Бесконечно малые (бесконечно большие) функции, их свойства и использование
Функция , определенная в некотором интервале, содержащем точку
, кроме, возможно. самой этой точки, называется бесконечно малой (бесконечно большой) в точке
, если существует и равен нулю (бесконечности) предел
.
Изучим сначала свойства бесконечно малых. Очевидно, прежде всего, что вместе с бесконечно малыми в точке
таковыми являются и функции

Произведение будет бесконечно малой и в случае, когда одна из этих функций является бесконечно малой, а вторая ограничена. Действительно, пусть
. а
в области определения. Зафиксируем произвольное число
. По определению предела для положительного числа
найдется положительное число
такое, что
. Тогда при всех таких х

т.e. .
Частное мы будем использовать для сравнения бесконечно малых
в точке
.
Будем говорить, что бесконечно малая имеет, порядок малости k относительно бесконечно малой
если существует

В частности, если являются бесконечно малыми одного порядка. Если, сверх того.

то бесконечно малые называются эквивалентными. Для эквивалентных бесконечно малых используется обозначение:
.
Наконец, если окажется, что

то условимся говорить, что бесконечно малая имеет более высокий порядок малости относительно бесконечно малой
и обозначать этот факт через
.
Эта лекция взята со страницы онлайн помощи по математическому анализу:
Математический анализ онлайн помощь
Возможно эти страницы вам будут полезны:
Предел функции: определение и его свойства |
Два важных правила в анализе предела |
Определение непрерывности функции. Общие свойства непрерывности |
Классификация точек разрыва функции с примером |