Оглавление:
Дифференцируемость фнп
Определение 14.1. Функция называется дифференцируемой в точке
, если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

где — бесконечно малые функции при
Теорема 14.1. Если функция дифференцируема в точке
, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство.
Если функция дифференцируема в точке
, то из формулы (14.1) следует, что
или

откуда , что и означает непрерывность функции в точке. ■
Теорема 14.2 (необходимые условия дифференцируемости).
Если функция дифференцируема в точке
, то она имеет в этой точке частные производные
и
причем
Доказательство.
Так как функция дифференцируема в точке
, то ее приращение в этой точке представимо в виде (14.1). Полагая
, получим

где — бесконечно малая функция при
.
Разделив полученное выражение на и перейдя к пределу при
, получим

С другой стороны, по определению частной производной,

Следовательно, в точке существует
.
Аналогично доказывается, что в точке существует
.■
Замечание 14.1. Обратные утверждения к теоремам 14.1 и 14.2 не верны, т. е. из непрерывности ФНП в точке и существования частных производных не следует дифференцируемость.
Пример 14.1.
Функция

непрерывна на всей плоскости, на всей плоскости имеет частные производные, однако формула (14.1) не имеет места для данной функции в точке (0; 0).
Теорема 14.3* (достаточное условие дифференцируемости). Если функция имеет частные производные в некоторой
-окрестности точки
, непрерывные в самой точке
, то функция дифференцируема в этой точке.
Понятие дифференцируемости для функции трех и более переменных вводится аналогично.
Определение 14.2. Функция нескольких переменных, дифференцируемая в каждой точке некоторого множества, называется дифференцируемой на этом множестве.
Эта лекция взята со страницы лекций по предмету математический анализ:
Возможно вам будут полезны эти страницы: