Рассмотрим такую систему уравнений с примером решения

Пример №14.

Рассмотрим такую систему уравнений

Переменная Рассмотрим такую систему уравнений входит в первое уравнение с коэффициентом 1. Исключим ее из второго уравнения. Для этого прибавим ко второму уравнению первое, умноженное на 3. Система (3.10) станет такой

Выберем, например, переменную Рассмотрим такую систему уравнений в качестве базисной для второго уравнения. Для этого сначала поделим на 5 все коэффициенты и правую часть второго уравнения, чтобы коэффициент при Рассмотрим такую систему уравнений стал равным 1. Система (3.11) примет вид

Исключим Рассмотрим такую систему уравнений из первого уравнения. Для этого прибавим к первому уравнению второе, умноженное на -2. Получим систему

Система (3.13) — это та же исходная система (3.10), но решения системы (3.13) можно выписать сразу. Переменная Рассмотрим такую систему уравнений входит только в первое уравнение, ее можно выразить через переменные . По этой же причине переменная немедленно выражается через переменные Рассмотрим такую систему уравнений .

Переменные, не являющиеся базисными, называются свободными переменными. В нашем случае свободны переменные Рассмотрим такую систему уравнений .

Если в совместной системе уравнений число неизвестных больше числа уравнений, то такая система имеет бесконечно много решений. Свободные переменные могут принимать любые значения, базисные переменные однозначно определяются через свободные. Например, если положить

Систему уравнений, приведенную к виду, когда в каждом уравнении есть своя базисная переменная, назовем записанной в стандартной форме. Чтобы избежать громоздких обозначений, будем считать, что базисная переменная первого уравнения — это переменная Рассмотрим такую систему уравнений , второго — -го уравнения — . Коэффициент в -м уравнении при переменной будем обозначать , правую часть -го уравнения стандартной системы обозначим через Рассмотрим такую систему уравнений . Свободные переменные стандартной системы — это переменные , они могут принимать любые значения. Значения базисных переменных однозначно вычисляются по значениям свободных. Система (3.9), приведенная к стандартной форме, такова