Векторы в математике - определение и основные понятия с примерами

Оглавление:

Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скалярными. Примерами скалярных величин являются: площадь, длина, объем, температура, работа, масса.

Другие величины, например сила, скорость, ускорение, определяются не только своим числовым значением, но и направлением. Такие величины называют векторными. Векторная величина геометрически изображается с помощью вектора.

Вектор — это направленный прямолинейный отрезок, т. е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. Если А — начало вектора, а В — его конец, то вектор обозначается символом или . Вектор (у него начало в точке В, а конец в точке А) называется противоположным вектору . Вектор, противоположный вектору , обозначается —.

Длиной или модулем вектора называется длина отрезка и обозначается ||. Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается . Нулевой вектор направления не имеет.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается через . Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом вектора и обозначается .

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых; записывают Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. £5] Два вектора называются равными , если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины. Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, а начало вектора помещать в любую точку О пространства.

На рисунке 1 векторы образуют прямоугольник. Справедливо равенство но Векторы — противоположные,

Равные векторы называют также свободными. Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Если среди трех векторов хотя бы один нулевой или два любые колли-неарны, то такие векторы компланарны.

Линейные операции над векторами

Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число.

Пусть — два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и построим вектор От точки А отложим вектор Вектор , соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой векторов : (см. рис. 2).

Это правило сложения векторов называют правилом треугольника. Сумму двух векторов можно построить также по правилу параллелограмма (см. рис. 3).

На рисунке 4 показано сложение трех векторов

Под разностью векторов понимается вектор такой, что (см. рис. 5).

Отметим, что в параллелограмме, построенном на векторах , одна направленная диагональ является суммой векторов , а другая — разностью (см. рис. 6).

Можно вычитать векторы по правилу: , т. е. вычитание векторов заменить сложением вектора с вектором, противоположным вектору

Произведением вектора на скаляр (число) называется вектор , который имеет длину , коллинеарен вектору , имеет направление вектора , если и противоположное направление, если .Например, если дан вектор, то векторы будут иметь вид

Из определения произведения вектора на число следуют свойства этого произведения:

1) если Вектор Наоборот, если , то при некотором верно равенство

2) всегда , т. е. каждый вектор равен произведению его модуля на орт.

Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:

Эти свойства позволяют проводить преобразования в линейных операциях с вектором так, как это делается в обычной алгебре: слагаемые менять местами, вводить скобки, группировать, выносить за скобки как скалярные, так и векторные общие множители.

Проекция вектора на ось

Пусть в пространстве задана ось l, т. е. направленная прямая. Проекцией точки М на ось l называется основание Вектор перпендикуляра , опущенного из точки на ось.

Точка Вектор есть точка пересечения оси l с плоскостью, проходящей через точку М перпендикулярно оси (см. рис. 7).

Если точка М лежит на оси l , то проекция точки М на ось совпадает с М.

Пусть — произвольный вектор . Обозначим через проекции на ось l соответственно начала А и конца В вектора и рассмотрим вектор

Проекцией вектора на ось l называется положительное число , если вектор и ось l одинаково направлены и отрицательное число —если вектор и ось l противоположно направлены (см. рис. 8). Если точки совпадают , то проекция вектора равна 0.

Проекция вектора на ось l обозначается так: . Если или , то .

Угол между вектором и осью l (или угол между двумя векторами) изображен на рисунке 9. Очевидно,

Рассмотрим некоторые основные свойства проекций. Свойство 1. Проекция вектора на ось l равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью, т. е.

Следствие:

Проекция вектора на ось положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю, если этот угол — прямой.

Следствие:

Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.

Свойство 2. Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме их проекций на эту ось.

Пусть, например, Вектор Имеем т. е. (см. рис. 11).

Свойство 3. При умножении вектора на число его проекция на ось также умножается на это число, т. е.

При Вектор имеем

При Вектор :

Свойство справедливо, очевидно, и при Вектор .

Таким образом, линейные операции над векторами приводят к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов.

Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. Выделим на координатных осях Ох, Оу и Oz единичные векторы (орты), обозначаемые соответственно (см. рис. 12).

Выберем произвольный вектор а пространства и совместим его начало с началом координат:

Найдем проекции вектора на координатные оси. Проведем через конец вектора плоскости, параллельные координатным плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответственно через Получим прямоугольный параллелепипед, одной из диагоналей которого является вектор . Тогда По определению суммы нескольких векторов находим А так как то

Но

Обозначим проекции вектора на оси Ох, Оу и Oz соответственно через

Тогда из равенств (5.1) и (5.2) получаем

Эта формула является основной в векторном исчислении и называется разложением вектора по ортам координатных осей.

Числа называются координатами вектора , т. е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси.

Векторное равенство (5.3) часто записывают в символическом виде:

Зная проекции вектора , можно легко найти выражение для модуля вектора. На основании теоремы о длине диагонали прямоугольного параллелепипеда можно написать

Отсюда

т. е. модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат.

Пусть углы вектора с осями Ох, Оу и Oz соответственно равны По свойству проекции вектора на ось, имеем

Или, что то же самое,

Числа называются направляющими косинусами вектора .

Подставим выражения (5.5) в равенство (5.4), получаем

Сократив на Вектор получим соотношение

т. е. сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице.

Легко заметить, что координатами единичного вектора являются числа т. е. Итак, задав координаты вектора, всегда можно определить его модуль и направление, т. е. сам вектор.

Действия над векторами, заданными проекциями

Пусть векторы заданы своими проекциями на оси координат Ох, Оу , Oz или, что то же самое

Линейные операции над векторами

Так как линейные операции над векторами сводятся к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов, то можно записать:

или кратко То есть при сложении (вычитании) векторов их одноименные координаты складываются (вычитаются).
или короче То есть при умножении вектора на скаляр координаты вектора умножаются на этот скаляр.

Равенство векторов

Из определения вектора как направленного отрезка, который можно передвигать в пространстве параллельно самому себе, следует, что два вектора равны тогда и только тогда, когда выполняются равенства: т. е.

Коллинеарность векторов

Выясним условия коллинеарности векторов , заданных своими координатами.

Так как Вектор то можно записать где— некоторое число. То есть

Отсюда

T.e.

Таким образом, проекции коллинеарных векторов пропорциональны. Верно и обратное утверждение: векторы, имеющие пропорциональные координаты, коллинеарны.

Координаты точки

Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат Oxyz. Для любой точки М координаты вектораназываются координатами точки М. Вектор называется радиус-вектором точки М, обозначается г, т. е. Следовательно, координаты точки — это координаты ее радиус-вектора

Координаты точки М записываются в виде М(х; у, z).

Координаты вектора

Найдем координаты вектора , если известны координаты точек — Имеем (см. рис. 13):

Следовательно, координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала:

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике: