Непрерывная дробь (цепная дробь) в математике с примерами решения и образцами выполнения

Оглавление:

Непрерывная дробь (или цепная дробь) — это конечное или бесконечное математическое выражение вида. где. есть целое число, а все остальные. — натуральные числа (положительные целые). При этом числа. называются неполными частными или элементами цепной дроби.

Конечные цепные дроби

В арифметике часто приходится искать наибольший общий делитель двух натуральных чисел. В младших классах эту задачу решают с помощью разложения чисел на простые множители. Однако этот способ в школе не получает теоретического обоснования, так как он опирается на не доказываемую (а часто и не формулируемую ) довольно трудную теорему о существовании и единственности разложения натуральных чисел на простые множители.

Другой метод решения этой задачи, свободный от указанного недостатка, изложен еще в книге Евклида «Начала» (III век до н. э.); его называют алгоритмом Евклида или способом последовательного деления. Изложим этот способ.

Напомним сначала некоторые свойства деления с остатком. Пусть а — целое число и b — натуральное число. Существуют такие целые числа q (частное) и r (остаток), что Непрерывная дробь цепная дробь Эти числа однозначно определены.

Справедливо следующее утверждение: если а = bq + r, то наибольший общий делитель чисел а и b совпадает с наибольшим общим делителем чисел b и r.

В самом деле, обозначим наибольший общий делитель чисел а и b через d, а наибольший общий делитель чисел b и r — через Непрерывная дробь цепная дробь Из соотношения r = а — bq получаем, что d является делителем и числа r, то есть d будет общим (но не обязательно наибольшим) делителем чисел b и r. Отсюда следует, что Непрерывная дробь цепная дробь Обратно, из соотношения а = bq + r следует, что наибольший общий делитель чисел b и r является делителем числа а, а значит, Из двух соотношений Непрерывная дробь цепная дробь получаем

Теперь опишем алгоритм Евклида. Он заключается в том, что для целого числа а и натурального числа b последовательно находят две конечные последовательности чисел Непрерывная дробь цепная дробь такие, что и

Тогда Непрерывная дробь цепная дробь — наибольший общий делитель чисел а и b. Это следует из того, что по доказанному наибольшие общие делители пар чисел

совпадают друг с другом. Но Непрерывная дробь цепная дробь и потому наибольший общий делитель чисел и равен .

Заметим, что цепь равенств (1), выражающая алгоритм Евклида, не может быть бесконечной, так как из Непрерывная дробь цепная дробь

вытекает, что в (1) не более чем b равенств.

Пример цепной дроби

В некоторых приложениях математики встречаются очень громоздкие дроби. Возникает вопрос, нельзя ли подобрать дробь со сравнительно небольшим знаменателем, достаточно близкую к данной громоздкой дроби. Аппаратом для решения этой задачи являются дроби особого вида, называемые цепными или непрерывными дробями.

Прежде чем излагать общую теорию цепных дробей, рассмотрим следующий пример. Отношение экваториального радиуса Земли к ее полярному радиусу выражается дробью Непрерывная дробь цепная дробь

Попробуем упростить эту дробь. Для этого сначала выделим из нее целую часть: Непрерывная дробь цепная дробь . Оставшуюся дробную часть преобразуем так:

В знаменателе получившейся дроби снова выделим целую часть:

Это выражение позволяет получить хорошее приближение для рассматриваемой дроби. Ясно, что при отбрасывании в знаменателе дробной части Непрерывная дробь цепная дробь мы получим число которое

больше, чем наша дробь. Если же округлить знаменатель в сторону увеличения, то мы получим дробь Непрерывная дробь цепная дробь , которая меньше рассматриваемой. Таким образом,

Разность полученных приближений Непрерывная дробь цепная дробь мала:

Значит, как Непрерывная дробь цепная дробь так и дают приближенное значение для дроби с точностью не меньшей, чем

Если мы хотим получить еще лучшее приближение, надо аналогичным образом преобразовать отброшенную дробную часть Непрерывная дробь цепная дробь

Подставляя это выражение в (1), получаем:

Ясно, что дробь Непрерывная дробь цепная дробь заключена между

Поэтому получаем для Непрерывная дробь цепная дробь границы:

или, преобразуя дроби,

Получились оценки с большими знаменателями, чем в (2). Но их точность существенно выше — погрешность полученных приближений не больше, чем Непрерывная дробь цепная дробь

Продолжая описанный процесс, мы получим в конце концов точное выражение для Непрерывная дробь цепная дробь в виде «многоэтажной» дроби:

Разумеется, полученная дробь менее удобна, чем Непрерывная дробь цепная дробь . Но она позволяет получать приближенные значения заданной дроби, имеющие небольшие знаменатели. Чтобы получить такие приближенные значения, надо оборвать процесс на каком-то шагу, заменив смешанное число его целой частью, и превратить полученное выражение в обыкновенную дробь. Дроби вида (4) и называют цепными или, иначе, непрерывными дробями.

Определение цепной дроби

Введем следующее общее определение:

Всякое выражение вида

где Непрерывная дробь цепная дробь могут быть любыми действительными или комплексными числами, а также функциями от одной или нескольких переменных, называется конечной цепной (или непрерывной) дробью. Непрерывная дробь цепная дробь называются частными числителями, — частными знаменателями или неполными частными. В записи (1), естественно, предполагается, что Это условие не касается а0, которое может быть равным нулю.

Для получения приближенных значений дробей используют частный вид цепных дробей, у которых все числители равны 1 Непрерывная дробь цепная дробь а знаменатели — натуральные числа

Форма записи (2), как и форма (1), очень громоздка; поэтому вместо (2) часто употребляются упрощенные записи, например

или

Все же часто мы будем пользоваться развернутой записью (2).

Ясно, что всякая цепная дробь вида (2) выражает некоторое рациональное число. Чтобы получить выражение этого числа в виде обыкновенной дроби, надо «свернуть» цепную дробь, выполняя (начиная «с конца») все указанные операции.

Пример:

Вычислить значение цепной дроби Непрерывная дробь цепная дробь Здесь Вычисление будет состоять из следующих шагов:

Ответ: Непрерывная дробь цепная дробь

Обращение конечной цепной дроби в обыкновенную — всегда выполнимая задача. На это потребуется не более чем n шагов, каждый из которых состоит в сложении двух чисел: целого числа и правильной дроби.

Представление рациональных чисел в виде конечной цепной дроби

В предыдущем параграфе было показано, что любую конечную цепную дробь можно обратить в рациональное число. Покажем теперь, что и обратно — любое рациональное число r можно обратить в цепную дробь.

Теорема:

Всякое рациональное число можно представить в виде конечной цепной дроби.

Доказательство:

Всякое рациональное число r можно представить в виде отношения двух целых чисел Непрерывная дробь цепная дробь При этом, не теряя общности, можно считать (в противном случае изменим знаки у Р и Q). Применим к числам Р и Q алгоритм Евклида (см. § 1):

где Непрерывная дробь цепная дробь (если то Каждое из полученных равенств можно переписать по-другому:

Нетрудно заметить, что каждое из этих равенств можно понимать как нахождение целой части неправильной дроби; каждое из неполных частных Непрерывная дробь цепная дробь представляет собой целую часть соответствующей дроби:

Подставив значение дроби Непрерывная дробь цепная дробь из (2′) в знаменатель дроби равенства получим:

Затем значение дроби Непрерывная дробь цепная дробь , взятое из равенства (3), подставим в знаменатель дроби . Продолжая процесс подстановки до конца, получим:

Число частных знаменателей, которое получится при разложении заданного рационального числа в цепную дробь, заранее узнать невозможно. Оно зависит от «природы» числа. Так, мало отличающиеся «на вид» числa Непрерывная дробь цепная дробь .

разлагаются в цепные Дроби, имеющие разное число частных знаменателей:

Обратите внимание на характер доказательства теоремы 1. По существу получено больше, чем требовалось. Ведь надо было лишь доказать, что любое рациональное число можно представить в виде конечной цепной дроби. Мы же не только доказали этот факт, но и указали способ построения искомой цепной дроби.

Покажем теперь, что разложение любого рационального числа в цепную дробь однозначно определено. При этом рассматриваются лишь разложения, удовлетворяющие следующему условию: последний частный знаменатель должен быть больше 1. В противном случае могут существовать и различные разложения в цепную дробь одного и того же рационального числа.

Пример:

Разложим в цепную дробь число Непрерывная дробь цепная дробь

—:

Последний частный знаменатель можно представить в виде Непрерывная дробь цепная дробь В таком случае число можно записать в виде цепной дроби по-иному: . Получилось, что одну и ту же дробь мы разложили в цепную дробь двумя различными способами: [1, 2] и [1, 1, 1]. Так можно поступить с любым рациональным числом. Например, для числа Непрерывная дробь цепная дробь можно получить две цепные дроби:

Чтобы исключить двузначность в разложении рационального числа в цепную дробь, связанную с такими искусственными «удлинениями», как раз и приходится предполагать последний частный знаменатель большим 1.

Однозначность разложения мы докажем от противного. Допустим, что число Непрерывная дробь цепная дробь удалось разложить в две разные цепные дроби:

где

При этом допускается, что различны не только сами частные знаменатели, но и их количество Непрерывная дробь цепная дробь .

Мы имеем равенства:

Так как Непрерывная дробь цепная дробь — натуральные числа, то лежит между 0 и 1, Иными словами, . Точно так же . Значит, и

Отсюда следует, что

Но точно так же Непрерывная дробь цепная дробь и Отсюда следует Продолжая процесс сравнения соответствующих частных знаменателей, получим для всех Если теперь допустить, например, что k<5, то после k-го шага мы придем к равенству

которое невозможно, поскольку Непрерывная дробь цепная дробь — целое число, а — дробное. Точно так же доказывается, что невозможно неравенство k > s. Итак, k = s и для всех i. Однозначность разложения доказана.

Подходящие дроби

Как уже говорилось, цепные дроби служат для получения приближенных значений, имеющих малые знаменатели. Эти приближенные значения получаются так: число разлагают в цепную дробь и обрывают процесс разложения на некотором шагу, заменяя смешанную дробь ее целой частью. Получающиеся таким образом дроби называются подходящими дробями для данной цепной дроби. Иными словами, подходящими дробями для заданной цепной дроби

называются дроби

У цепной дроби с n частными знаменателями имеется ровно n подходящих дробей; последняя подходящая дробь равна данной цепной дроби.

Пример:

Вычислим подходящие дроби цепной дроби [1, 2, 3, 4,]:

Чем больше номер подходящей дроби, тем утомительнее ее непосредственное обращение в обыкновенную дробь. При этом все предыдущие вычисления оказываются бесполезными для дальнейшего, все приходится выполнять вновь.

Естественно искать путь вычисления подходящих дробей данной цепной дроби, при котором использовались бы значения предыдущих дробей. Оказывается, для этого можно использовать так называемые рекуррентные соотношения между тремя последовательными подходящими дробями.

Вернемся к предыдущему примеру. Запишем подходящие дроби следующим образом:

Правило, по которому записаны третья и четвертая подходящие дроби, таково: в числителе записываются два слагаемых — числители двух предыдущих подходящих дробей, а в знаменателе — знаменатели предыдущих подходящих дробей, как показано ниже. И тут и там делается пропуск для множителя:

Оставленное место для множителя заполняется соответствующим частным знаменателем.

Докажем это правило в общем виде. Обозначим числитель и знаменатель i-й подходящей дроби через Непрерывная дробь цепная дробь В этих обозначениях правило записывается так:

(здесь I = 2, 3, . . . , n).

Доказательство ведется с помощью математической индукции по индексу i.

Проверим сперва правило для i = 2; первые три подходящие дроби имеют вид:

Отсюда следует, что

Таким образом, правило верно при i = 2.

Допустим теперь, что правило верно для i = k — 1, то есть что

Докажем, что это же правило верно и при i=k, а именно, что имеет место равенство:

Чтобы получить k-ю подходящую дробь, надо в (k — 1)-й подходящей дроби (k — 1)-й частный знаменатель Непрерывная дробь цепная дробь заменить на выражение Сделаем эту замену и преобразуем числитель и знаменатель:

По предположению индукции имеем:

Поэтому

Итак, наша формула верна и при i=k. Значит, она верна при всех Иными словами, мы доказали, что

где i — 2, 3, …. n, … .

Для того чтобы формулы (3) и (4) не теряли смысла при i = 1, вводят определения Непрерывная дробь цепная дробь которые носят чисто формальный характер, но делают правила (3) —(4) верными и при i = 1.

Покажем, как проводится вычисление, на примере цепной дроби [2, 3, 2, 7, 4]. Вычисление удобно располагать в табличку, которую заполняют последовательно. Первые два столбика заполняют компонентами первых двух подходящих дробей (нулевой и первой подходящей дроби), которые вычисляются непосредственно; третий столбик заполняется компонентами второй подходящей дроби, которые находятся по правилу: числитель первой подходящей дроби умножается на второй частный знаменатель, к полученному произведению прибавляется числитель нулевой подходящей дроби: так же находится и знаменатель второй подходящей дроби. Точно так же определяются числители и знаменатели последующих подходящих дробей. Вот последовательные шаги заполнения таблички:

Значит, Непрерывная дробь цепная дробь

Свойства подходящих дробей

Полученное выше правило вычисления подходящих дробей имеет фундаментальное значение для всей теории цепных дробей. Кроме способа непосредственного вычисления последовательности подходящих дробей, из него получается ряд важных свойств частных числителей и частных знаменателей и подходящих дробей цепной дроби.

Рассмотрим некоторые из этих свойств.

1) Докажем, что для i =1, 2, 3, . . . , n имеет место равенство:

Доказательство проведем индукцией по индексу i.

Покажем прежде всего справедливость формулы (1) при i=1. Заметим, что Непрерывная дробь цепная дробь откуда

Значит,

откуда следует, что

то есть формула (1) справедлива при i = 1.

Предположим, что формула (1) справедлива при i = m — 1:

Докажем, что она справедлива и при i = m, то есть что

Для этого выразим Непрерывная дробь цепная дробь по формулам (3) и (4) из п. 5 и сделаем соответствующие подстановки:

В силу формулы (1′) получаем:

Итак, из справедливости формулы (1) при i = m — 1 следует ее справедливость при i = m. Значит, она верна при всех значениях i.

2) Докажем, что при i = 1,2,3,… имеет место равенство:

Доказательство:

Преобразуем левую часть равенства (2) и применим свойство (1):

Из последних двух свойств вытекает важное следствие.

3) Пoдходящие дроби цепной дроби несократимы.

Будем доказывать это утверждение от противного. Предположим, что какая-то дробь Непрерывная дробь цепная дробь сократима. Это значит, что числитель и знаменатель дроби имеют общий множитель. Обозначим его через с; тогда Подставив эти значения Непрерывная дробь цепная дробь и в равенство (1), мы получим:

Но последнее равенство неверно, так как левая часть делится на с, а правая — нет. Следовательно, наше предположение, что частные числитель и знаменатель Непрерывная дробь цепная дробь имеют общий множитель, неверно.

Диофантовы уравнения первой степени

Мы знаем, что одно уравнение с двумя неизвестными, вообще говоря, имеет бесчисленное множество решений. Однако если рассматривать такие уравнения лишь в множестве целых чисел, то может оказаться, что уравнение имеет лишь конечное множество решений.

Например, уравнение Непрерывная дробь цепная дробь имеет бесчисленное множество действительных решений. Целыми же решениями уравнения являются лишь (2, 2); (— 2, 2); (2, — 2); ( — 2, — 2).

Уравнения, для которых ищутся лишь целые решения, обычно называют диофантовыми.

Вопрос о решении уравнений в целых числах довольно сложен. Мы рассмотрим сейчас самый простой вид таких уравнений, а именно уравнения вида

где а, b и с — целые числа.

Такие уравнения можно решать с помощью цепных дробей. Для примера рассмотрим

Разложим Непрерывная дробь цепная дробь в цепную дробь: Рассмотрим разность между предпоследней и последней подходящими дробями:

Значит,

Умножим обе части равенства (2) на 11:

Получилось, что х = 77 и у = — 110 являются решениями заданного уравнения.

Нетрудно заметить, что решением того же уравнения будет любая пара чисел (х, у), следующим образом выражающихся через целый параметр t:

Этот метод всегда применим, если с делится на наибольший общий делитель чисел а и b. В противном случае уравнение не имеет целых решений.

Иногда ставится задача решений диофантовых уравнений в множестве натуральных чисел. Для этого нужно сначала решить его в целых числах, а потом найти значения t, при которых х и у положительны.

В разобранном выше примере для этого нужно решить в целых числах систему неравенств:

Решая ее, находим t = 3, 4, 5, . . .

Подходящие дроби и календарь

Астрономы подсчитали, что время полного оборота Земли вокруг Солнца приближенно равно 365 суткам 5 часам 48 минутам 46 секундам. Если это время выразить в сутках, то получим приближенно 365,2422 суток.

Обратим дробную часть в цепную дробь:

Первые три подходящие дроби: Непрерывная дробь цепная дробь

Первая подходящая дробь Непрерывная дробь цепная дробь показывает, что, считая год равным 365 дням, мы делаем ошибку на четверть суток. За четыре года получается отставание на одни сутки. Чтобы устранить это отставание, Юлий Цезарь в 45 году до нашей эры ввел новый («юлианский») календарь, в котором каждый четвертый год считался високосным — в феврале прибавляют один день.

Однако через столетия снова начала накопляться ошибка. Чтобы ее оценить, рассмотрим разность

Таким образом, за каждые 132 года прибавляется лишний день (за 396 лет — 3 лишних дня).

Более точный календарь был введен папой Григорием XXII в 1582 году.

Во-первых, он выкинул в этом году 10 дней (следующий день после четверга 4 октября 1582 года именовался пятницей 15 октября), во-вторых, постановил в каждые четыреста лет три високосных года обращать в простые, а один оставить високосным. При переходе нашей страны на григорианский календарь в 1918 году разница во времени уже возросла до 13 суток, что и составляет разницу между старым и новым стилем.

Приближение цепной дроби подходящими дробями

Выясним теперь характер приближения подходящих дробей к рациональному числу, разложенному в данную цепную дробь. Для этого нам понадобится следующее утверждение.

Теорема:

Пусть дана цепная дробь длины т:

При увеличении последнего знаменателя дробь увеличивается, если ее длина п четная, и уменьшается, если п нечетно.

Доказательство:

Проведем доказательство с помощью индукции по n. При n = 0 утверждение очевидно. В этом случае «дробь» имеет вид Непрерывная дробь цепная дробь и увеличивается при увеличении (при этом может, увеличиваясь, принимать не только целые, а любые значения).

Пусть теорема уже доказана для дробей длины k. Рассмотрим дробь длины Непрерывная дробь цепная дробь Ее можно представить в виде

где

— цепная дробь длины k.

Пусть k + 1 — четное число. Тогда — дробь нечетной длины k. Поэтому по предположению индукции она уменьшается при увеличении Непрерывная дробь цепная дробь Но при уменьшении выражение то есть увеличивается.

Если же k + 1 — нечетное число, то Непрерывная дробь цепная дробь — дробь четной длины k и по предположению индукции увеличивается при увеличении Но тогда уменьшается при увеличении

Итак, предположив, что теорема верна для n = k мы доказали ее справедливость при n = k + 1. Так как при n = 0 она верна, то она справедлива для всех значений n.

Из теоремы 2 вытекает важное

Следствие:

Всякая четная подходящая дробь не больше значения цепной дроби у а всякая нечетная подходящая дробь не меньше этого значения.

Доказательство:

Пусть дана дробь

— ее k-я подходящая дробь. Дробь r можно записать в виде

где положено

Таким образом, цепная дробь r получается из подходящей дроби Непрерывная дробь цепная дробь увеличением последнего знаменателя до значения Из теоремы 2 следует, что если k— четное число, то дробь при этом увеличивается, а если k — нечетно, то она уменьшается. Значит, при четном Непрерывная дробь цепная дробь имеем: а при нечетном имеет место Следствие доказано.

Из этого следствия вытекает, что если Непрерывная дробь цепная дробь то справедливо неравенство

Более точную информацию о характере приближения подходящих дробей Непрерывная дробь цепная дробь к числу r дает следующая

Теорема:

Имеют место неравенства

Доказательство:

Подходящая дробь Непрерывная дробь цепная дробь получается из подходящей дроби заменой частного знаменателя выражением . Так как это выражение больше то при четном k подходящая дробь увеличивается, а при нечетном уменьшается. Отсюда и вытекает теорема 3.

Из теоремы 3 и следствия из теоремы 2 вытекает, что четные подходящие дроби приближаются к числу , монотонно возрастая и оставаясь все время не больше, чем . Нечетные подходящие дроби приближаются к , монотонно убывая и оставаясь все время не меньше, чем Непрерывная дробь цепная дробь . При этом равняться — может лишь последняя подходящая дробь. Итак, мы имеем:

Знак равенства имеет место слева, если n = 2l, и справа, если n = 2l + 1.

Оценим теперь отклонение подходящей дроби Непрерывная дробь цепная дробь от числа .<3′ Для этого воспользуемся доказанным выше утверждением: при любом k число лежит между подходящими дробями

Из него вытекает, что

Но

По формуле (1) из п. 6 имеем:

а потому

Из формул (1) и (2) следует, что

Так как Непрерывная дробь цепная дробь

Бесконечные цепные дроби

Разложение иррациональных чисел в цепные дроби: До сих пор мы разлагали в цепные дроби рациональные числа. При этом процесс нахождения частных знаменателей сводился на каждом шагу к выделению целой части неправильной обыкновенной дроби.

Возьмем теперь какое-нибудь иррациональное число, например Непрерывная дробь цепная дробь Алгоритм Евклида здесь неприменим. Однако выделение целой части этого числа — вполне реальная задача. В самом деле, ясно, что так что Непрерывная дробь цепная дробь Значит, число представимо в виде Во втором слагаемом уничтожим иррациональность в числителе:

Таким образом, Непрерывная дробь цепная дробь

Выделим целую часть числа Непрерывная дробь цепная дробь Значит можно представить в виде Ясно, что поэтому Снова уничтожим иррациональность в числителе второго слагаемого:

В итоге получилось:

Проделаем еще один аналогичный шаг:

Нетрудно заметить, что процесс выделения целой части и образования цепной дроби в данном примере не имеет конца. В каждом новом знаменателе будет появляться 4 и слагаемое Непрерывная дробь цепная дробь Поэтому ясно, что представляется в виде бесконечной цепной дроби:

Мы видим, что цепные дроби являются хорошим аппаратом для вычисления квадратных корней.

Проверим, насколько полезен этот способ — как точно находится значение Непрерывная дробь цепная дробь с помощью цепных дробей.

Для сравнения будем брать подходящие дроби и обращать их в обыкновенные, а затем полученные обыкновенные — в десятичные. Десятичные приближения, получаемые из подходящих дробей, будем сравнивать со значением Непрерывная дробь цепная дробь взятым из таблиц Брадиса

Получилось, что уже для четвертой подходящей дроби результат приближения Непрерывная дробь цепная дробь по точности не уступает значению, указанному в четырехзначной таблице значений квадратных корней. Больше того, значение той же подходящей дроби Непрерывная дробь цепная дробь равно значению , указанному в пятизначной таблице. Вообще, нахождение приближений с помощью цепных дробей — мощный вычислительный аппарат.

Возьмем произвольное иррациональное число а. Выделим его целую часть и обозначим ее через Непрерывная дробь цепная дробь

или

где Непрерывная дробь цепная дробь Далее, пусть — целая часть , то есть Тогда

гдe Непрерывная дробь цепная дробь

Пусть Непрерывная дробь цепная дробь тогда

Через n шагов получим:

где Непрерывная дробь цепная дробь — целое число, — натуральные числа и 0 < Этот процесс бесконечен. В самом деле, ни одно не может оказаться равным нулю. Ведь если какое-то Непрерывная дробь цепная дробь то цепная дробь окажется конечной, а такие дроби являются рациональными числами. Мы же взяли для разложения иррациональное число.

Таким образом, каждому иррациональному числу соответствует бесконечная цепная дробь

для которой — натуральные числа ( может быть целым числом любого знака).

Построим для полученной дроби последовательность ее подходящих дробей (в отличие от случая разложения рациональных чисел эта последовательность бесконечна). Можно доказать, что последовательность

подходящих дробей сходится к разлагаемому числу а. Мы опускаем здесь это доказательство.

Подходящие дроби и наилучшие приближения иррациональных чисел рациональными

Мы научились изображать любые числа, как рациональные, так и иррациональные, в виде цепных дробей. Выясним теперь, в чем заключаются преимущества и недостатки такого изображения.

Основное преимущество записи чисел в виде цепных дробей по сравнению с их записью в виде систематических (например, десятичных) дробей состоит в том, что эта запись не зависит от выбора системы счисления. Ведь неполные знаменатели получались путем выделения целой части из неправильных дробей, а эта операция при любой системе счисления приводит к одному и тому же результату (конечно, с точностью до записи в разных системах счисления самих неполных знаменателей). Поэтому запись числа в виде цепной дроби отражает его «существенные» арифметические свойства, а не свойства, связанные с выбором той или иной системы счисления.

Например, при записи рационального числа в виде систематической дроби может получиться либо конечная дробь, либо бесконечная периодическая или смешанная) дробь. При записи же рационального числа в виде цепной дроби всегда получается конечная дробь, причем это характерно только для рациональных чисел. Можно доказать, что квадратичные иррациональности, и. только они, представляются в виде периодических цепных дробей. Выразить же условие того, что данное число является квадратичной иррациональностью, в терминах систематических дробей невозможно.

Но самое важное преимущество цепных дробей по сравнению с систематическими заключается в том, что они дают наилучшие приближения данного числа с помощью дробей, имеющих не слишком большие знаменатели. Уточним это утверждение.

Пусть даны число Непрерывная дробь цепная дробь и несократимая дробь . Естественной мерой отклонения от является . Однако в теоретических вопросах оказалось удобнее рассматривать в качестве меры отклонения число Непрерывная дробь цепная дробь . Ясно, что если мало, то тем более мало число . Обратное верно не всегда, так как знаменатель Q может оказаться большим числом.

Пусть число Непрерывная дробь цепная дробь разложено в цепную дробь. Легко оценить отклонение подходящей дроби от . Так как лежит между то имеем:

Оказывается, для любой дроби, знаменатель которой не превосходит Непрерывная дробь цепная дробь отклонение больше, чем . Иными словами, справедлива следующая

Теорема:

Если — подходящая дробь для разложения числа в цепную дробь, то для любой дроби такой, что выполняется неравенство

Единственным исключением является подходящая дробь Непрерывная дробь цепная дробь для числа вида

Доказательство этой теоремы мы опускаем.

Теорема 4 показывает, что подходящие дроби являются наилучшими приближениями для числа Непрерывная дробь цепная дробь по сравнению со всеми дробями, знаменатель которых не превосходит знаменателя подходящей дроби. Именно это свойство послужило причиной введения цепных дробей в математику и детального изучения их теории. В конце XVII века голландский математик и физик Гюйгенс хотел построить модель Солнечной системы с помощью зубчатых колес. При этом возникла задача определить число зубцов так, чтобы отношение этих чисел для двух связанных между собой колес было по возможности близко к отношению времен Непрерывная дробь цепная дробь обращения соответствующих планет, причем число зубцов не должно быть слишком большим. Таким образом, встал вопрос об отыскании рациональной дроби, числитель и знаменатель которой были бы не слишком большими числами и которая наилучшим образом приближала число Непрерывная дробь цепная дробь . С помощью теории цепных дробей задача была решена.

Отметим, что цепные дроби как аппарат для изображения действительных чисел имеют и недостатки: дело в том, что над действительными числа ми, изображенными в виде цепных дробей, практически трудно выполнять арифметические операции — сложение, вычитание, умножение и деление. (Попробуйте, например, сложить или перемножить дроби

[2, 1, 3, 1, 4] и [3, 2, 4, 6, 8 ],

не переводя их в обыкновенные.)

Цепные дроби как вычислительный инструмент

Рассмотрим некоторые примеры приближения иррациональных чисел подходящими дробями.

Начнем с числа Непрерывная дробь цепная дробь Разлагая число в цепную дробь, получаем: Найдем подходящие дроби для этой цепной дроби:

а затем составим таблицу для вычисления последующих дробей с помощью рекуррентного правила:

Получаем подходящие дроби Непрерывная дробь цепная дробь . Приближение , равное , было известно еще Архимеду, а приближением пользовался Андриан Меций еще в конце XVI столетия. Первое приближение очень удобно тем, что знаменатель 7 очень невелик. Во второй дроби при сравнительно небольшом знаменателе 113 получается приближенное значение Непрерывная дробь цепная дробь с высокой точностью.

Чтобы оценить эту точность, используем формулу

В нашем случае Непрерывная дробь цепная дробь

Значит,

то есть точность полученного ответа превышает Непрерывная дробь цепная дробь Обращая дробь в десятичную, получаем:

С помощью цепных дробей можно выполнять вычисление логарифмов при любом основании. Вычислим, например, 1g 20. Полученный результат будем сравнивать со значением 1g 20, взятым из таблицы Брадиса: