Оглавление:
Частные производные сложной функции
Предположим, что в формуле

переменные являются непрерывными функциями независимых переменных
:

В этом случае функция является сложной функцией аргументов
.
Предположим, что функции имеют непрерывные частные производные по всем своим аргументам. Вычислим частные производные
, исходя из формул (16.1) и (16.2) и не используя непосредственное представление функции z через
.
Придадим аргументу приращение
, сохраняя значение
неизменным. Тогда, в силу (16.2),
получат приращения
и
, но тогда и функция
получит следующее приращение:

где — бесконечно малые функции при
.
Разделим обе части формулы на :

Если , то, в силу непрерывности
,
и
.
Переходя к пределу при , получим

Если придать аргументу приращение
, сохраняя значение
неизменным, то с помощью аналогичных рассуждений можно получить

Пример 16.1.
Найти частные производные для функции
, если
и
.
Решение:

Получим

где .
Заметим, что при записи ответа в выражения для частных производных вместо можно подставить их выражения через
, однако это повлечет за собой громоздкие выражения.
Ответ: ‘
где .
Для случая большего числа переменных формулы (16.3) и (16.4) естественным образом обобщаются. Например, если , где
, то

Пусть исходная функция имеет вид , где
и
зависят от одной переменной
. Тогда, по сути, функция
является функцией только одной переменной
и можно ставить вопрос о нахождении производной
, которая называется полной производной функции
:

Пример 16.2.
Найти для функции
, если
.
Решение:

Формула (16.5) в данном случае принимает вид:

Поэтому

Ответ: ,
где .
Эта лекция взята со страницы лекций по предмету математический анализ:
Возможно вам будут полезны эти страницы: