Функция в математике с решением и примерами

Функциональное (однозначное) соответствие называется функцией. Функция — это тройка множеств где — такой график соответствия что в нем нет пар с одинаковыми первыми и различными вторыми компонентами. Поскольку функция — частный случай соответствия, то все введенные для соответствия определения и свойства справедливы и для функции.

Функции обозначают строчными латинскими буквами f, g, h,… Если функция определена в и принимает значения в , то пишут Первая компонента упорядоченной пары называется аргументом или независимой переменной, а вторая зависимой переменной или значением функции, т. е. само f — это множество упорядоченных пар, а запись это значение функции как второго компонента одной из таких пар.

Две функции f и g равны, если их области определения — одно и то же множество и для любого имеет место равенство

Если функция f устанавливает соответствие между множествами и , то говорят, что функция f имеет тип Например, имеет тип Функция имеет тип

Если функция инъективна, то существует и функция которая называется обратной к f функцией. Например, функция отрезок взаимно-однозначно отражает на отрезок поэтому для нее существует обратная функция, обозначаемая

Функция называется -местной функцией. При этом считают, что функция имеет аргументов, то есть

Пусть заданы две функции Функция называется композицией функций f и g (сложной функцией) и обозначается Можно рассматривать и композицию нескольких функций Например: и т.п.

Если независимая переменная принимает только целые значения переменной, то функция называется функцией целочисленного аргумента. Например, f(l), f(2), f(3),…. Функции могут быть заданы и на произвольном дискретном множестве, например, произвольное целое число, 1 -фиксированное вещественное число.

Функцию, заданную во всех точках некоторого интервала, называют функцией непрерывного аргумента. Например, где определена для любой точки из указанного интервала.

Приведем простейшие свойства функций:

1.Функция заданная на симметричном промежутке, называется четной, если для всех из этого промежутка и нечетной, если В противном случае говорят, что это — функция общего вида. Так, функции четные, функции нечетные, функция общего вида.

2.Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции, и убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значе-

ние функции. Возрастающая или убывающая на промежутке функция называется строго монотонной, если она возрастает; убывает или сохраняет постоянное значение, то называется нестрого монотонной. Функция, график которой изображен на рис. 1.12, на интервале от а до b, монотонно возрастает, от b до c — монотонно убывает.

Функция определенная при всех вещественных , называется периодической, если существует такое постоянное число Наименьшее положительное число Т, обладающее этим свойством, называется периодом функции К периодическим относятся, например, тригонометрические функции.

Отображением называют всюду определенную функцию. Если — область отправления, а все — область прибытия, то говорят об отображении множества во множество . Если же множество отображается не обязательно на все множество , то говорят об отражении на множество .

Способы задания функций:

1. Аналитический. Аналитическим выражением называется символическое обозначение совокупности известных математических операций, которые производятся в определенной последовательности. Если f обозначает аналитическое выражение, . то функция задана аналитически, например, Функция может иметь разные аналитические выражения на разных подмножествах множества , например,

2. Табличный. Функция определенна таблицей своих значений или конечными списками пар. Например,

В этом случае вычисление значений функции сводится к непосредственному считыванию соответствующих пар. Если необходимо знать значение функции для аргументов, отсутствующих в таблице, то его можно приближенно вычислить при помощи правил интерполяции или экстраполяции.

3. Графический. Этот способ заключается в графическом изображении пар в выбранной системе координат и может рассматриваться как обобщение табличного способа на бесконечные множества.

4. Алгоритмический, типичным примером которого является рекурсивный способ. Рекурсивные процедуры задают функции следующим образом: заранее определено значение функции для одного или нескольких «начальных» значений аргумента, например, или и Значение функции при других аргументах определяется через ее значения в «предыдущих» точках. Как правило, рекурсивные процедуры задаются на множестве (подмножестве) натуральных чисел N. Например, функция (читается -факториал): Добавим, что по определению Отличительной особенностью такого задания функции является то, что при вычислении значения функции для аргумента требуется предварительно вычислить значения функции во всех «предыдущих» точках. Для это значения функции в точках 1, 2, 3,…, m-1.

Замечание:

Все вышеперечисленные способы задания функции называются конструктивными. Существуют и неконструктивные способы задания, например, задание функции неявно или с помощью определяющих свойств. Каждое неконструктивное определение требует доказательства существования функции с указанными свойствами.

В зависимости от элементов множеств , а также функции f тройка может иметь различные названия.

Взаимно-однозначное отображение множества на себя, то есть функцию вида называется подстановкой чисел (подстановкой -ой степени). Подстановку часто записывают в виде двух строк. Первая содержит аргументы подстановки, а вторая — соответствующие им образы (вторые координаты). Например, подстановка четвертой степени

переводит 1в2, Зв4, 5в6и7в8.

Числа в каждой строке подстановки расположены в определенном порядке, т. е. представляют собой некоторую перестановку. Меняя местами п чисел, можно получить п! перестановок. Например, (1,2,3,4,5), (1,3,2,4,5), (1,2,4,2,5), …, (2,5,3,1,4),…, (5,4,3,2,1) — всего перестановок.

Два числа образуют инверсию (беспорядок), если большее число стоит левее меньшего. Например, в перестановке (3,1,4,2) имеется три инверсии, т.к. 3 стоит левее 1 и 2, а 4 стоит левее 2. Перестановку, в которой число инверсий равно нулю, назовем правильной, например, (1,3,5,7) или (4,5,8) — правильные перестановки.

Количество инверсий показывает: за сколько шагов данную перестановку можно привести к правильной (шагом называют обмен местами двух соседних чисел). Так, для перестановки (3,1,4,2) имеем: (1,3,4,2), (1,3,2,4), (1,2,3,4) — три шага.

Каждой подстановке можно сопоставить число инверсий в ней, которое равно сумме инверсий в верхней и нижней перестановках. Перестановка

имеет 5+3=8 инверсий. На практике часто используют подстановки, у которых первая строка является правильной. Тогда число инверсий в ней равно числу инверсий во второй строке. Например, подстановка

имеет три инверсии.

Функцию вида где — подмножества вещественных чисел, обычно называют просто «функцией». Например, (читается: «ф от х равно синус х»).

Функция вида где — множество функций, — множество вещественных или комплексных чисел, называется функционалом. Типичными примерами функционалов являются определенный интеграл и связанные с ним понятия длины линии, площади плоской фигуры, объема тела.

Функционалами являются: среднее значение функции на интервале, например средняя скорость движения или среднее ускорение, скалярное произведение векторов и т. д.

Функция вида где , — множества функций, называется оператором. Например,

Что такое функция и как её найти

Понятие функции является основным в математическом анализе. В этой главе приводятся сведения о функциях, изучаются понятия предела и непрерывности функции.

Вводные понятия:

Пусть даны два числовых множества D и F пусть указано правило, по которому каждому числу соответствует число причем только одно. В этом случае говорят, что задана функция с областью определения D и областью значений F. При этом называют независимой переменной (аргументом), а — зависимой переменной (функцией).

Функцию удобно представлять в виде некоторого «аппарата», на «вход» которого подается число , которое затем преобразуется внутри «аппарата», и на «выходе» мы наблюдаем число . Естественно, каждый такой «аппарат» имеет свой закон преобразования чисел, свои возможности (область определения функции), свои выходные параметры (область значений функции).

Пример:

Рассмотрим функцию, которая числу х ставит в соответствие его абсолютное значение . Если на «вход» этой функции подать неотрицательное число , то на «выходе» получим то же число , а если подать отрицательное число , то получим положительное число — . Ясно, что область определения этой функции — множество действительных чисел, а область значений — множество неотрицательных чисел.

Пример:

Поставим в соответствие каждому натуральному числу число 0, если оно четное, и число 1, если оно нечетное. Область определения этой Функции — множество N натуральных чисел, а область значений — множество, содержащее два числа 0 и 1.

Пример:

Числовую последовательность можно рассматривать как функцию, которая каждому натуральному числу ставит в соответствие число Область определения этой функции — множество N натуральных чисел, а область значений — множество

Функции обозначают различными символами. Часто используются обозначения, прямо выражающие соотношения между зависимой и независимой переменной. Например, функцию из примера 10.1 можно записать в виде Другими примерами являются так называемые элементарные функции: и т. п.

В общей постановке для обозначения функций используют формальные записи вида и т. п., или вида и т. п., где D и Е — области определения, a F и G — области значений функции. Например, функцию из примера 10.2 можно обозначить в виде считая, что функция ставит в соответствие каждому в зависимости от его четности или нечетности число k = 0 или k = 1, или в виде где

Способы задания функций

Функция считается заданной, если указано правило, по которому каждому значению аргумента ставится в соответствие значение функции. Основными способами задания функций являются аналитический, табличный и графический.

Аналитическим считается способ задания функции с помощью формулы, выражающей правило получения, значения функции. Например, аналитически заданными являются функции и т. п. Функции могут быть заданными и формулами с использованием нескольких равенств. Например, так называемая функция Дирихле записывается в виде:

Эта функция определена на всей числовой оси а область ее значений состоит из двух чисел 0 и 1.

В случае, когда область определения функции является конечным множеством, обычно используется табличный способ задания функций. Например, таблица

задает функцию, область определения которой — это множество а область значений — множество При этом, например, значению аргумента = 4 соответствует значение функции = 24.

Графиком функции называют геометрическое место точек на плоскости Например, график функции изображенная на рис. 8а линия, а график определенной при функции — изображенная на рис. 8б верхняя полуокружность единичного радиуса с центром в точке Задание функции с помощью ее графика называют графическим способом задания функции.

Важнейшие классы функции

Укажем некоторые важные классы функций.

Ограниченные функции

Функция с областью определения D называется ограниченной сверху (снизу), если такое, что для Если функция является одновременно ограниченной сверху и снизу, то она называется ограниченной.

Например, функция ограничена снизу (в частности, числом 0). Функция является ограниченной, а функция таковой не является.

Монотонные функции

Функция с областью определения D называется возрастающей (убывающей), если для выполняется неравенство Функция называется монотонной, если она либо возрастающая, либо убывающая. Например, функция является монотонной (возрастающей), а функция таковой не является. Не является монотонной и функция Подчеркнем, что понятия ограниченности и монотонности функции тесно связаны с областью определения функции. Если изменить область определения функции, то она может стать ограниченной или монотонной (на новой области определения). Например, если рассматривать функцию только на отрезке то она будет монотонной (возрастающей).

Сложные функции

Пусть дана функция с областью определения D и областью значений F, которая содержится в области определения другой функции .Тогда имеет смысл функция с областью определения D, которая называется сложной функцией от (суперпозицией функций

Например, функция является суперпозицией функции (ее область значений — интервал и функции (область определения которой — интервал

Обратные функции

Пусть дана функция с областью определения D и областью значений F, при этом каждому соответствует ровно одно значение такое, что Указанное соответствие порождает функцию с областью определения F и областью значения D; эта функция называется обратной к функции .

Например, функция имеет обратную а функция не имеет, так как каждому положительному значению соответствует не одно, а два значения Однако, если рассмотреть функцию на области то эта функция уже будет, очевидно, иметь обратную. Обратные функции можно определить и для тригонометрических функций, если сузить соответствующим образом их области определения. Например, функция с областью определения имеет обратную а функция с областью определения — обратную

Элементарные функции

Элементарными называют функции у = С (С — константа), а также функции, получаемые из названных с помощью конечного числа арифметических действий и суперпозиций.

Отметим следующие элементарные функции, не изучаемые в курсе средней школы: называемые гиперболическими синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом, соответственно, и определяемые равенствами:

Параметрические заданные функции

Пусть имеются две функции

с областями определения и и областями значений и соответственно, причем Пусть функция имеет обратную Тогда каждому единственным образом ставится в соответствие значение по формуле при Другими словами, равенства (10.2) задают некоторую функцию с областью определения и областью значений .В этом случае говорят о параметрически заданной функции.

Функции и рассматриваемые на промежутке задают функцию график которой изображен на рис. 8б. Если же функции и рассматривать на промежутке то они будут описывать окружность изображенную на рис. 9 а.

Функции задают функцию, график которой изображен на рис. 9 б. Эту линию называют циклоидой. Ее можно представить как след движения отмеченной точки М колеса радиуса вдоль оси

Предел функции

Пусть — некоторая числовая последовательность. Определим новую числовую последовательность где Пусть последовательность сходится к некоторому пределу т. е. Сходится ли тогда последовательность ? Если сходится, то к какому пределу? Изучение подобных вопросов связано с фундаментальными в математическом анализе понятиями предела и непрерывности функции.

Предельные точки

Отметим два важных момента. Во-первых, случай, когда все элементы последовательности , начиная с некоторого номера , принимают одно и то же значение неинтересен, так как тогда ответ на поставленные вопросы очевиден: последовательность , начиная с того же номера , принимает значение и, следовательно, сходится . Во-вторых, предел последовательности может не лежать в множестве D и, следовательно, функция может быть не определена при

В связи с вышесказанным укажем важное понятие.

Число а называют предельной точкой множества М, если существует последовательность чисел такая, что

Пример:

Рассмотрим промежутки (0,1), [0,1), (0,1], [0,1]. Любое число является предельной точкой каждого из этих промежутков (покажите это!). Других предельных точек эти множества не имеют.

Пример:

Пусть Оно имеет единственную предельную точку а = 0 (покажите это!).

Эти примеры демонстрируют разнообразие возможных ситуаций: множество может состоять только из предельных точек или не иметь ни одной предельной точки, предельные точки могут принадлежать или не принадлежать множеству и т. п. (приведите соответствующие примеры, отличные от вышеприведенных!).

Определение предела функции

Пусть и множество D имеет предельную точку а, т. е. существует последовательность чисел такая, что

Число А называют пределом функции при если для любой последовательности такой, что последовательность сходится к при В этом случае пишут

Используемую в этом определении фразеологию обычно называют «языком последовательностей».

Пример:

Покажем, что функция имеет предел равный 4. Во-первых, так как область определения функции — это числовая ось то любое число и, в частности, число а = 2 является предельной точкой области определения функции. Во-вторых, если — какая-либо сходящаяся к последовательность, то

Пример:

Рассмотрим функцию определенную при Ясно, что число 0 является предельной точкой области определения этой функции. Покажем, что указанная функция не имеет предела при Действительно, рассмотрим последовательности.

Все они, очевидно, стремятся к 0 при В то же время, имеем

Следовательно, а последовательность вовсе не сходится. Поэтому рассматриваемая функция не имеет предела при

Понятие предела функции имеет следующий интуитивный смысл: число А является пределом функции

если при приближении значений аргумента х к числу а значения у приближаются к числу А. Другими словами, если значения х брать «вблизи» точки а, то соответствующие значения у будут находиться «вблизи» точки А. Эти соображения позволяют дать другое определение предела функции (используемую при этом фразеологию обычно называют «языком »).

Число А называют пределом функции если для такое, что из неравенства следует неравенство

Покажем равносильность двух приведенных определений предела Функции.

► Пусть число А является пределом функции по первому определению. Предположим, что тем не менее второму определению функция не удовлетворяет. Тогда такое, что для для которого В частности, если такое, что Так как то (см. лемму 8.1 главы II) и, следовательно (см. следствие 5.1 главы II), тогда в соответствии с первым определением т. е. что противоречит неравенству

Пусть теперь число А является пределом функции при по второму определению. Покажем, что тогда это имеет место и по первому определению. Пусть — последовательность такая, что Требуется показать, что По определению предела числовой последовательности (см. п. 5.2 главы II) достаточно установить, что для такой, что при Существование такого номера установим в два этапа. Сначала по данному подберем в соответствии со вторым определением предела функции число если и Затем по числу подберем номер так, чтобы (так как то это возможно). Найденное число и является требуемым номером Действительно, если и, следовательно,

Пример:

Рассмотрим функцию определенную при Эта функция, в отличие от рассмотренной в примере 11.4, имеет предел при а именно,

Для доказательства этого факта воспользуемся вторым определением предела функции. Пусть дано произвольное число требуется установить существование такого, что как только Так как Следовательно, если взять неравенство будет выполнено.

Основные теоремы о пределах функций

Так как предел функции можно определять как предел соответствующих числовых последовательностей (см. первое определение предела функции), то свойства функций, имеющих предел, во многом аналогичны рассмотренным в §6 свойствам сходящихся последовательностей (см. теоремы 6.1-7.1 и лемму 7.1). Приведем здесь только наиболее важные из этих свойств.

Теорема:

Имеют место равенства

Теорема:

Если функция имеет предел при то она ограничена в некоторой окрестности* точки а.

Теорема:

Если функции и имеют предел при то справедливы равенства

а если то и равенство

Теоремы 11.1-11.3 доказываются по тем же схемам, что и аналогичные теоремы для сходящихся последовательностей. Приведем в качестве иллюстрации доказательство теоремы 11.2.

► Пусть функция имеет предел А при Покажем, что тогда она ограничена в некоторой окрестности точки а. Действительно, для такое, что при выполнено В частности, для найдется такое, что Другими словами, функция ограничена в -окрестности числа а (очевидно, при этом не имеет значения определена или нет функция в точке х = а).

Предел функции на бесконечности

Выше изучались вопросы поведения функции при стремлении аргумента к предельной точке области определения. Для функций, определенных на неограниченных множествах, можно ставить вопрос 0 пределе при стремлении аргумента к бесконечности.

Число А называют пределом функции (при если для такое, что из неравенства следует неравенство При этом пишут

Можно показать, что число А является пределом функции если для любой последовательности такой, что выполняется соотношение Это устанавливается так же, как и доказательство равносильности двух определений предела функции.

Пример:

Функция имеет предел при а именно, Покажем это. Пусть — произвольно. Необходимо доказать существование числа такого, что Решая неравенство Следовательно, в качестве искомого числа К можно взять

Пример:

Покажем, что функция не имеет предела при Достаточно указать две последовательности такие, что и для которых В качестве таких последовательностей можно взять

Для функций, имеющих предел на бесконечности, верны аналоги теорем 11.1-11.3 (сформулируйте их!).

Односторонние пределы

Пусть Пусть множество D имеет предельную точку а. Число А называют левым (правым) пределом функции при если для любой последовательности такой, что последовательность сходится к В этом случае пишут

или (в частности, при а=0 пишут Левый и правый пределы функции называют также односторонними пределами и обозначают соответственно в виде

Сравнение этого определения и определений предела функции показывает, что если функция имеет предел А в точке а, то число А одновременно является левым и правым пределами функции (если, конечно, существуют соответствующие последовательности стремящиеся к а слева и справа). Обратное не всегда верно.

Пример:

Рассмотрим функцию

(читается «сигнум» от «signum» — «знак» по латыни). График этой функции изображен на рис. 10.

Ясно, что эта функция имеет односторонние пределы при и эти пределы, соответственно, равны — -1 и 1. Действительно, если, например, для всех номеров Таким образом, функция удовлетворяет равенствам:

Связь между пределом и односторонними пределами функции устанавливает

Теорема:

Функция имеет предел при тогда и только тогда, когда она имеет левый и правый пределы при и эти пределы совпадают. В этом случае общее значение односторонних пределов равно значению предела функции.

Доказательство теоремы 11.4 предоставляем читателю.

Вычисление пределов функций

Замечательные пределы

Приведем несколько равенств, называемых замечательными пределами и играющих важную роль в теории пределов функций.

Первым замечательным пределом называют равенство

Вторым замечательным пределом называют равенство

где (см. также равенство (6.2) главы II)

К замечательным пределам также относят равенства в частности, в частности,

Докажем равенство (12.1). Для этого сначала покажем, что

Изобразим в круге радиуса 1 (см. рис. 11) угол хорду АВ, касательную АС к окружности в точке А и высоту BD треугольника Длина дуги АВ в радианах равна t. Поэтому из соотношений и получим (12.6).

Разделив (12.6) на получим

Отсюда прибавляя к каждому выражению число 1, получим

здесь для получения последнего неравенства вновь использовалось (12.6). Поэтому

Очевидно, что последнее неравенство верно и для случая t < 0 (в этом случае достаточно t заменить на — t и воспользоваться свойством нечетности функции sin t). Переходя теперь в (12.7) к пределу при получим в силу леммы 8.1 равенства

Отсюда и из теоремы 11.4 получим равенство (12.1).

Бесконечно малые функции

Особое место занимают функции, имеющие нулевой предел. Если то говорят, что функция является бесконечно малой при . В этом случае пишут: при (читается так: равна «о» малое от 1 при ). Например, функция является бесконечно малой при Ниже для краткости вместо слов «бесконечно малые функции» будем писать просто б.м.ф

Примеры б.м.ф. дают замечательные пределы (12.1) и (12.3)—(12.5), а именно,

Покажем, например, первое из этих соотношений. Имеем

Из теоремы 11.3 (с. 51) следует

Теорема:

Сумма, разность и произведение двух б.м.ф. при являются б.м.ф. при

Далее, так же, как и лемма 7.1 главы II, устанавливается.

Теорема:

Если функция является б. м. ф. при , а функция ограничена в некоторой окрестности числа а, то произведение является б. м. ф. при .

Иллюстрацией этой теоремы может служить рассмотренный выше пример 11.5 (с. 50), из которого следует, что

Важность исследования б.м.ф. подчеркивает .

Лемма:

Функция имеет предел А при , тогда и только тогда, когда функция — А является б.м.ф. при .

► Справедливость прямого утверждения леммы следует из равенств

верных в силу теорем 11.1 и 11.3 (см. с. 51). Доказательство обратного утверждения леммы предоставляем читателю.

Сравнение и классификация бесконечно малых

Из леммы 12.1 следует: свойство функции иметь предел А при равносильно представим ее в виде где — б.м.ф. при . Функция характеризует «скорость» стремления функции к пределу А. Поэтому нужно уметь сравнивать б.м.ф.

Пример:

Рассмотрим функции и Ясно, что все они являются б.м.ф. при Оценим «скорость» их стремления к 0. Для этого вычислим значения этих функций при нескольких уменьшающихся значениях аргумента- Результаты приведены в таблице 1.

Приведенная таблица иллюстрирует тот факт, что функция стремится к нулю примерно вдвое «быстрее», чем функция и существенно «быстрее» функции которая, в свою очередь, стремится к нулю так же, как и функция у = х.

«Скорость» стремления б.м.ф. к нулю при можно сравнивать путем анализа отношения

Пусть даны две при .

Если:

• называют бесконечно малой более высокого порядка, чем и пишут (читается: равна «о» малое от );

• называют бесконечно малыми одного порядка при пишут (читается: равна «О» большое от );

• то называют эквивалентными бесконечно малыми при пишут

Например, является б.м.ф. более высокого порядка, чем функция Замечательные пределы (12.1)—(12.5) позволяют получить ряд примеров эквивалентных при функций, некоторые из которых приведены в таблице 2.

При вычислении пределов эквивалентные б.м.ф. можно менять одну на другую.

Пример:

Найти предел Так как и

Бесконечно большие функции

Бесконечно малым функциям противопоставляются бесконечно большие функции.

Функцию называют бесконечно большой при если для такое, что из неравенства и включения следует неравенство Если при этом функция сохраняет знак + или -, то говорят, что она имеет предел при этом пишут

Пример:

Покажем, что функция является бесконечно большой при Необходимо показать, что для такое, что из Решая последнее неравенство, получим Поэтому в качестве искомого числа 5 можно взять

Очевидна

Теорема:

Если функция является бесконечно большой при то функция бесконечно малая при . Если функция бесконечно малая при и при то функция является бесконечно большой при .

Докажите эту теорему!

Для бесконечно больших функций нетрудно сформулировать все аналоги понятий и утверждений, приведенных выше для бесконечно малых функций. При этом аналогично определяются бесконечно большие функции при

Пример:

Покажем, что Для этого необходимо показать, что Имеем

Неопределенности

Так же, как и при рассмотрении числовых последовательностей (см. с. 35), можно указать следующие основные виды неопределенностей

возникающих при вычислении пределов функций. Исследование неопределенностей называют раскрытием неопределенностей. Здесь уместны аналоги рекомендаций, приведенных на с. 35. Рекомендуется также пользоваться замечательными пределами (12.1)—(12.5) и таблицей 2.

Пример:

Найти Учитывая, что сократим числитель и знаменатель на (х — 1) (что возможно, так как в определении предела считается ); получим

Пример:

Найти Для вычисления искомого предела преобразуем выражение к виду, позволяющему воспользоваться вторым замечательным пределом (12.2). Так как

то пологая получим

Непрерывность функции в точке

Пусть — некоторая функция с областью определения D и — предельная точка области D. В определении предела функции при подчеркивалось, что значение не учитывается при вычислении предела. Это значение даже может не входить в область определения функции; если же то значение А предела функции может не совпадать со значением

Однако особый интерес вызывает именно случай, когда и

Говорят, что функция непрерывна в точке , если:

а)

б)

Говорят, что функция разрывна (или имеет разрыв) в точке , если:

• либо при этом не существует предел или

• либо и не существует предел .

Такое называют точкой разрыва функции. Понятие непрерывности можно ввести равносильно на «языке

Говорят, что функция непрерывна в точке если для такое, что из следует

Приведем, наконец, еще одно равносильное определение. Для этого положим

Функция непрерывна, в точке если

Определенные равенствами (13.1) выражения и называют приращениями аргумента и функции соответственно. Поэтому последнее определение позволяет придать понятию непрерывности функции интуитивный смысл: если аргумент х получает малое приращение, то приращение функции также будет малым.

Пример:

Показать, что функция непрерывна в точке Имеем Далее,

что означает непрерывность функции в точке х = 1.

Пример:

Показать, что функция непрерывна в произвольной точке . Требуется показать, что для такое, что если Так как для произвольного верны неравенства то

Отсюда следует, что в качестве искомого можно взять

Так же, как и в примерах 13.1 и 13.2, можно установить непрерывность основных элементарных функций в каждой точке их области определения. Этот факт позволяет заменять вычисление пределов от элементарных функций вычислением их значений в данной точке.

Пример:

Найти предел Из таблицы 2 (см. с. 57) эквивалентных бесконечно малых функций следует, что следовательно, учитывая свойство непрерывности функции получим

Приведем пример разрывной функции.

Пример:

Рассмотрим функцию

график которой изображен на рис. 12. Функция (13.2) имеет предел при и он равен 1. Однако и потому эта функция имеет разрыв в точке х = 0.

Существуют функции, разрывные в каждой точке. Например, таким свойством обладает определенная на с. 44 функция Дирихле (10.1) (покажите это!).

Действия с непрерывными функциями

Непосредственно из теоремы 11.3 (с. 51) следует Теорема 13.1. Если функции и непрерывны в точке , то этим же свойством обладают функции а если то и функция

Важной является следующая теорема о непрерывности сложной функции.

Теорема:

Пусть дана функция с областью определения D и областью значений F, которая содержится в области определения другой функции Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке Тогда сложная функция непрерывна в точке

► Пусть Тогда в силу непрерывности функции в точке имеем Далее, в силу непрерывности функции в точке имеем Следовательно,

Теоремы 13.1 и 13.2 устанавливают непрерывность широкого класса функций.

Пример:

Функция представляет собой произведение функций каждая из которых (как суперпозиция элементарных функций) в силу теоремы 13.2 непрерывна в любой точке Следовательно, из теоремы 13.1 следует непрерывность исходной функции в каждой точке

Классификация точек разрыва

Пусть — некоторая функция с областью определения D и — предельная точка множества D. Укажем все возможные ситуации, при которых не будет точкой непрерывности функции

Простейшей является ситуация, когда и существует конечный предел (см. рис. 13 а). Точку в этом случае называют устранимой точкой разрыва.

Отметим, что рассматриваемая ситуация не укладывается в определение точки разрыва функции (см. с. 59). Это вполне объяснимо, так как здесь можно поступить следующим образом: доопределим функцию в точке , положив где А — значение предела функции Тогда доопределенная функция будет, очевидно, непрерывной в точке (см. рис. 136). Всюду ниже будем считать, что в рассматриваемой ситуации поступают

именно так и, следовательно, функция в точке не будет иметь разрыва.

Пример:

Рассмотрим функцию определенную при Так как то доопределяя эту функцию при х = 0 равенством получим непрерывную при каждом х функцию.

Таким образом, будет точкой разрыва функции лишь в следующих ситуациях (в них учтен тот факт, что существование предела функции равносильно существованию ее односторонних пределов и их совпадению: см. приведенную на с. 53 теорему 11.4).

Точки разрыва первого рода

• существует конечный предел однако

• существуют односторонние пределы однако

Точки разрыва второго рода

• по крайней мере, один из односторонних пределов или не существует или равен бесконечности.

В двух последних ситуациях не имеет значения, выполнено или нет включение

На рис. 14 а и б изображены графики функций, для которых точка хо является точкой разрыва первого рода. Укажем также на функции (13.2) (с. 60) и (11.4) (с. 53), для которых число х = 0 является точкой разрыва первого рода.

На рис. 15 а и б изображены графики функций, для которых точка является точкой разрыва второго рода. В частности, рассмотренная в примере 11.4 (с. 49) функция не имеет предела, и, следовательно, число х = 0 является ее точкой разрыва второго рода. Другим примером является функция для которой точками разрыва второго рода будут числа

Непрерывные функции на отрезке и их основные свойства

Пусть функция определена на отрезке и непрерывна в каждой точке этого отрезка. В этом случае функцию называют непрерывной на отрезке Всюду ниже через будем обозначать множество непрерывных на отрезке функций. Таким образом, запись будет означать, что функция определена и непрерывна на отрезке Например, при любых числах в то же время так как функция не определена в точке Непрерывные на отрезке функции обладают рядом замечательных свойств, некоторые из которых приводятся ниже.

Обращение непрерывной функции в нуль

Теорема:

Теорема Больцано-Коши. Пусть причем Тогда такое, что

Эта теорема имеет простой геометрический смысл: если непрерывная кривая на концах отрезка принимает значения разных знаков, то она пересекает ось х (см. рис. 16).

► Для определенности пусть Разобьем отрезок пополам точкой Если то теорема доказана. Если же то на концах одного из промежутков или функция принимает значения разных знаков. Обозначим этот промежуток через ясно, что Разделим промежуток пополам и повторим все предыдущие рассуждения. Продолжим этот процесс. При этом либо на каком-то шаге наткнемся на точку, в которой функция будет равна нулю, и тогда теорема доказана, либо получим бесконечную последовательность отрезков

таких, что каждый последующий содержится в предыдущем. Очевидно, что Построенная последовательность отрезков удовлетворяет условиям приведенного на с. 38 следствия 8.2. Поэтому такое, что Так как функция непрерывна, то Но по построению имеем Отсюда и из приведенного на с. 37 следствия 8.1 получим одновременно, т. е.

Ограниченность непрерывной функции

Если функция определена на отрезке (т. е. в каждой точке функция принимает конечное значение), то это еще не означает ограниченность функции. Например, функция

определена на отрезке [0,1], однако не является ограниченной, ибо при приближении х к нулю она может принимать сколь угодно большие значения. Заметим, что эта функция не является непрерывной на отрезке [0,1], так как х= 0 — ее точка разрыва (второго рода). Иначе обстоит дело с непрерывными функциями.

Теорема:

Теорема (Первая теорема Вейерштрасса). Если то она ограничена, т. е. числа т и М такие, что для

► Допустим противное, т. е. функция неограничена. Для определенности будем считать, что функция неограничена сверху, т. е. для такое, что По лемме Больцано-Вейерштрасса (см. с. 39) из последовательности можно выбрать сходящуюся под последовательность. Без ограничения общности можно считать, что сама последовательность сходится к некоторому пределу с. Тогда в силу приведенного на с. 37 следствия 8.1 получим Далее, из непрерывности функции имеем при что невозможно, так как по построению

Приведем еще одно полезное утверждение.

Теорема:

Теорема (Вторая теорема Вейерштрасса). Если то она достигает на своего максимального и минимального значения, т. е. такие, что

► Ограничимся доказательством того, что функция достигает на своего максимального значения. В силу теоремы 13.4 функция ограничена на отрезке . Тогда по теореме 2.1 (см. с. 14) определено число Далее, по теореме 2.2 (см. с. 15) последовательность такая, что По лемме Больцано-Вейерштрасса (см. с. 39) из последовательности можно выбрать сходящуюся под последовательность. Можно считать, что сама последовательность сходится к некоторому пределу В силу непрерывности функции имеем так как, с другой стороны, имели Очевидно, что

Равномерная непрерывность функции

При доказательстве ряда фундаментальных теорем математического анализа используется понятие равномерной непрерывности функции.

Пусть — непрерывная на некотором множестве М функция и Тогда для такое, что при Ясно, что здесь зависит не только от но и от для разных значений получим (при фиксированном ) разные . Вопрос: можно ли по данному подобрать такое которое годилось бы для т. е. оценка при выполнялась бы для ? Этот вопрос приводит к следующему понятию.

Функция называется равномерно непрерывной на множестве М, если для такое, что для любых двух точек удовлетворяющих неравенству выполняется оценка

Если функция равномерно непрерывна на М, то она, очевидно, непрерывна на М. Обратное, вообще говоря, не верно.

Пример:

Покажем, что функция непрерывная в промежутке (0,1), не является равномерно непрерывной на нем. Положим и Очевидно, Далее, так как то — Поэтому для такое, что при Зададимся Тогда каким бы ни взять число с одной стороны, а с другой стороны, Следовательно, функция не является равномерно непрерывной на (0,1).

В рассмотренном примере функция была непрерывной в интервале (0,1), при этом свойство равномерной непрерывности нарушалось при приближении к концу х = 0 этого интервала. Оказывается, если функция непрерывна на отрезке, то такого быть не может, а именно верна.

Теорема:

Теорема (Кантор). Если равномерно непрерывна на

В предположении противного такое, что для такие, что В частности, для каждого такие, что и В силу леммы Больцано-Вейерштрасса (с. 39) из последовательности можно выбрать сходящуюся под последовательность. Не ограничивая общности, можно считать, что сама последовательность сходится к некоторому Тогда это следует из соотношений

В силу непрерывности функции получим С другой стороны, имеем

Полученное противоречие доказывает теорему.

Понятие функции

Соответствие между множествами: Рассмотрим два множества X и У. Если указан закон, по которому некоторым или всем элементам соответствует один или несколько элементов то говорят, что между множествами X и У установлено соответствие.

Пусть, например, даны два множества X и У. Множество X состоит из элементов: «яблоко», «автомобиль», «птица», «книга» и «груша». Множество У состоит из элементов: «дерево», «шофер», «охотник» и «портфель». Установим между этими множествами соответствие. Проведем стрелки от элементов множества X к элементам множества У и будем считать, что элементу х множества X, от которого исходит стрелка, соответствует тот элемент на котором стрелка кончается:

Можно установить соответствие и другим способом — при помощи пар. Выпишем пары соответствующих элементов. На первом месте в каждой паре мы запишем элемент, принадлежащий множеству X, а на втором месте — элемент, принадлежащий множеству Y:

(яблоко; дерево), (автомобиль; шофер), (птица; охотник), (книга; портфель).

Соответствие между двумя множествами можно задать и при помощи таблиц. Пусть, например, требуется составить график дежурств в классе на неделю между школьниками Лешей, Верой и Галей. Составим таблицу:

Эта таблица устанавливает соответствие между множеством школьников {Леша, Вера, Галя} и множеством дней недели {понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота}.

Это же соответствие можно представить и при помощи пар: (Леша; понедельник), (Вера; вторник), (Леша; среда), (Галя; четверг), (Вера;пятница), (Галя; суббота) или при помощи стрелок: Леша понедельник, Вера вторник, Леша среда, Галя четверг. Вера пятница, Галя суббота.

Мы рассмотрели два примера на соответствие между множествами. В первом примере элементу из множества X не было соответствующего элемента в множестве Y. Во втором примере каждому элементу из множества X соответствовало несколько элементов из множества У. Но мы все равно говорим, что в каждом случае между множествами X и У установлено соответствие.

Определение функции

Пусть даны два множества Между ними можно установить соответствие различными способами. На рис. 21 указаны некоторые из этих соответствий. Чтобы различать эти соответствия, мы будем обозначать их различными маленькими латинскими буквами и т. д.

Введем теперь понятие функции. Соответствие между множествами X и У называется функцией, если каждому элементу соответствует один и только один элемент

Для обозначения функции существует специальная символика. Если даны множества X и Y и задан закон соответствия f, то функцию принято обозначать так: где а знак f определяет закон соответствия.

Так, если и соответствие f задано при помощи стрелок 121, 230 и 345, то это записывается так: и

Из определения функции следует, что не всякое соответствие между двумя множествами является функцией. Так, на рис. 21 приведено несколько соответствий между элементами множеств Из них только соответствия являются функциями.

Приведем еще несколько важных определений. Если даны два множества X и У и дан закон соответствия между элементами этих множеств то множество X называется областью определения функции. Множество элементов из множества Y, которые соответствуют элементам образуют подмножество множества Y. Обозначим его через Множество называется множеством значений функции.

Примеры:

1. Если и установлен закон соответствия между этими множествами при помощи стрелок то областью определения функции будет множество {1; 2; 3}, а множеством значений функции будет подмножество состоящее из элементов {10; 20; 30}. В этом случае

2.Если множества X и Y таковы, что а закон соответствия определен так: то областью определения функции будет множество N, а множеством значений функции будет множество всех четных чисел. Ясно, что в этом случае

Если задана функция с областью определения X и с множеством значений У, то ее называют также отображением множества X на множество Y.

Способы задания функции

Рассмотрим наиболее распространенные способы задания функции.

Табличный. Мы уже знаем, что соответствие можно задавать при помощи таблицы. Так же можно задавать и функцию, так как функция—это частный случай соответствия. Таблицы могут быть вертикальными и горизонтальными.

Если а функция задана следующим образом: то с помощью таблицы (горизонтальной или вертикальной) это можно записать так:

Пример. Записать в виде таблицы функцию заданную так, что каждому натуральному числу соответствует его квадрат. Решение. Таблица примет вид

Табличный способ задания функции широко применяется в практике. Так, записаны таблицы квадратов, кубов натуральных чисел, таблицы значения тригонометрических функций, таблицы логарифмов и т. д.

Графический. Пусть даны множества и дан закон соответствия: (1; 0), (3; 2), (5; 4), (7; 6). Начертим оси координат и построим на координатной плоскости точки, координатами которых служат выписанные пары чисел (рис. 22).

Множество построенных точек называется графиком функции.

Вообще, график функции есть множество точек плоскости Из определения функции следует, что каждому значению соответствует одно и только одно значение функции поэтому прямая, параллельная оси координат, может пересекать график функции не более чем в одной точке. Так, окружность, приведенная на рис. 23, а не является графиком какой-либо функции: прямые, параллельные оси ординат, могут пересекать ее в двух точках. А полуокружность, приведенная на рис. 23,6, является графиком функции. На рис. 24 приведен график функции, а на рис. 25 изображен график соответствия, не являющегося функцией.

Задание функции формулой. Пусть даны множества X и У и формула, пользуясь которой можно находить значения у, зная значения х. Формула выражает закон соответствия между множествами X и Y. Если обозначить эту формулу буквой F, то символически можно записать Если каждому значению х соответствует одно и только одно значение у, то мы имеем дело с функцией, и тогда можно записать

Примеры:

1. Дано множество Определить множество Y, если закон соответствия выражается формулой

Решение:

Производя указанные в формуле действия, получим соответствие

т.е. множество У таково:

2.Дано множество и закон соответствия Найти У.

Решение:

Используя закон соответствия, получим:

т.е.

Следовательно, Y = {0; 2; 6; 12; 20}.

Обычно, если функция задана на множестве тех значений х, при которых выражение f (х) имеет смысл, то при задании функции при помощи формулы не указывают область ее определения. В этих случаях область определения функции (т. е. множество X) называется естественной областью определения функции.

Например, если функция задана формулой то считают, что область ее определения состоит из всех чисел; если функция f задана формулой область ее определения состоит из всех чисел, кроме 1; если функция f задана формулой то областью ее определения будет множество всех чисел, кроме чисел 1 и — 1.

Свойства функций

Монотонные функции

Рассмотрим функцию (рис. 30). Эта функция определена на множестве всех чисел. Составим таблицу некоторых значений функции:

Из таблицы видно, что для любых двух значений и (например, из условия следует, что (в нашем примере

Возьмем теперь функцию Пусть областью ее определения будет множество всех положительных чисел (рис. 31). Составим таблицу некоторых значений этой функции:

Из таблицы видно, что из условия следует Например, если Функции, обладающие указанными свойствами, называются возрастающими.

Функция определенная на множестве X, называется возрастающей, если для всех из условия следует, что

Рассмотрим теперь функцию (рис. 32). Эта функция определена на множестве всех чисел. Из графика этой функции видно, что для всех справедливо, что если Например, если а

Возьмем функцию (рис. 33), определенную на множестве X всех неположительных чисел,

Из графика этой функции видно, что для всех справедливо, что из условия следует Например, если то т.е.

Функции, обладающие таким свойством, называются убывающими.

Функция определенная на множестве X, называется убывающей, если для всех справедливо, что из условия следует

Возрастающие и убывающие функции называются монотонными .

Четные и нечетные функции

Будем рассматривать функции, определенные на множествах, симметричных относительно начала координат. Множество X называется симметричным относительно начала координат, если вместе с каждым числом х оно содержит число —х. Например, отрезок [—6; 6] симметричен относительно начала координат, а отрезок [—6; 8] не симметричен и полуинтервал [—6; 6 [не симметричен.

Функция f, заданная на симметричном относительно начала координат множестве X, для которой выполняется условие, что для любого справедливо равенство называется четной.

Примерами четных функций могут служить функции где и т. д.

Из рис. 34—36 видно, что графики четных функций симметричны относительно оси Оу. Следовательно, если вы строите график четной функции, то достаточно построить его для значений

а затем на основании симметрии относительно оси Оу продолжить его для значений т. е. нужно построенный график функции для зеркально отобразить относительно оси ординат.

Рассмотрим функцию (рис. определена на множестве всех чисел, некоторых значений этой функции:

Из таблицы видно, что Так, например, если если и

Функция f заданная на симметричном относительно начала координат множестве X, для которой выполняется условие, что для любого справедливо называется нечетной функцией.

Примеры нечетных функций: (рис. 38); и т.д.

Из рисунков видно, что график нечетной функции симметричен относительно начала координат. Следовательно, для построения графика нечетной функции достаточно построить часть графика для а затем при помощи двух зеркальных отображений относительно осей Ох и Оу получить весь график.

Так, например, чтобы построить график функции (см. рис. 38), мы построим часть графика для (рис. 40), затем зеркально отображаем его относительно оси Ох (пунктирная линия на рис. 40), а затем полученную пунктирную кривую зеркально отображаем относительно оси Оу.

Линейная функция и функция y=k/x

Линейная функция и функция

Определение:

Рассмотрим функции, которые определяются формулой где k и b — постоянные числа. Эти функции определены на множестве всех чисел.

Такие функции называются линейными функциями. Например, функции —линейные.
Линейная функция может быть задана и при помощи таблицы. Покажем, что функция, определенная таблицей

есть функция линейная. Действительно, из таблицы видно, что значения у отличаются от значения х на три единицы: эту функцию можно задать формулой Здесь

Следовательно, рассмотренная функция — линейная.

Покажем, что линейная функция есть функция монотонная. Возьмем два произвольных значения Найдем для них соответствующие значения

Вычитая из значение получим:

Если тогда и данная функция есть функция возрастающая.

Если такая функция будет убывающей.

Отсюда следует, что линейная функция есть функция монотонная.

График линейной функции

Рассмотрим функцию, заданную формулой Составим таблицу некоторых значений этой функции:

Если на координатной плоскости отметить все точки, координаты которых суть пары чисел, записанных в таблице, то видно, что все они лежат на одной прямой (рис. 41).

Если взять любую другую линейную функцию, например (рис. 41), составить соответствующие

пары и нанести их на координатную плоскость, то они также будут лежать на прямой линии. График линейной функции, заданной на множестве всех чисел, есть прямая линия.

Если область определения линейной функции состоит из отдельных точек или содержит не все числа, то их графиками будут являться различные подмножества прямой линии ( луч, отрезок, множества отдельных точек)

Выясним теперь смысл коэффициентов k и b. Рассмотрим функции У них один и тот же коэффициент b, а коэффициент k имеет разные значения. Графики этих функций представлены на рис. 41. Из рисунка видно, что чем больше по абсолютному значению величина k, тем круче идет прямая линия.

Если угол между осью Ох и графиком линейной функции, отсчитываемый против часовой стрелки, обозначить через (рис. 42), то из предыдущего ясно, что величина этого угла зависит от значения коэффициента k. При угол — острый, а если то угол —тупой. Коэффициент k связан с величиной угла поэтому его называют угловым коэффициентом.

Рассмотрим теперь функции (рис. 43). У них коэффициент k один и тот же, а коэффициент b имеет разные значения. Сравнивая эти графики, мы видим, что при изменении коэффициента b график функции перемещается параллельно самому себе. При так как точка принадлежит графику функции то отсюда следует, что коэффициент b численно равен отрезку, отсекаемому графиком функции на оси Оу. Так, для функции отрезок, отсекаемый прямой на оси Оу, равен 1, а для функции равен 2. Следовательно, коэффициенты k и b определяют положение прямой, являющейся графиком линейной функции на координатной плоскости.

Покажем более простой способ построения графика ли ней ной функции. Пусть дана линейная функция

Возьмем тогда мы получим точку лежащую на оси Оу. Положив мы получим точку лежащую на оси Ох. Эти точки принадлежат графику функции следовательно, они лежат на прямой, соединяющей их, — графике данной функции. Проведя прямую через точки А и В, получаем график функции (рис.44)

График прямой пропорциональности

Пусть функция задана формулой определенной на множестве всех чисел. Такая функция называется прямой пропорциональностью.

Так как функция есть частный случай линейной функции (здесь то ее графиком будет прямая линия. В силу того, что отрезок, отсекаемый этой прямой на оси Оу, равен нулю. Следовательно, график прямой пропорциональности проходит через начало координат. На рис. 45 приведены графики прямой пропорциональности.

Если то график прямой пропорциональности расположен в I и III координатных углах, если то—во II и IV.

График обратной пропорциональности

Пусть функция задана формулой Эта функция определена на множестве всех чисел, кроме нуля. Рассмотрим свойства функции

Монотонность. Пусть дана функция Покажем, что эта функция является монотонной. Возьмем два произвольных положительных значения аргумента входящих в область определения функции.

Найдем соответствующие им значения функции и Имеем Так как и, следовательно, из условия следует Значит, функция есть функция убывающая.

Возьмем теперь два произвольных отрицательных значения Найдем для них соответствующие значения Так как следовательно, функция есть функция убывающая.

Нечетность. Функцию можно записать так: т.е для этой функции справедлив закон Следовательно, функция — нечетная.

Построим теперь график функции график обратной пропорциональности. Возьмем функцию Мы уже знаем, что эта функция нечетная. Следовательно, достаточно построить ее график для а затем при помощи двойного зеркального отображения от оси Ох и Оу получить график функции для всей области определения.

Составим таблицу некоторых значений этой функции:

Нанесем на координатную плоскость все эти точки и соединим их плавной линией (рис. 46, а). Если теперь зеркально отобразить эту кривую сначала относительно оси Ох (пунктирная линия на рис. 46, б), а затем полученную «пунктирную» кривую зеркально отобразить относительно оси Оу, то мы получим график обратной пропорциональности (рис. 46, в). Полученная кривая называется гиперболой.

Из рис. 46, в видно, что гипербола состоит из двух ветвей, расположенных в I и III координатных углах. При этом все точки графика, имеющие положительную абсциссу, расположены в I координатном угле, а точки

с отрицательной абсциссой расположены в III координатном угле.

Если то графиком этой функции также будет гипербола, но расположена она во II и IV координатных углах (рис. 46, г).

Аналогично обстоит дело и в общем случае обратной пропорциональности. Если то графиком функции является гипербола, расположенная в I и III координатных углах. Если же то графиком функции является гипербола, расположенная во II и IV координатных углах.

Степенная функция с целым показателем

Определение:

Рассмотрим функции, задаваемые формулой произвольное целое число; такие функции называются степенными функциями с целым показателем. Эти функции определены на множестве всех чисел (кроме Ранее рассмотренные нами функции принадлежат к этому классу функций (соответственно имеем

Функции, задаваемые формулой

Мы уже знаем, что функция определена на множестве всех чисел, является четной, возрастающей, если и убывающей, если

Построим график функции (рис.47):

Этот график симметричен относительно оси Оу. График функции называется параболой.

Построим теперь график функции (рис.48)

Из рис. 48 видно, что если то все точки параболы расположены ниже оси Ох, т. е. в III и IV координатных углах.

На основании этих примеров можно сделать следующие выводы о графике функции

а) если — график проходит через начало координат;

б) если то все точки графика лежат выше оси Ох при и ниже этой оси при

в) если то ветви параболы направлены вверх, а при — вниз;

г) чем больше тем «круче» ветви параболы.

Функции, задаваемые формулой

Функция определена на множестве всех чисел, нечетная и монотонная. Мы уже показали, что функция является нечетной. Докажем теперь, что она монотонна. Возьмем два неравных значения Для определенности будем считать, что Тогда Вычитая, получим

Так как

если

Следовательно, функция будет убывающей, если и возрастающей, если во всей области определения этой фунции, т. е. эта функция является монотонной.

Если построить график функции для различных значений а, то мы увидим, что чем больше тем «круче» идут ветви графика (рис. 49).

График функции расположен во II и IV координатных углах и симметричен графику Например, график функции (рис. 50) симметричен графику функции и расположен во II и IV координатных углах.

Функции, задаваемые формулой

Рассмотрим функцию Эта функция определена

на множестве всех чисел, кроме нуля, четная, монотонно возрастающая при и монотонно убывающая при

Функция не определена при поэтому ее график не пересекает ось Оу. В силу четности функции график симметричен относительно оси Оу. Если то значения функции всегда положительны, т. е. ее график расположен выше оси Ох (рис. 51). Если то значения функции отрицательны и ее график расположен ниже оси Ох (рис. 52).

Квадратный трехчлен

Функция, задаваемая формулой Рассмотрим функцию, задаваемую формулой Эта функция определена на множестве всех чисел.

Покажем, что графики функций конгруэнтны. Преобразуем выражение

Следовательно, мы доказали, что существует параллельныи перенос, определяемый вектором переводящий график функции в график функции т.е. мы показали, что графики этих функций конгруэнтны.

Значит, графиком функции является парабола. Ее можно построить из графика функции с помощью параллельного переноса на вектор пендикулярна оси Ох и проходит через точку где В этой же точке лежит вершина параболы, а ее ветви направлены вверх при а> 0 и вниз при а <0.

Построение графика функции

Пример:

Построить график функции

Решение:

Сделаем соответствующие преобразования:

Следовательно, график функции получается из графика функции переносом на вектор (рис. 53). Так как а > 0, то ветви параболы направлены вверх.

Покажем теперь на примерах другой способ построения графика функции

Примеры:

1. Построить график функции

Решение:

Найдем точку пересечения графика с осью Оу. Так как абсцисса этой точки равна нулю, то ее ордината равна —3. Следовательно, ее координаты

Найдем точки пересечения графика с осью Ох. Для этого решим уравнение

Следовательно, координаты точек пересечения Нанесем все эти точки на координатную плоскость (рис. 54). Точки В и С лежат одновременно и на искомой параболе и на прямой, перпендикулярной оси симметрии параболы, следовательно, они симметричны относительно оси параболы. Значит, ось симметрии параболы пересекает ось Ох в точке D равноотстоящей от точек В и С, т. е. ее абсцисса равна

Найдем теперь координаты вершины параболы. Так как вершина параболы лежит на оси симметрии, то ее абсцисса Отсюда Итак, координаты вершины параболы Соединив точки А, В, Е и С плавной кривой, получим график функции (рис. 54).

2. Построить график функции

Решение:

Найдем точку пересечения с осью Оу. Положив x= 0, получим y= 3, т. е. график проходит через точку А (0; 3). Так как уравнение не имеет корней, то график функции не пересекает ось Ох. Найдем тогда точки пересечения графика с прямой, параллельной оси Ох. За такую прямую удобно принять прямую Для этого нужно решить уравнение Отсюда Следовательно, координаты точек пересечения прямой у=3 с параболой будут Используя соображения, приведенные в предыдущем примере, найдем, что координаты вершины параболы будут и Соединяя точки плавной кривой, получим искомый график функции (рис. 55).

Функция, обратная данной

Напомним, что соответствие между множествами X и У называется функцией, если каждому значению соответствует одно и только одно значение

Пусть нам даны множества Установим различным способом соответствия между этими множествами при помощи стрелок и при помощи пар:

Мы видим, что и соответствие и соответствие являются функциями.

А теперь поменяем направление стрелок или, что то же самое, поменяем местами элементы в каждой паре. Мы получим соответствия

Если задано соответствие (при помощи стрелок, пар, графика и т. д.), то соответствие g, полученное из соответствия путем замены направления стрелок или изменения расположения элементов в парах, называется обратным соответствием.

Если задано соответствие между множествами X и У, которое является функцией, то обратное соответствие не обязательно будет функцией. Из предыдущего примера видно, что соответствие обратное соответствию (является функцией. Но соответствие обратное соответствую не является функцией (так как элементу соответствуют два элемента элементу 2 нет соответственного элемента).

Функция f, определенная на множестве X и с множеством значений У, называется обратимой функцией, если обратное ей соответствие g также является функцией. Функция g называется обратной функцией.

Можно показать, что функция f, определенная на множестве X и с множеством значений У, является обратимой функцией тогда и только тогда, когда каждое свое значение она принимает только один раз.

Покажем, что всякая монотонная функция является обратимой функцией. Действительно, если есть функция монотонная, то она будет или возрастающая, или убывающая. Предположим, что есть функция возрастающая. Тогда для справедливо, что из условия следует разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции. Следовательно, функция обратимая, так как она принимает каждое свое значение только один раз.

Аналогично можно доказать, что и убывающая функция есть обратимая функция.

Покажем, что если дана монотонная функция, то и обратная функция также будет монотонной, притом функция, обратная возрастающей функции, будет возрастающей,а функция, обратная убывающей, будет убывающей функцией.

Доказательство:

Пусть есть возрастающая функция в области ее определения, т. е. для любых из условия вытекает, что Покажем, что из условия следует что и Но если (иначе соответствие не было бы функцией). Если то в силу того, что функция монотонно возрастающая, что противоречит условию. Следовательно, наше представление, что неверно; отсюда

Аналогично доказывается, что если — монотонно убывающая функция, то и — монотонно убывающая функция. Значит, функция, обратная монотонной функции, есть также монотонная функция. Мы полностью доказали наше утверждение.

В качестве примеров обратимых функций можно привести линейную функцию, функцию функцию рассматриваемую в промежутке или в промежутке и т. д.

Покажем, например, что линейная функция есть функция обратимая. Всякую линейную функцию можно записать формулой В зависимости от коэффициента k она будет или убывающей, или возрастающей функцией. Следовательно, линейная функция есть функция монотонная и в силу этого она является обратимой.

График функции, обратной данной

Пусть дана обратимая функция Обратная ей функция Построим на одной и той же координатной плоскости графики этих функций.

Пусть график функции есть кривая, изображенная на рис. 56 сплошной линией. Построим график функции Графически обратное соответствие получается при замене оси Ох осью Оу, и наоборот. Чтобы получить это соответствие надо повернуть график так, чтобы координаты х и у у каждой точки поменялись бы местами. Легко видеть, что если мы мысленно перегнем плоскость чертежа по биссектрисе первого и третьего координатных углов, то координаты х и у поменяются местами. Следовательно, чтобы построить график функции обратной данной, нужно зеркально отобразить график обратимой функции относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Полученный таким образом график функции изображен на рис. 56 пунктирной линией.

Докажем теперь, что графики любых двух взаимно обратных функций симметричны относительно прямой (биссектрисы первого и третьего координатных углов).

Доказательство. Пусть а—значение аргумента, b—соответствующее значение функции Тогда точка принадлежит графику функции Точка принадлежит графику функции g, обратной (рис. 57). Но точки симметричны относительно прямой (докажите это самостоятельно). Следовательно, каждой точке графика функции соответствует симметричная ей относительно прямой точка графика функции g, и, наоборот, — каждой точке графика функции g соответствует симметричная ей относительно прямой точка графика функции Значит, графики функций и g симметричны относительно прямой

Задание формулой функции, обратной данной

Пусть дана обратимая функция В силу того, что функция обратимая, существует функция — обратная данной функции. Как известно, функцию можно задать при помощи пар соответствующих значений аргумента и функции Тогда функцию можно задать при помощи пар

Пусть, например, функция задана при помощи формулы Чтобы получить задание для обратной функции, преобразуем формулу так, чтобы она давала значения х, соответствующие данным значениям у, т.е. Этой формулой задана функция Поменяв х и у местами, получим соответствующие пары для функции Значит, обратная функция в данном случае задается формулой

Итак, для того чтобы задать формулой функцию, обратную данной, нужно выразить переменную х через у, а затем поменять обозначения: х на у и у на х.

Графики функций

Пусть дана функция Покажем, что если эта функция задана на множестве то она не является обратимой функцией. Из того, что следует, что она принимает каждое свое значение два раза. А обратимая функция принимает каждое свое значение только один раз. Следовательно, эта функция не обратима.

Рассмотрим функцию определенную на множестве Эта функция на множестве является монотонно убывающей. Значит, существует обратная функция, которая также будет монотонно убывающей. Следовательно, на множестве функция является обратимой.

Выразим х через у. Так как и Заменим х на у и у на х, получим и Нарисуем график функции (пунктирная линия на рис. 58). Проведем биссектрису и отобразим зеркально график функции относительно биссектрисы. Мы получим график обратной функции (сплошная линия на рис. 58). Так как он целиком лежит ниже оси Ох, то все значения у будут отрицательны. Следовательно, обратная функция выражается формулой

Рассмотрим теперь функцию Эта функция является в области ее определения монотонно возрастающей. Следовательно, она является обратимой функцией и имеет обратную функцию. Выразим х через у, Нарисовав график функции (пунктирная линия на рис. 59) и зеркально отобразив его относительно биссектрисы мы получим график обратной функции (сплошная линия на рис. 59). Так как график расположен выше оси Ох, то ясно, что обратная функция задается формулой где

Дополнение к функции

Смотрите также:

Предмет высшая математика

Полярные координаты	Производная
Переменные и их пределы	Техника дифференцирования элементарных функций

Функция и ее простейшие свойства

Символика функциональной зависимости

Как указывалось , переменная у называется функцией переменной х, если каждому допустимому значению х соответствует вполне определенное значение у. Задать функцию аналитически — значит указать действия, которые нужно произвести над аргументом х, чтобы получить соответствующее значение у.

Пусть, например, функция задана уравнением

Этим самым нам даются и те действия, которые необходимо совершить над х чтобы получить у.

Часто бывает, что одна и та же функция, заданная иногда сложным уравнением, не раз встречается в изложении одного и того же вопроса. Условились для краткости записи правую часть уравнения, задающего функцию, обозначать символом f(x) и писать:

Это равенство читается так: «игрек равен эф от икс» или «игрек есть функция от икс».

Иногда нас будет интересовать не какая-нибудь конкретная функция с известной совокупностью действий над аргументом, а только факт, что одна переменная величина зависит от другой переменной величины. В этом случае также принято писать у = f(x) , разумея под символом f(x) неизвестную совокупность действий над аргументом х.

Если в одном и том же вопросе речь идет о нескольких различных функциях, то, чтобы не смешивать их, символы этих функций обозначают разными буквами, например: F, ,.

Частное значение функции

Область существования функции.

І. Пусть функция у задана уравнением

Дадим х ряд значений, например х1 = 1, х2=3, х3 = 5 и т. д.; тогда у получит соответствующие значения: у1 = 0, у2 = 6, у3 = 20 и т. д.

Величины х1 и х2, х3 называются частными значениями аргумента, а у1, у2, у3—частными значениями функции.

Если совокупность действий над аргументом функции (1) обозначить символом f(x) то можно написать:

В этом случае найденные значения функции запишутся так:

Пример:

Дана функция

Найти:

Решение:

ІІ. Как видно, функция в разобранном примере имеет действительные значения при любых действительных значениях х. Однако часты случаи, когда функция при некоторых значениях аргумента не имеет числовых значений или, как говорят, не существует.

Например, функция при х = 0 не существует, так как не выражается никаким числом; функция при х < 0 не существует: она имеет мнимые значения при х < 0.

Определение:

Совокупность всех действительных значений аргумента, при которых функция имеет действительные значения, называется областью существования функции.

Например, областью существования функции

является совокупность всех действительных значений х, т. е.

для функции область существования состоит из действительных значений х, абсолютная величина которых не меньше единицы, т. е.

Геометрическое изображение функций

Пусть дана функция у = f(х). Из аналитической геометрии мы знаем, что уравнение у = f(х), вообще говоря, определяет некоторую линию, которую называют графиком функции. Этот график дает нам наглядное представление о характере изменения данной функции.

Пример:

Построить график функции

Решение:

Полагая x = —1,2; —1; —0,5; 0; 0,5; 1; 1,2, найдем соответствующие значения функции у и запишем результаты вычисления в таблицу:

Рассматривая каждую пару найденных значений х и у как координаты точек плоскости, построим эти точки и, соединив их плавной линией, получим кривую, называемую кубической параболой (рис. 71).

Пример:

Построить кривую, заданную уравнением.

Решение:

Найдем y из данного уравнения

Мы видим, что уравнением заданы две функции:

и

область существования которых Составим следующую таблицу значений х и у, вычисляя

Построив точки по найденным координатам и соединив их плавной линией, получим кривую, называемую полукубической параболой (рис. 72).

Пример:

Построить график функции

Решение:

Здесь функция задана двумя уравнениями: у = х где х имеет только положительные значения и нуль, и у = — х где х имеет только отрицательные значения. Таким образом, область существования данной функции состоит из всех действительных чисел, график же ее представляет ломаную линию, состоящую из биссектрис первого и второго координатных углов (рис. 73).

Пример:

Построить график функции

Решение:

Область существования данной функции составляют все действительные числа, а график ее состоит из двух полупрямых параллельных оси Ох (рис. 74).

Примечание:

Как известно из алгебры, функция может быть задана тремя способами: аналитическим, табличным и графическим. Эти три способа задания функции мы имели в первых двух разобранных примерах. Хотя каждый из этих способов имеет применение в математике, однако аналитическое задание функции играет особо важную роль.

Приращение функции

Если переменная величина х изменила свое значение от х1 до х2, то разность между новым ее значением и первоначальным называется приращением переменной и обозначается символом *) (читается: «дельта икс»).

*) Заметим, что нельзя рассматривать как произведение двух множителей; символ неотделим от х, как, например, в выражении sin х символ sin неотделим от х.

Таким образом,

отсюда

Величина х2 иначе называется наращенным значением переменной.

Приращение переменной может быть как положительным, так и отрицательным числом. Если, например, значение х изменяется от 5 до 5,2 то

а если оно изменяется от 10 до 9,7, то

Пусть дана функция

Предположим, что аргумент ее имел первоначальное значение а потом изменил свое значение на х2 = 3,5; тогда

Найдя значения функции сначала при х1 = 3, а потом при х2 = 3,5, получим:

Величина у1 называется первоначальным значением функции, у2 — новым или наращенным ее значением, а разность

у2— у1 — приращением функции. Согласно принятому символу для приращений можем написать:

Найдем приращение Ау функции при любом изменении х.

Положим, что аргумент ее имеет любое первоначальное значение х; тогда первоначальное значение данной функции будет:

Допустим теперь, что х получает приращение ; тогда новое (наращенное) значение аргумента будет х + . Чтобы найти новое (наращенное) значение функции, нужно в данное выражение функции вместо х подставить х + получим:

получим:

Вычтя из равенства (2) равенство (I), найдем:

или после преобразования

Мы нашли приращение данной функции в общем виде.

Чтобы получить приращение этой функции для частного случая, который мы имели в начале лекции, можно в равенстве (3)

х и заменить соответственно числами 3 и 0,5, после чего найдем:

Последний результат совпадает с ранее найденным.

Таким образом, для нахождения приращения функции нужно:

1) в данном выражении функциональной зависимости заменить

2) из полученного выражения вычесть почленно данное. Если функция задана в общем виде у = f (х), то согласно высказанному правилу ее приращение можно написать по формуле

Пример:

Найти приращение функции .

Решение:

Пример:

Найти приращение функции

Решение:

Геометрическое изображение приращений аргумента и функции

Пусть дана функция y = f(x), график которой представлен на рис. 75.

Положим, что отрезок OP1 = х изображает первоначальное значение аргумента; тогда значение функции при этом значении аргумента будет f(x) и геометрически представится ординатой Р1М1 точки М1:

Дадим аргументу х приращение

тогда новое значение х будет:

новое же значение функции будет и геометрически

представится ординатой Р2М2 точки М2:

Проведя из точки М1 прямую, параллельную ОР2, до пересечения с прямой Р2М2 в точке N. имеем:

или согласно равенствам (1) и (2)

Полученная в правой части разность равна , а потому:

Следовательно, геометрически приращение аргумента изображается приращением абсциссы точки кривой, а приращение функции — приращением ординаты этой точки.

Непрерывность функции

Пусть дуга AB есть график функции y=f(x) (рис. 76).

Возьмем на этой дуге произвольную точку М(х; у) и дадим х приращение тогда у получит приращение

Положим, что и пусть при этом , т. е.

Это значит, что если ( то ордината P1M1 неограниченно приближается к PM, а точка М1 к точке М и, следовательно, на дуге АВ найдется точка, сколь угодно близкая к М. В этом случае говорят, что функция у = f(х) непрерывна при данном значении х.

Определение:

Функция у = f(х) называется непрерывной при данном значении х, если бесконечно малому приращению х соответствует бесконечно малое приращение у, т. е. если

При соблюдении этого условия для любого значения аргумента в промежутке от х = а до х = b функция называется непрерывной в указанном промежутке. Отсюда следует, что дугу АВ графика непрерывной функции можно нарисить непрерывным движением карандаша, не отрывая его от бумаги.

Однако не все функции и не при всяком значении х непрерывны. Возьмем, например, функцию .

Из аналитической геометрии мы знаем, что графиком этой функции (рис. 77) является равносторонняя гипербола, состоящая из двух ветвей. Непрерывным движением карандаша можно описать любую дугу на левой ветви и любую дугу на правой, но нельзя, не отрывая карандаша от бумаги, прийти по кривой от точки А на левой ветви к точке В на правой.

Это иллюстрирует нам непрерывность функции при любом х, кроме х = 0, где данная функция, как говорят, имеет разрыв.

В рассмотренном примере разрыв заключается в том, что при переходе аргумента через x = 0 (слева направо) функция изменяется с на .

Подобные разрывы имеют вообще дробные функции при тех значениях х, при которых знаменатель обращается в нуль, а значения функции неограниченно возрастают .

Например, функция имеет разрыв при x = 3;

функция при х1 = 2 и х2 = — 2 и т. п.

Существуют и другого рода разрывы, когда функция меняет одно конечное значение на другое, тоже конечное. Подобный пример представляет функция

график которой изображен на рисеже 74. Здесь при переходе аргумента через х = 0 (слева направо) функция меняет значение с — 1 на + 1.

Пример:

Исследовать непрерывность функции

Решение:

Дадим х приращение ; тогда функция у получит приращение (формула (3), :

Найдем предел при :

Полученное равенство справедливо при любом конечном значении л:; поэтому функция непрерывна при любом значении х. Представление о непрерывности функции дает ее график (рис. 8).

Рассмотрим другое определение непрерывности функции, тесно связанное с данным выше.

Найдем приращение функции у = f(x) при изменении аргумента от х = с до согласно формуле (4) имеем:

Если данная функция непрерывна при х = с, то, заменив в равенстве (1) найденным его выражением, напишем:

По теореме о пределе разности будем иметь:

или

Но f(с) — постоянная величина, поэтому

Если

то из условия следует: равенство (2) примет вид:

Таким образом, из равенства (1) вытекает равенство (3). Можно показать, что, наоборот, из (3) следует (1)

Отсюда видно, что равенство (3) выражает условие непрерывности функции при данном х, равносильное рассмотренному в начале лекции.

Определение:

Функция у = f (х) называется непрерывной при х = с, если предел этой функции при х -> с равен значению функции при x = с.

Если равенство (3) выполняется для любого значения аргумента от х = а до х = b, то функция называется непрерывной в указанном промежутке.

Поясним сказанное геометрически. Пусть на график непрерывной функции у = f/(х) дана точка М с абсциссой х = с (рис. 78) и точка М2 с абсциссой , тогда их ординаты соответственно будут:

Так как функция непрерывна, то при и , а точка неограниченно приближается к М. Но при этом, как видно,

и ордината = стремится к ординате Р2М2 = f(x).

Если взять точку М, с абсциссой х = с — , то и в этом случае при и , а точка М1 неограниченно приближается к М. Но тогда, очевидно,

и ордината P1M1= f(x) стремится к ординате РМ = f(с).

Мы видим, что, если данная функция y=f(x) непрерывна, при х = с, то равенство (3) выполняется при стремлении х к с как с правой стороны, так и с левой. Очевидно, верно и обратное утверждение: если равенство (3) выполняется при стремлении х к с как справа, так и слева, то функция y = f(x) непрерывна при х = с.

Если это условие нарушается, то функция имеет разрыв. Так, на графике 74 мы имеем при х = 0 разрыв функции: здесь предел ее при стремлении аргумента к нулю справа равен + 1, а слева он имеет уже другое значение, равное —1.

Заметим, что равенство (3) подтверждает справедливость сказанного о том, что для нахождения предела функции достаточно подставить вместо аргумента его предельное значение.

Свойство непрерывной функции

Непрерывная функция может изменить знак только при переходе через нуль. Это свойство непрерывной функции легко выясняется геометрически. В самом деле, пусть

Если изменять непрерывно значение абсциссы от а до b то график функции в силу его непрерывности должен пересечь ось Ох. В точке же пересечения кривой с осью абсцисс значение функции равно пулю.

Если непрерывная функция меняет знак подряд несколько раз, то график ее пересекает ось Ох столько же раз (рис. 80).

Ясно, что эта функция сохраняет один и тог же знак в промежутке между двумя соседними точками пересечения ее графика с осью Ох (между А и В отрицательный, между В и С положительный), а также для всех точек налево от А (положительный) и направо от С (отрицательный).

Классификация функций

Явные и неявные функции

Функции делятся на явные и неявные. Функция называется явной, если уравнение задающее ее, разрешено относительно этой функции.

Например, в уравнении у есть явная функция.

Функция называется неявной, если задающее ее уравнение не разрешено относительно этой функции.

Например, в уравнении функция у дается в неявном виде. Однако функцию, заданную последним уравнением, можно представить и в явном виде; действительно,

решив это уравнение относительно у, получим Но в более сложных случаях часто бывает невозможно сделать такое преобразование.

Классификация явных функций

Явные функции делятся на два класса: алгебраические и трансцендентные функции.

Алгебраической называется такая функция, над аргументом которой производится конечное число алгебраических операций (сложение, вычитание, умножение, деление и возвышение в рациональную степень).

Например,

cуть алгебраические функции.

Трансцендентной называется всякая неалгебраическая функция.

Например,

суть трансцендентные функции.

Трансцендентные функции делятся на несколько видов, простейшие из которых следующие:

1. Показательная функция где аргумент является показателем степени.
2. Логарифмическая функция
3. Тригонометрические функции:

4. Обратные тригонометрические функции:

Взаимно обратные функции

Пусть дано уравнение

где у — функция х . Выразим отсюда х через у:

Заменив в уравнении (2) х на у, а у на х, получим:

Функция у заданная уравнением (3), называется обратной по отношению к функции у, заданной уравнением (1); обе же функции (1) и (3) взаимно обратны.

Например,

суть попарно взаимно обратные функции.

Функции — решение заданий и задач по всем темам с вычислением

1°. Переменная величина у называется функцией переменной х, определенной в некоторой области, если каждому значению х из этой области соответствует одно значение у.

Обозначение функции , и т. п. введено Эйлером. Наглядным представлением функции служит ее график: множество всех точек плоскости Оху с координатами (х, у), где .

2°. Графики основных элементарных функций.

1) Степенная функция где — вещественное (действительное) число. Область определения степенной функции зависит от : она определена при всех х > 0, а также при х < 0, если а рационально, несократимо и с нечетным знаменателем. При > 0 степенная функция определена в точке х = 0. Примеры степенных функций и их графиков (рис. 5.1):

2) Показательная функция Эта функция определена на всей числовой оси, она всегда положительна; это видно на графике(рис. 5.2)

3) Логарифмическая функция

Эта функция определена при х > 0 и принимает произвольные значения . При а > 1 функция возрастающая, при 0 < а < 1 — убывающая (рис. 5.3).

4) Тригонометрические функции

Функции определены для любых х и принимают значения из отрезка [-1; 1] (рис. 5.4).

Функция у = tgx не определена в точках, где сosx = 0, т.е. при Прямые являются вертикальными асимптотами графика тангенса (рис. 5.5).

Функция у = ctgx не определена в точках, где sinx = 0, т.е. при Прямые являются вертикальными асимптотами графика котангенса (рис. 5.6).

5) Обратные тригонометрические функции.

Функции у = arcsinx и у = arccosx определены для и принимают значения из соответственно (рис. 5.7).

Функции у = arctgx и у = arcctgx определены для всех значений аргумента и принимают значения из соответственно (рис. 5.8).

3°. Предел функции.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки х = а, за исключением, может быть, самой точки а.

Пределом функции при стремлении х к а называется число В, такое, что разность принимает значения сколь угодно малые при всех х, достаточно близких к а. В этом случае пишут

Если функция имеет предел В при , то прямая у = В называется горизонтальной асимптотой графика функции (рис. 5.9 и 5.10).

Если , то прямая х =а называется вертикальной асимптотой графика функции (рис. 5.9 и 5.10).

Число называется пределом справа, и будем писать или если x стремится к a, оставаясь правее точки х = a, т.е. х > а. Аналогично определяется и предел слева или . При этом х стремится к а, оставаясь левее точки х = а, т. е. х < а (рис. 5.11).

4°. Непрерывность.

Пусть функция определена в точке и некоторой ее окрестности. Функция называется непрерывной в точке , если существует предел при стремлении х к , причем Если это условие не выполнено, то точка называется точкой разрыва функции . Непрерывность функции в точке равносильна условиям Говорят, что функция имеет в точке разрыв первого рода, если существуют конечные пределы

причем

В последнем случае называется точкой устранимого разрыва. Разность называется скачком функции в точке . Функция имеет в точке разрыв второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов функции в этой точке не существует или равен бесконечности.

Деформация графиков функций

Под деформацией графика функции мы имеем в виду построение геометрическими методами графика функции исходя из графика функции . Перечислим сначала основные частные случаи.

1°. Если Г — график функции у = f(x), то имеют место следующие свойства.

1. График функции у = f{-x) симметричен Г относительно оси Оу.
2. График функции у = -f(x) симметричен Г относительно оси Ох.
3. График функции у = — f(-x) симметричен Г относительно начала координат.
4. График функции у = f(ax) (а > 0) получается сжатием Г к оси Оу (т. е. вдоль Ох) в а раз при а > 1 или растяжением от оси Оу в 1/ а раз при 0 < а < 1.
5. График функции у = f(x — ) получается параллельным сдвигом (переносом) Г на вправо при а > 0 или на || влево при < 0.
6. График функции у = Af(x) получается растяжением Г от Ох (вдоль оси Оу) в а раз при А > 1 или сжатием к оси Ох в 1/A раз при 0 < А < 1.
7. График функции у = f(x) + B получается сдвигом Г вдоль Оу на В вверх при В > 0 или на |В| вниз при В < 0. Примечание. Практически параллельный перенос графика в ту или иную сторону относительно системы координат равносилен переносу координатных осей в противоположную сторону относительно графика.
8. Для построения графика функции у = | f(x) | нужно построить сначала график Г функции у = f(x). Далее ту часть Г+, которая расположена на и над Ох, надо сохранить, а ту часть Г-, которая расположена под осью Ох, — зеркально отразить относительно этой оси. Искомый график состоит из объединения построенных двух частей.
9. у = f(|x|) . Строим часть графика Г функции у = f(x), которая соответствует Затем эту часть зеркально отразим относительно оси Оу. Искомый график состоит из объединения построенных двух частей.
10. у = f(u(x)). Главное, что нужно для построения графика сложной функции у = f(u), где и = и(х), — это умение правильно использовать промежутки монотонности функции и = и(х) и сочетать это с монотонностью функции у = f(u) .

2°. Прежде чем строить график данной функции , следует переписать эту функцию в виде , где , и выполнить затем последовательно следующие построения.

1. График Г функции у = f(x).
2. График функции — сдвиг Г вдоль Ох.
3. График функции — сжатие или растяжение , если а > 0 и последующее отражение относительно оси Оу, если а < 0.
4. График функции — сжатие или растяжение при А > 0 и отражение относительно оси Ох, если А < 0.
5. График функции — параллельный перенос вдоль оси Оу.

Примеры с решениями:

Пример:

Построить график функции

Решение:

Перепишем данную функцию в виде

1) — парабола (рис. 5.12, а) с вершиной в точке O(0,0).

2) — парабола (рис. 5.12,б) с вершиной в точке А(-2,0).

3) Получается из сжатием в 2 раза к Ох (рис. 5.12,в).

4) опус каем на 3 единицы вниз (рис. 5.12, г).

Пример:

Построить график функции

Решение:

Представим данную функцию в виде . Далее строим последовательно.

1) В качестве Г принимаем график функции равнобочная гипербола (рис. 5.13, а).

2) — сдвиг гиперболы на 1 вправо вдоль Ох (рис. 5.13,б).
3) — отражение Г относительно оси Ох (рис. 5.13, в).

4) — растяжение в два раза от оси Ох (рис. 5.13, г).

5) — сдвиг вверх на (рис. 5.13, д).

Пример:

Построить график функции

Решение:

Перепишем:

1) Исходим из графика Г функции у = sinx (рис. 5.14, а).

2) получается из Г сдвигом вдоль Ох на влево (рис. 5.14,б).

3)

получается из Г сжатием к прямой в два раза. Волна стала в два раза «гуще», чем (рис. 5.14, в).

4)

получается из растяжением вдоль Оу в 2 раза (рис. 5.14, г).

5)

получается из параллельным сдвигом вдоль Оу вниз на(рис. 5.14, д).

Пример:

Построить график функции

Решение:

Достаточно знать точки пересечения графика функции с осью Ох. Имеем k— 0,1,2,…. При имеем График данной функции изображен на рис 5.15.

Пример:

Построить график функции

Решение:

Область определения этой функции находим из графика предыдущей функции: и. т. д учитываем монотонность функции а также равенство при при Следовательно, прямые

являются вертикальными асимптотами графика данной функции (рис. 5.16).

Пример:

Построить график функции

Решение:

График функции состоит из графика и симметричного с ним относительно оси Оу графика функции (рис. 5.17, а).

График функции получается из расположенных на и над Ох ветвей предыдущего графика и отраженных относительно оси Ох отрицательных его ветвей. Если последний график сдвинем параллельно себе вправо на 2, то получим требуемый (рис. 5.17, в).

Пример:

Построить линию, координаты точек которой удовлетворяют уравнению

Решение:

При данное уравнение принимает вид |у| = х — 1. Это уравнение имеет смысл при и изображается двумя лучами: у = х — 1 и у = — (х — 1). Они образуют прямой угол. Наличие модуля |х| в первоначальном уравнении означает, что его изображение симметрично относительно оси Оу. Итоговое изображение (рис. 5.18) симметрично относительно обеих координатных осей.

Предел последовательности

1°. Числовой последовательностью называется бесконечное занумерованное множество действительных чисел Последовательностью называется также функция натурального аргумента (п — натуральное).

2°. Рассмотрим поведение членов четырех последовательностей:

при условии, что п = 1,2,3,…. Имеем:

1) Члены сгущаются к числу 1: абсолютная величина разности становится все меньше и меньше. Это означает, что

Кратко:

2) Члены положительны и неограниченно возрастают: с ростом п они становятся и остаются больше любого наперед заданного числа. Это означает, что Кратко:

3) Абсолютные величины || членов неограниченно возрастают, т. е. . Это означает, что при Кратко:

4) Члены ни к чему не стремятся, ни к чему определенному не приближаются. Кратко: не существует.

3°. Число а называется пределом последовательности при п, стремящемся к бесконечности, если для любого найдется такое натуральное число (зависящее от ), что при всех п > N имеет место неравенство Кратко, при помощи кванторов:

4°. Бесконечные пределы.

Кратко:

Доказательство предложений п. 3°-4° сводится к решению того или иного неравенства с параметром относительно п.

5°. Последовательность называется монотонно возрастающей (убывающей) при п> N, если

Последовательность называется ограниченной сверку (снизу), если существует число М (m), такое, что .

Теорема:

О существовании предела. Если последовательность монотонно возрастает (убывает) и сверху (снизу) ограничена, то она имеет предел.

Теорема:

О числе е.Последовательность имеет предел. Этот предел обозначается буквой е:

При этом

Предел е существует на основании теоремы 1 (можно доказать, что

Примечание:

Имеет место более общая формула:

Примечание:

Функция называется экспоненциальной (показательной), а логарифмы с основанием е — натуральными:

6°. Вычисление пределов последовательностей основано на их преобразовании, т.е. приведении к «удобным» выражениям, или на применении теоремы 2.

Например, вычислим несколько пределов:

( используя тот факт, что если Данная дробь «неконтролируема», ибо ее числитель и знаменатель стремятся к . Вторая дробь получилась после сокращения первой на ; она поддается анализу: числитель 2, а знаменатель 5;

(поскольку второй сомножитель 12/7, а первый 0);

(поскольку множитель , а дробь 7/12).

Анализ вычисления этих пределов показывает, что предел рациональной дроби при легко вычислить после вынесения за скобки в числителе и знаменателе их старших степеней и последующего сокращения. Этот же вывод справедлив для иррациональной дроби. При этом предел рациональной дроби при равен: отношению «старших коэффициентов», если степени числителя и знаменателя равны; 0, если степень числителя меньше степени знаменателя; , если степень числителя больше степени знаменателя.

При вычислении пределов иррациональных выражений используется прием умножения и деления на выражение, сопряженное к данному. Например,

7°. Имеет место сложное равенство

Чтобы получить данный результат, достаточно брать конкретное числовое значение q с указанным условием (например,

Примеры с решениями

Пример:

Доказать, что

Решение:

Если — произвольно малое число, то

Этим первоначальное неравенство решено. Оно должно выполняться при всех Остается указать N (N — целое число).

Принимаем ([а] — целая часть а). Тогда при всех п> N
имеем (в частности, если , то , в таком случае при п > 699 имеем: полностью согласуется с определением

Пример:

Доказать, что

Решение:

Если — произвольно большое число, то

Пусть (например, если , то берем Если Это согласуется с тем, что

Пример:

Доказать, что

Решение:

Если , то

Принимаем (например, если ). Тогда если Это согласуется с тем, что

Пример:

Найти

Решение:

Вычисление пределов функций

1°. Если f(x) непрерывна в точке х = а, то . Если f(x) не определена в точке х = a, то ее следует заменить (если это возможно) непрерывной функцией g(x), такой, что g(x) = f(x) при и принять Воспользуемся утверждением: каждая элементарная функция непрерывна в каждой точке своей области определения. Вычисление предела начинается с подстановки х = а т.е. вычисления f (а). Если f (а) — число, то предел найден.

Например,

(в окрестности точки x = 2 числитель дроби ограничен, а знаменатель стремится к нулю, тогда дробь становится сколь угодно большой по абсолютной величине);

— неопределенность.

Результат взят в круглые скобки, потому что это не число, а символически обозначенное арифметически невыполнимое действие, которое и называется неопределенностью. Что должно быть вместо, увидим ниже.

2°. Если то ) называется бесконечно малой функцией в окрестности точки а и символически обозначается так: (читается о малое от 1) при х а, или (читается: приблизительно равна нулю при х, близких к а).

Например, , значит,

3°. Пусть Если то принимаем по определению называется бесконечно большой (функцией) в окрестности точки а.

Например, поскольку

4°. Вычисление пределов дробных функций.

Предположим, что требуется найти

Если

Например,

Если

Например, (обе записи правомерны).

Если

т. е. имеем дело с неопределенностью и ее следует раскрыть. Вот этому мы научимся в п. 5°-8°.

5°. Алгебраическая (т.е. получающаяся из отношения многочленов) неопределенность раскрывается сокращением числителя и знаменателя дроби на множитель (х — а).

Примечание. Запись предполагает, что х принимает значения, близкие к а, но

Например,

(здесь мы известным образом разложили многочлены на множители);

Примечание. Известна теорема Безу: если многочлен Р(х) имеет корень х = а, то где Q(x) — многочлен степени на единицу меньше, чем Р(х). При этом Q(x) получается делением Р(х) на (х — а) уголком или в столбик; именно это деление выполнено выше.

Отметим, что в последних примерах имеем соответственно

Итак, случай отношения многочленов разобран. 6°. Переходим к отношению иррациональных выражений (с радикалами). Обратимся к формулам сокращенного умножения.
Например,

Примечание. По существу в предыдущих пунктах мы уже использовали основные теоремы о пределах. Если то:

Например,

7°. Поиск пределов трансцендентных выражений (они содержат показательную и/или логарифмическую функцию) основан на особых формулах. Эти формулы доказываются строго, способ доказательства следует знать — это расширяет кругозор, усиливает убежденность, уверенность в собственных знаниях. Вот эти формулы:

(эта формула называется вторым замечательным пределом, а последующие являются ее следствиями);

А вот обобщения этих формул (в скобках написаны частные случаи, когда

(m и k — постоянные числа);

Похожие примеры доводятся до приведенных формул умножением и делением данного выражения на надлежащий множитель (постоянный или переменный).

Примечание. В левых частях формул (1) и (1′) имеем неопределенность нового вида (, если А — число, а -невыполнимое действие, ибо — не число, а символ, позволяющий придать особый, логически завершенный смысл некоторым пределам). Все остальные равенства являются раскрытиями неопределенностей вида

Например, — неопределенность. Перепишем: и заменим если Получаем

так как по формуле (3)

8°. Пределы тригонометрических выражений. Большинство тригонометрических неопределенностей вида раскрываются либо сокращением дроби на некоторое выражение, не равное нулю, либо приведением к первому замечательному пределу

или обобщению

Следствиями этих формул являются

При решении примеров на эту тему будут использованы тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение, формулы приведения, двойного аргумента и пр. Например,

(дважды использована формула (4) с соответственно);

(использована формула (4) с );

(использованы предыдущий пример, формула и первый замечательный предел);

(использовано: );

Примечание. Случай x a приводится к разобранному подстановкой х — а = t, или х = а + t, при этом t 0.
Например,

Используем сначала формулу , затем положим Получим

9°. Пределы на бесконечности.

Различаем три разновидности пределов :

1) (это означает, что переменная х принимает значения, большие любого наперед заданного положительного числа);

2) (это означает, что если положим х = — t, или -х = t, то );

3) (это означает, что ).

Такие пределы можно вычислять подстановкой При этом: если если ; если Символические действия считаются невыполнимыми, или неопределенностями.

Например,

(замена равносильна вынесению старшей степени числителя и знаменателя за скобки с последующим сокращением получившейся дроби);

10°. Рассмотрим неопределенность вида Ее надо привести к неопределенности вида

Например,

(данное выражение умножили и разделили на сопряженное к нему);

11°. Рассмотрим теперь неопределенность вида Ее легко свести к неопределенности вида с помощью соответствующих преобразований.

Например,

(использовано:

применена подстановка

Односторонние пределы

Под односторонним пределом понимается предел функции f(x) при стремлении х к а с левой стороны или с правой стороны Обозначим

— соответственно левосторонний и правосторонний пределы.

Функция f(x) имеет предел в точке а в том и только в том случае, когда она имеет равные односторонние пределы в этой точке.

Например, так как показатель стремится

так как показатель возрастает, оставаясь положительным, т.е.

Примеры с решениями

Пример:

Найти

Решение:

Левосторонний и правосторонний пределы существуют, но различны. Значит, искомый предел не существует.

Пример:

Найти

Решение:

Пример:

Найти

Решение:

Пример:

Пусть Найдем f (2 + 0)

и f (2-0):

Решение:

Непрерывные функции

1°. Напомним, что функция f (х) называется непрерывной в точке , если выполняются следующие три условия:

1. функция f (х) определена в каждой точке некоторой окрестности точки ;
2. функция имеет предел в этой точке:
3. этот предел равен , т.е.

Нарушение какого-либо из перечисленных здесь условий означает, что f (х) разрывна в точке .

Определение непрерывности применимо и к функциям, заданным различными формулами в различных промежутках. Функция, непрерывная в каждой точке интервала, называется непрерывной в этом интервале. Непрерывность функции в конце отрезка [a, b] принимается как односторонняя:

Ниже будем пользоваться утверждением о том, что каждая элементарная функция непрерывна во всех точках ее области определения.

Примеры с решениями

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

Функция непрерывна в совокупности промежутков (как состоящая из элементарных функций). Проверка непрерывности функции f (х) сводится к проверке определения непрерывности в точках х = -3 и х = 4.

Функция f(x) непрерывна при x = -3, а эта точка — точка непрерывности этой функции.

Односторонние пределы в точке х = 4 существуют, но не равны, значит, функция f(x) разрывна в точке х = 4, а эта точка — точка разрыва первого рода со скачком

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

Данная функция непрерывна при Остается исследовать ее на непрерывность в этих двух точках. Имеем:

x = 0 — точка непрерывности f(x). Далее:

x = 1 — точка разрыва второго рода f(x). Прямая x = 1— вертикальная асимптота графика (вверх, односторонняя).

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

Исследуем сначала непрерывность в точке х = -2. Имеем:

х = -2 — точка устранимого разрыва. Если бы f (-2) было определенo числом , то f(x) была бы непрерывна в точке х = -2.

А теперь рассмотрим точку х = 2:

x = 2 — точка разрыва второго рода. Прямая х = 2 — вертикальная асимптота (вниз, односторонняя).

Пример:

Исследовать на непрерывность и построить график функции

Решение:

Функция f(x) определена на всем множестве действительных чисел, задана тремя выражениями на различных промежутках изменения аргумента.

Исследуем непрерывность функции в точках х = — 2 и х = 0:

Из условия: f (-2) = -0,5. Значит, f (-2-0) = f (-2+0) = f (-2), т. е. функция f(x) непрерывна в точке х = -2. Далее,

Итак, в точке х = 0 функция имеет разрыв второго рода. В остальных точках числовой оси она непрерывна. Прямая х = 0 — вертикальная асимптота Рис. 5.19 графика (односторонняя, вниз) (рис. 5.19).

Пример:

Требуется установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; в случае разрыва найти предел в точке разрыва справа и слева и сделать схематический график функции

Решение:

Функция f(x) элементарная, значит, она непрерывна в любой точке из области определения. В точке эта функция определена, значит, она непрерывна.

В точке функция не определена, поэтому она разрывна. Установим характер разрыва. Найдем

так как показатель Прямая х = 3 — правосторонняя вертикальная асимптота вверх,

так как показатель

Итак, есть точка разрыва второго рода. Для построения графика следует знать поведение функции вдали от точки разрыва. Для этого найдем

т.е. для рассмотренной функции прямая у = 1 является горизонтальной асимптотой графика в обе стороны (рис. 5.20).

Некоторые функции элементарной математики и простые неявные функции

Тригонометрические функции. Радианная мера угла

Прежде чем рассматривать тригонометрические функции, напомним, что такое радианная мера угла.

Радианной мерой центрального угла называется отношение длйны дуги, на которую он опирается, к радиусу окружности. Если R — длина радиуса, l — длина дуги, то радианная мера дуги х выразится так:

Так как l и R измеряются линейными единицами, то из (1) следует, что х—число отвлеченное.

Из геометрии известно, что

где а — градусная мера центрального угла, опирающегося на дугу l. Поэтому радианная мера угла будет

Находя а из формулы (2), получим выражение градусной меры угла через радианную:

Пример:

Найти радианную меру угла 30°. Подставляя в формулу (2) вместо а число 30, найдем

Пример:

Найти градусную меру угла, радианная мера которого равна 0,8. Подставляя в формулу (3) x = 0,8, находим

или приближенно, полагая найдем .

Так как постоянное число, то формула (2) устанавливает прямую пропорциональность между числами х и а.

В тригонометрии, помимо положительных углов, вводятся и отрицательные, поэтому радианная мера угла может быть и отрицательной. Например, угол —90° имеет радианную я

меру.

При построении графиков тригонометрических функций можно обойтись без таблиц. Для этого надо поступить так (рис. 26):

1.Возьмем окружность единичного радиуса и от точки А отложим на окружности в направлении, противоположном движению часовой стрелки, дугу АВ, длину которой обозначим х. Тогда радианная мера угла АСВ будет численно равна х. Построим линию синуса этого угла; она изобразится отрезком КВ. Так как R = 1, то синус угла, найденный как отношение , численно равен длине отрезка КВ.

2.Возьмем оси координат (рис. 26). На оси Ох отложим отрезок ОР, длина которого равна длине х дуги АВ. Отрезок РМ, перпендикулярный оси, возьмем равным длине отрезка КВ. Тогда РМ= KB = sin х. Следовательно, точка М имеет координаты х и sin. Проделав это построение для различных дуг, получим ряд точек, лежащих на графике функции у = sin. На рис. 26 построены точки, соответствующие дугам:

Функция sinx периодическая и имеет период 2. Это значит, что для любого значения х выполняется равенство

При изменении аргумента от 0 до 2 синус принимает все значения от —1 до +1. При дальнейшем увеличении аргумента значения синуса в силу периодичности повторяются.

Если рассмотрим функцию , то при изменении аргумента сох от 0 до 2 функция sin примет все значения от — 1 до + 1. При дальнейшем увеличении аргумента значения sin будут повторяться.

Найдем период функции sin Так кш значения функции начнут повторяться с того момента, когда аргумент станет равным 2, то период найдется из равенства . Отсюда получаем, что . Следовательно, есть период функции sin . В самом деле,

Поэтому функция имеет график, изображенный на рис. 27. Если > 1, то график сжимается по сравнению с графиком у = sin х. Если же 0 < < 1, то график растягивается (на рис. 27 = 2).

Перейдем от старых осей координат к новым, начало которых находится в точке (, 0). Старые координаты выражаются через новые так (см. § 2 гл. III):

Подставляя эти выражения в уравнение получим , т. е. график функции в новой системе координат выглядит так же, как график функции

в старой системе координат. Следовательно, график функции в старой системе координат можно получить, сдвигая график у = sin x на вправо, если

> 0, и влево, если < 0 (на рис. 28 ).

Если а > 0, то каждая ордината на графике y = Asin x имеет то же направление, что и ордината точки, лежащей на графике у = sin х, только ее длина умножается на число А. При этом если А > 1, то ордината увеличивается, если же А < 1 то уменьшается.

При А < 0 ордината изменяет направление на противоположное. На рис. 29 изображены графики функций у = 2 sin х и .

Таким образом, уравнение

определяет на плоскости кривую линию, называемую синусоидой. Коэффициент , называемый частотой, влияет на растяжение синусоиды в направлении оси Ох. При этом, если 0 < < 1, то синусоида растягивается, если же >1, то сжимается. Коэффициент называется фазой; его величина влияет на сдвиг синусоиды, как целого, вдоль оси Ох. Если положителен, то сдвиг производится вправо, если же отрицателен, то — влево. Коэффициент А называется амплитудой, его величина влияет на растяжение синусоиды в направлении оси Оу. На рис. 30 показано последовательное построение графика функции

Сверху изображен график функции у = sin х, ниже — график функции у = sin 2х, еще ниже — график

и в самом низу — график функции

На всех четырех графиках точки, имеющие одну и ту же абсциссу, лежат на одной вертикальной прямой.

Указанный метод построения синусоид может быть использован и для построения косинусоид. Приведем пример.

Пример:

Построим график функции у = — 2 cos 2х. Применяя формулы приведения, известные из тригонометрии будем иметь

Этот график уже построен на рис. 30, 4.

Показательная функция

Если величины х и у связаны уравнением (где а > 0), то величина у называется показательной функцией от х. Возьмем для примера а = 2, тогда Будем давать х значения, равные нулю и целым положительным числам, тогда у будет принимать значения, указанные в таблице:

Мы видим, что если придавать независимому переменному значения, увеличивающиеся в арифметической прогрессии, то у будет расти в геометрической прогрессии со знаменателем, равным 2.

Вообще, если в уравнении независимое переменное увеличивается в арифметической прогрессии, то функция у возрастает в геометрической прогрессии с знаменателем а. Если независимое переменное уменьшать, придавая ему целые отрицательные значения, то у будет уменьшаться в геометрической прогрессии со знаменателем. В самом деле, взяв уравнение составим таблицу:

Приняв х за абсциссу, а у за ординату точки, построим точки, полученные в таблицах, и соединим их плавной кривой. Тогда получим кривую линию, изображенную на рис. 31. Эта линия называется графиком показательной функции.

Отметим, что показательная функция нигде не обращается в нуль, т. е. ее график нигде не пересекает ось Ох.

Аналогичный график имеет и любая показательная функция с основанием, большим единицы (а > 1).

Если же взять основание положительное, но меньшее единицы (0 < а < 1), то график будет иметь вид, изображенный на рис. 32.

Логарифмическая функция

Если величины х и у связаны уравнением , то у называют логарифмической функцией от х. Возьмем а =10 и будем придавать независимому переменному х значения, равные целым положительным числам. Составим для значений у таблицу:

Заметим, что в этой таблице значения х растут в геометрической прогрессии, в то время как значения у растут в арифметической прогрессии. Это будет иметь место во всех случаях, когда а больше единицы. Если х давать значения, образующие убывающую геометрическую прогрессию с положительными членами, то у будет принимать значения убывающей арифметической прогрессии, как это видно из таблицы:

Напомним, что отрицательные числа и нуль не имеют логарифмов, точнее, они не имеют действительных логарифмов.

При а > 1 график функции имеет вид, указанный на рис. 33 (а = 10).

Некоторые простые неявные функции

Рассмотрим уравнение

в котором коэффициенты А, B, С, D, Е, F — заданные числа. Это уравнение можно разрешить относительно у. Полученное выражение у через х будет достаточно сложным. Поскольку из уравнения (I) мы найдем выражение у через х, то можно сказать, что уравнение (I) определяет у как функцию х.

Это обычно выражают так: уравнение (I) определяет у как неявную функцию х.

Например, уравнение определяет неявную функцию. Разрешая его относительно у, получим

и

Таким образом, уравнение (*), определяющее неявную функцию, на самом деле определило две функции: (**) и (***). В таких случаях говорят также, что уравнение (*) определяет двузначную функцию.

Приведем несколько частных случаев уравнения (I) и дадим соответствующие геометрические иллюстрации.

Окружность

Рассмотрим уравнение

которое получается из уравнения (I), если положить

Если в формулу, выражающую расстояние между двумя точками (формула (1) из § 2 гл. I), подставить

то получим

Из уравнения (1) находим, что

Это значит, что все точки Q(x, у), координаты которых удовлетворяют уравнению (1), находятся на расстоянии R от начала координат. Следовательно, геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (1), есть окружность радиуса R с центром в начале координат. Аналогично получаем, что уравнение

определяет окружность радиуса R с центром в точке (а, b).

Пример:

Найдем уравнение окружности с центром в точке (2, —3) и радиусом, равным 10. Полагая а = 2, b = — 3, R = 10, получим

Разрешим это уравнение относительно у; будем иметь

и

Первое из этих уравнений есть уравнение верхней половины окружности, второе—нижней.

Эллипс

Рассмотрим уравнение

где а и b —заданные положительные числа. Решая его относительно у, получим:

Отсюда видно, что уравнение (2) определяет две функции.

Пока независимое переменное х по абсолютной величине меньше а, подкоренное выражение положительно, корень имеет два значения.

Каждому значению х, удовлетворяющему неравенству соответствуют два значения у, равных по абсолютной величине. Значит, геометрическое место точек, определяемое уравнением (2), симметрично относительно оси Ох. Так же можно убедиться в том, что оно симметрично и относительно оси Оу. Поэтому ограничимся рассмотрением только первой четверти.

При x = 0 у = b, при х = а y = 0. Кроме того, заметим, что если х увеличивается, то разность уменьшается; стало быть, точка (x, у) будет перемещаться от точки B(0, b) вправо вниз и попадет в точку А (а, 0). Из соображений симметрии изучаемое геометрическое место точек будет иметь вид, изображенный на рис. 34.

Полученная линия называется эллипсом. Число 2а является длиной отрезка А1А, число 2b — длиной отрезка В1В.

Числа а и b называются полуосями эллипса. Число эксцентриситетом.

Задача:

Найти проекцию окружности на плоскость, не совпадающую с плоскостью окружности.

Решение:

Возьмем две плоскости, пересекающиеся под углом а (рис. 35).

В каждой из этих плоскостей возьмем систему координат, причем за ось Ох примем прямую пересечения плоскостей, стало быть, ось Ох будет общей для обеих систем. Оси ординат различны, начало координат общее для обеих систем. В плоскости П1 возьмем окружность радиуса R центром в начале координат, ее уравнение

Пусть точка лежит на этой окружности, тогда ее координаты удовлетворяют уравнению (*).

Обозначим проекцию точки М на плоскость П2 буквой Р, а координаты ее—через х и у. Опустим перпендикуляры из Р и М на ось Ох, это будут отрезки QР и QМ. Треугольник PQM прямоугольный, в нем QP = y1 QМ = y1 , PQM = a следовательно, Абсциссы точек M и Р равны, т. е. Подставим в уравнение (*) значение, тогда

или

а это есть уравнение эллипса с полуосями а = R и b = R cos a.

Таким образом, эллипс является проекцией окружности на плоскость, расположенную под углом к плоскости окружности.

Замечание:

Окружность можно рассматривать как эллипс с равными полуосями.

Гипербола

Рассмотрим уравнение

Решая его относительно у, получим две явные функции

или одну двузначную функцию

Функция у имеет действительные значения только в том случае, если . При функция у действительных значений не имеет. Следовательно, если , то точек с координатами, удовлетворяющими уравнению (3), не существует.

При получаем y = 0.

При каждому значению х соответствуют два значения у, поэтому кривая симметрична относительно оси Ох. Так же можно убедиться в симметрии относительно оси Оу. Поэтому в рассуждениях можно ограничиться рассмотрением только первой четверти. В этой четверти при увеличении х значение у будет также увеличиваться (рис. 36).

Кривая, все точки которой имеют координаты, удовлетворяющие уравнению (3), называется гиперболой.

Гипербола в силу симметрии имеет вид, указанный на рис. 37.

Точки пересечения гиперболы с осью Ох называются вершинами гиперболы; на рис. 37 они обозначены буквами A1 и А2.

Часть гиперболы, расположенная в первой и четвертой четвертях, называется правой ветвью, а часть гиперболы, расположенная во второй и третьей четвертях, — левой ветвью.

Рассмотрим прямую, заданную уравнением

Чтобы не смешивать ординату точки, расположенной на этой прямой, с ординатой точки, расположенной на гиперболе, будем обозначать ординату точки на прямой , а ординату точки на гиперболе через . Тогда (рассматриваем только кусок правой ветви, расположенной в первой четверти). Найдем разность ординат точек, взятых на прямой и на гиперболе при одинаковых абсциссах:

Умножим и разделим правую часть на

или

Окончательно

Будем придавать х все большие и большие значения, тогда правая часть равенства (*) будет становиться все меньше и меньше, приближаясь к нулю. Следовательно, разность будет приближаться к нулю, а это значит, что точки, расположенные на прямой и гиперболе, будут сближаться. Таким образом, можно сказать, что рассматриваемая часть правой ветви гиперболы по мере удаления от начала координат приближается к прямой .

Вследствие симметрии видно, что часть правой ветви, расположенная в четвертой четверти, будет приближаться к прямой, определяемой уравнением . Также кусок левой ветви, расположенный во второй четверти, приближается к прямой , а кусок левой ветви, расположенный в третьей четверти, — к прямой .

Прямая, к которой неограниченно приближается гипербола при удалении от начала координат, называется асимптотой гиперболы.

Таким образом, гипербола имеет две асимптоты, определяемые уравнениями и (рис. 37),

Общее определение функции

Мы уже встречались с понятием переменной величины, независимой переменной и функции, но рассматривали лишь простейшие случаи. Приведем еще примеры переменных и постоянных величин:

1.Наиболее часто встречающаяся переменная величина — время.

2.Переменной величиной является температура воздуха в течение суток.

3.Отношение длины окружности к ее диаметру есть величина постоянная — это число я.

4.Ускорение силы тяжести есть величина постоянная, однако это верно только при соблюдении определенных физических условий.

5.Температура кипения химически чистой воды постоянна и равна 100° С, но это верно при нормальном атмосферном давлении.

Таким образом, мы наблюдаем величины переменные, постоянные и условно постоянные.

Определение:

Две переменные величины называются связанными функциональной зависимостью, если каждому значению одной из них соответствует одно или несколько определенных значений другой. Первая величина называется независимой переменной, а вторая— зависимой переменной или функцией. Если каждому значению независимой переменной соответствует одно значение функции, то функция называется однозначной, в противном случае— многозначной.

Линейная функция, все тригонометрические, показательная и логарифмическая функции являются однозначными.

Неявные функции, определяющие окружность, эллипс и гиперболу, — двузначные, т. е. многозначные.

Приведем еще примеры функций.

Имея электрическую цепь, в которую включены источник постоянного напряжения и сопротивление, мы можем, меняя величину сопротивления, получать различный ток. В этом примере напряжение V—постоянная величина, а сопротивление R и ток i — переменные. Связь между ними устанавливается законом Ома. Зависимость здесь записывается

В предыдущих параграфах мы уже встречались с графиками отдельных функций (см. гл. III, § 1 и гл. IV, §§ 1, 2, 3), но там не было дано общего определения графика функции. Теперь мы имеем возможность дать это определение.

Рассмотрим некоторую функцию. Возьмем любое возможное значение независимого переменного и обозначим его через х, а соответствующее ему значение функции—через у. Рассмотрим точку, абсцисса которой равна х, а ордината у, т. е. точку (х, у). Если будем менять значение х, то будут получаться новые точки. Совокупность всех полученных точек и назовем графиком функции. Иначе говоря, графиком функции называется геометрическое место точек, абсциссы которых равны значению независимого переменного , а ординаты — соответствующему значению функции.

Как видно, рассмотренные раньше графики подходят под это определение.

На рис. 38 дан график изменения температуры за сутки.

Этот график позволяет узнать, какая температура была в определенный момент прошедших суток. Так, например, в 8 часов утра (находим на оси абсцисс точку с координатой 8) температура была 10 градусов по Цельсию (перпендикуляр, восставленный из найденной точки к оси абсцисс, в принятом масштабе имеет длину 10 единиц). Таким образом график, изображенный на рис. 38, устанавливает соответствие между каждым моментом времени и числом, дающим температуру в этот момент.

Замечание:

Функцией называется не только зависимое переменное, но и закон или способ, устанавливающий соответствие между зависимым и независимым переменными. Например, если дана функция , то можно также сказать, что дана функция .

Существует несколько способов задания функций; наиболее часто функции задаются уравнениями, таблицами или графиками. Например, линейная функция задается уравнением; функция, дающая изменение температуры воздуха в течение дня, обычно задается графиком; зависимость угла прицеливания от расстояния дается таблицей.

Подобно тому, как в алгебре для обозначения чисел вводятся буквы, так и для функций в общем виде вводится следующее обозначение. Если у — функция, а х—независимое переменное, то будем писать

Здесь f обозначает набор и порядок математических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень; нахождение логарифма, нахождение тригонометрических функций и т. д.). В записи около f ставят скобки, в которых пишут, над чем надо произвести указанные действия. Запись у= f (х) читают так: у есть функция от х.

Пример:

. Здесь f обозначает: 1) возведи в третью степень; 2) прибавь единицу; 3) извлеки квадратный корень.

Пример:

Здесь f обозначает; 1) найди значение синуса; 2) умножь на два.

Пример:

Здесь f обозначает: 1) возведи в третью степень; 2) возведи во вторую степень; 3) результат, полученный в предыдущем пункте, умножь на 4; 4) числа, полученные в пунктах 1 и 3, сложи; 5) прибавь число пять к полученному ранее.

Пример:

Функция f(х) определена так:

Хотя в этом примере не указано, при помощи каких математических действий и операций функция f(х) выражается через х, тем не менее ее значения можно указать для любого х. Например, пусть x =— 3, в этом случае выполняется неравенство —3 < 0, поэтому f(— 3) = 0. Если то выполняется неравенство , и, следовательно, . Если x =11,5, то выполнено неравенство 11,5 > 1, поэтому f(11,5) = 0.

Функции такого типа, как только что показанная, встречаются не только в учебниках математики; они часто встречаются в современной физике и технике.

Рассмотрим схему, указанную на рис. 39. Здесь Б обозначает источник постоянной электродвижущей силы (например, батарея), В —выключатель, А — амперметр, R — сопротивление.

Если выключатель разомкнут, то в цепи тока нет и амперметр показывает 0; если замкнем выключатель, то в цепи появится постоянный ток и амперметр покажет его величину. Стрелка амперметра будет неподвижна все время до выключения выключателя.

Если на горизонтальной оси координат будем откладывать время t , а на другой оси величину тока i, то график этой функциональной зависимости будет выглядеть так, как указано на рис. 40. На этом рисунке t1 обозначает момент включения тока, а t2—момент выключения.

Различных функций существует бесконечное множество, поэтому нельзя, да и не нужно, каждой из них давать определенное название. Но, однако, некоторым функциям, встречающимся очень часто, дают названия. Приведем некоторые из них: линейная, квадратичная, тригонометрическая, логарифмическая, показательная функции, степенной многочлен (или просто многочлен) вида

Область существования функции

Определение:

Совокупность всех значений независимого переменного, для которых установлен закон или правило, позволяющее найти соответствующие значения функции, называется областью существования функции.

Пример:

Область существования функции

состоит из всех действительных чисел, кроме нуля, поскольку на нуль делить нельзя.

Пример:

Область существования функции

состоит из всех неотрицательных чисел. Отрицательные числа не входят в область существования, так как квадратный корень из отрицательного числа является числом комплексным, а комплексными числами мы не занимаемся.

Пример:

Функция имеет область существовали, состоящую из всех положительных чисел, т. е. x > 0.

Пример:

. Область существования этой функции — все действительные числа, кроме —1 и + 1. Числа —1 и +1 не входят в область существования, так как при этих значениях знаменатель обращается в нуль, а на нуль делить нельзя.

Пример:

. Область существования состоит из всех положительных чисел, кроме единицы.

Функция от функции, или сложная функция

Часто при решении целого ряда задач приходится иметь дело с «функцией от функции», которую называют иначе сложной функцией. Поясним на примерах, что под этим понимают.

Пример:

Цель удаляется от орудия, ведущего по ней огонь. Расстояние «орудие—цель» есть функция времени. Наводчик в зависимости от расстояния ставит угол прицеливания. Итак, угол прицеливания является функцией расстояния «орудие—цель». Но так как расстояние «орудие—цель» уже есть функция времени, то и угол прицеливания будет функцией времени. Таким образом, угол прицеливания является сложной функцией, т. е. функцией от функции.

Пример:

Даны функции

Функцию у можно рассматривать как функцию независимого переменного х. Действительно, подставляя вместо и его выражение и получаем

Здесь у есть функция от функции.

Пример:

Рассмотрим функции

Можно сказать, что есть функция от функции и

Для дальнейшего очень важно уметь представлять сложную функцию в виде цепочки простых функций. Поясним на примерах, что это значит и как это делается.

Пример:

Вычислим значение функции соответствующее значению х = 2. Для этого надо:

1) вычислить значение cos 2; cos 2 = 1;

2) вычислить lg 1; он равен 0.

Для вычисления у = lg cos х в этом примере надо было сделать два действия, или, как говорят, две операции. Эти две операции представляют сложную функцию у = lg cos х в виде цепочки простых: и = cos х и у = lg и. Два последних равенства эквивалентны заданному.

Пример:

. Вычислим значение у, соответствующее . Для этого: 1) умножим на 2, получим ;

2) находим

3) возводимв куб, получим.

В этом примере для вычисления у сделаны три операции, которые позволяют сложную функцию представить в виде цепочки трех функций:

В общем виде, если имеется сложная функция ее можно представить в виде цепочки, состоящей из двух функций, а именно:

Рассмотрим функцию у = f(х) и дадим независимому переменному х определенное значение х1, тогда функция у примет также определенное значение у1 = f(х1) (рис. 41).

Если изменим значение независимого переменного на величину h, т. е. дадим ему значение х2 = х1 + h то для этого значения функция примет, вообще говоря, другое значение у2 = f(х2) . Это можно выразить следующими словами: независимому переменному х дано приращение h , равное h = х2—х1. При этом функция получает приращение f(х2) — f(х1), которое обычно обозначают через Таким образом, имеем

Надо отметить, что величина приращения функции зависит как от выбора x так и от выбора приращения h , т. е. приращение функции зависит от двух величин: х и h .

Пример:

Вычислим: 1) приращение функции

если х = 1 и , и 2) приращение этой же функции, если х = 0 ,

1) Если

если

Приращение в этом случае равно

2) Если жел:

поэтому

Решение заданий и задач по предметам:

• Математика
• Высшая математика
• Математический анализ
• Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
2. Функции и графики
3. Преобразования графиков функций
4. Квадратная функция и её графики
5. Алгебраические неравенства
6. Неравенства
7. Неравенства с переменными
8. Прогрессии в математике
9. Арифметическая прогрессия
10. Геометрическая прогрессия
11. Показатели в математике
12. Логарифмы в математике
13. Исследование уравнений
14. Уравнения высших степеней
15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
16. Комплексные числа
17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
18. Алгебраические уравнения
19. Неопределенные уравнения
20. Соединения
21. Бином Ньютона
22. Число е
23. Непрерывные дроби
24. Исследование функций
25. Предел
26. Интеграл
27. Двойной интеграл
28. Тройной интеграл
29. Интегрирование
30. Неопределённый интеграл
31. Определенный интеграл
32. Криволинейные интегралы
33. Поверхностные интегралы
34. Несобственные интегралы
35. Кратные интегралы
36. Интегралы, зависящие от параметра
37. Квадратный трехчлен
38. Производная
39. Применение производной к исследованию функций
40. Приложения производной
41. Дифференциал функции
42. Дифференцирование в математике
43. Формулы и правила дифференцирования
44. Дифференциальное исчисление
45. Дифференциальные уравнения
46. Дифференциальные уравнения первого порядка
47. Дифференциальные уравнения высших порядков
48. Дифференциальные уравнения в частных производных
49. Тригонометрические функции
50. Тригонометрические уравнения и неравенства
51. Показательная функция
52. Показательные уравнения
53. Обобщенная степень
54. Взаимно обратные функции
55. Логарифмическая функция
56. Уравнения и неравенства
57. Положительные и отрицательные числа
58. Алгебраические выражения
59. Иррациональные алгебраические выражения
60. Преобразование алгебраических выражений
61. Преобразование дробных алгебраических выражений
62. Разложение многочленов на множители
63. Многочлены от одного переменного
64. Алгебраические дроби
65. Пропорции
66. Уравнения
67. Системы уравнений
68. Системы уравнений высших степеней
69. Системы алгебраических уравнений
70. Системы линейных уравнений
71. Системы дифференциальных уравнений
72. Арифметический квадратный корень
73. Квадратные и кубические корни
74. Извлечение квадратного корня
75. Рациональные числа
76. Иррациональные числа
77. Арифметический корень
78. Квадратные уравнения
79. Иррациональные уравнения
80. Последовательность
81. Ряды сходящиеся и расходящиеся
82. Тригонометрические функции произвольного угла
83. Тригонометрические формулы
84. Обратные тригонометрические функции
85. Теорема Безу
86. Математическая индукция
87. Показатель степени
88. Показательные функции и логарифмы
89. Множество
90. Множество действительных чисел
91. Числовые множества
92. Преобразование рациональных выражений
93. Преобразование иррациональных выражений
94. Геометрия
95. Действительные числа
96. Степени и корни
97. Степень с рациональным показателем
98. Тригонометрические функции угла
99. Тригонометрические функции числового аргумента
100. Тригонометрические выражения и их преобразования
101. Преобразование тригонометрических выражений
102. Комбинаторика
103. Вычислительная математика
104. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
105. Прямая и плоскость
106. Линии и уравнения
107. Прямая линия
108. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
109. Кривые второго порядка
110. Кривые и поверхности второго порядка
111. Числовые ряды
112. Степенные ряды
113. Ряды Фурье
114. Преобразование Фурье
115. Функциональные ряды
116. Функции многих переменных
117. Метод координат
118. Гармонический анализ
119. Вещественные числа
120. Предел последовательности
121. Аналитическая геометрия
122. Аналитическая геометрия на плоскости
123. Аналитическая геометрия в пространстве
124. Функции одной переменной
125. Высшая алгебра
126. Векторная алгебра
127. Векторный анализ
128. Векторы
129. Скалярное произведение векторов
130. Векторное произведение векторов
131. Смешанное произведение векторов
132. Операции над векторами
133. Непрерывность функций
134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
135. Предел и непрерывность функции одной переменной
136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
139. Матрицы
140. Линейные и евклидовы пространства
141. Линейные отображения
142. Дифференциальные теоремы о среднем
143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
144. Функции комплексного переменного
145. Преобразование Лапласа
146. Теории поля
147. Операционное исчисление
148. Системы координат
149. Рациональная функция
150. Интегральное исчисление
151. Интегральное исчисление функций одной переменной
152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
153. Отношение в математике
154. Математическая логика
155. Графы в математике
156. Линейные пространства
157. Первообразная и неопределенный интеграл
158. Линейная функция
159. Выпуклые множества точек
160. Система координат