Числовые ряды в математике с примерами решения и образцами выполнения

Числовые ряды, основные понятия:

При изучении многих практических вопросов естествознания и техники применяется подход поэтапного исследования данного объекта. На первом этапе учитываются самые главные характеристики изучаемого предмета, как говорят, выполняется этап первого приближения. Потом переходят к следующему этапу,
учитывая новые или более точно учитывая старые характеристики предмета, и т. д.

Одним из математических понятий, при помощи которых моделируются такие ситуации, является понятие «суммы» бесконечного числа слагаемых, за которым утвердилось название ряда.

Теория рядов широко используется в теоретических исследованиях различных вопросов естествознания и в практических приближенных вычислениях. С помощью рядов составляются таблицы значений различных функций (логарифмические, тригонометрические и др.)» вычисляются значения интегралов, решаются дифференциальные уравнения.

Определение:

Числовым рядом называется выражение вида

где — числа, принадлежащие некоторой определенной числовой системе.

Так, можно говорить о действительных рядах, для которых , о комплексных рядах, для которых

Для сокращенного обозначения рядов используется знак суммирования , именно:

Числа называются членами ряда (1); называется общим членом ряда. Иногда общий член удобнее записывать так, чтобы индекс n принимал значения

Рассмотрим некоторые примеры рядов.

Из членов бесконечной геометрической прогрессии можно составить ряд, с которым мы уже встречались в курсе математики средней школы при вычислении суммы членов геометрической прогрессии:

Этот ряд называется рядом геометрической прогрессии. Если, например, то получим ряд

составленный из чисел, обратных натуральным числам, называется гармоническим рядом.

Легко составить и другие примеры рядов:

Сумма первых n членов ряда называется частичной суммой ряда. Таким образом, с. рядом (1) связывается последовательность его частичных сумм:

где

Легко видеть, что

При Обратно, если дана произвольная последовательность (2), то, определяя и для получим ряд

последовательность частичных сумм которого совпадает заданной последовательностью (2).

Ввиду наличия такой взаимной связи между последовательностями и рядами все понятия и свойства последовательностей, которые известны из школьного курса математики, могут быть сформулированы и для рядов.

Определение:

Ряд (1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм (2) сходится, т. е. если существует предел

Число S называется суммой ряда. Если не существует или , то ряд называется расходящимся и ему не приписывается никакое числовое значение.

Пример:

Рассмотрим ряд геометрической прогрессии

Если. , то ряд сходится. В самом деле,

Следовательно,

Итак, при ряд сходится и его сумма равна
В частности, сумма ряда

равна

Если то ряд (3) сходится лишь при . В этом случае и, следовательно,
Если т. е. ряд расходится.
При получаем ряд

или ряд

которые расходятся. Для первого , для второго следовательно, последовательность частичных сумм а, 0, а, 0, … не имеет предела. Например, ряд

расходится.

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

Решение:

Для частичных сумм данного ряда имеем

Следовательно, . Данный ряд расходится.

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

Решение:

Частичные суммы данного ряда могут быть преобразованы следующим образом:

Отсюда Следовательно,
данный ряд сходится и его сумма равна 1.

Свойства рядов

Поскольку сумма ряда равна пределу последовательности частичных сумм, которые являются обычными суммами, то естественно ожидать, что некоторые свойства конечных сумм имеют место и для рядов.

Теорема:

Если ряд

сходится и его сумма равна S, то для произвольного числа с ряд

также сходится и его сумма равна . Если же ряд (1) расходится и , то и ряд (2) расходится.

Доказательство:

Пусть ряд (1) сходится и Обозначим частичные суммы ряда (2) через Тогда

Следовательно,

Обратно, пусть ряд (1) расходится, , и допустим противное, что ряд (2) сходится, причем

Тогда, учитывая (3), имеем

откуда что противоречит нашему уеловию о расходимости ряда (1).

Доказанную теорему можно сформулировать и так: сходимость (расходимость) ряда не нарушится, если все его члены умножить на одно и то же отличное от нуля число, т. е. для бесконечных сумм также имеет место дистрибутивный закон.

Пример:

Известно, что ряд

сходится. Показать, что сходится и ряд

Решение:

Последний ряд получается из данного умножением на , следовательно, он сходится.

Другие свойства конечных сумм, такие, как ассоциативность (т. е. произвольная группировка членов) коммутативность (т. е. произвольная перестановка членов), для бесконечных сумм, вообще говоря, не имеют места.

Возьмем, например, расходящийся ряд (см. пример 5 § 1)

Сгруппируем его члены двумя способами:

Полученные ряды являются сходящимися, но имеют разные суммы, соответственно нуль и единица. Можно показать, однако, что если ряд с положительными членами сходится, то его члены могут быть
сгруппированы произвольным образом — полученный ряд также сходится и имеет ту же сумму, что и данный.

Теорема:

Если ряды

и

сходятся и их суммы равны соответственно , то и каждый из двух рядов

сходится и его сумма равна соответственно .

Другими словами: сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать.

Доказательство:

По условию имеем:

Следовательно, каждый из рядов (6) сходится и его сумма равна соответственно .

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

и если он сходится найти его сумму S.

Решение:

Данный ряд может быть представлен в виде

Так как ряды

и

являются рядами геометрической прогрессии со знаменателями, меньшими единицы, то они сходятся и их суммы равны, соответственно

Следовательно, данный ряд сходится и его сумма равна

Следствие:

Сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть расходящийся ряд.

В самом деле, допустим противное, например, что ряд (4) сходится, ряд (5) расходится, а их сумма (разность), т. е. ряд (6) сходится. Тогда разность (сумма) рядов (6) и (4) равна ряду (5), который согласно
теореме 2, должен быть сходящимся, что противоречит условию.

Если же оба ряда, (4) и (5), являются расходящимися, то их сумма (разность) может быть как сходящимся, так и расходящимся рядом.

Пример:

Ряды

очевидно, являются расходящимися. Их сумма

и разность

также расходящиеся ряды.

Пример:

Даны ряды

Исследовать на сходимость данные ряды, а также их сумму и разность.

Решение:

Легко видеть, что ряд (7) является расходящимся. Ряд (8) расходится, так как

Отсюда Сумма данных рядов (7) и (8) равна

Рассмотрим частичные суммы полученного ряда:

Следовательно, сумма данных рядов также расходится.

Разность рядов (8) и (7) равна

Этот ряд является сходящимся (пример 5 § 1)

Теорема:

Если в ряде

добавить или отбросить конечное число членов, то полученный ряд

сходится или расходится одновременно с данным. В случае сходимости рассматриваемых рядов их суммы отличаются на сумму отброшенных членов.

Доказательство:

Так как ряды (9) и (10) отличаются только некоторыми начальными членами, то, начиная с некоторого номера N, разность между их частичными суммами будет постоянным числом Q, равным сумме отброшенных членов, т. е. при будет , откуда Тогда, если
ряд (9) сходится и то

Следовательно, сходится и ряд (10) и его сумма равна
Аналогично доказывается, что из сходимости ряда (10) следует сходимость ряда (9).

Пример:

Как известно, ряд геометрической прогрессии

является сходящимся. Тогда сходящимся является, например, и ряд

который получается из данного отбрасыванием и добавлением конечного числа.членов.

Определение:

Ряд

называется остатком ряда (9).

Так как остаток получается из данного ряда отбрасыванием, а данный ряд из остатка добавлением конечного числа членов, то согласно теореме 3 они одновременно сходятся или расходятся. Если ряд (9) сходится и его сумма равна S, то сумма ряда (11) равна

Сумму ряда (11) тоже называют остатком ряда (9).

Следствие:

Если ряд (9) сходится, то его остаток стремится к нулю при

Действительно,

Необходимые условия сходимости ряда. Расходимость гармонического ряда

При анализе рядов, полученных в результате моделирования какой-нибудь конкретной задачи, возникают два вопроса; во-первых, сходится ли полученный ряд, т. е. стабилизируется ли моделируемый процесс, и если он сходится, то, во-вторых, найти его сумму. Во многих
практических задачах принципиальное значение имеет ответ на первый вопрос. Поэтому мы основное внимание уделим вопросу установления признаков сходимости рядов.

Приводим два необходимых условия сходимости ряда.

Теорема:

Если ряд

сходится, то общий член ряда стремится к нулю.

Доказательство:

Пусть ряд (1) сходится и

Тогда имеем также Учитывая, что при получим

Из доказанной теоремы следует: Если то ряд расходится.

Пример:

Ряд

расходится, так как

Пример:

Рассмотрим ряд

Так как ряд расходится.

Доказанная теорема дает лишь необходимое условие сходимости ряда, но не достаточное. Для того что, бы в этом убедиться, достаточно привести пример расходящегося ряда, общий член которого стремится к нулю Примером такого ряда может служить гармонический ряд.

Для доказательства его расходимости вспомним, что

Логарифмируя неравенство (2) по основанию e, получим

Отсюда

Подставим в (3) поочередно

Получаем неравенства:

Сложив почленно эти неравенства, получаем

т. е. , где . — частичная сумма гармонического ряда. Поскольку , получаем

следовательно, гармонический ряд расходится.

Теорема:

Если ряд (1) сходится, то последовательность частичных сумм является ограниченной.

Доказательство:

В самом деле, если ряд (1) сходится, то сходится и последовательность его частичных сумм

Однако, как известно, сходящаяся последовательность является ограниченной.

Это условие для произвольных рядов не является
достаточным. Рассмотрим ряд

Последовательность его частичных сумм ограничена, так как , тем не менее ряд расходится.

Теорема 2 может быть сформулирована и так: если последовательность частичных сумм неограничена, то ряд расходится.

Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами

Вначале заметим, что в случае рядов с неотрицательными членами имеет место теорема, обратная теореме (2) из предыдущего параграфа: если последовательность частичных сумм ряда с неотрицательными членами ограничена, то ряд сходится.

В самом деле, если , то

т. е. последовательность частичных сумм является монотонно возрастающей. По условию, последовательность частичных сумм ограничена, тогда, по известной из курса средней школы теореме Вейерштрасса, она имеет предел. Следовательно, данный ряд сходится.

Признак сравнения. Пусть даны два ряда с неотрицательными членами:

Если для любого n, то из сходимости ряда (1) следует сходимость ряда (2) и сумма ряда (2) не превосходит сумму ряда (1); из расходимости ряда (2) следует расходимость ряда (1).

Доказательство:

Обозначим через соответственно частичные суммы рядов^(1) и (2). 1) Пусть ряд (1) сходится и его сумма равна S’. Из условия имеем Тогда

Так как то последовательность

монотонно возрастает и ограничена сверху числом Следовательно, она имеет предел , который не превосходит.

2) Пусть ряд (2) расходится.

Очевидно, в этом случае имеем , Тогда из

следует, что и ряд (1) расходится.

При помощи признака сравнения можно определить сходимость или расходимость рядов, если удается сравнить их с рядами, поведение которых в смысле сходимости известно. В качестве рядов для сравнения можно взять ряды геометрической прогрессии, гармонический ряд и другие ряды, сходимость которых известна.

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

Решение:

Сравниваем данный ряд с гармоническим. Имеем

Так как ряд

расходится, то и данный ряд расходится.

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

Решение:

Сравниваем данный ряд с гармоническим. Имеем

Следовательно, данный ряд расходится.

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

Решение:

Сравниваем данный ряд с рядом геометрической прогрессии

который сходится. Имеем

Следовательно, данный ряд сходится.

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

Решение:

Сравниваем данный ряд с рядом

который, как мы знаем (пример 3 § 1), является сходящимся. Имеем

Отсюда получаем сходимость ряда

Следовательно, сходится и данный ряд.

2. Признак Даламбера. Пусть дан ряд

с положительными членами. Допустим, что существует и Тогда:

1) если , то ряд (3) сходится;
2) если , то ряд (3) расходится;
3) если , то ряд (3) может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Доказательство:

1) Пусть . Рассмотрим окрестность точки , которая полностью содержится в интервале
(рис. 121) Тогда, начиная

с некоторого номера N, при , все члены последовательности будут находиться в окрестности , т. е. для всех имеем

Таким образом, для получаем неравенства

Ввиду того, что ряд

сходится. Тогда из неравенств (4) по принципу сравнения получаем, что ряд

сходится; следовательно, по теореме 3 § 2 и ряд (3) сходится.

2) Пусть . Тогда, начиная с некоторого N, все члены последовательности при будут находиться в окрестности , (рис. 122), т. е. при

Отсюда видно, что Таким образом, ряд (3) расходится.

Утверждение случая 3) следует из приведенных ниже примеров 7 и 8.

Пример:

Исследуем на сходимость ряд

Имеем:

Следовательно, по признаку Даламбера, данный ряд сходится.

Пример:

Исследуем на сходимость ряд

Решение:

Следовательно, данный ряд сходится.

Пример:

Исследуем на сходимость ряд

Имеем:

Следовательно, признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости данного ряда. Но так как

т. е. не выполняется необходимое условие сходимости ряда, мы заключаем, что предложенный ряд расходится.

Пример:

Для ряда

получаем:

тем не менее данный ряд сходится (см. приведенный выше пример 3).

Пример:

Исследуем ряд

Имеем;

Следовательно, данный ряд расходится.

3. Признак Коши. Пусть дан ряд

с неотрицательными членами. Допустим, что существует и Тогда:

1) если , то ряд (6) сходится;
2) если , то ряд (6) расходится;
3) если , то ряд (6) может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Доказательство:

1) Пусть . Рассмотрим окрестность точки , которая полностью содержится в интервале, т. е. (см. рис. 121). Тогда, начиная с некоторого номера N, при все члены последовательности будут находиться в окрестности , т. е. для всех имеем

Отсюда получаем, что

для всех . Ввиду того, что , ряд геометрической прогрессии

сходится. Тогда, учитывая (7), по признаку сравнения получаем, что и ряд

сходится, а отсюда, по теореме 3 § 2, сходится и данный ряд (6).

2) Пусть . Тогда, начиная с некоторого N, будем иметь откуда Отсюда

Таким образом, ряд (6) расходится.

Утверждение случая 3) следует из приведенных ниже примеров 11 и 12.

Пример:

Исследуем на сходимость ряд

Имеем:

следовательно, ряд сходится.

Пример:

Для ряда

имеем:

С другой стороны,

следовательно, не выполняется необходимое условие сходимости ряда, значит, данный ряд расходится.

Пример:

Рассмотрим ряд

Для него

В то же время (см. пример 4) этот ряд сходится.

Замечание:

Как видно из доказательства признаков Даламбера и Коши, они дают ответ для сходимости только тех рядов, порядок убывания членов которых не меньше, чем у ряда геометрической прогрессии, т. е. только для «быстро» сходящихся рядов. С другой
стороны, эти признаки устанавливают расходимость рядов, у которых общий член даже не стремится к нулю. Эти признаки, следовательно, являются слишком грубыми. Они неприменимы к рядам с медленно
растущими частичными суммами, какими являются, например, гармонический ряд, ряды

и др.

Приведем сейчас признак, который в некоторой степени восполняет этот пробел.

Для этого предварительно введем в рассмотрение так называемые несобственные интегралы. Так называются интегралы, у которых один (нижний или верхний), или оба предела интегрирования бесконечны. Мы ограничимся несобственными интегралами вида

Значение такого интеграла определяется следующим образом:

При этом, если предел справа существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, если не существует, то — расходящимся.

4. Интегральный признак. Пусть дан ряд

с положительными членами, причем — такая непрерывная монотонно
убывающая функция, что Тогда данный ряд и несобственный интеграл одновременно сходятся или расходятся.

Доказательство:

1) Пусть несобственный интеграл сходится, т. е. существует предел

Геометрически число представляет собой площадь бесконечной полосы, заключенной между графиков функции , осью абсцисс и ограниченной слева ординатой, проведенной в точке (рис. 123).

Проведем ординаты в точках и построим прямоугольники под графиком кривой, как показано на рис. 123. Все эти прямоугольники имеют основание, равное единице. Из условия имеем, что т. е. площадь, первого прямоугольника равна
Аналогично, , следовательно, площадь второго прямоугольника равна , и так далее, площадь n-го прямоугольника, ввиду того, что равна

Таким образом, площадь построенной ступенчатой фигуры от ординаты до ординаты равна

т. е. можем написать где частичная сумма данного ряда. С другой стороны, построенная ступенчатая фигура содержится полностью, в криволинейной трапеции, образованной графиком функции , осью абсцисс и ординатами площадь которой, как известно, равна

Таким образом,

или

Поскольку

Полученное неравенство показывает, что последовательность частичных сумм данного ряда ограничена сверху, следовательно, ряд сходится.

2) Пусть несобственный интеграл расходится,

Для доказательства расходимости данного ряда строим ступенчатую фигуру, выступающую над графиком функции как показано
на рис. 124.

Аналогичным образом находим, что площадь первого прямоугольника равна , второго — и т. д. . Следовательно, площадь этой ступенчатой фигуры от ординаты до равна т. е. , где частичная сумма данного ряда. С другой стороны, эта ступенчатая фигура содержит полностью криволинейную трапецию, образованную графиком

функции , осью абсцисс и ординатами , , площадь которой, как мы уже отметили, равна Таким образом, Но так как , то интегралы неограниченно возрастают с возрастанием n. Тогда тем более неограниченно возрастает и последовательность частичных сумм, т. е. следовательно, данный ряд
расходится.

Пример:

Дан гармонический ряд

Рассмотрим функцию Эта функция непрерывна, монотонно убывает и следовательно, условия интегрального признака удовлетворены.

Исследуем

Итак, мы получили новое доказательство расходимости гармонического ряда.

Пример:

Исследовать на сходимость обобщенный гармонический ряд:

Решение:

Рассмотрим функцию

Эта функция непрерывна, монотонно убывает и следовательно, можно применить интегральный признак. Исследуем интеграл

Здесь необходимо рассмотреть два случая: 1) или ; следовательно, Тогда

Таким образом, при данный ряд сходится. В частности, ряд

сходится, так как

Тогда , следовательно, и данный ряд расходится. В частности ряд

расходится, так как

Заметим, что утверждение случая 2) можно получить, сравнивая данный ряд с гармоническим, в то время как результат пункта 1) является для нас новым и относится к тем примерам, к которым признаки Даламбера и Коши ответа не дают. Из рис. 123 и рис. 124 видно, что

Аналогично,

Из формул (8) и (9) получаем:

По формуле (10) можно оценить значение остатка
ряда

Пример:

Вычислить

с тремя, верными десятичными знаками.

Решение:

По формуле (10) имеем:

Из условия получаем . Следовательно,

Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости

Ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены, называются знакопеременными.

Пусть дан знакопеременный ряд

Если в ряде (1) имеется лишь конечное число отрицательных (или положительных) членов, то, отбрасывая достаточно большое начальное число членов ряда, получим ряд, члены которого имеют постоянный знак. По теореме 3 § 2 полученный и первоначальный ряды одновременно сходятся или расходятся. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать случай рядов, которые среди своих членов содержат бесконечно много как положительных, так и отрицательных членов.

Укажем на одну важную связь между сходимостью знакопеременных рядов и сходимостью некоторых рядов с неотрицательными членами.
Обозначим через

ряд, составленный из положительных членов ряда (1) с сохранением порядка их следования, и через

ряд, аналогично составленный из модулей отрицательных членов ряда (1). Рассмотрим также ряд, составленный из модулей всех членов ряда (1):

Теорема:

Если ряд (4) сходится, то сходятся и ряды. (3), (2) и (1). При этом сумма S данного ряда (1) равна разности суммы S’ ряда (2), составленного из положительных членов и сумм S» ряда (3),
составленного из модулей отрицательных членов, т. е.

Доказательство:

Обозначим через частичную сумму ряда (4) и, соответственно, через и — частичные суммы рядов (3), (2) и (1). Так как, по условию, ряд (4) сходится, то существует предел его частичных сумм Согласно определениям рядов (2) и (3) для произвольного числа найдутся n и m такие, что и аналогично, для произвольного m найдутся n и такие, что Следовательно, для произвольных и m имеем соответственно т. е. последовательности частичных сумм рядов (2) и (3) (которые являются рядами с положительными членами) ограничены, а следовательно, эти ряды сходятся.

Положим

Легко видеть, что любую частичную сумму ряда (1) можно представить в виде для некоторых и m, причем, если , то и . Тогда

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

Решение ряд, составленный из абсолютных величин

сходится; следовательно, и данный ряд сходится.

Определение:

Знакопеременный ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (4), составленный из модулей его членов.

Пример:

Ряд

абсолютно сходится, так как ряд, составленный из модулей его членов,

является сходящимся рядом, в чем легко убедиться по
признаку Даламбера.

Пример:

Ряд

абсолютно сходится. В самом деле, ряд

является сходящимся, так как и ряд

как нам уже известно, сходится.

Определение:

Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд составленный из модулей его членов, расходится.

Примеры условно сходящихся рядов мы приведем несколько позже.

Замечание:

Нетрудно показать, что если один из рядов (2) или (3) расходится, а другой сходится, то ряд (1) расходится, следовательно, если ряд (1) условно сходится, то каждый из рядов (2) и (3) расходится.

Теорема 1 показывает, что исследование сходимости знакопеременных абсолютно сходящихся рядов сводится к исследованию сходимости рядов с неотрицательными членами. Для условно сходящихся рядов такое прямое сведение не имеет места.

Знакочередующиеся ряды

Определение:

Ряд называется знакочередующимся, если положительные и отрицательные члены следуют друг за другом поочередно.

При исследовании вопросов сходимости можем ограничиться знакочередующимися рядами вида

где — положительные числа.

Приводим достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда.

Теорема Лейбница:

Знакочередующийся ряд (1) сходится, если

1) его члены убывают по модулю:

2) его общий член стремится к нулю:

При этом сумма S ряда (1) удовлетворяет неравенствам

Доказательство:

Вычислим отдельно частичные суммы ряда (1) с четным и нечетным числом слагаемых. Имеем:

Ввиду соотношений (2) выражения в скобках положительны, следовательно, . Кроме того, последовательность монотонно возрастает при , так как

С другой стороны, можно записать в виде

Так как каждое выражение в скобках положительно и положительно, то . Таким образом, последовательность «четных» частичных сумм монотонно возрастает и ограничена сверху; значит, она имеет предел причем .

Для частичных сумм вида можем писать

Отсюда

Следовательно, и

Наконец, так как , а из второй записи при имеем

Отсюда

Пример:

Ряд

удовлетворяет условиям теоремы Лейбница, так как

и Следовательно, данный ряд сходится, причем его сумма меньше .

Ряд (4) является примером условно сходящегося ряда (см. конец § 5).

В самом деле, ряд, составленный из модулей его членов

является гармоническим рядом, который, как известно,
расходится.

Оценка остатка ряда

Как мы уже отметили в начале настоящей главы, одним из главных применений теории рядов является приближенное вычисление величин. В вопросах приближенного вычисления важную роль играет оценка точности приближения. Если значение данной величины представлено в виде ряда, то оценку приближения при
помощи частичных сумм можно получить путем исследования остатка ряда.

Рассмотрим сходящийся ряд

и его остаток

Согласно следствию из теоремы 3 § 2

Так как представляет собой абсолютную погрешность приближения значения суммы ряда при помощи его частичной суммы. Следовательно, если величина S представлена в виде суммы сходящегося ряда, то ее можно аппроксимировать частичными суммами с любой наперед заданной точностью.

В некоторых случаях удается оценить величину остатка следовательно, этим оценивается и точность приближения суммы ряда своими частичными суммами. Такое положение имеется, например, в случае знакочередующихся рядов.

Теорема:

Остаток знакочередующегося ряда имеет знак первого своего члена и по модулю не превосходит модуля первого члена.

Доказательство:

Возможны два случая.

1) Остаток (n — четное) имеет вид

Тогда, так как ряд (3) удовлетворяет условиям
теоремы Лейбница,

2) Остаток (n — нечетное) имеет вид

Отсюда Тогда, по случаю 1), получаем
следовательно,

Таким образом, исследуя остаток ряда, мы можем получить представление о «скорости сходимости» данного ряда.

Пример:

Вычислить

с точностью до 0,1.

Решение:

В качестве приближенного значения суммы S мы должны взять ту частичную сумму для которой . Согласно доказанной теореме имеем следовательно, достаточно положить Тогда

откуда с точностью до 0,1.

Пример:

Вычислить

с точностью до 0,01.

Решение:

Найдем n, для которого т. е. или . Очевидно, достаточно взять . Так как

то (с точностью до 0,01).
В некоторых случаях удается легко оценить и для
положительных рядов. Например,

В § 4 мы получили оценку для остатков рядов, к которым применим интегральный признак сходимости.

Перестановка членов ряда и умножения рядов

Покажем, что перестановка членов ряда может изменить его сумму или нарушить сходимость. Как известно, ряд

сходится. Обозначим его сумму через S и его частичные суммы через . Рассмотрим ряд

полученный из данного перестановкой его членов. Обозначим частичные суммы ряда (2) через . Тогда

Отсюда

Но и тогда

Следовательно (так как любое натуральное число имеет один из трех видов ,

Таким образом, ряд (2), полученный из ряда (1) перестановкой членов, имеет сумму, в два раза меньшую, чем сумма ряда (1).

Можно доказать, что имеет место следующая теорема.

Теорема Римана:

Путем перестановки членов условно сходящегося ряда можно получить сходящийся ряд с наперед заданной суммой или даже расходящийся ряд.

Для знакопостоянных и абсолютно сходящихся рядов справедливы следующие теоремы.

Теорема:

Сумма сходящегося знакопостоянного ряда не меняется при любой перестановке его членов.

Доказательство:

Очевидно, что достаточно доказать теорему для рядов с неотрицательными членами. Пусть дан ряд

и ряд

полученный из (3) некоторой перестановкой его членов. Допустим, что ряд (3) сходится и его сумма равна S. Тогда для любой частичной суммы

ряда (4) можно найти такое что частичная сумма

ряда (3) содержит все члены частичной суммы . В таком случае

Отсюда следует, что ограничена, ряд (4) сходится и

Так как в свою очередь ряд (3) получается из ряда (4) перестановкой членов, то, по доказанному выше, ; следовательно, .

Теорема:

Если знакопеременный ряд

абсолютно сходится, то его сумма не меняется при
любой перестановке членов.

Доказательство:

Согласно условию теоремы ряд

сходится. Тогда, по теореме 1 § 5, сходится ряд

составленный из положительных членов ряда (5), а также сходится ряд

составленный из модулей отрицательных членов ряда (5), причем , где S — сумма ряда (5), S’ и S» — суммы соответственно рядов (7) и (8). Рассмотрим ряд

полученный из (5) некоторой перестановкой его членов. Тогда ряд с неотрицательными членами

получен из (6) той же перестановкой членов. В силу теоремы 1 сумма ряда (10) равна сумме ряда (6). При этом ряд

составленный из положительных членов ряда (9), и ряд

составленный из модулей отрицательных членов ряда (9), имеют (опять по теореме 1) те же суммы S’ и S», что и ряды (7) и (8). Отсюда в силу теоремы 1 § 5 ряд (9) сходится и его сумма равна разности сумм
рядов (11) и (12), т. е. равна , что и требовалось доказать.

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

Решение:

Данный ряд получен перестановкой членов из ряда геометрической прогрессии

который абсолютно сходится. Следовательно, и данный ряд абсолютно сходится.

Определение:

Произведением рядов

называется ряд

где

Можно показать, что если ряды (13) и (14) абсолютно сходятся, то ряд (15) также абсолютно сходится и его сумма равна произведению сумм рядов (13) и (14).

Заметим, что если ряды (13) и (14) абсолютно сходятся, то в силу теоремы 2 члены ряда (15) могут быть взяты в любом порядке, т. е. достаточно как угодно перемножить все члены ряда (13) на все члены
ряда (14).

Для условно сходящихся рядов соответствующее утверждение для произведения рядов, вообще говоря, не имеет места.

Пример:

Найти произведение рядов

Решение:

Согласно формуле (15) получаем ряд

О последовательностях и рядах с комплексными членами

Определение:

Комплексное число является пределом последовательности комплексных чисел

тогда и только тогда, когда

Будем писать

Можно показать, что это определение равносильно следующему.

Число называется пределом последовательности (1), если для любого найдется такой номер N что для всех модуль числа меньше , т. е.

Комплексное число называется суммой ряда с комплексными членами

если есть предел последовательности частичных
сумм ряда (2):

Под частичной суммой и здесь понимается сумма первых n членов ряда, т. е.

Если где

Таким образом,

Следовательно, с рядом (2) связываются два действительных ряда

и

и ряд (2) сходится тогда и только тогда, когда сходятся ряды (3) и (4).

Пример:

Ряд

сходится, так как сходятся ряды

и его сумма равна

Пример:

Ряд

расходится, так как расходится ряд

составленный из коэффициентов при мнимых частях его членов.

Дополнение к числовым рядам

Смотрите также:

• Решение задач по высшей математике

Экстремум функций двух переменных	Функциональные ряды
Тройной интеграл	Степенные ряды

Ряды в высшей математике с примерами

Понятие о рядах: Выражение вида

где u1, u2, u3, … — члены некоторой бесконечной последовательности, называется бесконечным рядом или просто рядом.

Член называется общим членом ряда.

Обозначим сумму n первых членов ряда (1) через т. е.

Сумма называется частичной суммой ряда. При изменении n меняется и; при этом возможны два случая:

1) величина при имеет предел S, т. е.

2) величина при предела не имеет или предел ее равен

В первом случае ряд называется сходящимся, а число — его суммой. Во втором случае ряд называется расходящимся; такой ряд суммы не имеет. Например, ряд

представляющий собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, есть ряд сходящийся, так как по известной формуле для такой прогрессии

Ряд же

представляющий собой бесконечно возрастающую геометрическую прогрессию, — расходящийся. В самом деле,

Необходимый признак сходимости ряда

Пусть дан сходящийся ряд

Найдем сумму n— 1 и n его членов:

Вычтя из второго равенства первое, получим:

Возьмем предел от обеих частей равенства (2) при

или

Так как ряд (1), по условию, сходящийся, то

Равенство (3) можно переписать так:

или

Это дает необходимое условие сходимости ряда, т. e. такое условие, без наличия которого ряд не может сходиться. Однако оно не являемся достаточным. Покажем это на примере.

Возьмем так называемый гармонический ряд

Для него условие (4) выполняется, так как

между тем этот ряд расходится.

Чтобы убедиться в этом, воспользуемся равенством

где

Прологарифмировав обе части неравенства (5) по основанию е, напишем:

отсюда

Но

поэтому неравенство (6) примет вид:

Положив в неравенстве (7) n = 1, 2, 3, 4, 5, …, будем иметь:

Сложив эти неравенства, найдем:

Пусть , тогда

Следовательно, гармонический ряд расходится.

Достаточные признаки сходимости ряда

Сравнение рядов

Будем сравнивать два ряда с положительными членами:

и

1) Пусть ряд (2) сходится и каждый член ряда (1) меньше соответствующего члена ряда (2); тогда и ряд (1) сходится.

2) Пусть ряд (2) расходится и каждый член ряда(1) больше соответствующего члена ряда (2); тогда и ряд (1) расходится.

Примем указанные признаки без доказательства.

Пример:

Для установления сходимости ряда

*) Принято произведение записывать символом т! и читать «эм факториал» (по определению 0! = 1).

сравним его с убывающей геометрической прогрессией

Каждый член ряда (3), начиная со второго, меньше соответствующего члена ряда (4); кроме того, как мы знаем, бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — сходящийся ряд. Следовательно, и ряд (3)—сходящийся.

Пример:

Возьмем ряд

и сравним его с гармоническим рядом

Так как каждый член ряда (5), начиная со второго, больше соответствующего члена ряда (6), а ряд (6) — расходящийся, то и ряд (5) тоже расходящийся.

Признак Даламбера

Если в ряде с положительными членами

выполняется условие

то данный ряд сходится при l < 1 и расходится при l > 1.

Примем этот признак без доказательства.

Пример:

Исследовать сходимость ряда

Решение:

Применяя признак Даламбера, находим:

Данный ряд сходится.

Пример:

Исследовать сходимость ряда

Решение:

Данный ряд расходится, так как найденный предел оказался больше единицы.

При исследовании ряда на сходимость может оказаться

В этом случае признак Даламбера ответа не дает, а потому для исследования ряда нужно применить другие приемы.

Признак сходимости знакочередующихся рядов

Знакочередующимся рядом называется ряд вида

где —числа положительные. Докажем следующую теорему:

Eсли в знакочередующемся ряде каждый член по абсолютной величине меньше предшествующего и если

то ряд сходится.

Доказательство:

Обозначив буквой т четное число членов ряда (1), напишем сумму т его членов:

Эту сумму можно представить в следующем виде:

или

Согласно условию, разности в скобках равенства (2) положительны; следовательно, сумма с возрастанием т возрастает. Разности в скобках равенства (3) также положительны; поэтому

, возрастая при , остается меньше u1, значит, имеет предел, т. е.

Мы доказали, что сумма четного числа членов имеет предел при .

Докажем, что сумма нечетного числа членов тоже имеет предел при и притом тот же самый. Отсюда будет следовать, что сумма любого числа n членов ряда (1) имеет предел при

Возьмем сумму нечетного числа m + 1 членов ряда (1); тогда

Перейдя к пределу при , получим:

Приняв во внимание равенство (4) и условие теоремы, напишем:

Таким образом, при всяком п, как четном, так и нечетном, предел суммы членов ряда (1) при один и тот же, т. е. существует

Следовательно, ряд (1) сходится.

Доказанная теорема служит достаточным признаком сходимости знакочередующихся рядов.

Пример:

Исследовать сходимость ряда

Решение:

Так как

и

то согласно доказанной теореме данный ряд сходится.

Абсолютно сходящиеся ряды

Пусть дан ряд

членами которого служат как положительные числа, так и отрицательные. Напишем новый ряд, состоящий из абсолютных величин членов ряда (1):

Можно доказать, что если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1).

Определение:

Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин всех его членов.

Пример:

Ряд

абсолютно сходящийся, так как ряд

составленный из абсолютных величин членов ряда (3), сходится.

Однако не всякий сходящийся ряд есть ряд абсолютно сходящийся. Например, ряд

сходится; но ряд, составленный из абсолютных величин его членов

есть гармонический, а потому расходится.

Ряд (4) называется не абсолютно или условно сходящимся.

Определение:

Сходящийся ряд называется не абсолютно или условно сходящимся, если расходится ряд, составленный из абсолютных величин всех его членов.

Функциональные ряды

Пусть дан ряд

членами которого служат не числа, а функции аргумента х. Такой ряд называется функциональным. Примером функционального ряда может служить ряд

представляющий собой геометрическую прогрессию. Если дать аргументу х какое-либо численное значение, то функциональный ряд обратится в числовой.

Может оказаться, что функциональный ряд при одних значениях х сходится, при других расходится. Совокупность всех значений х, при которых ряд (1) сходится, называется областью сходимости ряда.

В пределах сходимости ряда, сумма его членов будет функцией х.

Обозначив эту сумму через f(х), можем записать:

Написанное равенство справедливо только для значений х в области сходимости ряда; в этом случае оно представляет собой разложение функции f(x) в ряд функций

Разберем пример.

Ряд (2) при <1 является бесконечно убывающей геометрической прогрессией, а потому сходится; при > 1 этот ряд, представляющий собой бесконечно возрастающую геометрическую прогрессию, расходится. Данный ряд расходится и при = 1. Таким образом, областью сходимости ряда (2) является < 1 или иначе — 1 < х < 1. Найдя сумму членов ряда (2), как бесконечно убывающей геометрической прогрессии получим:

Теперь мы можем написать равенство

справедливое только при значениях аргумента < 1. Это равенство представляет собой разложение функции в ряд по степеням х.

Степенные ряды

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

— постоянные коэффициенты.

Если в ряде (1) дать аргументу х какое-нибудь значение, то получим числовой ряд, который будет сходиться или расходиться в зависимости от значения х. В полных курсах анализа доказывается, что для любого степенного ряда существует непрерывная область значений х, при которых этот ряд сходится. Эта область значений х обычно называется промежутком сходимости степенного ряда *).

*) Иногда промежуток сходимости состоит из одной точки (х = 0), в этом случае ряд сходится только при х = 0.

Применяя известные нам признаки, можно найти этот промежуток сходимости.

Пример:

Исследовать сходимость ряда

Решение:

Применим признак Даламбера к ряду

Для этого ряда имеем:

Отсюда находим:

Для сходимости ряда (3) достаточно, чтобы

или иначе

Отсюда следует, что ряд (2) сходится абсолютно при значениях х, удовлетворяющих последним неравенствам, т. е. при всех значениях х между —1 и +1, исключая крайние значения

Вопрос о том, будет ли ряд (2) сходиться при х = —1 и х = + 1, нужно исследовать особо.

Положив в исследуемом ряде х = — 1 х = + 1, получим два ряда:

и

Первый ряд знакочередующийся, он удовлетворяет теореме, а потому сходится, второй же ряд гармонический, а потому расходится. Итак, исследуемый ряд сходится при причем при — 1 < х < 1 сходится абсолютно. Дифференцируя ряд (1), получим также степенной ряд:

В полных курсах анализа доказывается следующая теорема: степенной ряд можно почленно дифференцировать и интегрировать сколько угодно разу при этом полученные ряды имеют тот же промежуток сходимости, что и первоначальный.

Примем эту теорему без доказательства.

Ряд Маклорена

Возьмем функцию f(х), разлагающуюся в степенной ряд:

Согласно теореме ряд (1) можно почленно дифференцировать любое число раз, при этом полученные ряды будут иметь тот же промежуток сходимости, что и ряд (1). Продифференцируем ряд (1) n раз, будем иметь:

и т. д.

Положив в равенствах (1) и (2) x = 0, получим:

и т. д.

Подставив найденные значения коэффициентов в равенство (1), будем иметь:

Равенство (3) представляет собой ряд Маклорена, позволяющий разложить функцию у = f(x) в ряд по степеням х.

Примеры разложения функций в ряд

Пример:

Разложить в степенной ряд Маклорена

Решение:

Для этого находим:

Положив x = 0, получим:

Таким образом,

Ряд (1) сходится при любом значении х .

Пример:

Разложить в степенной ряд Маклорена

Решение:

Находим:

и т. д.

Таким образом,

Составив ряд из абсолютных величин членов ряда (2), исследуем его на сходимость. Применим признак Даламбера:

Последнее равенство справедливо при любом х, следовательно, ряд (2) сходится абсолютно при всяком значении х.

Пример:

Разложить в степенной ряд Маклорена

Решение:

Данная функция разлагается в ряд таким же приемом, как и sin х. Однако ряд для cos x можно получить проще. Так как степенной ряд (2) сходится при всех значениях х, то, дифференцируя его, получим степенной ряд, сходящийся при том же условии. Взяв производную от обеих частей равенства (2), найдем:

Пример:

Разложить в степенной ряд Маклорена

Решение:

Имеем:

и т. д.

Таким образом,

Если т — натуральное число, то ряд (4) обрывается на (т + 1) — м члене, так как последующие коэффициенты обращаются в нуль; при т дробном или отрицательном этот ряд бесконечный. Применяя признак Даламбера, можно показать, что бесконечный ряд (4) сходится при |x| < 1.

Пример:

Разложить f(х) = аrcsin х в степенной ряд.

Решение:

Применим формулу (4) к функции

Интегрируя это равенство в пределах от 0 до х, будем иметь:

Так как ряд (5) сходится при |x| < 1, то и ряд (6) согласно теореме также сходится при |x| < 1.

Пример:

Разложить в степенной ряд f(х) = аrctg х

Решение:

Согласно формуле (4) имеем:

Умножив равенство (7) на dх и интегрируя в пределах от 0 до х, получим:

отсюда

или

Ряд (8) сходится при |x|< 1, так как ряд (7) сходится при |x|< 1.

Приложение степенных рядов к приближенным вычислениям

Степенные ряды имеют большое приложение к приближенным вычислениям. Покажем это на примерах.

Пример:

Вычислить sin 18°.

Решение:

Угол 18° в радианной мере равен 0,3142. Подставив значение х = 0,3142 в формулу (2) , получим:

Пример:

Вычислить .

Решение:

Положив в равенстве (6)

и учитывая, что , получим

отсюда

Пример:

Вычислить

Решение:

Неопределенный интеграл данного вида не может быть выражен в элементарных функциях. Однако его можно в указанных пределах вычислить приближенно с помощью рядов. Разделим обе части равенства (2) на х:

отсюда

Ряды с комплексными членами

Возьмем ряд

состоящий из комплексных чисел вида

где а и b — действительные числа, a Ряд (1) называется сходящимся, если ряды

и

состоящие из действительных частей и коэффициентов при мнимых членах ряда (1), сходятся. Пусть суммы рядов (2) и (3) соответственно равны А и В ; тогда сумма ряда (1) Судет равна A + Bi. Например, сумма членов ряда

равна

Докажем теорему:

Ряд с комплексными членами сходится, если сходится ряд, составленный из модулей его членов.

Доказательство:

Пусть сходится ряд

составленный из модулей членов ряда (1). Как видно,

Поэтому члены рядов (2) и (3) не превышают соответствующие члены ряда (4). Следовательно, ряды (2) и (3) сходятся и притом абсолютно, а потому сходится и ряд (1;. Теорема доказана.

В некоторых случаях рассматриваются степенные ряды

где —действительные или комплексные числа, а z— комплексное переменное вида х + iу. Пользуясь доказанной теоремой и известными нам признаками сходимости, можно исследовать сходимость и таких рядов.

Формулы Эйлера

Мы представили показательную функцию в виде ряда (1) для действительных значений показателя. В полных курсах высшей математики доказывается, что ряд (1) не теряет смысла и в случае комплексного показателя. Таким образом, можно написать:

где г — комплексное переменное вида х + iу .
*) Можно показать, что этот ряд абсолютно сходящийся для всех значений z.

В частном случае, положив в равенстве (1) z = iy, получим:

или

Но

поэтому

Выделив действительные и мнимые члены, напишем;

Приняв во внимание формулы (3) и (2) , получим:

Заменив в равенстве (2) у на —у, напишем:

или

Равенства (2) и (3) выражают связь между показательной и тригонометрическими функциями. Эти равенства были даны Эйлером.

Решив равенства (2) и (3) относительно cos у и sin y, будем иметь:

Заметим, что из равенства (2) легко получить новый вид записи комплексного числа, имеющего модуль r и аргумент у, а именно:

Таким образом, комплексное число может быть записано в трех формах: в алгебраической, тригонометрической и показательной. Например,

Формулы Эйлера позволяют установить периодичность показательной функции. Действительно, заменив в равенстве (2) у на , найдем:

Таким образом,

или

Равенство (4) показывает, что — периодическая функция с мнимым периодом.

Что такое Ряды и их определение

В настоящей главе будут рассмотрены ряды, являющиеся важным математическим аппаратом, применяемым для вычислений и исследований как в различных разделах самой математики, так и во многих ее приложениях.

Понятие числового ряда. Основные определения

Пусть дана числовая последовательность Выражение вида называется числовым рядом или просто рядом.

Числа называются членами ряда, член с произвольным номером — общим членом ряда.

Суммы конечного числа членов ряда
называются частичными суммами ряда (1). Так как число членов ряда бесконечно, то частичные суммы ряда образуют бесконечную последовательность частичных сумм

Ряд (1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм (2) сходится к какому-нибудь числу S, которое в этом случае называется суммой ряда (1). Символически это записывается так:

Если же последовательность частичных сумм (2) расходится, то ряд (1) называется расходящимся.

Пример:

Покажем, что ряд сходится. Возьмем сумму первых n членов ряда

Слагаемые этой суммы могут быть представлены в виде

Отсюда следует, что предел последовательности частичных сумм данного ряда равен единице:

Таким образом, ряд сходится, и его сумма S равна 1.

Пример:

Установим, сходится или расходится ряд

Последовательность его частичных сумм имеет вид и, значит, не сходится ни к какому пределу, поэтому данный ряд расходится.

Пример:

Рассмотрим ряд, составленный из элементов геометрической прогрессииЧастичная сумма этого ряда при имеет вид ряд сходится и его сумма Например, при имеем:

2) если т. е. ряд расходится;
3) при q=1 ряд (3) принимает вид В этом случае
т. е. ряд расходится;

4) при q= —1 ряд (3) принимает вид Для него т. е при n четном и при n нечетном. Следовательно, не существует и ряд расходится.

Таким образом, ряд (3) является сходящимся при и расходящимся при

Свойства сходящихся рядов

Теорема:

Если сходится ряд то сходится и ряд

и обратно, если сходится ряд (5), то сходится и ряд (4).

Другими словами, на сходимость ряда не влияет отбрасывание любого конечного числа его первых членов.

Доказательство:

Пусть ряд (4) сходится и имеет сумму S, т. е. . Обозначим через сумму отброшенных членов ряда (4), а через сумму n—k первых членов ряда (5). Тогда
где — некоторое число, не зависящее от n. Из равенства (6) следует

т. е. последовательность частичных сумм ряда (5) имеет предел, что означает сходимость ряда (5).

Пусть теперь ряд (5) сходится и имеет сумму , т. е. Тогда из (6) следует
что означает сходимость ряда (4).

Над сходящимися рядами можно выполнять обычные арифметические действия.

Теорема:

Если ряд сходится и его сумма равна S, то и ряд где с — некоторое число, также сходится, и его сумма равна cS.

Доказательство:

Пусть — частичная сумма ряда а — частичная сумма ряда

Тогда Отсюда, переходя к пределу при , получаем
т. е. последовательность частичных сумм ряда

сходится к cS. Следовательно,

Теорема:

Если ряды сходятся и их суммы соответственно равны S и , то и ряд сходится и его сумма равна

Доказательство:

Пусть — частичные суммы рядов — частичная сумма ряда . Тогда

Отсюда, переходя к пределу при , получаем
т. е. последовательность частичных сумм ряда
сходится к Следовательно,

Таким образом, установлено, что сходящиеся ряды можно умножать на число, почленно складывать и вычитать так же, как и конечные суммы.

Необходимое условие сходимости ряда

При рассмотрении рядов возникают две задачи: 1) исследовать ряд на сходимость и 2) зная, что ряд сходится, найти его сумму. Будем решать в основном первую задачу, имеющую теоретический характер. Приведем необходимое условие сходимости рядов.

Теорема:

Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, т. е.

Доказательство:

По условию ряд сходится.
Обозначим через S его сумму. Рассмотрим частичные суммы ряда Отсюда Так как при , то

Условие является необходимым, но не достаточным условием сходимости ряда.

Пример:

Рассмотрим ряд

который называют гармоническим рядом. Очевидно, что для гармонического ряда выполнено необходимое условие сходимости, так как Докажем, что этот ряд расходится.

Действительно, если бы этот ряд сходился, то, обозначая его сумму через S, мы бы имели

Отсюда следует, что равенство невозможно, т. е. гармонический ряд расходится.

Таким образом, если общий член ряда стремится к нулю, то еще нельзя сделать вывод о сходимости ряда. Необходимо дополнительное исследование, которое может быть проведено с помощью достаточных условий (признаков) сходимости ряда.

Если же для некоторого ряда его общий член не стремится к нулю, то теорема 14.4 позволяет сразу сказать, что такой ряд расходится.

Ряды с неотрицательными членами

Перейдем теперь к рассмотрению некоторых достаточных условий сходимости рядов с неотрицательными членами. Предварительно докажем теорему, которая будет использована в последующих рассуждениях.

Теорема:

Для того чтобы ряд с неотрицательными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм этого ряда была ограничена.

Доказательство:

Необходимость. Пусть ряд сходится. Это значит, что последовательность его частичных сумм имеет предел. В силу теоремы 2.6 всякая сходящаяся последовательность является ограниченной.

Достаточность. Пусть последовательность частичных сумм ряда ограничена. Так как ряд с неотрицательными членами, то его частичные суммы образуют неубывающую последовательность: В силу теоремы 2.12 о монотонных ограниченных последовательностях она
сходится, т. е. сходится ряд .

Достаточные условия сходимости ряда

Установим ряд признаков, позволяющих сделать вывод о сходимости (расходимости) рассматриваемого ряда.

Признак сравнения.

Теорема:

Пусть даны два ряда с неотрицательными членами и для всех n выполняется неравенство Тогда из сходимости ряда следует сходимость ряда из расходимости ряда следует расходимость ряда

Доказательство:

Обозначим через соответственно частичные суммы рядов . Из неравенства следует, что

Если ряд сходится, то по теореме 14.5 (необходимость) последовательность его частичных сумм ограничена, т. е. для любого n где М — некоторое число. Но тогда по формуле (7) и откуда по той же теореме 14.5 (достаточность) следует, что ряд сходится.

Если же ряд расходится, то ряд также расходится, так как, допустив сходимость ряда получим только что доказанному сходимость ряда а это противоречит условию теоремы. ■

Пример:

Ряд сходится, так как сходится ряд из членов геометрической прогрессии

а члены данного ряда не больше соответствующих членов ряда сходящейся геометрической прогрессии:

Пример:

Ряд расходится, поскольку его члены не меньше членов гармонического ряда

а гармонический ряд расходится.

Существуют признаки сходимости рядов, позволяющие непосредственно судить о сходимости (или расходимости) данного ряда, не сравнивая его с другим рядом, о котором известно, сходится он или расходится. Рассмотрим два из них.

Признак Даламбера.
Теорема:

Пусть дан ряд с положительными членами и существует предел Тогда а) при р<1 ряд сходится; б) при р>1 ряд расходится.

Доказательство:

а) Пусть р<1 и Докажем, что ряд сходится. По определению предела числовой последовательности для любого существует номер N такой, что при выполняется неравенство Отсюда следует, что

Так как р<1, то можно взять настолько малым, что будет выполнено неравенство . Полагая , на основании правого из неравенств (8) имеем

для Придавая n эти значения, из последнего неравенства получаем меньше соответствующих членов ряда, составленного из элементов геометрической прогрессии:

Так как q<1, то ряд (10) сходится (см. пример 3 из § 1). Тогда согласно признаку сравнения ряд (9) также сходится. Но ряд (9) получен из данного ряда в результате отбрасывания конечного числа первых членов, следовательно, по теореме 14.1 ряд сходится.

б) Пусть теперь р>1. Докажем, что ряд расходится. Возьмем настолько малым, чтобы . Тогда при в силу левого из неравенств (8) выполняется неравенство или Таким образом, члены ряда, начиная с некоторого номера N, возрастают с увеличением их номеров, т. е. общий член ряда не стремится к нулю при . Следовательно, согласно теореме 14.4 ряд расходится. ■

Замечание:

При р=1, как показывают примеры, ряд может как сходиться, так и расходиться. В этом случае необходимо дополнительное исследование ряда с помощью признака сравнения или других признаков.

Согласно признаку Даламбера сделать заключение о сходимости или расходимости ряда нельзя. Однако, как было показано ранее (см. пример 2), этот ряд расходится. Интегральный признак.

Теорема:

Пусть дан ряд
члены которого являются значениями некоторой функции f(х), положительной, непрерывной и убывающей на полуинтервале . Тогда, если сходится, то сходится и ряд ; если же расходится, то ряд также расходится.

Доказательство:

Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции y=f(x), с боковых сторон прямыми х=1, х=n, снизу осью Ох. Впишем в эту трапецию и опишем около нее две ступенчатые фигуры, состоящие из прямоугольников с основаниями и высотами (рис. 214). Тогда, принимая во внимание геометрический смысл определенного интеграла, имеемгде — частичные суммы рассматриваемого ряда.

Пусть интеграл сходится. Это значит, что существует Так как f(х)>0, то последовательность возрастает с увеличением n и ограничена сверху своим пределом: Из неравенства (11) следует, что т. е. последовательность частичных сумм ряда ограничена. По теореме 14.5 ряд сходится.

Пусть теперь интеграл расходится. В этом случае при (как монотонно возрастающая неограниченная последовательность). Из неравенства (12) следует, что при , т. е. последовательность частичных сумм ряда расходится и, следовательно, ряд расходится.

Пример:

Рассмотрим ряд
. С помощью интегрального признака выясним поведение данного ряда при
. Возьмем в качестве функции f(х) функцию , которая удовлетворяет условиям теоремы 14.8. Члены ряда равны значениям этой функции при Как известно (см. гл. 8, § 11, п. 1, пример 4), несобственный интеграл при сходится, а при расходится. Следовательно, данный ряд сходится при и расходится при .

Заметим, что при такие ряды также расходятся, так как их общий член не стремится к нулю при , т. е. нарушается необходимое условие сходимости ряда (см. теорему 14.4).

В частности, при имеем сходящийся ряд при —расходящийся гармонический ряд при расходящийся ряд и т. д.

Знакочередующиеся ряды

До сих пор мы рассматривали ряды с неотрицательными членами. Ряды с неположительными членами отличаются от соответствующих рядов с неотрицательными членами только множителем — 1, поэтому вопрос о их сходимости решается аналогично.

Перейдем теперь к рассмотрению знакочередующихся рядов, члены которых имеют чередующиеся знаки. Для удобства будем считать, что первый член такого ряда положителен. Тогда знакочередующийся ряд можно записать в виде
где

Для знакочередующихся рядов имеет место следующий очень простой достаточный признак сходимости. Признак Лейбница.

Теорема:

Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда (1) монотонно убывают: и общий член ряда стремится к нулю: то ряд сходится.

Доказательство:

Пусть дан ряд (1) и пусть

Рассмотрим частичную сумму ряда с четным числом членов

Все разности в скобках в силу первого условия положительны, поэтому последовательность частичных сумм является возрастающей. Докажем, что она ограничена. Для этого представим в виде

Отсюда следует, что для любого n, т. е. ограничена.

Итак, последовательность возрастающая и ограниченная, следовательно, она имеет предел

Покажем теперь, что и последовательность частичных сумм нечетного числа членов сходится к тому же пределу S. Действительно, Переходя в этом равенстве к пределу при и используя второе условие (), получаем

Таким образом, последовательность частичных сумм ряда (1) сходится к пределу S. Это и означает, что ряд (1) сходится. ■

Пример:

Ряд

сходится, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница: Заметим, что этот ряд отличается от гармонического ряда только знаками четных членов.

Абсолютная и условная сходимость рядов

Рассмотрим теперь ряды с членами произвольных знаков. Такие ряды называются знакопеременными рядами. Возьмем какой-нибудь знакопеременный ряд
где числа могут быть как положительными, так и отрицательными, причем расположение положительных и отрицательных членов в ряде произвольно. Одновременно рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1):

Для знакопеременных рядов имеет место следующий признак сходимости.

Теорема:

Если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1).

Доказательство:

Пусть ряд (2) сходится. Обозначим через частичную сумму ряда (1), а через частичную сумму ряда (2): Так как ряд (2) сходится, то последовательность его частичных сумм имеет предел при этом для любого n имеет место неравенство

поскольку члены ряда (2) неотрицательны.

Обозначим через сумму положительных членов, а через сумму модулей отрицательных членов, содержащихся в сумме Тогда

Очевидно, последовательности не убывают, а из равенства (5) и неравенства (3) следует, что они являются ограниченными: Следовательно, существуют . Но в таком случае, в силу равенства (4), последовательность частичных сумм ряда (1) имеет предел Это означает, что ряд (1) сходится. ■

Пример:

Ряд согласно доказанному признаку сходится, так как сходится ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда: (см. пример 6 из § 2).

Рассмотренный признак сходимости знакопеременного ряда является достаточным, но не необходимым, так как существуют знакопеременные ряды, которые сходятся, а ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся. Так, например, ряд согласно признаку Лейбница сходится (см. пример из § 3), а ряд составленный из абсолютных величин его членов, расходится (гармонический ряд).

Поэтому все сходящиеся ряды можно разделить на абсолютно и условно сходящиеся.

К абсолютно сходящимся рядам относятся сходящиеся ряды, для которых ряды, составленные из абсолютных величин их членов, также сходятся.

К условно сходящимся рядам относятся сходящиеся ряды, для которых ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся.

Пример:

Ряд абсолютно сходящийся, так как ряд, составленный из абсолютных величин также сходится. (Оба ряда — геометрические прогрессии со знаменателями, соответственно равными —1/2 и 1/2).

Пример:

Ряд условно сходящийся, так как сам он сходится по признаку Лейбница, а ряд, составленный из абсолютных величин расходится (см. пример 6 из § 2).

Заметим, что деление сходящихся рядов на абсолютно и условно сходящиеся существенно. Дело в том, что абсолютно сходящиеся ряды обладают рядом важных свойств, тогда как условно сходящиеся ряды некоторыми из этих- свойств не обладают. Например, для условно сходящихся рядов сумма ряда не равна сумме положительных и сумме отрицательных членов ряда, как это имеет место для абсолютно сходящихся рядов, что было показано при доказательстве теоремы 14.10.

Степенные ряды

Определение и общие замечания:

Ряд вида называется степенным рядом.

Числа называются коэффициентами степенного ряда.

Придавая х различные числовые значения, будем получать различные числовые ряды, которые могут оказаться сходящимися или расходящимися. Множество тех значений х, при которых ряд (1) сходится, называется областью его сходимости. Это множество всегда не пусто, так как любой степенной ряд сходится при х=0.

Очевидно, что частичная сумма степенного ряда является функцией переменной х. Поэтому и сумма ряда S также является некоторой функцией переменной х, определенной в области сходимости ряда:

Интервал сходимости степенного ряда

Докажем теорему, имеющую важное значение в теории степенных рядов и касающуюся области сходимости степенного ряда.

Теорема:

Теорема Абеля. 1) Если степенной ряд (1) сходится при , то он сходится, и притом абсолютно, для всех х, удовлетворяющих условию ; 2) если ряд (1) расходится при то он расходится для всех х, удовлетворяющих условию .

Доказательство:

1) Так как по условию числовой ряд сходится, то его общий член при , откуда следует, что последовательность ограничена, т. е. существует число М>0 такое, что

Перепишем ряд (1) в виде
и рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов:

Члены ряда (4) в силу неравенства (2) меньше соответствующих членов ряда

При ряд (5) представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем и, следовательно, сходится.

Отметим, что интервал сходимости некоторых рядов охватывает всю числовую прямую (в этом случае пишут ), у других вырождается в одну точку (R=0). Итак, всякий степенной ряд имеет свой радиус сходимости R.

При x=±R ряд может либо сходиться, либо расходиться. Этот вопрос решается для каждого конкретного ряда. Приведем способ определения радиуса сходимости степенного ряда.

Теорема:

Если существует предел
радиус сходимости ряда равен

Доказательство. Рассмотрим ряд . По условию
существует Обозначим его через . Тогда

При каждом значении х степенной ряд становится числовым рядом. Поэтому по признаку Даламбера ряд сходится, если

Замечание. Можно доказать, что если то ряд сходится на всей числовой прямой, т. е. , а если то ряд сходится только при х=0, т. е. R=0.

Пример:

Рассмотрим ряд Здесь Поэтому

Следовательно, по теореме 14.13 данный ряд сходится на интервале (— 1, 1). Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости, т. е. в точках х=±1. При х= 1 получаем гармонический ряд , а при х= —1 ряд , который сходится в силу признака Лейбница. Таким образом, данный ряд сходится в любой точке полуинтервала [— 1, 1) и расходится вне его.

Пример:

Ряд расходится на всей числовой прямой, кроме точки х=0, так как его радиус сходимости

Пример:

Ряд сходится абсолютно на всей числовой прямой, так как его радиус сходимости

Свойства степенных рядов

Пусть функция f (х) является суммой степенного ряда
интервал сходимости которого (—R, R).

В этом случае говорят, что на интервале (— R, R) функция f (х) разлагается в степенной ряд (или ряд по степеням).

Имеют место две теоремы о свойствах степенных рядов, которые приведем без доказательства.

Теорема:

Если функция f(х) на интервале (—R, R) разлагается в степенной ряд (6), то она дифференцируема на этом интервале и ее производная f(х) может быть найдена почленным дифференцированием ряда (6), т. е.
Аналогично могут быть вычислены производные любого порядка функции f(х). При этом соответствующие ряды имеют тот же интервал сходимости, что и ряд (6).

Теорема:

Если функция f(х) на интервале (—R, R) разлагается в степенной ряд (6), то она интегрируема в интервале ( — R, R) и интеграл от нее может быть вычислен почленным интегрированием ряда (6), т. е. если , то

Представляет интерес интегрирование степенного ряда (6) по отрезку [0, х], где

В этом случае опять получаем степенной ряд, который имеет тот же интервал сходимости, что и ряд (6).

Сформулированные теоремы дифференцирования и интегрирования степенных рядов имеют важное значение. Далее они неоднократно используются.

Отметим, что в ряде случаев рассматриваются степенные ряды более общего вида:

Ряд вида (7) приводится к виду (1) заменой переменной x—a=t.

Если функция f(х) является суммой ряда (7), то в этом случае говорят, что функция f(х) разлагается в ряд по степеням (х-а).

Все изложенное полностью переносится и на ряды вида (7). Для простоты записи последующие рассуждения проводятся для рядов вида (1).

Разложение функций в степенные ряды

Как показывает следующая теорема, разложение функции в степенной ряд единственно.

Теорема:

Если функция f(х) на интервале (—R, R) разлагается в степенной ряд
то это разложение единственно.

Доказательство:

По условию ряд (8) сходится на интервале (—R, R) и функция f(х) — его сумма. Следовательно, на основании теоремы 14.14 ряд (8) можно почленно дифференцировать на интервале (— R, R) любое число раз. Дифференцируя, получаем

Полагая в полученных равенствах и в равенстве (8) х=0, имеем
откуда находим

Таким образом, все коэффициенты ряда (8) определяются единственным образом формулами (9), что и доказывает теорему.

Подставляя полученные выражения коэффициентов в равенство (8), получаем

Итак, если функция f(x) разлагается в степенной ряд, то этот ряд имеет вид

Ряд (10) называется рядом Маклорена для функции f (х).

Пусть теперь f (х) — произвольная бесконечно дифференцируемая функция. Для нее можно составить ряд (10). Установим, при каких условиях сумма ряда (10) совпадает с функцией f (х). Ответ на этот вопрос можно получить с помощью формулы Маклорена. В гл. 6 § 3 было показано, что для любой бесконечно дифференцируемой функции справедлива формула Маклорена

Если обозначить через частичную сумму ряда Маклорена, то формулу Маклорена можно записать так:
Имеет место следующая теорема.

Теорема:

Для того чтобы ряд Маклорена (10) сходился на (—R, R) и имел своей суммой функцию f (х), необходимо и достаточно, чтобы на ( — R, R) остаточный член формулы Маклорена (11) стремился к нулю при , т. е. для любого

Доказательство:

Необходимость. Пусть функция f(х) — сумма ряда Маклорена на (—R, R), т. е. . Тогда из равенства (12) следует, что для любого .

Достаточность. Пусть для любого Тогда из равенства (12) следует, что т. е. . Это и означает, что ряд Маклорена (10) сходится на (—R, R) и его сумма равна f (х).

Из теоремы вытекает, что вопрос о разложении функции в ряд Маклорена сводится к исследованию поведения остаточного члена .

Рассмотрим разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций.

Разложение функции Имеем: откуда при х=0 получаем: . По формуле (10) для функции составим ряд Маклорена:

Найдем интервал сходимости ряда (13)

Следовательно, ряд абсолютно сходится на всей числовой прямой. Докажем теперь, что функция — сумма ряда (13). Отметим, что в силу необходимого условия сходимости ряда для любого х справедливо равенство

Поэтому, переходя к пределу в последнем неравенстве при , получаем, что при любом х, и, следовательно, функция является суммой ряда (13).

Таким образом, при любом х имеет место разложение

Разложение функции f(x)=sin х. Имеем: (см. гл. 5, § 10, п. 2), откуда, полагая x=0, получаем: Составим по формуле (10) для функции sin х ряд Маклорена:

Легко проверить, что полученный ряд сходится абсолютно на всей числовой прямой. Исследуем остаточный член
где Так как
В силу (14) Следовательно,
при любом х. А это означает, что функция sin х является суммой построенного ряда, т. е. имеет место разложение

Разложение функции f(x)=cosx. Аналогично предыдущему, можно получить разложение функции cos х в ряд Маклорена, справедливое при любом х. Однако еще проще разложение cos х получается почленным дифферецированием ряда для sin х:

Кроме рассмотренных функций , sin х, cos x в ряд Маклорена могут быть разложены и многие другие функции. Вместо ряда Маклорена можно было бы рассмотреть более общий ряд Тейлора по степеням
(х—а), где , т. е. ряд вида Все изложенное полностью переносится и на эти ряды.

При разложении функции cos х в ряд Маклорена было использовано свойство почленной дифференцируемости степенных рядов. Аналогично можно использовать и другое свойство степенных рядов — их почленную интегрируемость. В качестве примера разложим с помощью почленного интегрирования в степенные ряды функции In(1+х) и arctg х.

Рассмотрим ряд Данный ряд является геометрической прогрессией, первый член которой равен единице, а знаменатель q=x. Как известно, при данный ряд сходится и его сумма равна Следовательно,

Равенство (15) является разложением функции в степенной ряд.

Подставляя в равенство (15) — t вместо х, получаем равенство
справедливое при Проинтегрируем этот степенной ряд почленно в пределах от 0 до х . Имеем

Равенство (16) является разложением функции ln(1+x) в степенной ряд. Оно справедливо при |х|<1. Можно доказать, что это равенство верно и для х=1.

Действительно, при х=1 левая часть (16) равна In 2, а правая часть — сходящийся по признаку Лейбница числовой ряд
Остается проверить справедливость равенства

Для этого проинтегрируем от 0 до 1 выражение полученное в результате деления единицы на 1+t. Имеем

В этом равенстве сумма первых n слагаемых является частичной суммой ряда (17). Запишем (19) в виде

Так как то

Отсюда заключаем, что интеграл в правой части (20) стремится к нулю при , следовательно, что и означает справедливость равенства (18).

Найдем теперь разложение функции arctg х. Подставляя в (15) — вместо х и интегрируя по t от 0 до х, имеем

Равенство (21) справедливо при . Однако аналогично с предыдущему можно показать, что оно верно и для х=±1.

В заключение отметим, что степенные ряды имеют разнообразные приложения. С их помощью с любой заданной точностью вычисляют значения функций (в частности, значения ); находят приближенные значения определенных интегралов, которые или не выражаются через элементарные функции, или сложны для вычислений. Так, например, интеграл не берется в элементарных функциях, поскольку первообразная функции не является элементарной. В то же время эта первообразная легко выражается в виде степенного ряда. Действительно, так как то, умножая этот ряд на 1/х, получаем

причем последний ряд сходится при любом х. Интегрируя его почленно от 0 до а, имеем

С помощью этого равенства можно при любом а с любой степенью точности вычислить данный интеграл.

Наконец, значительную роль играют степенные ряды в приближенных методах решений дифференциальных уравнений.

Комплексные ряды

Краткие сведения о комплексных числах: Комплексным числом z называется упорядоченная пара вещественных чисел (х; у), т. е.
z=(x; у). При этом х называется вещественной, а у — мнимой частью комплексного числа.

Комплексное число z=(х; у) изображается на плоскости Оху точкой М с координатами (z; у) или вектором , проекции которого на оси Ох и Оу соответственно равны х и у (рис. 216). Плоскость Оху в этом случае называется условно комплексной плоскостью.

Комплексное число вида (х; 0) отождествляется с вещественным числом х, т. е. (х; 0) = х. Это позволяет рассматривать множество всех вещественных чисел как подмножество множества комплексных чисел. На комплексной плоскости вещественные числа изображаются точками на оси Ох, которая называется вещественной осью.

Комплексное число (х; у) при называется мнимым. Мнимое число (0; у) называется чисто мнимым и символически обозначается z=iy. Чисто мнимое число (0; 1) называется мнимой единицей и обозначается буквой i, т. е. i=(0; 1). Чисто мнимые числа на комплексной плоскости изображаются точками на оси Оу, которая называется мнимой осью.

Два комплексных числа называются равными, если Отсюда следует, что векторы, изображающие равные комплексные числа, равны между собой. Комплексное число 0=(0; 0) называется нулем.

Действия над комплексными числами. Определим алгебраические действия над комплексными числами.

Суммой комплексных чисел называется комплексное число

Произведением комплексных чисел называется комплексное число

Вычитание комплексных чисел определяется как действие, обратное сложению, т. е. число z называется разностью чисел , если Из этого определения вытекает, что комплексное число
является разностью комплексных чисел

Деление комплексных чисел определяется как действие, обратное умножению, т. е. число z называется частным чисел , если Из этого определения следует, что комплексное число

является частным комплексных чисел

В действиях с комплексными числами особую роль играет мнимая единица i=(0; 1). Умножая ее саму на себя (т. е. возводя в квадрат), в силу определения произведения комплексных чисел получаем Таким образом, любое комплексное число z=(х; у) можно представить в виде

и производить над комплексными числами действия по обычным правилам алгебры многочленов. Запись (1) называется алгебраической формой комплексного числа.

Комплексное число называется комплексно сопряженным числу и изображается на комплексной плоскости точкой, симметричной точке z относительно оси Ох.

Пример:

Найти произведение сопряженных чисел
Решение. Имеем

Тригонометрическая форма комплексного числа. Введем на комплексной плоскости Оху полярную систему координат так, чтобы полюс находился в начале О прямоугольной системы, а полярная ось совпадала с положительной полуосью Ох (рис. 217). Рассмотрим комплексное число z=x+iy. По формулам связывающим полярные и прямоугольные координаты, получим тригонометрическую форму записи комплексного числа z=x+iy:

Число р называется модулем, а число — аргументом комплексного числа z. Они обозначаются так: Отметим, что аргумент данного числа z определен неоднозначно, а с точностью до слагаемого где а модуль числа имеет значение

Значение аргумента, удовлетворяющее неравенствам называется главным и обозначается Аргумент комплексного числа z=0 не определен, а его модуль равен нулю.

Пример:

Представить в тригонометрической форме следующие числа: 1)
Решение. 1) Для имеем:Этим значениям косинуса и синуса соответствует значение аргумента Следовательно,

2) Для z=5 имеем: Таким образом,

3) Для z=i имеем: Следовательно,

В тригонометрической форме удобно выполнять действия умножения и деления комплексных чисел. Пусть Тогда

т. е. при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. В случае деления комплексных чисел при имеют место соотношения

Если перемножаются n равных комплексных чисел то Если положить р=1, то получим формулу

которая называется формулой Муавра.

Предел последовательности комплексных чисел

Теорию пределов, рассмотренную ранее для последовательностей вещественных чисел, можно обобщить и на случай последовательностей комплексных чисел; при этом многие определения, связанные с предельным переходом, полностью повторяются.

Рассмотрим последовательность комплексных чисел

Комплексное число называется пределом последовательности , если для любого существует номер N такой, что при n>N выполняется неравенство Последовательность в этом случае называется сходящейся к числу а, что записывается в виде

Геометрически это означает, что для любого , начиная с некоторого номера N, зависящего от , все элементы последовательности попадут в круг радиуса с центром в точке а, и точки с возрастанием n неограниченно приближаются к точке а. Это следует из равенств где — расстояние между точками т. е. между точками, изображающими числа

Каждое комплексное число является упорядоченной парой вещественных чисел , поэтому последовательности соответствуют две последовательности вещественных чисел и , составленные соответственно из вещественных и мнимых частей элементов последовательности .
Имеет место следующая теорема.

Теорема:

Необходимым и достаточным условием сходимости последовательности является сходимость последовательностей вещественных чисел и .

Доказательство. Необходимость. Пусть . Тогда для любого существует номер N такой, что при n>N выполняется неравенство Отсюда при n>N и, следовательно,

Достаточность. Пусть и пусть
Тогда из соотношения следует, что

Эта теорема позволяет перенести основные результаты теории пределов для последовательностей вещественных чисел на последовательности комплексных чисел.

Числовые ряды с комплексными членами

Составим ряд из комплексных чисел
где Ряд (2) называется сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм
суммой ряда.

Ряду (2) с комплексными членами соответствуют два вещественных ряда Так же как для последовательности комплексных чисел (см. теорему 14.18), можно доказать, что для сходимости ряда (2) необходимо и достаточно, чтобы сходились ряды При этом, если

Для изучения сходимости ряда (2) полезна следующая теорема. Теорема:

Пусть дан ряд с комплексными членами

Доказательство. Пусть ; тогда Поэтому согласно признаку сравнения рядов с вещественными членами (см. теорему 14.6) из сходимости ряда (4) вытекает, что ряды сходятся. Следовательно, сходятся, и притом абсолютно, ряды а этого достаточно для сходимости ряда (3).

Если ряд (4) сходится, то говорят, что ряд (3) сходится абсолютно.

Доказанная теорема позволяет применять при исследовании сходимости рядов с комплексными членами все достаточные признаки сходимости рядов с неотрицательными вещественными членами.

Пример:

Исследовать на сходимость ряд
Решение. Данный ряд сходится абсолютно, так как, применяя к ряду, составленному из модулей его членов, признак Даламбера, получаем

Степенные ряды с комплексными членами

Ряд вида где z — комплексная переменная; — комплексные числа, называется степенным рядом. Как и для вещественных чисел, ограничимся рассмотрением степенных рядов вида
Ряд (5) приводится к виду (6) с помощью подстановки z—a=t.

Для определения области сходимости степенного ряда (6) используют теорему Абеля (см. теорему 14.11), которая формулируется идоказывается, как и для вещественных чисел. Приведем формулировку теоремы.

Теорема:

1) Если степенной ряд (6) сходится при то он сходится, и притом абсолютно, для всех z, удовлетворяющих условию 2) если ряд (6) расходится при то он расходится для всех z, удовлетворяющих условию

Рассмотрим геометрическое истолкование теоремы Абеля. Если — точка сходимости ряда (6), то во всех точках, расположенных внутри круга радиуса с центром в начале координат, ряд сходится абсолютно, а если — точка расходимости ряда (6), то во всех точках, расположенных вне круга радиуса с центром в начале координат, ряд расходится (рис. 218).

Аналогично тому, как это было сделано для степенных рядов в случае вещественных чисел, можно установить вид области сходимости ряда (6).

Теорема:

Если ряд (6) сходится не при всех значениях z и не только при z=0, то существует число R>0 такое, что ряд сходится абсолютно при и расходится при

Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 14. 12. Круг на комплексной плоскости с центром в начале координат и радиусом R называют кругом сходимости степенного ряда (6), а число R — радиусом сходимости. На границе круга сходимости вопрос о сходимости ряда решается, как и в случае вещественных чисел, дополнительным исследованием.

Если степенной ряд (6) сходится только в точке z=0, то полагают R=0, если же ряд сходится при любом значении z, т. е. на всей комплексной плоскости, то считают .

Радиус сходимости степенного ряда (6) можно находить так же, как и в случае вещественных чисел.

Пример:

Найти радиус схождения степенного ряда
Решение:

Имеем

Следовательно, ряд сходится при любом значении z.
Рассмотрим ряд

Очевидно, внутри круга сходимости ряда (7) его сумма f(z) является функцией комплексной переменной z. Функции комплексной переменной, представимые в виде степенных рядов, называются аналитическими. Изучение таких функций выходит за рамки данного курса.

Формулы Эйлера

Установим с помощью степенных рядов две формулы, которые имеют широкое применение.
В § 5 было получено разложение функции в степенной ряд, сходящийся при любом значении х:
Если вещественную переменную х заменить комплексной переменной z, то получим ряд по степеням z:
сходящийся, как это следует из только что рассмотренного примера, при всех значениях z. Обозначим его сумму через . Таким образом, по определению, для любого комплексного числа z

Сумму ряда (9) называют показательной функцией комплексной переменной z.

Аналогично определяются тригонометрические функции sin z и cos z комплексной переменной z:

Между показательной функцией и тригонометрическими функциями sin z и cos z существует простая связь. Подставим в (9) iz вместо z и сгруппируем в правой части все слагаемые, содержащие множитель i и не содержащие этот множитель:

Сравнивая полученный результате формулами (10) и (11), получаем
Далее, подставляя в (9) —iz вместо z, имеем

Формулы (12) и (13) называются формулами Эйлера. Они устанавливают связь между показательной и тригонометрическими функциями комплексной переменной z. Если почленно сложить и вычесть равенства (12) и (13), то получим другую запись формул Эйлера:

Таким образом, функции связаны соотношениями (12) —(14). При z=x (x — вещественная переменная) эти функции комплексной переменной совпадают соответственно с функциями вещественной переменной.

Тригонометрический ряд и его основные свойства

Ряд вида называется тригонометрическим рядом, а числа — коэффициентами тригонометрического ряда.

В отличие от степенного ряда, рассмотренного ранее, в тригонометрическом ряде вместо простейших функций взяты тригонометрические функции
которые также хорошо изучены.

Прежде всего отметим, что все функции системы (2) являются периодическими с периодом В самом деле, постоянная 1/2 имеет любой период, а период функций равен и, следовательно, число также их период. Очевидно, что каждый член тригонометрического ряда (1) является периодической функцией с периодом Поэтому и любая частичная сумма ряда (1) -периодична (если все члены ряда не меняются от замены х на то и сумма его не изменяется от этой замены). Отсюда следует, что если ряд (1) сходится на отрезке , то он сходится на всей числовой прямой и его сумма, будучи пределом последовательности периодических частичных сумм, является периодической функцией с периодом

Поэтому тригонометрические ряды особенно удобны при изучении периодических функций, описывающих различные периодические процессы, которые имеют место в природе и технике. Примерами периодических процессов служат колебательные и вращательные движения различных деталей машин и приборов, периодическое движение небесных тел и элементарных частиц, акустические и электромагнитные колебания и др.

Другим важным свойством функций системы (2) является их ортогональность на отрезке в следующем смысле: интеграл по отрезку от произведения любых двух различных функций этой системы равен нулю, а интеграл по отрезку от квадрата любой функции этой системы отличен от нуля.

Действительно, что и требовалось показать.

Ряд Фурье

Аналогично степенному ряду, для тригонометрического ряда имеет место следующая теорема.

Теорема:

Если функция f (х) определена и интегрируема на отрезке , разлагается в тригонометрический ряд
который можно интегрировать почленно, то это разложение единственно.

Доказательство:

Интегрируя (7), получаем откуда, учитывая (3), находим

Для, определения коэффициента при (k — натуральное число) умножим равенство (7) на и проинтегрируем по х от . Тогда на основании формул (3)—(6) получаем

Аналогично, умножая равенство (7) на sin kx и интегрируя в пределах от на основании тех же формул получаем

Таким образом, коэффициенты ряда (7) определяются единственным образом формулами (8) — (10), что и доказывает теорему. ■

Эта теорема дает основание ввести следующее определение.

Определение:

Пусть f (х) — функция, определенная и интегрируемая на отрезке . Тогда числа найденные по формулам (8) — (10), называются коэффициентами Фурье, а ряд
с этими коэффициентами называется рядом Фурье функции f(х).

Сходимость ряда Фурье

Введем понятие периодического продолжения функции f (х), заданной на отрезке .

Будем говорить, что функция F(х), определенная на всей числовой прямой и периодическая с периодом , является периодическим продолжением функции f(х), если на отрезке

Очевидно, что если на отрезке ряд Фурье сходится к функции f(х), то он сходится на всей числовой прямой к ее периодическому продолжению.

Установим, при каких условиях ряд Фурье функции f(х) сходится к этой функции.

Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.

Теорема:

Пусть функция f(х) и ее производная f'(х) — непрерывные функции на отрезке или же имеют на нем конечное число точек разрыва 1-го рода. Тогда ряд Фурье функции f(х) сходится на всей числовой прямой, причем в каждой точке , в которой f(х) непрерывна, сумма ряда равна f(х), а в каждой точке разрыва функции сумма ряда равна

где На концах отрезка сумма ряда равна

В любой точке сумма ряда Фурье равна F(х), если х — точка непрерывности F(х), и равна если х — точка разрыва F(х), где F(x) — периодическое продолжение f(x).

Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Пусть функция f(х) определена на отрезке и является четной, т. е. f(—x)=f(х). Тогда ее коэффициенты Фурье равны нулю. Действительно,

В первом интеграле в квадратных скобках сделаем замену переменной. Положим х= —t. Тогда dx= — dt; если если х=0, то t=0. Принимая во внимание, что функция f(х) четная, а функция sin х — нечетная, получаем(напомним, что определенный интеграл на зависит от обозначения переменной интегрирования).

Аналогично, учитывая, что функции f(х) и cos х четные, можно получить следующие выражения для коэффициентов:
Пусть теперь функция f (х), определенная на отрезке , нечетная, т. е. f(x)= —f(— x). Тогда, используя рассуждения, аналогичные приведенным выше, можно показать, что коэффициенты Фурье равны нулю, а коэффициенты определяются выражениями вида

Таким образом, если функция f(x) четная, то ряд Фурье содержит только косинусы и только синусы, если функция f(х) нечетная. Формулы (11) и (12) позволяют упростить вычисление коэффициентов Фурье, когда заданная функция является четной или нечетной.

Пример:

Рассмотрим функцию f(x)=x. Эта функция удовлетворяет условиям теоремы 14.23 и, следовательно, может быть разложена в ряд Фурье. Так как она нечетная, то ее коэффициенты Фурье находятся по формуле (12). ИмеемТаким образом, получаем ряд Фурье данной функции

Это равенство справедливо для любого В точках сумма ряда Фурье по теореме 14.23 не совпадает со значениями функции f(x)=x, а равна Вне отрезка сумма ряда является периодическим продолжением функции f(x)=x; ее график изображен на рис. 219, а.

Пример:

Рассмотрим функцию Эта функция удовлетворяет условиям теоремы 14.23 и, следовательно, может быть разложена в ряд Фурье. Так как она четная, то ее коэффициенты Фурье находятся по формулам (11). Имеем

Значит, ряд Фурье данной функции имеет вид

Это равенство справедлив для любого , так как в точках сумма ряда в данном случае совпадает со значениями функции поскольку . Графики функции и суммы данного ряда Фурье изображены на рис. 219, б.

Ряд Фурье с периодом 2l

Пусть функция f(х) определена на отрезке (l — произвольное положительное число) и удовлетворяет на этом отрезке условиям теоремы 14.23. Разложим ее в ряд Фурье.

Пусть функция f(х) определена на отрезке (l — произвольное положительное число) и удовлетворяет на этом отрезке условиям теоремы 14.23. Разложим ее в ряд Фурье.

Введем новую переменную по формуле

и рассмотрим функцию

Очевидно, функция определена на отрезке и удовлетворяет на нем условиям теоремы 14.23.

Разложим функцию на отрезке в ряд Фурье

Вернемся теперь к старой переменной х:
Тогда формула (13) принимает вид

Формула (14) и есть ряд Фурье с периодом 2l.

Пример:

Разложить в ряд Фурье с периодом 2l функцию f (х), которая на отрезке задается формулой
Решение. Так как функция четная, то

Следовательно, ряд Фурье функции f(х) имеет вид Функция удовлетворяет условиям теоремы 14.23 и полученное равенство справедливо для любого , а это значит, что ряд сходится на всей числовой прямой и его суммой является функция, график которой изображен на рис. 220.

Отметим, что ряды Фурье имеют очень широкое применение как в теоретических исследованиях, так и в практических задачах.

Ряды — решение заданий и задач по всем темам с вычислением

При изучении темы «Ряды» вы познакомитесь с понятиями сходимости, суммы и остатка ряда, научитесь исследовать сходимость
числовых рядов, применяя теоремы сравнения и различные признаки сходимости. Вы познакомитесь с понятиями функционального и степенного рядов, научитесь находить их области сходимости и суммы. Вы узнаете, что такое ряд Тейлора, научитесь находить разложения функций в ряд Тейлора и применять полученные разложения в приближенных вычислениях.

Понятие суммы ряда

Постановка задачи. Найти сумму ряда

где A,p,q — целые числа.

План решения. Суммой ряда называется предел S последовательности его частичных сумм т.е.

где

1.По условию задачи

Если корни знаменателя различаются на целое число, т.е. +pn+q =
= (n + а)(n + а + k), где k — натуральное число, то члены довательности частичных сумм ряда легко найти, так как в
выражении многие слагаемые взаимно уничтожаются.

2.Разлагаем общий член ряда на элементарные дроби:

и выписываем несколько членов ряда так, чтобы было видно, какие
слагаемые сокращаются при вычислении частичных сумм ряда.

3.Находим n-ю частичную сумму ряда:

сократив соответствующие слагаемые.

4.Вычисляем сумму ряда по формуле (1)

и записываем ответ.

Пример:

Найти сумму ряда

Решение:

1.Корни знаменателя n = — 1 и n = — 4 различаются на целое
число, т.е. + 5n + 4 = (n + 1)(n + 1 + 3). Следовательно, члены следовательности частичных сумм ряда легко найти, так как
в выражении многие слагаемые взаимно уничтожаются.

2.Разлагаем общий член ряда на элементарные дроби

и выписываем несколько членов ряда:

3.Сокращая все слагаемые, какие возможно, находим n-ю частичную сумму ряда:

4.Вычисляем сумму ряда по формуле (1):

Ответ. S = 26.

Первая теорема сравнения

Постановка задачи. Исследовать сходимость ряда с неотрицательными членами

где — функции с известными наименьшими и наибольшими значениями (например, синус, косинус и т.п.), причем функция f монотонно зависит от

План решения.

1.Проверяем, что (если то ряд
расходится, так как не выполнено необходимое условие сходимости
ряда).

2.Поскольку применяем первую теорему сравнения.

Пусть даны два ряда с неотрицательными членами и

Если то из сходимости ряда следует сходимость ряда

Если то из расходимости ряда следует расходимость ряда

3.Чтобы сделать вывод о сходимости (расходимости) данного
ряда, мы должны установить справедливость одной из двух гипотез
(проверяем их в любом порядке).

I. Исходный ряд сходится.

II. Исходный ряд расходится.

I. Проверяем первую гипотезу. Чтобы установить, что исходный
ряд сходится, нужно найти сходящийся ряд
такой, что

В качестве эталонного ряда используем один из следующих рядов:

а) сходящийся гармонический ряд при р>1;

б) сходящийся геометрический ряд при 0 < q < 1 (с — некоторое положительное число). Если существует сходящийся ряд такой, что выполняется неравенство (1), то по первой теореме сравнения исходный ряд сходится. В противном случае, проверяем вторую гипотезу.

П. Чтобы установить, что исходный ряд расходится, надо найти расходящийся ряд такой, что

В качестве эталонного ряда используем один из следующих
рядов:

а) расходящийся гармонический ряд при

б) расходящийся геометрический ряд при (с — некоторое положительное число).

Если существует расходящийся ряд такой, что выполняется неравенство (2), то по первой теореме сравнения исходных ряд расходится.

Замечание. Для оценки общего члена ряда используем неравенства

Пример:

Исследовать сходимость ряда

Решение:

1.Имеем

т.е. необходимое условие сходимости ряда выполнено.

2.Так как и при всех и

то можно применить первую теорему сравнения.

3.Чтобы сделать вывод о сходимости (расходимости) данного
ряда, мы должны установить справедливость одной из двух гипотез
(проверяем в любом порядке).

I. Исходный ряд сходится.

Поскольку имеем и, следовательно,

Так как ряд

расходится как гармонический с р = 1/2 < 1, то гипотеза о сходимости исходного ряда не подтвердилась.

Проверяем вторую гипотезу.

П. Исходный ряд расходится.

Поскольку имеем и, следовательно,

Так как ряд

расходится как гармонический с р = 1/2 < 1, то в силу неравенства
(3) по первой теореме сравнения расходится и исходный ряд.

Ответ. Ряд расходится.

Вторая теорема сравнения

Постановка задачи. Исследовать сходимость ряда с положительными членами

План решения.

1.Проверяем, что (если то ряд
расходится, так как не выполнено необходимое условие сходимости
ряда).

2.Проверяем, что для всех

3.Делаем вывод о сходимости или расходимости данного ряда,
используя вторую (предельную) теорему сравнения.

Пусть даны два ряда причем существует
номер N такой, что при всех n>N

Если существует конечный и отличный от нуля предел

то ряды либо оба сходятся, либо оба расходятся.

В качестве эталонного ряда используем гармонический
ряд который сходится при р > 1 и расходится при или геометрический ряд (q > 0), который сходится при
g < 1 и расходится при Таким образом, нужно найти последовательность (или ) такую, что

(или ) при

Вывод: по второй теореме сравнения исходный ряд сходится, если
р > 1 (q < 1), и расходится, если

Пример:

Исследовать сходимость ряда

Решение:

1.Имеем

2.Проверяем, что члены данного ряда положительны. Действительно,

при всех так как

3.Делаем вывод о сходимости или расходимости данного ряда,
используя вторую (предельную) теорему сравнения.

Имеем

при

Ряд

сходится как гармонический с р = 4 > 1. Следовательно, в силу второй (предельной) теоремы сравнения исходный ряд также сходится.

Ответ. Ряд сходится.

Признак Даламбера

Постановка задачи. Исследовать сходимость ряда с положительными членами

где и содержит произведения многих сомножителей
(например, факториалы).

План решения. Если при вычислении предела

можно сократить многие множители в числителе и знаменателе дроби то обычно применяют признак Даламбера.

Пусть дан ряд с положительными членами

Если существует предел

то при ряд сходится, при расходится. (Если то
признак Даламбера ответа не дает.)

1.Проверяем, что при всех

2.Упрощаем, если требуется, выражение для т.е. будем исследовать сходимость ряда такого, что при а затем воспользуемся второй теоремой сравнения.

3.Вычисляем

4.Вычисляем предел

5.Применяем признак Даламбера и вторую теорему сравнения.

Если , ряд сходится. Следовательно, по второй теореме сравнения сходится и исходный ряд

Если , ряд расходится. Следовательно, по второй
теореме сравнения расходится и исходный ряд

Пример:

Исследовать сходимость ряда

Решение:

1.Проверяем, что члены ряда положительны. Действительно,

при всех

2.Поскольку при можно упростить выражение
для

т.е. будем исследовать сходимость ряда где

и затем воспользуемся второй теоремой сравнения.

Поскольку содержит произведения сомножителей типа факториалов, следует применить признак Даламбера.

3.Вычисляем

4.Вычисляем по формуле (1)

5.Применяем признак Даламбера и вторую теорему сравнения.

Так как то ряд

расходится. Следовательно, по второй теореме сравнения расходится
и исходный ряд.

Ответ. Ряд расходится.

Признак Коши

Постановка задачи. Исследовать сходимость ряда с положительными членами

где и существует и легко вычисляется.

План решения. Если имеет, например, вид где f
и g — рациональные функции n, то существует и легко вычисляется. В таком случае применяем радикальный признак Коши.

Пусть дан ряд с положительными членами

Если существует предел

то при ряд сходится, при расходится. (Если то
признак Коши ответа не дает.)

1.Проверяем, что при всех

2.Упрощаем, если требуется, выражение для т.е. будем исследовать сходимость ряда такого, что при а затем воспользуемся второй теоремой сравнения.

3.Вычисляем предел

4.Применяем радикальный признак Коши и вторую теорему сравнения.

Если ряд сходится. Следовательно, по второй теореме сравнения сходится и исходный ряд

Если ряд расходится. Следовательно, по второй
теореме сравнения расходится и исходный ряд

Замечание. Полезно иметь в виду, что

где Р(n) — многочлен относительно n.

Пример:

Исследовать сходимость ряда

Решение:

1.Проверяем, что члены ряда положительны. Действительно,

при всех

2.Поскольку при упрощаем выражение для

т.е. будем исследовать сходимость ряда где

и затем воспользуемся второй теоремой сравнения.

Очевидно, что существует и легко вычисляется. В
таком случае применяем радикальный признак Коши.

3.Вычисляем по формуле (1), учитывая, что

4.Применяем радикальный признак Коши и вторую теорему сравнения.

Так как то ряд

сходится. Следовательно, по второй теореме сравнения сходится и
исходный ряд.

Ответ. Ряд сходится.

Интегральный признак Коши

Постановка задачи. Исследовать сходимость ряда с положительными членами

где причем первообразная функции f(x) легко вычисляется.

План решения. Если причем первообразная функции
f(x) легко вычисляется, то применяем интегральный признак Коши.

Если функция f(х), принимающая в точках значения
убывает в некотором промежутке то ряд и несобственный интеграл либо оба сходятся, либо оба расходятся.

1.Упрощаем, если требуется, выражение для т.е. будем исследовать сходимость ряда такого, что при и выбраны так, чтобы функция f(x) имела очевидную первообразную F(x). Затем используем вторую теорему сравнения.

2.Исследуем сходимость несобственного интеграла по определению:

3.Применяем интегральный признак Коши к ряду

и затем делаем вывод о сходимости или расходимости исходного ряда
используя вторую теорему сравнения.

Замечание. Интегральный признак Коши применяется, в частности, к рядам вида

Пример:

Исследовать сходимость ряда

Решение:

1.Упрощаем выражение для

и будем исследовать сходимость ряда с помощью интегрального признака Коши, так как функция имеет очевидную первообразную F(x) = 3 ln ln x. Затем используем вторую теорему сравнения.

2.Исследуем сходимость несобственного интеграла по определению:

Интеграл расходится.

3.Применяем интегральный признак Коши:

Функция непрерывна в промежутке и убывает в нем к нулю. Следовательно, из расходимости интеграла следует расходимость ряда

По второй теореме сравнения расходится и исходный ряд.

Ответ. Ряд расходится.

Признак Лейбница

Постановка задачи. Исследовать сходимость знакочередующегося ряда

План решения.

1.Проверяем, что (если то ряд
расходится, так как не выполнено необходимое условие сходимости
ряда).

2.Исследуем сходимость ряда, составленного из модулей,

используя теоремы сравнения и признаки сходимости для рядов с положительными членами.

Если ряд из модулей сходится, то исходный ряд сходится абсолютно.

3.Если ряд из модулей расходится, то остается еще возможность
того, что исходный ряд сходится условно.

Чтобы исследовать эту возможность, применяем признак Лейбница.

Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной
величине и стремятся к нулю при то ряд сходится (по
крайней мере, условно).

В данном случае, если условия признака Лейбница выполнены, то
исходный ряд сходится условно (так как уже выяснено, что абсолютно он не сходится).

Пример:

Исследовать сходимость ряда

Решение:

1.Проверим выполнение необходимого условия сходимости:

2.Исследуем сходимость ряда, составленного из модулей:

Так как при

то по второй (предельной) теореме сравнения ряд из модулей расходится.

3.Проверяем условия признака Лейбница:

а) ряд знакочередующийся с

б) члены ряда убывают по абсолютной величине:

в) члены ряда стремятся к нулю при (см. п. 1).

Следовательно, по признаку Лейбница исходный ряд сходится.

Ответ. Ряд сходится условно.

Приближенное вычисление суммы ряда

Постановка задачи. Вычислить сумму знакочередующегося
числового ряда

с заданной точностью

План решения.

1.Если то для остатка ряда справедливо неравенство

2.Если то и Поэтому, решая неравенство

находим количество членов ряда, которое необходимо взять для вычисления суммы ряда с заданной точностью

3.Непосредственно вычисляем n-ю частичную сумму и записываем ответ:

Пример:

Вычислить сумму ряда

с точностью

Решение:

1.Данный ряд знакочередующийся и сходящийся (абсолютно).
Члены ряда убывают по абсолютной величине:

Следовательно, справедливо неравенство

2.Если то и Поэтому, решая неравенство

находим количество членов ряда, которое необходимо взять для вычисления суммы ряда с заданной точностью Получаем т.е. достаточно взять первые три члена ряда.

3.Вычисляем:

Ответ:

Область сходимости функционального ряда

Постановка задачи. Найти область сходимости функционального ряда

План решения. При каждом допустимом значении х рассматриваем данный ряд как числовой и исследуем его сходимость, применяя
теоремы сравнения, признаки Коши, Даламбера и др. Таким образом
находим те значения ж, при которых данный ряд сходится. Совокупность таких значений х образует область сходимости ряда.

При использовании признаков Даламбера или Коши поступаем
следующим образом.

1.Находим по одной из формул (если пределы существуют)

где — общий член ряда.

2.Так как по признакам Даламбера или Коши ряд сходится при
и расходится при находим интервал сходимости, решая неравенство

2.Исследуем поведение ряда в граничных точках интервала сходимости.

Записываем ответ.

Пример:

Найти область сходимости ряда

Решение:

1.Для каждого фиксированного х все члены данного ряда положительны:

2.Используем вторую (предельную) теорему сравнения. Имеем

при

Так как при 2(х + 1) — 3 > 1 ряд

сходится, а при расходится (как обобщенный гармонический), то по второй теореме сравнения ряд

сходится при всех х > 1.

Ответ. Область сходимости ряда

Пример:

Найти область сходимости ряда

Решение:

Для того чтобы применить признак Даламбера, находим
по формуле

2.Так как по признаку Даламбера ряд сходится при и расходится при находим интервал сходимости, решая неравенство

Получаем

3.Исследуем сходимость ряда в граничных точках:
при х = 1 ряд

сходится (как обобщенный гармонический с р = 3 > 1);

при х = 3 ряд

также сходится.

Ответ. Область сходимости ряда

Область сходимости степенного ряда

Постановка задачи. Найти область сходимости степенного
ряда

План решения.

1. Если существуют пределы

то можно найти радиус сходимости степенного ряда по формуле Даламбера

или по формуле Коши

Тогда интервал сходимости ряда есть

Замечание:

Формулы (1) и (2) применимы лишь тогда, когда все коэффициенты степенного ряда отличны от нуля. В противном случае находим по одной из формул

где — общий член ряда (см. задачу 10.9). По признакам Даламбера или Коши ряд сходится при и расходится при Следовательно, находим интервал сходимости, решая неравенство

2.Исследуем поведение степенного ряда в граничных точках интервала сходимости

Записываем ответ.

Пример:

Найти область сходимости ряда

Решение:

1.В данном случае при всех n. Поэтому можно применить формулы (1) или (2) для радиуса сходимости степенного
ряда.

По формуле Даламбера

Следовательно, интервал сходимости определяется неравенствами
— 1 <x + 1 < 1 и имеет вид (—2, 0).

2.Исследуем сходимость ряда в граничных точках интервала сходимости. В точке х = — 2 степенной ряд принимает вид

и в точке х = 0 степенной ряд принимает вид

Оба ряда расходятся, так как не удовлетворяют необходимому условию сходимости рядов:

Следовательно, в этих точках ряд расходится.

Ответ. Область сходимости степенного ряда — (—2,0).

Пример:

Найти область сходимости ряда

Решение:

1.В данном случае при всех нечетных n. Поэтому нельзя
применять формулы для радиуса сходимости степенного ряда.

Используем признак Коши, для чего вычислим

где

Находим

По признаку Коши ряд сходится при и расходится при Следовательно, интервал сходимости определяется неравенством и имеет вид (1, 3).

2.Исследуем сходимость ряда в граничных точках интервала сходимости. В точке х = 1 ряд

расходится.

В точке х = 3 ряд

расходится.

Ответ. Область сходимости степенного ряда — (1, 3).

Вычисление суммы ряда почленным интегрированием

Постановка задачи. Найти сумму функционального ряда вида

и указать область сходимости ряда к этой сумме.

План решения.

1.Находим область сходимости ряда.

По признаку Коши интервал сходимости определяется неравенством

Если f(x) = 1, ряд расходится. Если f(x) = — 1, ряд сходится условно
(по признаку Лейбница). Следовательно, область сходимости определяется неравенствами

2.Делаем в исходном ряде замену f(x) = t, получим степенной
ряд

с областью сходимости [—1,1).

3.Известна формула для вычисления суммы членов бесконечно
убывающей геометрической прогрессии

4.Кроме того, имеем очевидное равенство

5.Учитывая, что степенной ряд можно почленно интегрировать
на любом отрезке [0, t], целиком принадлежащем интервалу сходимости, и используя формулу (2), получаем

Заметим, что так как ряд (1) сходится в граничной точке t = — 1,
то сумма ряда непрерывна в этой точке (справа). Следовательно,

6.Вычисляем интеграл, делаем замену t на f(x) и записываем
ответ: сумму ряда и область его сходимости.

Замечание:

Если ряд имеет вид

то применяем теорему о почленном интегрировании степенного ряда
дважды или разлагаем дробь на элементарные:

и вычисляем сумму каждого ряда почленным интегрированием.

Пример:

Найти сумму ряда

и указать область сходимости ряда к этой сумме.

Решение:

1.Находим область сходимости ряда.

По признаку Коши интервал сходимости определяется неравенством

В граничных точках при ряд расходится, при х =
ряд сходится условно.

Следовательно, данный ряд сходится при всех

2.Сделаем замену sin x = t. Получим геометрический ряд (1) с
областью сходимости [—1,1).

3.Используем формулу для вычисления суммы членов бесконечно
убывающей геометрической прогрессии

4.Кроме того, имеем очевидное равенство

5.Учитывая, что степенной ряд можно почленно интегрировать
на любом отрезке [0, t], целиком принадлежащем интервалу сходимости, и используя формулу (4), получаем

Заметим, что так как ряд (1) сходится в граничной точке t = —1,
то его сумма непрерывна в этой точке (справа). Следовательно, формула (5) справедлива при всех

6.Заменяя t на sin x, получаем при

S(x) = — ln (1 — sin x).

Ответ.

Вычисление суммы ряда почленным дифференцированием

Постановка задачи. Найти сумму функционального ряда вида

и указать область сходимости ряда к этой сумме.

План решения.

1.Находим область сходимости ряда.

По признаку Коши интервал сходимости определяется неравенством

Если f(x) = ±1, ряд расходится (не выполнено необходимое условие
сходимости). Следовательно, область сходимости определяется неравенствами — 1 < f(x) < 1.

2.Делаем в исходном ряде замену f(x) = t и записываем его в
виде суммы двух рядов

Следовательно, достаточно найти суммы рядов

3.Известна формула для суммы членов бесконечно убывающей
геометрической прогрессии

4.Кроме того, имеем очевидное равенство

5.Учитывая, что степенной ряд можно почленно дифференцировать в любой точке интервала сходимости, и используя формулу (1),
получаем

6.Вычисляем производную и делаем замену t на f(x).

Записываем ответ: сумму ряда и область его сходимости.

Замечание:

Если ряд имеет вид

то вычисляем сумму трех рядов, причем при вычислении суммы ряда

применяем теорему о почленном дифференцировании степенного ряда дважды.

Пример:

Найти сумму ряда

и указать область сходимости ряда к этой сумме.

Решение:

1.Находим область сходимости ряда.

По признаку Коши интервал сходимости определяется неравенством Отсюда — 1 < х < 1. В граничных точках х = ±1 ряд
расходится, так как не выполнено необходимое условие сходимости.
Следовательно, ряд сходится в интервале (—1,1).

2.Делаем в исходном ряде замену и записываем его в виде
суммы двух рядов

Следовательно, достаточно найти суммы рядов

3.Используем формулу для вычисления суммы членов бесконечно
убывающей геометрической прогрессии:

Следовательно, при всех

4.Кроме того, имеем очевидное равенство

5.Учитывая, что степенной ряд можно почленно дифференцировать в любой точке интервала сходимости, и используя формулу (2),
получаем

Таким образом,

Заменяя t на получим

Ответ.

Ряд Тейлора

Постановка задачи. Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора
по степеням х

План решения.

1.Преобразуем функцию f(x) к виду, допускающему использование табличных разложений sin х, cos х, ln(1 + х).

2.Находим разложение функции в ряд Тейлора, используя табличные разложения, сложение (вычитание) рядов, умножение ряда на
число.

3.Определяем область сходимости полученного ряда к функции f(x).

Замечание:

Если необходимо разложить функцию в ряд Тейлора
по степеням сначала делаем замену переменной находим разложение по степеням t и возвращаемся к переменной х.

Пример:

Разложить функцию

в ряд Тейлора по степеням

Решение:

1.Чтобы использовать табличные разложения, разложим данную
функцию на элементарные дроби:

2.Используя табличное разложение

получим

Таким образом,

3.Областью сходимости полученного ряда является пересечение
вышеуказанных областей сходимости, т.е.

Ответ.

Приближенные вычисления с помощью степенных рядов

Постановка задачи. Вычислить интеграл

с точностью где f(x) разложима в степенной ряд, имеющий радиус сходимости R > b.

План решения. Практические вычисления обычно сводятся к
суммированию того или иного числового ряда. В данном случае такой ряд получается, если разложить подынтегральное выражение в
степенной ряд и проинтегрировать его почленно.

1.Разлагаем подынтегральную функцию в степенной ряд по степеням

и определяем его область сходимости.

2.Степенной ряд можно интегрировать почленно по любому отрезку, принадлежащему интервалу сходимости. Поэтому, интегрируя почленно полученный ряд и используя формулу Ньютона-Лейбница, получаем

3.Вычисляем сумму числового ряда с заданной точностью (оценивая остаток ряда).

Замечание. Если разложить подынтегральную функцию в ряд
не по степеням x, а по степеням х — b/2, то ряд будет сходится быстрее, т.е. для обеспечения заданной точности может потребоваться меньше слагаемых, однако в итоге вычисления оказываются более сложными.

Пример:

Вычислить интеграл

с точностью

Решение:

1.Разлагаем подынтегральную функцию в ряд Тейлора по степеням х:

Разложение справедливо при всех х.

2.Интегрируем почленно полученный ряд:

3.Оценим остаток ряда. Так как ряд знакочередующийся,

и то справедливо неравенство

Для вычисления интеграла с заданной точностью достаточно
взять два члена ряда, так как

4.Производя вычисления, получаем

Ответ.

Как решать Ряды — подробная инструкция с примерами

Числовой ряд и его сходимость

1°. Если — бесконечная числовая
последовательность, то выражение

называется числовым рядом, a — общим членом ряда. Положим

последовательность частичных сумм исходного ряда (1).

Если существует конечный предел то число S
называется суммой ряда (1), а ряд называется сходящимся. Если же

или вовсе не существует, то ряд (1) называется расходящимся. Будем говорить, что ряд (1) расходится к

2°. Необходимое условие сходимости нли достаточное условие расходимости —

Теорема:

1) Если числовой ряд (1) сходится, то

2) Если , то числовой ряд (I) расходится.

3°. Положим

Величина называется m-м остатком ряда. Если ряд сходится, то

Теорема:

Ряды

сходятся или расходятся одновременно.

Иными словами, на сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа его членов.

4°. Следующие свойства, связанные с линейными действиями над числовыми рядами вытекают из определения сходимости.

Теорема:

Если ряд сходится и его сумма равна S, то ряд ( С — константа) также сходится, и его сумма равна

Теорема:

Если ряды сходятся и их суммы соответственно равны А и В, то ряды

также сходятся и их суммы соответственно равны А + В и А — В. 1.2.

Признаки сравнения для рядов с положительными членами

1°. Если члены ряда положительны то последовательность его частичных сумм монотонно возрастает. Следовательно, для сходимости знакоположительного ряда необходима и достаточна ограниченность последовательности

2°. Пусть — два ряда с положительными членами.

Теорема:

Предположим, что неравенства (С > 0 — константа) выполняются при всех значениях п, начиная с некоторого номера Тогда:

1) из сходимости ряда В следует сходимость ряда А;

2) из расходимости ряда А следует расходимость ряда В.

Теорема:

Предположим, что Тогда ряды А и В сходятся или расходятся одновременно.

Теоремы сходимости 5 и 6 предполагают, что для исследования на сходимость некоторого ряда нужен соответствующий «эталон». Часто в качестве таких рядов для сравнения используются известные ряды:

— сходящаяся геометрическая прогрессия.

Признаки сходимости для рядов с положительными членами

1°. Следующие ниже теоремы 7 и 8 основаны на сравнении рассматриваемого ряда с положительной геометрической прогрессией, т.е. с рядом 1).

Известно, что

известно также, что только при |q| < 1, а при предел либо не существует, либо равен бесконечности.

Тем самым ряд сходится при |q| < 1 и расходится при

2°. Рассмотрим ряд с положительными членами.

Теорема:

Признак Даламбера. Предположим, что

1) Если q < 1, то ряд сходится.

2) Если q > 1, то ряд расходится.

3) Случай q = 1 совместим как со сходимостью, так и с расходимостью ряда (этот случай требует дополнительного исследования).

Теорема:

Признак Коши, радикальный. Предположим, что

1) Если q < 1, то ряд сходится.

2) Если q > 1, то ряд расходится.

3) Случай q — 1 совместим как со сходимостью так и с расходимостью ряда (требуется дополнительное исследование).

2°. Случаи 3) теорем 7 и 8 иногда удается исследовать при помощи следующего утверждения.

Теорема:

Признак Коши, интегральный. Пусть функция f(x) — положительная, непрерывная, монотонно убывающая на луче и если х = n, то n = 1,2,3,…. Тогда ряд

и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

На рис. 5.1 изображены: график функции у = f(x), значения n = 1,2,3,… и величины в виде вертикальных отрезков, заключенных между осью Ох и графиком функции.

Приведенные ниже оценки являются убедительной интерпретацией теоремы 9.

Площадь описанной ступенчатой фигуры (рис. 5.1, а) с основанием [1;N + 1] больше площади криволинейной трапеции с тем же основанием:

Площадь вписанной ступенчатой фигуры (рис. 5.1, б) с основанием [1;N + 1] меньше площади криволинейной трапеции с тем же основанием:

Вывод: из сходимости ряда следует сходимость интеграла, а из расходимости интеграла — расходимость ряда.

Примечание:

Известно , что несобственный интеграл сходится при любом р > 1 и расходится при любом

На основании теоремы 9 делаем вывод о сходимости ряда Дирихле — при р > 1 и его расходимости при

Ряд называется гармоническим рядом. Гармонический ряд расходится, как частный случай ряда Дирихле с р = 1.

Примеры с решениями

Пример:

Исследовать на сходимость ряд , если возможно, найти его сумму.

Решение:

Имеем

Составим частичную сумму и найдем ее предел. Заметьте, какие слагаемые взаимноуничтожаются (!). Имеем:

Ответ. Данный ряд сходится, и его сумма равна S=11

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

Решение:

На самом деле имеем дело с рядом Дирихле с который, как отметили выше, расходится. Тем не менее имеет смысл указать на возможность оценить снизу частичную сумму этого ряда. Имеем:

Отсюда, очевидно, следует, что

т.е. ряд расходится к

Ответ. Ряд расходится.

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

Решение:

Проверим необходимое условие сходимости (теорема 1). Имеем

Данный ряд расходится. Так как его члены положительны, то ряд расходится к

Ответ. Ряд расходится.

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

Решение:

Имеем

(предел не существует). Согласно теореме 1 данный ряд расходится. Вместе с этим имеем:

вовсе не существует.

Ответ. Ряд расходится.

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

Решение:

Применим признак Даламбера.

Ответ. Ряд сходится.

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

Решение:

Применим радикальный признак Коши. Имеем:

Ответ. Ряд сходится.

Пример:

Исследовать на сходимость ряд
Решение:

Предлагаем убедиться в том, что признаки Даламбера и Коши (радикальный) неприменимы, так как в этом случае q = 1. Применим интегральный признак Коши.

Имеем Положим Тогда и

Из сходимости несобственного интеграла вытекает сходимость ряда.
Ответ. Ряд сходится.

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

Решение:

Имеем

Ответ. Ряд расходится.

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

Решение:

Заметим, что необходимое условие сходимости выполняется:

Оно не обеспечивает сходимость ряда. Признак Даламбера:

совместим как со сходимостью, так и с расходимостью ряда. К этому же приводит и радикальный признак Коши (предлагаем убедиться в этом). Необходимо дополнительное исследование.

Нетрудно показать, что несобственный интеграл

расходится, а тогда расходится и исходный ряд (теорема 9).

Покажем, как можно применить признак сравнения (теорему 6). Для этого сначала определим порядок малости общего члена ряда. Имеем:

Принимаем в качестве ряда расходящийся гармонический рядИз полученного соотношения следует, что

Согласно теореме 6 данный ряд и гармонический ряд в смысле сходимости/расходимости ведут себя одинаково.

Ответ. Ряд расходится.

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

Решение:

Принимаем в качестве ряда для сравнения сходящийся ряд

(следствие из второго замечательного предела), то исследуемый ряд сходится.
Ответ. Ряд сходится.

Для увеличения количества эталонных, или шаблонных рядов (сходящихся или расходящихся) напомним известные эквивалентные бесконечно малые последовательности:

Сходимость знакопеременных рядов

1°. Числовой ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные.

Теорема:

Если ряд из абсолютных величин членов ряда сходится, то ряда также сходится.

2°. Если знакопеременный ряд vn сходится, то положительный ряд может при этом расходиться. Этим оправдано следующее определение.

Если наряду со сходящимся знакопеременным рядом сходится также ряд , то ряд называется сходящимся абсолютно.

Если ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называется сходящимся условно, или неабсолютно.

3°. Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд

Теорема:

Предположим, что знакочередующийся ряд

удовлетворяет двум условиям:

Тогда ряд сходится и его сумма

4°. Если требуется вычислить сумму S знакочередующегося ряда с точностью до то достаточно вычислить где n — наименьшее число, для которого

Примеры с решениями

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

Решение:

Данный ряд знакопеременный, так как при некоторых n € N, а при прочих n имеем

Ряд из абсолютных величин членов данного ряда сходится по теореме сравнения 5:

Из сходимости ряда Дирихле следует сходимость ряда а согласно теореме 10 сходится и данный ряд По определению его сходимость является абсолютной.

Пример:

Исследовать на сходимость

Решение:

Ряд составленный из абсолютных величин данного ряда, расходится (он сравним с расходящимся рядом Дирихле

Итак, данный ряд не может сходиться абсолютно. Проверим условия теоремы Лейбница, т.е. исследуем возможную условную сходимость.

1) Имеем

Последовательность монотонно убывает.

т.е. предел общего члена равен 0. Условия теоремы Лейбница выполняются — ряд сходится.

Ответ. Данный ряд сходится неабсолютно.

Пример:

Знакочередующийся ряд — расходится, так как

(теорема 1).

Пример:

Вычислить сумму ряда — с точностью до

Решение:

Согласно п. 4°достаточно вычислить, ибо

Имеем

Ответ. S = 0,973.

Функциональные ряды. Степенные ряды

1°. Функциональным рядом называется ряд где
— функции, определенные на некотором числовом множестве действительных чисел. Совокупность всех значений при которых соответствующий числовой ряд сходится, называется областью сходимости функционального ряда. В области сходимости сумма ряда S(x) является функцией переменной х. В каждой точке сходимости остаток ряда стремится к нулю:

2°. Функциональный ряд называется равномерно сходящимся (к сумме S(x)) на множестве X, если

Теорема:

Если существует сходящийся числовой ряд с положительными членами и если х € X, то функциональный ряд равномерно сходится на X.

3°. При условии равномерной сходимости функционального ряда некоторые свойства его членов переносятся на сумму ряда.

Теорема:

Сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций на отрезке [а; b] есть непрерывная функция на этом отрезке.

Теорема:

Предположим, что функции непрерывны на отрезке [а; b], а ряд равномерно сходится на этом отрезке к функции S(x). Тогда интеграл от суммы ряда равен сумме ряда интегралов его членов:

Другими словами: равномерно сходящийся ряд непрерывных функций можно интегрировать почленно.

Теорема:

Предположим, что функции имеют непрерывные производные на отрезке [a; b], а ряды

и равномерно сходятся на этом отрезке. Тогда

Другими словами: равномерно сходящийся ряд дифференцируемых функций можно дифференцировать почленно.

4°. Степенным рядом называется ряд вида:

Числа называются коэффициентами степенного ряда ( — коэффициент при ). Любой степенной ряд сходится при х = 0 к сумме

Ряд называют обобщенным степенным рядом, или рядом с центром в точке Заменой его можно привести к обычному степенному ряду, или ряду с центром в нуле

Теорема:

1) Предположим, что степенной ряд сходится при Тогда этот ряд сходится, и притом абсолютно, при всех значениях х, таких, что т.е. сходится абсолютно в интервале

2) Предположим, что степенной ряд расходится при Тогда он расходится также при всех х, таких, что т.е. ряд расходится на лучах и

5°. Из теоремы 16 следует, что для каждого степенного ряда существует число (возможно также ), обладающее свойствами:

1) при всех |х| < R степенной ряд сходится абсолютно;

2) при всех |х| > R ряд расходится;

3) при х = ±R соответствующие числовые ряды и могут сходиться или расходиться. п=0

При пункты 2) и 3) теряют смысл, а 1) означает, что в таком случае степенной ряд абсолютно сходится при каждом фиксированном значении

При R = 0 пункт 1) не имеет смысла, т.е. степенной ряд везде расходится, кроме х = 0.

Числом R называется радиусом сходимости степенного ряда, а интервал (—R; R) — интервалом сходимости этого ряда.

6°. Для некоторых степенных рядов радиус сходимости можно вычислить при помощи формул, выраженных через коэффициенты ряда.

1) Если существует предел

2) Если существует предел

3) В общем случае:

Под понимается наибольший из пределов сходящихся подпоследовательностей последовательности

Формула 1) принадлежит Даламберу, 2) — Коши, 3) — Коши и Адамару.

7°. Для степенных рядов имеют место теоремы 12-15 на каждом отрезке

Теорема:

Пусть сходящийся степенной ряд с радиусом сходимости R > 0 и суммой S(x). Тогда:

1) S(x) — непрерывная функция на каждом отрезке

2) ряд можно почленно дифференцировать в интервале (—R; R)

3) ряд можно почленно интегрировать в интервале (—R; R) и

Следствие:

Степенной ряд с положительным радиусом сходимости можно почленно дифференцировать или интегрировать любое число раз, и каждый полученный при этом ряд имеет тот же радиус сходимости, что и первоначальный ряд.

Примеры с решениями

Пример:

Исследовать на сходимость функциональный ряд

Решение:

Положим Ряд абсолютно сходится при по теореме сравнения 5 Если Если q > 1, то ряд — расходится, ибо при |q| > 1 (докажите это!). Таким образом, данный функциональный ряд сходится абсолютно при условии Это равносильно условию

Ответ. Данный ряд сходится абсолютно на луче

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

Решение:

Абсолютная сходимость этого функционального ряда определяется условием При tgx = 1 получаем расходящийся гармонический ряд, а при tgx = —1 получаем условно сходящийся ряд При условии |tg х| > 1 данный ряд расходится (по теореме 1). Условие |tg а;| < 1 равносильно условию

Ответ. Данный ряд сходится абсолютно в интервалах:

сходится условно в точках расходится при всех прочих x.

Пример:

Исследовать на сходимость степенной ряд

Решение:

Определим радиус сходимости степенного ряда при помощи формулы Даламбера. Имеем (принято считать 0! = 1):

Ответ. Данный ряд абсолютно сходится при всех

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

Решение:

Положим у = х + 1 и исследуем степенной ряд

2) При получаем числовой ряд который расходится.

3) При получаем числовой ряд который сходится условно.

Итак, степенной ряд, т.е. ряд с центром в нуле сходится абсолютно в интервале сходится условно в точке и расходится при и при Поскольку
х = у — 1, то сделаем соответствующий вывод.

Ответ. Данный ряд сходится абсолютно в интервале сходится условно при и расходится при и

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

Решение:

К этому ряду формулы Даламбера и Коши неприменимы — соответствующие пределы не существуют (коэффициенты ряда при четных степенях х равны нулю, а коэффициенты при нечетных степенях отличны от нуля; значит, в частности,

Поступаем так. Считаем, что — фиксированное число, и найдем условия, при которых знакоположительный ряд сходится. Применяем для этого теорему 7 с

Условие сходимости ряда определяется неравенством q < 1, т.е., а условие расходимости — неравенством . При получаем сходящиеся ряды

Ответ. Ряд сходится абсолютно при и расходится вне этого отрезка.

Применение рядов в приближенных вычислениях. Разложение функций в степенной ряд

1°. Функция f(x) называется бесконечно дифференцируемой в некотором интервале (a, b), если в этом интервале она имеет непрерывные производные любого порядка n € N.

Теорема Тейлора-Маклорена:

Предположим, что функция f(x) бесконечно дифференцируема в некотором интервале и все производные ограничены одним и тем же числом М в этом интервале:

Тогда в этом интервале f(х) можно представить в виде суммы обобщенного степенного ряда с центром в точке

При соответствующий степенной ряд и его коэффициенты принадлежат Маклорену и носят его имя. Ряд Маклорена наиболее распространен в практике вычислений, связанных с элементарными функциями.

2°. Следующие разложения в ряд Маклорена проверяются непосредственно (эти разложения легко запоминаются):

Ряд (4) называется биномиальным, а ряд (5) — логарифмическим.

3°. При помощи арифметических действий, действий дифференцирования, интегрирования, замены переменной и т. п. из приведенных рядов можно получать разложения в ряд Маклорена для большого числа элементарных функций.

Полученные ряды сходятся в пересечении областей сходимости рядов, участвующих в соответствующих промежуточных действиях.

Например, ряд Маклорена для функции cosx — sin2x: можно получить так: из ряда (2) вычитаем ряд (3), в котором предварительно заменим х на 2х:

Примеры с решениями

Пример:

Функцию разложить в ряд Тейлора по степеням: а) х — 1, б) х, в) х + 1.

Решение:

а) Разложение в ряд по степеням (х — 1) невозможно, так как f(x) не определена в точке х = 1. Другими словами, ряд по степеням (х — 1) для данной функции не существует.

Случаи б) и в) рассмотрим вместе. Разложение по степеням х и (х + 1) возможно, ибо f(x) бесконечно дифференцируема в окрестностях точек х = 0 и х = — 1.

Коэффициенты разложений указаны в теореме 18. Вычислим сначала общие производные всех порядков.

Остается подставить вместо х значение x = 0 или х = — 1 и результаты разделить на соответствующий факториал.

Условие сходимости |x| < 1 связано с тем, что для полученного ряда радиус сходимости равен 1 (проверьте это!).

Радиус сходимости этого ряда равен 2 (получите это!).

Примечание:

Очевидно, вид ряда зависит не только от самой функции, но и от центра ряда.

Пример:

Разложить в ряд Маклорена функцию f(х) = arcsinx.

Решение:

Подстановка в (4) и замена х на приводит к разложению

Поскольку с учетом теоремы 17 можем интегрировать полученный ряд:

Получаем:

Пример:

Разложить в ряд Маклорена функцию и, пользуясь этим разложением, вычислить lnЗ с точностью до

Решение:

Воспользуемся разложением п. б) примера 1:

Заменим в этом разложении t на Получим

Проинтегрируем это равенство на отрезке [0; х] при (см. теорему 17). С одной стороны, интеграл от левой части

С другой стороны, почленное интегрирование правой части этого же равенства приводит к

Приравнивая полученные результаты, после умножения на 2 приходим к требуемому разложению:

Для вычисления ln3 достаточно положить в этом равенстве Имеем

Для получения точности вычислений порядка достаточно брать такое n, чтобы Воспользуемся равенством

Таким образом

Ответ

Решение:

Данный интеграл, а также интегралы вида

и некоторые другие невозможно вычислить при помощи формулы Ньютона-Лейбница. Дело в том, что первообразные таких функций не выражаются в элементарных функциях. Точное значение определенного интеграла представляется в виде ряда, т.е. при помощи бесконечного множества арифметических действий.

Для разложения подынтегральной функции в степенной ряд воспользуемся стандартным разложением, полученным выше: в разложении для (см. п. 2) заменим х на из полученного выражения вычтем 1 и результат разделим на х.

После интегрирования получаем

Для оценки остаточного члена заметим, что

Таким образом, с требуемой точностью имеем

Ответ: 0,659.

Пример:

Найти сумму ряда

Решение:

Определим сначала, где данный ряд сходится. При помощи формулы Даламбера легко установить (сделайте это), что радиус сходимости ряда равен R= 1. Следовательно, сумма ряда определена в интервале (—1; 1).

Данный ряд представим в виде суммы трех рядов:

1) Начнем с известного равенства (см. пример 1): Тем самым мы получили третье слагаемое в f(х).

2) Этот ряд (геометрическую прогрессию) продифференцируем (см.теорему 17): затем умножим обе его части на Зх:

(получили второе слагаемое в f(x)).

3) Умножим промежуточный ряд из действия 2) на х:

Продифференцируем это разложение:

и умножим это разложение на

Остается сложить полученные промежуточные результаты:

Все промежуточные ряды сходятся в интервале (-1; 1), а тогда и первоначальный ряд сходится в интервале (—1;1) к полученной функции.

Ответ

Пример:

Написать несколько членов разложения функции у = tgx в ряд по степеням:

Решение:

Пользоваться какими-либо стандартными разложениями или формулами нет возможности. Поэтому коэффициенты ряда будем вычислять при помощи общих формул Тейлора-Маклорена (см. теорему 18). Имеем

Последующие производные имеют более сложный вид. Далее, в случае а) вычислим производные в точке х = 0, а в случае б) производные вычислим в точке

Соответствующий ряд имеет вид

Интервал сходимости ряда определяется, исходя из свойств разлагаемой функции: радиус сходимости равен расстоянию от центра ряда до ближайшей особой точки, в данном случае — это точка разрыва функции:

Примечание:

Известна эффективная процедура получения степенного ряда как частного от деления двух других степенных рядов. В нашем случае ряд для функции tgx можно получить делением ряда для sin x на ряд для cos x. С этой процедурой мы познакомимся в других разделах высшей математики.

Ряды Фурье

1°. К функциям с «плохими» дифференциальными свойствами ряд Тейлора-Маклорена неприменим. Вместо ряда по системе степеней 1, используют ряд по системе тригонометрических функций 1, cos х, sin x, cos 2x, sin 2x, …, cos nх, sin nx…..или так называемый ряд Фурье.

Ряд вида

называется рядом Фурье для функции f(х), если его коэффициенты вычисляются по формулам

2°. Для того, чтобы функции f(х) можно было формально сопоставить ее ряд Фурье, необходимо, чтобы f(х) была интегрируемой на отрезке

Каждая частичная сумма ряда Фурье

которая представляет собой тригонометрический многочлен (полином) степени не выше n, является периодической функцией с периодом

Поэтому для сходимости тригонометрического ряда Фурье к функции f(х) необходимо, чтобы f(x) была определена на всей прямой и имела период .

3°. Функция f(х) называется кусочно-непрерывной на отрезке [а; b], если этот отрезок можно представить в виде объединения конечного числа отрезков, на каждом из которых f(х) непрерывна или может быть непрерывно доопределена.

По аналогии с этим можно определить кусочную монотонность, кусочную дифференцируемость, гладкость и другие свойства.

4°. Ряд Фурье функции f(х) может расходиться в отдельных точках, а в некоторых точках может сходиться, но не к значениям функции f(х) в этих точках. Ниже будет использоваться обозначение

Теорема:

Если функция f(х) — периодическая с периодом , кусочно-монотонная на отрезке длины и имеет на нем конечное число точек разрыва первого рода, то ее ряд Фурье сходится к в каждой точке непрерывности и к значениюкаждой точке разрыва

5°. Если f(х) — четная функция, то ее ряд Фурье содержит только косинусы и f(x) разлагается в ряд по {cos nx}:

при этом

Если f(x) — нечетная функция, то она разлагается в ряд Фурье по
{sin nx}

при этом

6°. Если f(х) определена на и имеет период 2l, то она разлагается в ряд Фурье по тригонометрической системе с другими частотами:

Ряд Фурье по этой системе функций имеет вид

Для разложения в ряд функции, заданной на интервале ( 0 ; l ), достаточно доопределить ее на интервале (- l; 0 ) четным или нечетным образом, а затем разложить в ряд Фурье, считая ее заданной на интервале ( -l ; l ).

Примечание. Для разнообразия индексы суммирования в рядах Фурье будем обозначать иногда также буквами т и к.

Примеры с решениями

Пример:

Предположим, что f(х) — функция, непрерывная на всей числовой прямой и периодическая с периодом . Вывести формулы для вычисления коэффициентов ее ряда Фурье.

Решение:

Предположим, что данная функция представляется тригонометрическим рядом, равномерно сходящимся на всей прямой, в частности, на отрезке , и запишем этот ряд в виде:

1) Проинтегрируем почленно это равенство на отрезке (это возможно ввиду равномерной сходимости ряда). Так как

то приходим к равенству

Значит,

Этим мы получили первый коэффициент ряда Фурье (см. п. 1°)

2) Умножим обе части равенства (*) на cos nх (n — некоторое фиксированное число) и полученный результат проинтегрируем почленно на отрезке .

Так как

то приходим к равенству

Отсюда

и мы получили все коэффициенты ряда Фурье при косинусах.

3) Равенство (*) умножим на sin nx (n фиксировано), проинтегрируем почленно на отрезке с учетом 2) и равенств

Получили

т.е. все коэффициенты ряда Фурье при синусах.

Примечание:

Аналогичным образом можно получить обобщенные формулы коэффициентов Фурье для функций с произвольным периодом 2l.

Пример:

Разложить в ряд Фурье функцию с периодом , заданную следующим образом (рис 5.2):

Решение:

Вычислим коэффициенты Фурье функции f(х):

Заданная функция удовлетворяет условию теоремы Дирихле, но она имеет на отрезке три точки разрыва: х = 0 и

Следовательно, ее ряд Фурье имеет вид

Пример:

Разложить в ряд Фурье функцию f(х) = |sinx|. Заданная функция является четной с периодом , т.е. поэтому ее разложение в обобщенный ряд Фурье (см. п. 6°) имеет вид

где

(мы использовали формулу

Таким образом

Примечание:

Разложения в ряды Фурье позволяют суммировать ряды, т.е. находить суммы определенных числовых рядов.

В случае примера 3 сказанное можно использовать следующим образом. Полученный ряд Фурье для |sin x| сходится в каждой точке числовой прямой, в том числе и при х = 0. Полагая х = 0 в обеих частях полученного разложения, приходим к равенству:

Отсюда следует, что числовой ряд, стоящий в правой части этого равенства, сходится и имеет сумму, равную т.е.

Не менее впечатляющие результаты можно получить, используя разложение, полученное в примере 2. При полученный ряд сходится к числу — 1. Заменяя в обеих частях соответствующего равенства, приходим к соотношению

Отсюда выводим, что

Пример:

Разложить в ряд Фурье функцию f(х) = 10 — х, 5 < х < 15.

Решение:

Построим график функции f(х) (рис. 5.3). Пунктиром изображено периодическое продолжение с периодом 2l = 10 (l = 5). Из чертежа делаем вывод, что разложение данной функции в ряд Фурье совпадает с разложением функции f(х) = -х, Это позволяет несколько упростить вычисления.

Из нечетности f(х) следует, что n = 0,1,2, Остается вычислить только коэффициенты воспользуемся еще раз нечетностью f(х) (заменяя отрезок [—5; 5] на [0;5])

Таким образом, получаемый ряд Фурье будет сходиться к функции
f(х) = 10 — х в интервале (5, 15).

Ответ.

Пример:

Разложить по системе функцию

Решение:

Для наглядности воспользуемся графиком (рис. 5.4).

Из условия задачи следует, что l = 32, заданную функцию можно продолжить как четную на всей прямой с периодом 2l=64 этом продолженная функция является непрерывной на

Тогда

Индекс следующих коэффициентов обозначим через к в соответствии с формулировкой задачи.

Из условия задачи (или четности f(х)) следует, что k = 1,2,3…

Ответ

Решение числовых рядов

Числовой ряд и сумма ряда

Пусть дана бесконечная числовая последовательность

Числовым рядом называется выражение вида

которое короче записывается так

Числа a1 ,a2, … называются членами ряда, а число — общим (n-м) членом ряда. Сумма первых n членов ряда называется n-й частичной суммой ряда

Рассмотрим последовательность {} частичных сумм ряда (1)

Определение:

Если последовательность {} имеет конечный предел,

т. е. последовательность {} сходится, то этот предел называют суммой ряда пишут и говорят, что ряд сходится. Если же предел

не существует, т.е. последовательность {} расходится, то говорят, что ряд расходится (и суммы не имеет).

Замечание. Символ

принято использовать для обозначения как самого ряда, так и его суммы.

Примеры:

1. Покажем, что ряд

сходится.

Рассмотрим n-ю частичную сумму ряда

Используя очевидное равенство

преобразуем сумму :

Переходя к пределу при получим

В силу определения данный ряд сходится, и его сумма

2. Рассмотрим ряд, составленный из членов геометрической прогрессии со знаменателем

Сумма первых n членов этого ряда равна

Если и поэтому

т. е. данный ряд сходится и его сумма

Если т. е. ряд расходится.

‘Напомним, как получить сумму геометрической прогрессии:

Рассматривая начало и конец цепочки как уравнение относительно , получаем искомое:

При q = — 1 получим расходящийся ряд

Его n-я частичная сумма равна

откуда видно, что не существует.

При q = 1 получим ряд

для которого Sn = nа и, следовательно, т. е. этот ряд расходится.

Итак, ряд

сходится при |q| < 1, причем его сумма равна и расходится при

Простейшие действия над рядами

Над числовыми радами можно совершать некоторые действия, допустимость которых обосновывается следующими теоремами.

Теорема:

Если ряд

сходится, то сходится и ряд, полученный из него изменением (в частности, отбрасыванием) любого конечного числа членов. Обратно, из сходимости ряда, полученного из ряда (1) изменением (в частности, отбрасыванием) конечного числа членов, вытекает сходимость ряда (1).

Для простоты рассмотрим случай, когда изменяются первые k членов ряда (1). Обозначим через n-ю частичную сумму нового ряда

Разность

при n > k постоянна (не зависит от n). Тем самым, последовательность сходятся или расходятся одновременно и, значит, из сходимости ряда (1) следует сходимость ряда (2). Верно и обратное, из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).

Теорема:

Пусть имеется сходящийся ряд

и некоторое число Тогда ряд

будет сходящимся, причем

Составим n-е частичные суммы рядов Имеем

Очевидно, что Так как по условию ряд сходится, т. е. существует предел то в силу последнего равенства существует предел причем

Теорема:

Пусть ряды

сходятся. Тогда их сумма и разность, т. е. ряды

будут сходиться, причем

Пусть

n-е частичные суммы соответственно рядов

Очевидно, что

Так как по условию ряды сходятся, т. е. существуют пределы то из последнего равенства, справедливого для всех n, следует существование предела причем

что равносильно равенству

Аналогично доказывается сходимость ряда

Введем понятие остатка ряда.

Определение:

Если в сходящемся ряде

отбросить первые n членов, то получим сходящийся ряд

который называют n-м остатком данного ряда и обозначают

(здесь n фиксировано). Тогда исходный ряд можно записать в виде

Если S — сумма ряда то остаток ряда для любого n = 1, 2, … .

Пример:

n-м остатком ряда

является ряд

который сходится при

Критерий Коши сходимости ряда

Из критерия Коши для сходимости последовательности вытекает самый общий критерий сходимости числового ряда.

Теорема:

Критерий Коши:

Для того чтобы числовой ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого числа существовал номер такой, что при любом n > N неравенство

выполнялось для всех р = 0, 1, 2,… .

Используя частичные суммы рассматриваемого ряда неравенство (1) можно записать в виде

Из критерия Коши вытекает необходимый признак сходимости числового ряда.

Теорема:

Если ряд

сходится, то

Полагая р = 0 в теореме 4, получим неравенство

которое выполняется для всех В силу произвольности числа это означает, что

Следствие:

Если отличен от нуля или не существует, то ряд

расходится.

Пример:

Числовой ряд

расходится, так как

Пример:

Ряд

расходится так как

не существует.

Замечание:

Теорема 5 дает необходимое условие сходимости ряда, но оно не является достаточным, т. е. условие может выполняться и для расходящегося ряда

Пример:

Рассмотрим числовой ряд

который называется гармоническим рядом. Для гармонического ряда выполнено необходимое условие сходимости, так как

Воспользовавшись критерием Коши, покажем, что этот ряд расходится. Положим р = n. Тогда

Полученное неравенство выполняется для любого как угодно большого n. Отсюда следует, что для неравенство (1) не выполняется. Тем самым, в силу критерия Коши гармонический ряд расходится.

Важное замечание. В известном смысле ряд является обобщением конечной суммы. Однако в отличие от последней, слагаемые в которой можно совершенно произвольно группировать и переставлять местами, отчего сумма, как известно, не меняется, действия с членами произвольного ряда нужно проводить осмотрительно — последствия могут быть не всегда предсказуемыми. Если в расходящемся ряде

(не выполнен необходимый признак сходимости) попарно сгруппировать соседние группы

то получится сходящийся ряд

Члены сходящегося ряда

(см. пример из § 8) можно переставить так, что он будет сходиться к любому числу и даже расходиться. В частности, ряд

полученный перестановкой его членов, сходится к полусумме исходного (пример из § 9). То, что в этих примерах члены ряда имеют разные знаки, существенно.

Признак сравнения для рядов с положительными членами

Приведем признаки, дающие возможность установить сходимость или расходимость некоторых числовых рядов путем сравнения их с другими рядами, сходимость или расходимость которых известна заранее.

Теорема (признак сравнения):

Пусть даны два ряда

члены которых положительны. Если для всех номеров п выполняется неравенство

то из сходимости ряда следует сходимость ряда а из расходимости ряда следует расходимость ряда

Составим частичные суммы рядов (1) и (2)

Из условия (3) теоремы следует, что

1. Предположим, что ряд (2) сходится, т. е. существует предел его n-х частичных сумм

Так как все члены данных рядов положительны, то

откуда в силу неравенства (3) следует, что

Таким образом, все частичные суммы ряда (1) ограничены и возрастают при возрастании n, так как аn > 0. Следовательно, последовательность частичных сумм {} является сходящейся, что означает сходимость ряда При этом при переходе к пределу в неравенстве получим, что

т. е. сумма S ряда (1) не превосходит суммы сходящегося ряда (2).

2. Пусть ряд расходится. Так как все то последовательность возрастает и, следовательно,

В силу неравенства получим

т. е. ряд расходится.

Замечание:

Теорема 6 остается справедливой и в случае, когда неравенство выполняется не для всех n, а начиная лишь с некоторого номера к, т. е. для всех так как изменение конечного числа членов ряда не нарушает его сходимости.

Примеры:

Исследовать на сходимость следующие ряды:

Имеем

Так как числовой ряд

сходится, то по признаку сравнения исходный ряд (3) также сходится.

Из неравенства In n < n следует неравенство Так как гармонический ряд

расходится (как и ряд то по признаку сравнения исходный ряд (4) также расходится.

Замечание:

Теорема 6 остается справедливой и в случае более общего неравенства

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

Используя неравенство справедливое для всех найдем, что

для n = 1, 2,… . Так как ряд

сходится, то по признаку сравнения (здесь сходится и данный ряд (5).

Следствие:

Если существует конечный отличный от нуля предел

то ряды (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно.

Из существования указанного выше предела вытекает, что для любого числа , найдется номер N такой, что для всех n > N будет выполняться неравенство

Отсюда

Если ряд (2) сходится, то сходится и ряд

Но так как

то в силу теоремы 6 будет сходиться и ряд (1). Если же ряд (2) расходится, то расходится и ряд

(е считаем столь малым, что

Так как

то по теореме 6 ряд (1) расходится.

Замечание:

Условие леммы равносильно тому, что последовательности эквивалентны

или, что то же

В случае L = 0 из сходимости ряда (2) вытекает сходимость ряда (1). Обратное неверно.

В случае из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2). Обратное неверно.

Примеры:

Исследовать на сходимость следующие числовые ряды:

Сравним этот ряд с гармоническим рядом

Так как гармонический ряд расходится, то расходится и данный ряд.

Возьмем для сравнения сходящийся ряд

(L = 1), так как

Исходный ряд сходится.

Признак Даламбера

Теорема:

Признак Даламбера. Пусть дан ряд Если существует предел

то при ряд сходится, а при ряд расходится.

Пусть существует предел

где . Возьмем q такое, что Тогда для любого числа например, для найдется номер N такой, что для всех будет выполняться неравенство

В частности, будем иметь

откуда Из этого неравенства, придавая n последовательно значения получим

Члены ряда

не превосходят соответствующих членов ряда

который сходится как ряд, составленный из членов геометрической прогрессии со знаменателем q, 0 < q < 1. По признаку сравнения ряд

сходится, а значит, сходится и исходный

В случае начиная с некоторого номера N, будет выполняться неравенство

Следовательно, расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости.

Замечание:

Если

или не существует, то признак Даламбера ответа о сходимости или расходимости ряда не дает.

Примеры:

Исследовать на сходимость следующие ряды:

Для данного ряда имеем

Тогда

По признаку Даламбера ряд сходится.

Имеем

Данный ряд расходится.

Признак Коши

Теорема:

Признак Коши. Пусть дан ряд

Если существует конечный предел

то 1) при ряд сходится; 2) при ряд расходится.

1) Пусть . Возьмем число q такое, что Так как существует предел

где то, начиная с некоторого номера N, будет выполняться неравенство В самом деле, из предельного равенства вытекает, что для любого с, в том числе и для найдется такой номер N, начиная с которого будет выполняться неравенство

откуда или, что то же,

Отсюда получаем

Таким образом, все члены ряда, начиная с меньше соответствующих членов сходящегося ряда По признаку сравнения ряд

сходится, а значит сходится и ряд (1).

2) Пусть Тогда, начиная с некоторого номера N для всех n > N, будет выполняться неравенство или

Следовательно,

и ряд (1) расходится.

Замечание:

Если то ряд (1) может как сходиться, так и расходиться.

Примеры:

Исследовать на сходимость следующие ряды:

Имеем

Ряд сходится.

Здесь

Ряд расходится.

Интегральный признак сходимости ряда

Теорема:

Интегральный признак сходимости. Пусть функция f(x) определена, непрерывна, положительна и не возрастает на луче Тогда:

1) числовой ряд сходится, если сходится несобственный интеграл

2) ряд расходится, если расходится несобственный интеграл (1).

Возьмем на графике функции f(х) точки с абсциссами

и построим две ступенчатые фигуры, состоящие из выступающих и входящих прямоугольников так, как показано на рис. 1. Площадь Q криволинейной трапеции, ограниченной прямыми х = 1, х = n, у = 0 и кривой у = f(x) равна

Возьмем n-ю частичную сумму ряда

Тогда площадь Q+ выступающей фигуры будет равна

а площадь Q- входящей фигуры равна

Из построения и свойств функции f(x) следует, что

Так как (в силу условия

1) Пусть интеграл (1) сходится. Тогда существует предел

так как

(в силу условия то из неравенства (2) следует, что

Тем самым, последовательность {} ограничена, и при возрастании n сумма возрастает, так как Поэтому она имеет предел

что означает сходимость рада

2) Пусть интеграл (1) расходится. Так как по условию

Из неравенств

следует, что

т. е. ряд расходится.

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

Здесь Известно, что несобственный интеграл

сходится при р > 1 и расходится при Следовательно, данный ряд сходится при р > 1 и расходится при В частности, при р = 1 получим гармонический ряд

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

В данном случае функция

-я—- = lim I —- = lim arctgxI = lim (arctgft-arctg 1) = — — — = -,

сходится, а значит, сходится и ряд.

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

Так как общий член данного ряда имеет вид то выбираем функцию Несобственный интеграл

расходится, следовательно, ряд тоже расходится.

Замечание:

Нижний предел интегрирования в несобственном интеграле

можно взять произвольным, например, равным а, где — любое число.

Пример:

Исследовать сходимость ряда

Так как общий член ряда

то в качестве функции f(x) возьмем

Так как несобственный интеграл

сходится, то сходится и исходный ряд.

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

В данном случае функция

т. е. интеграл

сходится, а значит, сходится и ряд.

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

Так как общий член данного ряда имеет вид то выбираем функцию Несобственный интеграл

расходится, следовательно, ряд тоже расходится.

Замечание:

Нижний предел интегрирования в несобственном интеграле

можно взять произвольным, например, равным а, где — любое число.

Пример:

Исследовать сходимость ряда

Так как общий член ряда

то в качестве функции f(x) возьмем

Тогда

Так как несобственный интеграл

сходится, то сходится и исходный ряд.

В случае сходимости ряда метод, примененный при доказательстве интегрального признака сходимости, позволяет получить оценку погрешности, возникающей при замене суммы ряда частичной суммой.

Пусть функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы 9, ряд

сходится и его сумма равна S. Можно показать, что в этом случае будет сходиться и несобственный интеграл

Пользуясь неравенством

оценим остаток Rn заданного ряда. Имеем

Таким образом, погрешность, получаемая при замене суммы S сходящегося ряда его n-й частичной суммой Sn, не превосходит интеграла

Пример:

Установить сходимость ряда

и оценить погрешность при замене его суммы S частичной суммой S5. Здесь

В силу интегрального признака ряд сходится. Обозначим сумму этого ряда через S и будем считать, что Тогда

Оценим погрешность R5. Имеем

Замечание:

Обозначение

понимается так:

Пример:

Оценить n-й остаток сходящегося ряда

где р > 1. Имеем

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

Определение:

Числовой ряд

где все числа положительны, называется знакочередующимся.

Пример:

Ряд

является знакочередующимся, а ряд

знакочередующимся не является.

Для знакочередующихся рядов имеет место следующий признак сходимости, который носит название признака Лейбница.

Теорема:

Признак Лейбница. Пусть в знакочередующемся ряде

числовая последовательность {а„} убывает, Тогда этот ряд сходится, причем его сумма S положительна и не превосходит первого члена:

Возьмем четную частичную сумму этого ряда и запишем ее в виде

Из условия теоремы следует, что разности в скобках положительны и, значит, > 0, причем с возрастанием п частичная сумма возрастает. Эту сумму можно записать и так:

Здесь каждая скобка положительна, откуда следует, что

Итак, последовательность {} монотонно возрастает и ограничена. Следовательно, она имеет предел

причем

Для нечетной частичной суммы будем иметь

По доказанному

а по условию теоремы

Поэтому существует предел

Таким образом, доказано, что

т. е. данный ряд сходится. Из неравенства следует, в частности, положительность суммы ряда.

Замечание:

Теорема остается справедливой в части сходимости, если условие монотонности последовательности {} будет выполняться для всех номеров п, начиная с некоторого номера N.

Пример:

Знакочередующийся ряд

сходится, так как

Теорема 10 позволяет оценить n-й остаток

рассматриваемого ряда, который также является знакочередующимся рядом. По абсолютной величине остаток будет не больше абсолютной величины первого своего члена,

т. е. абсолютная погрешность, получающаяся при замене суммы знакочередующегося ряда его n-й частичной суммой, не превосходит абсолютной величины первого из отброшенных членов ряда

Пример:

Вычислить приближенно сумму ряда

ограничившись четырьмя членами, и оценить погрешность.

Сходимость ряда очевидна. Положим приближенно

Тогда

Абсолютная погрешность не превосходит

Знакопеременные ряды

Абсолютно и условно сходящиеся ряды

Числовой ряд

членами которого являются действительные числа любого знака, называется знакопеременным. Знакопеременными рядами будут, например, ряды

(плюс, два минуса, плюс, два минуса и т.д.).

Наряду со знакопеременным рядом

рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов, т. е.

и докажем следующую теорему.

Теорема:

Если сходится ряд

то сходится и ряд

Из двойного неравенства получаем

Пусть ряд

сходится. Тогда ряд

также будет сходиться, а по признаку сравнения будет сходящимся и ряд

Но ряд есть разность двух сходящихся рядов

поэтому он также будет сходящимся.

Следствие:

Если ряд

сходится, то справедливо неравенство

Для любого натурального числа k имеет место неравенство

Переходя к пределу при получим

При исследовании ряда

на сходимость можно применять все достаточные признаки сходимости, установленные для знакоположительных рядов.

Замечание:

Из сходимости ряда

сходимости ряда

вообще говоря, не следует, т. е. доказанная теорема дает лишь достаточное условие сходимости знакопеременного ряда.

Пример:

Ряд

сходится по признаку Лейбница, но ряд, составленный из абсолютных величин его членов,

— это гармонический ряд, который расходится.

Определение:

Знакопеременный числовой ряд

называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

Ряд

называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд

расходится.

Пример:

Числовой ряд

(плюс, два минуса, плюс, два минуса и т.д.) является абсолютно сходящимся, так как ряд, составленный из абсолютных величин его членов,

сходится. Ряд из примера 1 является условно сходящимся.

Отметим следующие свойства абсолютно сходящихся и условно сходящихся рядов.

Теорема:

Абсолютно сходящийся ряд при любой перестановке его членов остается абсолютно сходящимся, и его сумма не изменяется.

Замечание:

Утверждение теоремы справедливо для любого сходящегося знакопостоянного ряда.

Условно сходящиеся ряды этим свойством не обладают.

Теорема:

Если ряд сходится условно, то, каково бы ни было наперед взятое число А, можно так переставить члены этого ряда, что преобразованный ряд будет иметь своей суммой число А.

Более того, члены условно сходящегося ряда можно переставить так, что полученный после перестановки ряд будет расходящимся.

Пример:

Рассмотрим условно сходящийся ряд

сумму которого обозначим через S. Переставим члены ряда так, чтобы за каждым положительным членом следовали два очередных отрицательных. Тогда получим ряд

Покажем, что он сходится и его сумма равна Рассмотрим подпоследовательность его частичных сумм

Нетрудно убедиться в том, что она сходится к А из того, что

получаем, что существует и он равен

Таким образом, при указанной перестановке членов ряда, мы получили сходящийся ряд, сумма которого в два раза меньше суммы исходного ряда.

Числовые ряды основные определения и свойства с подробным обяснением

Бесконечные ряды широко используются в теоретических исследованиях математического анализа, имеют разнообразные практические применения.

Числовым, рядом (или просто рядом) называется выражение
вида

где — действительные или комплексные числа, называемые членами ряда, — общим членом ряда.

Ряд (59.1) считается заданным, если известен общий член ряда м„, выраженный как функция его номера

Сумма первых п членов ряда (59.1) называется п-й частичной суммой ряда и обозначается через Рассмотрим частичные суммы

Если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда (59.1), то этот предел называют суммой ряда (59.1) и говорят, что ряд сходится. Записывают:

Если не существует или то ряд (59.1) называют расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.

Рассмотрим примеры.

1. Ряд 2 + 17 — + 196 + … нельзя считать заданным, а ряд 2 + 5 + 8 +… — можно: его общий член задается формулой
2. Ряд 0 + 0 + 0 + … + 0 + … сходится, его сумма равна 0.
3. Ряд 1 + 1 + 1 + .. . + 1+ … расходится, при
4. Ряд 1 — 1 + 1—1+1—1+… расходится, так как последовательность частичных сумм 1,0,1,0,1,0,… не имеет предела.
5. Ряд сходится. Действительно,

Следовательно,

т. е. ряд сходится, его сумма равна 1.

Рассмотрим некоторые важные свойства рядов.

Свойство 1. Если ряд (59.1) сходится и его сумма равна S, то ряд

где с — произвольное число, также сходится и его сумма равна cS. Если же ряд (59.1) расходится и то и ряд (59.2) расходится.

Обозначим п-ю частичную сумму ряда (59.2)через . Тогда

Следовательно,

т. е. ряд (59.2) сходится и имеет сумму cS.

Покажем теперь, что если ряд (59.1) расходится, то и ряд (59.2) расходится. Допустим противное: ряд (59.2) сходится и имеет сумму . Тогда

Отсюда получаем:

т. е. ряд (59.1) сходится, что противоречит условию о расходимости ряда (59.1).

Свойство 2. Если сходится ряд (59.1) и сходится ряд

а их суммы равны соответственно, то сходятся и ряды

причем сумма каждого равна соответственно

Обозначим n-е частичные суммы рядов (59.1), (59.3) и (59.4) через соответственно. Тогда

т. е. каждый из рядов (59.4) сходится, и сумма его равна соответственно.

Из свойства 2 вытекает, что сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть расходящийся ряд.

В справедливости этого утверждения можно убедиться методом от противного.

Заметим, что сумма (разность) двух расходящихся рядов может быть как сходящимся, так и расходящимся рядом.

Свойство 3. Если к ряду (59.1) прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд (59.1) сходятся или расходятся одновременно.

Обозначим через S сумму отброшенных членов, через k — наибольший из номеров этих членов. Чтобы не менять нумерацию оставшихся членов ряда (59.1), будем считать, что на месте отброшенных членов поставили нули. Тогда при п > k будет выполняться равенство — это п-я частичная сумма ряда, полученного из ряда (59.1) путем отбрасывания конечного числа членов. Поэтому Отсюда следует, что пределы в левой и правой частях одновременно существуют или не существуют, т. е. ряд (59.1) сходится (расходится) тогда и только тогда, когда сходятся (расходятся) ряды без конечного числа его членов.

Аналогично рассуждаем в случае приписывания к ряду конечного числа членов.

Ряд

называется п-м остатком ряда (59.1). Он получается из ряда (59.1) отбрасыванием п первых его членов. Ряд (59.1) получается из остатка добавлением конечного числа членов. Поэтому, согласно свойству 3, ряд (59.1) и его остаток (59.5) одновременно сходятся или расходятся. Из свойства 3 также следует, что если ряд (59.1) сходится, то его остаток стремится к нулю при

Ряд геометрической прогрессии

Исследуем сходимость ряда

который называется рядом геометрической прогрессии. Ряд (59.6) часто используется при исследовании рядов на сходимость.

Как известно, сумма первых п членов прогрессии находится по формуле Найдем предел этой суммы:

Рассмотрим следующие случаи в зависимости от величины q:

1. Если Поэтому ряд (59.6) сходится, его сумма равна

2.Если Поэтому ряд (59.6) расходится;

3.Если ряд (59.6) принимает вид для него т. е. ряд (59.6) расходится; при q = — 1 ряд (59.6) принимает вид в этом случае при четном п и при нечетном п. Следовательно, не существует, ряд (59.6) расходится.

Итак, ряд геометрической прогрессии сходится при и расходится при .

Пример:

Показать, что ряд сходится.

Решение:

Данный ряд можно переписать так:

Как видно, он представляет собой ряд геометрической прогрессии с Этот ряд сходится согласно свойству 1 числовых рядов.

Необходимый признак сходимости числового ряда. Гармонический ряд

Нахождение п-й частичной суммы и ее предела для произвольного ряда во многих случаях является непростой задачей. Поэтому для выяснения сходимости ряда устанавливают специальные признаки сходимости. Первым из них, как правило, является необходимый признак сходимости.

Теорема:

Если ряд (59.1) сходится, то его общий член стремится к нулю, т. е.

Пусть ряд (59.1) сходится и Тогда и Учитывая, что получаем:

Следствие 59.1 (достаточное условие расходимости ряда). Если или этот предел не существует, то ряд расходится.

Действительно, если бы ряд сходился, то (по теореме) Но это противоречит условию. Значит, ряд расходится.

Пример:

Исследовать сходимость ряда

Решение:

расходится, т. к.

т. е. выполняется достаточное условие расходимости ряда.

Пример:

Исследовать сходимость ряда

Решение:

Данный ряд расходится, т. к.

Теорема 59.1 дает необходимое условие сходимости ряда, но не достаточное: из условия не следует, что ряд сходится. Это означает, что существуют расходящиеся ряды, для которых

В качестве примера рассмотрим так называемый гармонический ряд

Очевидно, что Однако ряд (59.7) расходится. Покажем это.

Как известно (см. (17.14)), Отсюда следует, что при любом имеет место неравенство Логарифмируя это неравенство по основанию е, получим:

т. е.

Подставляя в полученное неравенство поочередно п = 1,2,… ,п — 1, п, получим:

Сложив почленно эти неравенства, получим Поскольку получаем т. е. гармонический ряд (59.7) расходится.

В качестве второго примера можно взять ряд

Здесь Однако этот ряд расходится. Действительно,

т. e. Следовательно, ряд расходится.

Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов

Необходимый признак сходимости не дает, вообще говоря, возможности судить о том, сходится ли данный ряд или нет. Сходимость и расходимость ряда во многих случаях можно установить с помощью так называемых достаточных признаков.

Рассмотрим некоторые из них для знакоположительных рядов, т. е. рядов с неотрицательными членами (знакоотрицательный ряд переходит в знакоположительный путем умножения его на (—1), что, как известно, не влияет на сходимость ряда).

Признаки сравнения рядов

Сходимость или расходимость знакоположительного ряда часто устанавливается путем сравнения его с другим («эталонным») рядом, о котором известно, сходится он или нет. В основе такого сравнения лежат следующие теоремы.
Теорема 60.1. Пусть даны два знакоположительных ряда

и

Если для всех п выполняется неравенство

то из сходимости ряда (60.2) следует сходимость ряда (60.1), из расходимости ряда (60.1) следует расходимость ряда (60.2).

Обозначим n-е частичные суммы рядов (60.1) и (60.2) соответственно через . Из неравенства (60.3) следует, что

Пусть ряд (60.2) сходится и его сумма равна .Тогда

Члены ряда (60.2) положительны, поэтому и, следовательно, с учетом неравенства (60.4), . Таким образом, последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху числом. По признаку существования предела (см. теорема 15.3) последовательность имеет предел т.е. ряд (60.1)сходится.

Пусть теперь ряд (60.1) расходится. Так как члены ряда неотрицательны, в этом случае имеем Тогда, с учетом неравенства (60.4), получаем т. е. ряд (60.2) расходится.

Замечание:

Теорема 60.1 справедлива и в том случае, когда неравенство (60.3) выполняется не для всех членов рядов (60.1) и (60.2), а начиная с некоторого номера N. Это вытекает из свойства 3 числовых рядов (см. п. 59.1).

Теорема:

Предельный признак сравнения. Пусть даны два знакоположительных ряда (60.1) и (60.2). Если существует конечный, отличный от 0, предел то ряды (60.1) и (60.2) сходятся или расходятся одновременно.

По определению предела последовательности (см. п. 15.2) для всех п, кроме, возможно, конечного числа их, для любого выполняется неравенство или

Если ряд (60.1) сходится, то из левого неравенства (60.5) и теоремы 60.1 вытекает, что ряд также сходится. Но тогда, согласно свойству 1 числовых рядов (см. п. 59.1), ряд (60.2) сходится.

Если ряд (60.1) расходится, то из правого неравенства (60.5), теоремы 60.1, свойства 1 вытекает, что и ряд (60.2) расходится.

Аналогично, если ряд (60.2) сходится (расходится), то сходящимся (расходящимся) будет и ряд (60.1).

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

Решение:

Сравним данный ряд с рядом геометрической прогрессии который сходится Следовательно, данный ряд сходится.

Пример:

Исследовать сходимость ряда

Решение:

Здесь Возьмем ряд с общим членом который расходится (гармонический ряд). Имеем Следовательно, данный ряд расходится.

Пример:

Исследовать сходимость ряда

Решение:

Применим предельный признак сравнения. Так как (см. пример 17.7), то по теореме 60.2 исходный ряд расходится, как сравнимый с гармоническим рядом.

Признак Даламбера

В отличие от признаков сравнения, где все зависит от догадки и запаса известных сходящихся и расходящихся рядов, признак Даламбера (1717-1783, французский математик) позволяет часто решить вопрос о сходимости ряда, проделав лишь некоторые операции над самим рядом.

Теорема:

Пусть дан ряд (59.1) с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел Тогда ряд сходится при l < 1 и расходится при l > 1.

Так как То по определению предела для любого найдется натуральное число N такое, что при п > N выполняется неравенство

Можно подобрать так, что число Обозначим Тогда из правой части неравенства (60.6) получаем или В силу свойства 3 числовых рядов можно считать, что для всех п = 1,2,3,… Давая номеру п эти значения, получим серию неравенств:

т. е. члены ряда меньше соответствующих членов ряда который сходится как ряд геометрической прогрессии со знаменателем 0 < q < 1. Но тогда, на основании признака сравнения, сходится ряд следовательно, сходится и исходный ряд (59.1).

Пусть В этом случае Отсюда следует, что, начиная с некоторого номера N, выполняется неравенство или т. е. члены ряда возрастают с увеличением номера п. Поэтому На основании следствия из необходимого признака (см. п. 59.3) ряд (59.1) расходится.

Замечания:

1. Если l = 1, то ряд (59.1) может быть как сходящимся, так и расходящимся.
2. Признак Даламбера целесообразно применять, когда общий член ряда содержит выражение вида или .

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

Решение:

Находим

Так как l = 0 < 1, то данный ряд по признаку Даламбера сходится.

Пример:

Исследовать сходимость ряда

Решение:

Вычисляем

Так как l = 3 > 1, то данный ряд по признаку Даламбера расходится.

Радикальный признак Коши

Иногда удобно пользоваться радикальным признаком Коши для исследования сходимости знакоположительного ряда. Этот признак во многом схож с признаком Даламбера, о чем говорят его формулировка и доказательство.

Теорема:

Пусть дан ряд (59.1) с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел Тогда ряд сходится при l < 1 и расходится при l > 1.

Как и для признака Даламбера, в случае, когда l = 1, вопрос о сходимости ряда остается открытым. Доказательство теоремы аналогично доказательству признака Даламбера. Поэтому опустим его.

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

Решение:

Так как

то применим радикальный признак Коши к ряду

Вычисляем

Ряд сходится, а значит, сходится и исходный ряд, согласно свойству 1 числовых рядов.

Интегральный признак Коши.

Обобщенный гармонический ряд:

Теорема:

Если члены знакоположительного ряда могут быть представлены как числовые значения некоторой непрерывной монотонно убывающей на промежутке функции f(x) так, что то:

1) если сходится, то сходится и ряд (59.1);

2) если расходится, то расходится также и ряд (59.1).
О сходимости несобственных интегралов см. § 40.

Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции у = f(x), основанием которой служит отрезок оси Ох от х = 1 до х = п (см. рис. 258).

Построим входящие и выходящие прямоугольники, основаниями которых служат отрезки [1;2], [2;3], … Учитывая геометрический смысл определенного интеграла, запишем:

или

или

Случай 1. Несобственный интеграл сходится, т.е.

то с учетом неравенства (60.7) имеем: . Так как последовательность частичных сумм монотонно возрастает и ограничена сверху (числом ), то, по признаку существования предела, имеет предел. Следовательно, ряд (59.1) сходится.

Случай 2. Несобственный интеграл расходится. Тогда и интегралы неограниченно возрастают при Учитывая, что (см. (60.7)), получаем, что Следовательно, данный ряд (59.1) расходится.

Замечание. Вместо интеграла можно брать интеграл J Отбрасывание k первых членов ряда в ряде (59.1), как известно, не влияет на сходимость (расходимость) ряда.

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

Решение:

Воспользуемся интегральным признаком Коши. Функция удовлетворяет условиям теоремы 60.5. Находим

Значит, ряд с общим членом расходится.

Ряд

где р > 0 — действительное число, называется обобщенным гармоническим рядом. Для исследования ряда (60.8) на сходимость применим интегральный признак Коши (признаки Даламбера и Коши ответа о сходимости не дают).

Рассмотрим функцию Эта функция непрерывна, монотонно убывает на промежутке имеем:

При р = 1 имеем гармонический ряд , который расходится (второй способ: ). Итак, ряд (60.8) сходится при р > 1, расходится при . В частности, ряд сходится (полезно знать).

Рассмотренные признаки сходимости (есть и другие) знакоположительных рядов позволяют судить о сходимости практически любого положительного ряда. Необходимые навыки приобретаются на практике.

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

Рассмотрим важный класс рядов, называемых знакочередующимися. Знакочередующимся рядом называется ряд вида

где для всех п € N (т. е. ряд, положительные и отрицательные члены которого следуют друг за другом поочередно).

Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости (установленный в 1714 г. Лейбницем в письме к И. Бернулли).

Теорема:

Признак Лейбница. Знакочередующийся ряд (61.1) сходится, если:

1.Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т. е.

2.Общий член ряда стремится к нулю: При этом сумма S ряда (61.1) удовлетворяет неравенствам

Рассмотрим сначала частичную сумму четного числа (2т) членов ряда (61.1). Имеем

Выражение в каждой скобке, согласно первому условию теоремы, положительно. Следовательно, сумма и возрастает с возрастанием номера 2m.

С другой стороны, можно переписать так:

Легко видеть, что Таким образом, последовательность возрастает и ограничена сверху. Следовательно, она имеет предел .

Рассмотрим теперь частичные суммы нечетного числа (2т+1) членов ряда (61.1). Очевидно, что Отсюда следует, что .

т. к. в силу второго условия теоремы. Итак, как при четном п, так и при нечетном п. Следовательно, ряд (61.1) сходится, причем

Замечания:

1. Исследование знакочередующегося ряда вида

(с отрицательным первым членом) сводится путем умножения всех его членов на (-1) к исследованию ряда (61.1).

Ряды (61.1) и (61.3), для которых выполняются условия теоремы Лейбница, называются лейбницевскими (или рядами Лейбница).

2.Соотношение (61.2) позволяет получить простую и удобную оценку шибки, которую мы допускаем, заменяя сумму S данного ряда его частичной суммой . Отброшенный ряд (остаток) представляет собой также знакочередующийся ряд сумма которого по модулю меньше первого члена этого ряда, т. е. Поэтому ошибка меньше модуля первого из отброшенных членов.

Пример:

Вычислить приблизительно сумму ряда

Решение:

Данный ряд лейбницевского типа. Он сходится. Можно записать: Взяв пять членов, т. е. заменив S на

сделаем ошибку, меньшую, чем

Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов

Знакочередующийся ряд является частным случаем знакопеременного ряда. Числовой ряд содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным.

Для знакопеременных рядов имеет место следующий общий достаточный признак сходимости.

Теорема:

Пусть дан знакопеременный ряд

Если сходится ряд

составленный из модулей членов данного ряда, то сходится и сам
знакопеременный ряд (61.4).

Рассмотрим вспомогательный ряд, составленный из членов рядов (61.4) и (61.5):

Очевидно, что для всех п € N. Но ряд сходится в силу условия теоремы и свойства 1 числовых рядов (п. 59.1) . Следовательно, на основании признака сравнения (п. 59.3) сходится и ряд Поскольку данный знакопеременный ряд (61.4) представляет собой разность двух сходящихся рядов

то, на основании свойства 2 числовых рядов, он (ряд (61.4)) сходится.

Отметим, что обратное утверждение несправедливо: если сходится ряд (61.4), то это не означает, что будет сходиться ряд (61.5).

Пример:

Исследовать сходимость ряда

Решение:

Это знакочередующийся ряд, для которого выполнены условия признака Лейбница. Следовательно, указанный ряд сходится. Однако ряд, составленный из модулей членов данного ряда, т. е. ряд

расходится (гармонический ряд).

Абсолютная и условная сходимости числовых рядов. Свойства абсолютно сходящихся рядов

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из модулей его членов, сходится. Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

Так, ряд, показанный в примере (61.2), условно сходящийся. Ряд

Абсолютно сходится, т. к. ряд, составленный из модулей его членов, гходится (см. пример 60.4).

Среди знакопеременных рядов абсолютно сходящиеся ряды занимают особое место: на такие ряды переносятся основные свойства конечных сумм (переместительность, сочетательность, распределительность).

Основные свойства абсолютно сходящихся рядов приводим без доказательства.

1. Если ряд абсолютно сходится и имеет сумму S, то ряд, полученный из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму S, что и исходный ряд (теорема Дирихле).

2.Абсолютно сходящиеся ряды с суммами можно почленно складывать (вычитать). В результате получается абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна (или соответственно ).

3.Под произведением двух рядов понимают ряд вида

Произведение двух абсолютно сходящихся рядов с суммами есть абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна

Таким образом, абсолютно сходящиеся ряды суммируются, вычитаются, перемножаются как обычные ряды. Суммы таких рядов не зависят от порядка записи членов.

В случае условно сходящихся рядов соответствующие утверждения (свойства), вообще говоря, не имеют места.

Так, переставляя члены условно сходящегося ряда, можно добиться того, что сумма ряда изменится. Например, ряд

условно сходится по признаку Лейбница. Пусть его сумма равна S. Перепишем его члены так, что после одного положительного члена будут идти два отрицательных. Получим ряд

Сумма уменьшилась вдвое!

Более того, путем перестановки членов условно сходящегося ряда можно получить сходящийся ряд с заранее заданной суммой или расходящийся ряд (теорема Римана).

Поэтому действия над рядами нельзя производить, не убедившись в их абсолютной сходимости. Для установления абсолютной сходимости используют все признаки сходимости знакоположительных рядов, заменяя всюду общий член ряда его модулем.

Ряд в математике

Определение:

Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности:

(11.1) u₁ + u₂ + u₃ + … + + — ∙ ∙ =

Числа u₁, u₂, u₃,… ,,… называются членами ряда. Ряд считается заданным, если известен общий член ряда как функция его номера n: = f(n).

Приведем несколько примеров рядов:

Определение:

Сумма первых n членов ряда называется n-й частичной суммой ряда:

= u₁ + u₂ + u₃ + … + =

Иногда, исследуя частичную сумму ряда, можно сделать вывод о характере поведения самого ряда.

Пример 11.1. Исследовать частичную сумму ряда:

Решение:

Составим последовательность частичных сумм этого ряда. Для этого прежде всего заметим, что общий член ряда можно записать следующим образом:

Поэтому

Подобным же образом найдем, что

Отсюда следует, что предел последовательности частичных сумм этого ряда равен единице:

Пример:

Исследовать частичную сумму ряда:
2 + 6 + 18+∙∙∙ + 2∙+ ….

Решение:

Найдем последовательность его частичных сумм:
S₁ = 2, S₂ = 2 + 6 = 8,
S₃ = 2 + 6 + 18 = 26,…,
= 2 + 6 + 18 + ∙ ∙ ∙ + 2 ∙ .

Эти частичные суммы можно переписать следующим образом:
S₁ = 2 = 3 — 1, S₂ = 8 = 3² — 1, S₃ = 26 = З³ — 1,…, = — 1.

Отсюда следует, что

Пример:

Исследовать частичную сумму ряда:
1 — 1 + 1 — 1+ ∙ ∙ ∙ + (-1)ⁿ⁻¹ + ….

Решение:

Последовательность частичных сумм имеет вид
S₁ = 1, S₂ = 0, S₃ = 1, S₄ = 0,….

В этом примере последовательность частичных сумм не стремится ни к какому пределу.

Таким образом, для некоторых рядов последовательность частичных сумм стремится к определенному пределу, для других же рядов такой предел не существует.

Определение:

Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел S последовательности его частичных сумм при неограниченном возрастании номера п, т. е.
(11.3)

Определение:

Предел S последовательности частичных сумм сходящегося ряда называется суммой ряда.

Если S является суммой сходящегося ряда u₁ + u₂ + u₃ + … + +…,
то пишут:
(11.4) S = u₁ + u₂ + u₃ + … + +… =

Если последовательность частичных сумм ряда не имеет предела, то ряд называется расходящимся. Расходящийся ряд суммы не имеет.

Одним из простейших, но очень часто встречающихся рядов, является геометрическая прогрессия (лекция 7):
(11.5) b₁+b₁q + b₁q² +∙∙∙ + b₁q ⁿ⁻¹+…;
b₁ называется первым членом прогрессии, а множитель q — знаменателем прогрессии.

Сумма n первых членов (n-я частичная сумма) прогрессии, как известно, может быть вычислена при q ≠ 1 по формуле

1) Если ∣q∣ < 1, то qⁿ → 0 при n → ∞ и

Таким образом, при ∣ρ∣ < 1 геометрическая прогрессия является сходящимся рядом, сумма которого

2) Если ∣ρ∣ > 1, то qⁿ → ∞ при n → ∞ и

Следовательно, в этом случае ряд расходится.

3) Если q = 1, то ряд (11.5) принимает вид
b₁ + b₁ + b₁ + ∙ ∙ ∙ + b₁ + ….

Для него = nb₁ и при b₁ ≠ 0 = ∞, т.е. ряд расходится.

4) Если q = —1, то ряд (11.5) принимает вид
b₁ — b₁ + b₁ — b₁ ∙ ∙ ∙

В этом случае = 0 при п четном и = b₁ при n нечетном. Следовательно, при b₁ ≠ 0 не существует и ряд расходится.

Итак, геометрическая прогрессия является сходящимся рядом при ∣q∣ < 1 и расходящимся при ∣q∣ ≥ 1.

Простейшие свойства числовых рядов

Рассмотрим несколько свойств числовых рядов, которые нам понадобятся в дальнейшем.

Теорема:

Если ряд
(11.6) u₁ + u₂ + u₃ + … + + …
сходится и имеет сумму S, то ряд
(11.7) au₁ + au₂ + au₃ + … + + …,
где а — заданное число, также сходится и его сумма равна aS.

Доказательство:

Пусть есть n-я частичная сумма ряда (11.6), a есть n-я частичная сумма ряда (11.7). Тогда
= au₁ + au₂ + au₃ + ∙ ∙ ∙ + = a(u₁ + u₂ + u₃ + ∙ ∙ ∙ + ) =

Отсюда

Таким образом, ряд (11.7) сходится и имеет сумму aS.

Теорема:

Если ряды
(11.8) u₁ + u₂ + u₃ + ∙ ∙ ∙ + + …,
(11.9) υ₁ + υ₂ + υ₃ + ∙ ∙ ∙ + + . . .

сходятся и имеют соответственно сумму S и , то ряд
(11.10) (u₁ + υ₁) + (u₂ + υ₂) + (u₃ + υ₃) + ∙ ∙ ∙ + (+ ) + …, получающийся почленным сложением данных рядов, также сходится и имеет сумму S + .

Доказательство:

Обозначим n-е частичные суммы рядов (11.8), (11.9) и (11.10) соответственно через , и . Имеем:
= (u₁ + υ₁) + (u₂ + υ₂) + (u₃ + υ₃) + ∙ ∙ ∙ + (+)=+

Переходя к пределу, получаем

Итак, ряд (11.10) сходится. Ряд (11.10) называется суммой рядов (11.8) и (11.9).

Замечание:

Аналогично можно доказать, что сходится ряд
(11.11) (u₁ — υ₁) + (u₂ — υ₂) + (u₃ — υ₃) + ∙ ∙ ∙ + (+) + ∙ ∙ ∙
и его сумма равна S — . Ряд (11.11) называется разностью рядов (11.8) и (11.9).

Рассмотрим два ряда
(11.12)
и
(11.13)

Теорема:

Если сходится данный ряд (11.12), то сходится и ряд (11.13), полученный из ряда (11.12) отбрасыванием конечного числа k его первых членов. Обратно, если сходится ряд (11.13), то сходится и данный ряд (11.12).

Доказательство:

Обозначим через сумму n первых членов ряда (11.12), через — сумму k отброшенных членов (k < n) и через — сумму n — k первых членов ряда (11.13):

Следовательно,
(11.14)
причем — некоторое число, не зависящее от n.

1. Пусть ряд (11.12) сходится и имеет сумму S, т.е. = S. Тогда из равенства (11.14) следует:

Итак, частичные суммы ряда (11.13) при n → ∞ имеют предел, т.е. ряд (11.13) сходится.

2. Пусть ряд (11.13) сходится и имеет сумму σ, т.е. = σ. Из
(11.14) следует:

т.е. ряд (11.12) сходится.

Теорему 11.3 можно сформулировать также следующим образом.

На сходимость рада не влияет отбрасывание любого конечного числа его первых членов.

Необходимый признак сходимости ряда

Приведем необходимое условие сходимости ряда.

Теорема:

Если ряд u₁ + u₂ + u₃ + ∙ ∙ ∙ + + … сходится, то его общий член стремится к нулю при неограниченном возрастании номера n.

Доказательство:

Пусть дан сходящийся ряд
u₁ + u₂ + u₃ + ∙ ∙ ∙ + + ∙ ∙ ∙ ,
имеющий сумму S. Рассмотрим его частичные суммы
=u₁ + u₂ + u₃ + ∙ ∙ ∙ ++
и
=u₁ + u₂ + u₃ + ∙ ∙ ∙ +

Отсюда Следовательно,
, так как при n → ∞ и n — 1→∞. Поэтому Итак,
(11.15)

Определение:

Достаточный признак расходимости ряда. Если общий член ряда не стремится к нулю при неограниченном возрастании его номера n, то ряд расходится.

Действительно, если бы ряд сходился, то по предыдущей теореме его общий член обязан был бы стремиться к нулю, что противоречит условию.

Пример:

Исследовать на сходимость ряд.

Решение:

Ряд расходится, так как его общий член не стремится к нулю при n → ∞:

Условие является необходимым для сходимости ряда, но не достаточным. Это означает, что существуют расходящиеся ряды, для которых .

Примером может служить ряд
(11.16)

Однако легко показать, что ряд расходится. Для этого рассмотрим частичную сумму ряда

Так как то очевидно, что

Отсюда непосредственно следует, что , и, следовательно, ряд расходится.

Решение заданий на тему: Числовые ряды

Числовые ряды являются одним из важнейших разделов математического анализа. Приступая к практическому изучению рядов, прежде всего следует усвоить понятия сходящегося и расходящегося числового ряда, а затем перейти к изучению признаков (условий) сходимости рядов. Следует понимать и правильно применять необходимые и достаточные условия сходимости. Равенство , где — общий член ряда, является лишь необходимым условием для сходимости ряда. Если это условие не выполняется, то исследуемый ряд расходится, а если это условие выполняется, то окончательно ответить на вопрос о сходимости числового ряда можно только после исследования его с помощью одного из достаточных признаков сходимости.

Пример:

Дан общий член ряда ∙ Записать первые четыре члена ряда.

Решение: В числителе записан общий член геометрической прогрессии, знаменатель которой q=2. В знаменателе мы имеем дело с факториалом n! произвольного целого числа n≥0, который определяется формулами: 0!=l, 1!=1, 2!=1∙2, 3!=1∙2∙3, n!=l∙2∙3∙…∙n. Следовательно, ряд можно записать в виде:

Пример:

Найти общий член ряда

Решение:

Как и в случае с общим членом последовательности, здесь необходимо установить закономерность изменения каждого члена ряда от его номера n. В данном случае изменяются только знаменатели, которые образуют арифметическую прогрессию 1, 3, 5, 7,… Известно, что n-й член арифметической прогрессии можно найти по формуле = a₁ + d(n — 1). Здесь α₁ = 1, d = 2, поэтому = 1 + 2(n — 1) = 2n — 1. Следовательно, общий член ряда .

Пример:

Найти общий член ряда

Решение:

В числителе сомножители образуют последовательность с общим членом n². В знаменателе каждый член ряда представляет собой произведение нескольких первых членов арифметической прогрессии (a₁ = 1, d = 3). В соответствии с формулой общего члена арифметической прогрессии (см. предыдущий пример) = Зn — 2. Следовательно, общий член ряда

Пример:

Найти сумму ряда

Решение:

Разложим общий член ряда на сумму двух дробей по методу неопределенных коэффициентов:

Две дроби равны, если равны их числители и знаменатели, следовательно:
1 = A(11n + 1) + B(11n-10).

Решив полученную систему уравнений относительно неизвестных А и В, найдем , . Общий член ряда можно переписать в виде:

Запишим несколько первых членов ряда:

Следовательно:

Итак,
Ответ:

Пример:

Исследовать сходимость ряда и вычислить сумму ряда, если он сходится.

Решение:

Ряд составлен из членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии и поэтому сходится. Найдем сумму ряда:

Пример:

Исследовать сходимость ряда.

Решение:

Проверим необходимый признак сходимости:

Ответ: Данный ряд расходится, т.к. невыполняется необходимый признак сходимости.

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов

Как мы уже знаем, суммой ряда называется предел последовательности его частичных сумм: . Однако нахождение этого предела во многих случаях связано с большими трудностями. В таких случаях сумму ряда находят приближенно, заменяя ее частичной суммой с достаточно большим номером n. Но для этого надо быть уверенным, что данный ряд сходится. Сходимость или расходимость ряда во многих случаях удается установить с помощью так называемых достаточных признаков. В этом пункте мы рассмотрим достаточные признаки сходимости и расходимости для рядов с положительными членами. Такие ряды называются знакоположительными.

Замечание:

Все полученные ниже выводы будут справедливы и для рядов с отрицательными членами, т.е. для знакоотрицательных рядов.

Прежде всего заметим следующее. Так как в знакоположительном ряде все члены положительны,то его частичные суммы S₁ = u₁, S₂ = u₁ + u₂, S₃ = u₁ + u₂ + u₃,…, = u₁ + u₂ + u₃ + … + возрастают с увеличением номера суммы n. Таким образом, частичные суммы ряда образуют возрастающую числовую последовательность
S₁ < S₂ < S₃ < … < < ….

Здесь возможны два случая.

1. Последовательность частичных сумм неограничена. В этом случае и, следовательно, ряд расходится.
2. Последовательность частичных сумм ограничена, т.е. < C при любом n. В этом случае последовательность частичных сумм имеет предел и, следовательно, ряд сходится.

Таким образом, при доказательстве того, что тот или иной знакоположительный ряд сходится, достаточно установить только ограниченность последовательности его частичных сумм.

Теорема:

Первый признак сравнения. Даны два знакоположительных ряда:
u₁ + u₂ + u₃ + ∙ ∙ ∙ ++…, (U)
υ₁ + υ₂ + υ₃ + ∙ ∙ ∙ + +…, (V)

Пусть члены первого ряда не превосходят соответствующих членов второго ряда:
(12.1) u₁ ≤ υ₁,u₂ ≤ υ₂ ,u₃ ≤ υ₃, … , ≤ ,…,
и второй ряд сходится. В таком случае первый ряд также сходится, и его сумма не превосходит суммы второго ряда (заключение теоремы остается в силе, если некоторые члены ряда (U) равны нулю).

Доказательство:

Обозначим через и соответственно n-е частичные суммы первого и второго рядов:
= u₁ + u₂ + u₃ + ∙ ∙ ∙ +, = υ₁ + υ₂ + υ₃ + ∙ ∙ ∙ +.

Из неравенств (12.1) следует, что ≤ . Так как ряд (V) сходится, то существует . При этом, поскольку члены ряда положительны, очевидно, что , а, следовательно, и . Таким образом, частичные суммы ряда (U) ограничены и, следовательно, ряд (U) сходится, причем его сумма не превосходит суммы ряда (V), как это следует из неравенства .

Теорема:

Второй признак сравнения. Даны два знакоположительных ряда
u₁ + u₂ + u₃ + ∙ ∙ ∙ + + …, (U)
υ₁ + υ₂ + υ₃ + ∙ ∙ ∙ + + … . (V)

Пусть члены первого ряда не меньше соответствующих членов второго ряда
(12 2) u₁ ≥ υ₁,u₂ ≥ υ₂ ,u₃ ≥ υ₃, … , ≥ … ,
и второй ряд расходится. В таком случае первый ряд также расходится.

Доказательство:

Обозначим снова через и соответственно частичные суммы первого и второго рядов:
= u₁ + u₂ + u₃ + ∙ ∙ ∙ + , = υ₁ + υ₂ + υ₃ + ∙ ∙ ∙ + .

Из неравенств (12.2) следует, что . Так как ряд (V) расходится и его частичные суммы возрастают, то . В таком случае и и, следовательно, ряд (U) расходится.

При исследовании рядов необходимо иметь для сравнения ряды, относительно которых достоверно известно, сходятся они или расходятся.

Геометрическая прогрессия представляет собой ряд, сходящийся при ∣q∣ < 1 и расходящийся при ∣q∣ ≥ 1.

Ниже во втором семестре в разделе интегральных исчислений будет показано, что ряд
(12.3)
сходится при р > 1 и расходится при 0 < р ≤ 1. При р = 1 получается ряд
(12.4)
который называется гармоническим. Ряд (12.3) называется обобщенным гармоническим рядом.

Геометрическая прогрессия, гармонический и обобщенный гармонический ряды очень часто используются при исследовании рядов с помощью признаков сравнения в качестве эталонных рядов.

Пример:

Исследовать на сходимость ряд
(12.5)

Решение: Рассмотрим вспомогательный ряд
(12.6)

Ряд (12.6) представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем q = 1/2 < 1 и, следовательно, сходится. Так как члены ряда (12.5) не превосходят соответствующих членов ряда (12.6), то по первому признаку сравнения ряд (12.5) также сходится.

Пример:

Исследовать на сходимость ряд
(12.7)

Решение:

Рассмотрим вспомогательный ряд
(12.8)
который расходится. Так как каждый член ряда (12.7) больше соответствующего члена ряда (12.8):

то в силу второго признака сравнения ряд (12.7) также расходится.

Замечание:

Признак сравнения иногда удобно представить в иной форме.

Теорема:

Третий признак сравнения.Без доказательства. Если существует конечный и отличный от нуля предел , то оба исследуемых ряда одновременно сходятся или одновременно расходятся.

Пример:

Исследовать на сходимость ряд:
(12.9)

Решение:

Рассмотрим вспомогательный ряд , о котором известно, что он расходится.

На основании третьего признака сравнения оба ряда ведут себя одинаково и, следовательно, в данном случае расходятся, т.е. ряд (12.9) расходится.

Применение признаков сравнения при исследовании рядов часто бывает затруднительно из-за необходимости составлять вспомогательный ряд. Поэтому часто применяются другие достаточные признаки.

Теорема:

Признак Даламбера. Если для знакоположительного ряда
(12.10) u₁ + u₂ + u₃ + ∙ ∙ ∙ + +…
существует предел отношения последующего члена к предыдущему при неограниченном возрастании номера члена n, т.е.
(12.11)
то при р < 1 ряд сходится, а при р > 1 ряд расходится.

Доказательство:

а) Пусть р < 1. Покажем, что ряд сходится. Действительно, так как , то на основании определения предела последовательности для любого ε > 0 можно подобрать такое натуральное число N, зависящее от ε, что для всех членов ряда, номер которых n ≥ N, выполняется неравенство . Отсюда следует, что

Полагая р + ε = q, получим . Так как р по предположению меньше единицы, a ε произвольно мало, то ε можно выбрать настолько малым, чтобы q = ρ + ε < 1. Таким образом, для n ≥ N имеем:

т.е.

Рассмотрим два ряда:
(12.12)
(12.13)

Ряд (12.13) сходится как геометрическая прогрессия со знаменателем |q| < 1. Так как члены ряда (12.12) не превосходят соответствующих членов ряда ( 12.13), то на основании первого признака сравнения ряд (12.12) также сходится.

Но ряд (12.12) получается из данного ряда (12.10) отбрасыванием конечного числа членов u₁ + u₂ + u₃ + ∙ ∙ ∙ + . Следовательно, по теореме 3 ряд (12.10) также сходится.

б) Пусть теперь р > 1. Покажем, что ряд расходится. Действительно, в этом случае . Отсюда следует, что начиная с достаточно больших значений n ≥ N выполняется неравенство , или . Таким образом, члены ряда возрастают с увеличением номера члена n. Поэтому , т.е. выполнен достаточный признак расходимости ряда и, следовательно, ряд расходится.

Замечание:

Если , то ряд также расходится, так как и в этом случае для достаточно больших n и, следовательно, .

Замечание:

Подчеркнем еще раз, что, если расходимость ряда установлена с помощью признака Даламбера, то общий член ряда не стремится к нулю.

Замечание:

При ρ = 1 признак Даламбера на вопрос о том, сходится или расходится ряд, ответа не дает. Как показывают примеры, в этом случае может иметь место как сходимость, так и расходимость.

Рассмотрим примеры исследования рядов на сходимость с помощью признака Даламбера.

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

Решение:

Находим

Итак, р = 1/3 < 1 и, следовательно, данный ряд сходится.

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

Решение:

Находим

Так как р = 2 > 1, то данный ряд расходится.

Пример:

Исследовать на сходимость ряд с общим членом ряда .

Решение:

Применим признак Даламбера:

Так как по условию a > 1, можно сделать вывод о том, что ряд расходится, т.е. показательная функция возрастает быстрее степенной с ростом аргумента.

Рассмотрим теперь два примера рядов, для которых р = 1, и покажем, что один из этих рядов сходится, а другой расходится.

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

Решение:

Находим по признаку Даламбера

На основании признака Даламбера сделать заключение о сходимости или расходимости ряда мы не можем. Однако, как было указано ранее, обобщенный гармонический ряд расходится.

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

Решение:

Находим по признаку Даламбера

Выше в (пример 11.1) непосредственным нахождением суммы этого ряда было показано, что он сходится.

В тех случаях, когда признак Даламбера не позволяет сделать вывода о сходимости или расходимости ряда, наряду с признаками сравнения часто применяется следующий достаточный признак сходимости ряда.

Теорема:

Радикальный признак Коши Если для ряда
u₁ + u₂ + u₃ + ∙ ∙ ∙ ++ ∙ ∙ ∙
существует , то этот ряд сходится при q < 1 и расходится при q > 1. В случае, когда q=1, вопрос о сходимости ряда остается
открытым.

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

Решение:

Применим признак Коши.

Следовательно, по признаку Коши данный ряд сходится.

Следует отметить, что для исследования сходимости знакоположительных рядов существует еще один достаточный признак сходимости — интегральный признак Коши. Однако к его использованию мы сможем приступить только после изучения интегралов.

Решение заданий на тему: Исследование сходимости ряда

Пример:

Исследовать сходимость ряда

Решение:

В качестве достаточного признака сходимости используем признак сравнения. Для сравнения используем гармонический ряд . Каждый член ряда и больше соответствующего члена ряда υ ∙ При n → ∞ ряд υ расходится, следовательно, расходится и ряд u.

Пример:

Исследовать сходимость ряда

Решение: Сравним этот ряд с рядом , который, как известно сходится. Используя вторую формулировку признака сравнения вычислим (третий признак сравнения):

Так как предел конечен и отличен от нуля и ряд сходится, то и ряд также сходится.

Пример:

Исследовать сходимость ряда

Решение:

Сравним этот ряд с рядом , который, как известно сходится. Используя третий признак сравнения, будем иметь

Так как предел конечен и отличен от нуля, а ряд сходится, то сходится и ряд

Пример:

Исследовать сходимость ряда

Решение:

Для сравнения выбираем расходящийся ряд . Опять используем третий признак сравнения.

Следовательно, на основании условий третьего признака сравнения данный ряд расходится.

Решение:

Для исследования сходимости используем признак Даламбера. Запишем n + 1 член ряда

Вычислим Следовательно, по признаку Даламбера данный ряд сходится.

Пример:

Исследовать сходимость ряда

Решение:

Исследуем ряд по признаку Даламбера

Следовательно, на основание признака Даламбера данный ряд расходится.

Пример:

Исследовать сходимость ряда

Решение:

Здесь удобно применить признак Коши.

Следовательно, по признаку Коши данный ряд сходится.

Знакопеременные ряды

До сих пор мы изучали только ряды, все члены которых были положительными. Теперь мы перейдем к рассмотрению рядов, содержащих как положительные, так и отрицательные члены. Такие ряды называются знакопеременными.

В качестве примера знакопеременного ряда приведем ряд

Изучение знакопеременных рядов мы начнем с частного случая — так называемых знакочередующихся рядов, т. е. рядов, в которых за каждым положительным членом следует отрицательный, а за каждым отрицательным — положительный.

Обозначая через u₁, u₂,…, ,… абсолютные величины членов ряда и считая, что первый член положителен, запишем знакочередующийся ряд следующим образом:
u₁ — u₂ + u₃ — u₄ + ∙ ∙ ∙ + +…

Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости Лейбница.

Признак Лейбница

Теорема:

Если в знакочередующемся ряде абсолютные величины членов убывают:
u₁ > u₂ > u₃ > ∙ ∙ ∙ >> …
и общий член ряда стремится к нулю: , то ряд сходится, причем его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда.

Доказательство:

Рассмотрим частичную сумму четного числа членов ряда
= u₁ — u₂ + u₃ — u₄ + ∙ ∙ ∙ +

Сгруппируем члены попарно:
= (u₁ — u₂) + (u₃ — u₄) + ∙ ∙ ∙ + ()

Так как по условию абсолютные величины членов ряда убывают, то все разности в скобках положительны и, следовательно, суммаположительна и возрастает при увеличении m.

Запишем теперь , группируя члены иным образом:
u₁ — [(u₂ + u₃) + (u₄ — u₅) + ∙ ∙ ∙ + () +]

Сумма в квадратной скобке также является положительной. Поэтому < u₁ для любого значения m. Таким образом, последовательность четных частичных сумм возрастает с увеличением m, оставаясь при этом ограниченной. Следовательно, имеет положительный предел. При этом, так как < u₁, то ясно, что 0 < S ≤ u₁.

Рассмотрим теперь сумму нечетного числа членов:

При m → ∞ имеем:

так как по условию и, следовательно, .

Таким образом, частичные суммы как четного, так и нечетного числа членов ряда имеют общий предел S. Это означает, что вообще , т.е. ряд сходится. При этом, как видно из доказательства, сумма ряда S не превосходит первого члена ряда.

Пример 13.1. Исследовать на сходимость ряд

Решение: Этот рад удовлетворяет условиям признака Лейбница:

Следовательно, ряд сходится.

Достаточный признак сходимости знакопеременных рядов

Перейдем теперь к рассмотрению общего случая знакопеременного ряда. Предположим, что в ряде
u₁ + u₂ + u₃ + ∙ ∙ ∙ + +…
числа u₁, u₂, u₃ …, ,… могут быть как положительными, так и отрицательными.

Для таких рядов имеет место следующий признак сходимости.

Теорема:

Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда. Если для знакопеременного ряда
(13.1) u₁ + u₂ + u₃ + ∙ ∙ ∙ + +…
сходится ряд
(13.2) |u₁| + |u₂| + |u₃| + ∙ ∙ ∙ +||…,
составленный из абсолютных величин его членов, то данный знакопеременный ряд также сходится.

Доказательство:

Рассмотрим вспомогательный ряд, составленный из членов рядов (13.1) и (13.2):
(13.3)

Имеем:

Таким образом, члены ряда (13.3), либо равны членам сходящегося ряда (13.2), либо меньше их. Поэтому ряд (13.3) сходится на основании первого признака сравнения.

Умножив все члены ряда сходящегося ряда (13.2) на , получим сходящийся ряд
(13.4)

Рассмотрим теперь ряд, являющийся разностью сходящихся рядов (13.3) и (13.4):

Этот ряд также сходится.

Но ряд (13.1) получается из последнего ряда умножением всех его членов на 2:

Следовательно, на основании свойств числовых рядов исходный ряд (13.1) также сходится.

Пример:

Исследовать на сходимость знакопеременный ряд:
(13.5)

Решение:

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

Этот ряд сходится, как обобщенный гармонический ряд с показателем р = 2 > 1. Следовательно, на основании доказанного признака сходится и данный знакопеременный ряд.

Абсолютная и условная сходимость

Признак сходимости знакопеременного ряда является достаточным, но не необходимым. Это значит, что существуют знакопеременные ряды, которые сходятся, в то время как ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся.

Действительно, рассмотрим ряд
(13.6)
который, очевидно, сходится по признаку Лейбница. Между тем, ряд,

составленный из абсолютных величин членов данного ряда (13.6), является гармоническим и, следовательно, расходится.

Хотя оба рассмотренных выше ряда (13.5) и (13.6) сходятся, однако характер их сходимости различен.

Ряд (13.5) сходится одновременно с рядом, составленным из абсолютных величин его членов, тогда как ряд, составленный из абсолютных величин членов сходящегося ряда (13.6), расходится.

В связи с этим введем следующие определения.

Определение:

Знакопеременный ряд u₁ + u₂ + u₃ + ∙ ∙ ∙ ++ …
называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд |u₁| + |u₂| + |u₃| + ∙ ∙ ∙ + ||+ …, составленный из абсолютных величин его членов.

На основании достаточного признака сходимости знакопеременного ряда всякий абсолютно сходящийся ряд является сходящимся.

Определение:

Знакопеременный ряд u₁ + u₂ + u₃ + ∙ ∙ ∙ + +…
называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд |u₁| + |u₂| + |u₃| + ∙ ∙ ∙ + ||+ …, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Возвращаясь к рассмотренным выше примерам, можем сказать, что ряд (13.5) является абсолютно сходящимся, а ряд (13.6) — неабсолютно сходящимся, или условно сходящимся.

Среди знакопеременных рядов абсолютно сходящиеся ряды занимают особое место. Это объясняется тем, что на такие ряды переносятся основные свойства конечных сумм. Особое значение имеет свойство переместительности, которым обладают только абсолютно сходящиеся ряды.

Это свойство, которое мы приводим без доказательства, формулируется следующим образом.

Сумма абсолютно сходящегося ряда не меняется от любой перестановки его членов.

Наоборот, в неабсолютно сходящемся ряде нельзя переставлять члены, так как в случае их перестановки может изменяться сумма ряда и даже получиться расходящийся ряд.

Говоря о перестановке членов, мы подразумеваем, что меняем местами бесконечное множество членов, так как, переставляя два, три, четыре или любое конечное число членов, мы, очевидно, не изменим суммы ряда.

Рассмотрим в качестве примера неабсолютно сходящийся ряд (13.6)

сумму которого обозначим через S.

Переставим члены этого ряда, поместив после каждого положительного члена два отрицательных. Получим ряд
(13.7)

Обозначим частичные суммы ряда (13.6) через , а ряда (13.7) — через . Тогда

Следовательно, и вообще, как можно показать, . Так как , то . Таким образом, последовательность частичных сумм ряда (13.7) с номерами, кратными трем, имеет своим пределом 0,5S.

Далее, находим

и

Итак, мы показали, что существует при любом законе стремления n к бесконечности. Это и означает, что ряд (13.7) сходится. При этом его сумма составляет половину суммы ряда (13.6), из которого он получен перестановкой членов.

Остаток ряда и его оценка

Рассмотрим сходящийся ряд
(13.8) u₁ + u₂ + u₃ + ∙ ∙ ∙ + +…

Как известно, его сумма S является пределом последовательности частичных сумм =u₁ + u₂ + u₃ + ∙ ∙ ∙ + при n →∞, т.е. . Поэтому для достаточно больших п имеем приближенное равенство
(13.9) ,
точность которого возрастает с увеличением n. Для оценки точности приближенного равенства (13.9) введем понятие остатка сходящегося ряда.

Определение 13.3. Разность между суммой ряда S и его n-й частичной суммой называется n-м остатком сходящегося ряда (13.8).

Остаток ряда обозначается через :
(13.10)

Как видно из равенства (13.10), остаток ряда представляет собой сумму сходящегося ряда, полученного из данного ряда отбрасыванием n его первых членов:

Из определения остатка ряда ясно, что

Действительно,

Абсолютная погрешность при замене суммы ряда S его частичной суммой , очевидно, равна модулю остатка ряда:

Таким образом, если требуется найти сумму ряда с точностью до ε > 0, то надо взять сумму такого числа n первых членов ряда, чтобы выполнялось неравенство ∣∣ < ε. Однако в большинстве случаев находить остаток точно мы не умеем. Поэтому выясним, как найти номер остатка n, чтобы его модуль не превосходил заданного числа ε.

Теорема:

Об оценке остатка знакоположительного ряда. Если все члены сходящегося знакоположительного ряда
(13.11) u₁ + u₂ + u₃ + ∙ ∙ ∙ ++…
не превосходят соответствующих членов другого сходящегося знакоположительного ряда
(13.12) υ₁ + υ₂ + υ₃ + ∙ ∙ ∙ + +… ,
то n-й остаток ряда (13.11) не превосходит n-го остатка ряда (13.12).

Доказательство:

Обозначим n-е остатки рядов (13.11) и (13.12) через и :

Каждый из этих остатков является суммой сходящегося знакоположительного ряда.

Так как по условию ≤ , ≤ , ∙∙∙, то на основании первого признака сравнения сумма первого ряда не превосходит суммы второго ряда, т. е. ≤ .

Если даны два сходящихся ряда:
(13.13) u₁ + u₂ + u₃ + ∙ ∙ ∙ + +…,
(13.14) υ₁ + υ₂ + υ₃ + ∙ ∙ ∙ + +…
причем члены ряда (13.14) больше соответствующих членов ряда (13.13), то ряд (13.14) называется мажорирующим рядом по отношению к ряду (13.13).

Из предыдущей теоремы следует, что остаток мажорирующего ряда всегда больше или равен остатку основного ряда.

Обычно в качестве мажорирующего ряда берут ряд, остаток которого можно легко вычислить (например, геометрическую прогрессию).

Тогда, по только что доказанной теореме, мы легко оценим остаток rn данного ряда.

Пример:

Оценить третий остаток ряда

Решение:

Каждый член этого ряда меньше соответствующего члена геометрической прогрессии

со знаменателем q = 1/5. Следовательно, третий остаток r₃ данного ряда меньше третьего остатка rɜ этой прогрессии:

Таким образом, сумма данного ряда отличается от суммы его трех первых членов меньше, чем на .

Теорема:

Об оценке остатка знакопеременного ряда. Пусть дан абсолютно сходящийся знакопеременный ряд
(13.15) u₁ + u₂ + u₃ + ∙ ∙ ∙ + +…

Тогда абсолютная величина его n-го остатка не превосходит n-го остатка ряда, составленного из абсолютных величин членов данного ряда.

Доказательство:

Пусть знакопеременный ряд (13.15) сходится абсолютно. Это значит, что сходится и ряд
(13.16) |u₁| + |u₂| + |u₃| + ∙ ∙ ∙ + ||+ …

Рассмотрим n-е остатки рядов (13.15) и (13.16):

При любом р имеем:

Переходя в этом неравенстве к пределу при р → ∞, получим

или ∣∣ ≤ |, что и требовалось доказать.

Пример:

Оценить третий остаток r₃ ряда

Решение:

Данный ряд — знакопеременный, так как, например,
sin 1 > 0, sin 2 > 0, sin 3 > 0, sin 4 < 0, sin 5 < 0, sin 6 < 0, sin 7 > 0,….

Рассмотрим ряд

Так как , то его члены не превосходят соответствующих членов геометрической прогрессии

Поэтому данный ряд сходится абсолютно.

Обозначим остатки данного ряда, составленного из абсолютных величин, и геометрической прогрессии соответственно через , где . Таким образом, находим оценку третьего остатка данного ряда:

Теорема:

Об оценке остатка знакочередующегося ряда, сходящегося по признаку Лейбница. Если знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница, то его остаток по абсолютной величине не превосходит модуля первого из отброшенных членов ряда.

Доказательство:

Пусть ряд
u₁ — u₂ + u₃ — u₄ + ∙ ∙ ∙ ++ …
сходится по признаку Лейбница. Тогда n-й остаток ряда

сам является суммой знакочередующегося ряда. На основании признака Лейбница остаток по абсолютной величине должен быть не больше модуля первого члена этого ряда, т. е.

Пример:

Вычислить с точностью до 0,01 сумму ряда

Решение:

Данный ряд сходится по признаку Лейбница, поэтому

Так как сумма ряда должна быть вычислена с точностью до 0,01, то достаточно, чтобы выполнялось неравенство , или

Это неравенство выполняется, начиная с n=3. Таким образом, S ≈

Решение заданий на тему: Исследование сходимости знакопеременных рядов

Пример:

Исследовать сходимость знакопеременного ряда

Решение:

Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда

Полученный ряд — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с основанием и, следовательно, ряд сходится. По признаку сходимости знакопеременных рядов, если сходится ряд из модулей членов данного ряда, то сходится и сам знакопременный ряд, причем сходится абсолютно.

Пример:

Исследовать сходимость знакочередующегося ряда

Решение:

Знакочередующиеся ряды исследуются на сходимость по признаку Лейбница, который для сходимости ряда требует выполнения двух условий:

• 1) для данного ряда
• 2) для данного ряда

Следовательно, условия признака Лейбница выполняются и ряд сходится. C учетом, того,что ряд, составленный из модулей членов исходного знакочередующегося ряда расходится, знакочередующийся ряд сходится условно.

Пример:

Исследовать сходимость знакочередующегося ряда

Решение:

Для данного ряда не выполняется первое условие признака Лейбница Действительно Следовательно, ряд расходится.

Пример:

Исследовать сходимость знакочередующегося ряда

Решение:

Исследуем по признаку Даламбера ряд, составленный из модулей членов данного знакочередующегося ряда.

По признаку Даламбера ряд из модулей сходится. Значит сходится абсолютно данный знакочередующийся ряд.

Пример:

Исследовать сходимость знакопеременного ряда

Решение:

При любых значениях п функция sin па — функция ограниченная |sin nа| ≤ 1, поэтому члены данного ряда будут меньше соответствующих членов ряда , который сходится по признаку Коши:

Следовательно, по признаку сходимости знакопеременных рядов сходится исследуемый ряд, причем сходится абсолютно.

Пример:

Сколько членов ряда необходимо взять, чтобы вычислить его сумму с точностью до 0,001?

Решение:

По признаку Лейбница данный знакочередующийся ряд сходится, поэтому по теореме об оценке остатка сходящегося знакочередующегося ряда:

Ответ: n=999.

Основные определения теории числовых рядов

Пусть задана бесконечная числовая последовательность

Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел, соединенных знаком плюс, т.е. выражение

числа называются членами ряда, а общим членом ряда. Например, числовой ряд

имеет общий член

Сходимость и сумма ряда

Частичной суммой называется сумма первых п членов ряда, т.е. Частичные суммы ряда образуют новую последовательность — последовательность частичных сумм:

Если существует конечный предел последовательности частичных сумм то ряд (3.41) называется сходящимся, а число S — суммой ряда. В этом случае пишут

Если предел последовательности частичных сумм бесконечен или не существует, то ряд (3.43) называется расходящимся.

Пример:

Определить сходимость ряда

Решение:

Вначале запишем частичную сумму заданного ряда

Рассмотрим предел частичных сумм

Следовательно, ряд (3.42) сходится и его сумма равна 1.

Пример:

Дан числовой ряд

исследовать сходимость ряда.

Решение:

Величина бесконечно возрастает с ростом n. Поэтому предел последовательности при равен бесконечности и ряд расходится.

Пример:

Определить сходимость следующего ряда:

Решение:

Четная частичная сумма этого ряда а нечетная Это означает, что предел не существует. Следовательно, данный ряд расходится.

Для сходящихся числовых рядов всегда выполняется условие, которое называется необходимым условием сходимости ряда — его общий член стремится к нулю, т.е. Введенное условие сходимости является лишь необходимым, но не достаточным для сходимости ряда, так как существуют расходящиеся ряды, у которых

Пример:

Покажем, что ряд удовлетворяет необходимому условию сходимости ряда, но

является расходящимся. Действительно, необходимое условие выполняется

Чтобы доказать расходимость ряда, рассмотрим его n-ю частичную сумму:

Ряд расходится, поскольку

Основные свойства сходящихся числовых рядов

Свойство:

Добавление или отбрасывание конечного числа членов не изменяет сходимости ряда. Действительно, частичная сумма ряда с отброшенными (добавленными) членами имеет вид где А — сумма отброшенных (добавленных) членов ряда, а — частичная сумма исходного ряда. Следовательно, если существует

Свойство:

Если ряд

сходится и имеет сумму S, то ряд

который получается из предыдущего умножением всех членов на одно и то же число с, также сходится и имеет сумму cS.

Свойство:

Сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать. Т.е., если

тогда ряд

также сходится и имеет сумму так как

Признаки сходимости числовых радов с положительными членами

Числовой ряд называется рядом с положительными членами или просто положительным радом, если все числа

Рассмотрим некоторые достаточные признаки сходимости для положительных рядов.

Первый признак сравнения

Пусть даны три ряда: ряд, сходимость которого надо определить,

Тогда, если начиная с некоторого номера n, выполняется условие

то из сходимости ряда (3.45) следует сходимость ряда (3.43), а из расходимости ряда (3.44) следует расходимость ряда (3.43).

Второй признак сравнения

Пусть даны два ряда

и можно указать такие постоянные числа что, начиная с некоторого достаточно большого n,

Тогда ряды (3.47) и (3.48) одновременно сходятся или одновременно расходятся.

Следствие:

Предельный признак сравнения. Если для рядов (3.47) и (3.48) выполняется условие

то эти ряды сходятся или расходятся одновременно.

Для сравнения обычно используются следующие эталонные ряды: геометрический, гармонический и другие.

Геометрический ряд

Геометрический ряд сходится при условии В противоположном случае ряд расходится. Например, ряд

расходится Можно также сказать, что этот ряд расходится потому, что не выполнено необходимое условие сходимости ряда.

Обобщенным гармоническим рядом называется ряд

Этот ряд сходится при и расходится при

Например, ряд

сходится, а ряд

расходится.

Обобщенный гармонический ряд при называют просто гармоническим рядом:

Гармонический ряд расходится!

Пример:

Исследовать сходимость ряда

Решение:

Сравним общий член этого ряда с геометрическим рядом

который сходится. Так как то по первому признаку сравнения исследуемый ряд сходится.

Пример:

Исследовать сходимость ряда

Решение:

Сравнивая общий член этого ряда с общим членом гармонического ряда заключаем, что этот ряд также расходится (по первому признаку сравнения).

Пример:

Исследовать сходимость ряда

Решение:

Воспользуемся следствием из второго признака сравнения, используя гармонический ряд

Сравниваемые ряды ведут себя одинаково, поэтому заключаем, что исследуемый ряд расходится (т.к. гармонический ряд расходится).

Пример:

Исследовать сходимость ряда

Решение:

Рассмотрим отношение членов этого рада к соответствующим членам гармонического рада:

• при нечетном n имеем
• при четном n имеем

Следовательно, отношение ни к какому пределу не стремится. Однако при всех n оно заключено между 1/2 и 2. Поэтому, согласно второму признаку сравнения исследуемый ряд ведет себя так же, как и гармонический, т.е. расходится.

Признак Даламбера

Пусть дан положительный рад

Если отношение последующего члена ряда к предыдущему начиная с некоторого значения , удовлетворяет неравенству

то ряд (3.51) сходится. Если же, начиная с некоторого N, имеем

то ряд (3.51) расходится. Если то надо применить другой признак.

Следствие:

Предельный признак Даламбера.

Если то при ряд (3.51) сходится, при этот ряд расходится. Если то признак Да-

ламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. В этих случаях надо привлекать другие признаки сходимости ряда.

Пример:

Исследовать сходимость ряда

Решение:

Рассмотрим предел отношения

Исследуемый ряд сходится.

Знакочередующиеся ряды

Знакочередующимися рядами называются ряды вида

где все Сходимость таких рядов исследуется по теореме Лейбница: если в знакочередующемся ряде все члены таковы, что то ряд сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда

По знакочередующемуся ряду можно построить соответствующий ему положительный ряд Если такой положительный ряд сходится, то знакочередующийся ряд называют абсолютно сходящимся, в противном случае ряд называют условно сходящимся. В абсолютно сходящемся ряде члены ряда можно переставлять без потери сходимости, в условно сходящемся ряде перестановка членов ряда запрещена, т.к. она может привести к потере сходимости.

Степенные ряды

Функциональным рядом называется ряд, членами которого являются функции от аргумента х

Если в членах ряда (3.55) зафиксировать значение аргумента то получим числовой ряд

Если при числовой ряд (3.56) сходится, то называется точкой сходимости ряда (3.55).

Областью сходимости функционального ряда называется; множество всех точек сходимости этого ряда. Если значение принадлежит области сходимости ряда (3.55), то можно говорить о сумме этого ряда в точке

Таким образом, значение суммы функционального ряда зависит от значения переменной х, т.е. сумма функционального ряда сама является функцией переменной х.

Степенным рядом по степеням х называется функциональный ряд вида

где не зависят от переменной х и называются коэффициентами этого ряда.

Степенной ряд (3.57) всегда сходится, по крайней мере, в точке

При любых конкретных ряд (3.57) превращается в числовой ряд

Степенной ряд (3.57) сходится в точке абсолютно, если сходится ряд, образованный из модулей членов числового ряда (3.58).

Найдем область сходимости ряда (3.57), используя признак Даламбера для положительных числовых рядов. Ряд (3.57) сходится абсолютно в точке , если

Следовательно, ряд (3.57) заведомо сходится при

и расходится при

Величина

называется радиусом сходимости ряда (3.57). Ряд заведомо сходится в интервале который называется интервалом сходимости.

Признак Даламбера ничего не говорит о сходимости ряда в точках В этих точках сходимость ряда исследовать отдельно.

Исследовать степенной ряд на сходимость означает найти его интервал сходимости и установить сходимость или расходимость ряда в граничных точках интервала, т.е. при и

Пример:

Исследовать на сходимость степенной ряд

Решение:

Используя формулу (3.60), имеем

Интервал сходимости данного ряда характеризуется неравенством Исследуем сходимость ряда в граничных точках Очевидно, что

Оба эти ряда расходятся, так как не выполняется необходимое условие сходимости численных рядов. Следовательно, область сходимости данного степенного ряда совпадает с интервалом сходимости.

Пример:

Найти область сходимости следующего ряда

Решение:

По формуле (3.59) найдем

Следовательно, ряд сходится только в одной точке

Пример:

Найти область сходимости следующего ряда:

Решение:

Так как

то ряд сходится при всех конечных значениях х, т.е.

Основные свойства степенных рядов

1) Во всех точках, лежащих внутри интервала сходимости сумма степенного ряда является непрерывной функцией переменной х:

2) Степенной ряд можно почленно интегрировать внутри интервала сходимости:

3) Внутри интервала сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать:

При почленном интегрировании и дифференцировании степенных рядов их интервалы сходимости не меняются.

Пример:

Найти сумму ряда

Решение:

Найдем сначала интервал сходимости этого ряда n

Следовательно, интервал сходимости ряда (-1, +1). Продифференцировав (3.60), имеем

Правая часть этого выражения — геометрический ряд с который сходится при Поэтому, используя формулу суммы сходящейся геометрической прогрессии, получим

Отсюда сумму исходного ряда найдем интегрированием

Найдем Следовательно,

Таким образом,

Ряды по степеням (х — а). Наряду со степенными рядами относительно переменной х часто рассматривают степенные ряды по переменной (х — а), т.е. ряды вида

Очевидно, что этот ряд подстановкой превращается в ряд типа (4.54). Поэтому, если степенной ряд (3.51) имеет интервал сходимости то соответствующий ряд вида (3.55) имеет интервал сходимости центр которого расположен в точке .

Ряд Тейлора

Пусть функция f(x) в точке имеет производные любого порядка. Предположим, что имеется сходящийся степенной ряд

сумма которого равна функции f(х), т.е.

Найдем коэффициенты такого ряда. Очевидно, что Продифференцировав (3.62) в точке , имеем Продифференцировав (3.59) в точке дважды, получим Продолжая дифференцирование равенства (3.59) в точке можно убедиться, что коэффициенты ряда (3.63) находятся по формуле

Степенной ряд вида

называется рядом Тейлора для функции f(х).

Теорема:

Для того, чтобы бесконечно дифференцируемая функция f(х) являлась суммой составленного для нее ряда Тейлора, необходимо и достаточно, чтобы остаточный член в формуле Тейлора (см. главу 3.3, формулу (3.7)) для f(х) стремился к нулю при

Если для всех значений х из некоторой окрестности точки имеет место равенство

то функция f(х) называется разложимой в ряд Тейлора в окрестности точки (или по степеням (х — а)).

В частном случае при ряд Тейлора имеет вид

и его называют рядом Маклорена.

Пример:

Разложить в ряд Тейлора функцию

Решение:

Поскольку то при для имеем

Следовательно, ряд Тейлора функции в окрестности точки имеет вид

Ряд (3.65) сходится на всей числовой оси к функции .

Пример:

Разложить в ряд Тейлора функцию

Решение:

Для функции имеем:

Следовательно, ряд Тейлора для sin х:

или

Аналогично получается разложение для функции cos х:

или

Подобным образом можно получить разложения в ряд Тейлора и многих других функций.

Определение числового ряда — формулы и правила

Выражение вида

где образуют бесконечную последовательность,
называется бесконечным числовым рядом.

Суммы вида называются частичными суммами, или отрезками ряда.

Конечный или бесконечный предел А частичной суммы
числового ряда при

называют суммой ряда:

Если ряд имеет конечную сумму, то его называют сходящимся,
если же сумма равна или суммы вовсе нет — расходящимся.

Пример:

Определить сумму ряда

Решение:

Найдем частичную сумму n +1 членов ряда:

Для этого умножим правую и левую части последнего равенства на
q и вычтем из первого выражение второе:

Отсюда находим

Сумма ряда при q<1

Пример:

Найти сумму ряда

Решение:

Найдем частичную сумму n членов ряда:

Так как

то

Сумма ряда равна

Теорема:

Необходимое условие сходимости ряда. Если ряд

сходится, то

Действительно, если данный ряд сходится, то его частичные
суммы и имеют один и тот же предел А. Так как то

Это условие сходимости ряда не является достаточным.

Теорема:

Если члены сходящегося ряда умножить на одно и то
же число, то его сходимость не нарушится, а сумма будет равна
сумме исходного ряда, умноженной на это число:

Действительно, и Отсюда следует, что

Пусть Тогда

что и требовалось доказать.

Теорема:

Пусть ряды и сходятся, тогда сумма этих
рядов также сходится, причем

Действительно, Отсюда следует, что

Пусть и Тогда

что и требовалось доказать.

Остатком сходящегося ряда называется разность между его суммой А и частичной суммой

Теорема:

Если ряд

сходится, то сходится и любой из его остатков (9.1). Обратно: из сходимости остатков (9.1) вытекает сходимость исходного ряда (9.2).

Действительно, фиксируем n и обозначим k-ю частичную сумму ряда (9.1) через Имеем

Тогда

Так как ряд (9.2) сходится, т.е.

то

что и требовалось доказать.

Обратно: если дано, что сходится ряд (9.1), так что то, записав (9.3) в виде получим

Иными словами, отбрасывание конечного числа начальных членов ряда или присоединение в начале нескольких новых членов не отражается на его сходимости или расходимости.

Сходимость положительных рядов

Положительным называют ряд, члены которого неотрицательны.

Теорема:

Положительный ряд

сходится, если частичные суммы ряда ограничены сверху, и расходится в противоположном случае.

Действительно, рассмотрим последовательность всех частичных сумм ряда: Это возрастающая последовательность, так как поскольку

Для ограниченной сверху последовательности существует такое число А , что для всех номеров n = 1, 2, … выполняется неравенство

Поскольку последовательность возрастающая и то для любого сколь угодно малого положительного числа можно найти такое число что Таким образом, для всех номеров имеет место неравенство

Отсюда следует, что

Это и означает (см. (9.1)), что

Справедливо и обратное утверждение: если положительный ряд сходится, частичные суммы этого ряда ограничены сверху.

Аналогично доказывается вторая часть теоремы.

Теорема:

Пусть даны два положительных ряда:

Если, хотя бы начиная с некоторого места для n > N , выполняется неравенство то из сходимости ряда (9.6) вытекает сходимость ряда (9.5), или из расходимости ряда (9.5) следует расходимость ряда (9.6).

Действительно, на основании того, что отбрасывание конечного числа начальных членов ряда не отражается на его поведении, можно считать, не нарушая общности, что для всех значений n = 1, 2, … Обозначив частичные суммы рядов (9.5) и (9.6) соответственно через и получим

Так как ряд (9.6) сходится, то на основании предыдущей теоремы его частичные суммы ограничены сверху, т.е.

Тогда тем более

Отсюда на основании той же теоремы следует сходимость ряда (9.5). Так же доказывается случай расходимости рядов.

Признак Коши. Пусть дан положительный ряд

Составим для этого ряда выражение:

Если при достаточно больших п выполняется неравенство

где q — постоянное число меньше единицы, то ряд сходится.

Если же начиная с некоторого места

то ряд расходится.

Действительно, не теряя общности, будем считать, что соотношения (9.8) и (9.9) выполняются начиная с первого члена. Неравенство равносильно неравенству Так как ряд (см. пример 9.1) сходится, то в соответствии с предыдущей теоремой ряд сходится.

Неравенство равносильно неравенству Так как ряд

расходится, то ряд также расходится.

Если же то этот признак не дает возможности судить о поведении ряда.

Следствие:

Пусть существует предел

Если то ряд сходится, если то он расходится. При этот признак не дает ответа о поведении ряда.

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

Решение:

Для решения примера воспользуемся признаком Коши. По формуле (9.10) получим

Так как этот предел меньше единицы, то ряд сходится. ►

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

Решение:

По формуле (9.8) находим

Ряд сходится, так как данный предел меньше единицы. ►

Признак Даламбера

Пусть дан положительный ряд

Составим для этого ряда выражение:

Если при достаточно больших n выполняется неравенство

где q — постоянное число меньше единицы, то ряд сходится.

Если же начиная с некоторого места

то ряд расходится.

Действительно, пусть существует такой номер при котором имеет место неравенство

Отсюда следует, что если сходится ряд то сходится и ряд т.е. сходится исходный ряд.

Покажем, что ряд сходится. Для этого запишем следующую систему неравенств:

Так как ряд сходится, являясь суммой бесконечной убывающей прогрессии, то по признаку сравнения сходится и ряд

Неравенство равносильно неравенству Это означает, что начиная с некоторого номера члены положительного ряда возрастают. Поэтому предел общего члена ряда не равен нулю, т.е. не выполняется необходимый признак сходимости, и ряд расходится.

Если же то признак Даламбера не дает возможности судить о поведении ряда. Следствие. Пусть существует предел

Если то ряд сходится, если то он расходится. При признак не дает ответа.

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

Решение:

По формуле (9.12) находим

Ряд сходится, так как данный предел меньше единицы. ►

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

Решение:

По формуле (9.12) находим

Ряд сходится, так как предел меньше единицы. ►

Интегральный признак Маклорена—Коши

Пусть дан положительный ряд члены которого не возрастают, и непрерывная невозрастающая функция f(x), определенная при причем

Тогда ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится интеграл

Действительно, в силу того, что функция f(x) не возрастает,
имеем на отрезке (рис. 9.1): или

Рассмотрим ряд

Если ряд (9.15) сходится, то сходится несобственный интеграл (9.13). В этом случае, в соответствии с (9.14), сходится ряд а следовательно, сходится исходный ряд.

Если же ряд (9.15) расходится, то расходится несобственный интеграл (9.13) и расходится ряд Отсюда следует расходи- мость исходного ряда.

Пример:

Исследовать на сходимость гармонический ряд (Гармоническим данный ряд называется потому, что каждый его член, начиная со второго, представляет собой среднее гармоническое двух соседних членов. Число с называется средним гармоническим чисел а и b, если

Решение:

Положим По формуле (9.13) находим

Отсюда следует, что гармонический ряд расходится. ►

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

Решение:

Находим
Ряд сходится. ►

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

Решение:

Проведем исследование на сходимость интеграла:

Введем замену t = ln(х +1). Тогда Нижний предел после замены Таким образом,

Ряд расходится, так как расходится несобственный интеграл (9.16). ►

Сходимость произвольных рядов

Знакопеременными называются ряды, знаки членов которых
изменяются при изменении номера.

Признак Лейбница. Если члены знакопеременного ряда

убывают по абсолютной величине:

и предел

то ряд сходится, а его сумма А не превосходит его первого члена:

Действительно, рассмотрим частичные суммы четного порядка исследуемого ряда, т.е. для случая n = 2k:

В силу условия (9.18) выражения в круглых скобках неотрицательны. Поэтому последовательность частичных сумм возрастающая.

Частичные суммы четного порядка можно также записать в виде

Так как выражения в круглых скобках не отрицательны, то Отсюда следует ограниченность последовательности сверху. На этом основании последовательность из частичных сумм четного числа членов ряда сходится:

Последовательность из частичных сумм нечетного числа членов ряда также сходится, причем

т.е. предел равен А .

Таким образом, ряд (9.17) сходится:

Переходя в неравенстве к пределу при получим также

Из признака Лейбница следует свойство знакопеременного ряда (9.17), которое может быть использовано для определения точности вычисления суммы ряда: погрешность при приближенном вычислении суммы сходящегося знакопеременного ряда (9.17) по абсолютной величине не превышает абсолютной величины первого отброшенного члена.

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

Решение:

Так как члены исследуемого знакопеременного ряда убывают по абсолютной величине, т.е.

и предел то ряд сходится. ►

Пример:

Какое число членов ряда надо взять, чтобы ошибка вычисления не превышала 0,01?

Решение:

Если взять число членов равным 99, то первый отброшенный член будет равен Ошибка вычисления в этом случае не будет превышать 0,01. ►

Одновременно со знакопеременным рядом (9.17) удобно рассматривать ряд

составленный из абсолютных величин членов исходного ряда.

Если ряд (9.21) сходится, то и исходный ряд сходится. В этом
случае исходный ряд называют абсолютно сходящимся.

Если ряд (9.21) расходится, то исходный ряд может как
расходиться, так и сходиться. В случае, если исходный ряд сходится, то его называют условно сходящимся.

Пример:

Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд

Решение. В примере 9.10 показано, что исследуемый ряд
сходится. Если члены этого ряда взять по абсолютной величине, то получим гармонический ряд В примере 9.7 показано, что гармонический ряд расходится. Таким образом, исследуемый ряд является условно сходящимся. ►

Пример:

Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд

Решение:

Исследуемый ряд сходится по признаку Лейбница.
Действительно, члены исследуемого знакопеременного ряда убывают по абсолютной величине:

а предел

Если члены ряда взять по абсолютной величине, то получим ряд Используя интегральный признак Маклорена—Коши, получим

Так как сходится этот интеграл, то сходится и исходный ряд.
Таким образом, исследуемый ряд является абсолютно сходящимся. ►

Функциональные ряды

Ряд, составленный из функций одной и той же переменной х:

называется функциональным.

Все те значения х = а , которые входят в область задания всех функций и для которых числовые ряды

сходятся, образуют область сходимости функционального ряда.

Сумма первых n членов называется частичной суммой Разность между суммой S(x) сходящегося функционального ряда и его частичной суммой называется остатком, или остаточным членом ряда:

Суммой функционального ряда, или предельной функцией последовательности определенной на промежутке X, называется предел

Частным случаем функционального ряда является степенной ряд вида

где — постоянные коэффициенты.

Теорема Абеля:

Если степенной ряд

сходится при то он сходится и притом абсолютно при любом х, для которого

Действительно, из сходимости ряда

вытекает, что его общий член стремится к нулю: а следовательно, ограничен, т.е.

Возьмем теперь любое х, для которого и составим ряд:

Так как

то члены ряда (9.24) оказываются меньшими соответствующих
членов геометрической прогрессии со знаменателем

которая сходится. Поэтому ряд (9.24) сходится, а следовательно,
абсолютно сходится ряд (9.22).

Следствие теоремы Абеля. Если степенной ряд (9.22) расходится при то он расходится при любом х, для которого .

Действительно, если и ряд (9.23) расходится, то
расходится и ряд (9.22), так как если бы он сходился, то в силу
доказанного сходился бы и ряд (9.23).

Из теоремы Абеля следует, что для каждого степенного ряда
(9.22), если только он не является всюду расходящимся,
существует такое положительное число R (оно может быть и ), что ряд абсолютно сходится для |х| < R, и ряд расходится для |х|> R (если R <). Число R называется радиусом сходимости ряда.

Таким образом, промежутком сходимости степенного ряда X является отрезок прямой от -R до R . На концах этого промежутка ряд может как сходиться, так и расходиться.

Формула для вычисления радиуса сходимости ряда (9.22) находится с помощью признака Даламбера сходимости рядов с положительными членами. По этому признаку

или

Последнюю формулу можно записать в виде

Если этот предел существует, то он и является радиусом сходимости ряда:

Аналогично находят радиус сходимости степенного ряда с помощью признака Коши сходимости рядов с положительными членами. В этом случае

Пример:

Определить радиус и интервал сходимости и
исследовать поведение в граничных точках интервала сходимости следующих степенных рядов: а) б) в) г)

Решение:

а) По формуле (9.25) находим радиус сходимости:

Следовательно ряд сходится на интервале (—1,1). Исследуем
поведение ряда на концах интервала сходимости, т.е. в точках х = ±1. В точке х = 1 исследуемый ряд становится гармоническим который расходится. В точке х = -1 имеем ряд который сходится (см. пример 9.10);

б) находим радиус сходимости:

Следовательно, ряд сходится на интервале (—1,1). В точке х = 1
исследуемый ряд принимает вид а в точке х = -1 — вид И тот и другой ряды сходятся (см. пример 9.13), причем
последний сходится абсолютно;

в) находим радиус сходимости

Следовательно, ряд сходится на всей числовой оси;

г) находим радиус сходимости:

Следовательно, ряд расходится. ►

Сумма степенного ряда

внутри его промежутка сходимости представляет собой непрерывную функцию от х.

Степенной ряд (9.27) можно почленно интегрировать и дифференцировать в промежутке сходимости.

Разложение функций в степенные ряды

Степенной ряд

представленный в виде дифференцируемой суммы в промежутке сходимости, имеет следующие производные:

Если положить во всех приведенных равенствах х = 0, то получаем формулы для коэффициентов разложения функции в степенной ряд:

Подставив данные формулы в исходный ряд, получим

Разложение функции S(x) в степенной ряд в точке х = 0 называется рядом Маклорена.

Ряд Маклорена является частным случаем ряда Тейлора. В этом случае функция S(x) раскладывается в степенной ряд в точке по формуле

Пример:

Разложить в ряд Маклорена следующие функции: а) б) y = sin x; в) y = cos x; г)

Решение:

а) Производные исследуемой функции:

В точке х = 0 имеем

Подставив результат в формулу (9.28), получим

Так как то ряд сходится на всей числовой прямой;

б) производные исследуемой функции:

В точке х = 0 имеем

Подставив результат в формулу (9.28), найдем

т.е. ряд сходится на всей числовой прямой;

в) производные исследуемой функции:

В точке х = 0 имеем

Таким образом,

т.е. ряд сходится на всей числовой прямой;

г) производные исследуемой функции:

в точке х=0 имеем

т.е. ряд сходится на всей числовой прямой. ►

Всё о рядах — их суммы, сходимость, примеры

Бесконечные ряды являются важным средством исследования в математическом анализе и многочисленных приложениях. В этой главе изучаются основные понятия теории числовых и функциональных рядов.

Всё о числовых рядах

Пусть дана последовательность чисел (вещественных или комплексных)

Выражение

называют числовым рядом, или просто рядом, а сами числа — членами ряда. Если все члены ряда являются вещественными числами, то ряд называют вещественными, если в ряде имеются комплексные члены, то ряд называют комплексным.

Ниже для простоты, там, где это не вызовет путаницы, числовой ряд будет обозначаться

Сразу же возникает вопрос: ясно, как подсчитать сумму конечного числа слагаемых, но как подсчитать сумму ряда содержащего бесконечное число слагаемых? Интуиция подсказывает, что без привлечения понятия предела здесь не обойтись. Так оно и есть. Будем последовательно подсчитывать сумму ряда , составляя так называемые частичные суммы:

Говорят, что ряд сходится, если последовательность

имеет конечный предел:

В этом случае предел S называют суммой ряда и пишут:

Ряд расходится, если последовательность не имеет предела или этот предел равен . Если то говорят, что сумма ряда равна , и пишут:

Пример:

Простейшим примером числового ряда является бесконечная геометрическая прогрессия

где q — вещественное или комплексное число (то, что в (30.1) нумерация начинается с n= 0, а не с n = 1, очевидно, не существенно). Покажем, что ряд (30.1) сходится при и расходится при

Частичная сумма ряда (30.1) равна (при ):

в этом легко убедиться, перемножив Считая q комплексным, представим его в виде

Если поэтому в первом случае ряд (30.1) сходится, а во втором расходится. При этом в случае сумма ряда (30.1) равна

Если q = 1, то ряд (30.1) имеет вид: 1 + 1 +—- + 1 + … Ясно, что его сумма равна . В случае же q = -1 ряд (30.1) имеет вид: 1 — 1 + 1 — 1 + …; последовательность его частичных сумм

не имеет предела и, следовательно, ряд расходится.

Остается рассмотреть случай, когда q является комплексным, причем Предел

не существует (объясните!) и потому ряд (30.1) расходится.

Пример:

Покажем, что числовой ряд

расходится. Имеем

при Следовательно, ряд расходится, и его сумма равна .

Действия с рядами

Укажем некоторые важнейшие свойства числовых рядов.

Теорема:

Если в ряде отбросить конечное число членов, то полученный ряд и ряд « сходятся или расходятся одновременно.

► Для простоты через обозначим ряд , а через — ряд, полученный из путем отбрасывания m его членов. Обозначим через С сумму отброшенных членов, а через k — наибольший из номеров этих членов. Пусть, наконец, — частичные суммы рядов и соответственно. Тогда при выполняется равенство Пусть ряд сходится; тогда сходится последовательность , следовательно, при сходится и последовательность Отсюда и из равенства следует сходимость последовательности т. е. сходимость ряда . Аналогично устанавливаются и другие утверждения теоремы.

Теорема:

Если ряды сходятся и С некоторое число, то ряды также сходятся, при этом

► Ограничимся доказательством только первого утверждения теоремы. По определению сходимости ряда имеем имеем:

Теоремы 30.1 и 30.2 могут создать иллюзию, что при операциях с рядами можно пользоваться обычными алгебраическими правилами: раскрывать скобки, переставлять слагаемые и т. п. То, что это ошибочный вывод, иллюстрирует пример ряда

(1-1) + (1-1) + … + (1-1) + …,

который, очевидно, сходится, и его сумма равна нулю. Если же в этом ряде раскрыть скобки, то полученный ряд

1-1 + 1-1 + … + 1-1 + …

расходится, так как его частичные суммы поочередно принимают значения 1 и 0.

Рекомендации при операциях с рядами

• Если ряд сходится, то его члены можно группировать любым способом, не переставляя их. Другими словами, сходящийся ряд обладает сочетательным свойством.

• Раскрывать скобки, вообще говоря, нельзя. Их можно раскрывать, если внутри скобок всюду стоят только неотрицательные (неположительные) слагаемые.

• Переставлять члены ряда, вообще говоря, нельзя. Их можно переставлять, если сходится ряд из его абсолютных величин, т. е. ряд

Справедливость этих рекомендаций будет ясна из последующего изложения.

Необходимый признак сходимости ряда

Следующее утверждение содержит необходимый признак сходимости ряда.

Теорема:

Если ряд сходится, то

► Обозначим через S сумму ряда а через — его частичную сумму. Тогда

Вычитая из первого равенства второе, получим

Из теоремы вытекает важнейшее

Следствие:

Если не существует, или то ряд расходится.

Исследование сходимости ряда рекомендуется начинать с выяснения вопроса, стремится ли его общий член к нулю. Если это не так, то ответ ясен: ряд расходится. Если же , то ряд может сходиться, а может и расходиться; поэтому в этом случае требуется дополнительное исследование.

Гармонический ряд

Примером того, что соотношение не является достаточным для сходимости ряда , служит так называемый гармонический ряд

На первый взгляд, может показаться, что частичные суммы

не могут быть очень большими, так как мы прибавляем все меньшие и меньшие числа. В действительности же имеем:

и т. д. По индукции легко показать, что

Следовательно, последовательность (30.4) не ограничена сверху. Таким образом, гармонический ряд расходится, и его сумма равна .

Отметим, что частичные суммы (30.4), хотя и не ограничены сверху, возрастают очень медленно. Например, и т. д. Приближенное значение описывается формулой

Здесь — константа Эйлера.

Критерий Коши

Так как сходимость ряда равносильна сходимости последовательности его частичных сумм , то для анализа сходимости рядов можно привлекать признаки сходимости последовательностей. Верно и обратное: для любой числовой последовательности легко построить ряд, частичные суммы которого совпадают с числами . А именно, определим ряд , в котором

Тогда числа будут частичными суммами этого ряда.

Указанное замечание говорит о том, что теория пределов числовых последовательностей и теория сходимости рядов по существу тождественны. Однако исследование вопросов сходимости числовых рядов имеет немало преимуществ, что делает теорию рядов неоценимым средством исследования многих теоретических и практических задач.

Прежде чем переходить к исследованию вопросов сходимости рядов, укажем вытекающий из критерия Коши (см. с. 40) для последовательностей признак сходимости рядов.

Теорема:

Для того чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы для такой, что при неравенство выполнялось для всех р = 1,2,…

Иными словами, сходимость ряда равносильна тому, что сумма любого числа членов ряда, следующих за достаточно большим номером, должна быть произвольно мала.

Пример:

Используя критерий Коши, установить расходимость ряда Составим разность частичных сумм Полагая р = п и учитывая неравенство найдем

Следовательно, критерий Коши не выполняется, и данный ряд расходится.

Отметим, что проверка выполнения приведенного общего критерия в конкретных ситуациях обычно затруднительна. Ниже указываются некоторые важные классы рядов, для которых имеют место более простые признаки сходимости или расходимости.

Признаки сходимости положительных рядов

Вещественный ряд называют положительным (отрицательным), если

Так как положительный ряд переходит в отрицательный и обратно путем умножения на -1, то теории таких рядов тождественны. Поэтому ограничимся рассмотрением только положительных рядов.

Простейшие примеры положительных рядов были рассмотрены выше: это бесконечная геометрическая прогрессия (30.1) при и гармонический ряд (30.3).

Критерий сходимости положительных рядов

Так как последовательность частичных сумм положительного ряда монотонно возрастает: то в силу теоремы 6.4 (см. с. 32) верна следующая основная теорема в теории положительных рядов!

Теорема 31.1. Для того чтобы положительный ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы частичные суммы этого ряда были ограничены сверху.

Пример использования теоремы 31.1 был фактически продемонстрирован выше при доказательстве расходимости гармонического ряда. Приведем для иллюстрации еще один важный с практической точки зрения пример.

Пример:

Покажем, что ряд

где р — вещественное число, сходится при р > 1 и расходится при При р = 1 ряд (31.1) совпадает с гармоническим рядом (30.3), а при р < 1 члены ряда (31.1) больше соответствующих членов ряда (30.3); поэтому при ряд (31.1) расходится.

Пусть р > 1. Обозначая получим

и т. д. Индукцией легко показать, что частичные суммы ряда (31.1) при удовлетворяют неравенству

в правой части которого присутствует сумма членов геометрической прогрессии со знаменателем (напомним, что ). Отсюда следует, что любая частичная сумма ряда (31.1) будет меньше числа

и, следовательно, по теореме 31.1 ряд (31.1) сходится.

Несмотря на свое большое значение, теорема 31.1 при анализе сходимости положительных рядов непосредственно применяется редко. Чаще она служит рабочим инструментом для обоснования более простых признаков сходимости.

Признаки сравнения

Пусть даны два положительных ряда Признак сравнения содержит

Теорема:

Пусть начиная с некоторого номера. Тогда:

• из сходимости ряда следует сходимость ряда ;

• из расходимости ряда следует расходимость ряда

► Так как в силу теоремы 30.1 отбрасывание конечного числа слагаемых ряда не влияет на его сходимость или расходимость, то можно считать, что при всех n = 1,2,… Пусть ряд сходится. Тогда в силу теоремы 31.1 его частичные суммы ограничены сверху. Но так как то частичные суммы ряда также ограничены сверху, и по теореме 31.1 ряд сходится. Второе утверждение теоремы доказывается аналогично.

Иногда на практике более удобен так называемый предельный признак сравнения.

Теорема:

Пусть существует предел

Тогда:

• при 0 < К < ряды и сходятся или расходятся одновременно;

• при К = 0 из сходимости ряда следует сходимость ряда.

Признаки сходимости положительных рядов

• при К = из расходимости ряда следует расходимость ряда .

► Ограничимся доказательством того, что при 0 < К < из сходимости ряда следует сходимость ряда . Из равенства (31.2) имеем: для такой, что при выполнено Отсюда Так как ряд сходится, то в силу теоремы 30.2 сходится и ряд Тогда по теореме 31.2 ряд сходится.

Рекомендации по применению признаков сравнения

• Необходимо твердо знать свойства сходимости или расходимости некоторых «эталонных» рядов, в частности ряда (30.1) (геометрическая прогрессия), гармонического ряда (30.3) и ряда (31.1).

• Из общего члена ряда рекомендуется выделить «главную» часть совпадающую с общим членом какого-нибудь «эталонного» ряда. Тогда вопрос о сходимости ряда может быть решен путем сравнения его с рядом на основе теорем 31.2 или 31.3.

• Не следует забывать и о необходимом признаке сходимости рядов, указанном в теореме 30.3.

Пример:

Рассмотрим положительный ряд

где q > 0. Если то ряд (31.3) расходится в силу того, что не выполняется необходимый признак сходимости рядов. Если q > 1, то «главная» часть общего члена может быть получена путем отбрасывания из него числа 2, как числа существенно меньшего, чем при больших значениях n. Таким образом, при q> 1 ряд можно сравнить с рядом где Так как для любого номера n, и ряд сходится как геометрическая прогрессия сo знаменателем то ряд (31.3) также сходится по теореме 31.2.

Пример:

Рассмотрим ряд

Если в общем элементе этого ряда отбросить несущественные (по сравнению с ) слагаемые то получим «главную» часть в виде Ряд расходится (гармонический ряд). Далее, так как

то по теореме 31.3 ряд (31.4) расходится.

В математической литературе известен ряд модификаций признаков сравнения. Наибольшую известность получили так называемые признаки Даламбера и Коши.

Признак Даламбера

Теорема:

Пусть — положительный ряд и существует конечный или бесконечный предел

Тогда при q < 1 ряд сходится, а при q > 1 или q = — расходится.

► Ограничимся рассмотрением случал q< 1. В силу (31.5) для такое, что при выполнено неравенство Так как q < 1, то можно подобрать такое чтобы Положим Тогда В силу теоремы 30.1 можно. Можно считать, что Тогда Положим Ряд сходится (как геометрическая прогрессия со знаменателем r < 1), при этом для всех n = 1,2,… Отсюда по теореме 31.2 ряд сходится.

Пример:

Рассмотрим ряд Применяя признак Даламбера, получим

Ряд сходится.

Радикальный признак Коши

Теорема 31.5. Пусть — положительный ряд и существует конечный или бесконечный предел

Тогда при q < 1 ряд сходится, а при q > 1 или q = — расходится.

Доказательство этой теоремы проводится по той же схеме, что и доказательство теоремы 31.4, и потому здесь не приводится. Тем не менее читателю полезно будет самостоятельно доказать эту теорему.

Пример:

Рассмотрим ряд Применяя признак Коши, получим

Ряд сходится.

При использовании признака Коши полезны замечательные пределы

и формула Стирлинга

выражающая значение через степенную функцию. Здесь знак означает, что указанные бесконечно большие величины эквивалентны.

Пример:

Рассмотрим ряд Применяя признак Коши, замечательные пределы (31.7) и формулу Стирлинга (31.8), получим

Ряд расходится. Получите тот же результат признаком Даламбера. Замечания о признаках Даламбера и Коши

• Можно показать, что если признак Даламбера дает число q, то это же самое число получится при использовании признака Коши. Вместе с тем существуют примеры рядов, для которых признак Коши решает вопрос о сходимости, а по признаку Даламбера q = 1. Поэтому признак Коши сильнее признака Даламбера. Однако на практике последний признак часто оказывается более удобным.

• Ситуация, когда признак Даламбера или Коши дает число q> 1, означает, что общий элемент ряда не стремится к нулю. Это следует из доказательства теорем 31.4 и 31.5.

• При q= 1 признаки Даламбера и Коши не дают ответ на вопрос о сходимости ряда. В этом случае необходимы дополнительные исследования. Иногда здесь помогают более сложные признаки (признаки Раабе, Куммера, Гаусса и другие). Во многих случаях эффективен приводимый ниже интегральный признак Коши.

Интегральный признак Коши

Этот признак по форме отличен от предыдущих и основан на идее сопоставления ряда с несобственным интегралом.

Пусть для положительного ряда удалось построить функцию определенную при и такую, что Пусть функция непрерывна, положительна и монотонно убывает (см. рис. 31).

Теорема:

Ряд и несобственный интеграл сходятся и расходятся одновременно.

► В силу монотонного убывания получим

Просуммируем эти равенства по k от 1 до n:

Пусть сначала сходится интеграл Тогда из левого неравенства в (31.9) следует, что последовательность частичных сумм ограничена сверху и по теореме 31.1 ряд сходится.

Пусть теперь сходится ряд тогда монотонно возрастающая последовательность ограничена сверху и потому имеет предел, т. е. сходится интеграл Аналогично доказываются другие утверждения теоремы.

Теорема 31.6 имеет простое геометрическое толкование (см. рис. 31). Ряд — это сумма площадей заштрихованных прямоугольников, т. е. площадь ступенчатой фигуры, а интеграл— это площадь криволинейной фигуры, расположенной под графиком функции Поэтому если площадь криволинейной фигуры конечна, то конечна и площадь ступенчатой фигуры и обратно.

Пример:

Рассмотрим ряд Нетрудно убедиться в том, что признаки Даламбера и Коши применительно к нему дают q = 1, т. е. не решают вопрос о сходимости ряда. Воспользуемся интегральным признаком Коши, а именно, определим функцию Очевидно, она удовлетворяет условиям теоремы 31.6. Следовательно, вопрос о сходимости ряда решает несобственный интеграл Имеем

Рассматриваемый ряд расходится.

Произвольные Ряды

Рассмотрим теперь произвольный числовой ряд с комплексными или вещественными членами. Случай, когда члены ряда вещественны и конечное число членов имеет один знак, а остальные другой, неинтересен: он сводится к случаю положительных рядов путем отбрасывания этого конечного числа членов.

Ниже, наряду с комплексными рядами, рассматриваются вещественные знакопеременные ряды, имеющие бесконечно много как положительных, так и отрицательных членов. Примеры знакопеременных рядов:

последний ряд является знакопеременным, так как и т. д.

Частным случаем знакопеременных рядов являются ряды

где для всех n = 1,2,… Ряды вида (32.1) называют рядами Лейбница.

Для изучения вопроса сходимости комплексных или знакопеременных рядов, разумеется, нельзя пользоваться признаками, установленными для положительных рядов. Они имеют свою специфику и требуют отдельного рассмотрения.

Признак Лейбница

Рассмотрим сначала ряд Лейбница (32.1).

Теорема:

Пусть в ряде (32.1) числa такие, что

Тогда ряд (32.1) сходится.

► По определению сходимости ряда достаточно показать, что последовательность частичных сумм ряда (32.1) сходится к некоторому конечному пределу S. Последнее, в свою очередь, будет установлено, если последовательности c четными номерами и с нечетными номерами сходятся к одному и тому же конечному пределу. Имеем

В силу неравенств (32.2) каждая скобка в (32.3) представляет собой неотрицательное число. Следовательно, последовательность монотонно возрастает. Далее, можно представить в виде

следовательно, для всех n = 1,2,… Таким образом, представляет собой монотонно возрастающую ограниченную сверху последовательность. В силу теоремы 6.4 (с. 32) она сходится к некоторому конечному пределу S. Рассмотрим теперь последовательность Так как причем то

Пример:

Ряд удовлетворяет всем условиям теоремы 32.1 и поэтому сходится.

Отметим, что условие монотонного убывания последовательности ап в теореме 32.1 существенно. Например, для ряда

выполнены все условия теоремы 32.1 за исключением неравенств (32.2). Покажем, что этот ряд расходится. Действительно, его частичные суммы можно представить в виде где

Так как (как частичная сумма гармонического ряда) и Следовательно, рассматриваемый ряд расходится.

Абсолютная и условная сходимость

Рассмотрим произвольный числовой ряд вещественными или комплексными членами. Ряд называют абсолютно сходящимся, если сходится ряд

т. е. рад из модулей его членов. Ряд называют условно сходящимся, если он сходится, а ряд (32.4) расходится.

Например, ряды

сходятся абсолютно, а ряд

сходится условно (покажите это!).

Здравый смысл подсказывает, что абсолютная сходимость ряда — более сильное свойство, чем просто сходимость. Это подтверждает

Теорема:

Абсолютно сходящийся ряд сходится.

► Пусть ряд абсолютно сходится, т. е. сходится ряд (32.4). По теореме 30.4 для такое, что при каждом неравенство выполнено для всех р = 1,2,… Тогда тем более Отсюда и из теоремы 30.4 получим сходимость ряда .

Обратное к теореме 32.2 утверждение неверно, что показывает приведенный выше пример условно сходящегося ряда.

Для установления абсолютной сходимости могут быть применены все признаки сходимости, установленные для положительных рядов. При этом, конечно, следует быть осторожнее с признаками расходимости: если даже ряд (32.4) расходится, сам ряд может быть сходящимся, что опять же демонстрируют условно сходящиеся ряды. Сказанное, впрочем, не относится к признакам Коши и Даламбера, когда (см. п. 31.4) получение неравенства означает, что общий член не стремится к нулю. Но тогда и не стремится к нулю, поэтому ряд также расходится. Таким образом, признаки Даламбера и Коши могут быть переформулированы в виде:

Признаки Даламбера и Коши. Пусть существует конечный или бесконечный предел

Тогда при q < 1 ряд ап абсолютно сходится, а при q > 1 или он расходится.

При изучении абсолютной сходимости рядов полезно следующее соображение. Пусть знакопеременный ряд абсолютно сходится. Тогда его частичную сумму можно записать в виде где — сумма положительных членов в частичной сумме, а сумма неположительных членов, взятых по абсолютной величине. Ясно, что Тогда при получим (иначе ряд не был бы знакопеременным). Для ряда частичная сумма имеет вид и так как ряд сходится, то где Отсюда и из того, что следует, что также сходятся к некоторым причем Переходя теперь к пределу при получим, что Таким образом, справедлива

Теорема:

Если знакопеременный ряд абсолютно сходится, то его сумма выражается равенством — суть суммы положительных рядов

составленных из положительных и абсолютных величин отрицательных членов ряда .

Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов

Выше подчеркивалось, что в произвольном ряде, вообще говоря, нельзя переставлять члены произвольным образом. Абсолютно сходящиеся ряды представляют приятное исключение.

Теорема:

Если ряд абсолютно сходится, то ряд, полученный из него перестановкой членов, также сходится к той же сумме, что и исходный ряд.

► Рассмотрим сначала случай положительного ряда Так как ряд сходится к некоторой конечной сумме S, то его частичные суммы Если теперь переставить члены в ряде то в полученном ряде частичная сумма удовлетворяет неравенству — наибольший из старых номеров членов Поэтому сходится к некоторому Но ряд также получен из перестановкой и потому Таким образом,

Пусть теперь ряд знакопеременный. Если в нем произвели перестановку членов, то эта перестановка вызовет перестановку и в рядах (32.6), но не отразится (по уже доказанному) на их суммах Следовательно, и сумма ряда останется прежней.

Пусть, наконец, члены ряда — суть комплексные числа, т. е. Тогда

Но так как сходятся абсолютно. Поэтому по доказанному выше в них можно производить перестановку членов, не меняя их суммы.

Условно сходящиеся ряды переместительным свойством не обладают. Прежде чем убедиться в этом заметим следующее. Согласно теореме 32.3, если знакопеременный ряд абсолютно сходится, то ряды (32.6) сходятся. Для условно сходящихся рядов это не так. А именно, верна

Теорема:

Если знакопеременный ряд условно сходится, то ряды (32.6), составленные из положительных и абсолютных величин отрицательных членов этого ряда, расходятся.

В справедливости этого утверждения несложно убедиться методом от противного (проведите соответствующие рассуждения!).

Укажем теперь замечательную теорему Римана.

Теорема:

Если ряд с вещественными членами условно сходится, то для любого конечного или бесконечного В можно так переставить члены в этом ряде, чтобы полученный ряд имел своей суммой именно В.

Эта теорема подчеркивает тот факт, что условная сходимость ряда осуществляется лишь благодаря взаимному уничтожению положительных и отрицательных членов ряда и поэтому существенно зависит от порядка членов.

► Может показаться невероятным, что простой перестановкой членов условно сходящегося ряда можно получить любую наперед заданную сумму. Но немного поразмыслив, понимаешь, в чем дело. Во-первых, в силу теоремы 32.5 ряды (32.6) расходятся и, во-вторых, следовательно, Поэтому можно сначала за счет нескольких членов одного из рядов приблизиться к заданному числу В, а затем используя поочередно члены этих рядов «колебаться» около числа В.

Пусть, например, нужно получить число 5. Обозначим через такой номер, чтобы выполнялись неравенства

такое найдется в силу того, что Затем обозначим через такой номер, чтобы

и т.д. В результате получим нужную перестановку исходного ряда

Функциональные ряды

Рассмотрим последовательность функций

вещественного или комплексного переменного х, определенных на некотором множестве D.

Функциональным рядом называют выражение

Ниже для простоты, там, где это не вызовет путаницы, функциональный ряд будет обозначаться

При каждом фиксированном функциональный ряд представляет собой обычный числовой ряд который может сходиться или расходиться, обладать свойством абсолютной или условной сходимости и т. п. Поэтому для исследования функционального ряда можно привлекать весь арсенал методов, разработанных для числовых рядов. Вместе с тем функциональные ряды имеют свои особенности, некоторые из которых рассматриваются ниже.

Область сходимости ряда

Областью сходимости (абсолютной сходимости) функционального ряда называют множество тех значений при которых ряд сходится (абсолютно сходится).

В области сходимости сумма S ряда очевидно, зависит от х, т. е. является функцией S(x).

Для определения области сходимости ряда можно воспользоваться каким-либо признаком сходимости, анализируя при этом, для каких значений х этот признак выполнен. Например, если в соответствии с признаком Даламбера существует предел

то для определения области сходимости ряда следует сначала решить неравенство q(х) < 1. Затем к полученному множеству следует добавить те решения уравнения q(x) = 1, при которых ряд сходится (последняя задача требует дополнительного исследования).

Пример:

Рассмотрим ряд

определенный для любых комплексных значений z. Из приведенных в примере 30.1 рассуждений следует, что областью сходимости ряда (33.2) является множество |z| < 1, при этом суммой ряда будет функция

Пример:

Найти область сходимости ряда

определенного для х > 0. Применяя признак Даламбера, получим

Решая неравенство найдем область абсолютной сходимости ряда в виде ряд (33.3) совпадает с гармоническим, а при — удовлетворяет признаку Лейбница. Поэтому областью сходимости ряда (33.3) будет полуинтервал

Функциональные свойства сходящегося ряда

Как было отмечено выше, сумма сходящегося функционального ряда представляет собой функцию определенную в области сходимости ряда. Главным при исследовании функциональных рядов является вопрос о свойствах функции : является ли она непрерывной, дифференцируемой, интегрируемой? Решение этого вопроса требует введения вспомогательных понятий и сведений, представляющих, впрочем, и немаловажное самостоятельное значение.

Равномерная сходимость функциональной последовательности

Рассмотрим последовательность функций (33.1), определенных на отрезке [а, b]. Пусть для каждого эта последовательность сходится; тогда предел будет зависеть от х и, следовательно, представлять некоторую функцию

Функцию называют предельной функцией для последовательности (33.1).

Предположим, что каждая из функций (33.1) является непрерывной, т. е. Закономерен вопрос: является ли предельная функция (33.4) также непрерывной? Простые примеры показывают, что не всегда.

Пример:

Рассмотрим на отрезке [0,1] две последовательности непрерывных функций

При каждом последовательность (33.5) сходится к нулю и, следовательно, предельной для (33.5) является непрерывная функция Последовательность (33.6) также сходится при каждом однако при х € [0,1) она сходится к нулю, а при сходится к единице. Поэтому предельная функция для (33.6) имеет точку разрыва х = 1.

Приведенный пример показывает, что для непрерывности предельной функции (33.4) последовательности (33.1) необходимы дополнительные условия. Займемся их поиском.

Сначала отметим, что в соответствии с определением предела числовых последовательностей выполнение равенства (33.4) означает: для такое, что при выполняется неравенство Разумеется, число зависит не только от но и от так как для различных значений х получаются различные числовые последовательности (33.1). Вопрос: можно ли указать число таким, чтобы оно годилось для всех ?

Если бы число различных х было конечно, то, выбрав среди соответствующих значений наибольшее, мы бы нашли номер, годящийся для любого х. Но мы имеем бесконечно много различных , как показывают примеры, номера годящегося для всех может и не быть.

Пример:

Рассмотрим снова последовательности (33.5) и (33.6). Так как предельной для (33.5) является функция то, решая неравенство получим, что оно выполнено при всех (здесь выражение [а] означает целую часть числа а: например, [3,21] = 3). Следовательно, в качестве , годящегося для всех здесь можно взять число

Если же теперь рассмотреть последовательность (33.6) и обозначить через ее предельную функцию, то для нахождения следует решить неравенство Так как это неравенство тривиально выполнено. При следовательно, указанное неравенство принимает вид решая которое, находим, что оно выполнено при Ясно, что здесь нельзя указать номера, годящегося для всех

Если последовательность сходится на отрезке [а,b] к функции найдется не зависящий от х номер такой, что при выполняется неравенство

то говорят, что эта последовательность равномерно сходится на [а,b] к функции

Пример:

Показывает, что последовательность (33.5) на отрезке [0,1] сходится равномерно, а последовательность (33.6) таким свойством не обладает.

Понятию равномерной сходимости может быть дано равносильное определение. С этой целью рассмотрим пространство Р[а, b] ограниченных на [a, b] функций с нормой (см. п. 29.2).

Последовательность функций равномерно сходится на [a, b] к функции

Отметим, что понятие равномерной сходимости легко переносится на последовательности функций, заданных на произвольном множестве М вещественных или комплексных чисел.

Равномерная сходимость функционального ряда

По функциональному ряду определим последовательность частичных сумм:

Говорят, что ряд равномерно сходится на отрезке [а,b] к функции S(x), если последовательность его частичных сумм равномерно сходится на [а, b] к S(x). Ha практике для проверки равномерной сходимости ряда обычно пользуются не этим определением, а какими-либо признаками. Приведем самый распространенный из них.

Теорема:

Признак Вейерштрасса. Если члены ряда удовлетворяют неравенствам

где — суть члены сходящегося числа ряда сходится то ряд на [а, b] равномерно.

Пример:

Ряд

равномерно сходится на каждом отрезке [а,b ]. Действительно, так как то члены ряда (33.7) удовлетворяют оценкам

Но числовой ряд сходится. Поэтому по теореме 33.1 ряд (33.7) на каждом отрезке [а, b] сходится равномерно.

Непрерывность суммы функционального ряда

Перейдем к изучению свойств функции S(x)— суммы сходящегося функционального ряда. Сначала укажем условия, обеспечивающие ее непрерывность.

Теорема:

Пусть и ряд сходится на [а, b] равномерно. Тогда сумма S(x) этого ряда непрерывна: S(x)

Другими словами, в условиях теоремы 33.2 для выполнено равенство

Справедливость этой теоремы вытекает из следующего представляющего самостоятельный интерес утверждения

Теорема:

Пусть и последовательность сходится на [а,b] равномерно. Тогда предельная функция этой последовательности непрерывна:

► Требуется доказать, что функция будет непрерывна в произвольной точке такое, что при выполнено Имеем

В силу равномерной сходимости последовательности для данного найдется номер такой, что

Зафиксируем и заметим, что так как такое, что при выполнено Отсюда, из (33.8) и (33.9) следует неравенство

Из теорем 33.1 и 33.2 следует признак непрерывности суммы функционального ряда.

Теорема:

Пусть и выполнены условия теоремы 33.1. Тогда сумма S(x) ряда является непрерывной на [а, b] функцией.

Например, сумма ряда (33.7), рассмотренного в примере 33.5, представляет собой функцию, определенную и непрерывную на всей числовой оси.

Интегрирование сходящихся рядов

Рассмотрим теперь вопрос о том, является ли сумма S(х) ряда интегрируемой на отрезке [a, b], т. е. выполнено ли включение

Теорема 33.5. Пусть и пусть ряд сходится на [а, b] равномерно. Тогда причем

► Включение очевидно; оно следует из того, что по теореме 33.2 имеем , следовательно, по теореме 25.2

Остается доказать, что числовой ряд в правой части равенства (33.10) сходится, и его сумма равна числу в левой части этого равенства. Обозначим через частичную сумму ряда Тогда равенство (33.10) будет установлено, если показать, что

Последовательность сходится к равномерно на [а, b], т. е. для такой, что

Поэтому при получим (см. формулу 25.6)

Это и означает справедливость соотношения (33.11).

Дифференцирование сходящихся рядов

В заключение рассмотрим вопрос о возможности почленного дифференцирования функционального ряда.

Теорема:

Пусть равномерно сходится на [а, b]. Пусть также равномерно на [а, b] сходится ряд

Тогда сумма ряда имеет на [a, b] непрерывную производную: при этом

► Отметим сначала, что если ряд равномерно сходится на [а, b], то он также равномерно сходится и на любом отрезке [а, с] при Обозначим через сумму ряда По теоремам 33.5 и 33.6 имеем причем для выполнено равенство

или

Последнее равенство справедливо в силу того, что ряд сходится. Таким образом,

Но так как то (см. теорему 26.2) интеграл в левой части последнего равенства имеет производную, равную Поэтому

Степенные ряды

Важнейшим видом функциональных рядов являются степенные ряды

где — коэффициенты ряда (комплексные или вещественные), а х — комплексная или вещественная переменная. Заменой ряд (34.1) преобразуется к виду

Именно такие ряды мы и будем рассматривать. Отметим, что ряд (34.2) сходится, по крайней мере, в одной точке: z = 0.

Теорема Абеля

Основным при изучении вопросов сходимости ряда (34.2) является следующее утверждение, называемое теоремой Абеля.

Теорема:

Если ряд (34.2) сходится в точке то он сходится абсолютно при и сходится равномерно при где q — любое число из интервала

► Ограничимся доказательством первого утверждения. Так как ряд (34.2) сходится в точке и, следовательно, такое, что Тогда при получим

т. е. члены ряда меньше соответствующих членов ряда знаменателем очевидно сходящегося как геометрическая прогрессия со знаменателем Отсюда и из теоремы 31.2 следует абсолютная сходимость ряда. Что касается равномерной сходимости, то она следует из теоремы 33.1 (признак Вейерштрасса), так как при выполнено неравенство

Основные свойства степенных рядов

Выше отмечалось, что при z = 0 сходится любой степенной ряд (34.2). Существуют ряды, которые не сходятся более ни в одной другой точке. Таким является, например, ряд (покажите это на основе признака Даламбера!).

Пусть М — множество всех z, для которых ряд (34.2) сходится. Положим

Это число (конечное или бесконечное) называют радиусом сходимости ряда (34.2).

Радиус сходимости имеет важное свойство.

Теорема:

Если (34.2) абсолютно сходится, а для |z| > R ряд расходится. Если R = , то ряд (34.2) абсолютно сходится при всех z.

Справедливость этой теоремы следует из теоремы Абеля и равенства (34.3).

Радиус сходимости ряда может быть найден по одной из формул

в справедливости которых можно убедиться на основе признаков Даламбера и Коши соответственно.

В теореме 34.2 ничего не говорится о сходимости ряда (34.2) при Здесь требуется дополнительное исследование, которое, в частности, для вещественного ряда может дать ответ на вопрос, каким будет интервал сходимости ряда (34.2): промежутком вида

Пример:

Рассмотрим вещественный степенной ряд

Применяя первую из формул (34.4), найдем радиус сходимости ряда

Следовательно, ряд абсолютно сходится при При х= 2 ряд имеет вид следовательно, сходится, а при х = -4 он будет рядом Лейбница. Это означает, что интервалом сходимости ряда является отрезок

Функциональные свойства суммы степенного ряда

Для простоты будем предполагать ряд вещественным. Из теорем 33.2, 33.5, 33.6 и теоремы Абеля непосредственно следует:

• Сумма S(z) ряда (34.2) является непрерывной функцией в интервале (-R, R).

• Степенной ряд (34.2) в любом промежутке [0,z], где |z| < R, можно почленно интегрировать:

при этом полученный ряд имеет тот же радиус сходимости.

• Степенной ряд (34.2) в интервале (-R, R) можно почленно дифференцировать:

при этом полученный ряд имеет тот же радиус сходимости.

Пример:

Рассмотрим ряд

представляющий геометрическую прогрессию со знаменателем — х. Этот ряд сходится при и его сумма равна Интегрируя ряд (34.5) в промежутке [0,х] (при |х|<1) и учитывая, что получим

Ряды Тейлора и Маклорена

Была изучена формула Тейлора (19.11), полученная в предположении, что функция имеет непрерывные производные до n-го порядка включительно, т. е. Предположим, что т. е. функция в промежутке [а, b] имеет производные всех порядков. Естественно составить ряд

или, в частности, при — ряд

Такие ряды (независимо от того, сходятся они или нет) называются соответственно рядами Тейлора и рядами Маклорена. Вопрос о сходимости ряда (35.1) или (35.2) может быть решен на основе следующего утверждения.

Теорема:

Пусть такое, что Тогда ряд (35.1) сходится

► Так как разность между функцией и суммой n+1 членов ряда Тейлора (35.1) равняется остаточному члену формулы Тейлора (19.11), то для того, чтобы ряд (35.1) сходился при необходимо и достаточно, чтобы при выполнялось соотношение

Ограничимся рассмотрением только ряда (35.2). Остаток представим в форме Лагранжа

где Отсюда в силу условий теоремы получим

где Нетрудно видеть, что (покажите это на основе формулы Стирлинга (31.8)!). Следовательно,

Условия теоремы 35.1 выполнены, в частности, для функций в любом промежутке [-а,a] (покажите это!). Поэтому имеют место разложения

сходящиеся при любом x.

Для функции условия теоремы 35.1 выполнены только в промежутке [-1,1] (покажите это!). Поэтому для имеют место разложения

Подчеркнем, что функция существует и вне промежутка [-1, 1], однако ряд (35.6) сходится лишь при — разложение (35.6) не имеет смысла.

Предлагаем читателю получить при |х| < 1 разложение в ряд (35.2) функции — произвольное вещественное число, отличное от

Функции комплексной переменной

Разложения (35.3)-(35.5) были получены для вещественной переменной х. Ничто не мешает, однако, рассматривать эти ряды для комплексной переменной z. Действительно, радиус сходимости каждого из этих рядов равен , и, следовательно, они сходятся абсолютно и равномерно в любом круге комплексной плоскости В силу теоремы 33.2 суммы этих рядов будут определять непрерывные функции комплексного переменного z, определенные на Эти функции по аналогии с вещественными функциями называются функциями Таким образом,

Из этих соотношений следуют, в частности, равенства

Формулы (35.10)-(35.11) называют формулами Эйлера. В случае z = х формула (35.10) совпадает с указанной выше формулой (4.5). Наконец, при из (35.10) получим равенства

обосновывающее формулу (4.3).

Аналогично можно обобщить на случай комплексного переменного и другие элементарные функции. Получаемые при этом функции обладают многими замечательными свойствами, отсутствующими у функций вещественного переменного. Однако изучение функций комплексного переменного не является нашей задачей. Отметим лишь, что функции комплексного переменного, представимые в виде сводящихся степенных рядов, называются аналитическими функциями.

Приближенное интегрирование с помощью рядов

Пусть требуется вычислить интеграл Если функция имеет первообразную, то это можно делать на основе формулы Ньютона-Лейбница (26.4). Если же она не имеет первообразной (а такие функции существуют: см. с. 108) или найти первообразную представляется сложным, то часто применяют приближенное интегрирование с помощью рядов.

Для этого, конечно, необходимо каким-либо образом представить в виде сходящегося степенного ряда и затем воспользоваться теоремой 33.5.

Пример:

Интеграл в конечном виде не вычисляется (см. с. 108). Воспользуемся разложением (35.3), из которого следует

По теореме 33.5 найдем

Если, к примеру, требуется вычислить интеграл с точностью до 0,001, то получим

Мы оставили шесть слагаемых в силу того, что седьмой член значительно меньше 0,001.

Ряды Фурье

Функциональные ряды являются мощным аппаратом исследования широкого круга теоретических и прикладных проблем. В первую очередь, это объясняется тем, что они позволяют описывать сложные процессы посредством простейших функций той или иной природы. Так, ряды Тейлора используют степенные функции при n = 0,1,2,…

Важным классом простейших функций является класс тригонометрических функций

позволяющих описывать периодические процессы и явления.

Поставим задачу о разложении функции в ряд по функциям вида (36.1). В связи с этим обратим внимание на следующие замечания.

• Функции (36.1) периодичны с общим периодом Следовательно, если желать, чтобы ряд по функциям (36.1) сходился к некоторой функции , то необходимо требовать, чтобы функция имела период

• Функции (36.1) удовлетворяют соотношениям:

(проверьте эти равенства!). Поэтому (см. §29) функции (36.1) образуют ортогональную систему, например, в евклидовых пространствах со скалярным произведением

По (36.1) несложно строится ортонормированная система функций

Ряды Фурье в евклидовых пространствах

Выберем в евклидовом пространстве ортонормированную систему векторов

Тогда единственным образом представляется в виде

здесь (•, •) — скалярное произведение в

Пусть теперь H — произвольное евклидово пространство со скалярным произведением (•, •), в котором имеется бесконечная ортонормированная система векторов

Аналогом равенства (36.4) для будет выражение

Здесь знак ~ подчеркивает тот факт, что в отличие от пространства говорить о равенстве следует с большой осторожностью. Во-первых, не факт, что ряд сходится, во-вторых, даже если он сходится, не факт, что его сумма равна х.

Правую часть выражения (36.5) называют рядом Фурье вектора — коэффициентами Фурье этого вектора.

Классический ряд Фурье

Приведенное понятие ряда Фурье в произвольном евклидовом пространстве H можно использовать для введения понятия ряда Фурье в его классической форме. В качестве основного пространства будем рассматривать евклидово пространство со скалярным произведением (36.2) и ортонормированной системой функций (36.3).

Рядом Фурье функции называется правая часть выражения

в которой

первое из этих равенств при n = 0 дает и называются коэффициентами Фурье функции .

Слагаемые ряда Фурье часто представляются в виде гармоник — это соответственно амплитуда и фаза гармоники, а число n — ее частота.

Подчеркнем тот факт, что пока можно говорить лишь о формальном соответствии между функцией и ее рядом Фурье. Основной вопрос теории рядов Фурье как раз и состоит в выяснении условий, при которых ряд Фурье сходится, и притом к функции .

Условия сходимости ряда Фурье

Выяснение условий, при которых ряд Фурье сходится в каком-либо смысле к функции — одна из интереснейших задач математического анализа. Мы ограничимся лишь рассмотрением вопросов сходимости ряда Фурье к функции в данной точке

Условия или даже здесь недостаточно. Известны примеры функций ряды Фурье которых расходятся всюду, и примеры функций ряды Фурье которых расходятся в некоторых точках.

Функцию заданную на промежутке [а, b], называют кусочно-непрерывной, если она непрерывна на [а, b] всюду, за исключением, может быть, конечного числа точек разрыва первого рода. Например, функция (см. с. 53) кусочно непрерывна на любом отрезке (а, b).

Имеет место

Теорема:

Пусть функция — кусочно-непрерывна на причем в каждой точке существуют односторонние производные Тогда ее ряд Фурье сходится всюду, причем его сумма равна в точках непрерывности функции и равна в точках разрыва.

Следствие:

Если то ее ряд Фурье сходится к значению

Подойдем теперь к вопросу сходимости рядов с другой позиции. Пусть дан тригонометрический ряд

с некоторыми коэффициентами При каких условиях на сходится этот ряд и какой будет его сумма? Ответ на этот вопрос

может быть получен на основе признака Вейерштрасса (см. с. 161), из которого следует

Теорема:

Пусть ряды абсолютно сходятся. Тогда ряд (36.6) равномерно (и абсолютно) сходится на любом отрезке и его сумма будет -периодической непрерывной функцией.

Вопрос: сумма ряда (36.6), как непрерывная функция, имеет свой ряд Фурье. Совпадает ли он с рядом (36.6)? Ответ на этот вопрос нетрудно получить из теоремы 33.5 об интегрировании равномерно сходящихся рядов. А именно, верно

Следствие:

В условиях теоремы 36.2 коэффициенты Фурье суммы ряда (36.6) совпадают с соответствующими коэффициентами ряда (36.6).

Вычисления с рядами Фурье

Пусть функция удовлетворяет условиям теоремы 36.1. Ниже будем считать ее доопределенной за пределы отрезка по периодическому закону изменив, если это требуется, ее значение в точке так, чтобы Доопределенная таким образом функция очевидно, по-прежнему будет удовлетворять условиям теоремы 36.1.

Отметим некоторые свойства коэффициентов Фурье, облегчающие их вычисление.

Если — четная функция, т. е. (покажите это!) и, следовательно, разлагается в ряд Фурье только по функциям cos nf. Аналогично, если — нечетная функция, т. е. разлагается в ряд Фурье только по

Пример:

Рассмотрим функцию продолженную на всю числовую ось по закону (рис. 32). Полученная функция является нечетной, и поэтому она разлагается в ряд Фурье по функциям

Так как

то

причем ряд сходится при его сумма равна 0 в соответствии с теоремой 36.1. В частности, при из (36.7) следует замечательное равенство

Пример:

Разложить функцию . в ряд Фурье. Продолжим функцию на всю числовую ось с периодом Ее график изображен на рис. 33. Продолженная функция не принадлежит классу четных или нечетных функций. Вычислив ее коэффициенты Фурье

получим

Согласно теореме 36.1 построенный ряд Фурье сходится к заданной функции при он сходится к числу

Выше в основном рассматривались функции, заданные изначально на отрезке Нетрудно получить аналог ряда Фурье и для функций, заданных в произвольном промежутке [а, b] (покажите это!)

Комплексная форма рядов Фурье

Ряд Фурье записывается компактнее, если перейти к комплексным обозначениям. Вспомним (см. с. 169) формулы Эйлера (35.11):

Подставляя эти равенства в ряд Фурье, получим выражение

где

Последние равенства связывают коэффициенты Фурье функции в вещественной и комплексной форме. Впрочем, для коэффициентов несложно получить и прямые формулы:

(докажите эти равенства!).

Решение заданий и задач по предметам:

• Математика
• Высшая математика
• Математический анализ
• Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
2. Функции и графики
3. Преобразования графиков функций
4. Квадратная функция и её графики
5. Алгебраические неравенства
6. Неравенства
7. Неравенства с переменными
8. Прогрессии в математике
9. Арифметическая прогрессия
10. Геометрическая прогрессия
11. Показатели в математике
12. Логарифмы в математике
13. Исследование уравнений
14. Уравнения высших степеней
15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
16. Комплексные числа
17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
18. Алгебраические уравнения
19. Неопределенные уравнения
20. Соединения
21. Бином Ньютона
22. Число е
23. Непрерывные дроби
24. Функция
25. Исследование функций
26. Предел
27. Интеграл
28. Двойной интеграл
29. Тройной интеграл
30. Интегрирование
31. Неопределённый интеграл
32. Определенный интеграл
33. Криволинейные интегралы
34. Поверхностные интегралы
35. Несобственные интегралы
36. Кратные интегралы
37. Интегралы, зависящие от параметра
38. Квадратный трехчлен
39. Производная
40. Применение производной к исследованию функций
41. Приложения производной
42. Дифференциал функции
43. Дифференцирование в математике
44. Формулы и правила дифференцирования
45. Дифференциальное исчисление
46. Дифференциальные уравнения
47. Дифференциальные уравнения первого порядка
48. Дифференциальные уравнения высших порядков
49. Дифференциальные уравнения в частных производных
50. Тригонометрические функции
51. Тригонометрические уравнения и неравенства
52. Показательная функция
53. Показательные уравнения
54. Обобщенная степень
55. Взаимно обратные функции
56. Логарифмическая функция
57. Уравнения и неравенства
58. Положительные и отрицательные числа
59. Алгебраические выражения
60. Иррациональные алгебраические выражения
61. Преобразование алгебраических выражений
62. Преобразование дробных алгебраических выражений
63. Разложение многочленов на множители
64. Многочлены от одного переменного
65. Алгебраические дроби
66. Пропорции
67. Уравнения
68. Системы уравнений
69. Системы уравнений высших степеней
70. Системы алгебраических уравнений
71. Системы линейных уравнений
72. Системы дифференциальных уравнений
73. Арифметический квадратный корень
74. Квадратные и кубические корни
75. Извлечение квадратного корня
76. Рациональные числа
77. Иррациональные числа
78. Арифметический корень
79. Квадратные уравнения
80. Иррациональные уравнения
81. Последовательность
82. Ряды сходящиеся и расходящиеся
83. Тригонометрические функции произвольного угла
84. Тригонометрические формулы
85. Обратные тригонометрические функции
86. Теорема Безу
87. Математическая индукция
88. Показатель степени
89. Показательные функции и логарифмы
90. Множество
91. Множество действительных чисел
92. Числовые множества
93. Преобразование рациональных выражений
94. Преобразование иррациональных выражений
95. Геометрия
96. Действительные числа
97. Степени и корни
98. Степень с рациональным показателем
99. Тригонометрические функции угла
100. Тригонометрические функции числового аргумента
101. Тригонометрические выражения и их преобразования
102. Преобразование тригонометрических выражений
103. Комбинаторика
104. Вычислительная математика
105. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
106. Прямая и плоскость
107. Линии и уравнения
108. Прямая линия
109. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
110. Кривые второго порядка
111. Кривые и поверхности второго порядка
112. Степенные ряды
113. Ряды Фурье
114. Преобразование Фурье
115. Функциональные ряды
116. Функции многих переменных
117. Метод координат
118. Гармонический анализ
119. Вещественные числа
120. Предел последовательности
121. Аналитическая геометрия
122. Аналитическая геометрия на плоскости
123. Аналитическая геометрия в пространстве
124. Функции одной переменной
125. Высшая алгебра
126. Векторная алгебра
127. Векторный анализ
128. Векторы
129. Скалярное произведение векторов
130. Векторное произведение векторов
131. Смешанное произведение векторов
132. Операции над векторами
133. Непрерывность функций
134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
135. Предел и непрерывность функции одной переменной
136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
139. Матрицы
140. Линейные и евклидовы пространства
141. Линейные отображения
142. Дифференциальные теоремы о среднем
143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
144. Функции комплексного переменного
145. Преобразование Лапласа
146. Теории поля
147. Операционное исчисление
148. Системы координат
149. Рациональная функция
150. Интегральное исчисление
151. Интегральное исчисление функций одной переменной
152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
153. Отношение в математике
154. Математическая логика
155. Графы в математике
156. Линейные пространства
157. Первообразная и неопределенный интеграл
158. Линейная функция
159. Выпуклые множества точек
160. Система координат