Ряды Фурье в математике с примерами решения и образцами выполнения

Оглавление:

Некоторые способы приближения функций:

При изучении функций применяются различные методы представления данной функции при помощи более простых функций, свойства которых являются известными.

Вопрос о том, какими «базовыми» функциями Ряды Фурье ,и какими выражениями от этих функций «аппроксимировать» данную функцию , зависит от свойств функции и от того, каким образом мы будем оценивать характер приближения, т. е. как будем
измерять «близость» функций.

Так, например, при вычислении значений функции Ряды Фурье бывает удобно аппроксимировать ее при помощи многочленов т. е. разложить функцию в степенной ряд:

Различаются три основных способа приближения (аппроксимации) функций.

Локальное приближение — это такой вид приближения функции Ряды Фурье в окрестности некоторой точки , при котором качество аппроксимации улучшается при переходе к точкам, близким к . Хорошим аппаратом для локального приближения функций
(имеющих производные любого порядка) служат ряды Тейлора.
На рис. 126 представлены графики функций Ряды Фурье и на отрезке . Подсчеты показывают, что для различных значений x отрезка [0; 1] погрешность незначительна вблизи точки x = 0 и возрастает при удалении от нее:

Равномерное приближение — это такой способ аппроксимации функции Ряды Фурье с помощью другой функции на отрезке [a; b], при котором погрешности в любых точках этого отрезка имеют примерно один и тот же порядок малости.

Например, многочлен Ряды Фурье равномерно приближает функцию на отрезке [0; 1]. Подсчеты
показывают, что

График многочлена Ряды Фурье в масштабах рис. 126 практически не отличается от графика функции .

В случаях локальной и равномерной аппроксимаций в качестве
оценки «близости» двух функций Ряды Фурье и берется поточечное максимальное отклонение функций, т. е. максимум модуля разности значений этих функций во всех точках рассматриваемого отрезка:

Аппроксимация такого вида называется поточечной или аппроксимацией в обычном смысле.

Приближение в среднем (приближение по среднему квадратическому отклонению). Если данная функция Ряды Фурье имеет на отрезке [а ; b] резкие колебания, то равномерное (тем более локальное) приближение может оказаться малопригодным для представления
такой функции на отрезке. На рис. 127 Ряды Фурье изображает лучшее равномерное приближение функции по сравнению с Q(x). Из этого рисунка видно, что функция Q(x), несмотря на то, что в некоторых точках и отличается сильно от Ряды Фурье , может быть рассмотрена все же

как лучшее приближение для Ряды Фурье в среднем, на всем рассматриваемом отрезке для уточнения смысла приближения в среднем вводим понятие среднего квадратического отклонения функций.

Определение:

Средним квадратическим отклонением функций и Q(x) на отрезке [а ; b] называется величина

Нахождение наилучших приближений в среднем, т.е, оцененных по среднему квадратическому отклонению играет большую роль в-решении многих технических задач.

Пример:

Найти поточечное и среднее квадратиченское: отклонения функции Ряды Фурье от функций на отрезке

Решение:

По формуле (1) находим поточечное отклонение

Среднее квадратическое отклонение вычислим по формуле (2):

Для среднего квадратического отклонения и потокчечного отклонения двух функций на отрезке имеет место следующее утверждение: среднее квадратическое отклонение двух функций не превосходит поточечного отклонения на том же отрезке:

В самом деле,

Ортогональные системы функций. Обобщенные многочлены Фурье

Часто в качестве базовых функций, при помощи которых строятся приближения для рассматриваемых функций, служат так называемые ортогональные системы функций.

Определение:

Система отличных от нулей функций

называется ортогональной на отрезке [a ; b], если для любых Ряды Фурье имеет место

Если к тому же

для всех Ряды Фурье то система (1) называется ортонормированной.

Любую ортогональную систему функций (1) можно ортонормировать. Для этого достаточно каждую функцию Ряды Фурье разделить на

т. е. взять функции

В самом деле, для функций Ряды Фурье при имеем:

т. е. система (5) также ортогональна. Кроме того,

Следовательно, система (5) ортонормирована.

Числа Ряды Фурье называются нормирующими множителями.

Пример:

Покажем, что система тригонометрических функций

является ортогональной системой функций на отрезке Ряды Фурье

Для этого надо показать, что интегралы

при любых Ряды Фурье и m, а также интегралы

при Ряды Фурье равны нулю. Имеем:

При помощи формул

аналогично доказывается, что остальные интегралы также равны нулю.

Пример:

Можно показать, что следующие многочлены, известные под названием многочленов Лежандра, составляют ортогональную систему на отрезке Ряды Фурье

Легко видеть, что подсистема любой ортогональной системы функции также ортогональна на том же отрезке. В самом деле, если равенства (2) выполняются для всех функций системы, то они выполняются и для всех функций некоторой ее подсистемы. Учитывая это замечание и ортогональность системы (6), можем указать новые примеры ортогональных систем функций.

Пример:

Система функций

ортогональна на отрезке Ряды Фурье . Пример 4. Система функций

ортогональна на отрезке Ряды Фурье .

Определение:

Выражение

где Ряды Фурье — числовые коэффициенты, называется обобщенным многочленом n-го порядка относительно системы функций

Например, выражение

является обобщенным многочленом относительно системы (6).

Определение:

Пусть дана ортогональная система (1) на отрезке
[a ; b]. Величины

называются обобщенными коэффициентами Фурье для функции относительно системы ортогональных функций (1).

Если система (1) ортонормирована, то в силу
формул (4) и (3) Ряды Фурье и тогда

Определение:

Обобщенный многочлен

взятый с соответствующими, обобщенными коэффициентами Фурье, называется обобщенным многочленом Фурье n-го порядка для функции относительно, системы ортогональных функций (1),

Пример:

Составить обобщенный многочлен Фурье второго порядка для функции Ряды Фурье относительно системы многочленов Лежандра.

Решение. Пусть

Имеем:

тогда

Далее,

Следовательно,

Аналогично,

Следовательно,

т. e.

Роль обобщенных многочленов Фурье в теории приближения функций выражается в следующей теореме.

Теорема:

Для каждого n среди всех обобщенных многочленов n-го порядка

где

— ортонормированием система функций на [а; b], наилучшее среднее квадратическое приближение функции на [а; b] дает соответствующий обобщенный многочлен Фурье п-го порядка

Доказательство:

Имеем:

Интегрируя полученное равенство почленно и учитывая соотношения (2), (3) и (8), найдем:

В полученном выражении добавим и вычтем Ряды Фурье ; тогда

Первые два члена выражения из правой части равенства (10) не зависят от взятого обобщенного много члена Ряды Фурье , а третий (неотрицательный) член зависит от него. Это выражение, а следовательно, и интеграл получит наименьшее значение тогда, когда т. е. когда другими словами, когда Ряды Фурье Теорема доказана.

Аналогично доказывается эта теорема для любой ортогональной системы (1), только вместо равенства (8) надо будет использовать равенство (7).

Таким образцом, для функции Ряды Фурье и ее обобщенного многочлена Фурье n-го порядка относительно системы ортогональных функций имеем:

или

Обобщенные ряды Фурье

Пусть дана бесконечная ортогональная на отрезке [а; b] система функций

Определение:

Ряд

где

называется обобщенным рядом Фурье для функции относительно системы (1) на отрезке [а; b].

Обращаем внимание на то, что коэффициенты Ряды Фурье в (2) — это обобщенные коэффициенты Фурье, которые вычисляются по формулам (7) § 2.

Таким образом, при заданной системе ортогональных функций каждая функция Ряды Фурье порождает вполне определенный обобщенный ряд Фурье (2). В этом смысле будем писать

Частичные суммы ряда (2) совпадают с обобщенными многочленами Фурье Ряды Фурье y которые, как мы знаем, дают наилучшее приближение в среднем к .

Из формулы (12) §2 видно, что при возрастании n среднее квадратическое отклонение Ряды Фурье , вообще говоря, убывает.

Определение:

Обобщенный ряд Фурье (2) называется сходящимся в среднем к функции Ряды Фурье , если

Из формулы (11) § 2 видно, что необходимым и достаточным условием сходимости в среднем ряда (2) к порождающей функции Ряды Фурье является выполнение условия

Это равенство известно под названием равенства Ляпунова — Парсеваля или уравнения замкнутости. Равенство Ляпунова — Парсеваля имеет место, в частности, для тригонометрических ортогональных систем из примеров 1, 3, 4 § 2 и любой ограниченной на [а; b] функции Ряды Фурье с конечным числом точек разрыва первого
рода. В § 1 мы показали, что среднее квадратическое отклонение не превосходит поточечного отклонения , т. е. . Отсюда следует, что если обобщенный ряд Фурье (2) сходится в обычном смысле (поточечно) к порождающей функции , то он сходится к и в среднем, т. е.

Обратное утверждение, вообще говоря, не имеет места, так как ряд (2) может сходиться в среднем к функции Ряды Фурье , но не сходиться поточечно. Следовательно, для поточечной сходимости требуется выполнение более сильных условий, чем для сходимости в среднем.

Во многих инженерно-технических приложениях основную ценность представляют именно приближения в среднем для рассматриваемых функций. Аппаратом для получения таких приближений служат обобщенные ряды Фурье и их частичные суммы — обобщенные
многочлены Фурье.

Докажем теорему об единственности представления функции в виде обобщенного ряда.

Теорема:

Если функция представляется в виде обобщенного ряда по ортогональной системе функций

то этот ряд совпадает с обобщенным рядом Фурье для функции Ряды Фурье .

Докажем теорему в предположениях, что выражение (4) можно почленно интегрировать.

Для определения коэффициента Ряды Фурье умножим (4) на :

Интегрируя (5) получим

Так как система Ряды Фурье ортогональна, то при

Следовательно,

Отсюда

Учитывая формулу (7) § 2, имеем Ряды Фурье т. е. ряд (4) совпадает с обобщенным рядом Фурье. Изложенная в этом параграфе общая теория применима к любой конкретной системе ортогональных
функций. В частности, если в качестве «базовых» функций взять тригонометрическую систему из примера 1 § 2, получим разложение (на отрезке Ряды Фурье ) функции по синусам и косинусам; если взять систему функций из примера 2 § 2, получим разложение (на [—1; 1])
функции по многочленам Лежандра; если взять систему функций примеров 3 и 4 § 2, то получим соответственно разложение (на Ряды Фурье ) функции только по косинусам, или только по синусам. Понятно, что можно разлагать функции и по другим ортогональным системам.

Разложение функций в ряды Фурье по тригонометрическим системам играет большую роль как в
математике, так и в ее приложениях (особенно в электротехнике), поэтому мы остановимся на них подробнее.

Тригонометрические ряды Фурье

Разложение функций в ряд Фурье на отрезке Ряды Фурье . Во многих технических задачах возникает необходимость представлять произвольные функции через простейшие периодические функции. Такие задачи часто возникают в электротехнике: представить ток,
изменяющийся по сложному закону , через простые
синусоидальные токи . Математическим
аппаратом для исследования таких задач служат ряды Фурье относительно тригонометрической системы ортогональных функций на отрезке (пример 1 § 2):

Обобщенные многочлену Фурье, обобщенные коэффициенты Фурье, обобщенные ряды Фурье для функции относительно системы (1) называются соответственно просто многочленами Фурье, коэффициентами Фурье, рядами Фурье.

Многочленом Фурье (или тригонометрическим многочленом) n-го порядка функции Ряды Фурье называется тригонометрический многочлен вида

где Ряды Фурье — коэффициенты Фурье. Вычислим коэффициенты Фурье в соответствии с формулой (7) § 2. Имеем

Следовательно, Ряды Фурье или

Для коэффициентов Ряды Фурье обозначим соответствующий нормирующий множитель через и по формуле (4)

§ 2 получим

Следовательно,

или

Аналогично показывается, что Ряды Фурье , следовательно,

Таким образом, каждой функции Ряды Фурье на отрезке сопоставляется ряд Фурье

т. е.

Определение:

Ряд

где

называется рядом Фурье (или тригонометрическим рядом) для функции на отрезке Ряды Фурье .

Пример:

Составить ряд Фурье для функции Ряды Фурье на отрезке

Решение По формуле (2) имеем

По формуле (3); получаем

Далее, по формуле (4)

Следовательно,

Ряд (5) может сходиться к функции Ряды Фурье в среднем или поточечно (в обычном смысле) Так как равными считаются функции, значения которых равны в каждой точке, то в (6) стрелка может быть заменена знаком

равенства только в том случае, если ряд сходится поточечно к функции Ряды Фурье на всем рассматриваемом промежутке.

Для формулировки условий сходимости ряда (5) к функции введем понятие кусочно-непрерывных функций.

Функция Ряды Фурье называется кусочно-непрерывной на отрезке [а; b], если она имеет лишь конечное число точек разрыва первого рода (см. рис. 128, на котором жирными точками обозначено значение функции в точках разрыва).

Функция Ряды Фурье называется кусочно-дифференцируемой или кусочно-гладкой на отрезке [а; b], если ее производная является кусочно-непрерывной функцией на [а; b] (см. рис. 129).

Приводим достаточное условие сходимости в среднем ряда Фурье к порождающей функции.

Теорема:

Ряд Фурье (5) сходится в среднем к порождающей функции , если функция кусочно-непрерывна на отрезке Ряды Фурье .

Следующие теоремы Дирихле представляют собой достаточные условия поточечной сходимости ряда к порождающей функции, за исключением, быть может, точек разрыва и границ отрезка.

Теорема:

Если функция кусочно-дифференцируема на отрезке , то ряд Фурье функции сходится во всех точках , причем в точках непрерывности функции его сумма равна в точках разрыва функции его сумма равна на концах отрезка его сумма равна Ряды Фурье

Функция Ряды Фурье называется кусочно-монотонной на отрезке [а; b] если его можно разбить на конечное число интервалов так, что на каждом из интервалов функция монотонна (см. рис. 130).

Теорема:

Если функция кусочно-монотонна и ограничена на отрезке , то ряд Фурье для этой функции сходится во всех точках , причем в точках непрерывности его сумма равна , в точках разрыва функции его сумма равна а на концах отрезка его сумма равна Ряды Фурье

Сформулированные теоремы мы принимаем без доказательства.

Таким образом, если функция Ряды Фурье кусочно-дифференцируема или ограничена и кусочно-монотонна на отрезке , то на этом отрезке имеет место разложение

причем коэффициенты Ряды Фурье и вычисляются по формулам (2), (3) и (4). Равенство (7) может нарушиться только в точках разрыва функции и на концах отрезка .

Пример:

Так как функция Ряды Фурье дифференцируема на отрезке , то из примера 1 получаем разложение

Заметим, что значение полученного ряда в концах интервала равно

следовательно, сумма ряда равна значению порождающей функции Ряды Фурье для всех точек интервала

Заметим, что.большинство функций, которые встречаются в математике и ее приближениях, являются
кусочно-дифференцируемыми, а часто просто дифференцируемыми функциями, поэтому для них ряд Фурье сходится к порождающей функции в обычном смысле.

Скорость сходимости ряда Фурье к порождающей функции зависит от свойств данной функции. Оказывается, что чем выше «степень гладкости» данной функции, т. е. чем более высокого порядка непрерывные производные она имеет, тем больше скорость сходимости ее ряда Фурье.

Приводим, также без доказательства, следующую оценку скорости сходимости ряда Фурье.

Теорема:

Если — непрерывная функция имеющая непрерывные производные до (т — 1)—го порядка включительно, а производная m-го порядка Ряды Фурье кусочно-непрерывна на , то

где — некоторая постоянная, а — сколько угодно малое действительное число.

Разложение функций в ряд Фурье на произвольном отрезке

Пусть функция Ряды Фурье определена на отрезке . Тогда подстановкой переходим к функции , которая определена на отрезке . В самом деле, если то если то и при имеем

Предположим, например, что исходная функция Ряды Фурье кусочно-дифференцируема на отрезке . Тогда и полученная функция на отрезке будет кусочно-дифференцируемой. Разлагая функцию в ряд Фурье на отрезке , получим (всюду, за исключением, быть может, точек разрыва функции и
концов отрезка Ряды Фурье ):

где

Перейдем теперь к переменной Ряды Фурье Имеем ,

и при этом Ряды Фурье

Итак,

где

Таким образом, функцию Ряды Фурье , определенную на отрезке , можно разложить в ряд Фурье (8), коэффициенты которого вычисляются по формулам (9), Равенство (8) может нарушиться лишь в точках разрыва функции и на концах отрезка Ряды Фурье .

Пример:

Разложить функцию Ряды Фурье на интервале . в ряд Фурье. Решение. По формуле (8) при имеем

Вычислим коэффициенты ряда по формулам (9):

Таким образом,

для Ряды Фурье

Разложение в ряд Фурье периодических функций

Если данная функция Ряды Фурье является периодической с периодом , и для нее имеет место разложение (7) в ряд Фурье на отрезке , то оно справедливо и на всей прямой .

В самом деле; сумма тригонометрического ряда Фурье

если она существует, является периодической функцией с периодом Ряды Фурье . Это следует из того, что

Аналогично, если функция Ряды Фурье имеет период T = 2l, , то разложение (8) имеет место для всей прямой.

Так как для периодической функции периода T интегралы по любым отрезкам длины T равны между собой

то для вычисления коэффициентов Фурье периодической функции можно интегрировать по любому отрезку

длины T. Так, если функция имеет период Ряды Фурье , то в формулах
(2) — (4) (в формулах (9)) вместо можно взять интегралы по отрезку

Пример:

Разложить в ряд Фурье периодическую функцию Ряды Фурье , определенную следующим образом:

и Ряды Фурье (рис. 131).

Решение:

Данная функция кусочно-дифференцируема, следовательно,

При этом

Отсюда Ряды Фурье при n четном и при n нечетном.

Аналогичными вычислениями находим

Следовательно,

или

В точках Ряды Фурье данная функция терпит разрыв, следовательно, в этих точках ряд принимает значение, отличное от значения функции. Так, при функция , в то время как сумма ряда равна Ряды Фурье при получаем

Отсюда

О том, что ряд Ряды Фурье сходится можно определить при помощи признаков сходимости числовых рядов (например, интегрального). Здесь же мы в качестве побочного результата получили сумму этого ряда.

Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций

Сделаем два замечания, необходимых для дальнейшего.

1) Рассмотрим нечетную на отрезке Ряды Фурье функцию , т. е. такую, что .

Из геометрических соображений ясно (см., например, рис. 132), что

2) Если функция Ряды Фурье , четная, т. е. , то, очевидно (см., например, рис. 133),

Рассмотрим разложение в ряд Фурье нечетных функций.

Пусть Ряды Фурье — нечетная, кусочно-дифференцируемая функция на отрезке . Следовательно, для имеет место разложение (7). Так как в этом случае — нечетная функция:

а произведение Ряды Фурье является четной функцией:

то для коэффициентов ряда Фурье получим:

Отсюда следует, что разложение нечетной функция Ряды Фурье в ряд Фурье имеет вид

Аналогично, для четных функций Ряды Фурье , получаем разложение

Таким образом, если функция f(x)] нечетная, то ее ряд Фурье содержит только члены с синусами; если Ряды Фурье четная, то ее ряд Фурье содержит свободный член и только члены с косинусами. Подобные разложения можно получить для четных и нечетных функций, определенных на отрезке Ряды Фурье

Разложение произвольных функций в ряды Фурье

Пусть дана кусочно-дифференцируемая функция Ряды Фурье определенная на отрезке . Перенеся начало координат в середину отрезка , мы получим новую систему координат, относительно которой область определения функции Ряды Фурье имеет вид , где Следовательно, для функции можно получить разложение в ряд Фурье вида (8).

Если перенести начало координат в точку Ряды Фурье , то область определения функции . будет иметь вид , где . Продолжим «нечетным образом» функцию на отрезок , т. е. определим функцию

Функция Ряды Фурье является нечетной, следовательно,она разлагается в ряд Фурье только по синусам. Рассматривая разложение функции только на отрезке , получим разложение для данной функции Ряды Фурье в ряд Фурье только по синусам.

Продолжая «четным образом» функцию Ряды Фурье на отрезок , т. е. введя в рассмотрение функцию

которая является четной, аналогично получим разложение данной функции в ряд Фурье только по косинусам.

Таким образом, любая функция Ряды Фурье , определенная на произвольном отрезке и удовлетворяющая на этом отрезке условиям теоремы 2 или теоремы 3, может быть разложена в ряд Фурье по синусам и косинусам, а также только по синусам, или только по косинусам.

Заметим, что возможность таких разложений была указана в § 3 из общих соображений относительно обобщенных рядов Фурье.

Практический гармонический анализ

Теория разложения функций в тригонометрические ряды Фурье называется также гармоническим анализом. Под практическим гармоническим анализом понимается представление конкретных функций, возникающих при решении практических задач, в виде ряда

Фурье, коэффициенты которого, как правило, вычисляются приближенным образом. В большинстве случаев функции, описывающие исследуемый процесс, даны в виде экспериментальных данных или графиков, которые вычерчиваются самопишущим прибором. В таких случаях коэффициенты Фурье вычисляются при помощи приближенных методов интегрирования. Для приближенного вычисления интегралов

применяется какой-либо из методов численного интегрирования. Применим, например, формулу прямоугольников (1) § 8 гл. 8. Разделим отрезок Ряды Фурье на n равных частей с помощью точек при этом шаг деления равен Обозначим через значения функции в точках деления. Тогда

Для облегчения ручных вычислений коэффициентов Фурье разработаны различные схемы и шаблоны, в более сложных случаях вычисления проводятся на ЭВМ

Пример:

Найти тригонометрический многочлен второго порядка для функции, заданной графически на рис. 134.

Решение:

Делим отрезок Ряды Фурье на 12 частей. Следовательно, шаг деления равен Из графика функции непосредственным измерением ординат находим:

Тогда по формуле (1)

По формуле (2) имеем

По формуле (3) вычислим Ряды Фурье и :

Таким образом,

Если функция Ряды Фурье задана аналитически, то для вычисления коэффициентов Фурье часто могут быть применены методы точного интегрирования (см. примеры 1, 2, 3,4 §4).

В электротехнике и радиотехнике нередко встречаются периодические функции, имеющие точки разрыва первого рода внутри отрезка Ряды Фурье и на его границах. Рассмотрим некоторые примеры разложения в ряд Фурье таких функций.

Пример:

Разложить в ряд Фурье кривую двухполупериодного выпрямленного синусоидального тока

Решение:

Данная функция может быть представлена в виде Ряды Фурье Заменяем и распространяем функцию периодически на всю прямую (рис. 135). Тогда Так как полученная функция четная, то Вычислим коэффициенты :

При Ряды Фурье нечетном ; при четном Функция разлагается в ряд Фурье

а исходная функция, следовательно, — в ряд Фурье

Пример:

Разложить в ряд Фурье кривую однополупериодного выпрямленного синусоидального тока

Решение:

Положим Ряды Фурье Тогда

(рис. 136). Имеем:

Из примера 2 известно, что при Ряды Фурье нечетном , при четном Далее,

Если Ряды Фурье , то

если Ряды Фурье , то .

Функция Ряды Фурье разлагается в ряд Фурье:

Следовательно,

Пример:

Разложить в ряд Фурье периодическую функцию Ряды Фурье с периодом , которая определена следующим образом (рис. 137):

Решение:

Функция Ряды Фурье удовлетворяет условиям теорем Дирихле и, значит, разлагается в ряд Фурье.

Вычислим ее коэффициенты Фурье. Так как Ряды Фурье нечетна, то для всех n. Далее,

Следовательно,

где Ряды Фурье

Пример:

Разложить в ряд Фурье периодическую функцию Ряды Фурье с периодом 2l, заданную на отрезке [—l;l] формулой
(рис. 138).

Решение:

Так как рассматриваемая функция четная, то Ряды Фурье Далее,

Следовательно, на отрезке Ряды Фурье

Пример:

Разложить функцию Ряды Фурье на отрезке в ряд по синусам.

Решение:

Продолжая эту функцию нечетным образом на Ряды Фурье , будем иметь и

Следовательно, во всех точках промежутка Ряды Фурье имеет место разложение:

В точке Ряды Фурье равенство нарушается: значение функции равно , а сумма ряда — 0.

Пример:

Разложить функцию Ряды Фурье на отрезке в ряд по косинусам.

Решение:

Продолжая эту функцию четным образом на Ряды Фурье , получим (см. пример 5). Имеем:

Следовательно, на отрезке Ряды Фурье

Дополнение к рядам Фурье

Ортогонализация.	Существование базиса в сепарабельных гильбертовых пространствах. Изоморфизм сепарабельных гильбертовых пространств.
Полные системы. Полнота тригонометрической системы и системы полиномов Лежандра.	Разложение функций с интегрируемым квадратом в ряд Фурье.

Решение рядов Фурье

Тригонометрические ряды

Определение:

Функция f(x), определенная на неограниченном множестве D, называется периодической, если существует число Решение рядов Фурье такое, что для каждого D выполняется условие

Наименьшее из таких чисел Т называется периодом функции f(х).

Пример:

Функция

определенная на интервале Решение рядов Фурье является периодической, так как существует число такое, что для всех выполняется условие

Таким образом, функция sinx имеет период Решение рядов Фурье То же самое относится и к функции

Пример:

Функция

определенная на множестве D чисел

является периодической, так как существует число Решение рядов Фурье , а именно, Т = , такое, что для D имеем

Определение:

Функциональный ряд вида

называется тригонометрическим рядом, а постоянные Решение рядов Фурье называются коэффициентами тригонометрического ряда (1).

Частичные суммы Sn(x) тригонометрического ряда (1) являются линейными комбинациями функций из системы функций

которая называется тригонометрической системой. Так как членами этого ряда являются периодические функции с периодом 2 Решение рядов Фурье , то в случае сходимости ряда (1) его сумма S(х) будет периодической функцией с периодом Т = 2:

Определение:

Разложить периодическую функцию f(x) с периодом Т = 2 Решение рядов Фурье в тригонометрический ряд (1) означает найти сходящийся тригонометрический ряд, сумма которого равна функции f(х).

Ортогональность тригонометрической системы

Определение:

Функции f(х) и g(х), непрерывные на отрезке [а, b], называются ортогональными на этом отрезке, если выполнено условие

Например, функции Решение рядов Фурье ортогональны на отрезке [-1,1], так как

Определение:

Конечная или бесконечная система функций

(n = 1, 2,…), интегрируемых на отрезке [а, b], называется ортогональной системой на отрезке [а, b], если для любых номеров тип таких, что Решение рядов Фурье выполняется равенство

Теорема:

Тригонометрическая система

ортогональна на отрезке Решение рядов Фурье

При любом целом Решение рядов Фурье имеем

С помощью известных формул тригонометрии

для любых натуральных Решение рядов Фурье находим:

Наконец, в силу формулы

для любых целых m и n получаем

При m = n имеем

Тригонометрический ряд Фурье

Поставим себе задачей вычислить коэффициенты Решение рядов Фурье тригонометрического ряда (1), зная функцию f(х).

Теорема:

Пусть равенство

имеет место для всех значений х, причем ряд в правой части равенства сходится равномерно на отрезке Тогда справедливы формулы

Из равномерной сходимости ряда (1) вытекает непрерывность, а значит, и интегрируемость функции fх). Поэтому равенства (2) имеют смысл. Более того, ряд (1) можно почленно интегрировать. Имеем

откуда и следует первая из формул (2) для n = 0.

Умножим теперь обе части равенства (1) на функцию cos mх, где m — произвольное натуральное число:

Ряд (3), как и ряд (1), сходится равномерно. Поэтому его можно интегрировать почленно,

Все интегралы в правой части, кроме одного, который получается при n = m, равны нулю в силу ортогональности тригонометрической системы. Поэтому

Аналогично, умножая обе части равенства (1) на sin mx; и интегрируя от Решение рядов Фурье получим

Пусть дана произвольная периодическая функция f(x) периода 2 Решение рядов Фурье , интегрируемая на отрезке [ ]. Можно ли ее представить в виде суммы некоторого сходящегося тригонометрического ряда, заранее неизвестно. Однако по формулам (2) можно вычислить постоянные Решение рядов Фурье

Определение:

Тригонометрический ряд

коэффициенты Решение рядов Фурье которого определяются через функцию f(x) по формулам

называется тригонометрическим рядом Фурье функции f(x), а коэффициенты Решение рядов Фурье определяемые по этим формулам, называются коэффициентами Фурье функции f(x).

Каждой интегрируемой на отрезке Решение рядов Фурье функции f(х) можно поставить в соответствие ее ряд Фурье

т.е. тригонометрический ряд, коэффициенты которого определяются по формулам (2). Однако если от функции f(х) не требовать ничего, кроме интегрируемости на отрезке Решение рядов Фурье , то знак соответствия в последнем соотношении, вообще говоря, нельзя заменить знаком равенства.

Замечание:

Часто требуется разложить в тригонометрический ряд функцию f(x), определенную только на отрезке Решение рядов Фурье и, следовательно, не являющуюся периодической. Так как в формулах (2) для коэффициентов Фурье интегралы вычисляются по отрезку , то для такой функции тоже можно написать тригонометрический ряд Фурье. Вместе с тем, если продолжить функцию f(x) периодически на всю ось Ох, то получим функцию F(x), периодическую с периодом 2 Решение рядов Фурье , совпадающую с f(x) на интервале

Эту функцию F(x) называют периодическим продолжением функции f(x). При этом функция F(x) не имеет однозначного определения в точках Решение рядов Фурье

Ряд Фурье для функции F(x) тождествен ряду Фурье для функции f(х). К тому же, если ряд Фурье для функции f(x) сходится к ней, то его сумма, являясь периодической функцией, дает периодическое продолжение функции f(x) с отрезка Решение рядов Фурье на всю ось Ох. В этом смысле говорить о ряде Фурье для функции f(x), определенной на отрезке , равносильно тому, что говорить о ряде Фурье для функции F(x), являющейся периодическим продолжением функции f(х) на всю ось Ох. Отсюда следует, что признаки сходимости рядов Фурье достаточно сформулировать для периодических функций.

Достаточные условия разложимости функции в ряд Фурье

Приведем достаточный признак сходимости ряда Фурье, т. е. сформулируем условия на заданную функцию, при выполнении которых построенный по ней ряд Фурье сходится, и выясним, как при этом ведет себя сумма этого ряда. Важно подчеркнуть, что хотя приведенный ниже класс кусочно-монотонных функций и является достаточно широким, функции, ряд Фурье для которых сходится, им не исчерпываются.

Определение:

Функция f(x) называется кусочно-монотонной на отрезке [a, b], если этот отрезок можно разбить конечным числом точек Решение рядов Фурье на интервалы на каждом из которых f(х) монотонна, т. е. либо не убывает, либо не возрастает (см. рис. 1).

Пример:

Функция

является кусочно-монотонной на интервале Решение рядов Фурье так как этот интервал можно разбить на два интервала на первом из которых она убывает (и значит, не возрастает), а на втором возрастает (и значит, не убывает).

Пример:

Функция

кусочно-монотонна на отрезке Решение рядов Фурье , так как этот отрезок можно разбить на два интервала и на первом из которых cos x возрастает от -1 до +1, а на втором убывает от +1 до -1.

Теорема:

Функция f(x), кусочно-монотонная и ограниченная на отрезке [a, b], может иметь на нем только точки разрыва первого рода.

Пусть, например, Решение рядов Фурье — точка разрыва функции f(x). Тогда в силу ограниченности функции f(x) и монотонности по обе стороны от точки с существуют конечные односторонние пределы

Это означает, что точка с есть точка разрыва первого рода (рис. 2).

Теорема:

Если периодическая функция f(x) с периодом 2 кусочно-монотонна и ограничена на отрезке , то ее ряд Фурье сходится в каждой точке х этого отрезка, причем для суммы

этого ряда выполняются равенства:

Решение рядов Фурье является точкой непрерывности f(x)

Пример:

Функция f(х) периода 2 Решение рядов Фурье , определяемая на интервале равенством

(рис. 3), удовлетворяет условиям теоремы. Поэтому ее можно разложить в ряд Фурье. Находим для нее коэффициенты Фурье:

Ряд Фурье для данной функции имеет вид

Пример:

Разложить функцию в ряд Фурье (рис. 4) на интервале Решение рядов Фурье

Данная функция удовлетворяет условиям теоремы. Найдем коэффициенты Фурье. Используя свойство аддитивности определенного интеграла, будем иметь

Следовательно, ряд Фурье имеет следующий вид:

На концах отрезка Решение рядов Фурье , т.е. в точках которые являются точками разрыва первого рода, будем иметь

Замечание:

Если в найденном ряде Фурье положить х = 0, то получим

Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций

Функция f(x), определенная на отрезке [-l, l], где l > 0, называется четной, если

График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Функция f(x), определенная на отрезке l), где l > 0, называется нечетной, если

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Пример:

а) Функция

является четной на отрезке Решение рядов Фурье . так как

для всех Решение рядов Фурье

б) Функция

где Решение рядов Фурье является нечетной, так как

для всех Решение рядов Фурье

в) Функция

где Решение рядов Фурье не принадлежит ни к четным, ни к нечетным функциям, так как

Пусть функция f(х), удовлетворяющая условиям теоремы 1, является четной на отрезке Решение рядов Фурье . Тогда

т. е. f(x) cos nх является четной функцией, а f(x) sin nх — нечетной. Поэтому коэффициенты Фурье четной функции f(х) будут равны

Следовательно, ряд Фурье четной функции имеет вид

Если f(x) — нечетная функция на отрезке Решение рядов Фурье , то произведение f(x) cos nх будет нечетной функцией, а произведение f(x) sin nх — четной функцией. Поэтому будем иметь

Таким образом, ряд Фурье нечетной функции имеет вид

Пример:

Разложить в ряд Фурье на отрезке Решение рядов Фурье функцию

Так как эта функция четная и удовлетворяет условиям теоремы 1, то ее ряд Фурье имеет вид

Находим коэффициенты Фурье. Имеем

Применяя дважды интегрирование по частям, получим, что

Значит, ряд Фурье данной функции выглядит так:

или, в развернутом виде,

Это равенство справедливо для любого Решение рядов Фурье так как в точках сумма ряда совпадает со значениями функции поскольку

Графики функции Решение рядов Фурье и суммы полученного ряда даны на рис. 5.

Замечание:

Этот ряд Фурье позволяет найти сумму одного из сходящихся числовых рядов, а именно, при х = 0 получаем, что

Пример 2. Разложить в ряд Фурье на интервале Решение рядов Фурье функцию f(x) = x.

Функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы 1, следовательно ее можно разложить в ряд Фурье, который в силу нечетности этой функции будет иметь вид

Интегрируя по частям, находим коэффициенты Фурье

Следовательно, ряд Фурье данной функции имеет вид

Это равенство имеет место для всех Решение рядов Фурье В точках сумма ряда Фурье не совпадает со значениями функции f(х) = х, так как она равна

Вне отрезка Решение рядов Фурье сумма ряда является периодическим продолжением функции f(х) = x; ее график изображен на рис. 6.

Разложение функции, заданной на отрезке, в ряд по синусам или по косинусам

Пусть ограниченная кусочно-монотонная функция f(х) задана на отрезке Решение рядов Фурье Значения этой функции на отрезке можно доопределить различным образом. Например, можно определить функцию f(х) на отрезке так, чтобы f(х) = f(-х). В этом случае говорят, что f(х) «продолжена на отрезок Решение рядов Фурье четным образом»; ее ряд Фурье будет содержать только косинусы. Если же функцию f(х) определить на отрезке так, чтобы f(х) = — f(-х), то получится нечетная функция, и тогда говорят, что f(x) «продолжена на отрезок Решение рядов Фурье нечетным образом»; в этом случае ее ряд Фурье будет содержать только синусы.

Итак, каждую ограниченную кусочно-монотонную функцию /(х), определенную на отрезке Решение рядов Фурье можно разложить в ряд Фурье и по синусам, и по косинусам.

Пример:

Функцию

разложить в ряд Фурье: а) по косинусам; б) по синусам.

Данная функция при ее четном и нечетном продолжениях в отрезок Решение рядов Фурье будет ограниченной и кусочно-монотонной

а) Продолжим f(x) в отрезок Решение рядов Фурье четным образом (рис. 7), тогда ее ряд будет иметь вид

где коэффициенты Фурье равны соответственно

б) Продолжим f{x) в отрезок Решение рядов Фурье нечетным образом (рис. 8). Тогда ее ряд Фурье

Ряд Фурье для функции с произвольным периодом

Пусть функция f(x) является периодической с периодом Решение рядов Фурье Для разложения ее в ряд Фурье на отрезке сделаем замену переменной, положив Тогда функция будет периодической функцией аргумента t с периодом Решение рядов Фурье т. к.

и ее можно разложить на отрезке Решение рядов Фурье в ряд Фурье

Возвращаясь к переменной х, т. е. положив Решение рядов Фурье получим

Все теоремы, справедливые для рядов Фурье периодических функций с периодом Решение рядов Фурье остаются в силе и для периодических функций с произвольным периодом 2 l. В частности, сохраняет свою силу и достаточный признак разложимости функции в ряд Фурье.

Пример:

Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом 2 l, заданную на отрезке Решение рядов Фурье формулой

Так как данная функция четная, то ее ряд Фурье имеет вид

Подставляя в ряд Фурье найденные значения коэффициентов Фурье, получим

Отметим одно важное свойство периодических функций.

Теорема:

Если функция f(x) имеет период Т и интегрируема, то для любого числа а выполняется равенство

т. е. интеграл no отрезку, длина которого равна периоду Т, имеет одно и то же значение независимо от положения этого отрезка на числовой оси.

В самом деле,

Делаем замену переменной во втором интеграле, полагая х = t + T, dx = dt. Это дает

и следовательно,

Геометрически это свойство означает, что в случае Решение рядов Фурье площади заштрихованных на рис. 10 областей равны между собой.

В частности, для функции f(x) с периодом Т = Решение рядов Фурье получим при

Пример:

Функция

является периодической с периодом Т = Решение рядов Фурье В силу нечетности данной функции без вычисления интегралов можно утверждать, что при любом а

Доказанное свойство, в частности, показывает, что коэффициенты Фурье периодической функции f(x) с периодом 2 l можно вычислять по формулам

где a — произвольное действительное число (отметим, что функции Решение рядов Фурье имеют период 2 l).

Пример:

Разложить в ряд Фурье заданную на интервале 0 < х < Решение рядов Фурье функцию

с периодом Решение рядов Фурье (рис. 11).

Найдем коэффициенты Фурье данной функции. Положив в формулах (1) и (2) а = 0, Решение рядов Фурье найдем, что

Следовательно, ряд Фурье будет выглядеть так:

В точке х = Решение рядов Фурье (точка разрыва первого рода) имеем

Комплексная запись ряда Фурье

В этом параграфе используются некоторые элементы комплексного анализа (см. главу XXX, где все, производимые здесь действия с комплексными выражениями, строго обоснованы).

Пусть функция f(x) удовлетворяет достаточным условиям разложимости в ряд Фурье. Тогда на отрезке Решение рядов Фурье ее можно представить рядом вида

Используя формулы Эйлера (см. ***)

найдем, что

Подставляя эти выражения в ряд (1) вместо cos nх и sin nх, будем иметь

Введем следующие обозначения

Тогда ряд (2) примет вид

Преобразуем правую часть этого равенства следующим образом

Последнее равенство можно записать так:

Таким образом, ряд Фурье (1) представлен в комплексной форме (3).

Найдем выражения коэффициентов Решение рядов Фурье через интегралы. Имеем

Аналогично находим

Окончательно формулы для Решение рядов Фурье можно записать так:

Коэффициенты Cn называются комплексными коэффициентами Фурье функции f(x).

Для периодической функции f(x) с периодом Решение рядов Фурье комплексная форма ряда Фурье примет вид

где коэффициенты Cn вычисляются по формулам

Сходимость рядов (3) и (4) понимается так: ряды (3) и (4) называются сходящимися для данного значения х, если существуют пределы

Пример:

Разложить в комплексный ряд Фурье функцию периода Решение рядов Фурье

Данная функция удовлетворяет достаточным условиям разложимости в ряд Фурье. Пусть

Найдем комплексные коэффициенты Фурье этой функции. Имеем

или, короче,

Подставляя значения Сn в ряд (3), окончательно получим

Заметим, что этот ряд можно записать и так:

Ряды Фурье по общим ортогональным системам функций

Ортогональные системы функций

Обозначим через Решение рядов Фурье множество всех (действительных) функций, определенных и интегрируемых на отрезке [а, b] с квадратом, т. е. таких, для которых существует интеграл

В частности, все функции f(х), непрерывные на отрезке Решение рядов Фурье и значения их интегралов Лебега совпадают со значениями интегралов Римана.

Определение:

Система функций Решение рядов Фурье называется ортогональной на отрезке [а,b], если

Условие (1) предполагает, в частности, что ни одна из функций Решение рядов Фурье не равна тождественно нулю.

Введем обозначение

и назовем величину Решение рядов Фурье нормой функции .

Если в ортогональной системе Решение рядов Фурье для всякого n имеем то система функций называется ортонормированной.

Если система Решение рядов Фурье ортогональна, то система ортонормирована.

Пример:

Тригонометрическая система

ортогональна на отрезке Решение рядов Фурье . Система функций

является ортонормированной системой функций на Решение рядов Фурье .

Пример:

Косинус-система

и синус-система

являются ортогональными на отрезке [0, l] , но не ортонормированными Решение рядов Фурье так как их нормы

Пример:

Многочлены, определяемые равенством

(n = 0, 1, 2, …), называются многочленами (полиномами) Лежандра. При n = 0 имеем

при n = 1 получаем

при n = 2 имеем

и т.д.

Можно доказать, что функции

образуют ортонормированную систему функций на отрезке [-1, 1].

Покажем, например, ортогональность полиномов Лежандра. Пусть m>n. В этом случае, интегрируя n раз по частям, находим

поскольку для функции Решение рядов Фурье все производные до порядка m — 1 включительно обращаются в нуль на концах отрезка [-1, 1].

Определение:

Система функций Решение рядов Фурье называется ортогональной на интервале (а,b) с весом р(х), если:

Здесь предполагается, что весовая функция р(х) определена и положительна всюду на интервале (а, b) за возможным исключением конечного числа точек, где р(х) может обращаться в нуль.

Пример:

Система функций Бесселя Решение рядов Фурье ортогональна на интервале (0,1) с весом р(х) = х, т.е.

для Решение рядов Фурье — нули функции Бесселя

Пример:

Рассмотрим многочлены Чебышева—Эрмита, которые могут быть определены при помощи равенства

Выполнив дифференцирование в формуле (3), находим

Можно показать, что многочлены Чебышева — Эрмита ортогональны на интервале Решение рядов Фурье с весом

Пусть Решение рядов Фурье — ортогональная система функций в интервале (а, b) и пусть ряд

Решение рядов Фурье сходится на этом интервале к функции f(x):

Умножая обе части последнего равенства на Решение рядов Фурье — фиксировано) и интегрируя по х от а до b, в силу ортогональности системы получим, что

Эта операция имеет, вообще говоря, чисто формальный характер. Тем не менее, в некоторых случаях, например, когда ряд (4) сходится равномерно, все функции Решение рядов Фурье непрерывны и интервал (а, b) конечен, эта операция законна. Но для нас сейчас важна именно формальная трактовка. Итак, пусть задана функция Образуем числа Решение рядов Фурье по формуле (5) и напишем

Ряд, стоящий в правой части, называется рядом Фурье функции f(x) относительно системы Решение рядов Фурье . Числа Cn называются коэффициентами Фурье функции f(x) по этой системе. Знак ~ в формуле (6) означает лишь, что числа Сn связаны с функцией f(x) формулой (5) (при этом не предполагается, что ряд справа вообще сходится, затем более сходится к функции f(x)). Поэтому естественно возникает вопрос: каковы свойства этого ряда? В каком смысле он «представляет» функцию f(x)?

Сходимость в среднем

Определение:

Последовательность Решение рядов Фурье сходится к элементу в среднем, если

или, что то же, Решение рядов Фурье — норма в пространстве

Теорема:

Если последовательность сходится равномерно, то она сходится и в среднем.

Пусть последовательность Решение рядов Фурье сходится равномерно на отрезке [а, b] к функции f(x). Это означает, что для всякого > 0 при всех достаточно больших n имеем

откуда вытекает наше утверждение.

Обратное утверждение неверно: последовательность Решение рядов Фурье может сходиться в среднем к f(x), но не быть равномерно сходящейся.

Пример:

Рассмотрим последовательность

Легко видеть, что

Но эта сходимость не равномерна: существует Решение рядов Фурье , например, такое, что сколь бы большим ни было n, на отрезке [0,1] найдется точка, именно, точка в которой значение функции fn(x) равно

Таким образом, за счет увеличения n сделать неравенство Решение рядов Фурье справедливым сразу для всех значений х от 0 до 1 никак нельзя. Иными словами, уже для не существует номера N, который годился бы для всех [0, 1] одновременно (здесь характерен горб высоты Решение рядов Фурье (рис. 12), «передвигающийся» справа налево с возрастанием n). С другой стороны,

так что последовательность Решение рядов Фурье сходится в среднем к функции f(х) = 0.

Минимальное свойство коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля

Пусть Решение рядов Фурье — ортонормированная система функций на отрезке [а,b],

и пусть Решение рядов Фурье Обозначим через коэффициенты Фурье функции f(x) по ортонормированной системе :

Рассмотрим линейную комбинацию

где Решение рядов Фурье — фиксированное целое число, и найдем значения постоянных аn, при которых интеграл

принимает минимальное значение. Запишем его подробнее

Интегрируя почленно, в силу ортонормированности системы Решение рядов Фурье получим

Первые два слагаемых в правой части равенства (7) не зависят от Решение рядов Фурье а третье слагаемое неотрицательно. Поэтому интеграл (*) принимает минимальное значение при (к = 1, 2,…). Интеграл

называют средним квадратичным приближением функции f(x) линейной комбинацией Тn(х). Таким образом, среднее квадратичное приближение функции Решение рядов Фурье принимает минимальное значение, когда (к = 1,2,…), т. е. когда Тn(х) есть n-я частичная сумма ряда Фурье функции f(x) по системе Sn(x). Полагая , из (7) получаем

Равенство (9) называется тождеством Бесселя. Так как его левая часть неотрицательна, то из него следует неравенство Бесселя

Поскольку n здесь произвольно, то неравенство Бесселя можно представить в усиленной форме

т. е. для всякой функции Решение рядов Фурье ряд из квадратов коэффициентов Фурье этой функции по ортонормированной системе сходится. Так как система

ортонормирована на отрезке Решение рядов Фурье то неравенство (10) в переводе на привычную запись тригонометрического ряда Фурье дает соотношение

справедливое для любой функции f(x) с интегрируемым квадратом.

Если Решение рядов Фурье интегрируема, то в силу необходимого условия сходимости ряда в левой части неравенства (11) получаем, что

Равенство Парсеваля

Для некоторых систем Решение рядов Фурье знак неравенства в формуле (10) может быть заменен (для всех функций знаком равенства. Получаемое равенство

называется равенством Парсеваля—Стеклова {условием полноты).

Тождество Бесселя (9) позволяет записать условие (12) в равносильной форме

Тем самым выполнение условия полноты означает, что частичные суммы Sn(х) ряда Фурье функции f(x) сходятся к функции f(x) в среднем, т. е. по норме пространства Решение рядов Фурье

Определение:

Ортонормированная система Решение рядов Фурье называется полной в если всякую функцию

можно с любой точностью приблизить в среднем линейной комбинацией вида

с достаточно большим числом слагаемых, т. е. если для всякой функции Решение рядов Фурье и для любого > 0 найдется натуральное число N0 и числа такие, что

Из приведенных рассуждений следует

Теорема:

Если ортонормированная система Решение рядов Фурье полна в пространстве , то ряд Фурье всякой функции по этой системе сходится к f(x) в среднем, т. е. по норме

Можно показать, что тригонометрическая система

полна в пространстве Решение рядов Фурье Отсюда следует утверждение.

Теорема:

Если функция Решение рядов Фурье то ее тригонометрический ряд Фурье сходится к ней в среднем.

Замкнутые системы. Полнота и замкнутость систем

Определение. Ортонормированная система функций Решение рядов Фурье называется замкнутой, если в пространстве не существует отличной от нуля функции, ортогональной ко всем функциям

В пространстве Решение рядов Фурье понятия полноты и замкнутости ортонормированных систем совпадают.

Ряды Фурье основные определения и свойства с подробным объяснением и теорией

При изучении разнообразных периодических процессов, т. е. процессов, которые через определенный промежуток времени повторяются (встречаются в радиотехнике, электронике, теории упругости, теории и практике автоматического регулирования и т. д.), целесообразнее разлагать периодические функции, описывающие эти процессы, не в степенной ряд, а в так называемый тригонометрический ряд.

Напомним, что функция у = f(x), определенная на множестве D, называется периодической (см. п. 14.3) с периодом Т > 0, если при каждом х € D значение Ряды Фурье и выполняется равенство

Для построения графика периодической функции периода Т достаточно построить его на любом отрезке длины Т и периодически продолжить его во всю область определения.

Отметим основные свойства периодической функции.

Алгебраическая сумма периодических функций, имеющих один и тот же период Т, есть периодическая функция с периодом Т.
Если функция f(x) имеет период Т , то функция f(ax) имеет период действительно,
Если функция f(х) имеет период T и интегрируема на отрезке

при любых Ряды Фурье

Пусть, например, 0 < а < b < Т, тогда

С другой стороны,

Но

Подставляем полученный результат в (66.2) и, сравнивая с (66.1), имеем

В частности,

Простейшими периодическими функциями являются тригонометрические функции sinх и cosх. Период этих функций равен Ряды Фурье , т.е.

Простейшим периодическим процессом (движением) является простое гармоническое колебание (движение), описываемое функцией

Ряды Фурье где А — амплитуда колебания, — частота, — начальная фаза.

Функцию такого вида (и ее график) называют простой гармоникой. Основным периодом функции (66.3) является Ряды Фурье т. е. одно полное колебание совершается за промежуток времени показывает, сколько колебаний совершает точка в течение : единиц времени).

Проведем преобразование функции (66.3):

где Ряды Фурье Отсюда видно, что простое гармоническое колебание описывается периодическими функциями

Сложное гармоническое колебание, возникающее в результате наложения конечного (или бесконечного) числа простых гармоник, также описывается функциями вида Ряды Фурье Так, функция

или, что равносильно, функция

задает сложное гармоническое колебание. Так как период первой гармоники есть

период функции Ряды Фурье («нулевая гармоника») есть любое число, то функция имеет период, равный , т. е.

Понятно, что при наложении простых гармоник получаем периодическую функцию, описывающую сложное периодическое колебание (периодический процесс).

Возникает вопрос: всякую ли периодическую функцию, описывающую периодический процесс, можно представить в виде суммы простых гармоник вида (66.3) или (66.4)? Если да, то как найти неизвестные параметры (коэффициенты) каждой из этих гармоник? Ответим сначала на второй вопрос, а потом и на первый.

Тригонометрический ряд Фурье

С помощью так называемого тригонометрического ряда любую (практически) периодическую функцию можно представить в виде ряда, членами которого являются простые гармоники.

Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида

где действительные числа Ряды Фурье называются коэффициентами ряда.

Ряд (66.5) можно записать в виде

Действительно, положив Ряды Фурье получим: ряд (66.5) принимает вид (66.6), при этом

Свободный член ряда записан в виде Ряды Фурье для единообразия получающихся в дальнейшем формул.

Приведем формулы, которые понадобятся нам в дальнейшем. Считая m и n целыми положительными, находим:

Замечанья.

1. Формулы (66.7)-(66.11) показывают, что семейство функций

обладает свойством ортогональности: интеграл от произведения любых двух функций этого семейства на интервале, имеющем длину Ряды Фурье равен нулю.

2.Формулы (66.7)-(66.11) справедливы и в случае, когда область интегрирования есть отрезок Ряды Фурье (см. свойство 3 периодических функций, п. 66.1).

Пусть f(х) — произвольная периодическая функция с периодом Ряды Фурье Предположим, что функция f(х) разлагается в тригонометрический ряд, т. е. f(х) является суммой ряда (66.5):

Так как функция f(х) (и сумма ряда) имеет период Ряды Фурье , то ее можно рассматривать в любом промежутке длины . В качестве основного промежутка возьмем отрезок (также удобно взять отрезок ) и предположим, что ряд (66.12) на этом отрезке можно почленно интегрировать. Вычислим коэффициенты Ряды Фурье . Для этого проинтегрируем обе части равенства (66.12) в пределах от

Интегралы от всех, кроме нулевого, членов ряда равны нулю в силу формул (66.7) и (66.8). Отсюда

Умножив обе части равенства (66.12) на cos mar и проинтегрировав полученный ряд в пределах от Ряды Фурье , получим:

В силу формул (66.7), (66.9) и (66.10) из последнего равенства при m = п получаем:

Отсюда

Аналогично, умножив равенство (66.12) на sinmx и проинтегрировав почленно на отрезке Ряды Фурье , найдем:

Числа Ряды Фурье определяемые по формулам (66.13)-(66.15), называются коэффициентами Фурье функции f(x), а тригонометрический ряд (66.5) с такими коэффициентами — рядом Фурье функции f(x).

Для интегрируемой на отрезке Ряды Фурье функции f(x) записывают

и говорят: функции f(x) соответствует (поставлен в соответствие) ее ряд Фурье. Если ряд Фурье сходится, то его сумму обозначим S(x).

Разложение в ряд Фурье периодических функций

Разложение в ряд Фурье Ряды Фурье периодических функций

Теорема Дирихле

Выясним условия, при которых знак соответствия (~) можно заменить знаком равенства (=), т. е. условия, при которых ряд Фурье функции f(х) сходится и имеет своей суммой как раз функцию f(х).

Будем рассматривать функции f(x), имеющие период Ряды Фурье Такие функции называют —периодическими.

Сформулируем теорему, представляющую достаточное условие разложимости функции в ряд Фурье.

Теорема Дирихле:

Пусть Ряды Фурье -периодическая функция f(x) на отрезке удовлетворяет двум условиям:

f(х) кусочно-непрерывна, т. е. непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода;
f(x) кусочно-монотонна, т. е. монотонна на всем отрезке, либо этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция монотонна.

Тогда соответствующий функции f(х) ряд Фурье сходится на этом отрезке и при этом:

В точках непрерывности функции сумма ряда S(x) совпадает с самой функцией: S(x) = f(x);
В каждой точке разрыва функции сумма ряда равна т. е. равна среднему арифметическому пределов функции /(х) справа и слева;
В точках (на концах отрезка) сумма ряда равна

Таким образом, если функция f(х) удовлетворяет условиям 1 и 2 теоремы (условия Дирихле), то на отрезке Ряды Фурье имеет место разложение (66.12):

причем коэффициенты вычисляются по формулам (66.13)-(66.15). Это равенство может нарушиться только в точках разрыва функции f(х) и на концах отрезка Ряды Фурье .

В силу периодичности исходной функции и суммы ряда Фурье может быть получено указанное разложение во всей области определения функции.

Замечания:

1.Если функция f(x) с периодом Ряды Фурье на отрезке удовлетворяет условиям Дирихле, то для нее имеет место разложение (66.12), где коэффициенты вычисляются по формулам

(Интегралы Ряды Фурье равны в силу свойства 3 периодической функции — см. п. 66.1.)

2.Условиям Дирихле удовлетворяют большинство функций, которые встречаются в математике и ее приложениях. Существуют функции, не удовлетворяющие условиям Дирихле, но при этом разложимые в ряд Фурье, т. е. теорема Дирихле дает лишь достаточное условие разложимости, но не необходимое.

Пример:

Разложить в ряд Фурье функцию f(x) периода Ряды Фурье , заданную на отрезке формулой

Решение:

На рисунке 260 изображен график функции f(х). Эта функция удовлетворяет условиям Дирихле, значит, она разложима в ряд Фурье. Находим коэффициенты ряда:

Аналогично находим

Исходной функции f(x) соответствует ряд Фурье

Функция f(х) непрерывна во всех внутренних точкой отрезка Ряды Фурье , поэтому, согласно теореме Дирихле, для всех этих точек имеем равенство f(х) = S(х), т. е.

В точках Ряды Фурье сумма S(x) ряда равна

Графики функций f(х) и S(х) показаны на рис. 260.

Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций

Если разлагаемая на отрезке Ряды Фурье в ряд Фурье функция f(х) является четной или нечетной, то это отражается на формулах коэффициентов Фурье (вычисление их упрощается) и на виде самого ряда (он становится так называемым неполным).

Если функция f(x) четная, то ее ряд Фурье имеет вид

где

Если функция f(x) нечетная, то ее ряд Фурье имеет вид

где

Как известно (см. п. 39.4), если функция f(x) интегрируема на симметричном отрезке [—а; а], то

Если функция f(x) — четная, то f(х) cos nx — четная функция Ряды Фурье , a f(x) sin nx — нечетная функция.

Если же f(х) — нечетная функция, то, очевидно, функция f(х) cosnx — нечетная, a f(x) sinnx — четная.

С учетом формулы (67.5) из формул (66.13)-(66.15) получаем формулы (67.1)-(67.4).

Ряды (67.1) и (67.3) называются неполными тригонометрическими рядами, или рядами по косинусам и по синусам соответственно.

Пример:

Разложить в ряд Фурье функцию

Решение:

На рисунке 261 изображен график заданной функции. Условиям Дирихле функция у = х удовлетворяет. Эта функция — нечетная. Следовательно, Ряды Фурье

Ряд Фурье содержит только синусы:

При этом

Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода

Разлагать в ряд Фурье можно и периодические функции с периодом, отличным от Ряды Фурье .

Пусть функция f(x), определенная на отрезке [-l; l], имеет период Ряды Фурье где l — произвольное положительное число) и удовлетворяет на этом отрезке условиям Дирихле.

Сделав подстановку Ряды Фурье , данную функцию f(х) преобразуем в функцию , которая определена на отрезке и имеет период .

Действительно, если Ряды Фурье и при

Разложение функции Ряды Фурье в ряд Фурье на отрезке имеет вид

где

Возвращаясь к переменной х и заметив, что Ряды Фурье получим

где

Ряд (67.6) с коэффициентами, вычисляемыми по формулам (67.7), называется рядом Фурье для функции f(x) с периодом Т = 2l.

Замечание:

Все теоремы, имеющие место для рядов Фурье Ряды Фурье -периодических функций, остаются в силе и для рядов Фурье функций, период которых Т = 2l. В частности, если f(х) на отрезке [—l; l] четная, то ее ряд Фурье имеет вид

где

если f(x) — нечетная функция, то

где

Пример:

Разложить функцию f(x) = х на интервале (—4; 4) в ряд Фурье.

Решение:

Данная функция нечетная, удовлетворяет условиям Дирихле. По формулам (67.10) и (67.11), при l = 4, имеем:

где

Вычисляем Ряды Фурье :

Таким образом,

для -4 < x < 4.

Представление непериодической функции рядом Фурье

Пусть у = f(х) — непериодическая функция, заданная на всей числовой оси Ряды Фурье .

Такая функция не может быть разложена в ряд Фурье, т. к. сумма ряда Фурье есть функция периодическая и, следовательно, не может быть равна f(x) для всех x.

Однако непериодическая функция f(x) может быть представлена в виде ряда Фурье на любом конечном промежутке [a; b], на котором она удовлетворяет условиям Дирихле. Для этого можно поместить начало координат в середину отрезка [a; b] и построить функцию Ряды Фурье периода Т = 21 = |b — а| такую, что На рисунке 262 приведена иллюстрация построения функции .

Разлагаем функцию Ряды Фурье в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка [а; b] (кроме точек разрыва) совпадает с заданной функцией f(x). Вне этого промежутка сумма ряда и f(x) являются совершенно различными функциями.

Пусть теперь непериодическую функцию f(х) требуется разложить в ряд Фурье на отрезке [0; l]. (Это частный случай: начало координат перенесено в точку х = а отрезка [а; b]; область определения функции f(x) будет иметь вид [0; l], где l = |b- а|.)

Такую функцию можно произвольным образом доопределить на отрезке [-l;0], а затем осуществить ее периодическое продолжение с периодом Т = 2l. Разложив в ряд Фурье на отрезке [—l,l] полученную таким образом периодическую функцию Ряды Фурье , получим искомый ряд для функции f(x) при

В частности, функцию f(x) можно доопределить на отрезке [—l; 0] четным образом (т. е. чтобы при Ряды Фурье было f(x) = f(—x)) — см. рис. 263. В этом случае функция f(x) разлагается в ряд Фурье, который содержит только косинусы (см. формулы (67.8) и (67.9)).

Если же функцию f(x) продолжить на отрезок [-l; 0] нечетным образом (см. рис. 264), то она разлагается в ряд, состоящий только из синусов (см. формулы (67.10) и (67.11)).

Ряд косинусов и ряд синусов для функции f(x), заданной на отрезке [0; l], имеют одну и ту же сумму. Если Ряды Фурье — точка разрыва функции f(x), то сумма как одного, так и другого ряда равна одному и тому же числу:

Замечание:

Все, что было сказано о разложении в ряд Фурье функции f(x) на отрезке [0;l], переносится практически без изменения на случай, когда функция задана на отрезке Ряды Фурье ; такую функцию .можно разложить как в ряд косинусов, так и в ряд синусов (формулы (67.1) и (67.3)).

Пример:

Разложить в ряд косинусов функцию

Решение:

Продолжим функцию f(x) на отрезок Ряды Фурье четным образом (см. рис. 265). Разлагаем в ряд функцию

с периодом Ряды Фурье . Условиям теоремы Дирихле функция удовлетворяет. Используя формулы (67.1) и (67.2), находим:

Таким образом,

где

Комплексная форма ряда Фурье

Ряды Фурье часто применяются в комплексной форме записи. Преобразуем ряд (66.12) и его коэффициенты (66.13)-(66.15) к комплексной форме. Для этого используем формулы Эйлера, выражающие косинус и синус через показательную функцию:

(из формулы Эйлера Ряды Фурье и вытекающего из нее равенства находим, что Подставив эти выражения в ряд (66.12), находим:

где обозначено

Найдем выражения для комплексных коэффициентов Ряды Фурье Используя выражения для (формулы (66.14) и (66.15)), получим:

т. е.

Таким образом, формулу (67.12) можно записать в виде

Коэффициенты этого ряда, согласно формулам (67.13)-(67.15), можно записать в виде

Равенство (67.16) называется комплексной формой ряда Фурье функции f(x), а числа Ряды Фурье , найденные по формуле (67.17), — комплексными коэффициентами ряда Фурье.

Если функция f(x) задается на отрезке [—l; l], то комплексная форма ее ряда Фурье имеет вид

Как видим, комплексная форма ряда Фурье (и коэффициентов) более компактна, чем обыкновенный ряд Фурье.

В электротехнике и радиотехнике члены ряда Ряды Фурье называются гармониками, коэффициенты — комплексными амплитудами гармоник, а числа — волновыми числами

Совокупность величин Ряды Фурье называется амплитудными спектром.

Графически амплитудный спектр изображается в виде вертикальных отрезков длиной Ряды Фурье , расположенных в точках числовой оси.

Пример:

Построить ряд Фурье в комплексной форме для 2-периодической функции

Решение:

На рисунке 266 изображен график функции f(х). По формулам (67.18) находим (l = 1):

Следовательно, для всех точек непрерывности функции f(х) справедливо равенство

Интеграл Фурье

Как известно, всякую (периодическую или непериодическую) функцию f(х), удовлетворяющую на отрезке [—l; l] условиям теоремы Дирихле, можно разложить в ряд Фурье

где Ряды Фурье

Это разложение будет справедливым на всей числовой оси Ох в том случае, когда f(x) — периодическая функция с периодом Т = 2l.

Рассмотрим случай, когда f(x) — непериодическая функция, заданная на бесконечном промежутке Ряды Фурье

Будем предполагать, что на любом конечном промежутке [—l; l] функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы Дирихле и что сходится следующий несобственный интеграл:

Говорят: f(х) абсолютно интегрируема на всей числовой оси.

Подставляя в ряд (68.1) значения коэффициентов Ряды Фурье (68.2), получим:

т. e.

Будем теперь неограниченно увеличивать l. Первое слагаемое в правой части равенства (68.3) при Ряды Фурье стремится к нулю, т. к.

Рассмотрим второе слагаемое в равенстве (68.3). Величина Ряды Фурье принимает значения образующие бесконечную арифметическую прогрессию с разностью

Итак,

Полученная сумма напоминает интегральную сумму для функции

(доказывается, что так оно и есть), поэтому, переходя в равенстве (68.3) к пределу при Ряды Фурье получаем

или

Формула (68.4) называется формулой Фурье, а интеграл в правой части формулы — интегралом Фурье для функции f(x). Формула Фурье имеет место в точках непрерывности функции f(х); в точках разрыва данной функции интеграл Фурье равен среднему арифметическому ее односторонних пределов:

Формулу (68.4) можно переписать в другом виде (в виде однократного интеграла):

т. е.

где

Как видно, есть аналогия между рядом Фурье и интегралом Фурье: в обоих случаях функция f(x) раскладывается на сумму гармонических составляющих. Однако, ряд Фурье суммируется по индексу п, принимающему дискретные значения п = 1,2,3,…, в интеграле Фурье производится интегрирование по непрерывной переменной Ряды Фурье .

Некоторые сведения, связанные с интегралом Фурье, изложим в виде замечаний.

Замечания:

1.Если функция f(x) — четная, то формула Фурье (68.5) принимает вид

в случае нечетной функции —

2.Если функция f(x) задана лишь на промежутке Ряды Фурье , то ее можно продолжить на промежуток разными способами, в частности — четным или нечетным образом: в первом случав она будет представлена формулой (68.6), во втором — формулой (68.7).