Оглавление:
Полный дифференциал фнп и его использование в приближенных вычислениях
Определение 15.1. Полным дифференциалом 
дифференцируемой в точке 
функции 
называется главная, линейная относительно приращений 
, часть полного приращения этой функции в точке , т. е.
Напомним (см. раздел 2), что для независимых переменных 
и 
их любые приращения считают дифференциалами: 
.
Тогда полный дифференциал функции 
можно записать в виде
Полный дифференциал имеет широкое применение в приближенных вычислениях. Если рассмотреть функцию , дифференцируемую в точке , то
откуда
Так как 
, то, используя представление по формуле (15.1), получим
приближенная формула, верная с точностью до бесконечно малых более высоких порядков относительно 
.
Пример 15.1.
Вычислить приближенно 
.
Решение:
Рассмотрим функцию 
. Искомое число можно считать приращенным значением функции в точке 
при 
, 
.
Согласно формуле (15.2): 
.
Поскольку 
,
то окончательно получим 
.
Ответ: 
.
С помощью полного дифференциала функции можно также выяснить, как отражаются на значении функции погрешности ее аргументов.
Пример 15.2.
Определить предельную абсолютную погрешность 
функции 
, зная предельные абсолютные погрешности 
. ее аргументов 
Решение:
По определению: 
.
Заменяя приращение функции ее дифференциалом, получим
откуда можно получить оценку:
Следовательно, за предельную абсолютную погрешность функции можно принять
Используя (15.3), можно также определить относительную погрешность функции 
.
Ответ: 
Определение 15.2. Полным дифференциалом второго порядка функции называется полный дифференциал от ее полного дифференциала.
По определению, получим
Эта лекция взята со страницы лекций по предмету математический анализ:
Возможно вам будут полезны эти страницы:
