыдущем примере, и применяя формулу (V) получим;

Пример:

Найти

Решение:

Положим

откуда

Сделав необходимую замену и применив формулу (II) будем иметь:

Пример:

Найти

Решение:

Положим

тогда

Пример:

Найти

Решение:

Положим

тогда

и

Пример:

Найти

Решение:

Положим

тогда

и

Пример:

Найти

Решение:

Так как искомый интеграл напоминает табличный, нужно соответствующими преобразованиями привести его к виду, позволяющему применить указанную формулу. Для этого вынесем за знак интеграла множитель .

Получим:

Положим теперь

тогда

и

Пример:

Найти

Решение:

Этот интеграл приводится к табличному следующими преобразованиями:

Положим

тогда

отсюда

Следовательно,

или

Пример:

Найти

Решение:

Положим

тогда

и

Пример:

Найти

Решение:

Заменим по формуле

тогда

Для нахождения

положим:

откуда

и

Следовательно,

Пример:

Найти

Решение:

Положим:

тогда

и

Таким образом,

взяв из примера 11, напишем:

Из равенства (2) находим:

от куда

Кроме того,

Подставив значения z и sin 2z в равенство (3), получим:

Итак,

Вычисление определенного интеграла с помощью подстановки

Для вычисления определенного интеграла с применением подстановки поступают так же, как указано в разобранных примерах. Но в этом случае есть одна особенность, на которую нужно обратить внимание. Как мы уже выяснили, метод подстановки заключается в том, что для приведения заданного неопределенного интеграла к табличному выражают аргумент через новое переменное, затем находят неопределенный интеграл и полученный результат снова выражают через первоначально заданное переменное (аргумент). В случае же определенного интеграла нет необходимости возвращаться к первоначально заданному переменному.

Разберем несколько примеров.

Пример:

Найти

Решение:

Положим

тогда

откуда

Так как мы ввели новое переменное, связанное с прежним равенством (1), то границы изменения переменного z, т. е. пределы интегрирования по переменному z , будут уже другие. Они найдутся из равенства (1) заменой аргумента х его значениями 0 и . Сделав эту замену, получим:

Таким образом, мы нашли, что пределам изменения х от 0 до соответствуют пределы изменения нового перемениого r от 1 до

Заменив в заданном интеграле и хdх их выражениями через новое переменное и изменив соответственно пределы интегрирования, можем записать решение данного примера следующим образом:

Пример:

Найти

Решение:

Вынесем множитель за знак интеграла:

Положим

тогда

откуда

Находим новые пределы:

Следовательно,

Определенный интеграл как предел суммы

Возьмем функцию у = f(x), непрерывную в промежутке значений х от а до b. Положим для простоты, что эта функция в указанном промежутке положительная и возрастающая.

Рассмотрим площадь фигуры М1М2Р2Р1 ограниченной дугой М1М2 графика данной функции, прямыми х = а и х = b и осью Ох (рис. 114), Согласно геометрическому смыслу определенного интеграла эта площадь

Разделим отрезок Р1Р2 на n равных частей, каждую из которых обозначим через и в концах полученных отрезков восставим перпендикуляры до пересечения с кривой.

Проведя из концов этих перпендикуляров прямые, параллельные оси Ох, мы можем представить площадь фигуры М1М2Р2Р1 в виде суммы площадей прямоугольников и суммы

площадей криволинейных треугольников. Обозначив первую сумму через а вторую—через , напишем:

откуда

Если

то

Пусть абсциссы точек

будут соответственно

тогда ординаты этих точек будут

Сумма площадей всех прямоугольников

или

В равенстве (3) (сигма)—символ суммы; указывает, какого вида выражения складываются; буквы а и b стоящие внизу и вверху символа говорят о том, что значения аргумента при этом берут в границах от х — а до х = b.

Если число делений n отрезка P1P2 неограниченно увеличивать, то и величины S1 и S2 станут переменными. Покажем, что S2 при этом условии — величина бесконечно малая. Для этого передвинем криволинейные треугольники параллельно оси Ох, расположив их в прямоугольнике ABCD, основание которого

и высота

Площадь прямоугольника ABCD будет равна

Как видно из рис. 114

Если , то как произведение постоянной на бесконечно малую есть величина бесконечно малая, а потому согласно неравенству (4) S2 — также бесконечно малая величина.

Таким образом, в левой части равенства (2) мы имеем разность между постоянной S и переменной S2 , а в правой— бесконечно малую. Следовательно, по определению предела,

или согласно равенствам (1) и (3)

Сумма, стоящая под знаком предела в равенстве (5), называется интегральной суммой.

Таким образом, определенный интеграл с конечными пределами равен пределу интегральной суммы, число слагаемых которой неограниченно растет, а каждое слагаемое стремится к нулю.

Можно показать, что к тому же результату мы придем, если возьмем функцию положительную и убывающую в рассматриваемом промежутке значений х, или положительную, но на одних участках возрастающую, а на других убывающую, или, наконец, отрицательную функцию, т. е. такую, график которой расположен ниже оси Ох.

Полученный вывод показывает, что интегрирование можно рассматривать как процесс суммирования, т. е. нахождения целого сложением его частей. В связи с этим интеграл и получил свое название от латинского слова integer (целый), да и символ его(удлиненная буква S, которой обычно обозначается сумма) связан с вышеуказанным свойством определенного интеграла.

В главе XII мы подробно остановимся на приложении формулы (5); здесь же разберем только одну задачу вычисления объема пирамиды с помощью интеграла.

Возьмем пирамиду с площадью основания Q и высотой Н и разобьем ее на n пластинок плоскостями, параллельными основанию ее ( рис . 115).

Если количество этих пластинок неограниченно увеличивать, то толщина каждой из них будет бесконечно малой величиной; в этом случае пластинки можно принять за призмы. Выделив одну из них, например A1B1C1D1 обозначим площадь ее основания, высоту и объем соответственно через тогда

Так как площадь основания пластинки зависит от расстояния ОО1 = у, выразим q через у. По известной теореме о свойстве сечения, параллельного основанию пирамиды, можем написать:

откуда

Теперь равенство (6) перепишется так:

Величина бесконечно малая, так как при таким образом, объем v пирамиды представится как предел суммы бесконечно малых величин вида т. е.

или согласно формуле (5) настоящего

Вычисляя этот интеграл по известным правилам, находим:

Итак,

т. е. объем пирамиды равен одной трети произведения, площади ее основания на высоту.

Приложения интеграла

Площади фигур

Мы доказали, что если f(х) > 0 в промежутке значений x от а до b, то площадь фигуры, заключенной между графиком кривой у = f(х), осью Ох и прямыми х = а и х = b определяется по формуле

Можно показать, что в случае f(x) < 0 формула (1) дает отрицательное число, равное по абсолютной величине искомой площади, т. е.

Пример:

Найти площадь фигуры, заключенной между осью Ох и кривой рис. 116.

Решение:

Точки О и В пересечения параболы с осью Ох имеют абсциссы, равные 0 и 4. Как видно из рисежа, искомая площадь (она заштрихована) ограничена сверху осью Ох, снизу параболой, слева и справа прямыми х = 0 и х = 4, от которых парабола и ось Ох отсекают отрезки нулевой длины. Заданная функция отрицательна в промежутке значений х от 0 до 4: поэтому, применяя формулу (2), получим:

Пример:

Найти площадь фигуры, заключенной между кривой , прямыми х = —1, х = 2 и осью Ох (рис. 117).

Решение:

Искомая площадь, как видно из рисежа, состоит из двух площадей АОD и ВОС, расположенных по разные стороны оси Ох.

В промежутке значений x от 0 до 2 функция положительна, поэтому площадь АОD вычисляем по формуле (1)

В промежутке значений х от —1 до 0 функция отрицательна, поэтому по формуле (2) имеем:

Таким образом, вся искомая площадь

Пример:

Найти площадь фигуры, заключенной между линиями и у = х (рис. 118).

Решение:

Заданные линии пересекаются в начале координат и в точке А (1; 1) (координаты точек пересечения находим, решив совместно уравнения обеих линий). Опустим из точки А на ось Ох перпендикуляр АВ. Он является отрезком прямой х = 1. Искомая плошадь (рис. 118) равна разности между площадями треугольника ОАВ и фигуры От АВ, т. е.

Площадь ОАВ заключена между графиком функции у = х, прямыми x = 0 и х = 1 и осью Ох.

Площадь От АВ заключена между кривой , прямыми х = 0 и х = 1 и осью Ох. Функции у = х и положительны в промежутке значений х от 0 до 1.

Следовательно, по формуле (1), учитывая равенство (3), имеем:

Объем тела вращения

Пусть дана кривая, определяемая уравнением у = f(х), и на ней две точки А и В

с абсциссами ОР = а и ОQ = b (рис. 119). Если вращать фигуру ABQP вокруг оси Ох, то образуется некоторое тело вращения.

Разделим отрезок PQ на n равных частей, каждую из которых обозначим через , и в точках деления восставим перпендикуляры к оси Ох до пересечения с кривой. Проведя из этих точек пересечения прямые, параллельные оси Ох, до встречи с соседними перпендикулярами, мы разобьем фигуру ABQP на n прямоугольников и криволинейных треугольников. При вращении фигуры ABQP вокруг оси Ох каждый из прямоугольников образует цилиндр, а сумма объемов этих цилиндров даст приближенную величину объема рассматриваемого тела вращения. Подсчитаем эту сумму объемов цилиндров. Для этого возьмем один из них, например CDFE. Как видно из рисежа, радиусом основания этого цилиндра будет:

а высотой

Следовательно объем указанного цилиндра равен

а сумма объемов всех цилиндров будет

Это выражение и представляет собой приближенную величину объема тела вращения, т. е.

Положим теперь, что число делений отрезка PQ неограниченно возрастает; тогда , а следовательно, и произведение будут бесконечно малыми величинами. Перейдя к пределу, получим:

или согласно формуле (5)

Поэтому

Пример:

Фигура , ограниченная линиями х = 4 и у = 0, вращается вокруг оси Ох. Найти объем полученного тела (рис.120).

Решение:

Полученное тело называется параболоидом вращения. Согласно формуле (1) имеем:

Пользуясь формулой (1), можно вывести формулы объема конуса, шара и его частей.

Объем прямого кругового конуса

Прямой круговой конус получается от вращения прямоугольного треугольника ОАР вокруг оси Ох (рис. 121). Составим уравнение прямой ОА, образующей при своем вращении коническую поверхность.

Обозначив

напишем искомое уравнение прямой ОА:

Применяя формулу (1), будем иметь:

Объем усеченного конуса

Усеченный конус можно получить, вращая прямоугольную трапецию АВСО

вокруг оси Ох (рис. 122). Найдем уравнение прямой АВ, образующей коническую поверхность. Для этого положим:

и напишем уравнение АВ в виде Как видно из рисежа,

Таким образом, искомое уравнение будет:

Согласно формуле (1) найдем:

Вычислим определенный интеграл способом подстановки. Положим

тогда

отсюда

Новые пределы интеграла будут:

Следовательно,

Объем шара

Шар получается от вращения полукруга с центром в начале координат вокруг оси Ох (рис. 123). Уравнение окружности радиуса Я, представленной на рисеже, имеет вид

откуда

Согласно формуле (1) найдем:

Объем шарового сегмента. Шаровой сегмент можно получить, вращая половину кругового сегмента ABC вокруг оси Ох (рис. 124). Обозначив высоту РВ шарового сегмента через Н, а радиус круга через R, будем иметь:

Объем шарового сектора. Шаровой сектор можно представить как тело, полученное от вращения кругового сектора ОAB вокруг оси Ох (рис. 125). Как видно из рисежа, объем шарового сектора равен сумме объемов конуса ОАС и шарового сегмента ABC. Применяя формулы (2) и (5), найдем объем шарового сектора:

Обозначим

тогда

и из треугольника ОАР

Подставив значения

в выражение объема шарового сектора, получим:

Объем шарового слоя

Шаровой слой получается в результате вращения фигуры АСQР вокруг оси Ох, где AС—дуга окружности с центром в начале координат (рис. 126). Положим:

тогда согласно формуле (1) объем шарового слоя

Но так как (из треугольника ОАР) и

(из треугольника ОСQ), то

или

отсюда

Подставив найденные значения ,Hh в выражение объема шарового слоя, получим:

Если тело движется неравномерно, то скорость его меняется в зависимости от времени t т. е.

Чтобы найти в этом случае путь тела за время от t = t1 до t = t2 разделим промежуток времени t2 = t1 на n равных и очень малых частей . Положим, что в течение каждого из промежутков времени скорость тела остается постоянной, меняясь скачком в конце каждого промежутка . Пусть, например, t2 = t1 мы разбили на промежутки = 1 сек. Согласно сделанному допущению в первую секунду тело движется равномерно и в конце ее меняет скорость, продолжая в течение второй секунды двигаться равномерно с полученной скоростью; затем в конце второй секунды приобретает новую скорость, с которой и движется равномерно в течение третьей секунды и т. д.

Поэтому путь тела за время найдется по формуле (1) и будет приближенно равен f(t) , а за время t2 = t1 путь его

Будем увеличивать число делений n тогда , а также и скачки в изменении скорости в конце каждого промежутка будут все меньше и меньше. Если то а, следовательно, и . При этом условии скорость тела меняется уже не скачкообразно, а непрерывно, и путь его будет равен:

или согласно формуле (5)

Пример:

Скорость движения тела задана уравнением

Найти путь, пройденный им за 6 сек. от начала движения.

Решение:

Согласно формуле (2) имеем:

Работа силы

Пусть тело движется по прямой линии под действием постоянной силы F тогда работа Р, совершаемая этой силой на пройденном пути, равном х, найдется по формуле

где х выражается в метрах, F — в килограммах, а Р — в килограммометрах.

Но если движение тела происходит под действием переменной силы, то ее работа определяется сложнее. Выведем формулу для этого случая.

Допустим, что тело, находящееся в точке О в состоянии покоя, начинает двигаться по прямой линии (рис. 127) под

действием переменной силы F изменяющейся в зависимости от пройденного пути х, т. е.

Пусть в некоторые моменты времени тело оказалось в точках А и В, причем

Покажем, как определить работу, совершаемую данной силой на отрезке пути АВ = b — а.

Для этого разобьем его на n равных и очень малых отрезков . Положим, как и в задаче, что на каждом отрезке сила остается постоянной, изменяясь скачком в конце каждого отрезка . Тогда по формуле (1) работа силы на отрезке пути будет приближенно равна f(x); работа же силы на всем пути AB = b — а.

Если число делений п неограниченно увеличивать, то а, следовательно, и f(x станут бесконечно малыми величинами. При этом условии сила будет меняться не скачками, а непрерывно, и искомая работа ее будет равна

или согласно формуле (5)

Пример:

Сила в 1 кг растягивает пружину на 3 см. Какую работу она при этом производит?

Решение:

По закону Гука сила пропорциональна растяжению или сжатию пружины, т. е.

где х—величина растяжения или сжатия ее, a — коэффициент пропорциональности.

Чтобы найти значение для нашей задачи, подставим данные величины в уравнение, выражающее закон Гука; получим;

откуда

Следовательно, сила, растягивающая нашу пружину, выразится в следующем виде:

Так как сила начинает действовать на пружину, находящуюся в состоянии покоя, то нижний предел интеграла в формуле (2) а = 0, верхний же предел b = 0,03. Следовательно, искомая работа будет:

Работа, совершаемая при поднятии груза

Из физики известно, что при поднятии груза на некоторую высоту совершается работа, равная произведению веса, выраженного в килограммах, на высоту подъема, выраженную в метрах. При этом сама работа измеряется в килограммометрах. Решим несколько задач.

Задача:

Из цилиндрического бака нужно выкачать воду, наполняющую бак до края. Какая работа при этом совершается, если радиус основания бака R = 0,6 м, а высота его Н = 3 м?

Решение:

Если бы мы подняли на некоторую высоту бак вместе с водой, то работу, необходимую для этого, нашли бы легко простым умножением веса груза на высоту подъема. Но работа, совершаемая при выкачивании жидкости, определяется сложней, так как жидкость в этом случае поднимается не вся сразу, а по частям, слоями, причем высота подъема у разных слоев жидкости разная.

Для решения задачи разобьем цилиндр плоскостями, параллельными его основанию, на тонкие слои (рис. 128).

Выделив один из них на глубине

и обозначив его толщину и объем соответственно через и будем иметь:

Вес воды в найденном объеме будет:

так как воды весит 1 т. Выразив в килограммах, получим:

Чтобы выкачать воду, находящуюся в рассматриваемом слое, его нужно поднять до края бака, т. е. на высоту

Работа совершаемая при этом, выразится так:

При последовательном поднятии до края бака каждого слоя, начиная с первого и кончая последним, совершается в каждом случае работа, определяемая равенством (1); при этом величина у имеет для каждого слоя свое значение в границах от 0 до H. Работа же, необходимая для поднятия всей воды, выразится в виде

Но полученная величина работы — только приближенная. Чтобы найти искомую работу, будем неограниченно увеличивать

число делений цилиндра плоскостями; тогда вся работа

или согласно формуле (5)

Заменив R и H их значениями, надем:

Задача:

Резервуар конической формы, расположенный вершиной на поверхности земли и имеющий высоту Н=3 м и радиус основания R = 90 см, наполнен водой. Какую работу нужно произвести, чтобы выкачать из него всю воду?

Решение:

Как и в первой задаче, разобьем конус на тонкие слои и каждый из них примем за цилиндр. Выделим один из них на глубине (рис. 129).

Обозначив толщину выделенного слоя и его объем соответственно через и , напишем:

Выразим О1В через у, из подобия треугольников O2O1В и O2OA имеем:

откуда

Заменив в равенстве (2) O1B найденным значением, получим:

Вес воды в объеме будет:

Работа , совершаемая при поднятии воды весом в на высоту

выразится так:

Работа же, необходимая для поднятия всей воды, будет приближенно равна

Если неограниченно увеличивать число делений конуса, то искомая работа

или согласно формуле (5)

или после замены R и Н их значениями

Давление жидкости

Задача:

Прямоугольная пластинка с размерами 20 см X 30 см погружена в воду так, что меньшая сторона ее лежит на поверхности воды, а большая занимает вертикальное положение. Найти давление воды на пластинку.

Решение:

Пусть данная пластинка ABCD расположена, как указано на рис. 130,

где MN— поверхность воды. Если бы эта пластинка находилась в горизонтальном положении, то давление воды на нее было бы равно весу столба жидкости, имеющего основанием данную пластинку, а высотой — глубину ее расположения от поверхности жидкости. Но по такому закону нельзя рассчитать давление воды на вертикальную площадку, так как давление на единицу площади изменяется с глубиной.

Для решения задачи разобьем пластинку на большое число полосок, параллельных AD. Выделив одну из них, например abсd, на глубине

и обозначив ширину ее через , а площадь через ,найдем

Горизонтальная площадка на глубине Вb испытывает давление, равное весу столба воды, имеющего основание в и высоту Bb = y т. е. давление, равное у г.

По закону Паскаля давление жидкости передается во все стороны с одинаковой силой; поэтому давление ее на вертикально расположенной полоски abcd будет приближенно тоже у г. На всю же полоску abcd давление выразится так:

или после замены согласно равенству (1)

Находя таким же образом давление воды на каждую из полосок, составляющих пластинку ABCD, мы получим в каждом случае величину этого давления, определяемую равенством (2), в котором у имеет значение, соответствующее глубине расположения той или иной полоски. Давление же воды на всю пластинку ABCD будет приближенно равно

Будем неограниченно увеличивать число делений пластинки ABCD; тогда искомая величина давления

Задача:

Пластинка в виде прямоугольного треугольника ABC с катетами AB = 12 см и АС = 9 см опущена в ртуть так, что катет AB занимает вертикальное положение, а вершина В находится на 3 см ниже уровня ртути.

Найти давление ртути на эту пластинку. (Удельный вес ртути

13,6 г/).

Решение:

Расположение пластинки указано на рис. 131,

где MN— уровень ртути. Как и в задаче 1, разобьем пластинку ABC на большое число полосок, параллельных AC, каждую из которых примем за прямоугольник. Выделим одну из этих полосок, например abcd, па глубине Db. Обозначив Вb через у, а ширину и площадь полоски abcd соответственно через и , найдем:

Согласно закону Паскаля давление ртути на площадку , расположенную на глубине

равно приближенно

а на всю полоску abcd давление выразится так:

или согласно равенству (3):

Выразим длину полоски bc через у; для этого рассмотрим треугольники ABC и bВс, из их подобия следует

или

откуда

Теперь равенство (4) перепишется:

Давление на каждую из остальных полосок будет определяться равенством (5), в котором у принимает значения в границах от 0 до 12. Суммируя все эти давления, мы получим величину давления на пластинку ЛВС, приближенно равную

При неограниченном увеличении числа делений пластинки AВС искомая величина давления на нее будет равна 12

Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы

Двойной интеграл, его свойства и вычисление

Построение двойного интеграла:

1°. В области D плоскости Оху определена непрерывная функция
z = f(x,y). Область D разобьем каким-то образом на n элементарных областей (частей) Через обозначим площадь
(k — 1, 2,…, n), через — максимальный из диаметров областей (под диаметром области понимается наибольшее расстояние между двумя ее точками). В каждой области произвольно выберем по точке и составим интегральную сумму

2°. Если , то слагаемое обозначает объем цилиндра с основанием и высотой , a — объем объединения всех таких цилиндров, т.е. приближенное значение объема тела с основанием D, ограниченного цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси Oz, и поверхностью
z = f(x,y) (рис. 3.1).

Теорема:

Если функция z = f(x,y) непрерывна в D, то при условии и последовательность {Vn} имеет конечный предел:

Предел V называется двойным интегралом от функции f (х,у) по области D и обозначается или

3°. Из построения следует, что

выражает площадь фигуры (области) D, а если то двойной интеграл

выражает объем цилиндрического тела, «крыша» которого — поверхность z = f(x, у), а основание — область D.

4°. Следующие свойства двойного интеграла вытекают из построения интеграла и из свойств пределов последовательностей.

1. Свойство линейности выражается равенством

В частности,

где С — константа.

2. Свойство аддитивности. Если область D состоит из двух областей без общих внутренних точек, то

3.Знак интеграла совпадает со знаком функции f(x,y). Например, если то

4. Оценка интеграла: если

то

Теорема:

Пусть z = f(x,y) непрерывна области D. Тогда в D существует точка М(х,у), такая, что

Напомним, что буквой S обозначена площадь области (фигуры) D.

Вычисление двойного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел

1°. Область D называется правильной относительно оси Оу (Ох), если каждая прямая, параллельная оси Оу (Ох) и проходящая через внутреннюю точку D, пересекает ее границу только в двух точках.

Нижняя (левая) из этих точек называется точкой входа в область, а верхняя (правая) — точкой выхода из области.

Область, правильную относительно обеих осей (направлений), назовем правильной областью. Правильная область может быть задана системой неравенств. А именно, для области, правильной относительно Оу (рис. 3.2):

для области, правильной относительно Ох (рис. 3.3):

При этом

2°. Интегралы, написанные справа от первого знака равенства, называются повторными. Двойной интеграл сводится к повторным. При вычислении внутреннего интеграла одна из переменных, дифференциал которой отсутствует, считается (временно) постоянной. В частности, если f (x, у) представима в виде то

Аналогично выносится множитель, зависящий только от у.

3°. Каждая область D может быть представлена в виде объединения (совокупности) конечного числа правильных областей попарно не имеющих внутренних точек.

Тогда

Примеры с решениями

Пример:

Привести к повторным интегралам двойной интеграл если D — область, изображенная на рис. 3.4, а D граница задана уравнениями

Решение:

Напишем D в виде системы неравенств и составим повторные интегралы.

Анализ рис. 3.4 показывает, что область D ограничена снизу
графиком функции а сверху графиком функции

причем эти функции определены на всем отрезке

Отсюда следует, что область D можно записать системой неравенств

Кроме этого, можно заключить, что область D ограничена слева графиками двух функций вида

(эта функция получена из равенства ), а справа графиками трех функций: (функция получена из равенства ) , и x = 2 arccos y

Графики всех этих функций составляют границу области D. Тем самым область D можно записать в виде совокупности систем.

Следовательно,

Повторные интегралы, стоящие по разные стороны второго знака равенства, отличаются порядком интегрирования.

Пример:

Изменить порядок интегрирования:

Решение:

Построим область интегрирования (рис. 3.5), запишем ее в виде системы неравенств и перейдем к другому повторному интегралу:

Пример:

Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле

Область интегрирования изобразить на чертеже.

Решение:

Сначала надо построить область интегрирования D. Интегрирование во внутреннем интеграле производится по у от параболы до прямой у = 2 — х, а во внешнем — по х от точки х = 0 до точки х = 1 (рис. 3.6).

Если изменить порядок интегрирования, то внутреннее интегрирование будет производиться по х от левой границы области D (от Оу: х = 0) до правой границы — кривой ОАВ. Однако эта кривая на разных участках задается разными уравнениями:

поэтому и результат запишется не в виде одного повторного интеграла, а как сумма двух интегралов. В самом деле, в точке А с ординатой у = 1 меняется уравнение, задающее правую границу области D, так что прямая у = 1 делит область D на две подобласти , у каждой из которых правая граница описывается уже лишь одним уравнением, и интеграл по D представляется в виде суммы интегралов по ?

О т в е т

Поэтому данный двойной интеграл можно записать в виде повторного:

О т в е т.

Определение:

Вычислить двойной интеграл

где D — область, ограниченная линиями х = 0,
2у = Зх

Решение:

Область D изображена на рис. 3.7. Сверху она ограничена отрезком прямой снизу параболой слева осью Оу. Определим абсциссу точки А пересечения прямой и параболы:

Следовательно, область D можно записать системой неравенств

а двойной интеграл — в виде повторного:

Пример:

Вычислить площади фигур, ограниченных кривыми:

Решение:

Построим соответствующие области (рис. 3.8) и по ним определим соответствующие пределы интегрирования, опуская записи систем неравенств. Таким образом:

Пример:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной сверху

прямыми х — у + 2 = 0, , а снизу — параболой

Решение:

Воспользуемся рис. 3.9. Уравнение АС имеет вид y = x + 2,

а СВ описывается уравнением . Тогда

Ответ. S = 42.

Пример:

Вычислить объем тела, ограниченного сверху поверхностью , а снизу прямоугольником

Решение:

Искомый объем вычислим по формуле

где D — данный прямоугольник, a

Двойной интеграл сводится к произведению определенных интегралов, у которых пределы интегрирования являются числами:

О т в е т

Замена переменных в двойном интеграле

Задача заключается в упрощении процедуры интегрирования благодаря упрощению описания области интегрирования или подынтегрального выражения. В любом случае имеем дело с заменой переменных.

Криволинейные координаты

1°. Предположим, что в плоскости Ouv дана область G (рис. 3.10), а в ней определены непрерывные и дифференцируемые функции

которые преобразуют точки области G в область D плоскости Оху
(рис. 3.11)

Прямоугольник ABCD области G с вершинами А(u, v), и с площадью, равной преобразуется функциями (1) в криволинейный параллелограмм A’B’C’D’.

2°. Пусть z = f(x,y) — функция, непрерывная в области D плоскости Оху, G — область плоскости Оuv, которая при помощи системы функций (1) преобразуется в D. Тогда

где

Это формула замены переменных в двойном интеграле, a I(u,v) называется якобианом преобразования, или определителем Якоби.

Полярные координаты

Переход от полярных координат к прямоугольным и обратно, от прямоугольных к полярным, осуществляется по формулам

При этом

Двойной интеграл в полярных координатах имеет вид

Преобразование, осуществляемое формулами (2), изображено на
рис. 3.12.

Примеры с решениями

Пример:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой

Решение:

Положим

Имеем:

В новых координатах (u, v) кривая имеет вид Это означает, что написанные формулы преобразуют круг (область G) в данную фигуру

(эллипс с внутренностью). Т.к. площадь круга G равна то имеем

О т в е т

Пример:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной замкнутой кривой

Решение:

Переходим к полярным координатам:

Тогда уравнение данной кривой принимает вид

Поскольку исходное уравнение имеет смысл при то уравнение в полярных координатах определено при

Площадь соответствующей фигуры (рис. 3.13) вычислим, переходя в интеграле к полярным координатам:

Пример:

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

Решение:

Данное тело — часть параболоида вращения заключенного внутри цилиндра Область интегрирования D есть круг или заключенный во II и III четвертях, т. е. угловая полярная координата изменяется в пределах:
(рис. 3.14). Объем тела вычислим по формуле

Для определения пределов интегрирования в полярных координатах запишем в виде неравенств область G. Это круг, ограниченный окружностью т.е. или

Следовательно,

Поэтому

Применения двойного интеграла

Вычисление площади поверхности

Пусть над областью D плоскости Оху задана гладкая поверхность с уравнением z = f (x,y), причем f(x, у) непрерывна вместе с частными производными в D. Площадь такой поверхности вычисляется двойным интегралом:

Подынтегральное выражение представляет собой дифференциальный элемент площади поверхности и обозначается Тогда приведенная формула примет вид

Вычисление массы материальной пластины

Дана материальная поверхность. Поверхностная плотность распределения масс (вещества) в точке М определяется пределом где — масса элемента (куска) поверхности с площадью при условии, что этот кусок стягивается в точку М.

Плотность р(М) в точке М является неотрицательной функцией. Если материальная пластина имеет поверхностную плотность р (М), то ее полная масса определяется интегралом где —элемент площади поверхности.

Если пластину отождествить с областью D плоскости

Если пластину отождествить с пространственной поверхностью а, заданной уравнением z = f (x, у), то ее масса равна

Вычисление моментов инерции плоской фигуры

Моментом инерции материальной точки М с массой m относительно точки О называется величина Момент инерции системы материальных точек с массами соответственно относительно точки О равен сумме моментов инерции точек этой системы:

Пусть в плоскости Оху имеется материальная пластина D с плотностью р(х, у), (х, у) € D.

Известным образом можно получить формулу для вычисления момента инерции D относительно фиксированной точки

В частности, если O (0,0) — начало координат, то

где момент инерции D относительно оси Oy, — момент инерции D относительно оси Ox.

Вычисление координат центра тяжести плоской пластины

Координаты центра тяжести (или масс) материальных точек с массами соответственно вычисляются по формулам

Если материальная пластина D имеет плотность р(х, у), то координаты центра масс Q этой пластины вычисляются по формулам

Величины (интегралы)

называются статическими моментами пластины D относительно осей координат соответственно Оу и Ох.

Примеры с решениями

Пример:

Вычислить площадь поверхности расположенной внутри цилиндра , а > 0.

Решение:

Имеем

Пример:

Вычислить массу области D, ограниченной кривыми если ее плотность равна р = х + 2у.

Решение:

Пример:

Вычислить массу поверхности z = ху, расположенной внутри цилиндра если плотность равна

Решение:

Имея в виду симметрии области интегрирования

уравнения поверхности и функции плотности, достаточно вычислить интеграл по четверти области и результат умножить на 4: где D — четверть области , лежащая в первой четверти плоскости Оху. Далее, имеем:

Пример:

Вычислить моменты инерции круга относительно координатных осей и начала координат. Плотность круга принять равной единице.

Решение:

Будем переходить к полярным координатам. Круг т. е . расположен во второй и третьей четвертях, поэтому При этом — полярное уравнение окружности). Вычислим отдельно

Пример:

Вычислить координаты центра тяжести квадрата с плотностью р = х + у.

Решение:

Вычислим сначала массу и статические моменты квадрата. Имеем:

Координаты центра тяжести равны:

О т в е т

Пример:

Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной линиями

Решение:

Так как фигура однородна (принимаем р(х,у) = 1), то в силу ее симметрии относительно оси Оу (рис. 3.15) абсцисса центра тяжести

Для ординаты имеем:

Вычисление интегралов с учетом симметрии относительно оси Оу дает:

Следовательно,

О т в е т

Тройной интеграл и его свойства

Определение и свойства тройного интеграла

1°. Предположим, что в пространственной области IV, ограниченной поверхностью а, определена непрерывная функция трех переменных U = U(M) = f(x,y,z), где M(x,y,z) — точка области W с координатами х, у, z.

Область W разобьем произвольным образом на n элементарных областей объемы которых обозначим В каждой области произвольно выберем по точке и составим интегральную сумму

Теорема:

Если функция u = f(x,y,z) непрерывна в V, то при и при условии, что наибольший из диаметров областей стремится к нулю, последовательность интегральных сумм имеет предел

Этот предел называется тройным интегралом от функции f (x,y,z) по области W.

3°. Неотрицательную функцию можно интерпретировать как плотность (обычную, объемную) тела W в точке М(х, у, z), и тогда тройной интеграл выражает массу тела W.

Если p(x, у, z) = 1, то выражает объем области W.

4°. Свойства тройного интеграла вытекают из его определения и свойств пределов. Названия свойств известны.

аддитивность, здесь

3. Если то

4. Если то

5. Если f(x,y,z) непрерывна в W, то существует точка такая, что

(свойство интегрального среднего.)

Замена переменных в тройном интеграле

Пусть дифференцируемые функции в пространственной области w, отнесенной к системе координат Outs, взаимно однозначно отображающие w в область W в системе координат Oxyz.

При этом элементарный объем преобразуется в элементарный объем так, что (это можно доказать так же, как и в плоском случае)

2°. Имеет место равенство

Тройной интеграл в цилиндрических координатах

В случае цилиндрических координат положение точки в пространстве определяется тремя числами r, и z, где р и — полярные координаты проекции точки на плоскость Оху, а r — прямоугольная координата (аппликата). Формулы преобразования области w в область W имеют вид z = z. При этом I = r.

Таким образом,

Тройной интеграл в сферических координатах

Сферическими координатами точки М называются числа: r — расстояние от О до М,
r = ОМ, — угол между проекцией ОМ на Оху и осью Ох, — угол между ОМ и Оху. Пределы изменения сферических координат:

Формулы перехода от сферических координат к прямоугольным и якобиан имеют вид:

Тройной интеграл в сферических координатах имеет вид

Основные применения тройного интеграла и его вычисление

1°. Моменты инерции тела W с плотностью р = p(x,y,z) относительно координатных осей:

и относительно начала координат:

2.Статические моменты относительно координатных плоскостей:

3°. Координаты центра тяжести (масс) тела:

4°. Предположим, что проекция тела W на плоскость Оху есть область D. Предположим также, что тело W ограничено сверху поверхностью уравнение которой а снизу — поверхностью уравнением Тогда тройной интеграл равен повторному:

Примеры с решениями

Пример:

Вычислить массу тетраэдра, ограниченного плоскостями x = 0, у = 0, z = 0 и , если плотность распределения масс в каждой точке определяется функцией

Решение:

Имеем

Тройной интеграл сведем к двойному и определенному (см. п.4°):

Верхний предел, или точка выхода из области — это аппликата точки плоскости (рис. 3.16), т. е. z = 3

Двойной интеграл распространен на треугольник — основание тетраэдра, составленного прямыми х = 0, у = 0, поэтому (некоторые действия опускаются):

О т в е т. m = 2.

Пример:

Вычислить статические моменты тетраэдра, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью
х + у + z =1, если плотность тетраэдра равна р = ху.

Решение:

О т в е т

Пример:

Вычислить массу части конуса расположенной внутри цилиндра

если плотность равна

Решение:

Пределы переменной z: z = 0 и так как вертикальная прямая пересечет тело в точках основания (z = 0) и конуса. Область интегрирования двойного интеграла — круг поэтому удобно перейти к полярным координатам. Имеем:

О т в е т

Пример:

Вычислить при помощи тройного интеграла объем тела, ограниченного поверхностями: х+z = 6;

Решение:

Объем V пространственного тела равен тройному интегралу по пространственной области W, занимаемой телом:

Первое из уравнений, задающих в условии задачи границу тела, есть уравнение плоскости, параллельной Оу и пересекающей оси Ох и Oz в точках х = 6 и z = 6. Эта плоскость пересекает горизонтальную плоскость xОу по прямой х = 6 и ограничивает тело сверху.

Второе и третье уравнения в условии задачи задают параболические цилиндры с образующими, параллельными Oz, определенные при и служащие боковыми граничными поверхностями тела. Их направляющие в плоскости хОу — параболы и Снизу тело ограничено горизонтальной координатной плоскостью z = 0 (рис. 3.17).

Каждая прямая, проходящая параллельно Oz через внутреннюю точку построенной пространственной области W, пересекает границу области лишь в двух точках: снизу при z = 0 и сверху при z = 6 — х; эти равенства задают соответственно нижний и верхний пределы интегрирования по z.

Пределы интегрирования по у определяются уже по принадлежащей плоскости хОу области D, в которую проектируется пространственная область IV. Нижней границей области D служит кривая , а верхней — кривая

Наконец, по х интегрирование производится по отрезку [0;b] оси Ох, в который проектируется область D.

О т в е т

Пример:

Вычислить момент инерции прямого кругового цилиндра радиуса R и высоты Н относительно диаметра его среднего сечения, если плотность постоянна и равна k .

Решение:

Выберем систему координат так, чтобы ось Oz была направлена вдоль оси цилиндра, а плоскость Оху проходила через его середину. Надлежит вычислить

Переходим к цилиндрическим координатам (некоторые детали опускаем):

Пример:

Вычислить координаты центра тяжести верхней половины шара считая плотность равной k.

Решение:

В силу симметрии шара будем иметь

Вычислим

Перейдем к сферическим координатам:

Криволинейные интегралы

Криволинейный интеграл первого типа

1°. Даны плоская гладкая кривая L (рис. 3.18) и непрерывная на ней функция двух переменных u = f (х, у). Точками разобьем L на n элементарных дуг длины которых обозначим через а наибольшую из этих длин обозначим через

На каждой дуге выберем по точке и составим интегральную сумму

Теорема:

Если L — гладкая кривая, f (x,y) непрерывна на L, то существует предел последовательности интегральных сумм при и при условии, что

Этот предел называется криволинейным интегралом первого типа от функции f (x,y) вдоль кривой L и обозначается

a dl называется дифференциалом длины дуги L. Если подынтегральная функция f(x, у) неотрицательна, то она может выражать линейную плотность материальной кривой, обозначаемую через р(х,у), тогда интеграл выражает массу кривой L.

2°. Вычисление криволинейного интеграла зависит от способа задания линии (кривой) интегрирования L.

1) Если кривая L гладкая, т.е. задана при помощи непрерывно дифференцируемой функции у = у(х), то

2) Если гладкая кривая L задана параметрически при помощи функций х = x(t), у = y(t), непрерывно дифференцируемых на отрезке то

3°. Аналогичные рассуждения можно привести для случая пространственной кривой L и заданной на ней функции от трех переменных f(x,y, z). В таком случае приходим к криволинейному интегралу первого типа

4°. При помощи криволинейного интеграла можно вычислить координаты центра тяжести материальной кривой L с плотностью
р = р(х,у):

В числителях имеем статические моменты и кривой L относительно координатных осей Ох и Оу соответственно.

Аналогичные формулы имеют место для пространственной кривой L.

Криволинейный интеграл второго типа

1°. Пусть L — кусочно-гладкая кривая, Р(х,у) — функция двух переменных, непрерывная на L. Используя конструкцию п.1° из 5.1, можно построить интегральные суммы Известным образом (переходом к пределу) получаем так называемый частный криволинейный интеграл второго типа

Сумма двух частных криволинейных интегралов и приводит к полному, или просто интегралу второго типа

2°. Вычисление криволинейного интеграла второго типа зависит от способа задания кривой L.

1) Если L — график непрерывно дифференцируемой функции (гладкая кривая) у = у(х) на отрезке [а, b], то

2) Если L задана параметрически функциями х = х(t), у = y(t), непрерывно дифференцируемыми на отрезке то

3°. Криволинейный интеграл второго типа можно распространить на случай трех функций трех переменных, непрерывных на пространственной кривой L:

4°. Интеграл можно представить в виде где

Тем самым выражает работу переменной силы при перемещении материальной точки М(х,у) вдоль L (рис. 3.19). Аналогичный смысл имеет и интеграл

5°. Если начало и конец кривой L совпадают, то получаем интеграл по замкнутому контуру. Предположим, что кривая L — граница области D. Такая область называется односвязной. Обход L, при котором область D остается слева, называется положительным а противоположное направление отрицательным Интегралы

и означают интегралы по замкнутому контуру, взятые соответственно в положительном или отрицательном направлении обхода L (они отличаются знаками). В дальнейшем запись будет означать

Формула Грина. Независимость интеграла второго типа от пути интегрирования

1°. Пусть Р(х,у) и Q(x,y) — функции, непрерывные вместе с их частными производными в замкнутой области D, граница которой представляет собой кусочно-гладкую замкнутую кривую L. Имеет место формула

называемая формулой Грина.

2°. Пусть А и В — произвольные точки области D, АmВ и АnВ — произвольные кусочно-гладкие кривые, соединяющие точки А и В (рис. 3.20).

Теорема:

Если Р(х, у) и Q(x,y) удовлетворяют условиям п. 1°, Рис. 3.20 то следующие условия равносильны:

1) криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования:

2) интеграл no замкнутому контуру равен нулю:

3) имеет место равенство

4) выражение Pdx + Qdy представляет собой полный дифференциал некоторой функции U(x,y):

dU = Pdx + Qdy

В таком случае криволинейный интеграл может быть вычислен при помощи формулы, аналогичной формуле Ньютона-Лейбница:

3°. Если формулу Грина применить к функциям Р(х,у) = — у и Q(x,y) , то и

т. е. при помощи криволинейного интеграла, взятого по границе области D, можно вычислить площадь S(D) этой области.

Примеры с решениями

Пример:

Вычислить криволинейный интеграл первого типа если L — дуга кубической параболы

соединяющей L точки O(0,0) и A(1, 1).

Решение:

Имеем

Поэтому

О т в е т

Пример:

Найти массу кривой если ее линейная плотность равна р(х) = х + 1,

Решение:

Имеем y’ = x , Далее

Пример:

Найти массу и координаты центра тяжести дуги астроиды если ее плотность р = 1.

Решение:

Сначала определим элемент длины дуги Имеем

Далее, вычислим последовательно массу и статические моменты.

О т в е т

Пример:

Вычислить массу четверти эллипса если плотность равна р = ху.

Решение:

Массу дуги эллипса вычислим по формуле Воспользуемся параметрическими уравнениями эллипса: x = a cos t, y = b sin t,

Имеем:

Подставим в интеграл и сделаем замену u=cos 2t, du = -2 sin t dt, при этом если t = 0, то u = 1, а если , то u = -1. Таким образом,

Пример:

Вычислить массу материального отрезка АВ, если
А(—2,1,0), В(-1,3,5), а плотность в каждой его точке М пропорциональна расстоянию от М до A с коэффициентом пропорциональности k.

Решение:

Составим уравнения отрезка АВ. В качестве направляющего вектора отрезка АВ можно взять вектор Тогда уравнения АВ имеют вид х = — 2 +t, у = 1+ 2t,
z = 5t,

Вычислим теперь дифференциал dl длины отрезка:

Следовательно, масса материального отрезка с плотностью

О т в е т

Пример:

Даны точки А(4,5), B(4,0) и С(0,5). Вычислить интеграл второго типа

а) отрезок OA, б) ломаная ОСА; в) парабола проходящая через точки О и А.

Решение:

Вычисление сводится к составлению уравнений L и приведению криволинейного интеграла к определенному. Для наглядности воспользуемся чертежом (рис. 3.21).

б) ОСА = ОС + OA. Вычислим интеграл сначала по отрезку ОС, затем по отрезку СА и результаты сложим.

Следовательно,

О т в е т

Пример:

Вычислить интеграл где — дуга параболы, соединяющей точки А(-1,1) и В(1, 1) и проходящей через начало координат.

Решение:

Дуга может быть задана функцией Тогда dy = 2xdx, и криволинейный интеграл сводится к определенному интегралу:

Вычисление определенного интеграла можно упростить за счет того, что интеграл по симметричному относительно начала координат промежутку от нечетной функции равен нулю, а от четной функции может быть взят по правой его половине с последующим удвоением результата, так что

О т в е т

Пример:

Проверить выполнение условий теоремы Грина для криволинейного интеграла и вычислить этот интеграл вдоль параболы от начала координат до точки А(2,1).

Решение:

Имеем p (x,y) = 2 xy Эти функции определены, непрерывны и дифференцируемы в любой точке (х,у) плоскости. Имеем Условия теоремы Грина удовлетворяются. Следовательно, данный интеграл не зависит от пути интегрирования. Кроме того, выражение представляет собой полный дифференциал некоторой функции U(x,y). Нетрудно догадаться, что Следовательно,

Непосредственное вычисление дает

Ответы совпадают.
О т в е т. 4.

Пример:

Вычислить работу силы вдоль полуокружности при перемещении материальной точки от А(2,0) до B(-2,0).

Решение:

Работа силы F вычисляется по формуле (см. п. 5.2)

Воспользуемся параметрическими уравнениями L (рис. 3.22):
х = 2 cos t, у = 2sin t,

При этом

Следовательно, работа силы равна

О т в е т

Пример:

Вычислить интеграл

где L — эллипс

Решение:

Применим формулу Грина и вычислим двойной интеграл, переходя к «обобщенным» полярным координатам. Имеем:

Следовательно,

О т в е т I = 0

Пример:

Вычислить интеграл

где L — окружность:

Решение:

Проверим выполнение условий теоремы Грина.

Если то функции Р и q непрерывны вместе со своими частными производными

а) В круге условия теоремы Грина не выполняются, т. к. функции Р и Q не определены в точке O (0,0). Поэтому I вычислим непосредственно. Имеем: х = cos t, у = sin t, dx = — sin t dt, dy = cos t dt,

Следовательно,

б) Формула Грина в этом случае неприменима: окружность проходит через начало координат, а подынтегральное выражение в этой точке не определено. Следовательно, I в этом случае не существует.

в) В круге условия теоремы 5 выполняются, и Следовательно, I = 0.

О т в е т а) б) не существует; в) 0.

Пример:

Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл

по контуру L треугольника ABC с вершинами A(1,1),В(2,2),С(1,3).

Решение:

Функции и их частные производные непрерывны в каждой точке (х,у) плоскости,
т. е. удовлетворяют условиям применимости формулы Грина:

Использование формулы Грина сводит вычисление криволинейного интеграла по замкнутому контуру L к вычислению двойного интеграла по области D, ограниченной этим контуром (см. п. 5.3).

По заданным вершинам находим, что снизу треугольник ABC ограничен отрезком АВ прямой у = х, а сверху — отрезком ВС прямой
у = 4-х (рис. 3.23).

Используя эти уравнения при расстановке пределов интегрирования в получаемом повторном интеграле, находим:

О т в е т

Поверхностные интегралы

Поверхностные интегралы первого типа

1°. Пусть в точках поверхности а определена и непрерывна функция трех переменных U = U (x,y,z). Произведем разбиение поверхности а на части выберем в каждой из них по точке и составим интегральную сумму

где — площадь части

Пусть — наибольший из диаметров (наибольших расстояний между двумя точками частей ).

Если при и интегральная сумма имеет предел, то он называется поверхностным интегралом первого типа и обозначается

2°. Если поверхность а задается явно уравнением z = f(x,y), то

а поверхностный интеграл вычисляется сведением к двойному:

3°. Если — угол между единичным вектором нормали к в точке Р и осью Oz, то

(при условии, что образует с Oz острый угол), а

4°. Если p(x,y,z) — непрерывная неотрицательная функция в точках поверхности , то она может выражать плотность распределения масс вдоль (поверхностная плотность ), а поверхностный интеграл выражает массу m материальной поверхности .

В частности, если p(x,y,z) = 1, то поверхностный интеграл

выражает площадь S поверхности .

Поверхностный интеграл второго типа

1°. Гладкая поверхность а называется двусторонней, если обход по любому замкнутому контуру, лежащему внутри а, сохраняет направление нормали к поверхности. Выбор определенной стороны поверхности называется ориентацией поверхности. Если поверхность — замкнутая, то можно говорить о внешней и внутренней сторонах поверхности, которые определяются направлением вектора нормали вне поверхности или внутрь ее (направление определяется также знаками направляющих косинусов единичного вектора нормали ).

2°. Пусть — гладкая двусторонняя поверхность, = {Р, Q, R}

— векторная функция от трех переменных (каждая из функций Р, Q и R зависит от трех переменных х, у и z), непрерывная в точках , — единичный вектор нормали к , где — углы между и координатными осями Ox, Оу, Oz соответственно. Интеграл

называется поверхностным интегралом второго типа по выбранной стороне поверхности. Его можно записать в виде

3°. Обратимся к вычислению одного из слагаемых этой суммы. Предположим, что поверхность задана явным уравнением
z = f(x, y), (х, у) € D. В таком случае интеграл взятый по верхней стороне поверхности (нормаль к поверхности, проведенная над , образует с положительным направлением оси Oz острый угол, т. е. ), вычисляется по формуле

Если поверхностный интеграл второго типа брать по нижней стороне поверхности , то

Применения поверхностного интеграла

1°. Пусть — гладкая материальная поверхность с поверхностной плотностью распределения масс р = р(х, у, z). Тогда с помощью поверхностного интеграла первого типа можно вычислить:

— массу поверхности:

-статические моменты относительно координатных плоскостей

-координаты центра тяжести (масс) поверхности

— моменты инерции относительно координатных осей и начала координат

2°. Вектор = {P,Q,R} можно интерпретировать как вектор скорости течения жидкости, протекающей в некоторой области, где определены функции Р(х, у, z), Q(x, у, z), R(x, у, z). В таком случае поверхностный интеграл второго типа

выражает объем жидкости, протекающей через за единицу времени в направлении вектора . Этот интеграл называется также потоком вектора через поверхность .

Примеры с решениями

Пример:

Вычислить интеграл где — часть

плоскости х + у + z = 1, расположенная в первом октанте.

Решение:

Поверхность может быть записана явно: z = 1 — х — у. Отсюда

Проекция поверхности а на плоскость Oxy представляет собой треугольник

Тем самым поверхностный интеграл сводится к двойному:

О т в е т

Пример:

Вычислить площадь той части параболоида вращения которая находится в первом октанте и ограничена плоскостью у = 6.

Решение:

Применим формулу

Удобно проектировать на плоскость Oxz, в таком случае поверхность задается явно уравнением а проекция а на плоскость Oxz представляет собой четверть круга

Тогда

Площадь S поверхности равна (напомним, что

Переходим к обобщенным полярным координатам, принимая Тогда а круг преобразуется в круг т. е. Наш интеграл принимает вид (в интеграле )

О т в е т

Пример:

Вычислить площадь части поверхности параболоида вращения заключенной внутри цилиндра

Решение:

Применим формулу где — поверхность и параболоида над кругом а вычисления выполним по иной схеме, в отличие от примера 2.’Переходим к
двойному интегралу где

Имеем Следовательно,

О т в е т

Пример:

Вычислить интеграл где часть — часть сферы расположенная в первом октанте.

Решение:

Обозначим через проекции поверхности единичной сферы на координатные плоскости Oyz, Oxz, Оху соответственно. Каждый из составляющих интегралов вычислим отдельно:

Таким образом

О т в е т

Пример:

Вычислить поток П векторного поля через участок плоскости х + у + z = 1, расположенный в первом октанте, вдоль нормального вектора этой плоскости.

Решение:

Поток векторного поля вычисляется по формуле Для участка плоскости z = 1 — х — у имеем

(нормальный вектор плоскости х + у + z = 1 имеет

координаты тогда единичный вектор нормали:

Таким образом,

Следовательно,

О т в е т

Пример:

Найти статические моменты относительно координатных плоскостей и координаты центра тяжести однородной треугольной пластины х + у + z = а,

Решение:

Масса пластины может быть легко найдена геометрически. Она совпадает с площадью правильного треугольника со стороной

Поскольку данный треугольник правильный, статические моменты относительно координатных плоскостей равны:

Следовательно,

О т в е т.

Пример:

Вычислить момент инерции относительно оси Оу полусферы

Решение:

Воспользуемся формулой где может быть задана явно

При этом

Переходим к полярным координатам:

Пример:

Вычислить интеграл второго типа

где — внешняя сторона сферы

Решение:

Рассмотрим одно из трех слагаемых, например, Его можно представить в виде суммы двух интегралов

по верхней и по нижней полусферам, по внешней стороне. Для внешней стороны верхней полусферы имеем а для внешней стороны нижней полусферы Поэтому

где — внешняя сторона верхней полусферы. Имеем (круг — проекция внешней полусферы на плоскость Оху):

а тогда

Остальные два слагаемых исходного интеграла вычисляются по аналогичной схеме. Сравнение этих интегралов показывает, что они равны. Поэтому исходный интеграл равен

О т в е т.

Первообразная функция и неопределенный интеграл

Функция F(x) в данном промежутке X называется первообразной
функцией для функции f(x), или интегралом от f(х), если во всем данном промежутке f(х) является производной для функции F(x) или, что то же, f(x)dx служит для F(x) дифференциалом:

F'(x) = f(х)или dF(x) = f(x)dx.

Для данной функции f(х) имеется бесконечное множество первообразных функций

отличающихся друг от друга на постоянную величину (рис. 8.1).

Действительно, производная от любой постоянной величины равна нулю. Графики всех функций первообразных для данной функции f(x), представляют собой одну и ту же кривую и
получаются один из другого в результате параллельного сдвига
кривой в направлении оси ординат в ту или иную сторону (рис. 8.1).

Общее выражение F(x) +С, где С — постоянная величина, для всех
первообразных функций от данной функции f(х) или дифференциала
f(х)dх называется неопределенным интегралом от функции f(х) или
дифференциала f(x)dx и обозначается

Здесь — знак интеграла;

f(х) — подынтегральная функция;

f(x)dx — подынтегральное выражение;

х — переменная интегрирования.

Пример:

Найти неопределенный интеграл от функций:

а)

Решение:

a) так как

б) так как

в) тaк как (-cosx + C)’ =-(-sinx) + 0 = sinx;

г) так как (sinx + C)’ =cosx + 0 = cosx;

д) так как

е) так как

ж) так как

При решении задач полезно использовать следующую таблицу
интегралов:

Основные свойства неопределенного интеграла

Из определения неопределенного интеграла вытекают
следующие два свойства.

1.Знаки дифференциала d и интеграла когда первый
помещен перед вторым, взаимно сокращаются:

2.Так как F(x) есть первообразная функция для F'(x), то

что можно переписать в виде

3.Постоянную величину можно выносить за знак интеграла:

Действительно, дифференцируя правую часть этого равенства,
получим

Таким образом, правая часть является первообразной от
подынтегрального выражения левой части c*f(x)dx, что и требовалось доказать.

4.Неопределенный интеграл от суммы (разности)
дифференциалов равен сумме (разности) интегралов от каждого
дифференциала в отдельности:

Дифференцируя правую часть данного равенства, получим

Таким образом, правая часть является первообразной от
подынтегрального выражения левой части, что и требовалось доказать.

Пример:

Найти неопределенный интеграл от функций:
а) б)

Решение:

Интегрирование способом замены переменных

Пусть функции f(x) и определены соответственно на
промежутках X и Т, функция непрерывна на промежутке Т
и дифференцируема в его внутренних точках. Тогда вычисление
интеграла иногда бывает удобно провести с помощью
соответствующей замены переменных и свести его к вычислению интеграла т.е. использовать формулу

Пример:

Найти неопределенный интеграл от функций: a) y = cos ax; б) в) г) д) е) ж) з) и) к)

Решение:

а) При вычислении интеграла введем замену t=ах . Тогда dt = adx , так что

б) Полагая имеем dt = 2xdx , так что

в)

г) Полагая t = cosx, имеем dt = -sinx dx , так что

д) Положим t = sinx . Тогда dt = cos x dx. Следовательно,

е) Введем замену или

Отсюда имеем dx = a cos t dt. Так что

Полагая u = 2t, имеем du = 2dt, так что

Так как то

ж) Положим Тогда dt=2xdx. Отсюда находим

з) Положим t = lnx . Тогда Следовательно,

и) Полагая t = ln x , имеем

Отсюда

к) Положим t = lnx , тогда Следовательно,

Интегрирование по частям

Если функции u(х) и v(x) непрерывны на некотором
промежутке, дифференцируемы в его внутренних точках и на этом
промежутке существует интеграл , то на нем существует интеграл причем

Действительно, по правилу дифференцирования произведения
имеем: d(uv) = u dv+v du или u dv = d(uv)-v du .

Проинтегрировав последнее выражение, получим (8.4).
Формула (8.4) выражает правило интегрирования по частям.

Пример:

Используя правило интегрирования по частям,
вычислить неопределенные интегралы:

Решение:

а) Пусть u = х и Отсюда находим du = dx
и Тогда

Заметим, что, приняв и dv = x dx, откуда и
мы имели бы

т.е. интегрирование по частям привело бы к интегралу более сложному, чем исходный;

б) положим u = ln х и dv = dx . Тогда и v = х .

Следовательно,

в)

г)

д)

е)

Определенные интегралы

Рассмотрим задачу об определении площади, заключенной
между функцией у = f(x) и осью Ох на отрезке от а до b (рис. 8.2).

При этом можно поступить следующим образом.

1.Интервал [а, b] разбивается на n элементарных интервалов
произвольными числами выбранными так,
чтобы было

2.Внутри (или на границе) каждого элементарного интервала выбирается произвольно одно число такое, что

3.Значения функции f(x) в этих выбранных точках
умножаются на соответствующие разности (длины
элементарных интервалов ):

4.Все полученные n произведений складываются.

5.Вычисляется предел полученной суммы при стремлении к нулю каждого элементарного интервала, т.е. при и, следовательно, Если этот предел существует и не зависит от выбора чисел и то он называется определенным интегралом. При этом записывают:

Число а называется нижним пределом интегрирования, число b —
верхним пределом интегрирования.

Определенный интеграл численно равен площади, ограниченной частью графика функции f(x), осью Ох и ординатами f(a) и f(b) . Если
кривая пересекает ось Ох один или несколько раз внутри интервала [a, b], то интеграл численно равен алгебраической сумме площадей,
находящихся по каждую сторону оси Ох, причем площади, находящиеся над осью Ох, имеют знак «+», а под этой осью — знак «—» (рис. 8.3).

Определенный интеграл широко используется в экономике.
Пусть, например, функция f(t), где t — время, описывает
изменение производительности труда предприятия с течением времени. Тогда выпущенный этим предприятием объем продукции в
интервале времени от до вычисляется по формуле

Свойства определенного интеграла

1.Интеграл с равными пределами равен нулю:

2.При перестановке пределов интеграл меняет знак на обратный:

3.Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

Действительно, пусть интервал [a, b] разбивается на n элементарных интервалов произвольными числами и
внутри (или на границе) каждого элементарного интервала выбрано произвольно одно число Тогда, если исследуемой является функция с*f(x), то интегральную сумму можно представить в виде:

Соответствующие пределы левой и правой частей этого
равенства будут равны друг другу, т.е.

что и требовалось доказать.

4.Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен
сумме интегралов от этих функций:

Это свойство доказывается аналогично предыдущему.

5.Пусть y = f(x) интегрируема в наибольшем из промежутков
[а, b], [а, с] и [с, b]. Тогда она интегрируема в двух других и имеет
место равенство:

каково бы ни было расположение точек а , b и с.

Рассмотрим геометрический смысл данного свойства. Случай
а<с<b представлен на рис. 8.4. На этом рисунке введены
следующие обозначения: — площадь между функцией y = f(x) и
осью Ох на отрезке [а, с], — площадь между функцией y = f(x)
и осью Ох на отрезке [с, b]. Площадь между функцией y = f(x) и
осью Ох на отрезке [a, b] равна сумме этих площадей:

Согласно геометрическому смыслу определенного интеграла

Подставив эти соотношения в (8.7), получим (8.6).

Случай а<b<с представлен на рис. 8.5. Для этого случая
справедлива формула

при следующих обозначениях: S— площадь между функцией
y = f(x) и осью Ох на отрезке [a, b], — площадь между
функцией y = f(x) и осью Ох на отрезке [b, с], — площадь между
функцией у = f(x) и осью Ох на отрезке [а, с]. Согласно геометрическому смыслу определенного интеграла

Подставив эти соотношения в (8.8), получим (8.6).

6.Если у = f(x) интегрируема в промежутке [а, b], где а < b, и
если во всем этом промежутке имеет место неравенство

то

Переходя в неравенстве к пределу, получим свойство (8.9).

Теорема:

О среднем значении. Пусть y = f(x) интегрируема в
промежутке [a, b], где а<b, и пусть во всем этом промежутке имеет место неравенство

тогда

где

Действительно, запишем предыдущее свойство (8.9) в виде

Положив получим требуемое равенство.

Определенный интеграл как функция верхнего предела

Если функция y = f(t) интегрируема в промежутке [а, b], где
а < b, то она интегрируема и в промежутке [а, х], где х — любое значение из промежутка [а, b]. Заменив предел b определенного интеграла переменной х, получим интеграл с переменным верхним пределом

Значение функции Ф(х) в точке х равно площади под кривой y = f(t) на отрезке [а,х] (рис. 8.6).

Теорема:

Если функция у = f(t) интегрируема в промежутке [a,b], то Ф(х) будет непрерывной функцией от х в том же промежутке.

Доказательство. Придав произвольное приращение так, чтобы не выходило за пределы рассматриваемого промежутка, получим:

Отсюда находим

Применив к интегралу в правой части полученного выражения теорему о среднем значении, получим

Значение величины содержится между минимальным значением m и максимальным значением М в промежутке . Если устремить к нулю, то или
что и доказывает непрерывность функции Ф(х).

Теорема:

Если функция y = f(t) непрерывна в точке t = x , то в
этой точке функция Ф(х) имеет производную, равную

Ф'(x) = f(x). (8.12)

Доказательство:

Перепишем (8.11) в виде

Переходя в этом выражении к пределу при получим

Предел в силу непрерывности функции f(х).

Основная формула интегрального исчисления

Как следует из (8.12), функция Ф(х) является первообразной в точке х от непрерывной в этой точке функции f(x). Пусть функция F(x) является любой первообразной для f(х) (см. § 7.1). Поскольку Ф(х) является одной из этих первообразных, то можно записать

Ф(x) = F(x) + C.

Так как (см. (8.10)), то постоянную С определим, положив х = а . Тогда 0 = F(a) + C или С = -F(a). Отсюда

Ф(x) = F(x)-F(a).

Положив х = b, получим основную формулу интегрального исчисления:

Обычно пишут

Выражения (8.13) и (8.14) называют также формулами Ньютона—Лейбница.

Пример:

Вычислить определенные интегралы: и дать результатам геометрическую интерпретацию.

Решение. Используя формулу (8.13), получим

График функции cosx и пределы интегрирования представлены на рис. 8.7.

Значение определенного интеграла является площадью, ограниченной функцией у = cos х и осью Ох на промежутке и равно 2 На рис. 8.7 эта площадь заштрихована.

Определенный интеграл Как следует из рис. 8.8, площадь, заключенная между функцией у = cos х и осью Ох, на промежутке положительна, а на промежутке
— отрицательна. По модулю эти площади равны. Поэтому суммарная площадь равна нулю. ►

Пример:

Вычислить определенные интегралы:

Решение:

a)

б)

в)

г)

д)

Пример:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) и у = 0; б)

Решение:

а) Искомая площадь S (рис. 8.9) ограничена осью Ох и
графиком .

Пределы интегрирования находим, решая систему уравнений:

Подставив второе уравнение в первое, получим Откуда
Таким образом,

б) фигура, ограниченная указанными линиями, представлена на
рис. 8.10. Ее площадь вычисляется по формуле

Пример:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Решение:

Исследуемая фигура представлена на рис. 8.11.

Пределы интегрирования являются решением системы уравнений:

Приравнивая правые части уравнений, получим Отсюда
находим Площадь вычисляется по формуле

Пример:

Производственная функция предприятия в
зависимости от времени определяется выражением Определить объем выпускаемой продукции за пять лет.

Решение:

Объем выпускаемой продукции определяется по формуле

Вычислим интеграл

При вычислении интеграла используем метод интегрирования по частям. Положим u = t и Тогда du=dt и Отсюда

Подставив полученное выражение в формулу для q , найдем

единиц продукции. ►

Несобственные интегралы

Пусть область задания функции f(x) — замкнутая полуось

Несобственным интегралом называется предел

Если этот предел существует, то интеграл называется сходящимся, если не существует, т.е. то интеграл называется
расходящимся.

Аналогично определяются несобственные интегралы для
функций, заданных на полуоси или на всей числовой прямой

Геометрический смысл несобственного интевала — это предел площади фигуры, заключенной между кривой и осью Ох.

Пример:

Исследовать сходимость интегралов:

а) б) в)

Решение:

a) (сходится);

б) (сходится);

в) (расходится). ►

Рассмотрим интегралы от разрывных функций. Пусть область
задания функции f(x) — полуоткрытый интервал [а, b), но в точке b предел Несобственным интегралом называется предел Если этот предел существует, то интеграл называется сходящимся, в противном случае — расходящимся.

Аналогично определяются несобственные интегралы для
функций, заданных в открытом слева интервале (а, b], когда

Если функция задана на всем интервале [a, b] за исключением
его внутренней точки с (а<с<b), т.е. в двух полуоткрытых
интервалах [а, с) и (с, b], и в точке то несобственный интеграл определяется следующим образом:

Геометрический смысл интеграла от разрывной функции — это площадь бесконечно протяженной фигуры, например
имеющей вид, представленный на рис. 8.12.

Пример:

Исследовать сходимость интегралов:

a) б) в) г)

Решение:

a) (сходится);

б) (расходится);

в) (сходится);

г) (расходится). ►

Двойные и тройные интегралы

Пусть необходимо найти объем тела, которое ограничено сверху
поверхностью z = f(x,y), с боков — цилиндрической
поверхностью с образующими, параллельными оси Oz, а снизу — областью D , лежащей на плоскости хОу (рис. 8.13).

Разложим всю область D на n элементарных площадок с
площадью каждая, где i = 1, 2, …, n — номер площадки. Рассмотрим
цилиндрические столбики, которые имеют своими основаниями данные площадки. Для подсчета объема каждого столбика возьмем
произвольно в каждой площадке по точке Объем отдельного столбика оказывается приближенно равным а объем всего тела —

В пределе, при стремлении к нулю площади каждой
элементарной площадки и при стремлении к бесконечности числа этих площадок, получим истинное значение объема исследуемого тела:

Данный предел называется двойным интегралом от функции
f(х, у) по области D и обозначается

Функция f(x,y), имеющая двойной интеграл, называется
интегрируемой.

При вычислении двойного интеграла применяется метод
его приведения к повторному интегралу, т.е. используется следующая теорема.

Теорема:

Если для функции f(х,y), определенной в области D ,
существует двойной интеграл и при каждом постоянном х из промежутка [а, b] (рис. 8.14) простой интеграл то существует также повторный интеграл, равный двойному, т.е.

Эта формула симметрична относительно х и у , т.е. можно записать

Пример:

Вычислить двойной интеграл

где D — круг радиуса R с центром в начале координат (рис. 8.15).

Решение:

Уравнение окружности, ограничивающей круг
радиуса R , имеет вид Отсюда находим функции для нижней и верхней полуокружностей. Подставив полученные значения в (8.15), имеем

Внутренний интеграл

Отсюда

Пример:

Вычислить двойной интеграл

где D — площадь фигуры, ограниченной соотношениями и

Решение:

Область D представлена на рис 8.16. Эта область ограничена слева прямой х = 0 , справа — прямой х = 1, снизу — прямой у = х , сверху — параболой Подставив данные значения в (8.15), найдем

Внутренний интеграл

Отсюда

Понятие двойного интеграла может быть обобщено на функцию
n переменных. Например, тройной интеграл при интегрировании
по объему V может быть вычислен по следующей формуле:

Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы

В этой главе обобщается понятие определенного интеграла. Оно распространяется на плоские и пространственные области и кривые, на поверхности. Рассматриваются приложения интегралов в геометрии и механике.

Кривые и поверхности

Приведем некоторые сведения о кривых и поверхностях в пространствах R2 и R3, необходимые для последующего изложения.

Кривые на плоскости и в пространстве

Пусть каждому значению (здесь а и b могут принимать и бесконечные значения) поставлен в соответствие вектор начало которого поместили в точку O(0; 0; 0). Тогда говорят, что задана вектор-функция Разложим по базисным векторам прямоугольной системы координат:

где

— функции параметра t. Если то вектор-функцию называют непрерывной на [a, b].

Пусть вектор-функция непрерывна. Тогда при непрерывном изменении значения t от а до b конец вектора в пространстве опишет некоторую пространственную кривую L (см. рис. 38). В этом случае функции (40.2) будут определять параметрические уравнения кривой L.

Кривую называют гладкой, если причем

Смысл требования, что хотя бы одна из производных отлична от нуля, заключен в следующем. Пусть некоторому по формулам (40.2) соответствует точка и пусть для определенности Тогда в некоторой окрестности производная в силу непрерывности сохраняет знак. Следовательно, — монотонная функция и потому существует обратная функция Подставляя это значение t в функции у и z, из (40.2) получим

т. е. текущие координаты у и z есть функции от х. Таким образом, в окрестности точки от параметрического (40.2) задания кривой можно перейти к (40.3), называемому явным заданием кривой в пространстве.

Всюду ниже предполагается, что каждой точке соответствует только одно значение параметра t, т. е. кривая L не является самопересекающейся. Исключение составляет случай, когда точка М отвечает крайним значениям параметра т. е. кривая L замыкается; в этом случае кривую L называют замкнутым контуром.

Рассматриваемые нами кривые будут либо гладкими, либо кусочно-гладкими (т. е. состоящими из конечного числа гладких кусков), замкнутыми или нет.

Пример:

Кривая произвольные постоянные, описывает четверть эллипса лежащую в плоскости z = с. Если же взять то получим замкнутый контур.

При непрерывном возрастании параметра t от а до b конец вектора «пробегает» кривую L от точки А до точки В. Если указано направление такого «пробега», то кривую L называют ориентированной. Меняя направление, меняют и ориентацию кривой на противоположную, и в этом случае кривую обозначают . Смену направления можно осуществить, например, заменой

Легко перефразировать вышесказанное для случал, когда вектор-функция принимает значения на плоскости Здесь, впрочем, имеется своя специфика: на плоскости каждый замкнутый контур L делит плоскость на две непересекающиеся области, для которых L служит границей. Этот факт позволяет ориентировать замкнутый контур на плоскости следующим образом: положительной (отрицательной) ориентацией контура считается его обход против часовой стрелки (по часовой стрелке) или, что то же самое, обход, при котором внутренняя область, ограниченная этим контуром, лежит слева (справа) от наблюдателя.

С гладкой кривой тесно связано понятие касательной. Выше (см. с. 70) было определено понятие касательной к плоской кривой как предельное положение секущей и показано, что уравнение касательной К кривой Несложно модифицировать эти рассуждения для случая пространственной кривой L, описываемой уравнениями (40.1), и показать, что уравнение касательной в точке имеет вид

где

В заключение отметим, что вектор-функцию называют также радиусом-вектором кривой L, а саму кривую — годографом радиус-вектора

Поверхности

В главе VII (см. с. 179) рассматривались поверхности S в пространстве описываемые уравнением вида

Ничто не мешает рассмотреть и поверхности S, описываемые уравнениями вида Такие уравнения называют явными уравнениями поверхности.

В общем случае поверхность S задается неявным уравнением

где F(x, y,z) — некоторая непрерывная функция. Если в каждой точке поверхности S определены непрерывные частные производные причем

то поверхность S называют гладкой. Смысл последнего требования (так же, как и смысл аналогичного требования для кривой (40.1)) состоит в возможности перехода от неявного уравнения (40.G) поверхности к одному из явных ее уравнений.

Пример:

Уравнение неявным образом задает в пространстве сферу единичного радиуса с центром в начале координат. Верхняя половина этой сферы может быть задана явным уравнением

Пример:

Пусть уравнение (40.6) не содержит z, т. е. имеет вид В этом случае оно описывает цилиндрическую поверхность в направляющей этой поверхности служит кривая на плоскости а образующие параллельны оси z.

Рассмотрим еще два геометрических понятия. Пусть дана гладкая поверхность S, описываемая уравнением (40.6), и пусть Через точку можно провести бесконечно много гладких кривых, лежащих на поверхности S. Каждая из них имеет касательную в точке . Можно показать, что все эти касательные лежат в одной плоскости, называемой касательной плоскостью к поверхности S в точке и уравнение которой имеет вид

В частности, если поверхность S задана явным уравнением (40.5), то уравнение касательной плоскости имеет вид

Пусть — единичная нормаль к поверхности S в точке , т. е. вектор, перпендикулярный к касательной плоскости в точке касания и имеющий единичную длину. Через обозначим углы, образуемые с положительными направлениями координатных осей х, у и z соответственно. Тогда, очевидно,

Числа называют направляющими косинусами нормали .

Для их вычисления вспомним следующий факт из аналитической геометрии: вектор перпендикулярен плоскости Отсюда и из уравнения касательной плоскости (40.7) получим формулу для нормали

в которой число следует подобрать так, чтобы Ясно, что тогда

Таким образом, направляющие косинусы вычисляются по формулам:

в которых знаки в знаменателях указывают на противоположные направления нормали. Несложно модифицировать эти формулы для случая поверхностей, задаваемых явными уравнениями, например уравнением (40.5).

Пусть S — незамкнутая гладкая поверхность и (рис. 39). В этой точке можно? провести две нормали к поверхности; выберем одну из них и обозначим ее через (другая, очевидно, будет равна —). Если при непрерывном перемещении вектора по любой замкнутой кривой на поверхности S вектор всегда будет возвращаться в исходное положение, то поверхность S называется двусторонней.

Тот факт, что не всякая поверхность является двусторонней, демонстрирует так называемый лист Мебиуса, геометрическую интерпретацию которого легко получить, если взять длинную прямоугольную полоску бумаги, перегнуть ее по длине на 180°, а затем склеить по коротким сторонам.

Всюду ниже будут рассматриваться только двусторонние гладкие или кусочно-гладкие (т. е. состоящие из конечного числа гладких кусков) поверхности. Если выбрана определенная сторона поверхности, то говорят, что поверхность S ориентирована. Замкнутые поверхности ориентированы «естественным» образом наличием внешней и внутренней сторон.

Криволинейный интеграл первого рода случай пространственных кривых

Пусть гладкая пространственная кривая и Разобьем L на дуги с длинами Через обозначим мелкость разбиения кривой L.

Выберем произвольным образом точки (см. рис. 40). Составим интегральную сумму

Если последовательность интегральных сумм имеет конечный предел при не зависящий ни от способа разбиения кривой ни от выбора точек то этот предел называют криволинейным интегралом 1-го рода от функции и обозначают

где dl — дифференциал дуги.

Таким образом, криволинейным интегралом 1-го рода определяется равенством

Важным свойством криволинейного интеграла 1-го рода является равенство т. е. криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от выбора направления на кривой, так как длина дуги не зависит от этого выбора.

Имеет место следующая теорема существования.

Теорема:

Если — гладкая кривая, описываемая уравнениями (40.2), то существует криволинейный интеграл 1-го рода (41.1), при этом он вычисляется по формуле:

► По той же схеме, что была использована при выводе формул (26.10) и (26.11) (с. 126) для длины дуги на плоскости, можно показать, что дифференциал дуги кривой (41.1) равен

Подставляя это равенство в правую часть (41.1), получим предел, интегральной суммы для подынтегральной функции из правой части (41.2). При этом существование определенного интеграла (41.2) следует из условия гладкости L и непрерывности и, как следствие, непрерывности подынтегральной функции.

• Физический смысл (41.1): масса кривой L , если — плотность кривой в любой ее точке.

Пример:

Найти массу m дуги конической линии если плотность р(М) дуги в каждой точке М пропорциональна аппликате этой точки:

Рассматриваемая кривая лежит на конусе (см. рис. 41), при этом дуге отвечает Отсюда и из равенств

получим

Случай плоских кривых

Кривые в параметрическом форме

В случав кривых на плоскости формуле для вычисления криволинейного интеграла 1-го рода можно придать более удобные формы. Приведем некоторые из них.

Если L — плоская гладкая кривая в описываемая радиус-вектором

то формула (41.2) примет вид

Пример:

Вычислить

где L — определенная в примере 40.1 четверть эллипса, расположенная на плоскости Оху (т. е. с = 0). Имеем:

Кривые в декартовых координатах

Если L задается уравнением то формула (41.2) примет вид

аналогичный вид имеет интеграл в случае задания кривой уравнением

Пример:

Вычислить вдоль параболы от точки O(0; 0) до точки Так как то

Кривые в полярных координатах

Если L задается уравнением в полярной системе координат, то

Пример:

Найти массу m кардиоиды если плотность в каждой ее точке М определяется формулой Так как

Криволинейный интеграл второго рода

Пусть вновь — гладкая пространственная кривая Разобьем снова L на дуги с длинами и мелкостью разбиения Выберем произвольным образом точки и составим интегральную сумму

где

Если последовательность интегральных сумм имеет конечный предел при не зависящий ни от способа, разбиения кривой точками ни от выбора точек то этот предел называют криволинейным интегралом 2-го рода от функции f(x,y,z) по кривой L и обозначают

Таким образом, криволинейный интеграл 2-го рода определяется равенством

Аналогично определяются интегралы вида

В общем виде криволинейный интеграл 2-го рода записывают так

где

Важным свойством криволинейного интеграла 2-го рода является равенство т. е. криволинейный интеграл 2-го рода (в отличие от криволинейного интеграла 1-го рода) зависит от выбора направления на кривой, так как проекция на ось х меняет знак с изменением направления,

Имеет место теорема существования (доказываемая аналогично теореме 41.1).

Теорема:

Если — гладкая кривая, описываемая уравнениями (40.2), то существует криволинейный интеграл 2-го рода (42.1), при этом он вычисляется по формуле:

• Физический смысл (42.1): работа силового поля при перемещении в нем материальной точки по кривой из А в В.

Более подробно приложения криволинейного интеграла 2-го рода будут обсуждаться в главе IX.

Пример:

Вычислить винтовой линии (см. риc. 42). Дуге L отвечают значения параметра После несложных вычислений

по формуле (42.2) найдем

Двойной интеграл

Ниже через

будет обозначаться диаметр ограниченного множества M на плоскости другими словами, диаметр множества M — это наибольший его линейный размер. Аналогично определяется и диаметр ограниченного множества

Пусть D — ограниченная область в с кусочно-гладкой границей L и — замыкание области D (см. с. 185).

Разобьем на элементарные площадки площади которых для простоты также обозначим через Через обозначим мелкость разбиения области .

Выберем произвольные точки (см. рис. 43) и составим интегральную сумму

Если последовательность интегральных сумм имеет конечный предел при не зависящий ни от способа разбиения на элементарные площадки ни от выбора точек то этот предел называют двойным интегралом от функции по области и обозначают

Таким образом, двойной интеграл определяется равенством

Функцию имеющую интеграл, называют интегрируемой. Класс интегрируемых на функций обозначим через L(). Имеет место теорема существования двойного интеграла.

Теорема:

Если

Естественно, как и в случае определенного интеграла, двойной интеграл может существовать не только для непрерывных функций.

Основные свойства:

Свойства двойного интеграла (43.2) аналогичны свойствам определенного интеграла. Перечислим их в предположении интегрируй мости участвующих в них функций.

1. Свойство линейности:

2. Свойство аддитивности: если область D разбита некоторой кривой L на две подобласти (см. рис. 45), то

3. Оценки интегралов:

4.Теорема о среднем значении: если такая, что

где — площадь замкнутой области .

Вычисление:

Вычисление двойного интеграла сводят к двукратному интегрированию. С этой целью введем следующее понятие.

Область назовем у-правильной (х-правильной), если любая параллельная оси у (оси х) прямая пересекает границу области не более чем в двух точках.

На рис. 44 изображена область, у-правильная и не являющаяся х-правильной. По сути у-правильность области D означает существование двух однозначных функций графики которых соответственно кривые МРN и MQN составляющие верхнюю и нижнюю части границы области D. В случае х-правильной области D существуют две однозначные функции графики которых соответственно составляют левую и правую части границы области D.

Рекомендации при вычислении двойных интегралов

• Если D— это у-правильная (х-правильная) область, то вычисление двойного интеграла (43.2) сводится к вычислению двух повторных интегралов — внешнего по х (по у) и внутреннего

Сначала вычисляют внутренний интеграл, затем — внешний.

• Если область D не является правильной ни по х, ни по у, то ее разбивают на части, правильные в направлении какой-нибудь из координатных осей. Пример разбиения области показан на рис. 45.

• Следует помнить, что пределы интегрирования внутреннего интеграла, вообще говоря, являются переменными. Исключение составляет лишь один случай: если D — прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям, то все четыре предела интегрирования постоянные.

Пример:

Для области D ограниченной кривыми записать двойной интеграл (43.2) в виде повторных, взятых в различном порядке.

Перепишем уравнения кривых в виде и изобразим область D (см. рис. 46). Сначала разобьем D на у-правильные области так, как это показано на рис. 46 а. Тогда нижняя граница области описывается уравнением а верхняя — уравнением Аналогично, для верхней и нижней границ области получим Поэтому

Разобьем теперь область D на три х-правильные области (см. рис. 46 б). Тогда, например, уравнение левой границы области имеет вид:

а правой Аналогично находятся уравнения границ областей В результате получим

Пример:

Вычислить

где D- внутренность треугольника со сторонами (см.рис.47) Имеем

Замена переменных:

При изучении определенного интеграла была получена формула замены переменных (см. теорему 26.3). Ее аналог для двойного интеграла имеет вид

где

— так называемый определитель Якоби или якобиан преобразования

Предполагается, что функции (43.5) определены и непрерывно дифференцируемы в некоторой замкнутой области плоскости причем для и обратно,

► Приведем схему доказательства формулы (43.3). Двойной интеграл в ее левой части определяется как предел интегральных сумм (43.1). Проследим за изменением (43.1) при замене (43.5). Основным вопросом здесь будет связь между элементарными площадками областей Рассмотрим в бесконечно малый прямоугольник с вершинами и сторонами параллельными осям (см. рис. 48 а). Он отображается функциями (43.5) на криволинейный четырехугольник с вершинами где (см. рис. 48 6). Так как и т. д., то по формуле Тейлора

Такие же формулы справедливы и для функции Пренебрегая в этих формулах бесконечно малыми высшего порядка, построим четырехугольник с вершинами:

Очевидно,

— параллелограмм. Найдем его площадь по известной формуле из аналитической геометрии:

Таким образом, с точностью до бесконечно малых высшего порядка прямоугольник преобразуется в параллелограмм площадь которого вычисляется по формуле (43.6). Учитывая теперь в интегральной сумме (43.1) замену (43.5), формулу (43.6) и переходя к пределу, получим (43.3).

Двойной интеграл в полярной системе координат

В качестве криволинейных координат возьмем полярные координаты Они связаны с декартовыми координатами формулами (см. с. 17):

Вычислим якобиан такого преобразования по формуле (43.4)

Формула замены переменных (43.3) примет вид

Пример:

Вычислить

Перейдем к полярным координатам. Круг в плоскости Оху преобразуется в прямоугольник в плоскости Применим формулу (43.7):

Геометрические приложения

Приведем некоторые геометрические приложения двойного интеграла.
• Площадь области :

• Площадь гладкой поверхности , задаваемой уравнением:

• Объем цилиндра, ограниченного снизу — плоскостью z = 0, сверху — непрерывной поверхностью а с боков — прямой цилиндрической поверхностью, и вырезающего на плоскости z=0 область D:

Справедливость формулы (43.8) непосредственно следует из определения двойного интеграла. Из двух оставшихся формул для иллюстрации приведем доказательство лишь формулы (43.9), поручая доказательство формулы (43.10) читателю.

► Пусть в соответствии с определением двойного интеграла область И разбита на элементарные площадки и выбраны произвольные точки

Это индуцирует разбиение поверхности на малые части(вообще говоря, не плоские), которым принадлежат точки (см. рис. 49). В каждой точке построим касательную плоскость к и на нее

ортогонально спроектируем площадку Полученную проекцию и ее площадь обозначим через Тогда, очевидно,

Принимая во внимание соотношение — угол между нормалью а также учитывая равенство

вытекающее из (40.8)), получим что из (43.11) следует (43.9).

Пример:

Найти площадь области ограниченной эллипсом Имеем

После замены окончательно найдем

Пример:

Найти площадь верхней части сферы вырезаемой цилиндром

Изобразим заданную поверхность (рис. 50). Она описывается уравнением Так как то Отсюда и из формулы (43.9) получим

Пример:

Найти объем тела, ограниченного поверхностями и плоскостями

Это тело на плоскости z = 0 вырезает область (рис. 51) (предлагаем читателю изобразить тело V!). Искомый объем равен

Механические приложения

Пусть пластинка с поверхностной плотностью занимает область плоскости Оху. Тогда ее основные механические характеристики вычисляются по формулам:
• масса пластинки

• статические моменты пластинки относительно осей х и у

• моменты инерции пластинки относительно осей х и у

• момент инерции пластинки относительно начала координат О(0; 0)

• координаты центра масс пластинки

Пример:

Найти координаты центра масс однородной пластинки, имеющей форму кругового сектора с центральным углом а и радиусом а.

По условию Имеем

Центр масс пластинки лежит на биссектрисе угла а и отстоит от вершины угла на расстоянии (рис. 52).

Тройной интеграл

Пусть V — ограниченная область в с кусочно-гладкой границей — замыкание области V (см. с. 185).

Определение тройного интеграла, его свойства, теорема существования, формула замены переменных отличаются от тех же вопросов для двойного интеграла только добавлением еще одной независимой переменной. Поэтому сформулируем лишь упрощенный вариант определения тройного интеграла.’

Тройным интегралом от функции по области называют конечный предел

Предлагаем читателю самостоятельно дать полное определение тройного интеграла, сформулировать теорему существования и основные свойства.

В этом разделе остановимся подробно на вычислениях тройного интеграла в декартовых, цилиндрических и сферических координатах и приложениях.

Вычисление:

Здесь, как и в случае двойного интеграла, выделим специальный класс областей интегрирования.

Область называют z-правильной, если любая параллельная оси z прямая пересекает границу области не более чем в двух точках.

Аналогично определяются области, правильные по х и у. На рис. 53 изображена z-правильная область V: она ограничена снизу и сверху поверхностями соответственно, а с боков — прямым цилиндром, продолжение которого вырезает на плоскости Оху область D.

Рекомендации при вычислении тройных интегралов

• Если V — z-правильная область, то тройной интеграл вычисляют по формуле

в которой двойной интеграл вычисляют в соответствии с рекомендациями, приведенными в 43.3. Аналогично формулируется это правило для х— и у-правильных областей.

• Если V — область, не являющаяся правильной ни по одной из переменных х, у или z, то ее разбивают на правильные части. Таким образом, тройной интеграл сводится к вычислению трех повторных интегралов: внешнего и двух внутренних.

• Пределы интегрирования внутренних интегралов, вообще говоря, будут переменными. Лишь в случае, когда V — параллелепипед с гранями, параллельными координатным плоскостям, все шесть пределов интегрирования будут постоянными.

Пример:

Вычислить

где ограничена плоскостями:

Область V (см. рис. 54 а) является z-правильной. Ее проекция на плоскость Оху является у-правильной областью D (см. рис. 54 6). Поэтому

Вычислим первый внутренний интеграл по z, считая х и у постоянными:

Вычислим второй внутренний интеграл по у, считая х постоянным:

Наконец, вычислим внешний интеграл по х :

Замена переменных:

Пусть осуществляют взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое отображение замкнутой области пространства на замкнутую область пространства Охуz. Тогда справедлива формула

где

— определитель Якоби или якобиан преобразования.

В приложениях самыми распространенными из криволинейных координат являются цилиндрические и сферические координаты (см. с. 18).

Тройной интеграл в цилиндрических координатах

В цилиндрической системе координат точка описывается тройкой чисел Декартовая и цилиндрическая системы координат связаны формулами: Вычислим якобиан преобразования (44.2):

Формула (44.1) примет вид

Пример:

Вычислить

где ограничена поверхностями: Очевидно, — прямой круговой цилиндр с радиусом основания а и высотой h. Применим формулу (44.3):

где параллелепипед:

Тогда

Тройной интеграл в сферических координатах

В сферической системе координат положение точки описывается тройкой чисел Сферическая система связана с декартовой формулами: Формулы (44.2) и (44.1) преобразуются к виду

Пример:

Вычислить

где описывается неравенствами:

Перейдем к сферическим координатам. Нетрудно видеть, что — параллелепипед:

По формуле (44.4) имеем

Приложения:

Приведем некоторые геометрические и механические приложения тройного интеграла. Пусть тело с плотностью занимает в пространстве область . В приводимых ниже формулах для сокращения используется обозначение

здесь — некоторая функция (ниже она каждый раз определяется).

• Объем области :

• Масса тела:

• Статические моменты тела относительно координатных плоскостей:

• Моменты инерции тела относительно осей координат:

• Координаты центра масс тела:

Пример:

Найти объем тела, ограниченного сферой параболоидом

Из рис. 55 видно, что объем полусферы,

— объем тела, ограниченного параболоидом и плоскостью х = 0.

Окончательно,

Пример:

Найти массу кругового конуса с радиусом основания а и высотой h, если плотность в каждой его точке пропорциональна квадрату расстояния от точки до плоскости, проходящей через вершину конуса параллельно плоскости основания.

Уравнение поверхности заданного конуса (см. рис. 56) имеет вид а плотности равна Имеем

Поверхностный интеграл первого рода

Пусть — замкнутая двусторонняя гладкая или кусочно-гладкая ограниченная поверхность в Разобьем на элементарные площадки площади которых для простоты также обозначим через Как обычно, через обозначим мелкость разбиения .

Выберем произвольные точки и составим интегральную сумму

Если последовательность интегральных сумм имеет конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения ни от выбора точек то этот предел называется поверхностным интегралом 1-го рода от функции F(x,y,z) по поверхности :

Поверхностный интеграл 1-го рода существует, если, например, Отметим, что поверхностный интеграл 1-го рода не зависит от выбора стороны поверхности.

• Физический смысл поверхностного интеграла 1-го рода: определяет массу, моменты, координаты центра тяжести и т. п. В частности, непосредственно из определения следует, что поверхностный интеграл равен площади поверхности .

Поверхностный интеграл 1-го рода вычисляют по формуле:

где поверхность описывается уравнением

Пример:

Вычислить

где — поверхность цилиндра заключенная между плоскостями у = b и у = с (см. рис. 57).

Разрешим уравнение относительно Требование однозначности г приводит к разбиению поверхности на части расположенные соответственно над и под плоскостью Оху, как показано на рис. 57. Имеем

Учитывая, что — прямоугольник, по формуле (45.1) находим

Поверхностный интеграл второго рода

Пусть в — замкнутая гладкая или кусочно-гладкая двусторонняя ориентированная поверхность в

Выберем какую-нибудь сторону поверхности и заменим в определении поверхностного интеграла 1-го рода проекции частичной поверхности на плоскость Оху. При этом проекцию будем брать со знаком плюс, если и со знаком минус, если — направляющие косинусы единичной нормали проведенной к поверхности в точке в направлении выбранной стороны.

Поверхностным интегралом 2-го рода от функции F(х,у,z) по выбранной стороне поверхности называют предел

если, конечно, он существует и не зависит от способа разбиения и от выбора точек Аналогично вводятся интегралы

В общем виде поверхностный интеграл 2-го рода записывают так

Для существования (45.2) достаточно потребовать, чтобы

В отличие от поверхностного интеграла 1-го рода поверхностный интеграл 2-го рода при замене стороны поверхности на противоположную меняет знак:

Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода будет рассмотрен в следующей главе. Здесь же приведем формулу для его вычисления.

Пусть уравнение поверхности разрешено относительно каждой из координат:

где — проекции поверхности S на координатные плоскости (у, z), (x,z) и (х, у) соответственно. Тогда поверхностный интеграл (45.2) вычисляется по формуле:

где знаки перед интегралами выбираются в зависимости от ориентации .

Пример:

Вычислить

где — нижняя сторона части плоскости лежащей в первом октанте.

Выпустим единичную нормаль из нижней стороны плоскости (см. рис. 58). Она образует тупой угол с осью z, следовательно, Поэтому в формуле (45.3) перед двойным интегралом ставится знак минус. Тогда

Решение заданий и задач по предметам:

• Математика
• Высшая математика
• Математический анализ
• Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
2. Функции и графики
3. Преобразования графиков функций
4. Квадратная функция и её графики
5. Алгебраические неравенства
6. Неравенства
7. Неравенства с переменными
8. Прогрессии в математике
9. Арифметическая прогрессия
10. Геометрическая прогрессия
11. Показатели в математике
12. Логарифмы в математике
13. Исследование уравнений
14. Уравнения высших степеней
15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
16. Комплексные числа
17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
18. Алгебраические уравнения
19. Неопределенные уравнения
20. Соединения
21. Бином Ньютона
22. Число е
23. Непрерывные дроби
24. Функция
25. Исследование функций
26. Предел
27. Двойной интеграл
28. Тройной интеграл
29. Интегрирование
30. Неопределённый интеграл
31. Определенный интеграл
32. Криволинейные интегралы
33. Поверхностные интегралы
34. Несобственные интегралы
35. Кратные интегралы
36. Интегралы, зависящие от параметра
37. Квадратный трехчлен
38. Производная
39. Применение производной к исследованию функций
40. Приложения производной
41. Дифференциал функции
42. Дифференцирование в математике
43. Формулы и правила дифференцирования
44. Дифференциальное исчисление
45. Дифференциальные уравнения
46. Дифференциальные уравнения первого порядка
47. Дифференциальные уравнения высших порядков
48. Дифференциальные уравнения в частных производных
49. Тригонометрические функции
50. Тригонометрические уравнения и неравенства
51. Показательная функция
52. Показательные уравнения
53. Обобщенная степень
54. Взаимно обратные функции
55. Логарифмическая функция
56. Уравнения и неравенства
57. Положительные и отрицательные числа
58. Алгебраические выражения
59. Иррациональные алгебраические выражения
60. Преобразование алгебраических выражений
61. Преобразование дробных алгебраических выражений
62. Разложение многочленов на множители
63. Многочлены от одного переменного
64. Алгебраические дроби
65. Пропорции
66. Уравнения
67. Системы уравнений
68. Системы уравнений высших степеней
69. Системы алгебраических уравнений
70. Системы линейных уравнений
71. Системы дифференциальных уравнений
72. Арифметический квадратный корень
73. Квадратные и кубические корни
74. Извлечение квадратного корня
75. Рациональные числа
76. Иррациональные числа
77. Арифметический корень
78. Квадратные уравнения
79. Иррациональные уравнения
80. Последовательность
81. Ряды сходящиеся и расходящиеся
82. Тригонометрические функции произвольного угла
83. Тригонометрические формулы
84. Обратные тригонометрические функции
85. Теорема Безу
86. Математическая индукция
87. Показатель степени
88. Показательные функции и логарифмы
89. Множество
90. Множество действительных чисел
91. Числовые множества
92. Преобразование рациональных выражений
93. Преобразование иррациональных выражений
94. Геометрия
95. Действительные числа
96. Степени и корни
97. Степень с рациональным показателем
98. Тригонометрические функции угла
99. Тригонометрические функции числового аргумента
100. Тригонометрические выражения и их преобразования
101. Преобразование тригонометрических выражений
102. Комбинаторика
103. Вычислительная математика
104. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
105. Прямая и плоскость
106. Линии и уравнения
107. Прямая линия
108. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
109. Кривые второго порядка
110. Кривые и поверхности второго порядка
111. Числовые ряды
112. Степенные ряды
113. Ряды Фурье
114. Преобразование Фурье
115. Функциональные ряды
116. Функции многих переменных
117. Метод координат
118. Гармонический анализ
119. Вещественные числа
120. Предел последовательности
121. Аналитическая геометрия
122. Аналитическая геометрия на плоскости
123. Аналитическая геометрия в пространстве
124. Функции одной переменной
125. Высшая алгебра
126. Векторная алгебра
127. Векторный анализ
128. Векторы
129. Скалярное произведение векторов
130. Векторное произведение векторов
131. Смешанное произведение векторов
132. Операции над векторами
133. Непрерывность функций
134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
135. Предел и непрерывность функции одной переменной
136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
139. Матрицы
140. Линейные и евклидовы пространства
141. Линейные отображения
142. Дифференциальные теоремы о среднем
143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
144. Функции комплексного переменного
145. Преобразование Лапласа
146. Теории поля
147. Операционное исчисление
148. Системы координат
149. Рациональная функция
150. Интегральное исчисление
151. Интегральное исчисление функций одной переменной
152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
153. Отношение в математике
154. Математическая логика
155. Графы в математике
156. Линейные пространства
157. Первообразная и неопределенный интеграл
158. Линейная функция
159. Выпуклые множества точек
160. Система координат