Понятие компактности множества

Понятие компактности множества

• Понятие компактности множества. Пусть{x} — произвольное множество действительных чисел. О п р ЕД е л я Е1. Если множество{x}может различать систему{2A}открытого множества, образующую оболочку множества{X}, и конечную подсистему, образующую оболочку множества{x}, то{x}совпадает с {X}. Примечание 4 в конце пункта 3§6 дает иное определение

компактного набора. Давайте вспомним формулировку. О п р ЕД е л Ен и Е.1 множество{X}называется компактным, если оно замкнуто, и.Для любого набора чисел это доказывает, что определения 1 и1 эквивалентны. 1) сначала закройте набор{x}и ограничьте его.

Затем из любой системы в открытом множестве{2A}, образующей покрытие{x}, выберите конечную подсистему, которая немедленно Людмила Фирмаль

образует покрытие{x}из леммы Гейне-Бореля (см. пункт 2)§7. Понятие компактности множества 187 2).Множество{x}должно быть таким, чтобы любое открытое множество (EO}) могло выбрать конечную подсистему для формирования покрытия{x}из системы, образующей покрытие{x}. Докажем, что множество{x}замкнуто и ограничено. Во-первых, мы докажем, что замыкание множества{х}. Достаточно доказать, что дополнение множества{x}2) является открытым множеством. Чтобы

исправить любую точку y в дополнении B, вам нужно доказать, что существует окрестность B точек y, принадлежащих дополнению B. Пусть X-любая точка множества{x}. Поскольку X^=y, число b (x)= — -.^1_ положительно, А B (x)-окрестности точки x и y2x=(x-b (x), x+b (x)), uu x=(y-b (x), g/+b (x)) не пересекаются. Поскольку открытая система образует оболочку множества{2D (x), соответствующую всем возможным точкам x множества{x}, то конечная подсистема из этой системы 2,,,, 2,, разделена.. , 2, также для формирования покрытия

• множества{x}. Представляет собой TD, H ‘ \2,… Соответствующее B-окрестность у этих б-микрорайоны.Поскольку соответствующие конечные подсистемы N a и m e n s W a I включены во все множества CHZH1, Chgh2,••, Set 2*, 2ha,.. 2hp для. Но подсистема 2X,, 2x, с тех пор. • * , 2HP образует покрытие множества{x}и не содержит точек множества{x}в заданной минимальной окрестности B точки Y. Таким образом, доказано, что множество N открыто, и, следовательно, множество{x}замкнуто. Здесь мы докажем, что множество{x}

ограничено. Если это не так, то существует последовательность{x»} точек в множестве {x}, которые не совпадают друг с другом, удовлетворяющая условию|x»|>n(n=1, 2,)…да что с тобой такое? Поскольку в этой последовательности нет предельной точки K o n E h N s x, каждая точка в CP имеет B-окрестность 2X / 1 и освобождается от других точек в последовательности{XL}. Понятно, что из бесконечной системы открытых множеств{2*}для формирования покрытия множества точек{xD невозможно найти 188 4 глав.

Непрерывность функций Выберите конечную подсистему, которая формирует покрытие всех точек{x»}. Поскольку множество{XP}является Людмила Фирмаль

подмножеством{x}, его невозможно отделить от системы открытых множеств, образующей покрытие{x}. Однако это противоречит предположениям множества{x}. Полученное противоречие доказывает предел множества{x}. В заключение следует отметить, что все понятия, представленные в этом пункте, изучаются в более общих ситуациях из добавления 2 к главе 12

Смотрите также:

Методическое пособие по математическому анализу

Дифференцирование сложной функции	Понятие производной n-го порядка
Открытые и замкнутые множества	n-ые производные некоторых функций