Определение. Функция называется непрерывной в точке
, если она определена в некотором интервале, содержащем эту точку и существует предел
, равный значению функции в точке
, т. е.

Приведем еще одно определение непрерывности функции, равносильное приведенному. Пусть — приращение аргумента (малое положительное или отрицательное число) в точке
. Величина

называется приращением функции в точке
. Тогда, очевидно, функция непрерывна в точке хо тогда и только тогда, когда

Если предел не существует или равен бесконечности, либо указанный предел существует и конечен, но не равен значению функции в точке
или функция неопределена в этой точке, то будем говорить, что функция
разрывна в точке
или. иначе,
— точка разрыва данной функции.
Перечислим теперь основные, свойства непрерывных функций, следующие из соответствующих свойств пределов (§4. пункт 2).
1) Если функции непрерывны в точке ха, то в этой же точке непрерывны и функции

Если, кроме того, в области определения . то непрерывной является также и функция
. Наконец, если в области определения
, то непрерывна и функция
Для доказательства достаточно использовать свойство 7) предела функций и предел (3) из пункта 2, §4.
2) Если функция непрерывна в точке
, а функция
в свою очередь, непрерывна в точке
, то композиция функций
непрерывна в точке
.
Здесь достаточно сослаться на свойство 2) предела композиции функций (пункт 2, §4).
3) Если функция непрерывна в точке
, то в некотором малом интервале, содержащем точку
данная функция сохраняет знак значения
.
Действительно, выбрав число столь малым, чтобы
, мы по определению непрерывности можем указать
, для которого

что и доказывает данное свойство, так как по выбору с имеют знак значения
По аналогии с односторонними пределами мы можем также ввести понятие односторонней непрерывности функции. А именно, функция , определенная в полуинтервале
называется непрерывной слева (справа) в точке
, если существует левосторонний (правосторонний) предел
, равный значению функции в точке
. Из свойства 1) предела функции (§4, пункт 2) следует, что для непрерывности функции
в точке
необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывной слева и справа в этой точке и
.
Функция называется непрерывной на промежутке числовой оси, если она непрерывна в любой точке этого промежутка, причем, если промежуток содержит граничные точки, то под непрерывностью в них понимается соответствующая односторонняя непрерывность.
Эта лекция взята со страницы онлайн помощи по математическому анализу:
Математический анализ онлайн помощь
Возможно эти страницы вам будут полезны: