Контрольная работа на тему: нахождение радиуса и интервала сходимости степенного ряда

Оглавление:

Задание: Нахождение радиуса и интервала сходимости степенного ряда.

Цель: формирование умения находить радиус и интервал сходимости степенных рядов.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

41.1. Выучите определение степенного ряда. Сформулируйте определение радиуса сходимости степенного ряда. Выясните, какова техника его нахождения.

41.2. Проанализируйте, в каких случаях для вычисления радиуса сходимости степенного ряда удобно искать по формуле , а в каких — по формуле — . Внимательно изучите примеры, позволяющие находить радиус сходимости степенного ряда.

41.3. Найдите радиус сходимости степенного ряда:

Выполнив задание 41.3. и заменив получившиеся ответы буквами из таблицы. Вы откроете фамилию математика — автора теоремы:

Если степенной ряд сходится в точке , то он сходится, и притом абсолютно, для всех , удовлетворяющих неравенству: .

Его работы в теории рядов фундаментальны. Огромное число понятий и теорем в различных областях математики носит его имя. За свою короткую жизнь этот учёный сделал важнейшее для науки открытие: доказал, что алгебраические уравнения степени выше четвёртой в общем случае неразрешимы в радикалах.

На его родине знаменитому математику установлен необычный памятник. По круто поднимающейся гранитной глыбе молодой человек с одухотворённым лицом шагает ввысь, переступая через два отвратительных чудовища. Что они символизируют? Одни математики, шутя, говорят, что они изображают уравнения пятой степени и эллиптические функции, побеждённые учёным. Другие утверждают, что скульптор воплотил в образе чудовищ социальную несправедливость. Именно с ней всю жизнь боролся учёный. Только в этой трактовке автор памятника погрешил против истины: не математик победил эти чудовища, а они погубили его…

Фамилия математика — автора теоремы:

Карта ответов:

41.4. Выучите определение интервала сходимости степенного ряда. Выясните, какова техника его нахождения.

41.5. Найдите интервал сходимости степенного ряда:

Методические указания по выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:

Функциональный ряд вида , членами которого являются степенные функции аргумента , называется степенным ( — действительная переменная, действительные числа — коэффициенты степенного ряда).

Радиусом сходимости степенного ряда называется неотрицательное действительное число или , удовлетворяющее условиям: при всех , для которых степенной ряд сходится; при всех , для которых , степенной ряд расходится.

Если степенной ряд сходится лишь в одной точке , то его радиус сходимости равен 0: .

Если степенной ряд сходится при всех действительных значениях переменной (во всех точках числовой оси), то его радиус сходимости равен .

У любого степенного ряда есть радиус сходимости, найти который позволяет следующая теорема.

Теорема. Если для степенного ряда существуют конечные или бесконечные пределы или , равные , то радиус сходимости степенного ряда находится по формуле: .

Заметим, что находить можно, фактически осуществляя ту же последовательность действий, что и в алгоритмах, предназначенных для исследования сходимости положительных рядов по признакам Даламбера и Коши. При этом роль общего члена положительного ряда будет играть коэффициент степенного ряда.

Рассмотрим примеры нахождения радиуса сходимости степенного ряда.

Пример 1.

Найдите радиус сходимости степенного ряда .

Решение:

Радиус сходимости степенного ряда будем искать по формуле: . Поскольку коэффициент степенного ряда содержит выражение , то для нахождения применим формулу: , аналогичную формуле признака Даламбера. Фактически
воспользуемся соответствующим алгоритмом. Для этого:

найдём коэффициент
найдём коэффициент
найдём отношение коэффициентов

Таким образом, получим

Следовательно, так как , а , то .

Ответ: .

Если для степенного ряда , то его радиус сходимости равен .

Если для степенного ряда , то его радиус сходимости равен 0: .

Пример 2.

Найдите радиус сходимости степенного ряда .

Решение:

Радиус сходимости степенного ряда будем искать по формуле: . Поскольку коэффициент степенного ряда представляет собой -ую степень выражения , то для нахождения применим формулу: , аналогичную формуле признака Коши. Фактически воспользуемся соответствующим алгоритмом. Для этого:

найдём коэффициент
найдем

Таким образом, получим .

Следовательно, если , то .

Ответ: .

Если — радиус сходимости степенного ряда , то множество точек , удовлетворяющих неравенству , называется интервалом сходимости I степенного ряда. Значит, если — радиус сходимости степенного ряда , то его интервал сходимости
находится следующим образом: .

Пример 3.

Найдите интервал сходимости степенного ряда.

Решение:

Интервал сходимости степенного ряда определяется формулой: . Выясним, чему равен радиус сходимости данного степенного ряда. Искать его будем по соотношению: . Для нахождения применим формулу: , аналогичную формуле признака Даламбера. Фактически воспользуемся соответствующим алгоритмом. Для этого: